tema 1 matematicas

243101 Matemáticas IGrado en ingeniería en tecnologías de la

telecomunicaciónApuntes de clase

Semestre de otoño del curso 2015-2016

Profesores:Berta García Celayeta (teoría y problemas)

Andrés Arrarás Ventura (problemas)

Área de Matemática aplicadaDepartamento de Ingeniería matemática e informática

Universidad Pública de Navarra

1 de septiembre de 2015

Índice general

1. Numeros reales, sucesiones y series numéricas 11.1. El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El método de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2. Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.5. Límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Series de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.2. Algunas series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3. Resultados generales sobre convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.4. Series de términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.5. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.6. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6. Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1. La raíz cuadrada en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.2. Producto cartesiano, aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.3. La fórmula ciclotómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.4. El factorial y los números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . 381.6.5. Algunas fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III

Tema 1

Numeros reales, sucesiones y series

numericas

Vamos a dedicar 8 horas de clase a este capítulo. Debes resolver por tu cuenta losejercicios que no hayan sido resueltos en clase. No todos los ejercicios tienen la mismadificultad. Para orientar tu trabajo, se han etiquetado Los ejercicios por niveles:

à nivel 0: ejercicios de repaso de conceptos que se suponen conocidos,

à niveles 1 a 3: grado de dificultad,

à nivel extra: para ampliar conocimientos (no necesariamente son más difíciles).

También es recomendable consultar [1], [2], [3].

1.1. El conjunto de los números reales

Podemos construir R de forma intuitiva partiendo de un conjunto de números muysencillo, el conjunto de los números naturales, que responde a la idea primitiva decontar.

Definición 1.1.1. El conjunto de los números naturales es

N = {1,2,3, . . .} .

Nota 1.1.2. Algunos autores consideran el cero como elemento de N. En estos apuntes,cuando queramos incluir el cero pondremos N0 = N ∪ {0}.

Proposición 1.1.3. Si dotamos al conjunto N de las operaciones internas suma (+) yproducto (⋅) habituales, entonces la terna (N,+, ⋅) satisface las siguientes propiedades:

1

2 Numeros reales, sucesiones y series numéricas

1. Propiedad conmutativa para la suma y el producto:

a + b = b + a, ∀a, b ∈ N,a ⋅ b = b ⋅ a, ∀a, b ∈ N.

2. Propiedad asociativa para la suma y el producto:

(a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ N,(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c), ∀a, b, c ∈ N.

3. Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, ∀a, b, c ∈ N.

4. En N0, existencia de elemento neutro para la suma:

∃0 ∈ N0 tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ N0.

5. Existencia de elemento neutro para el producto:

∃1 ∈ N tal que 1 ≠ 0 y a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a, ∀a ∈ N.

6. Axiomas de orden. En el cojunto N, hay definida una relación de orden total,denotada ≤, es decir un relación que verifica las siguientes propiedades:

(a) Reflexividad: a ≤ a∀a ∈ N.(b) Antisimetría: ∀a, b ∈ N tales que a ≤ b y b ≤ a, se tiene que a = b.(c) Transitividad: ∀a, b, c ∈ N tales que a ≤ b y b ≤ c se tiene que a ≤ c.(d) Totalidad: ∀a, b ∈ N se tiene que a ≤ b ó b ≤ a.

7. Axiomas de compatibilidad.

(a) Compatibilidad de la relación de orden total con la operación suma: ∀a, b, c ∈N se tiene que si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c.

(b) Compatibilidad de la relación de orden total con la operación producto:∀a, b, c ∈ N se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Nota 1.1.4. A pesar de estas propiedades, el conjunto de los números naturales presentabastantes carencias. Si bien ciertas ecuaciones como x+1 = 3 tienen solución en N, otrascomo x + 5 = 3 no tienen. La primera ampliación del conjunto N nos lleva a considerarlos números enteros.

Semestre de primavera, curso 2014/2015

1.1. El conjunto de los números reales 3

Definición 1.1.5. El conjunto de los números enteros es

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .} .

La letra Z es la inicial de Zahl ("número" en alemán). Si dotamos a este conjunto de lasoperaciones internas suma y producto anteriores, entonces la terna (Z,+, ⋅) satisfacelas propiedades (1-6) y además:

8. Existencia de elemento opuesto (para la suma):

∀a ∈ Z,∃b ∈ Z tal que a + b = b + a = 0.

(b se denota habitualmente −a).

9. En cuanto al axioma 7, la primera parte queda igual, pero la segunda parteno: vamos a utilizar la siguiente notación: a ≥ b significa b ≤ a. Con esto, lacompatibilidad de la relación de orden total con la operación producto, cambiarespecto de los naturales quedando ahora:

∀a, b, c ∈ Z con c ≥ 0 se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Nota 1.1.6. Para el caso a, b, c ∈ Z con c ≤ 0 se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≥ b ⋅ c.Nota 1.1.7. La ecuación x + 5 = 3 sí tiene solución en Z: x = −2. Pero sigue habiendoecuaciones, como 2x = 1, que no la tienen.

Definición 1.1.8. El conjunto de los números racionales es

Q = { a

b∣ a, b ∈ Z , b ≠ 0 } .

Cada cociente a

bde números enteros se denomina fracción. Dos fracciones a

by c

dse

dicen equivalentes si a ⋅d = b ⋅c. Por ejemplo 23 y 10

15 son equivalentes porque 2 ⋅15 = 3 ⋅10.Todas las fracciones equivalentes a una dada corresponden al mismo número racional.De todas ellas, se llama representación irreducible o canónica a aquella de la forma a

bque satisface mcd{a, b} = 1. En tal caso se dice que a y b son primos entre sí.

Extendiendo adecuadamente las operaciones internas suma y producto anteriores alconjunto de los números racionales, se tiene que la terna (Q,+, ⋅) satisface, además delas propiedades (1-9), la siguiente propiedad:

10. Existencia de elemento recíproco o inverso (respecto al producto):

∀q ∈ Q tal que q ≠ 0,∃r ∈ Q tal que q ⋅ r = r ⋅ q = 1.

UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación


Nota 1.1.9. Observa que la ecuación 2x = 1 ya puede resolverse en el conjunto de losnúmeros racionales: x = 1/2 ∈ Q. Este conjunto, con todas sus propiedades, todavíapresenta algunas carencias. Sigue habiendo ecuaciones cuyas soluciones no están en Q,como, por ejemplo, x2 − 2 = 0 .

Proposición 1.1.10. Las soluciones de la ecuación x2 − 2 = 0 no son racionales.

−√

2 /∈ Q,√

2 /∈ Q

Acabamos de ver que hay números que no son racionales, entre ellos las soluciones de laecuación x2 − 2 = 0 . A continuación definimos un nuevo conjunto de números entre losque se encuentran las soluciones de esta ecuación. Dicho conjunto no es una extensiónde Q, sino su complemento. Recordemos la propiedad 17 de los números racionales,que decía que todo número racional puede escribirse en forma decimal con un númerode dígitos finito o infinito periódico.

Definición 1.1.11. El conjunto de los números irracionales es

I = {números que en su forma decimal tienen un númeroinfinito de cifras no periódicas} .

De la definición se deduce la imposibilidad de escribir exactamente estos números enforma decimal. En la figura 1.1 mostramos algunos de ellos.

√2 ∈ I1

1

1

π ∈ I

(1 + 1n)n

Ð→ e ∈ I

Figura 1.1. Algunos irracionales

En la práctica se suelen utilizar aproximaciones racionales de estos números. Para losirracionales anteriores mostramos las siguientes aproximaciones:

√2 ≃ 1.414 ,π ≃ 3.14159265359 ,e ≃ 2.718281828459045235360287471352662497757 .

En el primer caso, la aproximación se ha hecho hasta las milésimas; en los otros doscasos, se ha cometido un error bastante menor.



Definición 1.1.12. El conjunto de los números reales es

R = Q ∪ I .

La unión anterior es disjunta, es decir, Q ∩ I = ∅.

Nota 1.1.13. Entre los conjuntos de números definidos en esta sección se verifican lossiguientes contenidos

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R , (1.1.a)I ⊂ R . (1.1.b)

Los números reales se representan en una recta, la recta real. Se fija un origen (elementoneutro para la suma) y la unidad (elemento neutro para el producto), y a partir de ellase sitúan los naturales y los enteros.

0 1

2 3 4 5-1-2-3-4-5 . . .. . .

R

Para representar un número racional p/q, dividimos la unidad en q partes iguales y acontinuación tomamos p trozos.

0 1

138

↓

Algunos números irracionales se puedenrepresentar fácilmente como la hipotenusade ciertos triángulos rectángulos.

0 1 2

√5

√5

La terna (R,+, ⋅) verifica las propiedades 1-10. El elemento inverso de x ∈ R se denotahabitualmente x−1 o 1

x.

Para enunciar el axioma del supremo es necesario dar dos definiciones previas, y esconveniente introducir dos nuevos símbolos:

(Notación) La expresión a < b significa que a ≤ b y que además a ≠ b. La expresióna > b significa que a ≥ b y que además a ≠ b.



(Definición) Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado superiormente si ∃K ∈ R talque x ≤K ∀x ∈ S. Se dice además que K es una cota superior de S.

(Definición) Sea S ⊂ R y s ∈ R. Se dice que s es el supremo de S y se denotas = supS si

ß s es una cota superior de S.ß ∀ε > 0∃x ∈ S tal que x > s − ε. (Observemos que podemos interpretar lo

anterior como “s − ε no es cota superior de S, luego s es la menor de lascotas superiores de S”).

11. Axioma del supremo: Sea S ⊂ R, S ≠ ∅ y acotado superiormente. Entonces existeel supremo de S.

Nota 1.1.14. Observemos que de la definición se deduce que el supremo de un conjunto,si existe, es único.

Definición 1.1.15. Sea S ⊂ R. Se dice que M ∈ R es el máximo de S y se denotaM = maxS si

1. M es una cota superior de S

2. M ∈ S

Proposición 1.1.16. Sea S ⊂ R. Si existe M = maxS, entonces M = supS.

Definición 1.1.17. Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado inferiormente si ∃l ∈ R talque x ≥ l∀x ∈ S. Se dice además que l es una cota inferior de S.

Definición 1.1.18. Sean S ⊂ R y c ∈ R. Se dice que c es el ínfimo de S y se denotac = infS si

1. c es una cota inferior de S.

2. ∀ε > 0∃x ∈ S tal que x < c + ε. (Observemos que podemos interpretar lo anteriorcomo “c+ ε no es cota inferior de S, luego c es la mayor de las cotas inferiores deS”).

Nota 1.1.19. Observemos que de la definición se deduce que el ínfimo de un conjunto,si existe, es único.

Definición 1.1.20. Sea S ⊂ R. Se dice que m ∈ R es el mínimo de S y se denotam = mınS si



1. m es una cota inferior de S,

2. m ∈ S.

Proposición 1.1.21. Sea S ⊂ R. Si existe m = mınS, entonces m = infS.

Proposición 1.1.22. Sea S ⊂ R, S ≠ ∅ y acotado inferiormente. Entonces existe elínfimo de S.

Definición 1.1.23. Algunos subconjuntos notables de R que aparecerán con frecuenciaa lo largo del curso son los intervalos. Dados a, b ∈ R , con a < b, definimos los siguientesintervalos:

(a, b) = { x ∈ R ∣ a < x < b } , (a,+∞) = { x ∈ R ∣ a < x } ,

[a, b] = { x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b } , [a,+∞) = { x ∈ R ∣ a ≤ x } ,

(a, b] = { x ∈ R ∣ a < x ≤ b } , (−∞, b] = { x ∈ R ∣ x ≤ b } ,

[a, b) = { x ∈ R ∣ a ≤ x < b } , (−∞, b) = { x ∈ R ∣ x < b } .

Los intervalos (a, b) y [a, b] se llaman, respectivamente, intervalo abierto e intervalocerrado. Los intervalos (a, b] y [a, b) se llaman intervalos semiabiertos o semicerrados.

Ejemplo 1.1.24. Consideramos el conjunto A = (a, b]. Se tiene que maxA = supA = b,ınfA = a y no existe mınA.

Ejemplo 1.1.25. Consideramos el conjunto A = [a, b). Se tiene que supA = b, no existemaxA, y mınA = ınfA = a.

Ejercicio 1.1.26. Para el resto de intervalos, estudiar su acotación y la existencia desupremo, máximo, ínfimo, mínimo.

Proposición 1.1.27. Propiedades de los números reales: sean x, y, z ∈ Rde las propie-dades 1-10, se deduce:

1. Si x + y = z, entonces y = −x + z

2. Si x ⋅ y = z y x ≠ 0, entonces y = x−1z

3. Si x ⋅ y = x ⋅ z y x ≠ 0, entonces y = z

4. x ⋅ 0 = 0



5. Si x ⋅ y = 0, entonces x = 0 ó y = 0

6. (−1)x = −x

7. −(x + y) = −x − y

8. −(−x) = x

9. (−1) ⋅ (−1) = 1

10. x ⋅ (−y) = (−x) ⋅ y = −(x ⋅ y)

11. (−x) ⋅ (−y) = x ⋅ y

12. Si x ≠ 0, entonces −x ≠ 0, x−1 ≠ 0, (−x)−1 = −x−1 y (x−1)−1 = x

13. x ≥ 0 si y sólo si −x ≤ 0

14. x2 ≥ 0

15. 1 ≥ 0

16. Entre dos números racionales cualesquiera r1 y r2 existe siempre otro númeroracional r3.

17. Todo número racional puede escribirse en forma decimal con un número de dígitosfinito o infinito periódico.

18. Todo número decimal con un número de dígitos finito o infinito periódico, admiteuna expresión de la forma p

qcon p, q ∈ Z y q ≠ 0, es decir, es un número racional.

Nota 1.1.28. En estos apuntes, si x > 0 e y ∈ R, definiremos xy ∶= ey logx, donde logrepresenta el logaritmo neperiano.

Definición 1.1.29. Dado x ∈ R, se define la parte entera de xcomo el mayor númeroentero de entre los que son menores o iguales que x. Se denota [x].

Definición 1.1.30. Dado x ∈ R, se define el valor absoluto de x como

∣ x ∣=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x si x ≥ 0−x si x < 0

Proposición 1.1.31. Propiedades del valor absoluto: para todo x, y ∈ R, se tiene

1. ∣ x ∣≥ 0,


1.2. El método de inducción 9

2. ∣ x ∣= 0 ⇔ x = 0,

3. ∣ x + y ∣≤∣ x ∣ + ∣ y ∣,

4. ∣ xy ∣=∣ x ∣ ⋅ ∣ y ∣,

5.√x2 =∣ x ∣.

1.2. El método de inducción

Una de las propiedades más importantes de los números naturales es el principio deiducción matemática. Supongamos que P (m) significa que la propiedad P se cumplepara cierto número natural m. El principio de inducción matemática afirma que P (n)es cierta ∀n ∈ N∗ siempre que

1. P (1) es cierta.

2. Si P (k) es cierta, entonces P (k + 1) también lo es.

1.3. Números complejos

La ecuación x2 − 2 = 0 ya puede resolverse en el conjunto de los números reales, tienedos soluciones x1 = −

√2 ∈ R y x2 =

√2 ∈ R . Sin embargo todavía hay ecuaciones cuyas

soluciones no son reales, por ejemplo

x2 + 1 = 0 .

Para resolver este problema, se define un nuevo conjunto de números que extiende aR: el conjunto de los números complejos.

En secciones anteriores hemos estudiado el conjunto R y sus propiedades. Hemos vistoque tiene más propiedades que sus subconjuntos N, Z y Q. Sin embargo, tiene unacarencia importante y es que no toda ecuación polinómica con coeficientes en R tienesoluciones reales. El ejemplo más sencillo es la ecuación x2 + 1 = 0. Esto nos motiva abuscar un superconjunto de R que, verifique la deseada propiedad de que toda ecuaciónpolinómica con coeficientes en dicho superconjunto tenga solución en él.

Definición 1.3.1. Definimos el conjunto de los números complejos como

C = {(x1, x2) ∣ x1, x2 ∈ R}



en el que se definen las operaciones

+ ∶ C ×C → C

((x1, x2), (y1, y2)) ↦ (x1 + y1, x2 + y2)

y

⋅ ∶ C ×C → C

((x1, x2), (y1, y2)) ↦ (x1y1 − x2y2, x1y2 + x2y1)

Teorema 1.3.2. La terna (C,+, ⋅) tiene las propiedades (1-5), 8,10,.

Demostración.- Ejercicio.

Teorema 1.3.3. (C,+, ⋅) es algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación polinó-mica con coeficientes en C tiene solución en C.

Teorema 1.3.4. En (C,+, ⋅) no existe una relación de orden total compatible con lasoperaciones.

Nota 1.3.5. Si consideramos el subconjunto de C:

A ∶= {(x1, x2) ∈ C ∣ x2 = 0}

podemos identificar A con R, en el sentido de que las operaciones + y ⋅ definidas en Cextienden las conocidas para R. A partir de ahora, podremos pues, escribir R ⊂ C.

Nota 1.3.6. Del teorema 1.3.3 y de la nota 1.3.5 se deduce que toda ecuación polifónicacon coeficientes en R tiene solución en C.

Definición 1.3.7. El número complejo (0,1) se llama unidad imaginaria y suele de-notarse por i.

Nota 1.3.8. Tenemos que i2 = −1.

Nota 1.3.9. Es habitual escribir el número complejo (x, y) como x + iy.

Definición 1.3.10. Dado z = x + iy ∈ C se define el módulo de z como el número real

∣ z ∣∶=√x2 + y2.

Nota 1.3.11. Si z ∈ C es, en particular, un número real, entonces el módulo de z coincidecon el valor absoluto de z.


1.3. Números complejos 11

Definición 1.3.12. Dado z = x + iy ∈ C ∖ {0} se define el argumento principal de Zcomo α ∈ (−π,π] que verifica

1. x =∣ z ∣ cosα,

2. y =∣ z ∣ senα.

α suele denotarse Argz.

Proposición 1.3.13. Dados z = x + iy, z1, z2 ∈ C, tenemos las siguientes propiedades

1. ∣ z ∣≥ 0.

2. ∣ z ∣= 0⇔ z = 0.

3. ∣ z1z2 ∣=∣ z1 ∣ ⋅ ∣ z2 ∣.

4. ∣ z1 + z2 ∣≤∣ z1 ∣ + ∣ z2 ∣.

Nota 1.3.14. El conjunto C suele representarse en el plano R2.

Definición 1.3.15. Dado z = x + iy ∈ C se define

ez ∶= ex(cos y + iseny).

Nota 1.3.16. De la definición anterior se deduce la fórmula de Euler:

eiπ + 1 = 0,

que, como puedes ver, es muy popular

http://www.fotomat.es/ecuacion-de-euler/

Proposición 1.3.17. Dados z, z1, z2 ∈ C, se tienen las siguientes propiedades:

1. ez1ez2 = ez1+z2.

2. ez ≠ 0.

3. Si x ∈ R, entonces ∣ eix ∣= 1.

4. ez = 1⇔ z = i2nπ con n ∈ Z.

5. ez1 = ez2 ⇔ z1 − z2 = i2nπ con n ∈ Z.


http://www.fotomat.es/ecuacion-de-euler/


Proposición 1.3.18. Sea 0 ≠ z ∈ C, entonces z se puede expresar en la forma z = reiαcon r =∣ z ∣ y α = Argz + 2nπ con n ∈ Z.

Nota 1.3.19. Debido a la proposición anterior, si z1, z2 ∈ C con z1z2 ≠ 0, podemoscalcular de manera más sencilla z1z2 y z1

z2ya que

1. (r1eiα1)(r2eiα2) = (r1r2)ei(α1+α2).

2. r1eiα1

r2eiα2= r1

r2ei(α1−α2).

Proposición 1.3.20. Sean m,n ∈ Z y z, z1, z2 ∈ C, entonces

1. znzm = zn+m.

2. (z1z2)n = zn1 zn2 .

Teorema 1.3.21. Sea 0 ≠ z ∈ C y n ∈ N, entonces existen n elementos en C: z0, . . . , zn−1

tales que znk = z , k = 0, . . . , n − 1. Además

zk =∣ z ∣ 1n eiαk

conαk =

Argzn

+ 2kπn

, k = 0, . . . , n − 1.

1.4. Sucesiones de números reales

1.4.1. Definiciones y notación

Definición 1.4.1. Una sucesión de números reales es una aplicación de N en R

a ∶ N Ð→ R

n ↦ a(n) ∶= an.

Es decir, a cada número natural n, se le hace corresponder un único número real an .

Abusando de lenguaje, también suele llamarse sucesión a la imagen de la aplicación a,es decir, al conjunto formado por todas las imágenes

(an)n∈N = {a0, a1, a2, . . . , an, . . .} .


1.4. Sucesiones de números reales 13

A la imagen an de un natural n arbitrario se le llama término general de la sucesión.A los elementos del conjunto (an)n∈N se les llama términos de la sucesión.

Una sucesión puede venir dada de dos formas diferentes, bien mediante su términogeneral an, o bien por recurrencia. En el segundo caso cada término se obtine a partirdel anterior (o anteriores) mediante una fórmula recurrente.

Ejemplo 1.4.2. La sucesiones siguientes vienen dadas mediante el término general

an =3 − 2nn

, n ∈ N ; bn =12n n ∈ N0 ; cn = (1 + 1

n)n

, n ∈ N .

Estas otras, en cambio, se determinan por recurrencia

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x0 = 4

xn =12 (xn−1 +

13xn−1

),

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y0 = 1

yn+1 = 2 yn,

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

z0 = 1

z1 = 1

zn = zn−2 + zn−1

.

Cuando una sucesión viene dada por recurrencia, para obtener el término n-ésimopreviamente hay que obtener todos los anteriores.

La sucesión zn fue estudiada por primera vez por Fibonacci de Pisa (1170-1250). Comoejercicio obtén los 5 primeros términos de esta sucesión.

1.4.2. Monotonía

Definición 1.4.3. Una sucesión de números reales (an)n∈N se dice

à creciente si an ≤ an+1 ∀n ∈ N .

à decreciente si an ≥ an+1 ∀n ∈ N .

à estrictamente creciente si an < an+1 ∀n ∈ N .

à estrictamente decreciente si an > an+1 ∀n ∈ N .

Definición 1.4.4. Una sucesión de números reales se llama monótona si es crecienteo decreciente. Si la sucesión es estrictamente creciente o decreciente, diremos que lasucesión es estrictamente monótona.



Para estudiar la monotonía de una sucesión debemos comparar dos términos consecu-tivos cualesquiera, por ejemplo an y an+1.Si

an+1 − an

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

≥ 0 ⇒ Creciente> 0 ⇒ Estrictamente creciente≤ 0 ⇒ Decreciente< 0 ⇒ Estrictamente decreciente

Sii los términos de la sucesión son estrictamente positivos, podemos estudiar el cocientede dos términos consecutivos. Si

an+1

an

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

≥ 1 ⇒ Creciente> 1 ⇒ Estrictamente creciente≤ 1 ⇒ Decreciente< 1 ⇒ Estrictamente decreciente

Ejemplo 1.4.5. Estudiemos la monotonía de algunas de las sucesiones del ejemplo1.4.2.

an+1 − an =(3 − 2(n + 1))n − (3 − 2n)(n + 1)

n(n + 1) = −3n(n + 1) < 0 , ∀n ∈ N

y por tanto la sucesión (an)n∈N es estríctamente monótona (decreciente). Para la suce-sión yn observamos que todos los términos son estrictamente positivos.

yn+1

yn= 2 > 1 , ∀n ∈ N

y por tanto la sucesión (yn)n∈N es estríctamente monótona (creciente).

Ejercicio 1.4.6. Estudia la monotonía del resto de sucesiones del ejemplo 1.4.2.

1.4.3. Acotación

Definición 1.4.7. Se dice que una sucesión de números reales (an)n∈N está

à acotada superiormente si

∃K ∈ R tal que an ≤K ∀n ∈ N .

K se llama cota superior de la sucesión (an)n∈N.



à acotada inferiormente si

∃l ∈ R tal que l ≤ an ∀n ∈ N .

l se llama cota inferior de la sucesión (an)n∈N.

à acotada si∃C ∈ R tal que ∣an∣ ≤ C ∀n ∈ N .

Proposición 1.4.8. Una sucesión de números reales (an)n∈N está acotada si y sólo siestá acotada superior e inferiormente.

Ejemplo 1.4.9. Veamos que la sucesión (an)n∈N del ejemplo 1.4.2 está acotada. Segúnla proposición anterior bastará con encontrar una cota superior y otra inferior. En elejemplo 1.4.5 hemos visto que esta sucesión es estrictamente decreciente, por tanto a1

es una cota superior (además, la menor de todas). Veamos si l = 0 es una cota inferior :

0 ≤ 3 − 2nn

⇔ 0 ≤ 3 − 2n ⇔ 2n ≤ 3 ⇔ n ≤ 32 .

La desigualdad n ≤ 3/2 no es válida para todo número natural (de hecho sólo se verificapara n = 1), por tanto k2 = 0 no es una cota inferior. Probemos con un valor máspequeño, por ejemplo l = −5 :

−5 ≤ 3 − 2nn

⇔ −5n ≤ 3 − 2n ⇔ −3n ≤ 3 ⇔ n ≥ −1

La desigualdad n ≥ −1 es válida para todo natural n, por tanto l = −5 es una cotainferior.

Resumiendo:−5 ≤ an ≤ 1 ∀ n ∈ N ,

es decir, todos los términos de la sucesión están en el intervalo [−5,1].

Ejercicio 1.4.10. Para la sucesión del ejemplo anterior encontrar una cota inferiormayor que −5 .

1.4.4. Operaciones con sucesiones

A continuación definimos una serie de operaciones en el conjunto de las sucesiones detal manera que el resultado de la operación sea una nueva sucesión de números reales.

Definición 1.4.11. Dadas dos sucesiones de números reales (an)n∈N y (bn)n∈N , definimosa partir de ellas las siguientes sucesiones:



à Sucesión suma

s ∶ N Ð→ Rn ↦ sn = an + bn (1.2)

(El término general de la sucesión suma se obtiene sumando los términos generalesde las sucesiones an y bn).

Ejemplo 1.4.12.

an =1

n + 1 → {1, 12 ,

13 , . . .}

bn = n + 1 → {1,2,3, . . .}

sn =1

n + 1 + n + 1 = n2 + 2n + 2n + 1 → {2, 5

2 ,103 , . . .}

à Sucesión producto

p ∶ N Ð→ Rn ↦ pn = an ⋅ bn

(El término general de la sucesión producto se obtiene multiplicando los términosgenerales de las sucesiones an y bn).

Ejemplo 1.4.13.

an =1

n + 1 → {1, 12 ,

13 , . . .}

bn = n + 1 → {1,2,3, . . .}

sn =1

n + 1 ⋅ (n + 1) = 1 → {1,1,1, . . .}

à Sucesión producto por un escalar

α ⋅ a ∶ N Ð→ Rn ↦ αan

Es un caso particular del producto anterior, en el que una de las sucesiones es lasucesión constante.

à Sucesión cociente: si bn ≠ 0∀n ∈ N:

c ∶ N Ð→ Rn ↦ cn = an/bn



Ejemplo 1.4.14.

an = n2 + 1 → {1,2,5,10,17,26, . . .}

bn = 2n − 6 → {−6,−4,−2,0,2,4, . . .}

cn =n2 + 12n − 6 → {−1

6 ,−12 ,

−52 , ? , 17

2 , . . .}

Como b3 = 0, la sucesión cociente no está bien definida.

à Otras operaciones

De la misma forma, imponiendo en cada caso las condiciones que sean necesarias,podemos definir, entre otras, las siguientes sucesiones

ß S ian > 0 ∀ n ∈ N, podemos definir la sucesión (log an)n∈Nß Sucesión exponencial de una dada: (ean)

n∈N

ß Si an ≥ 0 ∀ n ∈ N , podemos definir la sucesión (√an)n∈N .

1.4.5. Límite de una sucesión

Definición 1.4.15. Decimos que una sucesión (an)n∈N tiene por límite l ∈ R, o tiendea l si para cualquier ε > 0 existe un número natural n0 de tal manera que ∣an − l∣ < ε sin ≥ n0.

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que ∣an − l∣ < ε ∀n ≥ n0

Suele escribirsean Ð→

nl ó lım

n→+∞an = l

Nota 1.4.16. El número natural n0 depende de ε. Como ∣an− l∣ < ε si y sólo si l−ε < an <l + ε, de la definición se deduce que a partir de an0 todos los términos de la sucesiónestán en el intervalo (l − ε, l + ε).

l

)l + ε

(l − ε

an0−1↑

an0

↑



Ejemplo 1.4.17. Utilizamos la definición 1.4.15 para probar que1n

nÐ→ 0 .

En efecto, dado ε > 0 arbitrario, para que ∣an − l∣ = 1/n sea menor que ε basta conque n sea mayor que 1/ε, lo que siempre es posible puesto que N no está acotadosuperiormente.

1n< ε ⇔ n > 1

ε. (1.3)

Por tanto para un ε > 0 arbitrario, el menor número natural que verifica (1.3) vienedado por

n0 = [1ε] + 1 .

Ejemplo 1.4.18. Demostrar mediante la definción de límite que

lımn

3 − 2nn

= −2 .

En efecto, dado ε > 0 arbitrario, se tiene que

∣an − l∣ = ∣3 − 2nn

+ 2∣ = 3n< ε ⇔ n > 3

ε.

Por tanto para el n0 buscado esn0 = [3

ε] + 1

Ejercicio 1.4.19. Probar que el límite de la sucesión an =2n − 3n + 1 es 2.

Definición 1.4.20. Se dice que una sucesión (an)n∈N tiende a +∞ si para cualquiernúmero real M existe un término de la sucesión an0

de tal manera que a partir de éltodos los términos de la sucesión son mayores que M .

∀M ∈ R ∃n0 ∈ N tal que an ≥M ∀n ≥ n0

(n0 depende de M). Se escribe an Ð→n

+∞ ó lımn→+∞

an = +∞

an0

M

a3 a1 a2 . . .

Se dice que la sucesión (an)n∈N tiende a −∞ si para cualquier número real l existe untérmino de la sucesión an0

de tal manera que a partir de él todos los términos de lasucesión son menores que l.

∀l ∈ R ∃n0(M) ∈ N tal que an ≤M ∀n ≥ n0

(n0 depende de l). Se escribe an Ð→n

−∞ ó lımn→+∞

an = −∞



an0

M

. . . a2 a1 a3

Ejemplo 1.4.21. Demostrar mediante la definción que

lımn

2n = +∞ .

En efecto, dado M ∈ R, se tiene que

2n ≥M ⇔ n > log2M

Por tanto el n0 buscado esn0 = [log2M] + 1

Ejercicio 1.4.22. Demostrar que el límite de la sucesión an = 1 − 2n es −∞.

Definición 1.4.23. Una sucesión (an)n∈N se dice

à Convergente si lımnan = l ∈ R

à Divergente si lımnan = +∞ (−∞)

à Oscilante si /∃ lımnan

Ejemplo 1.4.24. La sucesión an = 3−2nn es convergente pues su límite es −2, como

hemos visto en el ejemplo 1.4.18. La sucesión bn = 2n es divergente (a +∞) ya que sulímite no es real. La sucesión cn = (−1)n es oscilante puesto que no tiene límite.

Proposición 1.4.25. Si una sucesión es convergente, entonces está acotada.

(an)n∈N convergente ⇒ (an)n∈N acotada

Proposición 1.4.26. (Unicidad del límte)Si una sucesión tiene límite, entonces dicho límite es único.

Demostración. Vamos a ver solamente el caso de que la sucesión tiene dos límites,l1, l2 ∈ R con l1 < l2. Por reducción al absurdo: Para ε = (l2 − l1)/2, por ser el límite l1,todos los términos de la sucesión están en el intervalo (l1 − ε, l1 + ε) salvo a lo sumo unnúmero finito de ellos.

Para el mismo ε anterior, por ser el límite l2, todos los términos de la sucesión estánen el intervalo (l2 − ε, l2 + ε) salvo a lo sumo un número finito de ellos.



l1 − ε

(l1

l1+l22

)(l2

)l2 + ε

Pero esto no puede ser puesto que los intervalos (l1 − ε, l1 + ε) y (l2 − ε, l2 + ε) sondisjuntos.

De manera análoga se demostrarían el resto de casos.

Proposición 1.4.27. Si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente.

(an)n∈N monótona y acotada ⇒ (an)n∈N convergente

Álgebra de límites

En esta sección se pretende resolver el siguiente problema. Supongamos que tenemosdos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N con límites conocidos l y l′ respectivamente. En lasección 1.4.4 hemos definido algunas operaciones con sucesiones. La cuestión es ¿quése puede decir del límite de la sucesión (cn)n∈N resultado de operar con (an)n∈N con(bn)n∈N ? ¿será igual al resultado de operar l con l′?

(cn)n∈N = (an)n∈N ∗ (bn)n∈N Ô⇒ ¿ lımncn = l ∗ l′ ?

Desafortunadamente la pregunta no siempre tiene respuesta afirmativa; si la tuvierano sería necesaria la última sección del capítulo. En esta sección contestaremos a lapregunta para las operaciones definidas en la sección 1.4.4. La respuesta se ha resumidoen forma las tablas 1.4.5-1.4.5. Cuando no sea posible responder pondremos el símboloI (indeterminación). En tales casos habrá que calcular el límite utilizando técnicasconcretas para cada caso, como veremos en la sección 1.4.5.

A continuación desarrollamos, a modo de ejemplo, los casos suma y de dos sucesionesy exponencial de una sucesión. En los demás casos nos hemos limitado a mostrar losresultados en las tablas correspondientes.

Proposición 1.4.28. Dadas dos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N con límites l y l′ respec-tivamente, se tienen los siguientes resultados para el límite de la sucesión suma (sn)n∈N



definida en (1.2)

1. Si l, l′ ∈ R entonces snÐ→ l + l′ ∈ R

2. Si l ∈ R y l′ = +∞ entonces snÐ→ +∞

3. Si l ∈ R y l′ = −∞ entonces snÐ→ −∞

4. Si l = +∞ y l′ = +∞ entonces snÐ→ +∞

5. Si l = −∞ y l′ = −∞ entonces snÐ→ −∞

Demostración. Probaremos sólo el primer caso, el resto se deja como ejercicio para elalumno.

Sea ε > 0, tenemos que probar que existe n0 ∈ N de tal manera que para todo n ≥ n0 setiene ∣an + bn − (l + l′)∣ < ε.

Como anÐ→ l ∈ R, para ε/2 existe n1 ∈ N tal que para todo n ≥ n1 se tiene que

∣an − l∣ < ε/2 . (1.4)

Análogamente, como bnÐ→ l′ ∈ R, para ε/2 existe n2 ∈ N tal que para todo n ≥ n2 setiene que

∣bn − l′∣ < ε/2 . (1.5)Si tomamos n0 = max(n1, n2), entonces para todo n ≥ n0 se verifican simultáneamente(1.4) y (1.5), por lo que podemos poner

∣an + bn − (l + l′)∣ ≤ ∣an − l∣ + ∣bn − l′∣ < ε/2 + ε/2 = ε , ∀n ≥ n0 .

El resto de combinaciones da lugar a casos indeterminados (ver tabla 1.4.5).

Proposición 1.4.29. Sea la sucesión (an)n∈N. Entonces

1. Si lımn→+∞

an = l ∈ R, entonces lımn→+∞

ean = el

2. Si lımn→+∞

an = +∞, entonces lımn→+∞

ean = +∞

3. Si lımn→+∞

an = −∞, entonces lımn→+∞

ean = 0

Nota 1.4.30. Cuando en la tabla 1.4.5 nos encontremos con la indeterminación 1∞usaremos la expresión xy = ey ogx y la proposición 1.4.29.

Para el resto de operaciones entre sucesiones, nos limitamos a mostrar las tablas co-rrespondientes (1.4.5-1.4.5).



an l ∈ R +∞ −∞

bn

l′ ∈ R l + l′ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ I −∞

Tabla 1.1. Límite de la suma (an + bn)

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l ⋅ l′ 0 l ⋅ l′ +∞ −∞

0 0 0 0 I I

l′ ∈ R, l′ < 0 l ⋅ l′ 0 l ⋅ l′ −∞ +∞

+∞ +∞ I −∞ +∞ −∞

−∞ −∞ I +∞ −∞ +∞

Tabla 1.2. Límite del producto (an ⋅ bn)



an /= 0 1/an

l ∈ R, l /= 0 1/l

0 I

+∞ 0

−∞ 0

an > 0 1/an

l ∈ R, l /= 0 1/l

0 +∞

+∞ 0

an < 0 1/an

l ∈ R, l /= 0 1/l

0 −∞

−∞ 0

Tabla 1.3. Límite para la inversa 1/an

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l/l′ 0 l/l′ +∞ −∞

0 I I I I I

l′ ∈ R, l′ < 0 l/l′ 0 l/l′ −∞ +∞

+∞ 0 0 0 I I

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.4. Límite para el cociente an/bn, bn ≠ 0



an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l/l′ 0 l/l′ +∞ −∞

0 +∞ I −∞ +∞ −∞

+∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.5. Límite para el cociente an/bn, bn > 0

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ < 0 l/l′ 0 l/l′ −∞ +∞

0 −∞ I +∞ −∞ +∞

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.6. Límite para el cociente an/bn, bn < 0

an > 0 log an

l ∈ R, l > 0 log l

0 −∞

+∞ +∞

Tabla 1.7. Límite para el logaritmo log an, an > 0



Tabla 1.8. Límite para la exponencial βan , β > 0

an l ∈ R +∞ −∞

0 < β < 1 βl 0 +∞

β > 1 βl +∞ 0

an l ∈ R 0 +∞

r l > 0

r > 0 lr 0 +∞

r < 0 lr +∞ 0

Tabla 1.9. Límite para la potencial arn, an > 0

an 0 l ∈ R 1 l ∈ R +∞

bn 0 < l < 1 l > 1

l′ ∈ R, l′ < 0 +∞ ll′

1 ll′

0

0 I 1 1 1 I

l′ ∈ R, l′ > 0 0 ll′

1 ll′

+∞

+∞ 0 0 I +∞ +∞

−∞ +∞ +∞ I 0 0

Tabla 1.10. Límite para la potencial-exponencial abnn , an > 0



A continuación mostramos algunos ejemplos correspondientes a indeterminaciones delas tablas anteriores. Veremos cómo el resultado del límite cambia en los diferentescasos.

Ejemplo 1.4.31. En cada caso se ha considerado una sucesión an → +∞ y una sucesiónbn → +∞. Veamos qué ocurre con el límite de la suma:

1. an = n2 , bn = 1 − n2 y an + bn = 1→ 1 ∈ R .

2. an = n2 , bn = n − n2 y an + bn = n→ +∞ .

3. an = n2 , bn = −n − n2 y an + bn = −n→ −∞ .

4. an = n + cos(πn) , bn = −n y an + bn = cos(πn) = (−1)n, que no tiene límite.

Ejemplo 1.4.32. En cada caso se ha considerado una sucesión an → 0 y una sucesiónbn → +∞. Veamos qué ocurre con el límite del producto:

1. an =1

(n + 1)2 , bn = n + 1 y an ⋅ bn =1

n + 1 → 0 .

2. an =1

n + 1 , bn = (n + 1)2 y an ⋅ bn = n + 1→ +∞ .

3. an =−1n + 1 , bn = (n + 1)2 y an ⋅ bn = −(n + 1)→ −∞ .

Ejercicio 1.4.33. Encotrar para cada caso dos sucesiones an → 0 y bn → 0 tales quepara la sucesión cociente se verifique

1. an/bn → 1 .

2. an/bn → +∞ .

3. an/bn → 0 .

4. /∃ lım anbn

.

Cálculo de límites

No hay un procedimiento general para resolver los casos indeterminados vistos en lasección anterior. La forma de proceder depende de cada caso particular. A continuacióndamos una serie de criterios que pueden resultar útiles para resolver algunos casos deindeterminación.



Proposición 1.4.34. (Regla del sándwich)Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones con el mismo límite l (real o infinito). Sea otrasucesión (cn)n∈N. Si se verifica que

an ≤ cn ≤ bn

a partir de cierto n0 ∈ N, entonces la sucesión (cn)n∈N también tiene el mismo límite l(real o infinito).

Nota 1.4.35. De la regla del sándwich se deduce inmediatamente que si (an)n∈N es unasucesión acotada y bn → 0, entonces anbn → 0.

Ejemplo 1.4.36. Utilizamos la regla del sándwich para calcular el límite de la sucesión

an =1√n2 + 1

+ . . . + 1√n2 + n

.

Observa que lıman = I . Sean αn y βn las sucesiones dadas por

αn = n√n2 + n

= 1√n2 + n

+ . . . + 1√n2 + n

. (1.6)

βn = 1 = n√n2

= 1√n2

+ . . . + 1√n2. (1.7)

Comparando término a término se puede comprobar fácilmente que αn ≤ an ≤ βn ∀n ∈N. Como lımαn = lımβn = 1 , se tiene que lıman = 1 .

Proposición 1.4.37. (Criterio de la raíz por el cociente)Sea (an)n∈N una sucesión de números reales con an ≥ 0 para todo n ∈ N. Entonces

lım an+1

an= l Ô⇒ lım n

√an = l (l real o infinito) .

Ejemplo 1.4.38.

lımn

n√n = lım

nn

1/n = lımne

1n

logn

y tenemos una indeterminación en el cociente

lımn

an+1

an= lım

n

n + 1n

= 1 Ô⇒ lımn

n√n = 1 .

Definición 1.4.39. Dos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N se dicen equivalentes si

lımn

anbn

= 1 .

En tal caso se denota an ∼ bn .



Ejemplo 1.4.40. Las sucesiones an = n2 y bn = n2 + 1 son equivalentes puesto que

lımn

n2

n2 + 1 = 1 .

Nota 1.4.41. Las equivalencias son de aplicación directa al cálculo de límites en expre-siones en las que intervengan productos. Supongamos, por ejemplo an ∼ bn, y tenemosque calcular

lımnan ⋅ cn,

podemos “utilizar equivalencias” del siguiente modo

lımnan ⋅ cn = lım

n

anbn

⋅ bn ⋅ cn = lımnbncn

ya quelımn

anbn

= 1.

Esto será de utilidad cuando la expresión bn ⋅cn sea más sencilla (desde el punto de vistadel cálculo de límites) que an ⋅ bn. De manera análoga se puede proceder en expresionesen las que intervengan cocientes.

Nota 1.4.42. Observemos que si an ∼ bn puede ocurrir

lımn

(an + cn) ≠ lımn

(bn + cn),

como puede verse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.43. Sean

an = n2 + n,bn = n2,

cn = −n2,

Tenemos que an ∼ bn, sin embargo

lımn

(an + cn) = +∞ y lımn

(bn + cn) = 0.

En la tabla 1.11 mostramos algunas de las equivalencias más empleadas en el cálculode límites (los ángulos están expresados en radianes).

Definición 1.4.44. Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones tales que an → +∞ y bn →+∞ . Se dice que “an es mucho menor que bn”, y se denota an ≪ bn, si

lımn

anbn

= 0 .



an → 0

11 − an

∼ (1 + an)

senan ∼ an ∼ tg an ∼ arc senan ∼ arctg an

1 − cos(an) ∼(an)

2

2

log(1 + an) ∼ an

ean − 1 ∼ an

Otras equivalencias

Si a0 ≠ 0, a0nk + a1nk−1 + . . . + a

k∼ a0n

k

log(nk + a1nk−1 + . . . + ak) ∼ k logn

n! ∼ nne−n√

2πn (Stirling)

Tabla 1.11. Algunas equivalencias para sucesiones

Ocurre que para n suficientemente grande, los términos de la sucesión (bn)n∈N son “gran-des” respecto a los de (an)n∈N , sin importar lo que ocurra para los primeros términos.

Ejemplo 1.4.45. La sucesión an = n + 50000 es mucho menor que bn = n2

n + 50000 ≪ n2 ,

puesto quelımn

anbn

= lımn

n + 50000n2 = 0 .

Proposición 1.4.46. (Órdenes de infinitud)Sea (an)n∈N una sucesión de números reales tal que an > 0 para todo n ∈ N y tal que an →+∞. Sean a, p, q, k ∈ N con a > 1 y p, q, k > 0. Se verifican las siguientes desigualdades

(log an)p ≪ (an)q ≪ aan ≪ (an)k an .

Comprueba, usando la tabla correspondiente, que las cuatro sucesiones que aparecenen las desigualdades de la proposción son infinitos1.

1 Cuando el término general de una sucesión tiende a +∞, se suele decir que la sucesión es uninfinito.



Ejercicio 1.4.47. Utilizamos la proposición anterior para resolver el siguiente caso deindeterminación

lımn

log2 n + 1√n

= +∞+∞ = I .

Para ello dividimos numerador y denominador por el infinito de mayor orden, obte-niendo

lımn

log2 n + 1√n

= lımn

log2 n√n+ 1√

n

1 = 0,

puesto quelog2 n≪

√n .

1.5. Series de números reales

1.5.1. Definiciones y notación

Definición 1.5.1. Dada una sucesión de números reales (an)n∈N definimos a partir deella otra sucesión, (Sn)n∈N, llamada sucesión de sumas parciales de la siguiente manera

Sn ∶=n

∑k=1

ak.

Definición 1.5.2. Sea una sucesión de números reales (an)n∈N, y sea (Sn)n∈N la sucesiónde sus sumas parciales, se llama serie números reales y se denota

+∞

∑k=1ak. (1.8)

alımnSn, (1.9)

cuando exista.

Nota 1.5.3. Por extensión, la palabra "serie" y la expresión 1.8 también hacen referenciaa la sucesión de sumas parciales (Sn)n∈N.Nota 1.5.4. Las expresiones "estudiar el carácter de una serie" o "estudiar la conver-gencia de una serie" quieren decir estudiar la existencia del límite (1.9). La expresión"sumar una serie" quiere decir calcular el límite (1.9), cuando sea finito.

Ejemplo 1.5.5. Consideramos la serie+∞

∑n=0

12n = 1 + 1

2 +14 +

18 + . . . +

12n + . . .

Veremos un poco más adelante la sucesión de sumas parciales Sn es convergente.


1.5. Series de números reales 31

Definición 1.5.6. Diremos que una serie de números reales es convergente si la suce-sión formada por las sumas parciales Sn es convergente. La serie se dice divergente sila sucesión Sn es divergente. En otro caso diremos que la serie es oscilante.

Ejemplo 1.5.7.

1. La serie+∞

∑n=0

12n es convergente y su suma es 2.

2. La serie+∞

∑n=0

2n es divergente.

3. La serie+∞

∑n=0

(−1)n es oscilante.

1.5.2. Algunas series notables

La serie geométrica

Dado r ∈ R, se define la serie geométrica de razón r como+∞

∑n=0

rn . (1.10)

Proposición 1.5.8. La serie geométrica 1.10 converge si y sólo si ∣r∣ < 1 .

Demostración. Para obtener una expresión del término general de la sucesión de sumasparciales Sn, restamos Sn y r ⋅ Sn

Sn =n

∑k=0

rk = 1 + r + r2 + . . . + rn (1.11)

r ⋅ Sn =n

∑k=0

rk+1 = r + r2 + . . . + rn + rn+1

con lo queSn − r ⋅ Sn = 1 − rn+1 . (1.12)

Distinguimos ahora varios casos

à r = 1 En este caso, de 1.11 se obtiene que Sn = (n + 1), y por tanto lımSn = +∞

à r ≠ 1 De 1.12 tenemosSn =

1 − rn+1

1 − r .

Calculamos el límite de esta sucesión, en función de los valores de r .



○ −1 < r < 1 En este caso la serie converge ya que

lımn→+∞

Sn =1

1 − r ∈ R .

○ r > 1 La serie diverge ya que lımn Sn = +∞○ r ≤ −1 En este caso, la sucesión Sn no tiene límite, y por tanto, la serie esoscilante.

Por tanto, la serie es convergente si y sólo si ∣r∣ < 1 . Observa que, no sólo hemos demos-trado el enunciado, sino que, además, cuando la serie es convergente hemos calculadosu suma

S = 11 − r .

La serie armónica

Definición 1.5.9. La serie∞

∑n=1

1n

(1.13)

se llama serie armónica. y la serie+∞

∑n=1

1nr

se llama serie armónica generalizada.

Proposición 1.5.10. La serie armónica generalizada

+∞

∑n=1

1nr

converge si y sólo si r > 1.

1.5.3. Resultados generales sobre convergencia

Proposición 1.5.11. Las series

+∞

∑n=1

an y+∞

∑n=n0

an

tienen el mismo carácter.



Nota 1.5.12. Teniendo en cuenta la proposición 1.5.11, cuando sólo nos interese elcarácter de una serie, escribiremos

∑an

en vez de+∞

∑n=n0

an

Ejemplo 1.5.13. La serie+∞

∑n=0

12n es geométrica de razón r = 1

2 , luego convergente. Por

tanto, la serie+∞

∑n=3

12n también es convergente. La suma de una y de la otra no coinciden,

ya que+∞

∑n=3

12n =

+∞

∑n=0

12n − (a0 + a1 + a2) = 2 − 7

4 = 14 .

Proposición 1.5.14. Las series

∑an y ∑λan

con λ ∈ R ∖ {0} tienen el mismo carácter . Además, en caso de que sean convergentes,se tiene que

+∞

∑n=n0

λan = λ+∞

∑n=n0

an .

Proposición 1.5.15. Si dos series ∑an y ∑ bn son convergentes, entonces la serie∑(an + bn) también es convergente. En tal caso, se tiene que

+∞

∑n=n0

(an + bn) =+∞

∑n=n0

an ++∞

∑n=n0

bn .

Ejemplo 1.5.16. Las series∞

∑n=0

12n y

∞

∑n=0

13n son convergentes. Por tanto, la serie

∞

∑n=0

( 12n +

13n) también es convergente y su suma es

∞

∑n=0

( 12n +

13n) =

∞

∑n=0

12n +

∞

∑n=0

13n = 2 + 3

2 = 72 .

El recíproco a la proposición 1.5.15 no es cierto. En efecto, la serie∑0 es convergente(su suma es cero), mientras que las series ∑

1n

y ∑−1n

no convergen.

Proposición 1.5.17. (Condición necesaria para la convergencia)

∑an convergente Ô⇒ lımnan = 0



1.5.4. Series de términos positivos

Observa que si (an)n∈n verifica an ≥ 0 ∀n ≥ n0 entonces la sucesión de sumas parciales(Sn)n∈N es creciente (n ≥ n0), y por tanto, la serie no puede ser oscilante.

Criterio de comparación

Sean ∑an y ∑ bn dos series tales que 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ n0. Se tiene que

∑ bn convergente ⇒ ∑an convergente.

Nota 1.5.18. Del criterio de comparación se deduce que si ∑an y ∑ bn son dos seriestales que 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ n0, entonces

∑an divergene ⇒ ∑ bn divergente.

Ejemplo 1.5.19. La serie ∑1

2n + 1 es convergente pues se verifica

12n + 1 ≤ 1

2n , ∀ n ∈ N ,

y ∑12n es una serie geométrica de razón r = 1

2 .

Criterio de comparación en el límite

Sean ∑an y ∑ bn con an ≥ 0, bn > 0 ∀n ≥ n0 y tales que

lımn

anbn

= l , con l ∈ R (l ≠ 0) .

Entonces∑an converge ⇐⇒ ∑ bn converge.

En particular, si an ∼ bn, las series ∑an y ∑ bn tendrán el mismo carácter.

Ejemplo 1.5.20. Para determinar el carácter de la serie∑3

n + 2 , la comparamos con

la serie ∑1n, cuyo carácter es conocido

lımn

3n+2

1n

= 3 ∈ R (l ≠ 0) .

con lo que ∑3

n + 2 es divergente.



1.5.5. Series de términos cualesquiera

Definición 1.5.21. Una serie ∑an se dice absolutamente convergente si ∑ ∣an∣ esconvergente.

Proposición 1.5.22. Si una serie ∑an es absolutamente convergente, entonces esconvergente

Ejemplo 1.5.23. Determinar el carácter de la serie ∑cosnn2 .

No es una serie de términos positivos, así que estudiamos la convergencia absoluta, esdecir, la convergencia de la serie ∑ ∣cosn

n2 ∣ , esta sí, de términos positivos. Para ellousamos el criterio de comparación

∣cosnn2 ∣ ≤ 1

n2 .

La serie ∑1n2 es convergente. Así, la serie ∑ ∣cosn

n2 ∣ es convergente y, por tanto, la

serie ∑cosnn2 es absolutamente convergente luego convergente.

Definición 1.5.24. Una serie ∑an se llama alternada si an = (−1)nxn con xn ≥0, ∀n ≥ n0 o si an = (−1)n+1xn con xn ≥ 0, ∀n ≥ n0.

Criterio de Leibnitz

Sea an = (−1)nxn con x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn ≥ . . . ≥ 0 y lımxn = 0. Entonces, la serie∑an esconvergente.

Ejemplo 1.5.25. La serie ∑(−1)nn

es convergente. Efectivamente, se verifican lascondiciones para aplicar el criterio de Leibnitz: an = (−1)nxn con xn = 1

n sucesióndecreciente hacia cero.

1.5.6. Otros criterios de convergencia

Criterio de la raíz

Dada la series ∑an, con lım n√

∣ an ∣ = l, se tiene quel > 1 ⇒ ∑an no converge.

l < 1 ⇒ ∑an converge absolutamente.



Criterio del cociente

Sea ∑an tal que an ≠ 0∀n ≥ n0 y sea l = lım ∣an+1∣∣an∣

, entonces

l > 1 ⇒ ∑an no converge.

l < 1 ⇒ ∑an converge absolutamente.

Criterio de Raabe

(A aplicar cuando ya hemos aplicado el criterio del cociente o de la raíz y l = 1)

Dada ∑an, sea

l = lımnn(1 − ∣ an+1 ∣

∣ an ∣ ) ,

entoncesl > 1 ⇒ ∑ an converge absolutamente.

l < 1 ⇒ ∑ an no converge.


1.6. Anexo 37

1.6. Anexo

1.6.1. La raíz cuadrada en R

Definición 1.6.1. Sea a ∈ R, a ≥ 0, se define la raíz cuadrada de a, como el númerob ∈ R, b ≥ 0 tal que b2 = a. b se denota

√a .

Nota 1.6.2. La ecuación x2 = 0 tiene una solución en R: 0. Si a ∈ R, a > 0, la ecuaciónx2 = a tiene dos soluciones:

√a y −√a.

En la medida de lo posible, evitaremos la notación ±√a, pues suele dar lugar a confu-sión.

1.6.2. Producto cartesiano, aplicaciones

Definición 1.6.3. Dados dos conjuntos A y B se definen

à el producto cartesiano de A y B, como el conjunto

A ×B = {(a, b) ∣ a ∈ A, b ∈ B}

à una aplicación entre A y B, como una ley que asocia a cada elemento de A unoy sólo un elemento de B. Suele denotarse

f ∶ A→ B

a↦ b.

El elemento b suele denotarse f(a). b se llama imagen de a, y a se llama antiimagende b.

Observemos que en una aplicación, fijado a ∈ A, su imagen b siempre existe y es única,pero, dado b ∈ B, no siempre existe su antiimagen, y si existe, no es necesariamenteúnica.

Nota 1.6.4. Una aplicación entre A y B puede verse como un subconjunto de A ×B.

Definición 1.6.5. Una aplicación f ∶ A→ B se dice

à Inyectiva si, para todo a1, a2 ∈ A tales que a1 ≠ a2, se tiene f(a1) ≠ f(a2).



à Suprayectiva si todo elemento de B tiene antiimagen.

à Biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva.

1.6.3. La fórmula ciclotómica

La siguiente fórmula puede resultar útil para el cálculo de algunos límites

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2b + . . . + abn−2 + bn−1) . (1.14)

Esta fórmula se obtiene sin más que efectuar la división (an−bn)/(a−b) . A continuaciónmostramos la fórmula (1.14) en los casos particulares n = 2 y n = 3 .

n = 2 → a2 − b2 = (a − b)(a + b) ,

n = 3 → a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) .

Ejemplo 1.6.6.lım ( 3√

n3 + an2 − n) = +∞−∞ = I .

Para poder aplicar la fórmula (1.14) en el caso n = 3, multiplicamos numerador ydenominador por el factor (a2 + ab + b2)

3√n3 + an2 − n = ( 3√

n3 + an2 − n)3√

(n3 + an2)2 + 3√n3 + an2 n + n2

3√

(n3 + an2)2 + 3√n3 + an2 n + n2

(1.14)= /n3 +an2− /n3

3√

(n3 + an2)2 + 3√n3 + an2 n + n2

nÐ→ a

3 .

1.6.4. El factorial y los números combinatorios

Definición 1.6.7. Sea n ∈ N ∪ {0}, se define el factorial de n como

n! ∶=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1 si n = 0n(n − 1)! si n ≥ 1.

Definición 1.6.8. Sean n, p ∈ N∪ {0}, p ≤ n, se define el número combinatorio n sobrep como

(np) ∶= n!

p!(n − p)!Nota 1.6.9. Si tenemos un conjunto con n elementos distintos y elegimos p elementos(sin considerar el orden de elección), entonces hay (n

p) maneras distintas de hacer esta

elección.


1.6. Anexo 39

1.6.5. Algunas fórmulas

Propiedades del seno y del coseno

Sean α,β ∈ R, se tiene

1. cos2α + sen2α = 1.

2. sen(α + β) = senα cosβ + cosα senβ.

3. cos(a ± b) = cosa cos b ∓ sena sen b.

4. senα + senβ = 2 sen α + β2 cos α − β2 ,

senα − senβ = 2 cos α + β2 sen α − β2 ,

cosα + cosβ = 2 cos α + β2 cos α − β2 ,

cosα − cosβ = −2 sen α + β2 sen α − β2 .

Propiedades del logaritmo

Sean x, y ∈ (0,+∞), entonces:

1. log(xy) = logx + log y,

2. logxα = α logx , (α ∈ R),

3. log 1x= − logx.

Otra notación posible: lnx. Salvo expresa indicación en contra, todos los logaritmosserán neperianos.

Razones trigonométricas hiperbólicas

Definición 1.6.10. Sea x ∈ R, se definen

à seno hiperbólico: Shx ∶= ex − e−x

2

à coseno hiperbólico: Chx ∶= ex + e−x

2

Propiedades Sean x, y ∈ R, se tiene



1. Ch2 x − senh2 x = 1

2. senh(x + y) = senhxCh y +Chx senh y

3. Ch(x + y) = ChxCh y + senhx senh y


1.7. Ejercicios 41

1.7. Ejercicios

El conjunto de los números reales

1. (nivel 2) Demuestra la desigualdad triangular:∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣, ∀x, y ∈ R.

Ayuda considera los tres casos distintos posibles(caso 1: x, y ≥ 0, caso 2: x ≥ 0, y < 0, caso 3: x, y < 0).

2. (nivel 2) Con la ayuda del problema 1, demuestra la desigualdad triangular in-versa:

∣x − y∣ ≥ ∣x∣ − ∣y∣ ∀x, y ∈ R.

3. (nivel 1) Un estudiante hizo un "descubrimiento": 1 = 0. Su "razonamiento" fue:

Tomo x = 1. Se tiene

x = 1 ⇒ x2 = x ⇒ x2 − 1 = x − 1 ⇒ (x − 1)(x + 1) = x − 1⇒ x + 1 = 1 ⇒ x = 0.

Por tanto, 1 = 0.Encuentra el error (o errores) que cometió este estudiante.

4. (nivel 2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) ∣2x − 3∣ = 5(b) ∣2x − 3∣ = x + 1(c) ∣2x + 3∣ = x + 1(d) ∣3 − x∣ − ∣x + 2∣ = 5(e) ∣x − 2∣ + ∣x − 1∣ = x − 3

5. (nivel 3) Resuelve la siguientes inecuaciones, expresando el resultado medianteuniones de intervalos:

(a) ∣5 − x−1∣ < 1(b) ∣x2 − 2∣ ≤ 1(c) x < x2 − 12 < 4x(d) ∣x − 5∣ < ∣x + 1∣(e) ∣x2 − 7x + 12∣ > x2 − 7x + 12

Método de inducción

6. (nivel 2) Demostrar por inducción:



(a) 1 + 2 +⋯ + n = n(n + 1)2

(b) 1 + 3 +⋯ + (2n − 1) = n2

(c) 12 + 22 +⋯ + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

(d) 2n > n

(e) 34n + 9 es múltiplo de 10

(f) 1+x+x2+. . .+xn−1 = 1 − xn1 − x ∀x ≠ 1

(g) 2n + n3 es múltiplo de 3(h) 13 + . . . + n3 = (1 + . . . + n)2

(i) 3n5 + 5n3 + 7n es múltiplo de 15

Números complejos

7. (nivel 1) En cada caso, expresa número complejo z en la forma a+ bi y calcula sumódulo y su argumento principal

(a) z = (1 + i)2

(b) z = (1 + i)3

(c) z = 1 + i1 − i

(d) z = −3 + i2 − 2i

(e) z = i5 + i16

(f) z = 1 + i2(1 + i−8)

(g) z = eπ2 i

(h) z = 1 − eπ2 i1 + eπ2 i

8. (nivel 2) Representa en el plano complejo C los siguientes conjuntos

(a) {z ∈ C ∣ ∣2z + 3∣ ≤ 1}(b) {z ∈ C ∣ ∣z + i∣ = ∣z − i∣}

(c) {z ∈ C ∣ e−z = −1}(d) {z ∈ C ∣ ∣z∣ < ∣ ∣ 2z + 1∣}

Sucesiones de números reales

9. (nivel 2) Estudiar la monotonía y la acotación de las siguientes sucesiones (n ≥ 1):

(a) an = (−1)n 2n

(b) 3n − 12n + 2

(c) an = 2n

(d) 32n + 1

(e) (−1)n 12n

(f)

an =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3 si n es impar5 si n es par

10. (nivel 0) Calcular los límites de las sucesiones cuyo término general es el siguiente:

(a) 5n3 + 2n − 64n4 − 5n3 + 9 (b) n2 − 1√

n4 + 2n − 1


1.7. Ejercicios 43

(c) 9n2 + 3n + 53n2 − 16n − 13

(d) ( 2nen + 4)

4

(e) 3n + 2n3n − 2n

(f) (3n2 + 8n − 107n2 − 10n + 2)

8n+1

(g)√

3n + 2 −√

2n − 2

(h) ( 7n4 + 5n − 12n4 − 5n2 + 3n − 2)

n2−1

(i) (n −√n2 − 1)

(j)√n√

n +√n +√

n

(k) 3√n3 + an2 − 3√

n3 − an2

(l) (4n + 3) log n + 1n − 1

(m)√

4n2 − 1 − (2n − 1)

11. (nivel 2) Calcular los límites de las sucesiones cuyo término general es el siguiente:

(a) (n − logn)

(b) 1n((a + 1

n)

2+ . . . + (a + n − 1

n)

2)

(c) (1 − 1n2)

n

(d) (n + 1n − 1)

⎛⎜⎝

n2 + 2n − 3

⎞⎟⎠

(e) lognnlogn!

(f) (2n + 3n)1n

(g)(np)

np, p ∈ R

(h)log (a + 1

n) − log a

1n

, a ∈ R

(i)n√n!n

(j) (5n4 − 3n + 15n4 + 8n )

5n2+10

(k) ( 1n)

1

log 3n

(l) 2n (n!)2 √n(2n + 1)!

12. (nivel 3) Para cada una de las sucesiones, demostrar que tiene límite y calcularlo.

(a)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u1 = 1,un+1 =

√2 + un.

(b)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

v1 =√

2,vn+1 =

√2vn.

13. (nivel 3) Definimos la sucesión (xn)n∈N como⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x1 = 4,xn+1 =

12 (xn +

17xn

)



Si suponemos que la sucesión es convergente, calcula su límite ¿Cuál sería ellímite si x1 = 10?

14. (nivel 3) Sea la sucesión (xn)n∈N demostrar que:

lımn→+∞

(x1 + . . . + xn) = l ∈ R ⇒ lımn→+∞

xn = 0

Series de números reales

15. (nivel 3) Dada la sucesión de números reales (an)n∈N definida por

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a1 = 1,an+1 =

ann,

(a) Demostrar que es convergente.(b) Calcular su límite.

(c) Determinar el carácter de la serie∞

∑n=1

(−1)n an .

16. (nivel 2) Hallar la suma parcial s3 de la serie+∞

∑n=1

(−1)nn3n+1 . Estimar el valor absoluto

la diferencia entre esta suma y la suma de la serie.

17. (nivel 2) Determinar la convergencia de las siguientes series y sumar las tresúltimas.

(a)+∞

∑n=1

n√n + 1

(b)+∞

∑n=1

√n + 1√n + 8

(c)+∞

∑n=1

35 + 5n

(d)+∞

∑n=1

113n

(e)+∞

∑n=1

23n+4

32n+5

(f)+∞

∑n=1

2n+1

3n−2

18. (nivel 2) Dar un ejemplo de dos series+∞

∑n=1

an y+∞

∑n=1

bn tales que+∞

∑n=1

(an+bn) converja,

mientras+∞

∑n=1

an diverja y+∞

∑n=1

bn también diverja.

Calcular 1 + 2 + 4 + 8 + . . . ¿Por qué no es igual a 11 − 2 = −1?

19. (nivel 1) Demostrar que+∞

∑n=1

(1 + 12n) diverge.


1.7. Ejercicios 45

20. (nivel 2) Determinar, mediante el criterio de comparación, la convergencia de lasseries cuyo término general es el siguiente

(a) 13n − 1

(b) 24n − 3

(c) cos(nπ)3n − 1

(d) (−1)n4n + 1

(e) 86n − 1

(f) 85 + 7n

(g) 32 + n

21. (nivel 3) Hallar con un error menor que 0.01 la suma+∞

∑n=1

2n − 15n + 1 .

22. (nivel 2) Determinar la convergencia y la convergencia absoluta de las series cuyotérmino general es el siguiente

(a) 34n + 2

(b) ( −42n + 3)

n

(c) 12n + 3n

(d)√

3 + n4n

(e) e−n

(f) ( n

n + 2)n

(g) 1√n

(h) (−1)n8n + 2

23. (nivel 2) Usando el criterio del cociente determinar si convergen las siguientesseries

(a)+∞

∑n=1

2√n

3n(b)

+∞

∑n=1

2n2 + n!n5 + 3n! (c)

+∞

∑n=1

n33nn! (d)

+∞

∑n=1

3n2√n

24. (nivel 2) Utilizando el criterio de comparación, determinar si convergen las seriesde término general

(a) cosnn2 (b) senn

n3/2 (c) n

n2 + 4 (d) n

n3 + 4

25. (nivel 2) Utilizando el criterio de la raíz, determinar el carácter de las series contérmino general

(a) 3nnn

(b) nn

2n (c) 2nn3 (d) n2

2n

26. (nivel 3) Determinar el carácter de las series cuyo término general es



(a) sen4 n

n2

(b) 1√n − 2

3

(c) (cos√ 2n)n2

(d) n!nn

(e) nn

n!(f) cos2n( nπ

2n + 4)

(g) (n + 1n

)−n3

(h) n

√ 1n2

(i) (1 + 1n)n2

e−n

(j) sen 1n

cos 1n

(k) 2n + 5n2

3n

(l) n2 + 1nan

con a ≠ 0

(m)3√n

(n + 1)√n

(n) ( 1n)n+ 1

n

(ñ) 1n(n + 1)(n + 2)

(o) n2

n! an

(p) log(n + 1n

)

(q) (a + 1)(a + 2) . . . (a + n)n!

(r) 1 + n2

n!

(s) 1 + sen3 n

nn

(t) 1n(

√n3 + n√n − n)

27. (nivel 2) Sumar las siguientes series

(a)+∞

∑n=1

2n − 5n10n

(b)+∞

∑n=1

1n(n + 1)(n + 2)

(c)+∞

∑n=1

n

(n + 1)(n + 2)(n + 3)

(d)+∞

∑n=1

n!(n + 2)!

(e)+∞

∑n=2

2n + 3(n − 1)n(n + 2)

28. (nivel 2) Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones

(a) Si an → 0 , entonces+∞

∑n=1

an converge.

(b) Toda serie geométrica+∞

∑n=1

rn converge.

(c)+∞

∑n=1

12n = 1 .

(d) Con el criterio del cociente se determina la convergencia de cualquier serie.(e) Una serie que converge también debe converger absolutamente.

(f) Si 0 ≤ an ≤ arn, r < 1 , entonces ∣+∞

∑k=1

ak −n

∑k=1

ak∣ ≤a rn+1

1 − r .

(g) La convergencia de+∞

∑n=1

(an + an+1) implica la convergencia de+∞

∑n=1

an .

(h) Si+∞

∑n=1

1n4 = π

4

90 , entonces+∞

∑n=1

1(2n)4 = π4

1440 .

(i) Si+∞

∑n=1

1n2 = π

2

6 , se tiene que+∞

∑n=1

1(2n − 1)2 = π

2

8 .


Bibliografía

[1] R. A. Adams. Cálculo. Editorial Addison Wesley, Madrid, 2009.

[2] A. García y otros. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático enuna variable. Editorial CLAGSA, Madrid, 1993.

[3] B. García, I. Higueras, T. Roldán. Análisis matemático y métodos numéri-cos. Universidad Pública de Navarra (2ª edición revisada), 2007.

[4] J. L. López. Álgebra lineal. Universidad Pública de Navarra, 2007.

47

tema 1 matematicas

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