tema 3. respuesta frente a cargas armónicas y periódicas

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Tema 3. Respuesta frente a cargas armnicas y peridicas

1 Vibracin armnica no amortiguada

1.1 Factor de amplificacin dinmica 1.2 Frecuencia de resonancia

2 Vibracin armnica amortiguada

2.1. Frecuencia de resonancia

2.2. Factores de amplificacin y frecuencias de resonancia de velocidades y aceleraciones

3 Fuerzas transmitidas a la base y aislamiento de vibraciones

4 Excitacin de la base y aislamiento de vibracionesy

5 Respuesta estacionaria frente a fuerzas armnicas del tipo: F(t) = P0cost 6 Anlisis armnico: desarrollo en series de Fourier.

6 1 E t d f i6.1 Espectro de frecuencias

7 Instrumentos de medida de vibraciones

7.1 Acelermetros

8 Medida experimental de propiedades dinmicas

9 Tipos de amortiguamiento

9.1. Energas en la vibracin armnica con amortiguamiento viscoso

9.2. Amortiguamiento viscoso equivalente 9.3. Amortiguamiento estructural

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T3. Cargas armnicas y peridicas Introduccin

Se plantea el estudio de la respuesta de una estructura con 1 GDL dinmico, bajo la accin de fuerzas armnicas o peridicas.

Se considera inicialmente una fuerza externa senoidal de la forma P(t) = Posent, generalizndose luego al caso de ( ) idi l l d ll i d icarga P(t) = Pocost, y a cargas peridicas generales con el desarrollo en series de Fourier.

Carga armnica senoidalCarga armnica senoidal

La excitacin armnica es habitual en sistemas ingenieriles como las turbinas o la vibracin de maquinaria rotatoria desequilibrada. Adems, la repuesta frente a este tipo de cargas es muy instructiva y permite explicar la respuestafrente a otras cargas ms complejas y no peridicas, como las ssmicas.

En el tema se desarrollan conceptos fundamentales como la resonancia, la respuesta estacionaria y transitoria, los factores de amplificacin dinmica, los mtodos de determinacin experimental de frecuencias naturales, el diseo de los instrumentos de medida de vibraciones y el aislamiento de vibracionesdiseo de los instrumentos de medida de vibraciones, y el aislamiento de vibraciones.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 1. Vibracin armnica no amortiguada

Ecuaciones del problema Ecuaciones del problema2 0

0 sen sennPmu ku P t u u tm

0 0u t u u t u t u t

cos seno n nu t A t B t con

0 0

0 0

u t u

u t u

o pu t u t u t

( ) senpu t C tcon

Introduciendo la solucin particular en la ecuacin diferencial, se obtiene

0 02 21 1 sen

11

p nP PC u t t siK K

p ,

n

n

con ratio de frecuencias

La solucin particular propuesta no es vlida si = n ya que en este caso esta contenida en lasolucin homognea. La solucin completa de la ED es:

1P

Considerando las condiciones iniciales: 0 2

1( ) cos sen sen1n n

Pu t A t B t tK

0 02 2(0) 1( ) (0)cos sen sen

1 1n nn

P Puu t u t t tK K

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A los trminos provenientes de la ecuacin homognea se les denomina transitorios y al trmino de la A los trminos provenientes de la ecuacin homognea se les denomina transitorios, y al trmino de la solucin particular estacionario de la solucin general.

El estado transitorio se caracteriza por oscilaciones en la frecuencia natural del sistema, que dependen de l di i i i i llas condiciones iniciales

El estado estacionario se caracteriza por una oscilacin en la frecuencia de excitacin, independiente de lascondiciones iniciales. La denominacin de transitorio se debe a que este trmino, asociado a la vibracinlibre, tiende a desaparecer con la presencia de amortiguamiento.

Si se ignoran los efectos dinmicos en la solucin de la ED, el movimiento esttico instantneo debido a la carga externa es:

senoe Pu t tk Cuyo valor mximo, es la respuesta esttica mxima:Cuyo valor mximo, es la respuesta esttica mxima:

oe sto o Pu u k La repuesta estacionaria se puede expresar como:

1 senu t u t 2 sen1e ou t u t

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Respuesta temporal total y estacionaria de un sistema de un grado de libertad sometido a una Respuesta temporal total y estacionaria de un sistema de un grado de libertad, sometido a unaexcitacin armnica senoidal, con 0/ 0.2, (0) 0, (0) /n nu u P k

Carga armnica senoidal (sup.), y respuesta no amortiguada total y estacionaria (inf.)

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El trmino 1/(1 2) de la respuesta estacionaria aparece representado en la figura siguiente El trmino 1/(1- ) de la respuesta estacionaria aparece representado en la figura siguiente, frente al ratio de frecuencias .

21 sen1e ou t u t

Desfase entre la carga armnica y la respuesta estacionaria f g y p

Si < 1, es decir < n, el factor 1/(1-2) es positivo, con lo que el signo de p(t) y u(t) coincide. Eneste caso se dice que la respuesta y la carga estn en fase. Cuando > 1, es decir > n, el factor 1/(1-2) es negativo, y el movimiento esta fuera de fase respecto a la carga aplicada.

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1 1 Factor de amplificacin dinmicaSe define como el ratio, en valor absoluto, de la mxima respuesta dinmica y esttica,considerando nicamente la respuesta dinmica estacionaria.

1.1 Factor de amplificacin dinmica

considerando nicamente la respuesta dinmica estacionaria.

Permite realizar un diseo esttico corregido de la estructura.

Considerando los desplazamientos, y denominando uo a la mxima respuesta dinmica: p , y p

21

1o

de o

uD R

u

Utilizando la definicin del factor de amplificacin dinmica, es posible expresar la respuesta dinmica estacionaria, incorporando el parmetro ngulo de fase

21 sen sen sen10

oo e do

Pu t t u t u R tk

si

0

180n

n

sisi

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1 1 Factor de amplificacin dinmica 1.1 Factor de amplificacin dinmicaEn la figura siguiente se representan grficamente, frente al factor , las funciones Rd y

Factor de repuesta dinmica y ngulo de fase de un sistema no amortiguado, excitado por una carga armnica

El factor de amplificacin dinmica Rd < 1 si = /n > 2 , en este caso la respuesta dinmica es inferior a la esttica

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1 2 Frecuencia de resonancia 1.2 Frecuencia de resonancia La frecuencia de resonancia se define como la frecuencia de excitacin que hace mxima la

respuesta dinmica.respuesta dinmica.

En el caso de la vibracin armnica forzada de un sistema de un grado de libertad no amortiguado,la resonancia se da para = n. Para este valor de la frecuencia de excitacin, se plantea unasolucin particular de la ED inicial con la forma:solucin particular de la ED inicial con la forma:

2 00 sen senn

Pmu ku P t u u tm

0 0

0 0

u t u

u t u

cosp nu t Ct t

Sustituyendo la solucin propuesta en la ED y aplicando condiciones iniciales nulas endesplazamiento y velocidad, se obtiene:

P t P cos cos sen2 2o n o

p n n n nP t Pu t t u t t t t

k k

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1 2 Frecuencia de resonancia 1.2 Frecuencia de resonanciaEn la figura siguiente se representa la respuesta dinmica del sistema, que se hace infinita para un tiempoinfinito de aplicacin de la carga.

En la prctica la estructura romper si el material es frgil o plastificar en el caso de materiales dctiles,tras un tiempo finito de aplicacin de la carga, modificndose su frecuencia natural, y por lo tanto lasituacin de resonancia.

En cada ciclo la deformacin crece en un factor de Po/K: 1 12 22o oj j j j e on n

P Pu u t t uk T T k

Respuesta de un sistema no amortiguada, excitado por una carga senoidal con = n.

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1 2 Frecuencia de resonancia 1.2 Frecuencia de resonanciaPara frecuencias de excitacin muy prximas a la situacin de resonancia, pero sin que se alcance esta, se produce el fenmeno de golpeteo o beating, en el que la respuesta crece y disminuye rpidamente deproduce el fenmeno de golpeteo o beating , en el que la respuesta crece y disminuye rpidamente de forma armnica

Fenmeno de golpeteo, con una excitacin armnica con n

En este caso la estructura vibra con la frecuencia de excitacin , pero se produce un golpeteo con un periodo de valor 2/, siendo 2 = n-, y una amplitud de Po/(2m).

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T3. Cargas armnicas y peridicas 2. Vibracin armnica amortiguada

Ecuaciones del problematsen

mP

uuu nn 022

tDtCsentu cos)(

Ecuaciones del problema

Solucin particular tDtCsentu p cos)(

Solucin particular

Introduciendo la solucin particular en la EDO e igualando coeficientes en senos y csenos se obtiene:

22202222

0

21

2;

21

1

K

PD

K

PC

n

con ratio de frecuencias

21)( t BAS l i ib i lib 21cos)( nAAAt contBsentAetu n tDtCsentBsentAetu AAtn coscos)(

Solucin en vibracin libre:

Solucin general en vibracin armnica amortiguada:

Las constantes A y B de la ecuacin anterior se determinan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad. Al trmino proveniente de la ecuacin homognea se ledenomina estado transitorio, y al trmino de la solucin particular estado estacionario.

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E l fi l t t l t t l t i i d i t d d d lib t d En la figura aparece la respuesta temporal total y estacionaria de un sistema de un grado de libertadcon: KPuu n /)0(,0)0(,05.0,2.0 0

Respuesta armnica amortiguada

Como puede observarse en la figura, la respuesta transitoria decae exponencialmente con el tiempo,p g , p p p ,con un ratio funcin de y . Transcurrido un cierto periodo de tiempo, nicamente se mantiene la respuesta estacionaria, aunquelos mximos de la respuesta pueden producirse antes de que el sistema alcance el estado estacionario. p p p q

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P l l l f t d lifi i d l i t R id i t l t Para calcular el factor de amplificacin en desplazamientos Rd se considera nicamente la respuesta estacionaria, pero escribindola en la forma:

DCu22

0

CDarctg

contsenutDtCsentu 0

0 )(cos)(

Sustituyendo las expresiones de C y D se obtiene:

dinmicaamplitudKPu

2220

0)2()1(

1

Sustituyendo las expresiones de C y D se obtiene:

desfasearctg 212

Puesto que Rd se define como o

de o

uR

u , siendo uo el mximo movimiento dinmico, y K

Pue 00 el

mximo movimiento esttico el factor de amplificacin es:mximo movimiento esttico, el factor de amplificacin es:

222 )2()1(1

dR )2()1(

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T3. Cargas armnicas y peridicas 2. Vibracin armnica amortiguada En la figura siguiente aparece la respuesta temporal estacionaria y esttica de un sistema con

amortiguamiento fijo = 0.2, y tres frecuencias distintas de excitacin:

Respuesta estacionaria amortiguada para ratios de frecuencia: = 0.5, 1 y 2

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En la figura siguiente aparece la curva de respuesta en frecuencias para Rd y para distintos valores En la figura siguiente aparece la curva de respuesta en frecuencias para Rd y , para distintos valores del factor de amortiguamiento.

Respuesta en frecuencias de Rd y , en un sistema amortiguado con excitacin armnica

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E l l ti i t d R l t t l lit d d l t di i En general el amortiguamiento reduce Rd y por lo tanto la amplitud de la respuesta dinmica entodos los rangos de frecuencias de excitacin, aunque la magnitud de esa reduccin dependefuertemente de la frecuencia de excitacin:

Si > 1. La fuerza vara rpidamente, Rd tiende a cero al crecer , y la respuesta del sistema es independiente del amortiguamiento. El desfase , es de 180 y la respuesta en desplazamientos esta en fase opuesta a la excitacin.

2

La respuesta del sistema esta controlada por la masa de la estructura: 20

2

2

00

mPuu ne .

Si 1. Rd depende fuertemente de , y para valores pequeos del amortiguamiento la repuesta dinmica puede ser mucho mayor que la esttica. El desfase , es de 90 y la respuesta en desplazamientos es mxima cuando la excitacin es nula.

La respuesta del sistema esta controlada por su amortiguamiento: Puu 01 La respuesta del sistema esta controlada por su amortiguamiento: n

e cuu 00 2 .

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En el caso de que la frecuencia de excitacin coincida con la frecuencia natural del sistema la En el caso de que la frecuencia de excitacin coincida con la frecuencia natural del sistema, larespuesta dinmica se obtiene de la solucin general de la EDO.

Considerando condiciones iniciales nulas, la solucin es:

ttsente

KPtu nAA

tn

cos1

cos21)(

20

Obtenindose un valor del factor de amplificacin: 21dR

En la figura siguiente aparece la respuesta temporal de un sistema con: 0)0(0)0(050 uu En la figura siguiente aparece la respuesta temporal de un sistema con: 0)0(,0)0(,05.0 uu

Respuesta armnica amortiguada para =1 ( = n), = 0.05

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T3. Cargas armnicas y peridicas 2. Vibracin armnica amortiguada En la figura siguiente aparecen las respuestas, para las mismas condiciones iniciales, de tres sistemas g g p p , p ,

con distinto amortiguamiento, observndose la gran influencia de

Respuesta armnica amortiguada para =1 ( = n) y varios factores de amortiguacin 2.1 Frecuencia de resonancia

A la frecuencia de excitacin para la que el movimiento se hace mximo se le denomina frecuencia deresonancia. La frecuencia de resonancia esta muy prxima a la frecuencia natural del sistema, peroalgo adelantada. Para calcular su valor exacto es necesario calcular el mximo de Rd

2max

2

2

121

21210

dRdnR

n

d

RRddR

12

En el caso de sistemas estructurales es habitual considerar R = n, y RdR= 1/(2.

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2 2 Factores de amplificacin y frecuencias de resonancia 2.2 Factores de amplificacin y frecuencias de resonancia

De forma similar al factor de amplificacin en desplazamientos Rd ya estudiado, se pueden definir los factores de amplificacin en velocidades Rv y en aceleraciones Ra obtenindose las siguientesfactores de amplificacin en velocidades Rv, y en aceleraciones Ra, obtenindose las siguientes relaciones:

d

nv RR

d

na

n

RR2

Las frecuencias exactas de resonancia en los casos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones son:

221 td l i

2

2

21

21

nR

nR

nR

nesaceleracio

svelocidadeentosdesplazami

Las diferencias entre los tres valores anteriores en el caso de sistemas con un factor de amortiguacin inferior al 20% son despreciables

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T3. Cargas armnicas y peridicas 2. Vibracin armnica amortiguada 2.2 Factores de amplificacin y frecuencias de resonancia 2.2 Factores de amplificacin y frecuencias de resonancia

En la figura aparecen las curvas de respuesta en frecuencias para los tres factores de amplificacin

Respuesta en frecuencias de Rd, Rv, y Ra, en un sistema amortiguado con carga armnica

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T3. Cargas armnicas y peridicas 3. Fuerzas transmitidas a la base 3. Fuerzas transmitidas a la base y aislamiento de vibraciones El factor de transmisin o transmisividad (TR) se define como el cociente entre la mxima fuerza

transmitida a la base y la mxima fuerza aplicada.

3. Fuerzas transmitidas a la base y aislamiento de vibraciones

Considerando el sistema de un grado de libertad de la figura siguiente, sometido a una excitacinarmnica, la fuerza transmitida en el estado estacionario es la suma de la fuerza elstica y deamortiguacin:

m

F(t) = P0 sent

k c

FT

)()(

)()(

0 tsenRPtutuctKuFFF cmT

amortiguacin:

m

F(t) = P0 sent

k c

FT

)cos()(

)()(

0

tRKPtu

tsenRK

tucon

d

d

m

F(t) = P0 sent

k c

FT

Operando sobre la expresin de la fuerza transmitida FT se obtiene:

222

22

0

0

200max

)2()1()2(1)2(1:

)2(1

dT

dTT

RPFTRLuego

RPFF

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T3. Cargas armnicas y peridicas 3. Fuerzas transmitidas a la base

En la figura siguiente aparece la respuesta en frecuencias de la funcin TR para distintos factores de En la figura siguiente aparece la respuesta en frecuencias de la funcin TR para distintos factores de amortiguacin.

Respuesta en frecuencias de TR en un sistema amortiguado con excitacin armnica

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T3. Cargas armnicas y peridicas 3. Fuerzas transmitidas a la base

3 Fuerzas transmitidas a la base y aislamiento de vibraciones

En el caso de los desplazamientos el incremento de amortiguamiento produce siempre undescenso de la respuesta del sistema pero en el caso de la fuerza transmitida el incremento de

3. Fuerzas transmitidas a la base y aislamiento de vibraciones

descenso de la respuesta del sistema, pero en el caso de la fuerza transmitida el incremento deamortiguamiento produce un descenso de la fuerza transmitida solo si 2/ n .

P i l f i id l f li d l i id d l Para conseguir que la fuerza transmitida sea menor que la fuerza aplicada, la rigidez del soporte ypor lo tanto su frecuencia natural deben de ser lo suficientemente pequeos como para que

2 . nEn este caso no es deseable el amortiguamiento en el soporte, ya que hace crecer la fuerzatransmitida.

Sin embargo en las cimentaciones de maquinaria y otras estructuras, si se reduce en exceso elfactor de amortiguacin, al arrancar la maquinaria se producen cargas elevadas al atravesar lafrecuencia de resonancia antes de alcanzar el estacionario.

Para evitar problemas en los arranques y conseguir fuerzas estacionarias mnimas se utilizanmateriales como el caucho con valores de bajos, entorno al 0.04.materiales como el caucho con valores de bajos, entorno al 0.04.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 4. Excitacin de la base y aislamiento

4 Excitacin de la base y aislamiento de vibraciones El factor de transmisin o transmisividad (TR), se aplica tambin al caso de excitacin por la base

Suponiendo un movimiento del terreno armnico: seng gou t u t

4. Excitacin de la base y aislamiento de vibraciones

La ecuacin del movimiento, en trminos de desplazamientos relativos, es:

( )ffmu cu ku P t mu t ( )eff gmu cu ku P t mu t Aplicando las ecuaciones de solucin de la EDO, ya calculadas, con o goP mu se obtiene:

sengo dmuu t R tk

Como:

2( ) sen sengot g d gomuu t u t u t R t u tk

Se demuestra que:

22

1 2 tTo oF uTR 2 221 2o goP u

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T3. Cargas armnicas y peridicas 4. Excitacin de la base y aislamiento

4 Excitacin de la base y aislamiento de vibraciones TR representa el ratio entre la aceleracin transmitida a la masa y la aceleracin del suelo.

Si la excitacin del suelo es de la forma senu t u t , se demuestra que la transmisin en

4. Excitacin de la base y aislamiento de vibraciones

Si la excitacin del suelo es de la forma seng gou t u t , se demuestra que la transmisin en aceleraciones y desplazamientos es idntica, cumplindose que:

t tu uTRo o

go go

u uTRu u

De la figura de TR vs se deduce que si 1n TR , la estructura se comporta como un slido rgido siendo su aceleracin igual a la del suelo.

Esta situacin es tpica en estructuras con una rigidez elevada (y por lo tanto una frecuencia natural alta)Esta situacin es tpica en estructuras con una rigidez elevada (y por lo tanto una frecuencia natural alta)

Si la estructura es flexible y su frecuencia natural es reducida: 0n TR , por lo tanto 0 0t tu y u 0 0o ou y u .

Este concepto se aplica en el aislamiento de vibraciones de una masa respecto de una base movil, porejemplo en el aislamiento de edificios mediante apoyos flexibles de caucho para evitar vibracionesverticales por ferrocarriles, con un rango de frecuencias tpico de 25 a 50 Hz.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 5. Respuesta estacionaria frente a P0cost

La ecuacin diferencial a resolver es: tPkuucum cos0

5. Respuesta estacionaria frente a cargas armnicas con la forma F(t)= P0cost

La ecuacin diferencial a resolver es: tPkuucum cos0La solucin particular de la E.D.O anterior es: tDtCsentu p cos)( I t d i d l l i ti l l i i l d l fi i tIntroduciendo la solucin particular en la ecuacin e igualando los coeficientes en senos y csenos se obtiene:

200 1;2 PDPC 222222 21;21 KDKC La respuesta estacionaria del sistema es:

)cos()()cos()( 00 tRututu de Siendo la amplitud u0, el factor de amplificacin dinmica Rd y el ngulo de fase , los mismos

l d id lque en el caso de carga senoidal.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 6. Anlisis armnico: series de Fourier

6. Anlisis Armnico: desarrollo en series de Fourier 6. Anlisis Armnico: desarrollo en series de Fourier En sistemas con excitaciones y respuestas no armnicas, pero si peridicas, se puede representar la

excitacin y la respuesta con desarrollos en series de Fourier como una suma infinita de armnicos

Si g(t) es una funcin peridica con periodo , su desarrollo en serie de Fourier es: ...3cos2coscos

2)( 3210 tatata

atg

)cos(2

...321

0321 tnsenbtna

atsenbtsenbtsenb nnn

siendo = 2/ la frecuencia fundamental y a0, a1, ..., b1,b2,... coeficientes constantes calculados como:y , , , , ,

/20

/2

00

2

)(2)( dttgdttga

/2

0

/2

0

)(2)(

cos)(2cos)(

dttnsentgdttnsentgb

dttntgdttntga

n

n

00 )()( ggn El desarrollo se puede plantear tambin utilizando nicamente trminos en senos o cosenos.

En la prctica con unos pocos trminos del desarrollo es posible obtener buenas aproximaciones defunciones peridicas

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En la figura siguiente aparece una funcin triangular y las aproximaciones obtenidas considerando uno En la figura siguiente aparece una funcin triangular y las aproximaciones obtenidas considerando uno,dos o tres trminos del desarrollo.

Aproximacin de una funcin peridica

Si la funcin peridica aproximada tiene discontinuidades, en su vecindad el error en la aproximacin no p p , pse reduce incrementando el nmero de trminos de la serie, sino que se estabiliza en un valor alrededordel 9% incluso si n . Este comportamiento se conoce como fenmeno de Gibbs.

Fenmeno de Gibbs

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P t l it i idi li d t ti l l t Puesto que la excitacin es peridica se supone que se aplicar durante un tiempo largo, por lo que su parte transitoria, dependiente de las condiciones iniciales tendr un efecto breve en el tiempo, mantenindose la respuesta estacionaria.

La respuesta amortiguada estacionaria se calcula por superposicin de la respuesta ante cada uno de los trminos del desarrollo de Fourier y es de la forma:

1

2222

0

110

cos)2()1()1()2()2()1(

11)(

)()()()(

nnnnnnnnn

nn

n

sn

n

cn

tnbatnsenbakk

atu

tutututu

1 )()(n nn siendo n = n/n.

La contribucin relativa a la respuesta final de cada armnico depende de dos factores:a co buc e a va a a espues a a de cada a co depe de de dos ac o es: Amplitudes de los coeficientes de cada armnico: an, bn El ratio de frecuencias n

La respuesta depende fundamentalmente de los armnicos con ratios de frecuencias unitarios.

A las funciones ancosnt y bnsennt se les denomina armnicos de orden n de la funcin g(t) y tienen unperiodo de valor /n

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T3. Cargas armnicas y peridicas 6. Anlisis armnico: series de Fourier 6.1 Espectro de frecuencias Si el desarrollo en serie de Fourier de una funcin se representa en el dominio de la frecuencia con las

amplitudes de cada trmino en el eje vertical, se obtiene el espectro de frecuencia de la funcin.

p

Representacin de funciones en el dominio temporal y espectros de frecuencia asociados

En el caso de funciones temporales generales como un acelerograma es posible generar el espectro defrecuencias, identificando la energa de la seal en cada banda de frecuencias, mediante analizadoresespectrales analgicos o digitales en tiempo real de tipo FFT (Fast Fourier Transform) obtenindoserepresentaciones como la de la figura siguiente

Acelerograma y espectro de frecuencias asociado

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T3. Cargas armnicas y peridicas 7. Instrumentos de medida de vibraciones 7. Instrumentos de medida de vibraciones En la figura aparece un dibujo esquemtico de un instrumento de mediada de vibraciones capaz de

medir el movimiento horizontal de un punto.

La masa del instrumento al moverse la base sufre un movimiento relativo que es amplificado y grabado.

Acelerograma y sistema de medidaAcelerograma y sistema de medida

Los aparatos de medida de vibraciones: acelermetros, velmetros y vibrmetros son de gran complejidad,pero de forma bsica el elemento principal de un aparato de medida es un transductor que produce una sealposteriormente amplificad y grabada.

Los transductores pueden ser:

R i t i l t i i bl U i i t i d bi d i t i l t i Resistencia elctrica variable: Un movimiento mecnico produce un cambio de resistencia elctrica Piezoelctricos: un deformacin mecnica produce una seal elctrica Electrodinmicos: El movimiento de un conductor elctrico en un campo magntico genera una Electrodinmicos: El movimiento de un conductor elctrico en un campo magntico genera una

variacin de voltaje

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T3. Cargas armnicas y peridicas 7. Instrumentos de medida de vibraciones 7.1 Acelermetros Miden la aceleracin de un cuerpo en vibracin obtenindose posteriormente los desplazamientos y

velocidades por integracin de las aceleraciones.

7.1 Acelermetros

AcelermetrosAcelermetros

El movimiento a medir, en general, vara arbitrariamente en el tiempo e incluye un amplio rango dearmnicos en un rango amplio de frecuencias. Pero para estudiar el diseo de un acelermetro es instructivoconsiderar la medida de un simple armnico con la forma:

tsenutu gg 0)( El desplazamiento relativo a la base del instrumento, como se vio en el apartado de excitacin de la base es:

)()( 0 tsenRkum

tu dg

Que se puede rescribir como:

)(1)( 2

tuRtu gdn

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T3. Cargas armnicas y peridicas 7. Instrumentos de medida de vibraciones 7.1 Acelermetros El desplazamiento relativo u(t) medido es la aceleracin de la base, multiplicada por el factor Rd/n2 y con un

desfase de /. La frecuencia natural es una propiedad del instrumento, mientras que Rd y / dependen de la frecuencia de excitacin.

7.1 Acelermetros

ecue c a de e c ac .

El objetivo del instrumento es conseguir que Rd y / sean lo ms independientes posibles de la frecuencia deexcitacin, de tal forma que todos los armnicos de una seal se midan con el mismo factor de proporcionalidad yngulo de fase. Si se consigue esto, aunque el movimiento medido tenga muchos armnicos, su registro tendr lag g , q g , gmisma forma que la excitacin de la base, pero con un cierto desfase, lo cual no es importante.

teconsRd

nn tan/1

5.0/07.0

Por lo tanto, un instrumento con una frecuencia natural de 50 Hz y = 0.7, tendr un rango de medida vlido entre 0 y 25 Hz. Estos valores son rangos tpicos de medida de acelermetros modernos para sismos.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 7. Instrumentos de medida de vibraciones 7.1 Acelermetros Puesto que el factor de proporcionalidad es Rd/n2, un instrumento de alta frecuencia natural como es el

caso de la mayora, produce una seal muy pequea que posteriormente es amplificada.

7.1 Acelermetros

Comparacin de aceleraciones reales y seales medidas con un acelermetro de n = 50 Hz y =0.7.

La precisin de las medidas se mejora en altas frecuencias, calculando para cada armnico

)( tug

a partir de la seal medida u(t), el valor exacto de Rd y los valores de n y del instrumento, y obteniendo posteriormente la respuesta total como suma de los armnicos corregidos.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 8. Medidas experimentales 8.1 Medidas experimentales de propiedades dinmicas

Para determinar propiedades dinmicas de sistemas reales (, n) es habitual utilizar la siguiente propiedad de la curva Rd-.

8.1 Medidas experimentales de propiedades dinmicas

Si a y b son dos frecuencias de la carga, inferior y superior respectivamente a la frecuencia natural del sistema n, y tales que la amplitud dinmica asociada es 1/ 2 veces la amplitud de resonancia, se cumple para valores bajos del factor de amortiguamiento que:

2b a

n

Determinacin del factor de amortiguamiento

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T3. Cargas armnicas y peridicas 8. Medidas experimentales 8.1 Medidas experimentales de propiedades dinmicas Esta importante propiedad permite determinar , mediante un test de vibracin armnica forzada, sin

necesidad de conocer la carga aplicada.


Para demostrarla se parte de la definicin del factor Rd, y de su valor en resonancia:

222 )2()1(1

dR max 21

2 1dR

Para = a, y = b se cumple que: 2 22 21 1 1

2 2 11 2

n n Desarrollando la ecuacin anterior se obtiene una ecuacin de segundo grado en /n, cuyas races son:

2 21 2 2 1b 2 2

2 2

1 2 2 11 2 2 1

1 2 2 1

n

an

n

2 Si el factor de amortiguamiento es reducido: 2

1/ 22 1 1 2 1 2n n

Desarrollando en serie de potencias, y tomando nicamente los dos primeros trminos del desarrollo, secumple que:

1

21

b n b a

na n

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T3. Cargas armnicas y peridicas 8. Medidas experimentales 8.1 Medidas experimentales de propiedades dinmicas Para producir la excitacin se utilizan generadores de fuerzas armnicas en una direccin, con amplitud

y frecuencia variables en funcin de la velocidad de giro, como el mostrado en la figura siguiente parala medida de propiedades dinmicas de presas


la medida de propiedades dinmicas de presas.

Generador de cargas armnicas

La fuerza dinmica ejercida es proporcional a me, e y 2: 2( ) seneP t m e t

Esto permite generar fuerzas muy elevadas pero no permite determinar propiedades a bajas frecuenciasEsto permite generar fuerzas muy elevadas, pero no permite determinar propiedades a bajas frecuencias(respuesta esttica), al reducirse de forma importante la fuerza aplicada.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 8. Medidas experimentales 8.1 Medidas experimentales de propiedades dinmicas

Puesto que la masa del excitador es, en general, despreciable frente a la masa de la estructura, laecuacin dinmica pasa a ser:

2k


2 senemu cu ku m e t Las medidas se realizan siempre en estado estacionario, luego: ( ) sen( )o d

Pu t R tk

Siendo el valor mximo:

2

em R eo dn

u e Rm

Los valores de n y se obtienen determinando de forma experimental la curva Rd- por puntos. La propiedad del Half-Power Bandwith se mantiene aunque el factor Rd este multiplicado por un factorpropiedad del Half Power Bandwith , se mantiene aunque el factor Rd este multiplicado por un factorde escala variable con la frecuencia, y tambin se produce en medidas de aceleraciones estacionarias, ocon la medida del factor de transmisin TR.

En la grfica adjunta la respuesta r medida puedeEn la grfica adjunta, la respuesta r medida puede ser una funcin de las siguientes variables:

( , , , )d o or r R u u TR Cumplindose en todos los casos que:

2b a

n

n

Determinacin de propiedades dinmicas

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T3. Cargas armnicas y peridicas 9. Tipos de amortiguamiento 9. Tipos de amortiguamiento En las estructuras reales, la energa de vibracin se convierte gradualmente en calor o sonido, decreciendo

en el tiempo la respuesta del sistema. El mecanismo que transforma gradualmente la energa de vibracin enotras formas de energa que se disipan se denomina amortiguamiento

9. Tipos de amortiguamiento

otras formas de energa, que se disipan, se denomina amortiguamiento.

Aunque la energa disipada en cada ciclo de vibracin no sea elevada, la consideracin del amortiguamientoes fundamental en la prediccin precisa de la respuesta en vibracin de una estructura. En la prctica lascausas del amortiguamiento son difciles de determinar y variadas:causas del amortiguamiento son difciles de determinar y variadas:

Amortiguamiento viscoso AF cu Es el ms utilizado en la modelizacin del amortiguamiento. Se produce al vibrar un sistema mecnico en un fluido, la resistencia que opone el fluido al movimiento disipa energa. La energa disipada depende deun fluido, la resistencia que opone el fluido al movimiento disipa energa. La energa disipada depende de factores como la forma y tamao, la viscosidad, la velocidad del sistema y la frecuencia de vibracin.

Amortiguamiento seco por friccin, o de Coulomb AF N La fuerza de amortiguamiento es constante en magnitud, siendo el coeficiente de rozamiento dinmico, y N la fuerza normal al plano de deslizamiento. La fuerza vara en direccin oponindose siempre almovimiento del cuerpo. Se debe a la friccin entre superficies rugosas secas o poco lubricadas.

Amortiguamiento slido o histertico Cuando los materiales se deforman parte de la energa absorbida por el material se disipa internamenteCuando los materiales se deforman, parte de la energa absorbida por el material se disipa internamente, debido a la friccin entre planos de deslizamiento, y la formacin de microplastificaciones y microfisuras.

Globalmente el amortiguamiento del material se traduce en que la curva tensin-deformacin de un slido en vibracin presenta un lazo de histresis. El rea contenida en este lazo de histresis es la energap gperdida por unidad de volumen por el amortiguamiento material del slido en cada ciclo de vibracin.Este ciclo de histresis se produce incluso en el caso de un comportamiento elstico lineal del material, pero si el comportamiento es no lineal, por ejemplo con plastificaciones, se incrementa de forma notable.

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T3. Cargas armnicas y peridicas 9. Tipos de amortiguamiento 9. Tipos de amortiguamiento

9. Tipos de amortiguamiento

Ciclo de histresis, y energas aplicada, recuperada y disipada

En el caso de un fluido de viscosidad , situado entre dos placas separadas una distancia h, con la placa inferior fija, y la superior movindose a una velocidad v. Asumiendo una variacin lineal del campo develocidades en el fluido, la fuerza resistente que desarrolla el fluido (fuerza de amortiguamiento viscoso) es:

Amortiguamiento viscoso

du Av AF A A cv con cdy h h

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T3. Cargas armnicas y peridicas 9. Tipos de amortiguamiento

9.1. Energas en la vibracin armnica con amortiguamiento viscoso 9.1. Energas en la vibracin armnica con amortiguamiento viscoso Considerando el estado estacionario de un movimiento armnico de vibracin con amortiguamiento

viscoso, la energa disipada en un ciclo EA, se calcula como:

( ) sen( ) sen( )( ) sen

( ) cos( )

od o

o

o

Pu t R t u tP t P t k

u t u t

2 / 2 / 2 /

2 2 2

0 0 0

2t t t

A A A o on

E f du f udt cu dt cu ku

La energa disipada es proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento y a la frecuencia deLa energa disipada es proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento y a la frecuencia deexcitacin. En cada ciclo se puede representar grficamente relaccionando fA con u(t):

2 2 2 2( ) cos( ) (1 sen ( )) ( )f cu t c u t c u t c u u t 2 2

( ) cos( ) (1 sen ( )) ( )

( ): 1

A o o o

A

o o

f cu t c u t c u t c u u t

fu tluegou c u

En este caso el ciclo de histresis coincide con la ecuacin de una elipse, siendo su rea la energa disipada:

2A oE ab c u

Ciclo de histresis (mov. armnico estacionario)

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T3. Cargas armnicas y peridicas 9. Tipos de amortiguamiento 9.1. Energas en la vibracin armnica con amortiguamiento viscoso En cada ciclo del estacionario la carga externa comunica una energa entrante al sistema EI de valor:

2 / 2 / 2 /

( ) ( ) sen cos( ) senI o o o oE p t du p t udt p u t t dt p u

0 0 0

Como 22

1arctg , se comprueba que

22I o An

E ku E El t i i l d t d l t t di i di t l ti i tEl estacionario se alcanza cuando toda la energa entrante se disipa mediante el amortiguamiento,comprobndose que las variaciones de la energa potencial y cintica son nulas:

2 / 2 / 2 / 2 / 2 /2 sen( )cos( ) 0 ; 0K e o c IE f du kuudt ku t t dt E f du muudt

0 0 0 0 0

Hasta alcanzar el estacionario, la energa entrante ( )of u es superior a la capacidad de amortiguamiento2( )of u , igualndose en el estacionario. Esto explica el crecimiento parablico de la respuesta en resonancia.

!

Variacin de energas en el movimiento armnico

E i t t t di l i i d l f t itidEs interesante estudiar la variacin de la fuerza transmitida (la que normalmente se mide en un experimento)

2 2( ) ( )T e A of f f ku t cu t ku c u u Variacin de la fuerza transmitida en el estacionario

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T3. Cargas armnicas y peridicas 9. Tipos de amortiguamiento 9.2. Amortiguamiento viscoso equivalente 9.2. Amortiguamiento viscoso equivalente En la prctica, si el amortiguamiento de un sistema no es viscoso, se mantiene la simplicidad del

anlisis calculando un amortiguamiento viscoso equivalente a partir de la energa disipada en un ciclopor el sistema real. 2 Epor el sistema real. 2

2: 2

2

:

AA o

no

n

A

EAmortiguamiento viscoso E kuku

EAmortiguamiento viscoso equivalente

2

:2

eq

on

Amortiguamiento viscoso equivalenteku

Amortiguamiento viscoso equivalente

En principio el amortiguamiento viscoso equivalente depende de la frecuencia de excitacin. Como el valor de la frecuencia de excitacin en el que es sistema es ms sensible al amortiguamiento seproduce en resonancia: = n, se realiza el ensayo en este caso, y se asume un comportamiento constanteindependiente de la frecuencia, lo que resulta bastante cierto en las estructuras.

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9.3. Amortiguamiento estructural 9.3. Amortiguamiento estructural Comparando los ciclos histerticos del amortiguamiento estructural y el amortiguamiento viscoso, es

posible definir un amortiguamiento estructural o constante histertica , relacionada con el factor de amortiguamiento viscoso o definir un factor de amortiguamiento viscoso equivalente a partir de laamortiguamiento viscoso , o definir un factor de amortiguamiento viscoso equivalente a partir de laconstante histertica de un material.

En ensayos de probetas de metales estructurales y en test de vibracin forzada de estructuras, secomprueba que la energa disipada en un ciclo de carga es bsicamente independiente de la frecuencia decomprueba que la energa disipada en un ciclo de carga es bsicamente independiente de la frecuencia de carga, y aproximadamente proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento.

Puesto que en el amortiguamiento viscoso 2A oE cu , se define el amortiguamiento estructural como: 20A A

kf cu u E k u Luego:

2

2

: 22

:

A on

nA o

Amortiguamiento viscoso E ku

Amortiguamiento estructural E ku

A og Considerando de nuevo el caso de resonancia:

2n eq

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9.3. Amortiguamiento estructural

Si se resuelve la ecuacin del movimiento de un sistema de 1 GDL, con amortiguamiento estructural y sometido a


, g y una excitacin armnica:

k

Se observa que la respuesta estacionaria coincide de forma

senokmu u ku p t

bastante aproximada con la respuesta del sistema con amortiguamiento viscoso equivalente ya calculada.

La respuesta es exacta para = n, y no introduce errores excesivos en frecuencias diferentes a la de resonancia.

Respuesta en frecuencias de un sistema con amortiguamiento estructuraly amortiguamiento viscoso equivalente, para una excitacin armnica

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Con amortiguamiento de Coulomb, las diferenciasl l i i b j


entre la respuesta real estacionaria bajo cargaarmnica, y la respuesta con amortiguamiento viscosoequivalente son ms notables.

4A o

Amortiguamiento de CoulombE Fu

2

2 /2

A Feq F

Amortiguamiento viscoso equivalenteE u con u F k

k

22 o on n

ku u

Respuesta en frecuencias de un sistema con amortiguamiento de Coulomb y amortiguamiento viscoso equivalente, para una excitacin armnica

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9.3. Valores tpicos del factor de amortiguamientoLos valores del factor de amortiguamiento , tpicos de un amortiguador de vehculo oscilan entre 0.5 y 0.2, en las gomas se sitan en 0.04, y en las estructuras de acero y hormign entre 0.02 y 0.03.

h d l di d l l i d l d d l % i d di d l

9.3. Valores tpicos del factor de amortiguamiento

Muchos de los cdigos de clculo ssmico de estructuras asumen un valor de del 5%, independientemente del material (por ejemplo la normativa espaola NCSE-02). En publicaciones cientficas especficas es posible encontrar valores algo ms detallados, como los que se recogen en la tabla siguiente.

Nivel de tensiones de trabajo

Tipo y estado de la estructura (%) Acero soldado 2-3

Hormign pretensado o armado 2 3

Hormign armado con fisuras considerables 3-5 Inferior o igual al 50% de la tensin de plastificacin

Acero atornillado o remachado Estructuras de madera atornilladas o claveteadas

5-7 Estructuras de madera atornilladas o claveteadas

Acero soldado Hormign pretensado sin perdidas

5-7

Hormign armado H i d did l

7-10

En el punto de plastificacin o justo por Hormign pretensado con perdidas altas

Acero atornillado o remachado Estructuras de madera atornilladas

10-15

plastificacin o justo por debajo

Estructuras de madera claveteadas 15-20

Earthquake Spectra and Design. Earthquake Engineering Research Institute, Berkeley, 1982

Los valores de la tabla se utilizan para el anlisis lineal de estructuras.

tema 3. respuesta frente a cargas armónicas y periódicas

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