tema 12 cálculo de primitivas - josé aurelio pina romero. · 2019. 12. 9. · tema 12 cálculo de...
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Tema 12 Cálculo de primitivas 1. Forma potencial. Calcula las siguientes integrales:
dxxxIa
3237) 2 dx
xxIb 2
31) dxxxIc
232) dxxxId 12
53) 2
dxxxIe 42 )73(6)
dxxxIf 1) 2 dxxIg
3
253)
dxx
xIh2
3)2
dxxxsenIi cos) 2 dxxxtgIj 2sec)
kxxxkxxxIa 39
732
233
7) 2323
dxxIb 21) dxx dxx 2 k
xx
kxxdxx
21
21
221
kxxkxxdxxdxxdx
xx
xIc 5
2/52/12/32/1
2
564
2/53
2/123232)
kxxxxdxxxxId
52
33
54
321
25353)
23423
kxdxxxIe
xfxf
573)73(6)
52
)(
42
)(
kxkxdxxxIfxfxf
3
12/31
211
21)
322/322/1
)(
2
)´(
kxkxdxxIgxfxf
44
)(
3
)(253
101
253
41
52
253
25
52)
kxkxdxxxdxxxIhxfxf
23)2(223)2(2
23)2(3) 22/12
)(
2/12
)´(
2/12
kxsendxxxsenIixfxf
3cos)3
)´()(
2
-
Matemáticas II – Tema 12 .
2
kxtgdxxxtgIjxfxf
2sec)2
)´(
2
)(
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera:
- Pinchamos en la pestaña Análisis, y dentro de ella, en el icono de integral (debemos tener en cuenta
pinchar en el que aparece el diferencial de x):
Figura 1.
- Una vez, hemos pinchado, nos aparecerá la integral, y sólo tendremos que rellenarla y pulsar igual para
obtener nuestra solución:
Figura 2.
2. Apartado a):
Figura 3.
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
3
3. Apartado b):
Figura 4.
4. Apartado c):
Figura 5.
5. Apartado d):
Figura 6.
-
Matemáticas II – Tema 12 .
4
6. Apartado e):
Figura 7.
7. Apartado f):
Figura 8.
8. Apartado g):
Figura 9.
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
5
9. Apartado h):
Figura 10.
10. Apartado i):
Figura 11.
11. Apartado j):
Figura 12.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
-
Matemáticas II – Tema 12 .
6
2. Forma logarítmica.
dxxx
xIa12
1) 2
dxeeIb x
x
1)
dxxgIc cot) dxxxsen
xxsenId
coscos
)
dxxxIe
232)
Solución:
kxkxxdxxx
xIa
222 )1ln(2
1)12(ln21
1222
21)
keIb x )1ln()
kxsendxxsenx
Ic lncos
)
kxxsenId cosln)
kxxdxx
Ie
2ln722
72)(*)
drc
dD
(*)
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 2. Apartado a):
Figura 13.
3. Apartado b):
Figura 14.
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
7
4. Apartado c):
Figura 15.
5. Apartado d):
Figura 16.
6. Apartado e):
Figura 17.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
-
Matemáticas II – Tema 12 .
8
3. Seno, coseno, tangente, cotangente.
dxxIa
2cos1) dx
xxxsen
Ibcos
cos2)
dxxxIc )1(cos) 2 dxeseneId ) xx
dxxIe )(sec3) 2 dxxtgIf 2)
dxxsen
xIg2
cos1)2
dxxsenxsenIh
11)
2
Solución:
kxsenxdxxxIa 222cos212)
kxxdxdxxsendxx
xxxsenIb cos22
coscoscos2
)
kxsendxxxIc )1(21)1(cos2
21) 22
keId x cos)
kxtgIe )(3)
dxxtgIf 11) 2 kxxtgxddxxtg 21
kxdxxxsendx
xxsenxsenIg cosln
21
cos21
cos2)
2
dxtgdxxxsenxtgdxxtgdxxxsen
xdxdx
xxsenxsen
dxxsenxsen
Ih )11(cos2cos
2coscos
2111
) 22222222(*)
kxx
xtgkxxtxxtg
cos22
1cos2
1
(*) Multiplicamos numerador y denominador por .1 senx Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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Figura 18.
3. Apartado b):
Figura 19.
4. Apartado c):
Figura 20.
-
Matemáticas II – Tema 12 .
10
5. Apartado d):
Figura 21.
6. Apartado e):
Figura 22.
7. Apartado f):
Figura 23.
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
11
8. Apartado g):
Figura 24.
9. Apartado h):
Figura 25.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
4. Forma exponencial.
dxeIa x 23) dxexIb x 12
3) dxIc x 527) dxxeId xsen cos) Solución:
kedxeIa xx 2323 313
31)
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Matemáticas II – Tema 12 .
12
kedxexIb xx 1122
232
23)
kdxIc xx 5252 77ln2172
21)
keId xsen )
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):
Figura 26.
3. Apartado b):
Figura 27.
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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4. Apartado c):
Figura 28.
5. Apartado d):
Figura 29.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
5. Formas arcsen y arctg.
dxx
xIa6
2
1)
dx
eeIb
x
x
21) dxxIc 241
1) dxxId 291) dxxIe 254
1)
dxxxIf 221) 2 dxx
xIg 22
1) dxx
xIh1
) 24
dxx
Ii234
1)
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Matemáticas II – Tema 12 .
14
Solución:
kxsenarcdx
x
xIa
3232
31
1
331)
kesenarcdx
e
eIb xx
x
21)
kxtgarcdx
xIc
22
1212
21) 2
dxxId 9/19/1) 2
dxx 23/1
9/1
kxtgarcdxx
33
13/1
3/131
2
kxtgarcdx
xdx
xIe
25
521
2/51
2/55
241
4/514/1) 22
kxtgarcdxxIf )1(111) 2
kxtgarcxdxx
dxdxx
xIg 222
111
111)
kxtgarcxxdxx
xIh
31
11)3
22
dxxIi
4/34/42/1)
2
dx
x2
2/31
2/1
kxsenarcdx
x
2
33
1
2/31
2/33
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Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera:
-
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2. Apartado a):
Figura 30.
3. Apartado b):
Figura 31.
4. Apartado c):
Figura 32.
-
Matemáticas II – Tema 12 .
16
5. Apartado d):
Figura 33.
6. Apartado e):
Figura 34.
7. Apartado f):
Figura 35.
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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8. Apartado g):
Figura 36.
9. Apartado h):
Figura 37.
10. Apartado i):
Figura 38.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
-
Matemáticas II – Tema 12 .
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6. Método de sustitución. Los ejercicios anteriores se han resuelto mediante cambios de variable que se han efectuado mentalmente. En
los siguientes ejercicios no son evidentes y es necesario explicarlos:
xxdxIa
)1() 32 1cos) xtgx
dxIb xxdxIc
ln1)
dxxxId
21)
2
dxxxIe
1) dxeIf x 1)
a) Hacemos el cambio dttdxtx 2 2 kxtgarckttgarc
tdt
ttdttI 22
12
)1(
2222
b) Hacemos el cambio dtdxx
txtg 2cos11 kxtgktdttt
dtI 3 23/23/13
123
23
c) Hacemos el cambio dtdxx
tx 1ln1
kxktdtttdtI ln122 2/12/1
d) Ponemos 2
3;2
12123
3 dttdxtxtx
kxx
xktttdttttdtt
ttI
21
5212
821
8213
252
8832
83
231
21 23 2258472
23
e) Ponemos dttdxtx 22
kxxxxkttttdt
tttdt
ttI )1ln(
2321ln
232
1112
12 32323
f) Hacemos 1
221 22
tdttdxdttdxete xx
ketgarcekttgarctdt
tdt
tt
tdtttI xx 1122
1112
12
12
22
2
2
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):
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Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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Figura 39.
3. Apartado b):
Figura 40.
4. Apartado c):
Figura 41.
5. Apartado d):
-
Matemáticas II – Tema 12 .
20
Figura 42.
6. Apartado e):
Figura 43.
7. Apartado f):
Figura 44.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
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Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
21
7. Integrales trigonométricas.
dxxsenIa 2) dxxIb 3cos) dxxIc 24)
Las siguientes fórmulas te serán útiles: 22cos
212 xxsen
22cos
21cos2 xx
kxsenxdxxxdxxIa 2
41
212cos2
41
21
22cos
21)
dxxxIb 2coscos) kxsenxsendxxsenxdxxxosdxxsenx
3cos1cos
322
)c Hacemos dttdxtsenx cos2;2 dtttsenI cos244 2
ktsentktsentdttdttdtttsen 22
42
24
22cos
214cos4cos142 22
(Deshacemos el cambio: 22xsenarctxtsen )
kxxxsenarckxxxsenarc
2
2
422
22
12
22
2
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):
Figura 45.
-
Matemáticas II – Tema 12 .
22
3. Apartado b):
Figura 46.
4. Apartado c):
Figura 47.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
8. Integración por partes.
dxxsenxIa ) dxxxIb 2cos) 2 dxxseneIc x)
Recuerda la fórmula de integración por partes: duvuvdvu
Hacemos:
xvdxxsendvdxxsendvdxduxu
cos)a
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
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Aplicamos la fórmula: kxsenxxdxxxxdxxsenx coscoscos
)b Con frecuencia es necesario aplicar varias veces el método de integración por partes para resolver la integral.
vxsendxxdv
dxxduxu
2212cos
22
1
1
22
22
I
dxxsenxxsenxI
vxdxxsendv
dxduxu
2cos212
1
241
22cos2cos
21
22cos21 xsen
xxdxxxxdxxsenxI
Sustituyendo : 1I kxsenxxxsenxI 2
41
22cos
222
)c Puede ocurrir que, al aplicar este método varias veces, aparezca en el segundo miembro una integral igual a la
inicial. En este caso, se agrupan y se despeja la integral que queremos hallar:
vxdxxsendvdxedueu xx
cos (Se resuelve también haciendo: ) dxedvxsenu ; x
xsenexedxxexedxxsene xxxxI
x coscoscos
I
x dxxsene
kxsenexeIxsenexeIxx
xx
2
coscos2
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):
-
Matemáticas II – Tema 12 .
24
ALGUNOS TIPOS DE INTEGRALES QUE SE RESUELVEN POR PARTES
dxex xn
nu x
dxedv x
dxxsenxn
nu x
dxxsendv
dxxxn cos
nu x
dxxdv cos
dxxxn ln
xu ln
dxxdv n
dxxtgarc
xtgarcu
dxdv
xsenarcu
dxdv dxxsenarc
dxxln
xu ln dxdv
Figura 48.
3. Apartado b):
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
25
Figura 49.
4. Apartado c):
Figura 50.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
9. Integración de funciones con solo raíces reales en el denominador.
dxxxIa
312)
3
dxxxIb
123) 2
dxxxIc 32
1)
xdx
xxId
2
12)
Solución:
kxxxxdxx
xxIa
3ln55182
63
23
551862)23
2
Puesto que el grado del denominador no es inferior al del numerador, hemos hecho la división para poner:
divisorrestocociente
divisordividendo
-
Matemáticas II – Tema 12 .
26
)b Descomponemos el denominador en factores Descomponemos la fracción: ).1()1(12 xxx
11123
2
xB
xA
xx
Calculamos A y B )1()1(23 xBxAx Si 251;
211 AxsiBx
kxxdxx
dxx
I
1ln211ln
25
12/1
12/5
)c Denominador: tiene una raíz doble y una simple. Descomponemos: )1(232 xxxx
12421210
)1()1()1(
11
2
2
232
AACBAxParaCxParaBxPara
xxCxxBxAx
xC
xB
xA
xx
kxx
xkx
xxkxxxdxx
dxx
dxx
I
1
1ln11lnln1ln
1ln
1111 1
2
)d Descomponemos la fracción: x
Cx
Bx
Axx
x
22
2
1112
Calculamos A, B y C: A =-3, B = 9, C = 4
kxx
xkxx
xdxx
dxx
dxx
I1
91
lnln41
91ln341
91
33
4
2
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):
-
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27
Figura 51.
3. Apartado b):
Figura 52.
4. Apartado c):
Figura 53.
5. Apartado d):
-
Matemáticas II – Tema 12 .
28
Figura 54.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
10. Función primitiva. Halla una función g(x) que sea primitiva de f (x) = sen x, cuya gráfica pase por el punto .0, La función g debe verificar que .0)()()´( gyxfxg Hallamos todas las primitivas de f:
cxxgcxdxxsen cos)(cos 1010cos)( cccg La función que buscamos es: 1cos)( xxg Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para resolver el ejercicio, debemos calcular en primer lugar, la integral del seno(x):
Figura 55.
2. Ahora escribimos nuestra función g(x), y dentro del mismo bloque, indicamos que queremos calcular :)(g
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
29
Figura 56.
3. Para saber el valor de c, resolveremos la siguiente ecuación:
Figura 57.
4. Por último representamos la función obtenida:
Figura 58.
-
Matemáticas II – Tema 12 .
30
Figura 59.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
11. Función primitiva. Halla sabiendo que: )(xf xxfff 3)´´(,2)0´(,1)0(
2)0´(233)´´()´( 11
2
GfGxdxxdxxfxf
22
3)´(2
xxf
2
32
22
22
3)´()( Cxxdxxdxxfxf
122
)(1)0(3
2 xxxfCf
-
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato
31
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos en primer lugar la integral de f’’:
Figura 59.
2. También calcularemos la integral de f’:
Figura 60.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web:
12. Función primitiva.
a) Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquier
punto viene dada por la función xexxf 2)(
b) Obtén de esta familia, la curva que pasa por el punto A (0, 2).
-
Matemáticas II – Tema 12 .
32
a) Buscamos todas las tales que Es decir, las primitivas de )(xF .)()´( 2xexxfxF ).(xf
Integramos por partes:
xx evdxedv
dvduxu
212 k
eexdxeexdxexxx
xxx
4221
21 22222
b) Si queremos que la curva pase por A (0, 2), se debe cumplir: 492
420 0202
kkee
La curva pedida es: )(xF49
42
22
xx eex
Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calcularemos la integral de f(x):
Figura 61.
2. Ahora, resolveremos la ecuación resultante de igualar el resultado del paso anterior (después de sustituir x por 0)
a 2:
Figura 62.
Enlace con el ejercicio resuelto en la web: