tema 3 - agora.xtec.cat · 15/11/2017 5 cada anualitat a es transforma en el seu import a interès...
TRANSCRIPT
15/11/2017
1
TEMA 3ARITMÈTICA MERCANTIL
3.4 AMORTITZACIÓ DE
PRÉSTECS
15/11/2017
2
Un crèdit hipotecari és la quantitatrebuda per l’adquisició d’un bé immoble(pis, casa, parcel·la), la devolució de laqual queda garantida amb el bé adquirit(hipoteca).
Habitualment l’amortització es famitjançant pagaments periòdics i estasotmesa a uns interessos pactats apriori.
A més dels interessos, un préstechipotecari comporta altres despeses:comissió d’apertura, taxació, notari,...que es carreguen al client en el momentde rebre el préstec .
Estudiem l’operació de préstec, en general:
Les característiques que, inicialment, coneixemd’aquesta operació són:◦ C El nominal del préstec o quantia inicialment cedida.
◦ T El termini de l’operació: ens informa del nombred’anys que dura l’operació
◦ m La freqüència dels termes amortitzatius: ensinforma sobre quants termes amortitzatius es fanefectius cada any.
◦ im El preu de l’operació En general treballarem enrègim financer d’interès compost i el preu donat esrefereix a l’interès nominal amb freqüència igual a lafreqüència dels termes amortitzatius.
15/11/2017
3
L’amortització d’un préstec es fa mitjançant diversos
pagaments ajornats:
1. Cada pagament salda per una banda els
interessos del deute pendent i per l’altra banda part
del principal del deute.
2. L’últim pagament salda els interessos pendents del
pagament anterior i amortitza la totalitat del deute
pendent.
3. Normalment es fan pagaments amb la mateixa
periodicitat (mensualitats, anualitats,.....)
Comprovem que podem amortitzar un deute
de 10000 € al 10% anual amb quatre
pagaments trimestrals de 2658,18 € cada un:
(10% anual equival a 2,5% trimestral)
TRIMESTRE DEUTE ABANS DEL
PAGAMENTINTERESSOS
PENDENTS
2,5% deute
pendent
PAGAMENT QUANTITAT
AMORTITZADA
Pagament -
interessos
DEUTE
PENDENT
Deute –
quantitat
amortitzada
1 10 000,00 250,00 2 658,18 2 408,18 7 591,82
2 7 591,82 189,80 2 658,18 2 468,38 5 123,44
3 5 123,44 128,09 2 658,18 2 530,09 2 593,35
4 2 593,35 64,83 2 658,18 2 539,35 0
15/11/2017
4
2.6 Càlcul d’anualitats o
mensualitats d’amortització
Anualitats d’amortització
S’anomena amortització l’operació financeraque consisteix a cancel·lar un deutemitjançant una anualitat fixa durant n anys.
Tenim un deute C que es veu augmentat ambels seus interessos de n anys a interèscompost:
𝐶 · 1 + 𝑖 𝑛
Hem de preveure n anualitats iguals, de valora, tals que lliurada cadascuna al final de cadaany, entre elles i els seus interessoscancel·len el deute.
15/11/2017
5
Cada anualitat a es transforma en el
seu import a interès compost, segons
el temps segons el quadre següent: (i
= r/100)
ANUALITAT ANYS (fins
cancel·lació)
IMPORT
1 n - 1 𝑎 · 1 + 𝑖 𝑛−1
2 n – 2 𝑎 · 1 + 𝑖 𝑛−2
3 n – 3 𝑎 · 1 + 𝑖 𝑛−3
n - 1 1 𝑎 · 1 + 𝑖
n Cancel·lat el deute a
El deute amb els seus interessos en elmoment de la contractació delpréstec:
𝐶 · 1 + 𝑖 𝑛
ha de coincidir amb la suma delsimports de les anualitats:
Sn =𝑎1+𝑖 𝑛−1
𝑖(els imports abonats formen una progressió geomètrica)
15/11/2017
6
Igualant les dues expressions podem
aïllar l’anualitat a pagar:
C · 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑎1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
𝑎 = 𝐶1 + 𝑖 𝑛 · 𝑖
1 + 𝑖 𝑛 − 1
En Pau vol comprar-se un pis que costa 120.000 €.
Demana un crèdit hipotecari al banc a un interès
anual del 4% que haurà de retornar en 15 anys.
A) Calculeu l’anualitat d’amortització
B) Calcula quan ha pagat en Pau pel pis.
A) 𝑎 = 1200001+0,04 15·0,04
1+0,04 15−1
a = 10 792,93€
B) 15 anys
10972,93 · 15 = 161 893,95 €
15/11/2017
7
Demanem un crèdit hipotecari de 150.000euros al 4,5% d’interès compost anual.Sabent que només podem pagar unaanualitat de 12.000 euros, quant de tempstrigarem a pagar el crèdit?
12000 = 1500001 + 0,045 𝑛 · 0,045
1 + 0,045 𝑛 − 112000 ·1,045n - 12000 = 6750 · 1,045n
5250 · 1,045n = 12000 ; 1,045n = 2,2857
𝑛 =log 2,2857
log 1,045= 18,78 ≅ 19 𝑎𝑛𝑦𝑠
Mensualitat d’amortització
En aquest cas s’amortitza un préstec C,
a un interès del r % anual mitjançant n
pagaments mensuals: i = r / 1200
𝑚 = 𝐶1+𝑖 𝑛·𝑖
1+𝑖 𝑛−1
15/11/2017
8
Resol el problema del pis d’en Pau ambpagaments trimestrals:
C = 120000 i = 4/400 = 0,01 n = 60 trimestres
𝑡 = 1200001 + 0,01 60 · 0,01
1 + 0,01 60 − 1
t = 2669,33€
En total pagarà: 60·2669,33 = 160159,8€En aquest cas, la quantitat total de diners que el Paupaga pel pis és menor, ja que, en ingressar diners enel banc des del primer trimestre, comença a saldar eldeute abans i, per tant, ha d'abonar una quantitatd'interessos menor.
Per pagar-se els estudis universitaris unjove ha demanat un crèdit d’estudis de30.000 €. Els diners els haurà deretornar quan comenci a treballar.
a) Si l’entitat financera que li ha donat elpréstec li ofereix un interès anual del7,2% que haurà de retornar en 20 anys,quina quantitat haurà de pagarmensualment durant aquests vint anysel jove per amortitzar el crèdit?
b) Quants diners haurà abonat a l’entitat financera que li ha concedit el préstec en acabar aquests vint anys?
15/11/2017
9
DADES:
C = 30000 €
n = 20 · 12 = 240 mensualitats
i = 7,2/1200 = 0,006
a) 𝑚 = 300001+0,006 240·0,006
1+0,006 240−1
m= 236,20€
b) En total pagarà: 240·236,20 = 56688€