tema 3 noc i ones sobre ondas
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ONDAS ELECTROMAGNMETICASTRANSCRIPT
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Tema 3: Nociones sobre
ondas
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Propagacin de una perturbacin
Una perturbacin es la
alteracin temporal del
estado de equilibrio de un
sistema.
Bajo ciertas circunstancias
esta perturbacin se puede
propagar por el medio que
la rodea. Desde el punto
donde se origina la
perturbacin hasta otro
punto distante.
La forma de la perturbacin
puede cambiar durante la
propagacin.
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Movimiento ondulatorio
Si una perturbacin se propaga a travs de un medio sin cambiar de forma y
con una velocidad v se dice que tal perturbacin se mueve de forma
ondulatoria.
En 1-D una funcin se propaga como una onda si cumple
( , ) ( )x t f x vt
animacin
Funcin de onda
Se propaga hacia la izquierda
Se propaga hacia la derecha
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Movimiento ondulatorio armnico
La onda no cambia de forma durante la propagacin
Se propaga con una velocidad v que de manera general va a depender
del medio sobre el que se propaga la onda
Y la funcin de onda est descrita por la ecuacin:
0( , ) sin ( )x t k x vt
Donde k es el nmero de ondas, y =2 /k es la longitud de onda que
marca la distancia a la que la funcin de onda repite su valor
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Pasado un tiempo T= /v manteniendo fija la posicin, la onda repite su
estado de movimiento. Este tiempo T se denomina periodo de la onda.
Definiendo frecuencia angular de la onda armnica como: =2 /T la
funcin de onda se puede escribir como:
0( , ) sin( )x t kx t
La frecuencia de la onda se define como = 2 con unidades
hertzios (Hz) y ahora la velocidad de propagacin de la onda est
dada por v=
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Ejemplo 1: Un diapasn oscila a 440 Hz. Sabiendo
que el sonido en el medio en el que se encuentra el
diapasn se propaga a una velocidad de 340 m/s
determina la longitud de onda, el nmero de onda y
la funcin de onda.
Ejemplo 2: La luz se propaga en el vaco con la velocidad de 3x108 m/s.
Hallar la longitud de onda correspondiente a una frecuencia de 5x1014 Hz,
que es la frecuencia de la luz roja del espectro visible
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Ondas longitudinales y ondas
transversales
En las ondas longitudinales la perturbacin se produce en la direccin de
propagacin de la onda
En las ondas transversales la perturbacin se produce en la direccin
perpendicular a la direccin de propagacin de la onda
Animacin
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Ondas longitudinales en una varilla
homognea
0
0
l lFY
S l
F d dx dxY Y
S dx x
Dentro del lmite elstico, cuando ejercemos una fuerza
sobre una varilla de seccin S modificamos su longitud y si
la fuerza deja de actuar la varilla recupera su longitud inicial
Donde Y es el mdulo de elasticidad
del material (mdulo de Young)
2
2 22
2 22 2
2 2
'F F dF YS dxYx
t xd ddF m Sdx
dt dt
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Si probamos como solucin de la propagacin de la deformacin de la barra
la funcin de onda: 0( , ) sin ( )x t k x vt
Comprobamos que es solucin de la ecuacin anterior y que por lo tanto la
deformacin de la barra se propaga como un onda longitudinal con velocidad:
Yv
Material Velocidad (m/s)
Acero 5050
Aluminio 5080
Cinc 3810
Cobre 3710
Hierro 5150
Hielo 3280
Vidrio de cuarzo 5370
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Ondas transversales en una cuerda
(sin ' sin ) ( ' ) ( )ytg
F T T tg tg Td tg T dxx
tgx x
2
2 22
2 22 2
2 2
y
y
F T dxTx
t xF m dx
t t
como
La solucin a esta ecuacin es una onda que se propaga con una velocidad de:
Tv0( , ) sin ( )x t k x vt
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Una onda transversal oscila en la direccin perpendicular a la direccin de
propagacin de la onda (denominada direccin X). Existen infinitas direcciones
perpendiculares al desplazamiento. Si escogemos dos direcciones perpendiculares
entre s, Y y Z como referencia podemos expresar el desplazamiento transversal
como un vector en funcin de su proyeccin sobre los ejes Y, Z.
Dependiendo de la variacin de la orientacin del vector de desplazamiento
transversal a lo largo de la propagacin de la onda, la onda puede estar o no
polarizada:
Polarizacin lineal
Polarizacin circular
Polarizacin elptica
No polarizada
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Este movimiento es satisfecho por ondas
armnicas que se desplazan con una
velocidad dada por:
2 2
2
g T hv tgh
Ondas superficiales en un lquido
g aceleracin de la gravedad (m/s2), T tensin superficial (N/m), densidad el
lquido (kg/m3), h profundidad del lquido (m)
La velocidad de propagacin depende de la
frecuencia.
Cuando la velocidad de propagacin depende de la
longitud de onda o de a frecuencia se dice que hay
dispersin. Si un movimiento ondulatorio penetra
en un medio dispersivo, la onda se distorsiona
porque cada una de sus componentes se propaga a
diferente velocidad
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2 22
2 2v
t x
2 2
0
2
0
1
2P v F v v
P
Cualquier funcin con argumentos: (x,t)=f(x vt) es solucin de la ecuacin de ondas.
Qu transporta una onda?
Transporta una perturbacin desde un punto del espacio a otro. Un
estado de movimiento, es decir, momentum y energa.
Ejemplo: Potencia media transmitida por una onda transversal que se
propaga por una cuerda.
Ecuacin de onda unidimensional
Densidad lineal de energa J/m
Intensidad de la onda: es el promedio de energa por unidad de rea y
de tiempo expresado en W/m2 PI
A
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Frente de ondas: Es el lugar del espacio en el que la funcin de onda toma
un mismo valor.
Ondas planas: El frente de ondas es un plano. El frente de onda est
caracterizado por la direccin de propagacin de la onda determinada por:
u r 0 0
2 2 2
sin ( ) sin( )
( , , )x y z
x y z
k u r vt k r t
k k k k
k k k kv
Ondas en 2 3 D
Definimos vector de ondas k como el vector cuyo sentido seala el sentido
de propagacin de la onda y cuyo mdulo coincide con el nmero de ondas k
Ecuacin de ondas:
2 2 2 22
2 2 2 2v
t x y z
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Problema 1
Indique cules de las siguientes expresiones (en las que el tiempo se da en
segundos y las coordenadas espaciales en metros) corresponden a ondas
que se propagan, sealando: la direccin, sentido y velocidad de
propagacin, y si son ondas armnicas. En caso de serlo, determine el
vector de ondas, el nmero de ondas, la longitud de onda y la frecuencia en
Hz, y seale si son ondas planas o esfricas.
a) (x,y,z,t)=20cos(1000 t- x) b) (x,y,z,t)=(10/r)sen(1000 t- r)c) (x,y,z,t)=20cos(1000 t2x) d) (x,y,z,t)=(y+10t)2
Ondas cilndricas: Fuente de onda con geometra lineal. Medio istropo. Los
frentes de onda son cilindros cuyo eje coincide con la fuente lineal.
Ondas esfricas: Fuentes puntuales. En medio istropos
los frentes de ondas son esferas centradas en la fuente.
En estos medios la ecuacin de ondas es:
2 22
2 2
0( , ) sin ( )
vt r
r t k r vtr
A distancias grandes de
las fuentes las ondas
cilndricas y las esfricas
se convierten en ondas
planas
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Absorcin de un ondaUna onda transporta energa. Al atravesar un cierto medio puede perder
parte de su energa o incluso toda y desaparecer. Se dice que la onda ha
sido adsorbida por el medio.
Puesto que la energa de una onda es proporcional al cuadrado de la
amplitud de onda, el proceso de absorcin da lugar a la atenuacin de la
amplitud de onda.
El grado de absorcin de una onda depende del espesor de medio y de la
propia naturaleza del medio.
0( , ) sin ( )xx t e k x vt
Donde es el factor de absorcin del medio medido en m-1
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Pulsos
Lo habitual es encontrar en la naturaleza perturbaciones que se propagan
como una onda que tienen un principio y un fin y que estn compuestas por
varias ondas armnicas de diferente frecuencia. A esto se denomina tren de
ondas o pulso de ondas.
La velocidad v= /k de una onda armnica se denomina velocidad de fase.
Esta puede no ser la velocidad del tren de ondas ya que no se trata de un
onda armnica sino de la superposicin de varias ondas.
Sea un pulso compuesto de dos
ondas armnicas de frecuencias muy
prximas y de amplitudes iguales:
0 1 1 0 2 2
0 2 1 2 1 2 1 2 1
0 2 1 2 1 1 1
( , ) sin( ) sin( )
1 1( , ) 2 cos ( ) sin ( )
2 2
1( , ) 2 cos ( ) sin
2
x t k x t k x t
x t k k x t k k x t
x t k k x t k x t
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La expresin anterior representa un movimiento ondulatorio con amplitud
modulada en el que la amplitud modulada se propaga con una velocidad de
grupo:
2 1
2 1
como =vk
g
g
dv
k k dk
dvv v k
dk
Si el paquete de ondas se propaga por un medio no dispersivo la
velocidad de grupo coincide con la de fase.
Problema 2: Determinar la velocidad de propagacin de un tren de ondas
superficiales en un fluido si la velocidad de fase es:
2
gv
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Ejercicio 3: La frecuencia (dada en rad/s) y el nmero de ondas k (en m-1) de
ciertas ondas que se propagan en un cierto medio se encuentran relacionados por la
siguiente expresin:
22826 )103()102( k
a)Determine la velocidad de fase, en funcin del nmero de ondas.
b)Determine la velocidad de grupo, en funcin del nmero de ondas.
c)Indique si se trata de un medio dispersivo o no dispersivo, justificando su respuesta.
d)Escriba la expresin correspondiente a una onda plana monocromtica de amplitud
A y longitud de onda 100 m que atraviesa el medio sin amortiguamiento, viajando a lo
largo del eje X, en su sentido negativo.
, 2 2 0,5 10x t sen x t
, 2 2 0,5 10x t sen x t
Ejercicio 4: Dada la onda
a) Determinar cul es el periodo, la longitud de onda, la velocidad de
propagacin de la misma.
b) Dibujar la onda para t=0 y t=1/40.
c) Dibujar para esos mismos instantes de tiempo la onda
y compararla con la anterior.
donde t se da en segundos y x en metros.
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Ejercicio 5: Una fuente extraterrestre muy lejana emite radiacin
electromagntica de frecuencia f, de forma que cuando esta emisin alcanza la
atmsfera terrestre puede considerarse una onda plana. A una altura de 10 km
sobre el nivel del mar la intensidad de la onda es de 13.5 W/m2. La radiacin es
recibida por una antena situada en la vertical de la fuente emisora y a nivel del
mar. A la frecuencia f , la atmsfera presenta un coeficiente de absorcin
=3010-6 m-1. Determine la intensidad detectada por la antena.
Cuestin 1: Un agente secreto est atrapado en un edificio, situado sobre la
cabina de un ascensor que se encuentra en la planta baja, e intenta comunicarse
con un agente amigo que est en el tejado, mediante un mensaje en cdigo
Morse. Para ello da unos golpecitos en el cable del ascensor, de manera que se
produzcan unos pulsos transversales que se mueven hacia arriba por el cable. A
medida que los pulsos se mueven cable arriba, la velocidad a la que se mueven
los pulsos se mantiene, crece o decrece? Si los pulsos se envan separados
por intervalos de 1s, su socio los recibe tambin separados por intervalos de
1s?
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Efecto Doppler
Cuando la fuente de ondas y el observador estn en movimiento relativo con
respecto al medio material sobre el que se propaga, la frecuencia de las
ondas observadas es diferente a la frecuencia de las ondas emitidas por la
fuente.
' O
F
v vf f
v v
Si la velocidad de
observador Vo y la de la
fuente VF son pequeas
con respecto a la
velocidad de la onda V
' 1 O Fv v
f fv
cos( )' 1
O Fv vf f
v
Si la direccin de propagacin de
la onda no es la misma que a
direccin de
aproximacin/alejamiento de la
fuente y el observador
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Efecto Doppler para ondas electromagnticas
Velocidad de la luz c
El medio no interviene
kx-wt=kx-wt invariante Lorentz
2 2
1'
1
v c
v c
Si la velocidad de
observador Vo y la de la
fuente VF son pequeas
con respecto a la
velocidad de la onda c
' 1v
f fc
Si la direccin de propagacin de
la onda no es la misma que a
direccin de
aproximacin/alejamiento de la
fuente y el observador
cos( )' 1
vf f
c