T3 Modeladox

MODELADO DE SISTEMASDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsOBJETIVOSIntroducir el concepto de modelo matemtico y funcin de transferencia. Partiendo de los sistemas fsicos se desarrolla el modelo matemtico en forma de funcin de transferencia de un sistema.Representacin de sistemas mediante diagramas de bloques y de flujo de seal. Esta parte se completa con una relacin de ejemplos de sistemas simples que constituyen componentes de los sistemas ms complejos.Universidad Carlos III de MadridSeales y SistemasModelos matemticos en ecuaciones diferenciales.Linealizacin.Funcin de Transferencia.Diagramas de Bloques.Mtodo de Mason.Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsMODELADO DE SISTEMASUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasBibliografaDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsOgata, K., "Ingeniera de control moderna", Ed.Prentice-Hall.Captulos 3 y 4Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed.Addison-Wesley.Captulo 2Kuo, B.C.,"Sistemas de control automtico", Ed.Prentice Hall.Captulo 4F. Mata y A. Jimnez, Teora de Sistemas, Seccin de Publicaciones Universidad Politcnica de MadridCaptulo 3Universidad Carlos III de MadridSeales y SistemasCONCEPTO DE MODELO

Concepto de modeloUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasCONCEPTO DE MODELODolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsMODELO (Definicin RAE) : 4. m. Esquema terico, generalmente en forma matemtica, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolucin econmica de un pas, que se elabora para facilitar su comprensin y el estudio de su comportamiento.Casi siempre, los modelos son aproximaciones ms o menos precisas del proceso.Depende de qu se tenga en cuenta y qu se desprecia en el modelo (ej. A veces se desprecia el rozamiento del aire, etc.)Universidad Carlos III de MadridSeales y SistemasConcepto de Modelo de un SistemaModelo: Representa o sustituye a la realidad o a un sistema o realidad fsica en algunos aspectos.

Modelo matemtico de un sistema: conjunto de ecuaciones que representan la dinmica del sistema con exactitud, o al menos, razonablemente bien.

La dinmica de muchos sistemas se describe mediante ecuaciones diferenciales lineales.Ej.Las variables son seales de tiempo continuo.3 2 0dt 2dtdtDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichsd 2 xdx dyUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasModelos matemticos

Los sistemas lineales de tiempo continuo se describen por ecuaciones diferenciales.Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsUniversidad Carlos III de MadridSeales y Sistemas2 ud t 2u( t ) R i ( t ) Ld i ( t )u ( t ) d u c ( t )i ( t )d u( t )( t )u( t )u ( t )ccccd tCd tdR CL Cd tModelos matemticos. EjemplosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelos matemticos. Ejemplos

Desplazamiento, x(t) Masa, m cte Const.elastica, K Coef. viscoso, f Fuerza, u(t)d x 2 ( t )Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichsd t 2d x ( t )u ( t )K x ( t ) fMd tUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasModelos matemticos. Ejemplosdtdx2 (t)dx(t)dt 2 K x(t) u(t)Mfdtdu 2 (t)dt 2du(t) u(t) u(t)cccLCRCdy2 (t)Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichsdt 2dy(t) c y(t) u(t)abdtUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasModelado de Sistemas MecnicosSistemas mecnicos de translacinUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas MecnicosSistemas mecnicos de rotacinUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas MecnicosEjes de engranajesUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas ElctricosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas ElectromecnicosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas HidrulicosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas QumicosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasModelado de Sistemas TrmicosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasSistemas mecnicosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasSistemas mecnicosDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasSistemas elctricosUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasOtros sistemasUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasLinealizacin

Concepto de linealidadPrincipio de superposicin:Gu1(t)y1(t)Gu2(t)y2(t)Gau1(t)+bu2(t)Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichsay1(t)+by2(t)Los sistemas fsicos reales no suelen ser linealesUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasLinealizacin2( x x)2 ...000dx2!dx 200y y0 a1 xy a1x

Punto de equilibrio : derivadas temporales ceroy0 y0 ... 0u0 u 0 ... 0y f ( x)Nolinealy f ( x ) df ( x)( x x) 1df ( x)Universidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasLinealizacinApuntes de Anlisis Dinmico de Sistemas, ISA Univ. OviedoDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasLinealizacin(x1 x1 ) x0Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs(x2 x2 ) ... x0(xn xn )0y f (x1, x2 yy y0 x1 02 0n 0y a1x1 a2x2 ..xn )...anxnNolineal y yLinealLas xi representan tanto variables como derivadasUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasLinealizacin. Concepto de punto de equilibrio

Se linealiza en torno a un punto de equilibrio:y a1x1 a2 x2 ... an xn Lineal

Las variaciones de las variables son nulas.Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs(x x)x(x x) ... yxy y y(x x) yxy f (x1 , x2..xn ) No linealn0nn02021 02 01001(x1 , x2 ,...,xn , y0 )000Universidad Carlos III de MadridSeales y SistemasLinealizacinDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsLa ecuacin linealizada no es nica, depende del punto en que se haga la linealizacinLas variables de la ecuacin linealizada representan incrementos respecto al punto de equilibrioPara simplificar la notacin no se suelen representar las variables como incrementosEs ms sencillo linealizar las ecuaciones trmino a trminoDiferencias de comportamiento entre el modelo linealizado y el realForma de la funcin a linealizar.Las diferencias aumentan al alejarse del punto de equilibrio.Universidad Carlos III de MadridSeales y SistemasEjemploLinealizar el sistema dado por la ecuacin diferencial:Las variables son:

La aproximacin de Taylor es:Resolviendo las derivadas:La solucin queda:Funcin de Transferencia para sistemas de tiempo continuoUniversidad Carlos III de MadridSeales y SistemasDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsEjemplos de LinealizacinA d h ( t )q e ( t ) q s

q s ( t )C( t ) h ( t )d t0q( t )q( t )Ah ( t )1q( t )Ch( t )2esshUniversidad Carlos III de MadridDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel SalichsSeales y SistemasEjemplos de LinealizacinxDolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichsixmgdtmd222Universidad Carlos III de MadridSeales y Sistemas