Propiedades y clasificación de los grupos.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Todos los grupos matemáticos, dentro de los cuales se incluyen losgrupos puntuales, tienen las siguientes propiedades:

1.- Cada grupo debe contener la operación identidad que conmutacon todos los otros miembros del grupo y los deja inalterados.

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2.- Cada operación debe tener una inversa, que combinada con laoperación, da la E.

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3.- El producto de dos operaciones también debe ser miembro delgrupo. Esto incluye el producto de una operación consigo misma.

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4.- Se debe cumplir la propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C.

Se puede combinar B y C en el orden BC, y luego combinar su producto,S, con A, en el orden AS; o por el contrario, que se puede combinar A conB en el orden AB, obteniendo un producto R, que luego combina con C enel orden RC, y resultando el mismo producto final por ambos caminos.

Por convenio, la primera de las operaciones realizadas se escribe a laderecha.

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4.- Se debe cumplir la propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C.

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5.- No tiene por que cumplirse siempre la propiedad conmutativa:

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Matrices.

La información importante de la simetría de los grupos puntuales estaresumida en las tablas de caracteres. Para entender su construcción yfundamento debemos considerar algunas propiedades del álgebramatricial.

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La multiplicación de matrices requiere no solamente que sean cuadradas,sino que además el número de columnas de la primera matríz debe serigual al número de filas de la segunda:

kjikij BAC x

AQUÍ:

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Ejemplos:

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Representaciones de los grupos puntuales.

Operaciones de simetría y su representación matricial:

Ejemplo 1: agua, grupo puntual C2v:

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cada operación de simetría puede ser expresada por una matríz detransformación, de la siguiente manera:

C2:

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sv(xz):

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sv’(yz):

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E:

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Las matrices se combinan de la misma forma que las operacionesde simetría contenidas en el grupo C2v:

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Caracteres y representación reducible:

El carácter se define solo para una matríz cuadrada. Es la trazade una matríz o la suma de los números de la diagonal desde laparte superior izquierda hasta la parte inferior derecha.

Ejemplo 1: agua, grupo puntual C2v:

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Matrices diagonalizadas en bloque y representaciones irreducibles:

Cada matríz de transformación anterior se pueden diagonalizar enbloque. Esto significa construir matrices de menor tamaño a lolargo de la diagonal con todos los otros elementos igual a cero:

Ejemplo 1: agua, grupo puntual C2v:

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Cada set de cuatro elementos en la matríz forman unarepresentación irreducible del grupo:

MOSCA: notar que la matríz no es cuadrada aún….!.

La cuarta y última representación irreducible que falta se puede deducir a partir de las propiedades de los caracteres.

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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Primero: el número total de operaciones de simetría en un grupose denomina orden (h).

h = 4 (4 operaciones de simetría: E, C2, sv(xz), sv’(yz)

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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Segundo: las operaciones de simetría se arreglan en clases. Todas lasoperaciones de una misma clase tienen los mismos caracteres parasus matrices transformación.

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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Tercero: El número de representaciones irreducibles debe ser igualal número de clases. Estos significa que la tabla de caracteres debeser cuadrada.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Cuarto: la suma del cuadrado de las dimensiones (caracteresdebajo E) para cada una de las representaciones irreduciblesdebe ser igual al orden del grupo.

i

i Eh2

)(

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Quinto: para una representación irreducible en particular, la sumade los cuadrados de los caracteres multiplicado por el número deoperaciones de una misma clase, es igual al orden del grupo.

R

i Rh2

)(

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Sexto: las representaciones irreducibles son ortogonales entre sí.La suma de los productos de los caracteres, multiplicados por elnúmero de clase, de cualquier par de representaciones irreducibleses igual a cero.

R

ji RR 0)()( para i ≠ j

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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

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Propiedades de los caracteres de las representaciones irreduciblesen los grupos puntuales (ejemplo agua C2v):

Séptimo: todos los grupos tienen una representación irreducibletotalmente simétrica, que tiene todos los caracteres igual a 1para todas las operaciones.

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Ahora podemos completar el resto de los caracteres para larepresentación irreducible que nos faltaba:

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Finalmente queda:

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Ahora asignemos nombres a las rep. irred. encontradas:

con los siguientes significados:

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1.- Todas las representaciones unidimensionales se designanmediante A o B. E (no me refiero a oper. ident.)es el símbolopara las representaciones bidimensionales. Los casostridimensionales se designan por medio de T (o a veces F).

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2.- Las representaciones unidimensionales que son simétricas con

respecto a la rotación por 2/n alrededor del eje principal Cn

(significa simétrico (Cn) = 1) se designan por A, mientras

que aquellas antisimétricas ((Cn) = -1) se designan por B.

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3.- Los subíndices 1 y 2 van unidos a los A y B para designar aquellosque son, respectivamente, simétrico o antisimétrico con respecto aun eje C2 perpendicular al eje principal, o bien si no existe ese eje, aun plano vertical de simetría.

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4.- Las primas y dobles primas van unidas a todas las letras, cuandosea conveniente, para indicar las que sean simétricas o asimétricas,

respectivamente, con respecto a sh.

5.- En los grupos con un centro de inversión, el subíndice g (delvocablo alemán gerade que significa par) se une a los símbolos delas representaciones que son simétricas con respecto a la inversión,y el subíndice u (ungerade en alemán, impar) se utiliza para aquellosasimétricos a la inversión.

6.- En uso de los subíndices numéricos para E y T, también sigueciertas reglas, pero éstas no pueden establecerse fácilmente sinun desarrollo matemático previo. Nos bastará considerarlos comodenominaciones arbitrarias.

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Recapitulando, la tabla de caracteres para el grupo C2v es lasiguiente:

zona 1 zona 4zona 2 zona 3☜ ☜ ? ?

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La zona 3:

En la zona 3 se encuentran siempre tres símbolos: x, y, z, Rx, Ry, Rz.Los tres primeros representan las coordenadas x, y, z. Los símbolosR establecen las rotaciones en torno a los ejes especificados con lossubíndices.

En las matrices de transformación se nota que x’ es solo función dex, y’ de y. Además z’ de z. En ningún caso hay mezclas.

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La zona 3:

De modo que x, y, z constituyen por sí mismo representacionesdiferentes.

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La zona 3:

De modo que x, y, z constituyen por sí mismo representacionesdiferentes.

Para las propiedades de transformación de las rotaciones tenemoslo siguiente:

se coloca una flecha curva en torno al eje elegido para la rotación.

Dicha flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma medianteE.

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La zona 3:

La flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma mediante C2.

La flecha alrededor del eje z cambia su sentido con el plano xz.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

La zona 3:

Y finalmente la flecha alrededor del eje z cambia su sentido con elplano yz.

Así se constituye la base para una representación irreducible con loscaracteres: 1 1 -1 -1, que corresponde a la A2. Esto se señalaentonces como Rz en la zona 3.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

La zona 3:

Hagamos lo mismo para el eje x.

Dicha flecha alrededor del eje z se transforma en sí misma medianteE. Al aplicar C2 cambia su sentido:

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

La zona 3:

La flecha alrededor del eje x cambia su sentido con el plano xz.

Y finalmente la flecha alrededor del eje x mantiene su sentido con elplano yz.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

La zona 3:

Así se constituye la base para una representación irreducible con loscaracteres: 1 -1 -1 1, que corresponde a la B2. Esto se señalaentonces como Rx en la zona 3.

Hagamos lo mismo para el eje y.

Dicha flecha alrededor del eje y se transforma en sí misma medianteE.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

La zona 3:

Al aplicar C2 cambia su sentido:

La flecha alrededor del eje y mantiene su sentido con el plano xz.

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

La zona 3:

Y finalmente la flecha alrededor del eje y cambia su sentido con elplano yz.

Así se constituye la base para una representación irreducible con loscaracteres: 1 -1 1 -1, que corresponde a la B1. Esto se señalaentonces como Ry en la zona 3.

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Ahora sí…:

zona 1 zona 4zona 2 zona 3☜ ☜ ?

☜

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La zona 4:

En esta zona se colocan todos los cuadrados y productos binarios delas coordenadas, según sus propiedades de transformación.

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La zona 4:

Tema 1: Simetría y teoría de grupos.Tema 1: Simetría y teoría de grupos.Tema 1: Simetría y teoría de grupos.Tema 1: Simetría y teoría de grupos.

Ahora sí es verdad que conozco el fundamento de las tablas…:

zona 1 zona 4zona 2 zona 3☜ ☜ ☜ ☜