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Tema 1:Preliminares
Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla
Teorıa de la ComputabilidadCurso 2005–06
TC0, 2005–06 Preliminares 1.1
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Conjuntos
I Escribimos x ∈ C para expresar que x es un elemento de C .I Ademas, x 6∈ C expresa que x NO es un elemento de C .I Dada una propiedad Θ, denotamos por {t : Θ(t)} al conjunto
formado por aquellos elementos que verifican la propiedad Θ.I El conjunto vacıo de denota por ∅.
Igualdad entre conjuntos
I Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismoselementos, es decir, si
Para todo x , x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B
I Por tanto, dada una propiedad, Θ, si A = {x : Θ(x)}entonces, para todo x ,
x ∈ A ⇐⇒ Θ(x)
TC0, 2005–06 Preliminares 1.2
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Subconjuntos
I A es un subconjunto de B, y lo expresamos, A ⊆ B, si todoelemento de A es elemento de B, es decir,
Para todo x , x ∈ A =⇒ x ∈ B
I En consecuencia,
A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A
Ası, podemos probar que dos conjuntos A y B son igualespor doble inclusion, es decir, probando que A ⊆ B y B ⊆ A.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.3
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Operaciones con conjuntos
I Union: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}I Interseccion: A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}I Diferencia: A− B = {x : x ∈ A y x /∈ B}I Complementario: Fijado un conjunto C , para cada A ⊆ C el
complementario de A (en C ) se define como
A = C − A = {x ∈ C : x /∈ A}
I Conjunto Potencia: Dado un conjunto A, el conjuntopotencia de A (o conjunto de las partes de A) es
P(A) = {C : C ⊆ A}
TC0, 2005–06 Preliminares 1.4
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Producto cartesiano
I Producto cartesiano: A× B = {(u, v) : u ∈ A y v ∈ B},donde (u, v) denota al par ordenado formado por u y v .
I La propiedad caracterıstica de los pares ordenados es
(a, b) = (c , d) ⇐⇒ a = c y b = d
I En general, para cada n ≥ 3, podemos considerar n-tuplas,(a1, a2, ..., an), cuya propiedad caracterıstica es:
(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bn) ⇐⇒ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn
I A1 × ...× An = {(x1, ..., xn) : x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An}.I Si A1 = ... = An = A, escribiremos An = A× A× (n... ×A.
Ademas, la n–tupla (x1, . . . , xn) se denotara por ~x .
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Funciones
I Una funcion f es un conjunto de pares ordenados, tal que
(a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f =⇒ b = c
I El dominio de una funcion f es el conjunto:
dom(f ) = {x : ∃y ((x , y) ∈ f )}
I El rango de f es el conjunto:
rang(f ) = {y : ∃x ((x , y) ∈ f )}
I Si f es una funcion, para cada a ∈ dom(f ) existe un unicob ∈ rang(f ) tal que (a, b) ∈ f . Por ello usaremos la notacionhabitual, f (a) = b para expresar que (a, b) ∈ f .
TC0, 2005–06 Preliminares 1.6
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Igualdad entre funciones
Notacion: Escribiremos f (x) ↓ para expresar que x ∈ dom(f ) yutilizaremos la notacion f (x) ↑ para expresar que x /∈ dom(f ).(En este ultimo caso se dice que f no esta definida en x).
I Si f y g son funciones, entonces f = g si y solo si tienen losmismos elementos (pares ordenados). Por tanto,
f = g ⇐⇒
dom(f ) = dom(g)ypara todo x ∈ dom(f ), f (x) = g(x)
⇐⇒ Para todo x ,
f (x) ↓ ⇐⇒ g(x) ↓yf (x) = g(x)
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Tipos de funciones
Sean A y B dos conjuntos y f una funcion.
I f es una aplicacion de A en B (o funcion total de A en B) yescribiremos f : A −→ B, si
dom(f ) = A y rang(f ) ⊆ B
I f es una funcion parcial de A en B, f : A − → B, si
dom(f ) ⊆ A y rang(f ) ⊆ B
I Una funcion f : A − → B es:I inyectiva si para todo x1, x2 ∈ dom(f ),
f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2
I sobreyectiva (o suprayectiva o exhaustiva) si rang(f ) = B, esdecir,
∀y ∈ B∃x ∈ A(f (x) = y)
I biyectiva si es total, inyectiva y sobreyectiva.
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Composicion de funciones
Sean f : A − → B y g : B − → C . Se define la composicion de fy g como la funcion (parcial) h : A − → C dada por
h = {(x , y) ∈ A× C : Existe z ∈ B tal que f (x) = z y g(z) = y}
Graficamente,
Af−→ B
g−→ Cx 7→ f (x) 7→ g(f (x)) (= h(x))
Notacion: h = g ◦ f .
I Sea A un conjunto. La funcion identidad de A es la funcionIdA : A → A, dada por IdA(x) = x .
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Funcion inversa
I Dada una funcion f decimos que una funcion g es la inversade f si, para todo x y todo y se tiene,
f (x) = y ⇐⇒ g(y) = x
I Si existe, la inversa de f es unica y se denota por f −1.
I Sea f una funcion. Entonces,
f tiene inversa ⇐⇒ f es inyectiva.
Proposicion: Sea f : A −→ B una aplicacion. Entonces,
1. f −1 es aplicacion de B en A ⇐⇒ f es biyectiva(en cuyo caso, f −1 tambien sera biyectiva)
2. Si f es biyectiva, f ◦ f −1 = IdB y f −1 ◦ f = IdA.Si, ademas, A = B entonces, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f
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Imagen e imagen inversa.
Sea f : A − → B.
I Si C ⊆ A, la imagen de C por f es el conjunto
f [C ] = {y ∈ B : Existe x ∈ dom(f ) ∩ C tal que f (x) = y}
I Si D ⊆ B, la imagen inversa (o antiimagen) de D por f esel conjunto
f −1[D] = {x ∈ A : x ∈ dom(f ) y f (x) ∈ D}
Observaciones:
1. Para cada C ⊆ A, f [C ] ⊆ B.
2. Para cada D ⊆ B, f −1[D] ⊆ A.
3. f −1[D] existe siempre, aunque no exista la inversa de f .
TC0, 2005–06 Preliminares 1.11
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Conjuntos numerables
Definicion: Un conjunto A es numerable si existe una aplicacionbiyectiva de N en A.
I Si un conjunto, A, es numerable, entonces los elementos de Apueden ordenarse en una lista infinita sin repeticiones:
a0, a1, . . . , an, . . .
I N2 es numerable.Para probarlo, basta demostrar que la siguiente funcionJ : N2 → N es biyectiva:
J(x , y) =(x + y)(x + y + 1)
2+ x
I En general, para cada k ≥ 2, el conjunto Nk es numerable.
I El conjunto de los numeros racionales Q es numerable.
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Conjuntos no numerables
No todo conjunto infinito es numerable.
I Ejemplos:I El conjunto de los numeros reales, R.I El intervalo [0, 1) ⊆ R.I P(N).
Estos resultados fueron probados por G. Cantor utilizando lamisma idea basica: El metodo diagonal de Cantor.
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El metodo diagonal de Cantor (I)
Veamos que P(N) no es numerable.
I Por reduccion al absurdo. Si P(N) fuese numerabletendrıamos
P(N) = {A0,A1,A2, ...,An, ...}.
I Cada subconjunto A ⊆ N puede identificarse con una sucesion
0 1 2 . . . n . . .
A SI NO NO . . . SI . . .
donde en la posicion j–esima figura un SI cuando j ∈ A y unNO en caso contrario.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.14
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El metodo diagonal de Cantor (II)
I Formemos una tabla infinita con la informacion de los Aj .0 1 2 .. n ..
A0 SI no no .. no ..A1 no NO si .. si ..A2 si si NO .. no ..
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. ..An no si no .. SI ..
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. ..
I El conjunto D ⊆ N definido usando la diagonal de la tabla
D
0 1 2 ... n ...NO – – ... – ...– SI – ... – ...– – SI ... – ...– – – ... – ...– – – ... NO ...– – – ... – ...
es, por construccion, un subconjunto de N distinto deA0,A1,A2, ...,An, ..., en contradiccion con la suposicion deque P(N) es numerable.
Por tanto, P(N) es no numerable.TC0, 2005–06 Preliminares 1.15
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El metodo diagonal de Cantor (III)
Veamos ahora que el intervalo [0, 1) no es numerable:
I Cada numero real x ∈ [0, 1) puede escribirse en base 10 como:
0′a0 a1 a2 . . .
Donde cada ak ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Por tanto podemosidentificar x con la sucesion a0, a1, a2, . . . , an, . . . .
I Supongamos por reduccion al absurdo que [0, 1) esnumerable. Entonces
[0, 1) = {x0, x1, x2, . . . }
y cada xj tiene una expresion decimal: 0′aj ,0 aj ,1 aj ,2 . . . .
TC0, 2005–06 Preliminares 1.16
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El metodo diagonal de Cantor (IV)
I Formemos una tabla infinita con las expresiones decimales delos xj :
x0 a0,0 a0,1 a0,2 .. a0,n ..x1 a1,0 a1,1 a1,2 .. a1,n ..x2 a2,0 a2,1 a2,2 .. a2,n .....
......
... ..... ..
xn an,0 an,1 an,2 .. an,n .....
......
... ..... ..
I Definamos ahora el siguiente numero real d ∈ [0, 1):
d = 0′d0 d1 d2 . . . , dn . . .
donde dj =
{0 si aj ,j 6= 01 si aj ,j = 0
I Entonces, para todo j ∈ N, xj 6= d . En contradiccion cond ∈ [0, 1) = {x0, x1, x2, . . . }.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.17
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Predicados
Definicion: (n ≥ 1) Un predicado n–ario sobre A es una aplicacionθ : An → {0, 1}.
I Los predicados nos permiten identificar con funciones lossubconjuntos de A y, en general, las relaciones entreelementos de A.
I Dado (x1, . . . , xn) ∈ An, si θ(x1, ..., xn) = 1 diremos que elpredicado θ se verifica (o que es cierto) para (x1, ..., xn).Escribiremos θ(~x) en vez de θ(~x) = 1.
I Si θ(x1, ..., xn) = 0 diremos que el predicado no se verifica (oque es falso) para (x1, ..., xn).
I Podemos identificar un predicado n–ario sobre A,θ : An → {0, 1}, con un subconjunto de An:
Sθ = {~x ∈ An : θ(~x) = 1}
TC0, 2005–06 Preliminares 1.18
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Predicados y conjuntos
Definicion: Sea B ⊆ An. Llamaremos funcion caracterıstica delsubconjunto B, al predicado CB definido sobre An como sigue:
CB(~x) =
{1 si ~x ∈ B0 si ~x /∈ B
I La funcion caracterıstica de B ⊆ An, nos permite identificar elconjunto B con un predicado (precisamente, CB).
I Si θ es un predicado n–ario sobre A y B = Sθ entoncesCB = θ.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.19
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Operaciones con predicados
Definicion: Dados los predicados θ y θ′, definimos los predicados¬θ, θ ∨ θ′, θ ∧ θ′, θ → θ′ y θ ↔ θ′, ası:
I (¬θ)(~x) ≡ ¬θ(~x) = 1− θ(~x).
I (θ ∨ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∨ θ′(~x) = max(θ(~x), θ′(~x))
I (θ ∧ θ′)(~x) ≡ θ(~x) ∧ θ′(~x) = min(θ(~x), θ′(~x)).
I θ → θ′ = (¬θ) ∨ θ′.
I θ ↔ θ′ = (θ → θ′) ∧ (θ′ → θ).
Estas operaciones reflejan las operaciones entre conjuntos delsiguiente modo. Sean θ1 y θ2 predicados n–arios sobre An.Entonces
I Sθ1∨θ2 = Sθ1 ∪ Sθ2 .
I Sθ1∧θ2 = Sθ1 ∩ Sθ2 .
I S¬θ1 = An − Sθ1 .
TC0, 2005–06 Preliminares 1.20
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Cuantificacion acotada
Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existencialacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∃z)≤yθ y se define mediante:
(∃z)≤yθ(~x , z) =
{1 si existe z0 ≤ y tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario
El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universalacotada es el predicado (n + 1)–ario sobre N que denotaremos por(∀z)≤yθ y se define mediante:
(∀z)≤yθ(~x , z) =
{1 si para todo z0 ≤ y se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario
I (∃z)≤yθ(~x , z) = θ(~x , 0) ∨ θ(~x , 1) ∨ ... ∨ θ(~x , y)
I (∀z)≤y θ(~x , z) = θ(~x , 0) ∧ θ(~x , 1) ∧ ... ∧ θ(~x , y)
TC0, 2005–06 Preliminares 1.21
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Cuantificacion no acotada
Sea θ(x1, ..., xn, y) un predicado (n + 1)–ario sobre N.El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion existenciales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∃z) θ y sedefine mediante:
(∃z) θ(~x , z) =
{1 si existe z0 tal que θ(~x , z0).0 en caso contrario.
El predicado obtenido a partir de θ por cuantificacion universales el predicado n–ario sobre N que denotaremos por (∀z) θ y sedefine mediante:
(∀z) θ(~x , z) =
{1 si para todo z0 se tiene θ(~x , z0).0 en caso contrario.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.22
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El principio de minimizacion
I Expresion sobre predicados. Sea θ un predicado 1–ariosobre N. Si ∃x θ(x) entonces ∃m (θ(m) ∧ ∀y < m ¬θ(y))
I Notacion: indicaremos que m es mınimo escribiendo:
m = µx(θ(x))
I Expresion conjuntista. Sea A ⊆ N. Si A 6= ∅ entonces∃m (m ∈ A ∧ ∀y < m(y /∈ A))
I Notacion: indicaremos que m es el mınimo escribiendo:
m = min(A)
Ejemplo.
I “Todo numero natural n ≥ 2 es divisible por un numeroprimo”.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.23
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El principio de Induccion
• Induccion debil.
Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:
1. Caso base: θ(0), y
2. Paso inductivo: ∀n(θ(n) −→ θ(n + 1))
Entonces, ∀n θ(n).
Ejemplos.
I
n∑i=0
i =n(n + 1)
2
I
n∑i=0
(2i + 1) = (n + 1)2
TC0, 2005–06 Preliminares 1.24
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El Principio de Induccion (II)
• Induccion fuerte
Teorema: Si θ es un predicado sobre N tal que:
1. Caso base: θ(0), y
2. Paso inductivo: ∀n([∀p ≤ n θ(p)] −→ θ(n + 1)).
Entonces, ∀n φ(n).
Ejemplo.
I “Todo numero natural n ≥ 2 puede descomponerse en unproducto de numeros primos”.
TC0, 2005–06 Preliminares 1.25