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TEMA 1: NÚMEROS REALES 3º ESO Matemáticas Apuntes para trabajo del alumnos en el aula.

1. Fracciones. Números racionales • Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador

de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente.

€

1236

€

2472

€

168504

€

39

€

13

simplificar amplificar

€

⋅2

€

⋅7

€

: 4

€

: 3

1. Fracciones. Números racionales Todas las fracciones equivalentes a una dada determinan un mismo número que se llama número racional

13

€

39

=

€

1236

=

€

2472

=

€

168504

=

El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q

1. Fracciones. Números racionales

• Expresa estas fracciones con el mismo denominador

EJERCICIO 1 *Página 8. Ejercicio 3

Triángulos Semejantes: “Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si” �  Teorema de Tales: “Si por un triángulo se traza una

línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”

2. Representación de números racionales Representar

€

34

EJEMPLO 1

2. Representación de números racionales


€

AEAC

=ADAB

€

1u1u*

=AD34u*

€

AD =34u* ⋅ 1u

1u*

€

AD =34u

“AC es a AE como AB lo es a AD”

1 unidad en la línea verde es a una unidad en la línea negra como en la línea verde lo son a en la línea negra

€

34

€

34


€

34Observa que es una fracción propia. ¿Cómo

podemos representar las impropias?

€

53

€

53

=1+23

EJEMPLO 2 Representar


• Utiliza el teorema de tales para representar en la recta real los siguientes números:



• Calcula los valores de las abcisas de los puntos de cada figura


3. Operaciones con números racionales • Suma y diferencia

Se reducen primero a común denominador y se suman o restan los numeradores

€

912

+812

=1712

€

34

+46

=

3. Operaciones con números racionales

• Producto

•  Inversa

• Cociente

Producto, inversa y cociente

€

35⋅26

=630

€

ab⋅cd

=a ⋅ bc ⋅ d

€

35⋅53

=1515

=1

€

ab⋅ba

=a ⋅ bb ⋅ a

=1

€

35: 26

=35⋅62

=1810

€

ab: cd

=ab⋅dc

=a ⋅ db ⋅ c

4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional

La expresión decimal de una fracción es el número que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador

€

−51

= −5

€

174100

=1,74

€

259

= 2,⌢ 7

€

12490

=1,3⌢ 7

Entera

Decimal exacta o finita

Decimal periódica pura

Decimal periódica mixta

€

1,3ˆ 7 anteperíodo

período Parte entera

De la expresión fraccionaria a la decimal

EJEMPLOS

4. Expresiones fraccional y decimal de un número racional

•  Todo decimal exacto o periódico puede escribirse en forma de fracción de acuerdo con la siguiente fórmula

De la expresión decimal a la fraccionaria

€

x =

Número entero formado por las cifras de la parte entera, el anteperíodo y el período.

Número entero formado por las cifras de la parte entera y el anteperíodo.

Tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Tantos nueves como cifras tenga el período.

•  ¿Cómo podemos saber si un número racional tiene representación decimal exacta, periódica pura o periódica mixta?

• Atendiendo al denominador de la fracción irreducible: •  Si tiene sólo como factores doses y cincos: su desarrollo decimal

es finito •  En otro caso será periódico.

•  Si tiene doses, cincos y otros: será periódico mixto •  Si no tiene doses ni cincos será periódico puro

4. Expresión fraccional y decimal de un número racional.

• Sin hacer la división, di que tipo de expresión decimal corresponde a cada fracción



•  ¿Cómo podemos pasar de decimal a fracción?

Caso 1 Pasar 3,25 de decimal a fracción

Como es un decimal exacto, multiplicamos por 100 (dos decimales) y construimos la fracción con el número obtenido como numerador y el 100 como denominador.

€

325100

Decimal exacto


Caso 2

€

x =1,23232323232323....

€

100 ⋅ x =123,232323232323....

€

100 ⋅ x − x =123,2323....−1,232323...

€

99x =122

€

x =12299

Pasar de decimal a fracción

Multiplicamos por 100

Restamos

Despejamos x

Decimal periódico Puro


Caso 3 Pasar de decimal a fracción Decimal periódico

Mixto

€

1,4ˆ 6

€

x =1,466666666

€

100 ⋅ x =146,666666...

100 ⋅ x −10x =146,6666....−14,666...90x =132

Multiplicamos por 100

Restamos

Despejamos x €

10 ⋅ x =14,666666...Multiplicamos por 10

x = 13290


5. Números irracionales •  Los números con expresión decimal ni exacta ni periódica

pura se llaman números irracionales. •  No pueden expresarse como una fracción de términos

enteros • Observa:

8,10100100010000100000

1 2 3 4 5

5. Números irracionales • Otro ejemplo:

7,73773777377773777773

1 2 3 4 5

5. Números irracionales •  Las raíces no exactas dan lugar a expresiones decimales

no periódicas, es decir a números irracionales. •  La diagonal de un cuadrado lado 4 es un número

irracional. • Aplicando pitágoras:

€

d2 = 42 + 42 ⇒ d2 = 32⇒ d = 32

€

πEl número

Es ilimitado y no periódico. Es decir es irracional. Es el cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia. El número π con 1000 cifras decimales 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944

59230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642.

6. Números reales. Valor absoluto REALES"

Racionales (Q)"

Irrac

iona

les

(I)"Enteros (Z)"

Naturales"(N)"

6. Números reales. Valor absoluto. • El valor absoluto de un número real x es el número en

positivo, y se denota por |x| • Geométricamente representa la distancia de “x” al punto

cero (0) en la recta numérica.

€

−5 = 5

€

+2 = 2

7. Aproximación decimal de los números reales

Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él

POR DEFECTO: el número es menor que el sustituido

POR EXCESO: el número es mayor que el sustituido

APROXIMAR

POR REDONDEO: elegir la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si es mayor o igual que 5

Para redondear un número a un orden dado:

Se observa la primera cifra eliminada

SI <5

SI ≥5

Mejor aproximación por defecto

Mejor aproximación por exceso

€

55 = 7,416198487...

Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima

Truncamiento 7 7,4 7,41 7,416 7,4161

Redondeo 7 7,4 7,42 7,416 7,4162

7. Aproximación decimal de los números reales

EJEMPLO

8. Errores de una aproximación

El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el número y la aproximación escogida.

Si se elige 1,5 como valor de

€

2€

2 =1,41421356237309...

Si se elige 1,4 como valor de

€

2

|1,5-1,4142135…|=0,0857…

|1,4-1,4142135…|=0,0142…

EJEMPLO

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número.


El error relativo no sólo contempla el error cometido sino que

establece una relación entre el error cometido y la medida original que

permite hacer comparaciones

8. Errores de aproximación Error absoluto: 2m en todos los casos.

¿Es la misma clase de error? ¿Es igual de “grave”?

€

E r1=260

€

E r2=

21000

€

E r3=24,5

El error relativo establece una relación entre el error cometido y

la medida original que permite hacer comparaciones

8. Errores de una aproximación EJERCICIO 5 *Ejercicio 53

EJERCICIO 6 *Ejercicio 54

9. Representación gráfica de números reales

• A cada número real se le asocia un punto de la recta, llamada recta real.

• Recíprocamente a cada punto de la recta se le asocia un número real.

Representación gráfica de números reales (por aproximación)

€

π = 3,14159265...Para representar pi usando aproximaciones seguimos el siguiente proceso:

€

π

EJEMPLO

€

2 =1,41421356237309...

9. Representación gráfica de números reales (teorema de pitágoras)

Usaremos el teorema de Pitágoras

€

2 = 12 +12

EJEMPLO

9. Representación gráfica de números reales EJEMPLO


€

2

EJEMPLO


€

2

€

2 = 12 +12EJERCICIO 7 Representa

€

3

€

3 = 12 + 2( )2

EJERCICIO 8 Representa

€

6

€

6 = 3( )2

+ 3( )2

EJERCICIO 9 Representa

10. Intervalos y semirrectas • Un intervalo es un segmento de la recta que contiene

todos los números comprendidos entre estos dos números llamados extremos

• Dependiendo de si los extremos están incluidos o no existen hasta cuatro tipos de intervalos

•  Tipos de intervalos

10. Intervalos y semirrectas

10 .Intervalos y semirrectas

•  Los intervalos y semirrectas se usan para describir conjuntos de números en la recta real

€

(−∞,a](−∞,−2]

€

(−∞,a)(−∞,5)

€

[a,+∞)[7,+∞)

€

(a,+∞)(−4,+∞)

TIPOS DE SEMIRRECTAS

10. Intervalos y semirrectas • Dibuja en la recta real cada uno de estos intervalos

EJERCICIO 10


Dibuja en la recta real estas semirrectas EJERCICIO 11


Indica el intervalo que representa cada dibujo.

EJERCICIO 12


• Dibuja en la recta real las semirrectas determinadas por las relaciones

€

x > 3

€

x ≥ 3

EJERCICIO 12

Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales:

€

45,77777....A)

€

1,2323232323....B)


€

0,53636...D)

€

3,42222....C)

Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales:

EJERCICIO 13 (continuación) *Ejercicio 88

• Escribe y representa los intervalos o semirrectas descritos a continuación. a)  Al menos 20 euros. b)  Como poco 13 años, pero no llega a 20 c)  No menos de 5 ni más de 7 km. d)  Entre 750 g y un kilo y medio. e)  De −1 a 12, ambos inclusive.

EJERCICIO 14

Halla los valores que faltan en la tabla

EJERCICIO 15

Clasifica estos números en racionales o irracionales. Justifica la respuesta


Determina el valor de un denominador adecuado para convertir cada fracción en una expresión decimal del tipo que se indica.

EJERCICIO 17

Realiza las siguientes operaciones:


Encuentra una fracción que esté situada entre y

€

47

€

53


Observa la siguiente operación:

a) ¿Qué prioridad no se ha tenido en cuenta en ella?

b) Introduce los paréntesis que se necesitan para que la solución sea correcta


¿Se pueden encontrar dos números enteros cuyo cociente sea 7,414114111...? Justifica la respuesta.


Explica si son ciertas o falsas estas afirmaciones. a)  Todo número entero es racional. b)  Todo número real es racional. c)  Muchos números racionales son naturales. d)  Un número racional tiene una sola expresión fraccionaria. e)  Los números irracionales forman el conjunto de todos los números

con infinitas cifras decimales.


Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.


Realiza estas aproximaciones del número 463,2673

a) Aproxima por defecto a la centésima. b) Aproxima por exceso a la milésima. c) Redondea a la parte entera. d) Redondea a la décima.


Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen al elegir 5,67 como aproximación de

€

173


El resultado del cálculo de la diagonal del rectángulo de la figura es 5,831.

Determina el error absoluto y el error relativo.


Representa en la recta real el número

€

7


En el triángulo equilátero de la figura: a)  Determina la altura redondeando a la milésima b)  Expresa la altura mediante un número racional de dos decimales.


116. El radio de la Luna es de 1737 kilómetros. a)  Calcula el perímetro de su ecuador, tomando para π el valor 3,14.

Redondea el resultado a las unidades. b)  Calcúlalo ahora con la aproximación que usaban los babilonios: π = 3. c)  Compara los resultados obtenidos. Si el valor verdadero es el del apartado

a, ¿qué errores absoluto y relativo cometían los babilonios? d)  Calcula el error relativo en %


Indica los intervalos que representan los siguientes dibujos.


Representa cada uno de estos números irracionales en una recta. EJERCICIO 31 *Ejercicio 109

Representa estas fracciones utilizando el teorema de Tales.


Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales:

€

5,222222....A)

€

7,452323232323....B)

EJERCICIO 33

Representa usando un gráfico y un intervalo, el conjunto de números que satisface la desigualdad:

€

x ≤ 5

€

€

x ∈[−5,5]

EJERCICIO 34

Números reales. 2014-2015

MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA

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