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Mecanica teorica
Tema 3 - Oscilaciones pequenas
Universidad de Sevilla - Facultad de Fısica
28 de octubre de 2019
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 1 / 42
1.- Molecula triatomica lineal
Experimentalmente podemosestar interesados en laradiacion que resulta de losmodos de oscilacionintrınsecos de esta moleculatriatomica.
Introducimos coordenadasgeneralizadas respecto a susposiciones de equilibrio,x10, x20, x30
ηj = xj − xj0, j = 1, 2, 3
x02 − x01 = x03 − x02 = b
Figura: Molecula de CO2
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Molecula triatomica lineal
La energıa potencial de losdos muelles es
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Molecula triatomica lineal
Desarrollamos la energıapotencial alrededor de laposicion de equilibrio yreagrupamos terminos
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Molecula triatomica lineal
Como matriz, esta formacuadratica tiene la forma
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Molecula triatomica lineal
Realizando las derivadasy evaluando en xj = xj0
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Molecula triatomica lineal
Evaluamos la energıacinetica para las tresmasas
Sustituimos lascoordenadasgeneralizadas
Obtenemos como matrizla forma cuadratica
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Molecula triatomica lineal
Combinamos estas dosformas cuadraticas en laecuacion caracterıstica
Evaluamos eldeterminante
Obtenemos la ecuacionde las frecuencias propias
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Molecula triatomica lineal
Hay tres solucionesdistintas(autofrecuencias)
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Molecula triatomica lineal
Ahora, encontramos losautovectores para cadaautovalor usando:
Modo normal #1: r=1
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #1: r=1
Resolviendo las ecs. 1 y 3,tenemos a21 = a31 y a1 = a21
Poniendo todo junto:a11 = a21 = a31
Notar que esa solucion satisfacetambien la ec. 2
El autovector para ω1 = 0 es:
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #1: r=1
Es necesario normalizarel autovector conrespecto a la matriz T
Obtenemos:
Finalmente, elautovector normalizadopara ω1 = 0 es:
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #2: r=2
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #2: r=2
Normalizamos con lamatriz de energıacinetica T
Nos queda
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #3: r=3
Primero, simplificamoslos elementos de lamatriz
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #3: r=3
Volvemos a escribir laecuacion matricial
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #3: r=3
Normalizamos conrespecto a la energıacinetica T
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Molecula triatomica lineal
Modo normal #3: r=3
El autovectornormalizado es
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Molecula triatomica lineal
La solucion general estadada por...
Los coeficientescomplejos Cr sedeterminan con lascondiciones iniciales(ejercicio)
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Molecula triatomica lineal
Si un unico modonormal ζr esta activo,el movimiento de lastres coordenadasgeneralizadas ηjtendran la formarepresentada
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2.- Molecula triatomica lineal tipo CO2
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Molecula triatomica lineal tipo CO2
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Molecula triatomica lineal tipo CO2
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Molecula triatomica lineal tipo CO2
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 24 / 42
Molecula triatomica lineal tipo CO2
Cambiamos ahora la notacion: P pasa a A, q pasa a η y η pasa a ζ
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3.- Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadas (1)
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Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadas (2)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 27 / 42
Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadas (3)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 28 / 42
Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadas (4)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 29 / 42
Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadasMolecula triatomica
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 30 / 42
Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadasMolecula triatomica
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 31 / 42
Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadasMolecula triatomica
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 32 / 42
Sistemas disipativos. Oscilaciones forzadasMolecula triatomica
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 33 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (1)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 34 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (2)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 35 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (3)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 36 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (4)
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 37 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (5)Oscilador amortiguado
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 38 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (6)Oscilador amortiguado
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 39 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (7)Oscilador amortiguado
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 40 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (8)Oscilador amortiguado
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 41 / 42
Sistemas disipativos. Fuerzas disipativas (9)Oscilador amortiguado
Tema 3 - Oscilaciones pequenas (Grupo 1) Mecanica Teorica (2019-2020) 28 de octubre de 2019 42 / 42