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Tema 1: Introducción al Cálculo de Proposiciones
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Introducción al concepto de cálculo
• Un cálculo es una estructura pura; un sistema de relaciones.
• Un cálculo se compone de lo siguiente:– Un conjunto de elementos primitivos (símbolos
elementales).
– Un conjunto de reglas de formación o de construcción.
– Un conjunto de reglas de transformación.
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Introducción al concepto de cálculo
• Mapa conceptual:
CálculoCálculo
Reglas de formación
Reglas de formación
Reglas de transformación
Reglas de transformación
Elementos PrimitivosElementos Primitivos
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Introducción al concepto de cálculo
• Elementos primitivos:
– Constituyen las piezas a manejar dentro del sistema.
– El conjunto ha de estar definido de un modo efectivo.
• Enumeración exhaustiva.
• Definición a través de una propiedad lo suficientemente precisa.
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Introducción al concepto de cálculo
• Reglas de formación:– Establecen cuáles son las combinaciones correctas
posibles de estos símbolos elementales.
– Proporcionan una definición efectiva de la noción de “expresión bien formada de cálculo”.
– En los lenguajes naturales no están formuladas (hasta que se establece una gramática) y además son defectivas.
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Introducción al concepto de cálculo
• Reglas de transformación:
– Aplicándolas, podemos transformar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación que resultará igualmente bien construida.
– El concepto de transformación ha de quedar definido de manera efectiva.
¿“el niño juega” = “juega el niño” = “juega niño el”?
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Introducción al concepto de cálculo
• Símil ajedrez:
– Símbolos primitivos: piezas del juego.
– Reglas de formación: instrucciones sobre las posiciones que pueden ocupar las piezas.
– Reglas de transformación: reglas sobre los movimientos que se pueden efectuar con las piezas.
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Introducción al concepto de cálculo• Consideraciones:
– Los cálculos se caracterizan porque no hacen referencia a nada ajeno a ellos.
– No atenerse a las reglas significa simplemente dejar de operar con ese determinado cálculo.
– Lo esencial de un cálculo es su carácter formal (naturaleza puramente sintáctica ).
– Acerca de un cálculo sólo se pueden hacer consideraciones de pura sintaxis
• “La expresión ‘X’ está mal formada”, • “La transformación de la expresión ‘X’ en la expresión ‘Y’ es
correcta”, etc.
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Introducción al concepto de cálculo
• Consideraciones (y II):– Un cálculo no es un lenguaje, en la medida que no es un
medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico.
– Sus elementos no son signos, sino entidades opacas que manipulamos de acuerdo a una serie de reglas (carecen de significado).
– Podemos transformar un cálculo en un lenguaje interpretando sus símbolos (dotando a sus símbolos de un significado).
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Ejemplo de cálculo
• Símbolos primitivos:– A) [etc..]
Triángulos con un número cualquiera de puntos en su interior
– B) [etc..]
Círculos con un número cualquiera de puntos en su interior
– C) Una operación, que escribiremos como ζ , mediante la cual ponemos en relación los elementos de A con los de B o viceversa.
Fuente: Deaño, A. “Introducción a la lógica formal”
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Ejemplo de cálculo• Reglas de formación:
– RF1: Un triángulo solo con un número cualquiera de puntos en su interior es una expresión bien formada del cálculo
– RF2: Un círculo solo con un número cualquiera de puntos en su interior es una expresión bien formada del cálculo
– RF3: Una expresión compuesta por un símbolo cualquiera de tipo A, seguido del símbolo ‘ζ ’ y de una expresión cualquiera de tipo B es una expresión bien formada
– RF4: Una expresión compuesta por un símbolo cualquiera de tipo B seguida del símbolo ‘ζ ’ y de un
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Ejemplo de cálculo
• Reglas de transformación:– RT1 (conmutativa?)
• RT1 a:– Dada una fórmula compuesta por un símbolo determinado
de tipo A, seguido del símbolo ‘ζ ’ y de un símbolo determinado de tipo B, podemos transformarla en otra fórmula compuesta por este símbolo determinado de tipo B seguido del símbolo ‘ζ ’ y de ese símbolo determinado por A
• RT1 b:– Dada una fórmula compuesta por un símbolo determinado
de tipo B, seguido del símbolo ‘ζ ’ y de un símbolo determinado de tipo A, podemos transformarla en otra fórmula compuesta por este símbolo determinado de tipo
id d l b l d b l d i d
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Ejemplo de cálculo
• Reglas de transformación (y II):– RT2
• RT2 a:– Dada una fórmula compuesta por un símbolo determinado
de tipo A, seguido del símbolo ‘ζ’ y de un símbolo determinado de tipo B, se puede pasar a otra fórmula compuesta por ese símbolo determinado de tipo A, seguido del símbolo ‘ζ’ y de otro símbolo cualquiera de tipo B.
• RT2 b:– Dada una fórmula compuesta por un símbolo determinado
de tipo B, seguido del símbolo ‘ζ’ y de un símbolo determinado de tipo A, se puede pasar a otra fórmula compuesta por ese símbolo determinado de tipo B,
id d l b l d b l d
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Consideraciones sobre cálculos
• Operar con un cálculo no es otra cosa que manipular un conjunto de entidades según unas reglas establecidas explícitamente de antemano
• Es posible transformar un cálculo en un lenguaje a través de la interpretación de sus símbolos
• Se trata de un lenguaje formalizado, un lenguaje con estructura de cálculo, un lenguaje en el que no es sólo artificial el vocabulario, sino también la sintaxis
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Consideraciones sobre cálculos
• Aunque en la práctica los cálculos se construyen a menudo pensando en sus posibles aplicaciones, desde el punto de vista teórico, son independientes del lenguaje o lenguajes formalizados que se puedan obtener interpretándolos.
• De entre todos los cálculos posibles, hay algunos que por su especial estructura y su buen rendimiento son particularmente aptos para ser aplicados a un ámbito específico de problemas.
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Consideraciones sobre cálculos
La lógica se puede entender como
– Un conjunto de cálculos
– La teoría de construcción de cálculos
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Introducción al cálculo proposicional
• Nuestras posibilidades de uso del lenguaje son muy amplias
– Hacer preguntas, elevar súplicas, para dar órdenes, insultar, expresar deseos… y tambien para hacer afirmaciones acerca de los objetos (enunciar hechos o describir situaciones).
• Las preguntas, las órdenes o las súplicas no tienen valor de verdad. Sí lo tienen las afirmaciones que hacemos acerca del mundo.
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Introducción al cálculo proposicional
• La lógica actual se ocupa principalmente de este tipo de discurso caracterizado por que sus enunciados tienen forzosamente un valor de verdad
• A este tipo de discurso se le llama también enunciativo, declarativo, representativo, indicativo, descriptivo, asertórico, aseverativo, etc.
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Introducción al cálculo proposicional• El conocimiento tiene tienen su reflejo en frases de tipo
declarativo
• El lenguaje natural puede reducirse a símbolos en dos niveles según el grado de complejidad del análisis
– Cálculo proposicional: representación del lenguaje usual tomando como elemento básico una representación matemática de las frases declarativas simples (proposiciones)
– Cálculo de predicados: representación del lenguaje tomando como base los componentes de algunos tipos de proposición(términos y predicados)
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Introducción al cálculo proposicional
• El cálculo base sobre el que se apoya la lógica es el cálculo de proposiciones.
• Es una lógica que simboliza y describe razonamientos basados en enunciados declarativos
• A los enunciados declarativos se les denomina proposiciones
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Introducción al cálculo proposicional
• En la lógica de proposiciones, los enunciados declarativos pueden ser verdaderos o falsos, pero no las dos cosas a la vez
• Al hablar de “cálculo de predicados” ya no estamos, en rigor, hablando de un puro cálculo, sino de un cálculo provisto de una determinada interpretación
• Trata sobre el análisis lógico, dispuesto como un cálculo, de las relaciones de inferencia entre proposiciones
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Introducción al cálculo proposicional
• Mediante esta representación, el lenguaje estáformado por:
– Enunciados simples (proposiciones atómicas): unidad mínima del lenguaje con una información.
– Conectivas: elementos del lenguaje que permiten construir frases nuevas a partir de otras (relacionan proposiciones).
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Proposiciones atómicas
• Hay tres tipos:
– De acción: sujeto no determinado.
– De atribución: atribuyen propiedades a sujetos.
– De relación: establecen relaciones entre sujetos.
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Proposiciones atómicas
• En cálculo proposicional los sujetos no tienen información propia (distinto cálculo predicados)
• Las proposiciones no se pueden dividir en elementos con información propia
• Las proposiciones se simbolizan mediante letras de variables, normalmente, p,q,r,s..
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Conectivas
• Elementos del lenguaje que permiten construir una nueva frase mediante dos proposiciones, cuyo contenido de información es el de cada frase aislada pero añadiendo la característica de simultaneidad a ambas
• Hay cuatro tipos:– Negación (~)– Conjunción (∧)– Disyunción (∨)– Condicional (→)
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Conectivas
• Negación (~)
– Permite construir una frase a partir de otra
– “No p”
– “Es falso que p”
– “No es cierto que p”
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Conectivas
• Conjunción (∧)
– Permite unir dos frases
– “p y q”
– “p pero q”
– “p sin embargo q”
– “p no obstante q”
– “p a pesar de q”
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Conectivas
• Disyunción (∨)
– “O p o q o ambas cosas”
– “Al menos p o q”
– “Como mínimo p o q”
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Conectivas
• Condicional (→)– Representa la relación causa/efecto– “Si p entonces q”– “p sólo si q”– “q si p”– “q necesario para p”– “p suficientemente para q”– “No p a menos que q”– “Solo si q entonces p”
– p↔q es una forma apreciada (p → q)∧ (q→p)
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Resumen conectivas (otras notaciones)
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Conectivas
• Tablas de verdad:
Como crear TV para 3 variables
Ejemplo TV para conectivas
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Sintaxis
• Las frases del lenguaje generalmente son más complejas aunque siempre se pueden descomponer en enunciados simples unidos por conectivas
• Para escribir estas frases complejas mediante el cálculo proposicional, existen unas reglas de escritura (sintaxis)
• Dichas reglas están inspiradas en las reglas del lenguaje natural (teoremas)
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Sintaxis
• Se dice que una frase o fórmula es sintácticamente correcta (fsc) si se forma mediante las siguientes reglas:
– Las proposiciones p,q,r… son fsc
– Si A y B son fsc, también lo son
• ~A, ~B, A∧B, A∨B, A→B
– Sólo son fsc las que cumplen las condiciones anteriores
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Sintaxis – Con todos sus paréntesis (y correctamente situados) a
cada fórmula le corresponde un único árbol sintáctico. Y a cada árbol una única fórmula.
– Si se omiten los paréntesis, a una fórmula le pueden corresponder varios árboles: resulta ambigua. Por ejemplo,
– p ∧q ∨ ~ p
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Sintaxis • Una conectiva afecta a la proposición que le sigue o al
conjunto de proposiciones y conectivas inmediata a ellas entre paréntesis
• Es posible la eliminación de paréntesis. Para ello se define la siguiente jerarquía
– Nivel 1 ~ ,⌐ (~p) ∨ (~q) = ~p ∨ ~q
– Nivel 2 ∧ ∨ (p ∧ q) → (r ∨ s) = p ∧ q → r ∨ s
– Nivel 3 →↔ [(r ∧ s) ∨ p] → [(~p) ∧ q] = (r ∧ s) ∨ p → ~p ∧ q
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Conceptos: • Suponga que son ciertas todas las siguientes expresiones:
– Si (<encendido> y <configurado> y <conectado>) entonces <accedo servidor>
– Si <luce piloto> entonces <encendido>
– Si <icono parpadea> entonces <conectado>
– <luce piloto> e <icono parpadea> y no <accedo servidor>
• Satisfacibilidad
• Consecuencia ¿Configurado?
• Equivalencia
• Validez
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Una vez en este punto…
• Hasta este momento nos hemos limitado a simbolizar (representar por medio de símbolos una serie de nociones) pero no hemos formalizado la estructura deductiva.
• Es necesario representar matemáticamente los procesos de razonamiento mediante los cuales se obtienen conclusiones a partir de premisas
• Cubriremos un método fundamental.– Teoría de la Demostración (deducción axiomática)– Supuestos (caso particular TD)
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Formalización: ejemplos
• “Cuando un no tiene imaginación, la muerte es poca cosa, cuando uno la tiene, la muerte es demasiado.”
• “If p then q else r”
• “Si una sustancia orgánica se descompone, sus componentes se transforman en abono y fertilizan el suelo.”