tema 2: potencias y raíces. números...

(Propiedad 1) (Propiedad 3)

(Propiedad 4)

(Propiedad 5) (Propiedad 2)

(Propiedades 1,3 y 4)

Ejercicio 1. Reducir a una sola potencia. Solución:

a) 362 555 ⋅⋅

11362362 55555 ==⋅⋅ ++

b) ( )432

( ) 124343 222 == ⋅

c) 6

8

55

2686

8

5555

== −

d) 5

5

714

55

5

5

27

147

14=

=

e) 77 52 ⋅ ( ) 7777 105252 =⋅=⋅

f) ( ) ( )2354 77:77 ⋅⋅

( ) ( ) ( ) 77:77:777:77 892492354 ===⋅⋅

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Tema 2: Potencias y raíces. Números aproximados.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

Figura 2.

Figura 3.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2. Reduce a una sola potencia.

a) 444 43 ⋅⋅

b) ( )365

c) 4

6

77

d) 3

3

315

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 2. Potencias y raíces. Números aproximados

3

e) 1010 52 ⋅

f) 55

5

4312⋅

g) ( ) ( )342236 : aaaa ⋅⋅

h) ( ) ( )27532 2:236 ⋅⋅

Solución:

a) 444 43 ⋅⋅ b) ( )365 c) 4

6

77

814343 44444 ==⋅⋅ ++ ( ) 183636 555 == ⋅ 2464

6

7777

== −

d) 3

3

315

e) 1010 52 ⋅ f) 55

5

4312⋅

33

3

3

53

153

15=

= ( ) 10101010 105252 =⋅=⋅ 1

1212

4312

5

5

55

5

==⋅

g) ( ) ( )342236 : aaaa ⋅⋅ h) ( ) ( )27532 2:236 ⋅⋅

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1::: 1818342236342236 ===⋅⋅ ⋅+⋅+ aaaaaaaa ( ) ( ) ( ) 1156562753227532 662362362:236 ==⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ +−⋅ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 7.

Figura 8.


4

Figura 9.

Figura 10.

Figura 11.

Figura 12.

Figura 13.

Figura 14.



5

Ejercicio 3. Calcula utilizando propiedades de las potencias.

a) 43 52 ⋅ b) ( ) 545 3:2:6

c) 36

43

32

⋅

d) 4

8

252

⋅

e) 6

6

220

f) 5

6

220

g) ( ) 523 3:3

h) ( ) ( )[ ]34335 2:52 ⋅

Solución: a) 43 52 ⋅

500051055252 33343 =⋅=⋅⋅=⋅ b) ( ) 545 3:2:6 ( ) ( ) ( ) ( ) 23:323:3323:363:2:663:2:6 555454544545 =⋅=⋅⋅=⋅=⋅=

c) 36

43

32

⋅

=

⋅

36

43

32

271

31

433322

43

32

32 33333

=

=

⋅⋅⋅⋅

=

⋅

⋅

d) 4

8

252

⋅

1000010220

2522

252 4

4444

48 ==

=

⋅⋅=

⋅

e) 6

6

220


6

100000010220 6

6

6

==

f) 5

6

220

2000000102022020

220 5

5

5

5

6

=⋅=⋅=

g) ( ) 523 3:3 ( ) 33:33:33:3 56523523 === ⋅ h) ( ) ( )[ ]34335 2:52 ⋅ ( ) ( )[ ]=⋅ 34335 2:52 [ ]=⋅ ⋅⋅ 34335 2:52 [ ]=⋅⋅ 31215 2:52 [ ]=⋅⋅ 312123 2:522 [ ] 0001000000000102:102 123123 ==⋅ - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 15.

Figura 16.

Figura 17.

Figura 18.


7

Figura 19.

Figura 20.

Figura 21.

Figura 22.


Ejercicio 4. Expresar como potencia de base 10 este número: 0,0000000000001 Solución:

1313 10

101

0000100000000010010000000000,0 −===


Figura 23.


8


Ejercicio 5. Simplificar. Solución:

a) 34

59

53 −

⋅

( ) 451

531

3553

3553

95

53

59

53

264

34

324

34

3

3

4

434

=⋅

=⋅⋅

=⋅

⋅=⋅=

⋅

−

b) 32

25

−−

( ) ( )

6

663232

25

25

25

25

=

=

=

−⋅−−−

c) 54

2436

39829342−−

−−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

54323233223322

39829342 352443466

5234

4466

54

2436

=⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +−−−++−

−−

−−

−−

−−


Figura 24.


9

Figura 25.

Figura 26.


Ejercicio 6. Expresa como potencia de base 10 el resultado de la operación 0,000001:10000000 Solución:

13

13

6

6

1000000000000001

1101000000010000001,0 −==

xx


Figura 27.



10

Ejercicio 7. Expresa como fracción simplificada.

a) 5

4

33

b) 15−

c) 6−a

d) 21 −− yx

e) 62

43

yxyx

f) ( ) 223 −xy

g) 2135 −− ⋅⋅ xy

Solución:

a) 5

4

33

3133

33 154

5

4

=== −−

b) 15−

515 1 =−

c) 6−a

66 1

aa =−

d) 21 −− yx

221 1

yxyx

⋅=−−

e) 62

43

yxyx

226423

62

43

yxyxyx

yxyx

=⋅=⋅= −−−

f) ( ) 223 −xy

( )( ) 4222

22

91

313

yxxyxy ==

−

g) 2135 −− ⋅⋅ xy

221

3535yxxy =⋅⋅ −−


11


Figura 28.

Figura 29.

Figura 30.

Figura 31.

Figura 32.

Figura 33.

Figura 34.



12

Ejercicio 8. Reduce a un único número racional.

a) 2

51

b) 2

51 −

c) 2

51 −

−

d) 2

43 −

e) 6

21

51 −

⋅

f) 66

51

21

⋅

g) 23

32

32

⋅

h) 0

4517

i) 23

31

−

Solución:

a) 2

51

251

51 2

=

b) 2

51 −

125

15

51 22

==

−

c)

2

51 −

−

125

15

51 22

=

−

=

−

−

d) 2

43 −

916

34

43 22

=

=

−

e) 6

21

51 −

⋅

11000000

110

101

21

51 666

=

=

=

⋅

−−

f) 66

51

21

⋅

10000001

101

521

51

21 6666

=

=

⋅=

⋅

g) 23

32

32

⋅

24332

32

32

32

32 52323

=

=

=

⋅

+

h) 0

4517

14517 0

=

i) 23

31

−

1729

13

31

31

31 662323

=

=

=

=

−⋅−−


13


Figura 35.

Figura 36.

Figura 37.

Figura 38.

Figura 39.

Figura 40.

Figura 41.


14

Figura 42.

Figura 43.


Ejercicio 9. Calcular las siguientes raíces: Solución:

a) 1649

1649

47

47

2

22

==

. Por tanto,

47

1649

=

b) 4356

Puesto que piden 4356 , supondremos que 4356 es un cuadrado perfecto. Para comprobarlo, lo

descomponemos en factores primos:

222 11324356 ⋅⋅= Es decir, ( ) .6611324356 22 =⋅⋅= Por tanto, 664356 =

c) 364

1000

3101000 = , 3464 = . Por tanto, 4

1064

10003 =

d) 52431


15

53243 = . Por tanto, 31

2431

5 =


Figura 44.

Figura 45.

Figura 46.

Figura 47.


Ejercicio 10. Calcula las siguientes raíces:

a) 6 64

b) 6641

c) 3 216

d) 310003375

e) 14400

f) 321664


16

Solución: a) 6 64

2646 =

b) 6641

21

641

6 =

c) 3 216

62163 =

d) 310003375

23

1015

10003375

3 ==

e) 14400

12014400 =

f) 321664

32

64

21664

3 ==


Figura 48.

Figura 49.

Figura 50.

Figura 51.

Figura 52.


17

Figura 53.


Ejercicio 11. Justifica si son ciertas o no las siguientes frases:

a) Como ( ) 255 2 =− , entonces 525 −= b) -5 es una raíz cuadrada de 25. c) 81 tiene dos raíces cuadradas: 3 y -3. d) 27 tiene dos raíces cúbicas: 3 y -3

Solución: a) Falso. La raíz positiva de un número no puede tener de resultado un número negativo:

( ) 525255 2 −==− Verdadero Falso b) Verdadero. Es una raíz cuadrada de 25 porque elevado al cuadrado da de resultado 25:

( ) 255 2 =− Verdadero

c) Falso. Las raíces cuadradas de 81 son 9 y -9 porque:

( )( )

( )( )

813381

99

2

2

2

2

=−

=−

Verdadero Falso d) Falso. Tiene solamente una que es 3, porque:

( ) ( ) 273273 33 −=−= Verdadero Falso


18


Figura 54.

Figura 55.

Figura 56.

Figura 57.


Ejercicio 12. Ejercicios resueltos:

a) ( ) ( )57 105,71073,4 ⋅⋅⋅ b) 5

7

105,71073,4

−⋅⋅

c) 67 105,71073,4 ⋅−⋅

Solución:

a) ( ) ( ) ( ) 13125757 105475,310475,35105,773,4105,71073,4 ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ +


19

b) ( ) ( ) 1112575

7

1031,610631,0105,7:73,4105,71073,4

⋅=⋅=⋅=⋅⋅ −−

−

c) ( ) 7666667 1098,3108,39105,73,47105,7103,47105,71073,4 ⋅=⋅=⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅


Figura 58.

Figura 59.

Figura 60.


Ejercicio 13. Calcula: a) ( ) ( )157 1035,91025,3 −⋅⋅⋅ b) ( ) ( )54 102,31073,5 ⋅−+⋅ c) ( ) ( )312 105,2:108,4 ⋅⋅ Solución: a) ( ) ( )157 1035,91025,3 −⋅⋅⋅ ( ) ( ) =⋅⋅⋅ −157 1035,91025,3 ( ) 78157 100388,310388,301035,925,3 −−− ⋅=⋅=⋅⋅


20

b) ( ) ( )54 102,31073,5 ⋅−+⋅ ( ) ( ) =⋅−+⋅ 54 102,31073,5 ( ) ( ) =⋅−+⋅ 44 10321073,5 ( ) 544 1063,2103,26103273,5 ⋅−=⋅−=⋅− c) ( ) ( )312 105,2:108,4 ⋅⋅

( ) ( ) =⋅⋅ 312 105,2:108,4 9312 1092,1105,28,4

⋅=⋅

−


Figura 61.

Figura 62.

Figura 63.



21

Ejercicio 14. Resuelve los ejercicios. Solución:

a) ( ) ( )155 102,710214,3 ⋅⋅⋅ −

( ) ( ) ( ) 1110155155 1031408,2101408,23102,7214,3102,710214,3 ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ +−− Con calculadora: 3,214 EXP 5 +/- X 7,2 EXP 15 = 2,31408 1110X

b) 15

5

102,710214,3

⋅⋅ −

212015515

5

1046,410446,0102,7

214,3102,710214,3 −−−−

−

⋅=⋅=⋅=⋅⋅

Con calculadora: 3,214 EXP 5 +/- ÷ 7,2 EXP 15 = 4,4638889 2110−X

c) 88148 10352,110552,4103,7102,3 ⋅=⋅−⋅+⋅ −

3,2 EXP 8 + 7,3 EXP 14 +/- - 4,552 EXP 8 = - 1,352 810X Si los números que queremos sumar son muy diferentes en orden de magnitud, el resultado que muestra la calculadora es de orden igual al mayor de ellos. Por ejemplo: 7,32 EXP 4 + 5,35 EXP 17 = 5,35 1710X


Figura 64.


22

Figura 65.

Figura 66.


Ejercicio 15. Calcula las potencias siguientes:

a) ( )33−

b) ( )42−

c) ( ) 32 −−

d) 23−

e) 14−−

f) ( ) 21 −−

g) 3

21 −

h) 2

21 −

−

i) 0

34

Solución: a) ( )33− ( ) ( ) ( ) ( ) 273333 3 −=−⋅−⋅−=− b) ( )42− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1622222 4 =−⋅−⋅−⋅−=− c) ( ) 32 −−

( )81

21

21

212 3 −=

−⋅

−⋅

−=− −

d) ( )23− ( ) ( ) ( ) 9333 2 =−⋅−=− e) ( ) 14 −−

( )414 1 −=− −


23

f) ( )21− ( ) ( ) ( ) 1111 2 =−⋅−=−

g) 3

21 −

( ) ( ) ( ) ( ) 8222221 3

3

=⋅⋅==

−

h) 2

21 −

−

( ) ( ) 422221 2

2

−=⋅−=−=

−

−

i) 0

34

134 0

=


Figura 67.

Figura 68.

Figura 69.

Figura 70.

Figura 71.


24

Figura 72.

Figura 73.

Figura 74.

Figura 75.


Ejercicio 16. Expresa como una potencia de base 2 ó 3.

a) 64 b) 243

c) 321

d) 31

e) 271

−

Solución: a) 64 es divisible por 2:

12:2;22:4;42:8;82:16;162:32;322:64 ====== son 6 operaciones, luego:

6222222264 =⋅⋅⋅⋅⋅=


25

b) 243 es divisible por 3:

13:3;33:9;93:27;273:243;813:243 ===== son 5 operaciones, luego:

5333333243 =⋅⋅⋅⋅=

c) ( ) 32;32321 1−= es divisible por 2:

12:2;22:4;42:8;82:16;162:32 ===== son 5 operaciones, luego:

( ) ( ) ( ) ( ) 5151511 2222222232 −−⋅−−− ===⋅⋅⋅⋅=

d) 1331 −=

e) ( ) 27;27271 1 −−=− − es divisible por 3 y por -3:

13:3;33:9;93:27 −=−−=−−=− no termina en 1, no es la opción correcta.

13:3;33:9;93:27 =−−−=−=−− termina en 1, es la opción correcta. Son 3 operaciones, luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3131311 33333327 −−⋅−−− −=−=−=−⋅−⋅−=− - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 76.

Figura 77.


26

Figura 78.

Figura 79.

Figura 80.


Ejercicio 17. Expresa como potencia única.

a) 3

4

33−

b) 3

5

22−

c) 1

2

3

22

−

−

−

Solución:

a) 3

4

33−

( ) 734343

4

33333

=== +−−−

b) 3

5

22−

8353

5

2222 −−−−

==

c) 1

2

3

22

−

−

−

( ) 22222

22 3232

3

21

2

3

====

+−−−−−

−−

−

−


27


Figura 81.

Figura 82.

Figura 83.


Ejercicio 18. Calcula.

a) 23

21:1

23 −−

− b) 2

2

3312 −

−

⋅

+

Solución:

a) 23

21:1

23 −−

−

=

−

−− 23

21:1

23 ( ) ( ) ( ) 222:22:

212:

22

23 23232

32

3

===

=

− −

−−


28

b) 22

3312 −

−

⋅

+

=⋅

+ −

−2

2

3312 =⋅

+ −

−2

2

331

36 ( )

491

7173

373

37 2

22

22

=

==

⋅=⋅

−

−−

−


Figura 84.

Figura 85.


Ejercicio 19. Expresa como potencia única.

a) 23

43:

43

−

b) 4

75

222−

−⋅

c) 31

121

+

−

d) 23

41:

21


29

Solución:

a) 23

43:

43

−

52323

43

43

43:

43 −−−−

=

=

b) 4

75

222−

−⋅

( ) 2475475

4

75

2222

22===

⋅ +−−−−−

−

c) 31

121

+

−

=

+

− 31

121

=

+

− 31

22

21 333131

32

23

23

23

=

=

=

−⋅−−

d) 23

41:

21

=

23

41:

21 ( ) 2

222

212

21

14

21

21

41:

21

41:

21

21 2

2222

=⋅

=

⋅=

⋅

⋅=

⋅

=

⋅


Figura 86.


30

Figura 87.

Figura 88.

Figura 89.


Ejercicio 20. Simplifica:

a) 2

34

ba

ba

⋅

−

b) ( ) 213

−−−

⋅

a

ba c)

231 −−

⋅

ba

a

Solución:

a) 2

34

ba

ba

⋅

−

=⋅

−

2

34

ba

ba

=⋅

2

34

ba

ab

abbaba

ba

ab 2

2124342

3

4

4

=⋅=⋅=⋅ −−+−

b) ( ) 213

−−−

⋅

a

ba

( ) ( ) ( )

ab

ba

baa

baa

baa

ba 3

3

1

3

232

3

321

3

321

3

===⋅=⋅=⋅

−

−

−

+−

−

−−⋅−

−

−−−

−


31

c) 231 −−

⋅

ba

a

2

22

23

2

23

231 baba

ba

baa

ba

a⋅===⋅=

⋅

−−

−

−

−−−


Figura 90.

Figura 91.

Figura 92.


Ejercicio 21. Calcula. a) 4 16 b) 2516 c) 3 81

d) 5 1−


32

Solución: a) 4 16

2164 =

b) 2516

542516 =

c) 3 81

21813 =

d) 5 1−

115 −=− - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 93.

Figura 94.

Figura 95.

Figura 96.



33

Ejercicio 22. Halla las raíces siguientes: a) 3 216

b) 7 128−

c) 5 243−

d) 6 4096

Solución: a) 3 216

62163 = b) 7 128−

21287 −=− c) 5 243−

32435 −=− d) 6 4096

440966 = - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 97.


34

Figura 98.

Figura 99.

Figura 100.


Ejercicio 23. Calcula, expresa el resultado en notación científica y comprueba con la calculadora: a) ( ) ( )37 108105,2 ⋅⋅⋅

b) ( ) ( )53 108:105 ⋅⋅ −

c) ( ) ( )613 105104,7 −⋅⋅⋅

d) ( ) ( )311 102:102,1 −⋅⋅

Solución: a) ( ) ( )37 108105,2 ⋅⋅⋅ ( ) ( ) ( ) 11103737 10210201085,2108105,2 ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ + b) ( ) ( )53 108:105 ⋅⋅ − ( ) ( ) ( ) ( ) 85353 106,1108:5108:105 −−−− ⋅=⋅=⋅⋅

c) ( ) ( )613 105104,7 −⋅⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) 87613613 107,310371054,7105104,7 ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ −−

d) ( ) ( )311 102:102,1 −⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1314311311311 106106,0102:2,1102:2,1102:102,1 ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅⋅ +−−−


35


Figura 101.

Figura 102.

Figura 103.

Figura 104.


Ejercicio 24. Calcula mentalmente y comprueba con la calculadora.

a) ( ) ( )125 103102 ⋅⋅⋅

b) ( ) ( )57 102105,1 −− ⋅⋅⋅

c) ( ) ( )178 102104,3 ⋅⋅⋅ −

d) ( ) ( )1712 102:108 ⋅⋅

e) ( ) ( )77 103:109 ⋅⋅ −

f) ( ) ( )58 102:104,4 −⋅⋅

g) ( ) ( )97 108105 −− ⋅⋅⋅


36

Solución: a) ( ) ( )125 103102 ⋅⋅⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 17125125 1061032103102 ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ +

b) ( ) ( )57 102105,1 −− ⋅⋅⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 125757 1031025,1102105,1 −−−−− ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅

c) ( ) ( )178 102104,3 ⋅⋅⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) 9178178 108,61024,3102104,3 ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅ +−−

d) ( ) ( )1712 102:108 ⋅⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 517121712 104102:8102:108 −− ⋅=⋅=⋅⋅

e) ( ) ( )77 103:109 ⋅⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) 147777 103103:9103:109 −−−− ⋅=⋅=⋅⋅

f) ( ) ( )58 102:104,4 −⋅⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 135858 102,2102:4,4102:104,4 ⋅=⋅=⋅⋅ −−−

g) ( ) ( )97 108105 −− ⋅⋅⋅

( ) ( ) ( ) ( ) 15169797 10410401085108105 −−−−−− ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅


Figura 105.

Figura 106.

Figura 107.

Figura 108.


37

Figura 109.

Figura 110.

Figura 111.


tema 2: potencias y raíces. números...

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