tema 1 intersecciones directas mÉtodos...

Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016

(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 1

TEMA 1Intersecciones directas

MÉTODOS TOPOGRÁFICOSCurso 2015/2016

MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones directas 2

Correcciones a la distancia

1. Corrección meteorológica

a. En el momento de la toma

b. Con fórmulas

c. Con ábaco

2. Corrección de la constante del prisma

3. Reducción al sistema proyectivo

a. Sistema de coordenadas local o arbitrario

b. Largas distancias y/o sistema de coordenadas oficial

i. Reducción por curvatura de la trayectoria

ii. Reducción a la cuerda del elipsoide

• Método A: Un paso

• Método B: Dos pasos

iii. Reducción al arco del elipsoide

iv. Reducción a la proyección cartográfica





• Corrección en el momento de toma de datos (ppm):

• Corrección a posteriori a la medida de distancias:

LeicaSiendo P la presión

atmosférica en mbar

Sokkia P en mm de mercurio

Topcon P en mm de mercurio

t

PD

00366.01

29065.08.281

t

PD

00366.01

3872.096.278

6102.273

1066.279

t

PD

Altitud/Temperatura 500 600 700 800 900

20º 22 25 28 30 33

25º 26 29 32 34 37



• Ábaco proporcionado por el fabricante para la

corrección, en función de altitud y temperatura:




2. Corrección de la constante del prisma

• El espacio que recorre la onda portadora del M.E.D. se

tendrá que descontar de la distancia facilitada

Marca

comercial

Constante del

prisma

Corrección

meteorológica

Leica -99 mm a 99 mm -999 ppm a 999 ppm

Topcon -99 mm a 99 mm -99 ppm a 99 ppm

Sokkia 0 mm a 90 mm -50 ppm a 130 ppm

Geodimeter

(Trimble)- -60 ppm a 195 ppm

Nikkon 0 mm a 90 mm -


3.a. Distancias en un sistema de

coordenadas local o arbitrario

• Si las distancias medidas son de pequeña magnitud y

el ámbito del levantamiento es una zona de pequeña

superficie, se puede realizar la siguiente reducción de

la distancia:

• Si el sistema de referencia es un sistema local y por lo

tanto considera la Tierra plana a efectos de

planimetría también se utilizará la misma expresión

para reducir las distancias

senr gD D V




3.b. Distancias de elevada longitud y/o

sistema de coordenadas oficial

Eje Dg Cota estación Vertical Dr D

A-B 3000 mHA=750.00 m VA

B=93g.0000 2981.883 m0.156 m

HB=1079.20 m VBA=107g.0300 2981.727 m

B-C 2000 mHB=1079.20 m VB

C=110g.0000 1975.377 m0.098 m

HC=766.33 m VCB=90g.0200 1975.475 m




• Si las distancias medidas son de elevada magnitud y

el ámbito del levantamiento es una zona de gran

superficie, se deben realizar las siguientes reducciones

a las distancias

• Si el sistema de coordenadas es el oficial también se

deberán aplicar las siguientes reducciones a las

distancias medidas:

i. Reducción por curvatura de la trayectoria

ii. Reducción a la cuerda del elipsoide

iii. Reducción al arco del elipsoide

iv. Reducción a la proyección cartográfica







3.b.i. Reducción por curvatura de la

trayectoria

• La trayectoria de la portadora describe una curva

• Por lo tanto, habrá que corregirla de dicho efecto

• No es una corrección demasiado significativa en

distancias de pequeña magnitud

• Su magnitud es similar a la reducción de la cuerda al

arco, pero de signo contrario → Se anulan

m 998.14999

Km 1543 2

3

rc

M

MMrc D

DR

DDD

DrcDM




3.b.ii. Reducción a la cuerda del elipsoide

• Reducción a la cuerda de la superficie de referencia,

donde se proyectará el terreno

• Posteriormente, se obtendrán sobre un plano

(proyección cartográfica)

• Este proceso se puede realizar mediante dos métodos:

– Método A. Reducción en dos pasos

1. Reducción a la superficie de nivel de la

estación

2. Reducción a la cuerda del elipsoide

– Método B. Reducción en un solo paso

Reducción a la cuerda


3.b.ii. Método A. Paso 1: Reducción a la

superficie de nivel de la estación

sen 200sen 1002

sen sen

cossen 100 22

A

A

rg

B

B Br g g

DD

V

V VD D D

AAB VVV 200200

Además se podría tener en cuenta

el efecto de la refracción

atmosférica:

sen

cos2

A

A

r g

V rD D

g ccD

rR

r K




3.b.ii. Método A. Paso 2: Reducción a la

cuerda del elipsoide

• Por proporcionalidad:

• Siendo DrE, la distancia

reducida a la superficie

de referencia (elipsoide)

A E A

E

r rr

r

A A

D D RDD

R h R R h


3.b.ii. Método A

• Ejemplo:

• Contemplando la convergencia:

• Reducción al elipsoide:

3000 sen94 .996 2990.74 m

3000 sen105 .026 2990.66 m

B g

r A

A g

r B

D AB

D BA

sen 94 .996 0.03 0.004 2990.64 m

sen 105 .026 0.03 0.004 2990.75 m

A

B

g

r g

g

r g

D D

D D

E

E

r

r

850 m D 2990.24 m850

1086.09 m D 2990.24 m1086.09

A

B

r

A

r

B

D RH

R

D RH

R

3000 m0.03

94 .9960.004

105 .0261086.09 m

850 m

g g

g

A g

g

B

B

A

D

Vr

VH

H




3.b.ii. Método B. Reducción a la cuerda del

elipsoide en un solo paso

2 2

1 2gD l l h

0 0 1

0 0 2

y OAA'

y OBB'

E

E

Ar

Br

R hOA B l D

R

R hOA B l D

R

2 2

2 2 2 2

2

1 1

E E

E

A Bg r r

g g

r

A B A B

R h R hD D D h

R R

D h D hD

R h R h h h

R R R R

2 2

1 1E

g

r

A B

D hD

h h

R R

2

2

22 2

1

2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1

2 1

2 2 2 1

2 2 2 1

2 2

g

g

g

h

g

l

D l C C

D l C l C C

D l l C C C

D l l C h

Para el cálculo de hB sólo

se tendrá en cuenta el

término t y la corrección

de esfericidad y refracción


3.b.ii. Método B

• Ejemplo:

• Reducción directa al elipsoide:

3000 m

94 .996 1086.09 m

850 m

g

g

A B

A

D

V H

H

2 2

2990.24 m

1 1E

g

r

A B

D hD

h h

R R




3.b.iii y 3.b.iv

• Reducción al arco del elipsoide

• Reducción a la proyección cartográfica

Siendo k el coeficiente de anamorfosis lineal, propio de

la proyección utilizada

3

2 15000.003 m24

15 Km

E

E

E

r

Arco rArco

Cuerda r

DD D

DR

D D

proyección ArcoD D k

Superficie de nivel en A

Elipsoide de Referencia

Dc

DA

RR


Comparación de resultados

• Se va a reducir las distancias a la cuerda del elipsoide

por dos métodos aplicando simplificaciones a los

mismos, con el fin de compararla con la obtenida

mediante la expresión que supone la Tierra plana, a

efectos de planimetría

• Se supondrán en todos los casos V=98g, K=0.13 y

HE=1000.00 m

– Comparación 1: Efecto en la reducción de la

distancia al simplificar la expresión de la

corrección conjunta de esfericidad y refracción

– Comparación 2: Efecto por simplificar la

reducción según las diferentes expresiones




Comparación 1

Dg

100 3.142 99.935 3.142 99.935

200 6.284 199.870 6.284 199.870

500 15.720 499.674 15.720 499.674

1000 31.469 999.346 31.469 999.346

2000 63.053 1998.683 63.054 1998.683

5000 158.502 4996.642 158.504 4996.642

8000 254.994 7994.522 254.999 7994.522

10000 319.901 9993.064 319.909 9993.064

12000 385.272 12991.571 385.283 12991.571

15000 484.197 14989.264 484.214 14989.263

22

cos2

grg

D KDh D V

R R

2 2

1 1E

g

r

A B

D hD

h h

R R

2

cos 0.37 rg

Dh D V

R

2 2

1 1E

g

r

A B

D hD

h h

R R


Comparación 2

Dg

100 99.935 99.935 99.935 99.951

200 199.870 199.870 199.870 199.901

500 499.674 499.674 499.674 499.753

1000 999.346 999.346 999.346 999.507

2000 1998.683 1998.683 1998.683 1999.013

5000 4996.641 4996.641 4996.642 4997.533

8000 7994.520 7994.522 7994.522 7996.052

10000 9993.061 9993.064 9993.064 9995.066

12000 11991.566 11991.571 11991.571 11994.079

15000 14989.253 14989.263 14989.264 14992.598

sen

E

r g

rr

A

D D V r

D RD

R h

sen

cos2

E

g

r

rr

A

D V rD

D RD

R h

2 2

22

1 1

cos2

E

g

r

A B

grg

D hD

h h

R R

D KDh D V

R R

senr gD D V




Intersecciones angulares

• Basadas en la determinación tridimensional de UN SOLO punto

• Medidas exclusivamente angulares

• Según la naturaleza del punto a determinar, se clasifican en:

– INTERSECCIÓN DIRECTA. Punto desconocido no

estacionable

– INTERSECCIÓN INVERSA. Punto estación desconocido

– INTERSECIÓN MIXTA. Combinación de los dos anteriores o

con inclusión de distancias

• Según el número de soluciones, se clasifican en:

– INTERSECCIONES SIMPLES

– INTERSECCIONES MÚLTIPLES


Fundamento intersección directa

• Se estaciona, al menos, en dos puntos de posición

conocida

• Observaciones exclusivamente angulares

• Se puede determinar la posición planimétrica y

altimétrica del punto observado

• Es necesario observar a otro

punto de coordenadas

conocidas desde cada uno de

los estacionamientos, con la

finalidad de determinar la

desorientación




Solución planimétrica analítica

tan tan tanV V VV AA V A V A A V V A A A

V A

E EE E N N E N N E

N N

tan tan tan tanV V V V

V B B B V A A A A BN N N N E E

tan tan tan tanV V V V

V B A B B A A A BN N N E E

tan tan

tantan tan

V VVB B A A A B

V V A V A AV V

B A

N N E EN E N N E

tan tan tanV V VV BB V B V B B V V B B B

V B

E EE E N N E N N E

N N


Solución planimétrica trigonométrica

• Ambas soluciones deben coincidir exactamente puesto

que la intersección de dos rectas sólo tiene una

solución

ˆ ˆsen sen

ˆ ˆsen sen

AB B AB BAV

A B

senˆcos

VV B V A AA A V

V A A

E E AVA

N N AV

B V V A

A A B BA LH LH B LH LH

A A V V

B B B B B BLH LH B B V V

A A A A A ALH LH

senˆcos

VV A V B BB B V

V B B

E E BVB

N N BV

• Desde A: • Desde B:

ˆ ˆsen sen

ˆ ˆsen sen

AB A AB ABV

A B




Solución planimétrica trigonométrica

• Caso singular: No existe visual entre los extremos de

la baseV

A

C C V

A A A A ALH LH

V

B

D D V

B B B B BLH LH

sen

cos

VV V A AA V

V A A

E E AV

N N AV

Bˆ ˆB V V A

A A BA B

• Desde A: • Desde B:

ˆ ˆsen sen

ˆ ˆsen sen

AB B AB BAV

A B

ˆ ˆsen sen

ˆ ˆsen sen

AB A AB ABV

A B

sen

cos

VV V B BB V

V B B

E E BV

N N BV


Solución altimétrica

• La solución altimétrica de una intersección directa

simple es doble

• Se puede determinar la altitud del punto interceptado,

a través de dos caminos independientes

• Existen dos formas de resolver el cálculo altimétrico:

– Sistema de coordenadas locales (Tierra plana)

– Sistema de coordenadas en una proyección

conforme




Solución altimétrica: coordenadas locales

2 2V

A V A V AD E E N N

tan

VV AA A V erV

A

DH i m C

V

tan

VV BB B V erV

B

DH i m C

V

2 2V

B V B V BD E E N N

A

V

V A AH H H B

V

V B BH H H

2 2

HA B V VA BV V HH H


Solución altimétrica: coordenadas UTM

• Puesto que el sistema proyectivo es conforme, las

distancias sufren deformaciones y estas habrán de ser

tenidas en cuenta para el cálculo de la altitud

ARCO

UTMr

DD

k

cos 2

sen

ESTr

g V

EST

DD

V r

tan

VV ESTEST EST V erV

EST

DH i m C

V

cosV V V

EST gEST EST EST V erH D V i m C

ARCO

EST

r EST

r

D R HD

R




Ponderación en la solución altimétrica

2

2

VA

V

H A rD

2

2ˆVAAA

H HHV

2 2

A B V VA BV V H HH H

2 22 2

2 22 2

1 11 1

1 1 1 1

A BA B

V VA B

V VA B

V VV V V VH H A B

V

V VH H A B

H HH HD D

H

D D

2

2

VB

V

H B rD

2

2ˆVBBB

H HHV


Desviación típica a priori planimétrica

• La desviación típica

a priori planimétrica

dependerá, única y

exclusivamente, de

la desviación típica

a priori de las

medidas angulares

• Se hacen dos

medidas angulares

en cada estación

• Constituirá el error

máximo





• Simplificación: se consideran

paralelas las líneas que definen el

paralelepípedo → paralelogramo

• Se obtiene la elipse de error

(incertidumbre) inscrita



• Simplificación: se consideran

paralelas las líneas que definen el

paralelepípedo → paralelogramo

• Se obtiene la elipse de error

(incertidumbre) inscrita

• Se caracterizará mediante el

semidiámetro mayor de esta elipse

(a)

• Los semidiámetros conjugados:

2

sen

V

ADVV

2

sen

V

BDVV





• El valor máximo de los

semidiámetros conjugados se

producirá:

– Cuanto mayor sea el numerador:

A mayor distancia

A mayor desviación típica

angular

– Cuanto menor sea el

denominador:

Ángulo próximo a 0g ó 200g

2

sen

V

ADVV

2

sen

V

BDVV



• La posición más alejada

del centro de la elipse es

el semieje mayor a

• Para calcularlo se

recurre a la construcción

de la elipse por afinidad

• Dos diámetros

perpendiculares en la

circunferencia se

transforman en dos

diámetros conjugados en

la elipse





• Construcción de dos

diámetros en la elipse:

– Paralela al eje

horizontal, en el punto

de intersección del

diámetro con la

circunferencia de menor

tamaño





– Paralela al eje



diámetro con la


tamaño

– Paralela al eje vertical

en el punto de

intersección del

diámetro con la

circunferencia mayor







– Paralela al eje



diámetro con la


tamaño

– Paralela al eje vertical

en el punto de

intersección del

diámetro con la

circunferencia mayor



• De esta forma, se

obtienen los diámetros

homólogos en la elipse a

dos diámetros

perpendiculares en la

circunferencia





• Los semidiámetros

conjugados b y c forman

un ángulo , intersección

de las visuales






de las visuales

• Semidiámetro mayor de

la elipse, coincide con el

radio de la circunferencia

mayor








de las visuales




mayor

• Se abate 100g uno de los

semidiámetros

ˆ 200 100 100g g gA






de las visuales




mayor

• Se abate 100g uno de los

semidiámetros

ˆ 200 100 100g g gA





• Determinación del semidiámetro mayor de la elipse:

– Determinación de O’T:

Aplicando el teorema del coseno en PNQ:

– Determinación de PO’:

Aplicando el teorema de la mediana en PNQ:

• Finalmente:

a PO O T

2 2QN dO T

2 2 2 cosd b c bc A

2 2 21 22dPO m b c d

12da m d


Desviaciones típicas

• Desviación típica “a priori” planimétrica, en una

intersección directa simple:

• Desviación típica “a priori” altimétrica, en una


• Desviación típica “a posteriori” altimétrica, en una


2 2 2ˆ ˆV A BEN EN EN a

2 2 2 2ˆ ˆV VV A BA B

H H HH H

2

ˆprom V

i

i i V H

vv H H

m n




Intersección directa múltiple

• Intersección directa simple → Solución gráfica y

numérica

• Falta de comprobación de resultados

• Necesarias más visuales

• Con tres visuales → Tres combinaciones → Tres

soluciones

! 3!

3! ! 2!

n

m

mC

m n n

• Obtención de unas

coordenadas promedio


Intersección directa múltiple

• Planimetría

– Cálculo planimétrico de todas las soluciones

simples

– Cálculo del máximo error en cada una de las

soluciones simples

– Estudio de la tolerancia planimétrica

– Media ponderada de aquellas soluciones

tolerables inversamente proporcional a las

varianzas

• Altimetría

– Proceso idéntico al seguido en la solución simple




Estudio de tolerancias

• Se obtienen tantas soluciones

simples como combinaciones posibles

1

2

3

2 2 2

1

2 2 2

2

2 2 2

3

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

V A B

V A C

V B c

EN EN EN

EN EN EN

EN EN EN

a

a

a

1 1 1

2 2 2

3 3 3

,

,

,

AB V E N

AC V E N

BC V E N

• Se obtienen los errores teóricos de cada solución


Estudio de tolerancias

• Diferencias entre soluciones:

• Tolerable si la diferencia entre las más discrepantes es

menor que la componente cuadrática de las

desviaciones típicas:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 2 2 2d E N d E N d E N

1 2 1 3 2 3

2 2 2 3 2 2 3 2 2

1 1 2V V V V V VEN EN EN EN EN ENd d d

• Si una visual es errónea →

Dos soluciones afectadas →

Tres soluciones discrepantes →

No es posible averiguar cuál es




Promedio de coordenadas

• Si esto se cumple, las

coordenadas del punto

será la media ponderada

inversamente

proporcional a la

varianza

• Altimetría: Tres

soluciones → Mismo

tratamiento que en la

intersección directa

simple

2 31

1 2 3

1 2 3

2 31

1 2 3

1 2 3

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

V V V

V V V

V V V

V V V

V VV

EN EN EN

V

EN EN EN

V VV

EN EN EN

V

EN EN EN

E EE

E

N NN

N

2 2 2

2 2 21 1 1

CA B

V V VA B C

V V VA B C

VV V

H H H

V

H H H

HH H

H


Métodos gráficos

• Mejor intersecciones directas > 3 visuales; para

cuatro, se tienen:

• Tedioso trabajo de estudio de tolerancias y promedios

posteriores

• Métodos gráficos: introducción a cálculo MM.CC.

• Se basan en el cálculo de unas coordenadas

aproximadas del punto obtenido por cualquier

intersección

2

4

4!6

4 2 ! 2!C




Métodos gráficos

• Las soluciones son las intersecciones de las visuales

• No es posible dibujarlas a gran escala, pero sí el

entorno del punto

• Si las observaciones son correctas →

Soluciones próximas y diferentes

• Se podría elegir el centro de masas

de la figura

• Obligaría a resolver todas las

soluciones


Métodos gráficos

• Se podría dibujar la recta, conocido un punto y el

acimut

'

'

tan tanQ A Q AP P

A Q A P A A

Q A P A

E E E EE E N N

N N N N

Q Pe E E

Q PE E e

tan P

P A P A AE e E N N

tan P

P A A P Ae N N E E




Métodos gráficos

• Para la intersección con el eje N:

cotan cotanP PR A R A

A R A P A A

R A P A

N N N NN N E E

E E E E

R P R Pn N N N N n

cotan P

P A P A AN n N E E

cotan P

P A A P An E E N N

• Así se podrían dibujar todas las

visuales


Métodos gráficos

• Se debería situar el punto P’ centrado para hacer

pasar los ejes coordenados

P P P PE E e N N n

• Se dibujan las visuales a partir de

los incrementos calculados

• Se calcula el centro de

gravedad del polígono

formado

• Se miden los

incrementos del punto

respecto a los ejes




Métodos gráficos

• Para obtener mayor precisión en la determinación → dibujar paralelas interiores

• Pueden considerarse las distancias de observación: A mayor distancia, mayor amplitud

• Es una forma de ponderación

• Se pueden eliminar visuales que estén alejadas del polígono de mayor probabilidad


Consideraciones y elección de las

mejores intersecciones

• La precisión del punto depende de:

– La precisión en la medida de ángulos

– La longitud de las visuales

– La abertura de los ángulos de intersección de las

visuales

• Para la intersección directa simple:

– Mejor ángulo próximo a 90º

– Distancias lo más cortas posibles

– No tiene comprobación




Consideraciones y elección de las

mejores intersecciones

• Las soluciones AVB y BVC son

inmejorables, pero no la

solución AVC

• Mejor si forman 60º entre sí

• Es conveniente reducir

también las distancias

• La mejor solución es cuando

forman un triángulo

equilátero:

– El punto V debería ser el centro

geométrico

– Ángulos de intersección de 120º


Resolución por Mínimos Cuadrados

• Apoyada en la resolución por métodos gráficos

• Mayor precisión

• Basada en la variación de coordenadas de un punto

aproximado

• Sobreabundancia de observaciones

• La solución final no satisface a

ninguna visual

• Está equidistante de todas las

visuales

• La separación es el Residuo

• Tantos residuos como visuales




Resolución por Mínimos Cuadrados

• Condición matemática impuesta: La suma de los

cuadrados de los residuos sea mínima

• Se pueden utilizar medidas directas o indirectas

• Máxima aplicación en redes topográficas

• Modos de resolución:

– Ecuaciones de condición

– Relaciones de observación

Relaciones de observación de dirección

Relaciones de observación de distancia

Relaciones de observación de desnivel


• En función del punto estación y el punto visado:

– Observación directa

– Observación inversa

• Dan lugar a una expresión matemática que relaciona:

– Valores aproximados

– Correcciones buscadas

– Valores observados






• Forma general de la relación de observación:

• O:

• Fundamento de los MM.CC.: Encontrar la corrección

• Resolución a través de los acimuts:

– Aproximados, si se utilizan las coordenadas

calculadas a priori del punto

– Observados, si se utilizan las observaciones de

campo

Valor aproximado + Corrección = Valor observado + Residuo

Residuo = Corrección + Valor calculado - Valor observado


Intersección directa por MM.CC.

• Forma de la ecuación:

• cal obtenido mediante las coordenadas aproximadas

del punto, resueltas a través de una intersección

• Nº de ecuaciones de observación > Nº de incógnitas

• Se pretenden obtener las coordenadas ajustadas, no

los acimuts

• Relación entre acimuts y coordenadas: Tangente

Corrección cal obsV

tan P P AA

P A

E E

N N





• Es no lineal: no puede formar un sistema de

ecuaciones

• Linealización por desarrollo en serie de Taylor,

despreciando términos de segundo orden

• Se va a derivar respecto de las dos incógnitas

• Forma general:

• Particularizando:

uy

v

2

' ''

u v v uy

v

2 2cos

PP A P A P A P AA

P

A P A

E E N N N N E E

N N



• Operando:

• Teniendo en cuenta:

• Se tiene, en radianes, la expresión linealizada:

2 2

2

2

cos

cos

PP P A A P A P P A A P AA

P

A P A

PP AA P P A A P A P P A A P A

P A

E N N E N N N E E N E E

N N

E N N E N N N E E N E EN N

2 2 2

cos

cos

P P

P A A A

P

P A A

N N N D

N N D

2

2 2

cos1P

A

P AD N N

2 2 2 2

P P P PP A A A AA P P A A

N E N EE N E N

D D D D





• La expresión en segundos centesimales:

• Particularizando sobre la intersección directa, donde

las coordenadas de la estación no sufren alteración:

• Volviendo a la fórmula general:

2

ccP P P P P

A A P A P A A A A

rN E E N N E E N

D

2

ccP P P

A A P A P

rN E E N

D

2

ccP P P P P P P

A A cal A obs A P A P A cal A obs

rV N E E N

D



• Sistema de ecuaciones formado:

• Dos incógnitas y tantas ecuaciones como visuales

• Resolución de este sistema:

– Por notaciones de Gauss

– Matricialmente

1 1 1 1

2 2 2 2

n n n n

a E b N k v

a E b N k v

a E b N k v




Resolución por notaciones de Gauss

• La suma de los cuadrados de los residuos debe ser

mínima:

• Derivando parcialmente, el segundo término será cero:

22 2 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

M nimo

a 2 2 2

n n n i

i

a E b N k a E b N k a E b N k v

E a b E N a Ek b N b Nk k v

í

2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( )

n n n n n

n n n n n

Fa E a b N a k a E a b N a k a E a b N a k

E

Fb N a b E b k b N a b E b k b N a b E b k

N


Resolución por notaciones de Gauss

• Agrupando términos y sacando factor común:

• Agrupando nuevamente:

• Teniendo el sistema de ecuaciones normales:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 2 0

2 2 2 0

n n n n

n n n n

a a E b N k a a E b N k a a E b N k

b a E b N k b a E b N k b a E b N k

2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

0

0

n n n n n

n n n n n

a a a E a b a b a b N a k a k a k

a b a b a b E b b b N b k b k b k

0

0

aa E ab N ak

ba E bb N bk

2

1 1

2

1 1

1

[ ]

n n

i i i

n n

i i i

n

i i

aa a ak a k

bb b bk b k

ab ba a b




Resolución matricial

• El sistema de ecuaciones es de la forma:

– A: matriz de los coeficientes

– X: matriz de las incógnitas

– L: matriz de los términos independientes

– V: matriz de los residuos

• La suma del cuadrado de los residuos tiene que ser

mínima:

• Es un escalar → sus sumandos también → un escalar

es igual a su traspuesto:

AX L V

TT T T T T T T T T TV V Ax L Ax L x A L Ax L x A Ax x A L L Ax L L

2 2T T T T T T T T Tx A Ax x A L L L x Nx x A L L L



• Como ø tiene que ser mínimo:

• Propiedades de N-1:

– Simétrica

– También denominada Q: matriz de varianzas-covarianzas

– Diagonal principal → Varianzas de las incógnitas

1

1

2 2 0T

T

T

Nx A Lx

Nx A L

x N A L

x N t





• Precisión de las coordenadas del punto visado:

• Siendo, la desviación estándar de la serie:

• Donde:

– n: número de incógnitas

– m: número de ecuaciones

– m-n: redundancia o grados de libertad

1 1

1,1 2,2ˆ ˆ ˆ ˆE NN y N

22ˆ ˆ

T

iVV V

m n m n



• Elipse de error del punto: semieje mayor, menor y

orientación:

22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2

2 2

1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ

2

1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ

2

2 ˆ1arctan

2 ˆ ˆ

E N E N EN

E N E N EN

EN

E N

a

b




Estudio de la eliminación de las visuales

erróneas

• Cálculo MM.CC.: Sólo para obtener coordenadas más probables

• Mejora del cálculo con eliminación de visuales erróneas

• Procedimiento de captación:

– Obtención de los residuos, utilizando coordenadas ajustadas

– Cálculo de la desviación estándar

– Eliminación de visuales cuyo residuo supere:

• En la práctica: Eliminar la que supere la desviación estándar cuando el resultado no es satisfactorio

max 2.5 ˆ al 99% confianzaE


Resolución incluyendo la incógnita

desorientación

• Se está suponiendo conocida la incógnita

desorientación

• Después del ajuste variará debido al nuevo punto

• Se podría introducir como incógnita en el sistema

• Se conoce su valor aproximado como media con las

lecturas a vértices conocidos, pero no su valor exacto

2

ccP P P P P

A A P A P A A A A

rN E E N N E E N

D

tan P P AA

P A

E E

N N

P P P

A A Acal obsV





desorientación

• Introduciendo una corrección a este valor:

• Sustituyendo en la fórmula:

P P

A A AobsL

B

C

B B

A A A

C C

A A A A A A A

L

L

P P P

A A A A AcalV L

2

ccP P P P P P

A P A P A A A A A cal A A A

rV N E E N N E E N L

D



desorientación

• Se introduce una incógnita más por desorientación

• Se incluyen también las visuales a puntos fijos

• Particularizando en la intersección directa:

– Ecuación de la visual de punto fijo a punto

desconocido

– Ecuación de la visual entre puntos fijos

• Ventaja: se podrían analizar los residuos de estas

visuales

2

ccP P P P

A P A P A cal A A A

rV N E E N L

D

P P

A A A AcalV L




Introducción de distancias

• Mejora ostensible de los resultados

• Redundancia en el sistema → Resolución por MM.CC.

• No supone mayor trabajo de campo, excepto la colocación de un prisma receptor en el punto

• Ocasionalmente no es posible por no ser accesible el punto a calcular

• Si las distancias no son grandes, se podrían utilizar instrumentos con medida de distancias sin prisma


Intersección mixta por MM.CC.

• La intersección directa se convierte en una

intersección mixta

• Dos tipos de ecuaciones de observación:

– De dirección directas

– De distancias

2

ccP P P

A A P A P A cal obs

rV N E E N

D





• Forma de la ecuación de distancia:

• Se pretenden obtener las coordenadas ajustadas, no

las distancias

• Relación entre distancias y coordenadas:

• Es no lineal: no puede formar un sistema de

ecuaciones

2 2P

A P A P AD E E N N

Corrección cal obsV D D



• Linealización por desarrollo en serie de Taylor,

despreciando términos de segundo orden

• Se va a derivar respecto de las dos incógnitas

• Forma general:

• Particularizando:

ny u 1ny n u u

2 2 2 2P A

A P P A P AD D E E N N

2 2 2P A P A P A P AD D E E E E N N N N





• Volviendo a la fórmula general:

• Dcal se obtiene de las coordenadas aproximadas de P y

las correspondientes del vértice considerado fijo

• Residuo, términos independientes e incógnitas están

expresados en metros

2 2

2 2

P A P A

P A P A

P P P PP A A A AA P A P A

E E N ND E E N N

D D

E E N ND E E N N

D D D D

A A A

P P cal P obsV D D D



• Si A es un punto fijo:

• Para que todo el sistema tenga las mismas unidades:

se transforma D en valor angular, multiplicando por

rcc/D:

• Quedando:

1

P A P P A PD E E E N N ND

2

cc

P A P P A P

rD E E E N N N

D

2

cccccal obs

P A P P A P

r D DrV E E E N N N

DD




Solución en proyección UTM

• Con observaciones angulares, las coordenadas obtenidas están en el mismo sistema que las de los vértices

• Pero las distancias de observación son distancias geométricas

• Hay que transformarlas en distancias UTM:

– Reducir la distancia geométrica a la superficie de nivel de la estación:

siendo la convergencia de las verticales

– Reducir al elipsoide:

– Reducir a la proyección:

sen senA P

P A

r g r gA PD D V D D V

A

E

r

r

A

D RD

R H

EUTM rD k D


Los pesos en el cálculo por MM.CC.

• Es habitual considerar unas visuales más fiables que

otras, debido a las diferentes distancias entre los

puntos

• Cada observación debe ir acompañada de un peso

• En las ecuaciones de dirección, los pesos pueden

estimarse en función de las distancias

• Es costumbre establecerlos en razón inversa de σa,

que ya contempla las distancias

• En las ecuaciones de distancia, los pesos son

asignados según el σd que también queda influido por

la distancia medida





• Para ponderar, se puede proceder de dos formas:

– Formación de la matriz de pesos: en la diagonal

principal se situará la varianza de cada

observación y el resto de la matriz será nula

– Ponderar las ecuaciones inversamente

proporcional a su desviación típica

• Ambos procedimientos aportan idénticos resultados,

con la ventaja del segundo sobre el primero de no

tener que manejar tantas matrices



• Sistema de ecuaciones de observación sin ponderar

• Sistema de Ecuaciones Normales

• Solución del Sistema

cc m cc ccm

A x L V

21 1

0

tN

T T

mmm

A P A x A P L

2

1

1m mm

x N t





• Sistema de ecuaciones de observación ponderadas

• Sistema de Ecuaciones Normales

• Solución del Sistema

1

1 1 1 1

1

1

m ad adm

A A P

L L P A x L V

V V P

1 1 1 1 0

0

T T

T T

N t

A A x A L

A P P A x A P P L

2

1

1m mm

x N t



• Residuos ponderados

(adimensionales). Desviación

típica “a priori” como

referencia

• Residuos peso unidad, en

metros y sin ningún patrón

de referencia

• Desviación típica media “a

posteriori”

• Desviación típica “a

posteriori” de los parámetros

1 1 1

1 m ad adm

A x L V

1 1ˆT

ad

V V

m n

1ˆEN ii

adm m

N

1

1

1 1 1

1mm

ad adm

VA x L V V





• Se entiende el peso como la inversa de la varianza:

• Se distinguirán:

– Ecuaciones de dirección

Distancias largas ▪ Distancias cortas

– Ecuaciones de distancia


– Ecuaciones de dirección y distancia


21P

21 1

aa

P P

ó→


Pesos en las ecuaciones de dirección

• En este caso, los errores son producidos por errores angulares

• Estos errores obedecen a dos causas:

– El error de dirección σd, muy influyente en visuales cortas

– El error de verticalidad, único a tener en cuenta cuando las

visuales son largas

• Ejemplo: Teodolito de s=100cc y con errores compuestos de

estación y señal de 3 cm:

– Distancia de 500 m:

– Distancia de 5000 m:

3

30 mm38

500 10 391 8.312

cc cc

d cc

acc cc

v

r

s

3

30 mm3.8

5000 10 91 8.312

cc cc

d cc

acc cc

v

r

s




Pesos en las ecuaciones de dirección:

Distancias largas

• Es común admitir en distancias largas un σa establecido a priori para todas las observaciones → Todas las visuales tendrán el mismo peso

• Supondría multiplicar a las matrices por un mismo escalar → No modifica los resultados finales

• Otro modo de introducir pesos: Inversamente proporcional al cuadrado de las distancias:

• Pero en la ecuación de dirección, los coeficientes quedan ya muy afectados por las distancias

• Por tanto, puede establecerse:

– Si el σa es el mismo para todas las visuales, resulta inútil introducirlo como peso

– No parece aconsejable introducir pesos en razón de las distancias

21 1P P

DD ó



Distancias largas

• Ejemplo: El instrumental y la metodología generan una

desviación típica angular igual para todas las visuales σa=5cc

– Visual a 1 D=1000 m



• Se supone i=50g → E N

• Cálculo de los errores para cada visual:

1

1 2

2

2 2

3

3 2

11 1

22 2

33 3

0.0078 m 707 m 450.09D

0.0157 m 1414 m 225.045D

0.0236 m 2121.32 m 150.03D

cc cc

T cc

cc cc

T cc

cc cc

T cc

D EE N r

r

EDE N r

r

D EE N r

r





Distancias largas

• Análisis de proporcionalidad de coeficientes:

• Por lo tanto, no es necesario ponderar las ecuaciones,

puesto que ya lo están (siempre y cuando las

desviaciones típicas sean iguales)

1

2

1

3

2

3

2

1

3

1

3

2

0.0078 225.0450.50 0.50

0.0157 450.09

0.0078 150.0300.33 0.33

0.0236 450.09

0.0157 150.030.66 0.66

0.0236 225.045

T

T

T

T

T

T

E

E

E

E

E

E



Distancias cortas

• En este caso, existirá un σa diferente para cada dirección,

consecuencia del error de dirección:

• Observando las unidades, como antes estaban expresadas en

segundos, al ser divididas por 1/σacc, los nuevos valores son

adimensionales

• Los valores de los residuos también serán adimensionales, así

como la desviación estándar

• Para obtenerlos en segundos:

21 1

aa

P P

ó

1 1adimensional

adimensional

cal obs

cc

V a E P b N P P

VV

P





Distancias cortas

• El instrumental y la metodología generan una desviación típica

angular distinta para todas las visuales

• Cálculo de los errores para cada visual:

s

cc

m

m

Sensibilidad 60

0.0055

0.0052.2

55

depende de cada caso30 Aumentos

ecc

v

cc

p

cc

lcc

l

d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

T

T

m

m

m

0.00722.28 23.48 0.0074

200

0.00711.14 13.38 0.0084

400

0.0075.57 9.27 0.0116

800

cc cc cc

d T

cc cc cc

d

cc cc cc

d

r

r

r

Visual a 1 m

Visual a 2 400 m

Visual a 3 800 m

200



Distancias cortas

• Se supone i=50g → E N

2

2

50 3

2

1 1

2 2

3 3

2

2

2

3

2

1 2250.772D

1125.397 Sin PonderarD

562.698D141.420

282.8431 95.859565.6852D 1

84.1103D

D

cc

c

gi

cc

cc

r

r

Eccr

Er

Er

E N

E N ccE rE N

E

E

2

Ponderando

60.701c





Distancias cortas

• Análisis de la proporcionalidad de los coeficientes y los

errores transversales:

2

1

1

3

2

1

3

3

2

1

2

2

2

3

2

2250.772250.77 2

D 1125.397

2250.771125.397 4

562.698D1.135 1125.397

562.6980.0074 562.6D

0.0084 1.568

0.0116

1.381

cc

cc

T

ccT

T

T

T

T

T

T

T

Er

Er

Er

m

m

m

1

2

3

1

2

2

2

3

2

298

95.85995.8591.139D

84.1103

95.85984.1103 1.579

60.701D

84.11031.386

60.701 60.701D

cc

cc

cc

E r

E r

E r



Distancias cortas

• Conclusión: Las observaciones se ponderarán siempre

• Excepción: Cuando sólo existan observaciones

angulares y la desviación típica sea la misma para

todas las visuales, ya que las observaciones resultarán

ponderadas al formularse




Pesos en las ecuaciones de distancia

• Existen dos factores dominantes en la medida de distancias:

– El parámetro fijo amm del distanciómetro que es constante y

en distancias cortas dominante

– El término bppm del distanciómetro que a largas distancias

presenta un factor de proporcionalidad dominante

• Por ejemplo, un distanciómetro de 5 mm 5 ppm:

– Poligonal o red de 500 m de lado:

– Poligonal o red de 5000 m de lado:

2.5 mm8 mm

5 5 0.5 7.5 mm

j

d

i kma b D

2.5 mm30 mm

5 5 5 30 mm

j

d

i kma b D


Pesos en las ecuaciones de distancia:

Distancias largas

• y estableciendo el valor del peso como:

• Ejemplo a dos distancias diferentes:

– Ecuaciones expresadas en segundos:

– Ecuaciones expresadas en metros:

21 1

dd

P P

ó

1 1 cal obsP P

d d d

D DE NV E N

D D

2

2

5001000 m 1 318.31

1000

1 1000 12000 m 79.57

2 22000

cc cc

P

cc cc

P

r E rD V E E E

D D

r E rD V E E E

D D

5001000 m 1 0.5

1000

1 1000 12000 m 0.25

2 2000 2

P

P

ED V E E E

D

ED V E E E

D





Distancias largas

• Se observa que en las ecuaciones con distancias largas

expresadas en segundos quedan muy afectadas en sus

coeficientes

• En este caso, la fuerza de la segunda ecuación dentro de la

matriz A será la cuarta parte que la primera ecuación, cuando

presenta la misma dirección

• De no haber dado peso, la relación entre las dos hubiera sido de

un medio, lo que resulta lógico ya que una distancia es el doble

de la otra

• Se deduce una conclusión muy importante:

– Si las ecuaciones son originales, deben introducirse pesos

– Si las ecuaciones se expresan en segundos, no deben

introducirse pesos



Distancias cortas

• En este caso, el σd es igual para cualquier medida y la introducción de

pesos también puede hacerse de dos modos diferentes en función de las

unidades que se deseen obtener:

– Planteamiento de la ecuación en metros:

– Planteamiento de la ecuación en segundos:

• Si el peso es igual para todas las observaciones, resulta inútil

introducirlo

500 m 500 m 8 mmdE D

1 500 1125 adimensional

500 0.008P

d

EV E E E

D

2

1cc

P cc

d

r EV E

D

cc ccd

d rD

2

500 1125

500

cc

P cc

dd

r E DV E E E

D r




Pesos en las ecuaciones de dirección y

distancia

• Cuando las ecuaciones estén entremezcladas, existirá

mayor precisión en unas que en otras

• Se podría establecer una relación de proporcionalidad

entre ellas

• Dando peso unidad a las ecuaciones de dirección:

• El peso de la ecuación de distancia será:

1 cc cc cc

a aa

KP K P

cc

ccdd

KP

cc ccdd r

D

adimensional

cc cca a

d ccccd d

P DP

rrD



distancia

• Suponiendo que se observa una dirección con 6.36cc

de σa y que la distancia es de 1000 m. Si esta

distancia se mide con MED cuyo error sea de 5 mm

5 ppm, traduciendo ese σd en σa se tiene:

luego, las observaciones tienen el mismo peso

• Si el peso en la medida de ángulos es la unidad, el de

la medida de distancias será:

3

10 mm6.36

1000 10 mm

cc cc cc

d r

66.36 101

10 mm

cc cc

ad cc cc

d

DP

r r





distancia

• Otro modo de asignar pesos, es transformando las ecuaciones en

adimensionales:

– Ecuaciones de dirección:

– Ecuaciones de distancia:

• Aplicando el ejemplo anterior, para E=500 m, se tienen las dos

ecuaciones:

2adimensional

cc

Pcc

a

E rV E

D

1adimensionalP

d

EV E

D

2

50050.0487

1000 6.36

cc

cc

rV E E

500 150

1000 0.01V E E



distancia

• Conclusión:

– En largas distancias, si las ecuaciones se

expresan en segundos y presentan precisiones

parecidas no sirve de nada introducir pesos

– Cuando se contemplan conjuntamente ecuaciones

de dirección y de distancia y se quieren introducir

pesos, es más cómodo plantear las mismas en

modo adimensional




Determinación de residuos y precisiones

• Si las ecuaciones están en segundos, los residuos y la

desviación típica también estarán en segundos

• Si se tienen ecuaciones adimensionales, al haber

introducido pesos en las ecuaciones, los residuos y la

desviación típica estarán afectados por éstos y

resultarán en modo adimensional

• Es costumbre expresar los residuos con peso unidad,

es decir, sin aplicar pesos

• Los residuos tendrán unas unidades u otras según el

tipo de ecuación:

– segundos en las de dirección

– metros en las de distancia


Determinación de residuos y precisiones

• La desviación estándar está en modo adimensional

para que esas precisiones aparezcan en metros

2

1

1

2

1 2

1dirección

Matriz 1

distancia

Matriz mismas unidades

Matriz

Matriz

cc

cc

a

d

T

T

E r

DA m

E

D

A m

N A A m

N m

1 1

, ,ˆ ˆ ˆ ˆE NN N

tema 1 intersecciones directas mÉtodos...

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