Tema 1. Números Naturales IJavier Rodríguez Ruiz

Curso 2012-2013

Índice1. Introducción a los números naturales 2

2. Suma y resta de números naturales 5

3. Producto y división de números naturales 8

4. Potencias y raíz cuadrada de números naturales 13

5. Operaciones combinadas 17

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1. Introducción a los números naturales

¿Qué son los números naturales?

• Los números naturales son los números que utilizamos para contar. Son númerosnaturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, etc.Ejemplo. Identifica los números naturales de entre los siguientes: 84; 1,5; -5; 29;2/3; 4 000 000;

√2; π; 153 682.

Resp. Son números naturales: 29; 84; 4 000 000; 153 682. 2

¿Qué es el sistema de numeración decimal?

• El sistema de numeración decimal es el sistema que utilizamos para representarnúmeros. Se llama decimal porque utiliza diez cifras distintas, que son: 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9.• En el sistema de numeración decimal la posición de las cifras es muy importante.Por ejemplo, 71 no es el mismo número que 17.

¿Qué nombre recibe cada posición?

• Para entender el nombre de las posiciones voy a usar las siguientes abreviaturas:unidades (U), decenas (D), centenas (C), millares (M), millones (M), billones (B).• Como sabemos, cada unidad vale uno, cada decena vale diez, cada centena valecien, cada unidad de millar vale mil.

UB CMM DMM UMM CM DM UM CM DM UM C D U

Ejemplo. En el número 5 023 857 la cifra de las unidades es el 7, la cifra de lasdecenas es el 5, la cifra de las centenas es el 8, la cifra de las unidades de millar esel 3, la cifra de las decenas de millar es el 2, la cifra de las centenas de millar es elcero, la cifra de las unidades de millón es el 5 y la cifra de las decenas de millóny posteriores es el 0. 2

Ejemplo. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos coches son siete de-cenas de coches? b) ¿Cuántos bolis son cuatro centenas de bolis? c) ¿Cuántosmóviles son treinta y cinco unidades de móviles? d) ¿Cuántas gomas son cuarentay dos centenas de gomas? e) ¿Cuántos huevos son dos docenas de huevos? f) ¿Eslo mismo 34 que 340? ¿Y 34 que 034?Resp. a) 70; b) 400; c) 35; d) 4200; e) 24; f) No. Sí. 2

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Ejemplo. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué número es 87 unidades?b) ¿Y 43 unidades de millar? c) ¿Y 25 unidades de millón? d) ¿Y 148 unidadesde millar de millón? e) ¿Y 65 unidades de billón?Resp. a) 87; b) 43 000; c) 25 000 000; d) 148 000 000 000; e) 65 000 000 000 000. 2

¿Cómo se escriben los números naturales?

Vamos a estudiar las reglas para escribir números naturales:• Del 0 al 30 con una sola palabra. Ejemplos: cuatro, veintitrés, dieciocho.• Del 31 al 99 así: D + y + U. Ejemplos: cincuenta, cincuenta y siete, noventa yuno.• Del 100 al 999 así: UCciento(s) + resto del número. Ejemplos: doscientos treinta,ciento dos, cuatrocientos veintiocho, quinientos setenta y seis.• La palabra mil va separada. Ejemplos: siete mil, ocho mil ochocientos, cuatromil trescientos uno, setecientos treinta y dos mil veintiocho.• Las palabras millón y millones van separadas: Ejemplos: cinco millones, trecemillones cien mil sesenta y tres, cuatrocientos quince mil siete millones doscientoscuatro mil quinientos catorce.

¿Qué es la semirrecta natural?

• La semirrecta natural es una semirrecta en la cual podemos representar losnúmeros naturales. En el extremo de la semirrecta ponemos el 0, luego el 1, luegoel 2, etc. siempre con la misma distancia entre números.

¿Cómo se comparan los números naturales?

• Dados dos números naturales, si nos los imaginamos en la semirrecta natural,decimos que el mayor de los dos números es el que está más a la derecha y que elmenor de los dos números es el que está más a la izquierda.• El símbolo < se lee “menor que”.Ejemplo: 3 < 5 se lee “tres es menor que 5”. 2• El símbolo > se lee “mayor que”.Ejemplo: 7 > 4 se lee “siete es mayor que cuatro”. 2

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• Una lista de números está ordenada de forma creciente o ascendente si el primernúmero de la lista es el menor de todos y continúo así hasta terminar con el mayorde todos.Ejemplo. Ordena de forma creciente la siguiente lista: 11; 36; 7; 50; 4.Resp. 4; 7; 11; 36; 50. 2• Una lista de números está ordenada de forma decreciente o descencente si elprimer número de la lista es el mayor de todos y continúo así hasta terminar conel menor de todos.Ejemplo. Ordena de forma descendente la siguiente lista: 51; 72; 27; 8; 63.Resp. 72; 63; 51; 27; 8. 2Ejemplo. Escribe el símbolo < o > entre cada par de números: a) 2 7; b) 0 2;c) 51 29; d) 11 8.Resp. a) <; b) <; c) >; d) >. 2Ejemplo. Ordena de forma creciente: 4; 8; 5; 1; 23; 17.Resp. 1; 4; 5; 8; 17; 23. 2Ejemplo. Ordena de forma decreciente: 1; 25; 16; 42; 13; 37.Resp. 42; 37; 25; 16; 13; 1. 2

¿Cómo se trunca un número natural?

• Truncar es una forma de aproximar un número por otro más sencillo. Nos tienenque decir el orden de cifra al que truncamos. Para truncar sustituimos por ceroslas cifras que estén a la derecha del orden al que trunquemos.Ejemplo. Trunca a las decenas los siguientes números: 24; 537; 4240; 881; 695.Resp. 20; 530; 4240; 880; 690. 2Ejemplo. Trunca a los millares los siguientes números: 7830; 14 584; 49 700; 286 003;60 309.Resp. 7000; 14 000; 49 000; 286 000; 60 000. 2

¿Cómo se redondea un número natural?

• Redondear es otra forma más precisa de aproximar un número por otro mássencillo. Nos tienen que decir el orden de cifra al que redondeamos. Para redondearnos fijamos en la cifra situada justo a la derecha del orden al que redondeamos; sivale entre 0 y 4, hacemos lo mismo que cuando truncábamos; pero si vale entre 5y 9 sumamos 1 a la cifra del orden y sustituimos por ceros las cifras a la derechadel orden.Ejemplo. Redondea a las decenas los siguientes números: 24; 537; 4240; 881; 695.

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Resp. 20; 540; 4240; 880; 700. 2

Ejemplo. Redondea a los millares los siguientes números: 7830; 14 584; 49 700;286 003; 60 309.Resp. 8000; 15 000; 50 000; 286 000; 60 000. 2

2. Suma y resta de números naturales

¿Qué es sumar?

• Sumar dos números naturales es añadir al primer número tantas unidades comoindique el segundo número; para ello usamos el símbolo +.• Cada número que aparece en la suma se llama sumando y el resultado de sumarse llama suma.Ejemplo. En la suma 13 + 5 = 18; 13 es un sumando, 5 es otro sumando y 18 esla suma. 2

• Como ya sabemos, el orden de los sumandos no altera la suma. Esta propiedadse llama propiedad conmutativa de la suma.Ejemplo. Imagina que Guille tiene 3 canicas, Mara 2 canicas y que queremos sabercuantas canicas tienen entre los dos. Nos da exactamente igual empezar contandolas de Guille y continuar con las de Mara, que hacerlo al revés, pues en amboscasos tendremos 5 canicas. Es decir, si a 3 le añado 2 da 5, lo mismo que si a 2 leañado 3. Por tanto, 3 + 2 = 2 + 3 = 5.

∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗ 2

¿Cuándo debemos sumar?

Hay dos casos en los que debemos sumar:• Primero. Sumaremos cuando juntemos varias cantidades del mismo tipo.Ejemplo. En un bolsillo del pantalón tengo 70 céntimos, en el otro 45 céntimos yencima de la mesa 90 céntimos, ¿cuántos céntimos tengo en total?Resp.70 + 45 + 90 = 225 céntimos. 2

• Segundo. Sumaremos cuando realicemos acciones del mismo tipo.Ejemplo. Ayer andé 20 km, hoy he andadado 15 km y mañana tengo previstoandar 18 km, ¿cuántos kilómetros andaré entre los tres días?Resp. 20 + 15 + 18 = 53 km. 2

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¿Qué es restar?

• Restar dos números naturales es quitarle al número mayor tantas unidadescomo tenga el número menor; para ello usamos el símbolo −.• El primer número se llama minuendo y debe ser el mayor, el segundo númerose llama sustraendo y debe ser el menor; el resultado de restar se llama resta odiferencia.Ejemplo. En la resta 13 − 5 = 8; 13 es el minuendo, 5 es el sustraendo y 8 es laresta o diferencia. 2

• ¡OJO! La resta NO tiene la propiedad conmutativa.

¿Cuándo debemos restar?

Hay tres casos en los que debemos restar:• Primero. Restaremos cuando a cierta cantidad queramos quitarle otra cantidadmenor o igual del mismo tipo.Ejemplo. Guille tenía 20 canicas y Mara le ha quitado 5 canicas. ¿Cuántas canicastiene ahora Guille?Resp. 20− 5 = 15. 2

• Segundo. Restaremos cuando queramos saber la diferencia que hay entre doscantidades del mismo tipo.Ejemplo. Ayer andé 7 km y hoy he andadado 18 km. ¿Cuántos kilómetros de dife-rencia hay entre lo que andé ayer y lo que he andado hoy?Resp. 18− 7 = 11. Hoy he andado 11 km más que ayer. 2

• Tercero. Restaremos cuando queramos saber el saldo de acciones contrarias.Ejemplo. El lunes gané 37€ y hoy que es martes me he gastado 29€. ¿Tengo ahoramás dinero que el domingo o menos? ¿Cuánto?Resp. Como el lunes gané más de lo que gasté el martes, el saldo neto es que heganado. 37− 29 = 8 € he ganado desde el domingo. 2

Ejemplo. El jueves tenía en mi monedero unos ahorrillos. El viernes me dieron 6€de propina y los metí en el monedero. Hoy que es sábado fui al cine y necesitécoger 8€ del monedero. ¿Tiene ahora el monedero más dinero que el jueves omenos? ¿Cuánto?Resp. Como el sábado gasté más de lo que metí el viernes, el saldo neto es que hegastado. 8− 6 = 2; luego el monedero tiene hoy 2€ menos que el jueves. 2

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¿Cómo adivinar números I?

• En esta pregunta vamos a aprender a adivinar números gracias a que la sumay la resta están íntimamente relacionadas. Veámoslo.• El símbolo ⇐⇒ , se lee “es equivalente” y quiere decir que si lo que estáa la izquierda del símbolo es verdad, lo de la derecha del símbolo también esverdad, y viceversa. Cuando usemos el símbolo ⇐⇒ diremos que estamos usandoequivalencias. Veamos dos equivalencias que nos ayudarán a adivinar números.

Ejemplo. 3 + 2 = 5⇐⇒ 5− 2 = 3⇐⇒ 5− 3 = 2

∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇐⇒

⇐⇒ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ⇐⇒

⇐⇒ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗

• Estas equivalencias que hemos puesto con el 2, el 3 y 5 valen con otros númeroscualesquiera. Cuando queramos expresar que algo vale para números cualesquierano usaremos números concretos sino letras. Por tanto si a, b y c son númerosnaturales cualesquiera, se cumple lo siguiente:

a+ b = c⇐⇒ c− b = a⇐⇒ c− a = b

• Estas equivalencias nos sirven como prueba de la suma y de la resta y tambiénnos sirven para adivinar números desconocidos. Fíjate en los ejemplos, dondellamaremos x al número desconocido que queremos adivinar.Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 19 + 23 = x.Resp. 19 + 23 = x⇐⇒ x = 19 + 23 = 42. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 61− 32 = x.Resp. 61− 32 = x⇐⇒ x = 61− 32 = 29. 2Ejemplo Adivina cuánto vale x en este caso: 18 + x = 45Resp. 18 + x = 45⇐⇒ x = 45− 18. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: x+ 17 = 54Resp. x+ 17 = 54⇐⇒ x = 54− 17 = 37. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: x− 37 = 25Resp. x− 37 = 25⇐⇒ x = 37 + 25. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 84− x = 35Resp. 84− x = 35⇐⇒ x = 84− 35 = 94. 2

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3. Producto y división de números naturales

¿Qué es multiplicar?

• Multiplicar dos números naturales es hacer el primer número tantas veces mayorcomo indique el segundo número; para ello usamos el símbolo · (debemos irolvidándonos ya del símbolo × para multiplicar).• Cada número que aparece en la multiplicación se llama factor y el resultado demultiplicar se llama multiplicación o producto; por eso, también se usa la expre-sión producto de dos números, que significa lo mismo que multiplicación de dosnúmeros.Ejemplo. En la multiplicación 13·5 = 65; 13 es un factor, 5 es otro factor y 65 esel producto. El producto anterior se puede leer “trece multiplicado por cinco essesenta y cinco” o “trece por cinco es sesenta y cinco” 2

• Como ya sabemos, el orden de los factores no altera el producto. Esta propiedadse llama propiedad conmutativa del producto.Ejemplo. Imagina que Guille tiene 3 canicas en cada caja y cuenta con 4 cajas.Mara tiene 4 canicas en cada caja y cuenta con 3 cajas. ¿Quién tiene más canicasde los dos? Resp.

Guille tiene 3·4 = 3 + 3 + 3 + 3 =

© © ©© © ©© © ©© © ©

canicas.

Mara tiene 4·3 = 4 + 4 + 4 =© © © ©© © © ©© © © ©

canicas.

Como vemos en las figuras, ambos tienen la misma cantidad de canicas, pues lasfiguras son la misma salvo un giro. Por tanto, 3·4 = 4·3 = 12 . 2

¿Cuándo debemos multiplicar?

Hay tres casos en los que debemos multiplicar:• Primero. Multiplicaremos cuando tengamos que hacer a un número varias vecesmayor.

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Ejemplo. Fernando tiene 2 años y Juanma, su hermano mayor, cuatro veces más.¿Qué edad tiene Juanma?Resp. 2·4 = 8 años. 2• Segundo. Multiplicaremos cuando queramos hallar el valor de muchas cosassabiendo el de una.Ejemplo. Un libro cuesta 12 €. ¿Cuánto cuestan 5 libros?Resp.12·5 = 60 €. 2• Tercero. Multiplicaremos cuando queramos pasar de unidades de medida ma-yores a unidades de medida menores.Ejemplo. ¿Cuántos días hay en tres semanas?Resp.7·3 = 21 días. 2

¿Qué es dividir?

• Dividir dos números naturales es hacer el primer número tantas veces menorcomo indique el segundo; para ello usaremos los símbolos : o /.• El primer número se llama dividendo y debe ser el mayor, el segundo númerose llama divisor y debe ser el menor; el resultado de dividir se llama división ocociente. Por eso también se usa la expresión cociente de dos números, que significalo mismo que división de dos números.Ejemplo. En la división 40 : 5 = 8; 40 es el dividendo, 5 es el divisor y 8 es ladivisión o cociente. La anterior división se puede leer: “40 entre 5 es 8” o “40dividido por 5 es 8” o “40 dividido entre 5 es 8”. 2• ¡OJO! La división NO tiene la propiedad conmutativa.• ¡OJO! Ningún número se puede dividir entre 0 porque no se puede repartir algoentre cero personas.Ejemplo. Hallar 8:0 y 0:8.Resp. 8:0 no existe, porque no puedo repartir 8 cosas entre 0 personas. Sin em-bargo, 0 : 8 = 0, porque si tengo que repartir 0 cosas entre 8 personas, el repartoes muy sencillo, toca a 0 cada una. 2

¿Cuándo debemos dividir?

Hay tres casos en los que debemos dividir:• Primero. Dividiremos cuando queramos hacer un número varias veces menor.Ejemplo. El padre de Tomás tiene 30 años. Si Tomás tiene seis veces menos añosque su padre, ¿qué edad tiene Tomás?Resp. 30 : 6 = 5 años. 2

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• Segundo. Dividiremos cuando queramos repartir unas cosas entre otras.Ejemplo. Quiero recorrer 90 km en 6 días. ¿Qué distancia tengo que recorrer cadadía?Resp. 90 : 6 = 15 km. 2

• Tercero. Dividiremos cuando sabiendo el precio de varias cosas y el número deellas queramos saber el de una.Ejemplo. María se ha comprado 6 tebeos y le han costado 18€. ¿Cuánto cuestacada tebeo?Resp. 18 : 6 = 3 €. 2

¿Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros?

• Existe un truco muy sencillo para multiplicar un número por 10, 100, 1000, etc.Consiste en añadir a la derecha del número tantos ceros como tenga el 10, 100,1000, etc.Ejemplo. Calcula: a) 34·10; b) 253·100; c) 732·1000; d) 810·10.Resp. a) 340; b) 25 300; c) 732 000; d) 8 100. 2

• También existe un truco para multiplicar por 20, 500, 16 000, etc. En el casode multiplicar un número por 20, multiplicaremos el número por 2 y al resultadole añadiremos a la derecha un cero porque 20 tiene un cero. Si multiplicásemosun número por 500, multiplicaremos el número por 5 y al resultado le añadiremoslos dos ceros porque 500 tiene dos ceros.Ejemplo. Calcula: a) 34·20; b) 253·500; c) 16 000·8; d) 620·300.Resp. a) 680; b) 126 500; c) 128 000; d) 186 000. 2

¿Cómo se divide entre la unidad seguida de ceros?

• Existe un truco muy sencillo para dividir un número que tenga suficientes cerosa la derecha entre 10, 100, 1000, etc. Consiste en quitarle al número tantos cerosde la derecha como tenga el 10, 100, 1000, etc.Ejemplo. Calcula: a) 5 700 : 10; b) 80 400 : 100;c) 7 300 000 : 1000Resp. a) 570; b) 804; c) 7 300. 2

• También existe un truco para dividir un número que tenga suficientes ceros ala derecha entre 30, 4 100, 7 000, etc. En el caso de dividir un número entre 30,primero le quitamos al número un cero de la derecha porque 30 tiene un cero yel resultado lo dividiremos entre 3. Si dividimos un número entre 4 100, primerole quitamos al número dos ceros de la derecha porque 4 100 tiene dos ceros y elresultado lo dividiremos entre 41.

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Ejemplo. Calcula: a) 5700 : 30; b) 28 700 : 4 100; c) 1 750 000 : 7000Resp. a) 570 : 3 = 190; b) 287 : 41 = 7; c) 1 750 : 7 = 250. 2

¿Cómo adivinar números II?

• En esta pregunta vamos a aprender a adivinar números gracias a que el productoy la división están íntimamente relacionados. Para ello volvemos a usar el símbolosímbolo ⇐⇒ de equivalencia.Ejemplo. 3·2 = 6⇐⇒ 6 : 2 = 3⇐⇒ 6 : 3 = 2

© © © × 2 = © © ©© © © ⇐⇒ © © ©

© © © : 2 = © © ©

©© × 3 = © © ©

© © © ⇐⇒ © © ©© © © : 3 = ©

©

• Estas equivalencias que hemos puesto con el 2, el 3 y el 6, valen con otrosnúmeros cualesquiera mientras ninguno de ellos sea el 0. Por tanto, si a, b y c sonnúmeros naturales cualesquiera excepto el 0, se cumple lo siguiente:

a·b = c⇐⇒ c : b = a⇐⇒ c : a = b

• Estas equivalencias nos sirven como prueba del producto y de la división ytambién nos sirven para adivinar números desconocidos. Fíjate en los ejemplos,donde llamaremos x al número desconocido que queremos adivinar.Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 9·20 = x.Resp. 9·20 = x⇐⇒ x = 9·20 = 180. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 120 : 15 = x.Resp. 120 : 15 = x⇐⇒ x = 120 : 15 = 8. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 18·x = 378Resp. 18·x = 378⇐⇒ x = 378 : 18 = 21. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale el número desconocido x en este caso: x·17 = 54Resp. x·12 = 192⇐⇒ x = 192 : 12 = 16. 2Ejemplo. Adivina cuánto x en este caso: x : 25 = 9Resp. x : 25 = 9⇐⇒ x = 9·25 = 225. 2Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 84 : x = 7Resp. 84 : x = 7⇐⇒ x = 84 : 7 = 12. 2

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¿Qué es una división entera, exacta y no exacta?

• Una división es una división entera cuando no sacamos decimales al dividir. Enuna división entera tenemos dividendo D, divisor d, cociente c y resto r.

• Una división exacta es una división entera cuyo reparto es exacto, es decir,cuyo resto es cero. Hasta ahora todas las divisiones que nos han salido han sidoexactas.

Ejemplo. La división entera 12:3 es una división exacta porque si tengo que repartir12 unidades entre 3 personas cada persona tendrá exactamente 4 unidades. El restode la división 12:3 es cero. 2

• Una división no exacta es una división entera cuyo reparto no es exacto, esdecir, cuyo resto no es cero.

Ejemplo. La división entera 14:3 es una división no exacta porque si tengo querepartir 14 unidades entre 3 personas no puedo hacerlo de forma exacta. Si reparto4 a cada persona, me sobrarán 2 unidades y si reparto 5 a cada persona, me faltará1 unidad. 2

¿Cuál es la regla de la división entera?

• La regla de la división entera dice dos cosas. Primero dice que el dividendo Des igual al divisor d por el cociente c más el resto r. Segundo dice que el resto esun número natural menor que el divisor.

D dr c

Si r = 0, la división es exacta y D = d·cSi r 6= 0, la división es no exacta y D = d·c+ r; r < d

Ejemplo. En la división entera 90:5 tenemos que 90 es el dividendo, 5 es el divisor,18 es el cociente y 0 es el resto. Es, por tanto, una división exacta y se cumpleque 90 = 5·18. 2

Ejemplo. En la división entera 80:7 tenemos que 80 es el dividendo, 7 es el divisor,11 es el cociente y 3 es el resto. Es, por tanto, una división no exacta y se cumpleque 80 = 7 · 11 + 3 y también se cumple que el resto es menor que el divisor, esdecir, 3 < 7. 2

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4. Potencias y raíz cuadrada de números natu-rales

¿Qué son las potencias?

• Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factoresiguales un número determinado de veces.Ejemplo. La forma abreviada de escribir 3·3·3·3 es 34 y se lee “tres elevado ala cuatro” o “tres elevado a la cuarta”. 2

Ejemplo. La forma abreviada de escribir 7·7·7·7·7 es 75 y se lee “siete elevadoa la cinco” o “siete elevado a la quinta”. 2

• En una potencia el número que hace de factor se llama base y el número deveces que aparece el factor se llama exponente. Es decir, que el número de tamañomayor es la base y el número de tamaño menor es el exponente.Ejemplo. Identifica la base y el exponente de 35 y luego halla su valor.Resp. La base es 3 y el exponente es 5; 35 = 3·3·3·3·3 = 9·3·3·3 =27·3·3 = 81·3 = 243. 2

Ejemplo. Identifica la base y el exponenete de 53 y luego halla su valor.Resp. La base es 5 y el exponente es 3; 53 = 5·5·5 = 25·5 = 125. 2

• ¡OJO! Las potencias NO tienen la propiedad conmutativa. Fíjate que acabamosde ver que 35 es 243 mientras que 53 es 125.

¿Cuánto valen las potencias de exponentes 1 y 0?

• Un número natural cualquiera elevado a la uno vale lo mismo que el númeronatural.Ejemplo. Halla: a) 31; b) 71; c) 261; d) 01.Resp. a) 3; b) 7; c) 26; d) 0. 2

• Generalizando, si a es un número natural: a1 = a.• Un número natural cualquiera (que no sea el cero) elevado a la cero vale uno.• ¡OJO! 00 no existe por definición, es decir, porque los matemáticos así lo handecidido.Ejemplo. Halla: a) 30; b) 70; c) 260; d) 00.Resp. a) 1; b) 1; c) 1; d) No existe. 2

• Generalizando, si a es un número natural cualquiera distinto de 0: a0 = 1.

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¿Qué nombre especial tienen las potencias de exponente 2?

• Las potencias que tienen exponente 2 se pueden leer usando la palabra cuadrado.La razón por la que se usa la palabra cuadrado es que si, por ejemplo, tuvíeramosun cuadrado formado de cuadraditos donde cada lado del cuadrado tuviera 4cuadraditos, dicho cuadrado contendría 42 = 4·4 = 16 cuadraditos. Si el cuadradotuviera 5 cuadraditos en cada lado, contendría 52 = 5·5 = 25 cuadraditos.

Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 62?Resp. Se lee “seis al cuadrado” y vale 6·6 = 36. 2

Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 112?Resp. Se lee “once al cuadrado” y vale 11·11 = 121. 2

• Generalizando, si a es un número natural y el cuadrado tiene a cuadraditos encada lado, dicho cuadrado contendrá a2 cuadraditos.Ejemplo. Un cuadrado está formado por baldosas. Si cada lado del cuadrado tiene7 baldosas, ¿cuántas baldosas contiene el cuadrado?Resp. Tendrá 72 = 7·7 = 49 baldosas. 2

¿Qué nombre especial tienen las potencias de exponente 3?

• Las potencias que tienen exponente 3 se pueden leer usando la palabra cubo.La razón por la que se usa la palabra cubo es que si, por ejemplo, tuvíeramos uncubo formado de cubitos donde cada arista del cubo tuviera 4 cubitos, dicho cubocontendría 43 = 4·4·4 = 64 cubitos. Si el cubo tuviera 5 cubitos en cada lado,contendría 53 = 5·5·5 = 125 cubitos.

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Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 63?Resp. Se lee “seis al cubo” y vale 6·6·6 = 36·6 = 216. 2

Ejemplo. ¿Cómo se lee y cuánto vale 83?Resp. Se lee “ocho al cubo” y vale 8·8·8 = 64·8 = 512. 2

• Generalizando, si a es un número natural y el cubo tiene a cubitos en cadaarista, dicho cubo contendrá a3 cubitos.Ejemplo. Un cubo está formado por cubitos. Si tiene en cada arista 10 cubitos,¿cuántos cubitos contiene el cubo?Resp. Contiene 103 = 10·10·10 = 100·10 = 1000 cubitos. 2

¿Qué es la raíz cuadrada?

• La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y la denotamospor el símbolo √ .

Ejemplo. Como 42 = 16, entonces√

16 = 4. 2

Ejemplo.√

81 = 9 porque 92 = 81. 2

• En una raíz cuadrada el número que aparece dentro de √ se llama radicando yel resultado de hacer la raíz cuadradada se llama raíz cuadrada o raíz.Ejemplo. En

√16 el radicando es 16 y la raíz 4. 2

• Generalizando, si a y b son números naturales tenemos la siguiente equivalencia:

a2 = b⇐⇒√b = a

15

Ejemplo. Fíjate en la figura: 52 = 25⇐⇒√

25 = 5

Ejemplo. Un cuadrado está formado por baldosas cuadradas. Si el cuadrado con-tiene 64 baldosas en total, ¿cuántas baldosas hay en cada lado del cuadrado?Resp. Sé que si elevo al cuadrado el número de baldosas de cada lado, me da elnúmero total de baldosas. Por tanto, si hago la raíz cuadrada del número total debaldosas, me da el número de baldosas de cada lado. Por tanto,

√64 = 8 baldosas

cada lado. 2

¿Cómo adivinar números III?

• En esta pregunta vamos a aprender a adivinar números gracias a que elevaral cuadrado y hacer la raiz cuadrada están íntimamante relacionados por unaequivalencia. Si a y b son números naturales cualesquiera, entonces se cumple:

a2 = b⇐⇒√b = a

Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso: 82 = x.Resp. 82 = x⇐⇒ x = 82 = 64. 2

Ejemplo. Adivina cuánto vale x en este caso:√

169 = x.Resp.

√169 = x⇐⇒ x =

√169 = 13. 2

Ejemplo. Adivina cuánto vale el número desconocido x en este caso: x2 = 144Resp. x2 = 144⇐⇒ x =

√144 = 12. 2

Ejemplo. Adivina cuánto vale el número desconocido x en este caso:√x = 25

Resp.√x = 25⇐⇒ x = 252 = 625. 2

¿Qué números son cuadrados perfectos?

• Un cuadrado perfecto es un número natural que se puede expresar como elcuadrado de algún número natural.Ejemplo. 16 es cuadrado perfecto porque 16 = 42. 2

Ejemplo. 49 es cuadrado perfecto porque 49 = 72. 2

16

Ejemplo. 26 no es cuadrado perfecto porque ningún número natural elevado alcuadrado da 26; 52 = 25; 62 = 36. 2Ejemplo 70 no es cuadrado perfecto porque ningún número natural elevado alcuadrado da 70; 82 = 64; 92 = 81. 2Ejemplo. Haz una lista con todos los cuadrados perfectos menores de 300.Resp. 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289. 2

¿Qué es una raíz entera, exacta y no exacta?

• Una raíz es una raíz entera cuando no sacamos decimales al hacer la raíz.• Una raíz exacta es una raíz entera cuyo radicando es un cuadrado perfecto.Hasta ahora todas las raíces que nos han salido han sido exactas.Ejemplo. La raíz entera

√256 es una raíz exacta porque 256 es un cuadrado

perfecto. Su valor es 16. 2• Una raíz no exacta es una raíz entera cuyo radicando no es un cuadrado perfecto.Ejemplo. La raíz entera

√200 no es exacta porque 200 no es cuadrado perfecto. 2

¿Cuál es el valor de una raíz no exacta?

• El valor de una raíz no exacta es el de la raíz del cuadrado perfecto menormás cercano. Para expresar el valor de una raíz no exacta, en lugar de utilizar elsímbolo =, utilizaremos el símbolo ≈ que se lee “aproximado”.Ejemplo. Hallar la raíz entera de 18.Resp. El cuadrado perfecto menor de 18 y más cercano a 18 es 16. Como

√16 = 4,

entonces√

18 ≈ 4. 2Ejemplo. Hallar la raíz entera de 250.Resp. El cuadrado perfecto menor de 250 y más cercano a 250 es 225. Como√

225 = 15, entonces√

250 ≈ 15. 2

5. Operaciones combinadas¿Qué son paréntesis, corchetes y llaves?

• Los paréntesis (), corchetes [] y llaves {} sirven exactamente para lo mismo. Esosí, cada vez que abramos un paréntesis tendremos que cerrarlo; lo mismo para loscorchetes y lo mismo para las llaves. Para abreviar, solo utilizaremos la palabraparéntesis, pero debemos saber que todo lo que digamos sobre paréntesis tambiénvale para corchetes y para llaves.

17

• Hallar un paréntesis es hallar el resultado de las operaciones del interior dedicho paréntesis.Ejemplo. Halla el paréntesis: (6 + 9).Resp. 15. 2

• Cuando un paréntesis esté dentro de otro paréntesis se llamará paréntesis inte-rior.Ejemplo. En la operación (4 + 16)− (8 + 9− 2) no hay paréntesis interiores. 2

Ejemplo. En la operación [4 + 2 − (5 − 3)] + (6 − 4) el paréntesis (5 − 3) es unparéntesis interior, pero el paréntesis (6− 4) no es un paréntesis interior. 2

¿Qué son las operaciones del mismo tipo?

• Las sumas y las restas son operaciones del mismo tipo. Los productos y lasdivisiones también son operaciones del mismo tipo.• Es decir, una operación solo contiene operaciones del mismo tipo cuando solocontenga sumas o solo contenga restas o solo contenga sumas y restas o solo con-tenga productos o solo contenga divisiones o solo contenga productos y divisiones.• Regla. Cuando una operación NO tenga paréntesis y SOLO contenga operacio-nes del mismo tipo, se resolverá de izquierda a derecha.• Fíjate en los ejemplos de operaciones tipo sumas y restas.Ejemplo. Hallar 20− 8 + 6.Resp. En este y en los siguientes ejemplos subrayaré la operación que vaya a haceren el paso siguiente: 20− 8 + 6 = 12 + 6 = 18.¡OJO! Si no hubiera seguido esta regla me habría dado un resultado erróneo,fíjate: 20 − 8 + 6 = 20 − 14 = 6. Como vemos siguiendo las reglas da 18 y si lohago en otro orden da 6, luego es muy importante operar siguiendo las reglas.En el tema siguiente aprenderemos trucos para poder saltarnos algunas reglassin cometer error, pero como todavía no hemos estudiado esos trucos es muyimportante seguir las reglas. 2

Ejemplo. Hallar 12 + 5 + 9 + 10.Resp. 12 + 5 + 9 + 10 = 17 + 9 + 10 = 26 + 10 = 36. 2

Ejemplo. Hallar 26− 7− 4− 12.Resp. 26− 7− 4− 12 = 19− 4− 12 = 15− 12 = 3. 2

Ejemplo. Hallar 11 + 3 + 7− 8− 4.Resp. 11 + 3− 7 + 8− 4 = 14− 7 + 8− 4 = 7 + 8− 4 = 15− 4 = 11. 2

• Fíjate en los siguientes ejemplos de operaciones tipo producto y división.Ejemplo. Hallar 60 : 10·2.

18

Resp. 60 : 10·2 = 6·2 = 12.¡OJO! Si no hubiera seguido esta regla me habría dado un resultado erróneo, fíjate:60 : 10·2 = 60 : 20 = 3. Como vemos, siguiendo la regla da 12 y si lo hago en otroorden da 3, luego, de nuevo, es muy importante operar siguiendo las reglas. 2Ejemplo. Hallar 12·5 : 3:4.Resp.12·5 : 3:4 = 60 : 3:4 = 20 : 4 = 5. 2Ejemplo. Hallar 48 : 12·5·10Resp. 48 : 12·5·10 = 4·5·10 = 20·10 = 200. 2

¿Qué son las operaciones combinadas?

• Una operación es una operación combinada cuando contenga operaciones devarios tipos. En las operaciones combinadas puede haber paréntesis o no haberlos.• Una operación combinada no se resuelve, en general, de izquierda a derecha.Ejemplo. Las siguientes son operaciones combinadas: a) 40− (42 + 32 : 8);b) 36− 1 +

√81·5 : 2; c) (24·15) : 2; d) 186 : 2 : 3. 2

¿Cuáles son las reglas de la prioridad?

Para resolver una operación combinada tenemos que saber el orden en el quetenemos que hacer las operaciones, porque por lo general, NO se hacen de izquierdaa derecha. Este orden nos lo dan las reglas de la prioridad:• Primera regla. Primero tienen prioridad los paréntesis que no contienen otrosparéntesis en su interior.• Segunda regla. Después, tienen prioridad las potencias y las raíces cuadradas,ambas con igual prioridad.• Tercera regla. Después, tienen prioridad los productos y las divisiones, ambascon igual prioridad.• Cuarta regla. Por último, están las sumas y las restas, ambas con igual prioridad.• Quinta regla. Dentro de la misma prioridad, las operaciones se realizarán deizquierda a derecha.

() , [] , {} −→ ab,√ −→ ·, :−→ +, −

¿Qué son los términos de una operacición combinada sin paréntesis?

• En toda esta pregunta estudiaremos solo operaciones combinadas sin paréntesis.Para aprender a resolver estas operaciones combinadas primero debemos aprendera identificar sus términos, que son “trozos” de la operacion combinada.

19

• De un solo término. Si en toda la operación combinada no hay + o -, dichaoperación combinada tiene un solo término, que es toda la operación combinada.En caso contrario la operación combinada tendrá más de un término.Ejemplo. 43·37 :

√256 es una operación combinada de un solo término, que es

toda la operación. 2

• De más de un término. El primer término de la operación combinada estáformado por todos los números y operaciones que haya desde el principio de laoperación combinada hasta justo antes del primer + o - que nos encontremos. Elsiguiente término de la operación combinada está formado por todos los númerosy operaciones que haya a partir del anterior + o - hasta justo antes del siguiente+ o - que nos encontremos. Así continuaríamos hasta que lleguemos al final de laoperación combinada.• Fíjate en los siguientes ejemplos en los que usaré una llave superior para iden-tificar cada término de la operación.

Ejemplo. Identifica los términos:a) 3 + 5·32 : 42− 60 :

√4 + 9− 1; b) 150 : 52 :

√9·23; c) 5·12 + 83 : 16− 11.

Resp.

a)︷︸︸︷3 +

︷ ︸︸ ︷5·32 : 42−

︷ ︸︸ ︷60 :√

4 +︷︸︸︷9 −

︷︸︸︷1 . Esta operación tiene cinco términos.

b)︷ ︸︸ ︷150 : 52 :

√9·23. Esta operación tiene un solo término.

c)︷ ︸︸ ︷5·12 +

︷ ︸︸ ︷83 : 16−

︷︸︸︷11 . Esta operación tiene tres términos. 2

¿Cómo se resuelven las operaciones combinadas sin paréntesis?

Para resolver operaciones combinadas sin paréntesis seguiremos los siguientes re-glas:

1. Identificar los términos de la operación combinada.

2. Hallar el valor de cada término. No es necesario hallar primero el términode más a la izquierda, luego el siguiente y así, sino que se pueden ir hallandotodos los términos a la vez. Para ello, en cada término:

a) Calculamos potencias y raíces. No es necesario calcular potencias yraíces de izquierda a derecha, sino que se pueden ir calculando todas ala vez.

b) Calculamos productos y divisiones. Esto SÍ es obligatorio de izquierdaa derecha.

20

3. Hacemos las sumas y las restas. Esto SÍ es obligatorio de izquierda a derecha.

Fíjate bien en los ejemplos, donde usaré llaves superiores para identificar los tér-minos y subrayaré las operaciones que vaya a hacer en el paso siguiente; cuandotodos los términos estén hallados omitiré las llaves superiores.

Ejemplo. Resuelve las siguientes operaciones:a) 9 + 3·2− 12 : 4; b) 17− 2·3 + 10; c) 8·7− 18 : 2− 4·3 + 20 : 5.Resp.

a)︷︸︸︷9 +

︷ ︸︸ ︷3·2−

︷ ︸︸ ︷12 : 4 = 9 + 6− 3 = 15− 3 = 12.

b)︷︸︸︷17 −

︷ ︸︸ ︷2·3 +

︷︸︸︷10 = 17− 6 + 10 = 11 + 10 = 21.

c)︷ ︸︸ ︷8·7−

︷ ︸︸ ︷18 : 2−

︷ ︸︸ ︷4·3 +

︷ ︸︸ ︷20 : 5 = 56− 9− 12 + 4 = 47− 12 + 4 = 35 + 4 = 39. 2

Ejemplo. Resuelve las siguientes operaciones:a) 8 + 7·2·3− 36 : 9; b) 15·4 : 3− 10 : 2·3− 1; c) 8·9− 15 : 3 + 2·3·7.Resp.

a)︷︸︸︷8 +

︷ ︸︸ ︷7·2·3−

︷ ︸︸ ︷36 : 9 =

︷︸︸︷8 +

︷ ︸︸ ︷14·3−

︷︸︸︷4 = 8 + 42− 4 = 50− 4 = 46.

b)︷ ︸︸ ︷15·4 : 3−

︷ ︸︸ ︷10 : 2·3−

︷︸︸︷1 =

︷ ︸︸ ︷60 : 3−

︷ ︸︸ ︷5·3−

︷︸︸︷1 = 20− 15− 1 = 5− 1 = 4.

c)︷ ︸︸ ︷8·9−

︷ ︸︸ ︷15 : 3 +

︷ ︸︸ ︷2·3·7 =

︷︸︸︷72 −

︷︸︸︷5 +

︷ ︸︸ ︷6·7 = 72− 5 + 42 = 67 + 42 = 109. 2

Ejemplo. Resuelve las siguientes operaciones:a) 15:3·24; b) 3·42 :

√36 + 53;

c) 150 : 52 :√

9− 23·√

16 : 16.Resp.

a)︷ ︸︸ ︷15 : 3·24 =

︷ ︸︸ ︷15 : 3·16 =

︷ ︸︸ ︷5·16 = 80.

b)︷ ︸︸ ︷3·42 :

√36 +

︷︸︸︷53 =

︷ ︸︸ ︷3·16 : 6 +

︷︸︸︷125 =

︷ ︸︸ ︷48 : 6 +

︷︸︸︷125 = 8 + 125 = 133.

c)︷ ︸︸ ︷150 : 52 :

√9−

︷ ︸︸ ︷23·√

16 : 16 =︷ ︸︸ ︷150 : 25 : 3−

︷ ︸︸ ︷8·4 : 16 =

︷ ︸︸ ︷6 : 3−

︷ ︸︸ ︷32 : 16 = 2−2 =

0. 2

¿Cómo se resuelven operaciones combinadas con paréntesis?

Vamos a estudiar, por último, las reglas para resolver operaciones combinadas conparéntesis.

21

1. Resolver los paréntesis que no contengan paréntesis internos. No es necesariohallar primero el paréntesis de más a la izquierda, luego el siguiente y así,sino que se pueden hallar a la vez todos los paréntesis que no contenganparéntesis internos. Para ello:

a) Identificamos los términos de dichos paréntesis.b) Resolvemos dichos paréntesis usando las reglas de la pregunta anterior.

2. Continuar así hasta que no queden paréntesis.

3. Una vez que ya no queden paréntesis, identificamos términos y resolvemosusando las reglas de la pregunta anterior.

Fíjate bien en los ejemplos.

Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:a) 3·(5 + 2)− 2·4; b) 6 + 4·(9− 3·2); c) 10 : 2− (12 + 3·3) + 5·4.Resp.a) 3·(5 + 2)− 2·4 =

︷ ︸︸ ︷3·7−

︷ ︸︸ ︷2·4 = 21− 8 = 13.

b) 6 + 4·(︷︸︸︷9 −

︷ ︸︸ ︷3·2) = 6 + 4·(9− 6) =

︷︸︸︷6 +

︷ ︸︸ ︷4·3 = 6 + 12 = 18.

c) 10 : 2−(︷︸︸︷12 −

︷ ︸︸ ︷3·3)+5·4 = 10 : 2−(12− 9)+5·4 = 5− 3+20 = 2+20 = 22. 2

Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:a) 72 − (3·4)2 : 3; b) 5 + 42 : (

√36 : 3)3; c) 2·

√25 + 8·32 : (

√9·23).

Resp.

a) 72 − (3·4)2 : 3 =︷︸︸︷72 −

︷ ︸︸ ︷122 : 3 =

︷︸︸︷49 −

︷ ︸︸ ︷144 : 3 = 49− 48 = 1.

b) 5 + 42 : (√

36 : 3)3 = 5 + 42 : (6 : 3)3 =︷︸︸︷5 +

︷ ︸︸ ︷42 : 23 =

︷︸︸︷5 +

︷ ︸︸ ︷16 : 8 = 5 + 2 = 7.

c) 2·√

25 + 8·32 : (√

9·23) = 2·√

25 + 8·32 : (3·8) =︷ ︸︸ ︷2·√

25 +︷ ︸︸ ︷8·32 : 24 =︷ ︸︸ ︷

2·5 +︷ ︸︸ ︷8·9 : 24 =

︷︸︸︷10 +

︷ ︸︸ ︷72 : 24 = 10 + 3 = 13. 2

Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:a) 2·(7+22)−3·(32−5); b) (3·4)2− (3·42); c) (9−2·4)+42 : (32−

√49)3.

Resp.

a) 2·(︷︸︸︷7 +

︷︸︸︷22 ) − 3·(

︷︸︸︷32 −

︷︸︸︷5 ) = 2·(7 + 4) − 3·(9− 5) =

︷ ︸︸ ︷2·11−

︷ ︸︸ ︷3·4 =

22− 12 = 10.

b) (3·4)2 − (3·42) = 122 − (3·16) =︷︸︸︷122 −

︷︸︸︷48 = 144− 48 = 96.

22

c) (︷︸︸︷9 −

︷ ︸︸ ︷2·4) + 42 : (

︷︸︸︷32 −

︷ ︸︸ ︷√49)3 = (9− 8) + 42 : (9− 7)3 =

︷︸︸︷1 +

︷ ︸︸ ︷42 : 23 =︷︸︸︷

1 +︷ ︸︸ ︷16 : 8 = 1 + 2 = 3. 2

Ejemplo. Calcula las siguientes operaciones:a) 52− [6·(13− 11)−

√9]; b) [3·(9− 5)]2− [3·(7− 2)2]; c) (9− 2·4) + [42 :

(32 −√

49)].Resp.

a) 52 − [6·(13− 11) −√

9] = 52 − [︷ ︸︸ ︷6·2−

︷︸︸︷√9] = 52 − [12− 3] =

︷︸︸︷52 −

︷︸︸︷9 =

25− 9 = 16.

b) [3·(9− 5)]2 − [3·(7− 2)2] = [3·4]2 − [3·52] = 122 − [3·25] =︷︸︸︷122 −

︷︸︸︷75 =

144− 75 = 69.

c) (︷︸︸︷9 −

︷ ︸︸ ︷2·4) + [42 : (

︷︸︸︷32 −

︷ ︸︸ ︷√49)] = (9− 8) + [42 : (9− 7)] = 1 + [42 : 2] =

1 + [16 : 2] = 1 + 8 = 9. 2

¿Cómo se resuelven las raíces que contienen operaciones?

• Hasta ahora lo que había dentro de una raíz era un solo número. Por ejemplo√16.

• También puede haber operaciones dentro de la raíz. Por ejemplo√

23 + 7·11.• Regla. Para resolver estas raíces tenemos que imaginarmos que hay un paréntesisque contiene todo lo que está dentro de la raíz. Por tanto, aunque no veamos elparéntesis, el paréntesis está. Fíjate en los ejemplos.

Ejemplo. Calcula las siguientes raíces:a)√

9 + 16; b)√

23 + 7·11; c)√

52·2 + 9·(42 − 8).Resp.a)

√(9 + 16) =

√25 = 5.

b)√

(23 + 7·11) =√

(23 + 77) =√

100 = 10.

c)√

[52·2 + 9·(42 − 8)] =√

[52·2 + 9·(16− 8)] =√

[52·2 + 9·8] =√

[50 + 72] =√122 ≈ 11. 2

23