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TEMA 30. Primitiva de una función. Aplicaciones Geométricas
TEMA 30. Primitiva de una función. Aplicaciones Geométricas
1. Introducción
El origen de la integración es el cálculo del área de diferentes superficies, así el comienzo
del cálculo integral puede fijarse en la matemática de la Grecia clásica donde ya estaba presen-
te el concepto de área así como los métodos para el cálculo de las mismas mediante el méto-
do de exhaución. Arquímedes es el matemático más importante en el cálculo de áreas en esta
época.
En el siglo XVII destacan los trabajos de Newton y Leibnitz, que continúan con los métodos
de exhaución para el cálculo de áreas de diferentes curvas. Si bien no es hasta el siglo XIX
cuando los matemáticos Rieman y Cauchy dieron al método de exhaución una base matemáti-
ca, surgiendo el concepto de integral y relacionando la misma con el concepto de derivada
utilizada con anterioridad.
2. Integración definida. Teorema fundamental de la Integración.
2.1. Partición de [a,b]
Se llama partición de un intervalo [a,b] a un conjunto finito de puntos denotados
Π([a,b])={x0,x1,…,xn} donde se verifica a=x0<x1<x2<…<xn=b. Lo más usual es que las particiones
sean con los puntos equiespaciados, es decir xi+1-x1=cte ∀i∈{0,1,…,n-1}. La separación máxima
entre dos puntos de la partición se denomina diámetro.
Veamos un ejemplo: {0, 1/n, 2/n, …,(n-1)/n, 1} es una partición de [0,1] ∀n∈ℕ*. Denota-
remos por ℘[�, �] al conjunto de todas las particiones del intervalo [a,b].
Sean Π([a,b]) y Π’([a,b])∈ ℘[�, �] se dice que Π([a,b]) es más fina que Π’([a,b]) si se cum-
ple que Π’⊆Π, es decir Π tiene al menos los mismos puntos que Π’. Por ejemplo Π([0,1])={0,
0.1, 0.2,…,0.9,1} es más fina que Π’([0,1])={0.2, 0.4,…,0.8,1}
2.2. Sumas de Riemann
Sea f una función real acotada y definida en [a,b] y Π([a,b]) ])∈℘[�, �] se llama suma infe-
rior de Riemann de la función f y partición Π y se denota como s(f, Π) a la siguiente suma:
∑−
=+ −Π=Π
1
0
1 ))·(,(),(n
k
kkk xxfmfs con Π={x0=a, x1, x2, …, xn=b} y mk =inf{f(x): x∈[xk, xk+1 ]}
Sea f una función real acotada y definida en [a,b] y Π([a,b]) ])∈℘[�, �] se llama suma su-
perior de Riemann de la función f y partición Π y se denota como S(f, Π) a la siguiente suma:
∑−
=+ −Π=Π
1
0
1 ))·(,(),(n
k
kkk xxfMfS con Π={x0=a, x1, x2, …, xn=b} y Mk =sup{f(x): x∈[xk, xk+1 ]}
Notación: por comodidad trabajaremos con Mk y mk
Un ejemplo de sumas de Riemann superior e inferior es el ejemplo 2 del anterior apartado,
donde f(x)=x2 donde Π={0.1/n,…,(n-1)/n,1} y al ser f(x) creciente Mk=((k+1)/n)
2 y mk=(k/n)
2 y se
cumple S(f,Π)= 6
)12)(1·(·
13
++ nnn
n y s(f,Π)=
6
)12)()·(1(·
13
−− nnn
n
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Observaciones:
1. Mk·(xk+1-xk) define al área de los rectángulos sobre la curva f(x)
y mk·(xk+1-xk) el área de los rectángulos bajo la función f(x).
2. La condición de que f esté acotada en [a,b] es necesario para
que mk y Mk definidos.
Proposición: ∀ Π, Π’ ∈℘[�, �] tal que Π⊇Π’ se cumple la si-
guiente desigualdad: s(f, Π’)≤s(f, Π ) ≤S(f, Π)≤S(f,Π’)
Demostración: la igualdad s(f, Π ) ≤S(f, Π’) es trivial por la de-
finición de mk y Mk de mínimo y máximo.
Para demostrar la desigualdad S(f, Π)≤S(f,Π’) la demostramos
suponiendo que tiene un punto más Π que Π’ si tuviera más pun-
tos a mayores repetimos el procedimiento Π’={x0,x1,…,xk,xk+1,…,xn}
y Π={x0, x1,…,xk,y, xk+1,…,xn}. Las sumas S(f, Π) S(f,Π’) sólo se diferencian en las áreas en el in-
tervalo [xk, xk+1] que en el caso de S(f,Π) tiene dos intervalos [xk,y] e [y,xk+1]. Se cumple que el
máximo en [xk, xk+1] es mayor o igual que el máximo en [xk,y] e [y,xk+1] pues el primer intervalo
incluye a los dos anteriores, es decir Mk(f,Π’)≥Mk(f, Π) y Mk(f,Π’)≥Mk+1(f, Π). Calculemos
S(f,Π’)-S(f,Π)=Mk(f,Π’)·(xk+1-xk)-Mk+1(f,Π)·(xk+1-y)- Mk(f,Π)(y - xk)≥ Mk(f,Π’)(xk+1-xk)- Mk(f,Π’)(xk+1-
y)- Mk(f,Π’)(y-xk)= Mk(f,Π’)(xk+1-xk)- Mk(f,Π’)((xk+1-y)-(y-xk))=0, se cumple así que S(f,Π’)-S(f,Π)≥0
� S(f,Π’) ≥S(f,Π).
La demostración s(f, Π’)≤s(f, Π ) es equivalente.
Veamos gráficamente la demostración:
Corolario: Para cualquier partición de [a,b] se cumple que s(f,Π)≤S(f,Π`).
Demostración: tomamos Π’’=Π∪Π’ que es más fina que Π’ y Π. Así por la proposición ante-
rior: s(f, Π’)≤s(f, Π’’ ) ≤S(f, Π’’)≤S(f,Π)
2.3. Integral superior e inferior de Riemann
Dada una función f definida y acotada en [a,b] se llama integral superior de Riemann de f
en [a,b] y se denota como )(xfb
a∫ a la suma superior de Riemann con menor valor:
{ }],[),(inf)( bafSxfb
a∈℘Π∀Π=∫
≤ ≤ ≤ ≤
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Dada una función f definida y acotada en [a,b] se llama integral inferior de Riemann de f
en [a,b] y se denota como )(xfb
a∫ a la suma inferior de Riemann con mayor valor:
{ }],[),(sup)( bafsxfb
a℘∈Π∀Π=∫
Observación: por la proposición vista en apartado anterior tendremos que la partición que
nos generan las integrales superior e inferior de Riemann es la más fina.
Ejemplo: f(x)=x2 y [a,b]=[0,1] Π={0,1/n,2/n,…,(n-1)/n,1} se cumple s(f,Π)=
26
13
3
1
n
n −− y
S(f,Π)=26
13
3
1
n
n −+ , luego las integrales de Riemann serán con n→∞
3
12 =∫ xb
a,
3
12 =∫ xb
a.
2.4. Integral Riemann
Una función f(x) definida en [a,b] se dice que es integrable Riemann en este intervalo si y
sólo si se cumple la siguiente igualdad: )(xfb
a∫ = )(xfb
a∫ . Si la función es integrable Rie-
mann se llama integral de Riemann al resultado de las integrales superior o inferior y se deno-
ta como =∫b
axf )( )(xf
b
a∫ = )(xfb
a∫
Proposición: una función f(x) es integrable Riemann en [a,b] si y sólo si se cumple que para
todo ε>0 ∃Π∈℘[a,b] tal que S(f,Π)-s(f,Π)<ε.
Demostración: por definición de convergencia.
2.5. Linealidad de la integral.
Proposición : la aplicación integral es una aplicación lineal sobre el espacio vectorial de las
funciones continuas en [a,b], C0[a,b].
:�
� C0[a,b] ℝ
f(x) �(�)�
�
Demostración: será aplicación lineal si cumple dos propiedades:
a) (�(�)�
� + �(�)) = (�(�)�
� + (�(�)�
� . Elegimos Π={x0,x1,….,xn} partición de [a,b]. Se
cumple que Mk(f+g, Π)≤Mk(f, Π)+Mk(f, Π) y mk(f+g, Π)≥mk(f, Π)+mk(f, Π) pues sólo
serán iguales si el máximo o el mínimo de f(x) y g(x) ocurre en el mismo valor de x. De
esta forma se cumple las siguientes desigualdades S(f+g, Π)≤S(f, Π)+S(g, Π) y también
s(f, Π)≥s(f, Π)+s(g, Π). Aplicando por otro lado que las integrales superiores siempre
mayores o iguales que las inferiores (S(f+g, Π)≥s(f+g, Π)) tenemos la desigualdad:
�(�, Π) + S(g, Π)≥S(f + g, Π)≥s(f + g, Π)≥s(f, Π) + s(g, Π) y podemos aplicar la
misma desigualdad a supremos e ínfimos: gfgfgfgfb
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a ∫∫∫∫∫∫ +≤+≤+≤+
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Como f y g son integrables se cumple =∫ fb
af
b
a∫ y =∫ gb
ag
b
a∫ y por tanto por la
regla de sándwich de convergencia se cumple también que ( ) =+∫ gfb
a
( ) ( )∫∫ +=+b
a
b
agfgf siendo el resultado ( )∫ ∫∫ +=+
b
a
b
a
b
agfgf
b) �� = � ��
��
� : Se cumple que el máximo de la función p(x)=λ·f(x) en todos los inter-
valos [xk,xk+1 ] de la partición son iguales a los de f(x) multiplicados por λ:
Mk(λ·f,Π)=λ·Mk(f,Π). De esta forma S(λ·f,Π)=λ·S(f, Π) y s(λ·f, Π)=λ·s(f, Π) y tomando
la partición más fina como f es integrable se cumple =∫ fb
a ∫∫ =b
a
b
aff y por tanto
por propiedades de los límites =∫ fb
aλ ∫∫ =
b
a
b
aff λλ =λ· ∫
b
af .
3. Teoremas del cálculo integral. Definición de primitiva.
Teorema del valor medio: sea f:[a,b] una función de variable real integrable, siendo
M=sup{f(x): x∈[a,b]} y m=inf{f(x):x∈[a,b]} entonces se cumple 1) Mfab
mb
a≤
−≤ ∫
1 y
además si f(x) continua en (a,b) existe un valor c∈(a,b) donde se cumple 2) ∫−=
b
af
abcf
1)(
Demostración: 1) Tomamos la partición elemental Π0={a,b}. Para esa partición se cumple
que S(f, Π0)=M·(b-a) y s(f, Π0)=m·(b-a). Por ser ∫b
axf )( el ínfimo de S(f, Π0) y el supremo de
s(f, Π0) se cumple por tanto que m·(b-a)≤ ∫b
axf )( ≤M·(b-a) y por tanto la desigualdad 1).
2) Si f(x) es continua por el teorema de Weierstrass se cumple que la función toma todos
los valores entre el máximo de la función, M, y el mínimo, m, y en concreto ∫−
b
af
ab
1, luego
se cumple que existe c∈(a,b): ∫−=
b
af
abcf
1)(
La integral de Riemann es muy intuitiva y bastante fácil de obtener de forma iterativa por
procesadores informáticos, pero desde el punto de vista operativo es bastante laborioso y no
siempre fructífero. Es por esto que se aplica un método que, en la mayoría de los casos, nos
permitirá calcular integrales de forma mucho más cómoda. Veamos el método a continuación:
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Dada una función f(x) se dice que F es una primitiva de f(x) si se cumple que f(x) es la deri-
vada de F(x), es decir F’(x)=f(x). Si una función admite una primitiva entonces sin más que su-
marle una constante a esta obtendremos otra, es decir si F1 primitiva F2=F1+c es primitiva tam-
bién ∀ c∈ℝ dada la linealidad de la derivada y que la derivada de un número es cero.
Algunos ejemplos de primitivas:
a) f(x)=xn → � =
!
"#$+ % b) f(x)=sen(x) → � = − cos(�) + %
Teorema fundamental del cálculo integral: si f(x) es integrable Riemann en [a,b] entonces
se cumple que ∫=x
adttfxF )()( es una primitiva de f(x).
Demostración: Por definición de derivada h
xFhxFxF
h
)()(lim)(' 00
00
−+=
→, veamos según
la definición de F y el signo de h como coincide con f(x0) aplicando el teorema del valor medio
- si h>0 h
cfh
h
dttf
h
xFhxFxF
h
hx
x
hh
)(·lim
)(lim
)()(lim)('
00
00
00
0
0
→
+
→→==
−+=
∫=f(x0)
donde hemos aplicado que c∈(x0, x0+h) y si h→0, entonces c=x0
- si h<0:h
cfh
h
dttf
h
xFhxFxF
h
x
hx
hh
)()·(lim
)(lim
)()(lim)('
00
00
00
0
0−−
=−
=−+
=→
+
→→
∫=f(x0)
donde hemos aplicado que c∈(x0+h, x0) y si h→0, entonces c=x0
Corolario (Regla de Barrow): Sea f(x) una función integrable Riemann y Ψ(x) una primitiva
de la función, entonces se cumplen ∫ Ψ−Ψ=b
aabxf )()()(
Demostración: Sea F(x) y Ψ(x) dos primitivas, se cumple F(x)= Ψ (x)+C:
0)()()( =+Ψ==∫=
CaaFxfax
a(área de un punto) � c=- )(aΨ
)()()()()( abCbbFxfbx
aΨ−Ψ=+Ψ==∫
=
4. Cálculo de primitivas.
4.1. Integrales inmediatas
Son integrales inmediatas aquellas que se obtienen su función primitiva directamente sin
necesidad de cálculos al ser la derivada de una función conocida, que será la primitiva. Veamos
una tabla con las integrales inmediatas simples, y las compuestas. Las compuestas son cuando
tenemos la función simple pero en vez de x tenemos una expresión, f(x), y por tanto por la
regla de la cadena para que la integral sea inmediata necesitamos que la función simple esté
multiplicada por f’(x).
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T A B L A D E I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S
PRIMITIVA SIMPLE PRIMITIVA COMPUESTA EJEMPLO
∫ −≠++
=+
)1(1
1
aCa
xdxx
aa
∫ −≠++
=+
)1(1
)()('·)(
1
aCa
xfdxxfxf
aa
∫ += Cxsen
dxxxsen4
)())·cos((
43
∫ += Cedxe xx
∫ += Cedxxfe xfxf )()( )('· ∫ += Cexdxexx 22
2·
∫ += Ca
adxa
xx
)ln(
∫ += Ca
adxxfa
xfxf
)ln()·('·
)()(
∫ += Cx
dx xx
)3ln(
3
)(cos·3
)tan(
2
)tan(
∫ += Cxdxx
)ln(1
∫ += Cxfdxxf
xf))(ln(
)(
)(' ∫ +−+=
−+
+Cxxdx
xx
x)53ln(
53
32 2
2
∫ +−= Cxdxxsen )cos()(
∫ +−= Cxfdxxfxfsen ))(cos()('))·(( ∫ +−= Cxxdxxsen )cos(2)·( 22
∫ += Cxsendxx )()cos(
∫ += Cxfsendxxfxf ))(()('))·(cos( ∫ += Cxsendxx
x)(ln
))cos(ln(
( ) Cxtgdxxtg +=+∫ )(1 2
( ) Cxftgdxxftg +=+∫ ))(()((1 2 ( ) Cxtgdxxtgx +=+∫ )()(13 3322
Cxtgdxx
+=∫ )()(cos
12
Cxftgdxxf
xf+=∫ ))((
))((cos
)('2
Cxxtgdxxx
x++=
+
+∫ )(
)(cos
12 2
22
( ) Cxgdxxg +−=+∫ )(cotcot1 2
( ) Cxfgdxxfxfg +−=+∫ ))((cot)(')(cot1 2 ( ) Cxgdxxg +−=+∫ )2(cot)2(cot1·2
Cxgdxxsen
+−=∫ )(cot)(
12
Cxfgdxxfsen
xf+−=∫ ))((cot
))((
)('2
( ) Cxgdxxg ++−=++∫ )2(cot)2(cot1·
∫ +=−
Cxarcsenx
dx)(
1 2
∫ +=−
Cxfarcsenxf
dx))((
)(1 2
∫ +=−
Cxarcsenxx
dx))(ln(
)(ln1·
1
2
∫ +=+
Cxarctgx
dx)(
1 2 ∫ +=
+Cxfarctg
xf
dx))((
)(1 2 ∫ +=
+Cxarctg
x
dx)2(
)2(1
22
∫ += Cxchdxxsh )()( ∫ += Cxfchdxxfxfsh ))(()('))·(( ∫ ++=+ Cxchxdxxsh )1(2)·1( 22
∫ += Cxshdxxch )()( ∫ += Cxfshdxxfxfch ))(()('))·(( ∫ += Cechdxeech xxx )()·(
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4.2. Métodos de integración
Los métodos de integración son las herramientas usadas para simplificar las integrales de
forma equivalente, de forma que el resultado sea una integral sea fácil de calcular.
4.2.1. Integral por descomposición.
El método consiste en desarrollar las funciones, introducir factores, o manipular las fun-
ciones aplicando las dos propiedades de la linealidad de la para obtener una integral inmediata
fácilmente calculable. Veamos algunos ejemplos:
(1) ∫ ∫ =+++++=++ dxxxxxxdxxx )498470366025()567( 23456232
Cxxxxxx ++++++= 49282
35
5
3610
7
25 34567
(2) Cxdxxsendxxsen +−== ∫∫ )7cos(7
1)7(·7·
7
1)7(
(3) Cxxdxxx
xdx
xx
x+−=
−
−=
−
−∫∫ )64ln(
64
612
2
1
64
36 3
3
2
3
2
4.2.2. Integración por cambio de variable.
Teorema del cambio de variable: ( ) dxxgxgfdxxfbg
ag
b
a)(')·()(
)(
)(∫ ∫= o
Demostración: Sea F(x) una primitiva de f(x), que cumple F’(x)=f(x). Si tomamos la función
F(g(x)), se cumple que su derivada es por la regla de la cadena como f(g(x))·g’(x), por tanto
F(g(x)) es la primitiva . Traducido a integración se cumple ( ) dxxgxgfdxxfbg
ag
b
a)(')·()(
)(
)(∫ ∫= o
En la práctica se usa cuando f(x)=g(h(x))·h’(x) siendo g(x) una integral inmediata haciendo
el cambio de variable t=h(x). Una vez calculada la integral en función de t se deshace el cambio
variable. Veamos algún ejemplo:
(4) CxtgCttgdtttgdttt
ttgdx
x
xtg+=+=+=
+=
+∫ ∫∫ )(·2)(·2·)(1·2·2·
)(11 222
C.V. : tx = � dtdxx
=2
1 � tdtdtxdx 22 ==
(5)
( ) ( ) ∫∫∫∫∫ +=
+=
+=
+=
+ 22
23
2
23
22
32 16
6
1·
2
1
12
1
)1(232 t
dt
t
dt
x
dx
x
dx
x
dx=
= CxarctgCtarctg +=+ )(·6
6)(·
6
62
3 C.V.: x23 =t � dtdx =·2
3 �
23
dtdx =
4.2.3. Integración por partes.
Proposición: sea u(x) y v(x) funciones reales de variable de real se cumple la siguiente
igualdad ∫∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(')·()()·()(')·(
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Demostración: ( ) dxxuxvdxxvxuxvxudx
d)()·(')()·(')()·( += , si integramos tenemos la
siguiente igualdad: ( ) ∫∫ += dxxuxvdxxvxuxvxu )()·(')()·(')()·( , que despejando se cum-
ple la proposición ∫∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(')·()()·()(')·( .
En la práctica se utiliza cuando la integral ∫ dxxuxv )(')·( más fácil de calcular que
dxxvxu∫ )(')·( y además v’(x) es fácilmente integrable.
Casos más corrientes de uso:
Tipo 1: u(x) es un polinomio (baja un grado) y v’(x)=sen(ax)dx o v’(x)=cos(ax)dx. Se repite el
procedimiento tanta veces como el grado del polinomio.
Ejemplo: (6) ∫ dxxsenx )3(·2 = ∫+− dxxxx )3cos(3
2)3·cos(
3
2= Cxsenxx ++− )3(
9
2)3·cos(
3
2
u=2x � du=2dx
dv=sen(3x) � v=3
)3cos( x−
Tipo 2: u(x) un polinomio (baja un grado) y v’(x)=eax
dx. Se repite tantas veces como grado u(x)
Ejemplo: (7) ( )∫ −+ dxexx x22 3 == 2
2xe−
− ·(x2+3x)+ ( )∫ −+ dxex x232
2
1=
u=x2+3x � du=(2x+3)dx u=2x+3 � du=2dx
dv=e-2x
dx � v=2
2xe−
− dv= e-2x
dx � v=2
2xe−
−
=2
2xe−
− (x2+3x)+ =
++− ∫ −
−
dxexe x
x2
2
)32(22
1
2
2xe−
− (x2+3x)+
−+−
−−
4)32(
4
22 xx ex
e=
2
2xe−
− (x2+4x+2)
Tipo 3: u(x)=ln(x) (se convierte 1/x) y v’(x)=polinomio (sube un grado). Se hace sólo una vez
Ejemplo: (8) ∫ −+− )3ln()25( 37 xxxx = )4
5
8( 2
48
xxx
−+− ln(3x)- dxx
xxx
∫ −+−1
)4
5
8( 2
48
=
u=ln(3x) � du= dxx
1
dv= dxxxx )25( 37 −+− � v= )4
5
8( 2
48
xxx
−+−
= )4
5
8( 2
48
xxx
−+− ln(3x)- =−+−∫ dxxxx
)4
5
8(
37
)4
5
8( 2
48
xxx
−+− ln(3x)216
5
64
248 xxx+−+
Tipo 4: u(x)=arctg(x) y v’(x)=p(x)dx (se convierte en integral racional)
Ejemplo: (9) ∫ ∫ ++−=+
−= Cxxxarctgdxx
xxarctgxdxxarctg )1ln(
2
1)(
1)(·)( 2
2
u=arctg(x) � dxx
xu21
1)('
+= v’(x)=dx � v(x)=x
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Tipo 5: u(x)=sen(ax) y v’(x)=ebx
. Al realizar la integral por parte dos veces sale la integral inicial
que se puede despejar:
Ejemplo: (10) I= ∫ − dxxsene x )2(· = ∫ −− −− dxexex xx )2cos(
2
1
2
)2cos(=
u=e-x
� du=-e-x
dx dv=sen(2x) � v=2
)2cos( x−
u=e-x
� du=-e-x
dx dv=cos(2x) � v=2
)2( xsen
= =
+−− ∫ −
−− )2(
2
1
2
)2(
2
1
2
)2cos(xsene
exsene
x xx
x
43421I
xx
x xseneexsen
ex
∫ −−
− −−− )2(4
1
4
)2(
2
)2cos(
Despejando: I=
−−
−−
4
)2(
2
)2cos(
5
4x
x exsene
x=
+−
5
)2(
5
)2cos(2 xsenxe x
4.2.4. Integrales de funciones racionales.
Por integral de función racional llamamos aquellas de la siguiente forma ∫= dxxq
xpI
)(
)(,
siendo p(x) y q(x) dos polinomios. Para aplicar los métodos que vamos a ver es necesario que
el grado de p(x) menor que el de q(x), en caso de no ocurrir esto lo conseguimos dividiendo y
expresando el cociente como )(
)()(
)(
)(
xq
xrxc
xq
xp+= , con r(x) resto y c(x) cociente. Así c(x) es
fácilmente integrable (polinomio) y )(
)(
xq
xr cumple la condición del grado fijada antes. Según la
factorización del denominador distinguimos 4 casos:
Caso 1: q(x) sólo raíces reales, q(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn). De esta forma podemos expresar la
fracción polinómica como
n
n
xx
A
xx
A
xx
A
xq
xp
−++
−+
−= ...
)(
)(
2
2
1
1, con Ai∈ℝ. Las integral será
entonces n logaritmos neperianos. ∑=
+−=n
i
ii CxxAI1
)·ln(
Caso 2: raíces reales pero alguna de ellas multiplicidad 2 o mayor, q(x)=(x-x1)m
·(x-2)…(x-xn).
Se descompone de la siguiente manera: ( ) n
n
m
m
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xq
xp
−++
−+
−++
−= ......
)(
)(
2
2
1
1
1
1
, la integral serán potencias y neperianos: ∑ ∑= =
−−
−−
−+−=
n
i
m
j
j
jiij
xxAxxAI
1 2
)1(
11
)1(
)()·ln(
Caso 3: Aparece alguna raíz compleja y su conjugada x=α±β·i, o lo que es lo mismo el poli-
nomio (x-β)2+β2
. Podemos expresar 2)()(
)(22
casox
NMx
xq
xp+
+−+
=βα
. La contribución de la
fracción dxx
NMx∫ +−
+22)( βα
cuyo resultado vemos a continuación:
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TEMA 30. Primitiva de una función. Aplicaciones Geométricas
( ) ( )
Cx
garMN
xM
x
dxMNx
M
x
dxMNdx
x
xMdx
x
NMx
+
−++
+−=+−
+++−=
=+−
+++−
−=
+−
+
∫
∫∫∫
βα
ββ
α
βαβαβ
αβα
βαα
βαα
βα
cot··
)(·ln21)/)((
)(·ln2
)()(
)()(
2
22
22
22
222222
Ejemplo: (11) ∫∫
++
++=
++
−dx
xx
DCx
x
Adx
xxx
x
)52()52(
5322
)52(
532 ++
−xxx
x=
+++
+)52( 2 xx
DCx
x
A �
)52(
532 ++
−xxx
x=
++
++++
)52(
)()52(2
2
xxx
DCxxxxA
3x-5=A(x2+2x+5)+x(Cx+D)
- si x=0: 5A=-5 � A=-1
- si x=1: -2=8A+C+D � 6=C+D
- si x=-1: -8=4A+C-D �-4=C-D
Resolviendo el sistema C=1, D=5
∫ ∫∫ ++
++−=
++
++−=
++
−dx
xx
xxdx
xx
x
xdx
xxx
x
)52(
5)ln(
)52(
51
)52(
53222
∫ ∫∫∫ =++
+++
+=
+++
=++
+dx
xxdx
xx
xdx
xx
xdx
xx
x
)52(
8
2
1
)52(
22
2
1
)52(
102
2
1
)52(
52222
Cx
arctgxxdxx
xx
dxx
xxdxx
xx
+
++++=
+
++++=
=
+
++++=
+++++=
∫
∫∫
2
12)52ln(
2
1
12
1
2/12)52ln(
2
1
12
1
1)52ln(
2
1
4)1(
4)52ln(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
I= )ln(x− +
++++
2
12)52ln(
2
1 2 xarctgxx +C
Caso 4: Racionales con raíces complejas dobles o de más multiplicidad (Método Hermite)
dxxd
xg
xD
xfdx
xQ
xP∫∫ +=
)(
)(
)(
)(
)(
)( siendo D(x)=mcd(Q(x), Q’(x)), d(x)=Q(x)/D(x) y f(x), g(x) po-
linomios genéricos de un grado menor que sus correspondientes denominadores.
Ejemplo: dxx
DCx
x
BAxdx
xI ∫∫ +
++
++
=+
=11)1(
12222
11
)1()(,1))1(4,)1(()( 2
2
222222 +=
+
+=+=++= x
x
xxdxxxxmcdxD
Derivando: 22
2
22
2
22 )1(
)1)((
)1(
2)·()1(
)1(
1
+
+++
+
+++=
+ x
xDCx
x
xBAxxA
x�B=C=0, A=D=-1/2
Cxarctgx
xI ++
+= )(
2
1
1·
2
12
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TEMA 30. Primitiva de una función. Aplicaciones Geométricas
4.2.5. Funciones trigonométricas
En este apartado estudiaremos la resolución de integrales de la forma ∫ ))cos(),(( xxsenR
siendo R(x,y) una función racional. Consideraremos 3 casos distintos:
Caso 1: impares en sen(x) y/o cos(x). Si R(-sen(x),cos(x))=-R(sen(x), cos(x)) hacemos el
cambio de variable cos(x)=t y se convierte en integral racional. Si es por el contrario impar en
el coseno, es decir R(sen(x),-cos(x))=-R(sen(x), cos(x)) el cambio es sen(x)=t. Si es impar en am-
bos, sen(x) y cos(x), el cambio es indistinto. Veamos un ejemplo:
Ejemplo: cxxtt
dtttdxxxsenI ++−=+−=−−== ∫ ∫ 5
)(cos
3
)(cos
53)1()()·cos(
53532223
cos(x)=t ; 21)( txsen −±=
dx=-sen(x)dt
Caso 2: Pares o impares en sen(x) y cos(x) en ambas, es decir R(-sen(x),-
cos(x))=R(sen(x),cos(x)), podemos hacer el cambio tg(x)=t, con lo que 21
1)(
txsen
+±= ,
21)cos(
t
tx
+±= y
21 t
dtdx
+= . De esta forma la integral se convierte en integral racional.
Otra opción es en algunos casos utilizar los ángulos mitad.
Ejemplo: (método 1) ∫∫ ∫ +=
+
+±=
322
4
2
4
)1(11
1)(
t
dt
t
dt
tdxxsen
( )
cxsenxxsenxdxx
xsenx
dxxxdxx
dxxsendxxsen
+++−=
++−=
=+−=
−==
∫
∫ ∫∫∫
)4(32
1
8
1))2((
4
1
2
)4cos(1
4
1))2((
4
1
))2(cos)2cos(21(4
1
2
)2cos(1)()( 2
2224
Caso 3: Caso general. Si tenemos todos los argumentos de las funciones circulares
iguales y no cumple caso 1 ni caso 2 se hace el cambio de variable tx
tg =
2
, con lo que
21
2
tdx
+= dt y
2222 1
2
)2/(1
)2/(
)2/(cos)2/(
)2/)·cos(2/(2)2/cos()2/(2)(
t
t
xtg
xtg
xxsen
xxsenxxsenxsen
+=
+2=
+== y
2
2
2
2
22
2222
1
1
)2/(1
)2/(1
)2/(cos)2/(
)2/()2/(cos)2/()2/(cos)cos(
t
t
xtg
xtg
xxsen
xsenxxsenxx
+
−=
+
−=
+
−=−= ,
realizando estos cambios la integral se convierte en racional.
Ejemplo: dtt
ttdt
t
t
t
t
t
dxx
xsen∫∫∫ −
++=
+
+
−+
+=
+4
2
2
2
2
2
1
122
1
2·
1
1
1
21
)cos(
)(1
Caso 4: Si tenemos funciones circulares con distinto argumento multiplicando se utilizan
las fórmulas que transforman las sumas en productos y aplicar la linealidad de la integral.
Ejemplo: cxx
dxxxsenxxsen
dxxxsen +−−
=−++
=∫ ∫ 2
)cos(
10
)5cos(
2
)23()32()2)·cos(3(
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TEMA 30. Primitiva de una función. Aplicaciones Geométricas
4.2.6. Integrales irracionales
Vamos a diferenciar la resolución de integrales en 6 tipos diferentes.
Tipo 1. ∫ − dxxba 222 se busca un cuadrado perfecto con el cambio de variable
bx/a=sen(t) o bx/a=cos(t).
Ejemplo:
∫∫∫∫ −=−−=−=− dttsendttsentdxxdxx )(2/9)()(cos12/9)3/2(1349 2222
dttsendxtx )()cos(23
32 −=→=
Tipo 2: ∫ + dxxba 222 cambio de variable bx/a=tg(t) o bx/a=sh(t), aprovechando que
(1+tg2(t))=1/cos
2(t) y 1+sh
2(t)=ch
2(t).
Tipo 3: ∫ − dxaxb 222 cambio de variable bx/a=sec(t) o bx/a=ch(t), aprovechando que
(sec2(t)-1)=tg
2(t) y ch
2(t)-1=sh
2(t).
Tipo 4: ∫ ++ dxcbxax 2 se busca el cuadrado perfecto y se hace el cambio de variable
del tipo 1, tipo 2 o tipo 3.
Ejemplo: ∫∫∫ +
+=++=++ dx
xdxxdxxx 1
2
124)1(52
2
22(tipo 2)
Tipo 5: ∫
++
++
dxxdcx
bax
dcx
baxxR
r
r
q
p
q
p
,...,,,1
1
1
1
con R función racional polinómica, se
hace el cambio ),...,,( 21 n
n qqqmcmncontdcx
bax==
++
. Se divide y despeja x vs t.
Ejemplo: ( ) ( )∫∫∫
−−=
−
−=
−+
22
2
22 26
2
6·
1
12
t
tdt
t
ttdx
x
x
dtt
tdx
txt
xt
x
x222
22
)2(
6
2
31
1
32
1
12
−−
=→−
+=→=−
+→=−+
Tipo 6 (método Alemán): ∫∫++
+++=++ cbxax
dxKcbxaxxhdx
cbxax
xP
2
2
2)·(
)(
siendo h(x) un polinomio genérico tal que grad(h(x))=grad(P(x))-1.
Ejemplo: ∫∫++
++++=++
=42
42)(42 2
2
2
2
xx
dxKxxBAxdx
xx
xI , derivando:
2
1,
2
3,
2
1−=
−== KBA � ∫
+++++
−=
1)3/)1((32
142
2
3
2
2
x
dxxx
xI
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5. Aplicaciones geométricas
5.1. Áreas entre curvas.
Área curva y eje OX: El área que forma una curva con expresión y=f(x) y el eje OX entre x=a
y x=b se calcula, como hemos visto en el tema calculando la integral en valor absoluto de la
función f(x). Veamos los pasos a seguir para el cálculo de esta área:
Paso 1: Ver cuando la función f(x) por encima del eje OX (f(x)>0) y cuando está por debajo
de este eje (f(x)<0). Se consigue resolviendo la ecuación f(x)=0, que nos da los puntos de corte
con el eje y viendo el signo entre x=a, x=b y los distintos puntos de corte que obtenemos.
Paso 2: Calculamos la integral definida de f(x) y aplicamos la regla de Barrow en los inter-
valos donde f(x)>0. En el caso contrario, f(x)<0, calculamos la integral de –f(x) (la misma que
f(x) cambiando el signo) y aplicamos Barrow al resultado.
Ejemplo: calcular el área encerrada por la curva y=x3-2x
2-3x en el intervalo (-4,2).
Paso 1: x3-2x
2-3x=0 → x=0, x=1, x=-3. (-4,-3)∪(0,1) f(x)<0; (-3,0)∪(1,2) f(x)>0
Paso 2:
2
2
1
2341
0
234
0
3
2343
4
2343
4
0
3
1
0
2
1
3
73
12
47
12
7
4
45
12
103
2
3
3
2
42
3
3
2
4
2
3
3
2
42
3
3
2
4)()()()(
uxxxxxx
xxxxxxxfdxxfxfdxxfa
=+++=
−−+
++−+
−−+
++−=+−+−=
−
−
−
−
− −∫ ∫ ∫ ∫
Área dos curvas: el área encerrada entre dos curvas será el área de curva y el eje OX que
se encuentra por encima menos el área de la que se encuentra por debajo y el mismo eje. De
esta forma el área será ∫ −b
adxxgxf |)()(| que se resuelve como en apartado anterior.
Nota: cuando hacemos el área de una curva y el eje OX puede entenderse como el área de
la función y=f(x) y de “la curva” y=0, que es la expresión de los puntos del eje OX.
5.2. Volúmenes y superficies de revolución
Entendemos como volúmenes de revolución aquellos obtenidos al girar la curva en torno
al eje OX. Cada punto de la curva genera una circunferencia. Si calculamos el volumen del disco
formado por la circunferencia y altura dx tendremos un diferencial de volumen (dV) que inte-
grando entre los valores de x donde queramos calcular el volumen obtendremos lo deseado.
( ) ∫∫ ==→=b
a
b
adxxfdVVdxxfdV 22
))(()(· ππ
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Ejemplo: volumen esfera (resulta de girar la semicircunferencia) y=f(x)=)*+ − �+
∫ =−=r
rdxxrV0
322 ·3
4)( ππ
Ejemplo gráfico del volumen generado por dos curvas
y=x2 e y=)�.
( ) ( )∫ −=1
0
222
dxxxV π
Por otro lado el área de la superficie de la curva de revolución se calcula de igual forma,
ahora considerando el diferencial de superficie la superficie del disco anterior.
∫ ∫==→==b
a
b
adxxfdSSdxxfdxrdS )·(·2)·(··2··2 πππ
Ejemplo: superficie esfera
21
0
1
0
222
0
22 ··42
)2cos(1·2)(cos2··2 r
trdttrSdxxrS rsentx
r
ππππ =+
== →−= ∫ ∫∫ =
5.3. Longitud de una curva
Podemos calcular la longitud de la curva a partir del Teorema de Pitágoras, aplicando a un
diferencial de x y de y:
∫∫ +==
+=+=+=
b
a
b
adxxfdll
xfdxx
dydxdydxdl
2
222
)('1
)('11
Ejemplo: longitud semicircunferencia y=f(x)=)*+ − �+ (semicircunferencia)
rr
xarrdx
xrdx
xr
xl
xr
xxf
rrr
·cos·1
1)('0
0 220 22
2
22π=
=−
=−
+=→−
−= ∫∫
6. Contexto con secundaria.
Las integrales definidas y su aplicación en el cálculo de áreas se abordan en las Matemáti-
cas II de 2º de Bachillerato, siendo un ejercicio típico en la PAU.