Introducción: El estudio de cómo resolver ecuaciones diferenciales comienza con la más simple de las ecuaciones diferenciales: las ecuaciones de primer orden con variables separables.

Sugerencias: El método que se estudia en esta sección, así como muchas de las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales, tienen que ver con la integración. Por tanto, quizás valga la pena revisar las fórmulas de integración (por ejemplo: ) y las técnicas de integración (como la integración por partes y la descomposición de fracciones parciales) de cualquier libro de cálculo, o bien, revisar su formulario de matemáticas I y II de primero y segundo semestre.

udu

yduun

Solución por integración: Considere la ecuación diferencial de primer orden: cuando f no depende de la variable y, es decir, la ecuación diferencial

),,( yxfdxdy ),(),( xgyxf

)(xgdxdy (1)

La ecuación diferencial anterior se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, entonces al integrar ambos lados de la ecuación (1) se obtiene donde G(x) es una antiderivada (integral indefinida) de g(x). Por ejemplo: si ,1 2xe

dxdy

Integrando ambos miembros su solución es:

cexydxedxdydxedy xxx 222

21

1

La ecuación (1), así como su método de solución, es solo un caso especial cuando la función f en la forma normal se puede factorizar en una función de x multiplicada por una función de y

),,( yxfdxdy

ECUACIÓN SEPARABLE: Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es separable o que tiene variables separables si tiene la forma siguiente:

)()( yhxgdxdy

cxGydxxgdydxxgdy )()()(

dxdu

xu

2

2

O bien, de la forma siguiente:

Ejemplo de ecuaciones separables y no separables

yxxeydxdy 432

ECUACIÓN SEPARABLE:

))((),( 423432432 yxyxyx eyxeexeyxeyyxf

Se puede factorizar: )(xg )(yh

ECUACIÓN NO SEPARABLE:

senxydxdy

No se puede factorizar: ya que no existe forma de expresar el lado derecho de la ecuación diferencial como un producto de una función de x por una función de y

vuvu eee

Método de solución de ED separables

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1: Resolver la siguiente ED por el método de variables separables

SOLUCIÓN:

Separando variables:

Integrando:

La solución general es:

yxyx eedxdy

edxdy 2323

dxeedy x

y3

2

dxedye

dxedyexy

xy

32

32

dydu

yu

2

2

dxdu

xu

3

3

dxedye

dxedye

xy

xy

32

32

31

21

331

221

cee

cee

yx

xy

23

32

21

31

31

21

EJEMPLO 2: Resolver la siguiente ED por el método de variables separables

SOLUCIÓN:

Separando variables:

Utilizando la integración por partes probamos haciendo:

Al sustituir obtenemos:

,1 2

123

xxydxdy

1)0( ycon

dxx

xdyy

dx

x

xdyydxxx

ydy

2

3

2

12

32

12

3

1

)1(

1

xdxdu

xuhaciendo

2

1 2

dxxdyy

x

dxdyy

dxx

xdyy

2

123

2

3

2

3

121

121

1

221

Búsqueda de una solución particular, utilizando las condiciones iniciales dadas:

E integrando en ambos lados de la ED tenemos:

c

xy

21

121

2

2

122

Por tanto, la solución general es:

cxy

22 1

21

Cuando 1,0 yx

Estos valores se sustituyen en la solución general:

c

c

121

01)1(21 22

y se despeja el valor de C:

23

121

c

c

y con este valor se obtiene la siguiente solución particular :

23

121 22 x

y

EJEMPLO 3: Resolver la siguiente ED por el método de variables separables

0)1( ydxdyx

SOLUCIÓN:

Se dividen ambos miembros de la ED entre: , y la nueva ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

yx)1(

0)1()1(

)1(

yxydx

yxdyx

)1( xdx

ydy

E integrando en ambos lados de la ED tenemos:

)1( xdx

ydy

11lnln cxy

Despejando el valor de y se tiene:

11 1ln1ln cxcx eeey Leyes de los exponentes:

)1(1 11 xeexy cc Si se considera como c entonces se tiene la solución general siguiente:1ce

)1( xcy

EJERCICIOS PLANTEADOS EN CLASE:

INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes ED por el método de variables separables

3)4(, yyx

dxdy

42 ydxdy

1.

2.

xsenedxdy

xye yy 2cos)( 2 1.

2.

3.

0)2()4( 22 dxxyxdyyxy

02 senxyy

EJERCICIOS EXTRACLASE:

INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes ED por el método de variables separables