MATEMTICAS FINANCIERAS

MATEMTICAS FINANCIERASINTERS COMPUESTO.11:271CONCEPTOS.Recuerda que la metodologa para el clculo del inters compuesto es similar al inters simple. En todo momento se trabajar con la expresin (1+i), (1+i *n).Lo que hace diferente este tema, es desde luego la capitalizacin de las tasas y el incremento de P en n tiempo con i tasa. De ah que la variable n, sale de (1+i*n) y va al exponente (1+i)n11:272CONCEPTOS.Supongamos que ahorraste $150,000.00 a una tasa del 10% anual (0.83% mensual, o sea 0.0833), a un plazo de un mes. En teora, tomamos la frmula del monto del inters simple, quedando de la siguiente manera:S = P(1+ in) =$150,000.00(1+0.00833*1)=$150,000.00(1.00833)=$151,249.5011:273CONCEPTOS.Supongamos, que nuevamente se quiere invertir la misma cantidad a otro mes y con la misma tasa. Desde luego sin retirar el inters, de lo contrario caemos en el inters simple y de lo que se trata en este tema es estudiar el inters compuesto.Entonces tenemos que:S P(1in) =$151,249.50(1+0.0833*1)=$151,249.50*(1.00833)*1=$152,509.4111:274CONCEPTOS.Tomando la formula de inters simple integramos las capitalizaciones (enviando n al exponente). Esto es, el inters ganado en una inversin se integra al capital, lo que se denomina como la capitalizacin y al perodo en que el inters puede convertirse en capital se le llama perodo de capitalizacin.11:275CONCEPTOS.En la prctica financiera, los perodos de capitalizacin ms comunes son los mensuales, trimestrales, semestrales y anuales, aunque no por ello, se excluya a los bimestrales y cuatrimestrales. El Sistema Financiero Mexicano (Al igual que el internacional), opera con instrumentos de deuda e inversin, cuyos plazos son de: 7, 14, 28, 91 o 182 das.11:276CONCEPTOS.En resumen: el inters compuesto, lo utilizaremos en operaciones a largo plazo y a diferencia del inters simple (el inters simple no se capitaliza), el inters generado en cada perodo se incluye al capital.11:277INTERS COMPUESTOPara comprender mejor, resolvamos un ejercicio simple con ambos mtodos (inters simple e inters compuesto)Datos:P =$100,000.00i =15% anualn= dos meses

Con inters simpleS P(1 in)S=$100,000.00(1+.15 *2) 12S=$100,000.00(1.025)=$102,500.0011:278INTERS COMPUESTOCon inters compuestoS P(1 i)n S=$100,000.00(1+0.0125)2S=$100,000.00(1.02515625) $102,515.6311:279INTERS COMPUESTOAs, si denotamos por i a la tasa de inters por el perodo de capitalizaciones, el monto del capital invertido despus de n perodos de capitalizacin es: S P(1 i)nEn esta frmula, la tasa de inters se especifica por el perodo de capitalizacin. En la prctica financiera, lo ms comn es expresar la tasa de inters de forma anual e indicando el perodo de capitalizacin.11:2710INTERS COMPUESTOCUANDO LA TASA DE INTERS SE EXPRESA DE MANERA ANUAL, SE REFIERE A LA TASA NOMINAL, de ah la necesidad de dividir la tasa anual por el tipo de capitalizacin.Ejemplo de ello tenemos: Si la tasa anual es del 12% y las capitalizaciones son:11:2711INTERS COMPUESTODiario 12%/360 12%/365 (inters ordinario o inters exacto)Semanal 12%/52.1428571 semanas = 0.23013699Quincenal 12%/24.33333 quincenas = 0.4931507Mensual 12/12= 1% .01Bimestral 12/6 = 2% .02Trimestral 12/4 = 3% .03Cuatrimestral 12/3= 4% .04Semestral 12/2= 6% .0611:2712INTERS COMPUESTOCuando la tasa de inters se especifica nominalmente, se tiene S P(1 i ) nxm mEn donde i es la tasa nominal, m el tipo de capitalizacin por ao y n el nmero de capitalizaciones que comprende el plazo de la inversin.11:2713INTERS COMPUESTOPero Qu frmula debemos utilizar?S = P (1 + i )n o S = P( 1 + i )nxm mEjercicios.Desarrolle los siguientes casos (con ambos procedimientos)11:2714INTERS COMPUESTOP = 100,000I = 14% anual capitalizable mensualmenten: plazo de la inversin 3 aosm = mensual

.14/12 = 0.01166667P = 100,000I = 14% anual capitalizable trimestralmenteN: plazo de la inversin 3 aosm = trimestral

.14/4 = 0.0350011:2715INTERS COMPUESTOCapitalizable mensualmente (se incluye directamente la tasa mensual)S = P(1+ i)n S=$100,000.00(1+0.011666)36S = $100,000(1.5182666) $151,826.66Ahora con la frmula del monto compuesto, se tieneS = P(1+ i/m )nxmS=$100,000.00(1+0.14/12 )4x4S = $151,826.6611:2716INTERS COMPUESTOCapitalizable trimestralmente (se incluye directamente la tasa trimestral):S = P(1+ i)n S=$100,000.00(1+0.035)3x4 S=$100,000.00(1.035)12 S=$100,000.00(1.511068)S=$151,106.8011:2717INTERS COMPUESTOAhora con la frmula del monto compuesto se tieneS = P(1+ i/m )nxmS=$100,000.00(1+ .14/4)3x4S=$100,000.00(1.511068)12S = $151,106.8011:2718INTERS COMPUESTOLa compaa XFGT, adeuda 345,786.80 de un prstamo que recibi a 6 meses, tasado a una i nominal del 21.35% capitalizable mensualmente. qu monto debe liquidar al vencimiento?i = .2135/12 = 0.0177917S = P(1+i)n = 345,786.80(1.0177917)6S = 345,786.80(1.1116123)S = 384,380.8611:2719Valor presente y valor futuroEl valor futuro es el valor que tendr una inversin en un tiempo posterior (del presente al futuro) y cuyo monto aumenta a medida que aumenta la tasa de inters y el tiempo. El incremento est en funcin de las capitalizaciones, las cuales pueden ser mensuales, bimestrales, trimestrales, anuales, as como cada semana, quince das, 21 das entre otros.11:2720Valor presente y valor futuro11:2721Tiempo presente (valor presente de una inversin o valor de la operacin de contadoValor futuro de la inversin> $Valor presente y valor futuroEl valor presente es el valor que tendr una inversin en el presente, o sea hoy, (del futuro al presente). El valor presente de la inversin ser mayor cuando menor sea la tasa de inters (i) y el tiempo o el periodo (n).Ejemplificando con una lnea de tiempo, se visualiza de la siguiente forma:11:2722Valor presente y valor futuro11:2723Tiempo presente (valor presente de una inversin o valor de la operacin de contadoValor futuro de la inversin< $Valor presente y valor futuroEl Sr. James Lpez Stewart desea invertir la cantidad de $200,000.00 a 4 aos y el Banco La Ilusin Monetaria le ofrece la tasa Cetes del 7.8% anual capitalizable mensualmente. Cul ser el valor futuro de la inversin?FRMULA VFinv = VPinv ( 1 + i )n 11:2724Valor presente y valor futuroVALOR FUTURO: VFinv = VPinv ( 1 + i )n Datos:Vpinv = 200,000i = 7.8%n = 4 aosm = 12 mesesClculo:VFinv = 200,000(1 + .078/12)4x12 = 200,000(1.3647760) = 272,955.2211:2725Valor presente y valor futuroVALOR PRESENTE. Ahora el Sr. James Lpez Stewart desea saber cunto fue lo que invirti para obtener la cantidad de $272,955.22 en el plazo de 4 aos y utilizando la tasa de referencia Cetes del 7.8%FRMULA:VPinv = VFinv ( 1 + i/m)n 11:2726Valor presente y valor futuroVALOR PRESENTE.VPinv = VFinv ( 1 + i/m)nxm Datos: VF = 272,955.22i = 7.8% n = 4 aosm = 12 VPinv = VFinv 272,955.22 ( 1 + i/m)nxm (1+.078/12)4x12 VP inv = 200,000

11:2727Valor presente y valor futuroDeterminacin de la tasa de inters nominal de una inversin.Frmula:i = (VF inv / VP inv ) 1/n+m - 1i = (272,955.22 / 200,000) 1/4x12 - 1i = (1.2647761)0.0208333 - 1i = 1.0065 - 1; i = 0.0065 mensual.i = 0.0065 x 12 = 0.078 anual.11:2728Valor presente y valor futuroEjercicio inters compuestos.Una firma comercial considera que no podr cubrir ciertos pagos segn las cifras de sus proyecciones financieras y de flujos de efectivo, por lo que fija una fecha focal para renegociar con su acreedor, de tal suerte que los pagars que adeuda se visualiza en una lnea de tiempo y tendr las siguientes fechas en das y vencimientos:11:2729Valor presente y valor futuroLnea de tiempo.1er pago 2 pago 3er pago 4 pago

fechafocal.Vencimientos.(vencido)1er pago $50,000 --- 25 das/15=1.666667(vencido) 2 pago 45,000 --- 40 das/15=2.666667(por vencer) 3er pago 40,000 --- 70 das/15=4.666667(por vencer) 4 pago 20,000 --- 100 das/15=6.66666711:2730Valor presente y valor futuroVeo =50,000(1+.17X15)1.666667+45,000(1+.17X15)2.666667+ 365 365 40,000 + 20,000 (1+.17x15)4.666667 (1+.17x15)6.666667 365 365Veo = 50,583.55 + 45,843.25 + 38,721.31 + 19,092.95 = 154,241.06

RENEGOCIACIN:

1er pago 30 das /15 = 22 pago 45 das / 15 = 33 y 4 70das/ 15 = 4.66666711:2731Valor presente y valor futuroCon la informacin anterior, es decir con la renegociacin se obtiene el factor para el clculo de un pago igual incluyendo los intereses que se generaran con los nuevos pagos para lo cual se manejara la siguiente frmula:

VEn =1(1+.17X15)2+ 1 + 1 365 (1+(17X15/365))3 (1+(.17x15)/356)4.66667

+ 1/ (1+.(17x15)/365)4.666667 VEn = 1.014021+.097933+0.968032 + 0.0968032 = 3.929417 Y = VEo = 154,241 = 39,252.90 VEn 3.929417 11:2732Valor presente y valor futuroVARIABLE MONTO.Se invierte en el banco un capital de $250,000 con una tasa el 2.5% trimestral, capitalizable mensualmente. Cul ser el monto obtenido, pasado un ao y medio?.S = 250,000 (1 + 2.5/3)18S = 250,000 (1.008333)18S = 250,000(1.161112)S = 290,278.0811:2733Valor presente y valor futuroVARIABLE MONTO.Se apertura una cuente de ahorro con un capital de 51,000 con un inters del 0.3% mensual, capitalizable bimestral, despus de 3 aos Qu saldo tendr la cuenta?S = 51,000(1+.003x2)36/2S = 51,000(1+006)18S = 51,000(1.11368828)S = 56,798.1011:2734Valor presente y valor futuroVARIABLE VALOR PRESENTE.Se tiene una deuda por 25,000 que debe ser liquidada en un periodo determinado, sin embargo 3 meses antes de su vencimiento se decide pagar, la tasa de descuentos otorgada es de 17% anual, capitalizable bimestralmente. Cul ser el monto a pagar, si este se liquida por anticipado?11:2735Valor presente y valor futuroVp = 25,000 = 25,000 = (1+(.17/6))3/2 (1.0283333)1.5

VP = 25,000 = 23,983.93 1.04279963COMPROBACIN.VF = 23,983.93 (1.04279963)VF = 25,00011:2736Valor presente y valor futuroSe compra a crdito mercanca por 2,500, el 25% se paga al contado y el resto se acuerda liquidarlo en una fecha determinada. Pero a los 4 meses antes del vencimiento, se paga la deuda. Cul ser el total a liquidar si la tasa de descuento es del 0.8% mensual con capitalizacin mensual?11:2737Valor presente y valor futuro2,500 x .25 = 6252,500 625 = 1875Vp = 1,875 = 1,875 = 1,816.18 (1+.008)4 1.032386COMPROBACIN. VF = 1,816.18 (1.032386)VF = 1,87511:2738Valor presente y valor futuro Como reestructurar la deuda, cuando el acreedor no acepta pagos iguales, por el contrario, pide que sean cantidades especficas en cada nuevo pago.Ejemplo:El Sr. Arturo Hernndez adeuda los siguientes pagars: PagarVencimiento. 3,00001 de marzo 20,00028 de mayo15,00015 de junio.11:2739Valor presente y valor futuro Debido a que el Sr. Hernndez no cuenta con los suficientes recursos para saldar los pagars en las fechas de su vencimiento, acuerdo con su acreedor reestructurar la deuda de la siguiente manera No. pago PagarVencimiento. 13,00001 de marzo 2 ?28 de mayo315,00015 de junio.11:2740Valor presente y valor futuroLa fecha focal que se acord ser el 30 de mayo del mismo ao del vencimiento de los pagars.Para la reestructuracin se utilizar la tasa del 20% capitalizable cada 13 das, al utilizar el inters ordinario.11:2741Valor presente y valor futuroLnea de tiempo. Y los das por vencer1 marzo 15 Julio3,000 90 d. FF15,000 46d. FF

fecha28/mayofocal.20,00030/mayo 2 d.FF11:2742Valor presente y valor futuroSe resuelve de la siguiente forma:VEo = 3,000(1+(.20*13)/360)90/13 +20,000(1+(.20*13)/360)2/13+ 15,000 = (1+(.20*13)/360)46/13VEo = 3000(1.051082) + 20,000(1.00722) + 15,0000 = 1.02579033 VEo = 3,153.25 + 20,022.15 + 14,622.87VEo = 37,798.2711:2743Valor presente y valor futuroAhora los pagos sern en las siguientes fechas y montos, desconociendo uno de los pagos, por lo que deber calcularse a partir de los siguiente:3,000 el 28 de mayo, 2 das antes fecha focal (FF)Se desconoce el importe y se pagara el 13 de julio 44 das despus de la fecha focal15,000 el 25 de julio a 56 das de la fecha focal.La Frmula quedara:VEn = 3000(1+.20/360 *13)2/13+ S2 + 15,000 (1+:20/360*13)44/13 (1+:20/360*13)44/13VeEn = 3,003.32 + S2 + 14,542.15 1.024655511:2744Valor presente y valor futuroCul es el valor del pagar del 13 de julio.

S2 = VEo - (S1 + S3) = factor del periodo a buscarS2 = 37,798.27 (3,003.32 + 14,542.15) 1.0246555S2 = 37,798.27 17,545.47 1.0246555S2 = 19,765.4711:2745