tema 5: introducción al análisis temporal de sistemas lineales
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Tema 5: Introducción al análisis temporal de sistemas lineales
Introducción
2
n En este tema se analizará el comportamiento temporal de sistemas lineales simples ante señales de entrada de prueba, principalmente la entrada en escalón.
n Se analizarán los sistemas de primer y segundo orden. También se harán algunas consideraciones para sistemas de orden superior.
n A partir de modelos de Función de Transferencia se analizará el comportamiento obteniendo la respuesta temporal mediante al cálculo de la antitransformada y analizando el efecto de la posición de los polos con respecto al comportamiento del sistema
...)(
)()()(2
222
21 ++
+++
+==
psa
sssUsGsY
wsaa
...)sen()( 2221 +++= -- tpt eabteaty ws
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
sab
dtaybuy
buaydtdy
+==
-=
=+
ò
U(s)Y(s)G(s)
:ncia transferede función deforma en nulas, iniciales scondicione las si o
)( integralforma en o
ldiferencia ec.forma en
n Se puede describir
-+
3
u
R
Cy
sRC
RCsUsY
+= 1
1
)()(
y! ys1
a
bu
tiempo)de unidadesen (medida tiempode Constante :
salida)y entrada de las a conformes (unidades uy estática Ganancia :K
1U(s)Y(s)G(s)
:nulas iniciales scondicionecon
1
t
t
t
tt
¥
¥
DD
+==
=+
ß
=+
sK
uKydtdy
uKydtdy
n Se suele expresar con parámetros con significado físico:
s/1-+
t1
K
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
4
u
R
Cy
RCK
RCssUsY
==
+=
t111
)()(
-+ y! y
s1
t1
tKu
yy!u
estables) (sistemas tiempode Constante :
modificaNo1
Amplifica1
Atenúa1
uy estática Ganancia :K
positivasiempre
K
K
K
negativaopositivaserpuede
t
=
>
<
DD
¥
¥
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
5
unitario escalón un )( con1)(
)()(
tus
KsUsYsGsi
t+==
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
6
n Respuesta a un escalón unitario:
! "#"$%unoporTanto
t
permanenterégimen
envalor
t
eyeKty )1()1()( tt-
¥
--º-=
)(ty
)(ty
1=t
1=K
1=t
2=t
5.0=t
!
99.0)1(598.0)1(495.0)1(386.0)1(263.0)1(
)1()1()(
5
4
3
2
1
=-=
=-=
=-=
=-=
=-=
-º-=
-
-
-
-
-
-
¥
-
etParaetParaetParaetParaetPara
eyeKtyunoporTanto
t
permanenterégimen
envalor
t
t
t
t
t
t
tt"#"$%
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
7
n Respuesta a un escalón unitario:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951
1.051.11.151.2
tiempotiempot
)1( tt
e-
-
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
8
n Respuesta a un escalón unitario:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.51
1.52
2.53
3.54
4.55
5.56
6.57
7.58
8.59
9.510
tiempo
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo
u
Entrada en escalón Respuesta del sistema
¿Cómo obtener el modelo G(s) del sistema?
9
n Identificación por respuesta a un escalón:n Queremos obtener el modelo de un sisteman Sometemos el sistema a una entrada en escalón y obtenemos la respuesta
experimentalmente
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Sistema real
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.51
1.52
2.53
3.54
4.55
5.56
6.57
7.58
8.59
9.510
tiempo
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo
u
Entrada en escalón Respuesta del sistema
Respuesta típica de sistema de primer orden:evolución exponencial con pendiente no nula en el instante de cambio del escalón
10
n Identificación por respuesta a un escalón:
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Función de transferencia candidata
sKsGt+
=1
)(
Dos parámetros:¿K?¿ ?t
11
n Identificación por respuesta a un escalón:
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tiempo
u
K: se obtiene observando el régimen permanente
326
1328
==--
=DD
=uyK
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.51
1.52
2.53
3.54
4.55
5.56
6.57
7.58
8.59
9.510
tiempo
y
2=Du
6=Dy
12
n Identificación por respuesta a un escalón:
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.51
1.52
2.53
3.54
4.55
5.56
6.57
7.58
8.59
9.510
tiempo
y
6=Dy
t
78.363.0 =D× y
n Identificación por respuesta a un escalón:
516.6
78,578.3278.3663.063.0%63
=-=
=+=×=D
tFinalmentesegundoslosaesquevalorestealcanzasequeelentiempoelobtenerpermitegráficalaallevadoque
escalóndelantesteníaquevaloralsumadoyessalidaladefinalincrementodelel: se obtiene
observando el régimen transitorio
t
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
Función de transferencia obtenida:
ssKsG
513
1)(
+=
+=
t
14
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
n Identificación por respuesta a un escalón:
RECUERDE: Para definir el modelo se han utilizado variables incrementales, por lo que para obtener los valores reales hay que tener en cuenta el punto de funcionamiento.
Sistema real
ModeloG(s)
)(tu )(ty
21
:entofuncionami de Punto
0
0
==
yu
0)()( utut -=b 0)()( ytyt -=a
Respuesta temporal de sistemas de primer orden
n Respuesta a una entrada en rampa
15
0)1()(
ormadaantitransfla calculando
11)()()(
)(0,)(
2
2
³--=
+==
=Þ³=
-
teKKtty
sKs
sUsGsY
sKsUtttu
ttt
tKt
tt
)(ty
tK
16
Sistema de primer orden: entrada senoidal
)(1
)()(
1)(
22)( fwwt
w
t
++
=
=
+=
tsenKy
tsentu
sKsG
trp
17
Sistema de primer orden: entrada senoidal
)(1
)()(
1)(
22)( fwwt
w
t
++
=
=
+=
tsenKy
tsentu
sKsG
trp
Si t tiende a infinito
18
Sistema de primer orden: entrada senoidal
19
Sistema de primer orden: entrada senoidal
20
Sistema de primer orden: filtrado
)(1
)()(22)( fw
wtw +
+== tsenKytsentu trp
n Suele expresarse como
n Parametrización habitual (a2>0)
n Considerando condiciones iniciales nulas:
[rad/s] natural frecuencia:nal][adimensio ión amortiguac de eCoeficient : U]Y/dim [dim estática ganancia :K
2
n
222
2
wd
wwwd uKydtdy
dtyd
nnn =++
ubyadtdya
dtyd
1212
2
=++
21
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
u
R
Cy
L
LR
LC
LC
K
n
12
1
1
1
=
=
=
d
w
uLC
yLCdt
dyLR
dtyd 112
2
=++
22
2
2U(s)Y(s)G(s)
nn
n
ssK
wwdw
++==
1244
02:Polos
2U(s)Y(s)G(s)
2222
2,1
22
22
2
-±-=-
±-=
=++
++==
dwwdwwd
wd
wwd
wwdw
nnnn
n
nn
nn
n
s
ss
ssK
22
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Análisis del sistema:
siempre)0( inestable sistema nula o positiva real partecon polos0 si
1:Polos
n
2
>ÞÞ£
-±-
wd
dwwd nn
23
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Análisis del sistemaCaso 1: Sistema con amortiguamiento negativo o nulo
Re
Im
uadosubamortig entocomportami:
1:Polos
estable sistema negativa real partecon conjugados complejoscon polos10 si
2
aamortiguadnaturalfrecuenciaconjj
d
dnnn
wwwddwwd
d
±-=×-±-
ÞÞ<<
Im
Re
24
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Ánálisis del sistemaCaso 2: Sistema subamortiguado
1:Polos 2 -±- dwwd nn
oamortiguad tecríticamen entocomportami)2(:Polos
estable sistema negativos dobles reales polos1 si
nwd
-ÞÞ=
Re
Im
25
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Análisis del sistemaCaso 3: Sistema críticamente amortiguado
1:Polos 2 -±- dwwd nn
iguadosobreamort entocomportami1:Polos
estable sistema negativos reales polos1 si 2 -±-
ÞÞ>
dwwd
d
nn
Im
Re
26
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Análisis del sistemaCaso 4: Sistema sobreamortiguado
1:Polos 2 -±- dwwd nn
úúû
ù
êêë
é+
--=
-=-==<
-+-=
==
-
-
)(1
1)(
)1cos1(coshacerpuedese1como
))](1
)(cos(1[)(
ormadaantitransf la calculando )()()(s1U(s)
2
22
2
awd
daaadd
wddw
dw
dw
tseneKty
sen
tsenteKty
sUsGsY
d
t
ddt
n
n
27
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitarioCaso 2: Sistema subamortiguado 10 << d
dgeneralida de pérdidasin 1 supondrá se adelanteEn =K
)(1
1)( 2
awd
dw
+-
-=-
tsenety d
tn
28
212 es sistema del
oscilación de periodo el
dwp-
=n
PT
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitario: Sistema subamortiguado (caso 2)
jnn21:Polos dwwd -±-
)cos(1)](1
)[cos(1)(2
ttsentety nddtn ww
ddwdw -=-
+-= -
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tiempo
jnw
Re
Im
npT w
p2=
29
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitario Límite entre los casos 1 y 2 0=d
ormadaantitransf calculando
1)(
1)(
1)(
)()()(s1U(s) 22 sssss
sUsGsYnn
n
n
n ++
-+-
=×+
===ww
www
30
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitarioCaso 3: Sistema críticamente amortiguado
tn
netty ww -+-= )(1)(
1=d
00
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y(t)
1=d
1.0=d
7.0=d
9.0=d
5.0=d
0=d3.0=d
31
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitario: Sistemas con amortiguamientos entre 0 y 1
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
---
-+-+=
==
÷øöç
èæ ---÷
øöç
èæ -+-
!!"!!#$!!"!!#$
2
2
1
2
111211)(
ormadaantitransf calculando)()()(s1U(s)
2
1
2
1
2
ylentalExponencia
t
yrápidalExponencia
t nn eety
sUsGsY
ddddd
wddwdd
32
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitarioCaso 4: Sistema sobreamortiguado 0>d
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y(t)
y1(t)
y2(t)
1y2paraejemplopor == nwd
lenta
rápida33
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado
1y2 == nwd
0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo
lenta
exacta
34
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado
Tiempo
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.5
1
1.5
Y
35
Respuesta temporal de sistemas de 2º orden
n Respuesta a un escalón unitario: respuesta de un sistema sobreamortiguado en función del amortiguamiento
2=d 3=d
1=d4=d
36
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
● Tiempo de subida (ts):Es el tiempo necesario para que la señal de salida pase de un porcentaje inicial a uno final de su valor en régimen permanente. Normalmente se usan del 0 al 100%, 5 al 95% o 10 al 90%● Lo más habitual es (10-90%) o (0-100%) en sistemas subamortiguados
● Tiempo de pico (tp): Intervalo de tiempo hasta que se produce el primer pico en la señal de salida.● No está definido en sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden
sobreamortiguados
§ Tiempo de establecimiento (te): Tiempo que tarda la señal de salida en establecerse en una banda alrededor del valor en régimen permanente. Los valores más usados son ± 2% y ± 5%
§ Sobreoscilación (SO): Amplitud de la primera oscilación en tanto por ciento con respecto al valor de la señal en régimen permanente.
00
Tiempo
y(t)
)()()(
..¥
¥-=
yyty
OS p
)(¥y
etpt
37
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
100%)(0 -st
Respuesta temporal
t2.2
t
tt
t
2.2
1.0ln9.0ln
1)(
1090
»
+-=-=
-=-
s
s
t
t
ttt
ety
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951
1.051.11.151.2
tiempotiempo
nCaracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 1º Orden
t2.2
Respuesta temporal
t2.2
t
t
t
3
)05.0ln(
1)(
»
-=
-=-
e
e
t
t
t
ety
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951
1.051.11.151.2
tiempotiempo
nCaracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de establecimiento te (5%) Sistema de 1º Orden
t3
dssdsd
sd
sd
sd
sdsdsd
sdsdt
s
ddt
tttgttgsentsen
t
sitsenttsent
tsentety
tsentetysn
n
wapapwaw
aa
ww
addd
www
ddw
wddw
wddw
dwdw
-=Þ-=Þ-=Þ-=Þ
=-
-=Þ=-
+Þ
Þ=-
+Þïþ
ïý
ü
=-
+-=-
-
)(cos)()cos(
cos1)(
)cos(0)(1
)cos(
0)](1
)[cos(1)(
)](1
)[cos(1)(
22
22
21 dwap
wap
-
-=
-=
ndst
40
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de subida (0-100%) (ts): Sistema de 2º orden subamortiguado
41
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 2º orden subamortiguado
Se puede obtener de la gráfica, en la que se representa:
)()9010( dw ftsn =× -
21 dwp
wp
-==
ndpt
dp
ddd
ddd
t
n
t
ttsentsenedttdy
dttdy n
wp
wp
wp
wp
pppwwwd
wdw
=
=
=Þ=Þ=-
=Þ=-
en produce se picoprimer el
...,3,2,0, t
:salida la de derivada la cero hace se donde instantes
...,3,2,,00)(0)(1
)(0)(2
00
Tiempo
y(t)
42
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de pico (tp): Sistema de 2º orden subamortiguado
ne
ne
tdelfranja
tdelfranja
cionesSimplifica
dw
dw4%2
3%5
:
»Þ
»Þ
)05.01ln(105.01
95.0
11
05.11
1
:que t tal instante elen 1))y( (supuesto final valor del 5% del franja una de dentroquedan senvolvente Las
11 :son señal esta de senvolvente curvas las )(
11)(
2
2
2
2
22
×--=Þ=-
Þ
ïï
þ
ïï
ý
ü
=-
-
=-
+
=¥-
±+-
-=
-
-
-
--
ddwd
d
d
daw
d
dw
dw
dw
dwdw
ne
t
t
t
t
d
t
tee
e
etsenety
n
n
n
nn
Tiempo
y(t)
1
43
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Tiempo de establecimiento (te): Sistema de 2º orden subamortiguado
100)()()(
.(%).¥
¥-=
yyty
OS p
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
80
100
d44
Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):
Sobreoscilación (S.O.)Sistema de 2º orden subamortiguado
2
22
1
12
1p
100.(%).luego
1]1
[cos1)y(t1)y( si
d
pd
d
pddw
pwd
pd
dp
-
-
--
--
×=
+=-
+-==¥
eOS
esene n
n
S.O.(%)
a
Re
Im
s
dw
(95%) 3
)()(acos
s
wpwapada
=
=
-=
==
e
dp
ds
t
t
t
SOSO
a s wd SO ts tp te¯ ¯ ¯ ¯
- - ¯ ¯ ¯dnw
a
Re
Im
s
dw
SO = cte
tp = cte
45
Respuesta temporal
n Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sistema de 2º orden subamortiguado
)(...
...)( nulas) (C.I. ormadaantitransf Calculando
)()(...)()()(...)()(
11
1
110
11
1
1011
1
1
sUasasas
bsbsbsY
tubdttdub
dttudb
dttudbya
dttdya
dttyda
dttyd
nnnn
mmm
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
+++++++
=
++++=++++
--
-
--
-
--
-
46
Sistema de orden superior
n Ecuación diferencial lineal de orden n
En general, los polos de G(s) podrán ser o bien polos reales o bien complejos conjugados, por lo que la respuesta ante una entrada en escalón se puede calcular:
negativa) real partecon polos sus (Todos permanenterégimen un alcanza sistema el si Sólo
ón)continuaci aón demostraci (* )(limestáticaganancialasiendo
)]1cos()1([)(
)2()(
)('1)(
0
22
11
22
11
1
sGK
tctsenbeeaKty
ssps
csk
ssY
s
kkkk
r
k
tt
j
tpj
kkk
r
kj
t
j
i
m
i
kkj
®
=
-
=
-
==
=
=
×-+×-++=
++Õ+Õ
+Õ×=
åå dwdw
wwd
wd
47
Sistema de orden superior
*La demostración hace uso del Teorema del valor final:
48
)(lim1)(limK luego
)(lim ademásy 1)(
unitarioescalón un sea u(t) queen caso elen
)()(lim)(lim)(lim
00
00
sGs
sGs
Ktys
sU
sUsGssYsty
ss
t
sst
®®
¥®
®®¥®
=××=
==
××=×=
Sistema de orden superior
• En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.
• Esta situación ya se consideró en el estudio del sistema sobreamortiguado (exponencial rápida vs. exponencial lenta)
• Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.
• La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:
reales) (polos iguadosobreamortorden segundo de sistemasen )1(-
)1-(-
complejo) (polo uadosubamortigorden segundo de sistemasen
real) (poloorden primer de sistemasen 1
2
2
ïþ
ïýü
-+
-
-
-
rápido
lento
n
n
n
wdd
wdd
dw
t
49
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
• En la práctica, los polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario
Re
Imp1
p’1
p2
p’2
d2
d1
p1,p’ 1 se van a considerar dominantes si d2/d1>5
50
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
Re
Im
p1
p2
p’2
d2
d1
p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5
51
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
Re
Im
p1p2
d2
d1
p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5
52
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
• En la práctica, un sistema de orden superior puede ser reducido despreciando el efecto de los polos no dominantes (polos rápidos).
• IMPORTANTE: al eliminar los polos no dominantes: LA GANANCIA ESTÁTICA DEBE QUEDAR INALTERADA
Ejemplo:)17)(16)(1(
544)(+++
=sss
sG
Re
Im
-1-16-17
-1 es el dominante
53
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
12
)17)(16)(1(544
)17)(16)(1(544)(
+=
+»
+++=
ssssssG
Re
Im
-1-16-17
-1 es el dominante.
54
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
Tiempo(s)0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5y(t)
• Se ha pasado de un sistema de orden 3 a uno de orden 1 eliminando los dos polos no dominantes.
• En la figura se representa el error cometido en la respuesta del sistema ante un escalón al simplificar la función de transferencia
55
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
221
2 ++ ss
• Ejemplo 2:
610+s
Re
-1+j
-1-j
-6
Im
-1+j y -1-json los dominantes
56
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
221
2 ++ ss
• Se elimina el polo no dominante, (se mantiene su ganancia estática)
610
Re
-1+j
-1-j
Im
57
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
121481023 +++ sss
226/10
2 ++ ss
• Comparación de las respuestas
58
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
610+s
121481023 +++ sss
• Comparación de las respuestas
221
2 ++ ss
rápida
Lenta
Sistema completo
59
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
• Interpretación física:
Al considerar los polos dominantes se está simplificando el sistema sustituyendo la evolución de la respuesta correspondiente a los polos no dominantes por una evolución “instantánea”.
Ejemplo:
Suponga una habitación que se pretende calentar con un calefactor de resistencias.
Estamos interesados en conocer el tiempo que debemos esperar desde que se conecta el calefactor hasta que se alcanzan unas condiciones estacionarias en la habitación.
Para ello se modelan dos subsistemas:
- El calefactor - entrada: tensión aplicada (V), salida: potencia calorífica aportada (kW)
- El habitáculo - entrada: potencia calorífica recibida del calefactor (kW), salida: incremento de temperatura con respecto al exterior (ºC)
60
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
• Se tiene el modelo dado por el siguiente diagrama de bloques:
11501.0+s 12400
7+s
V P q
Dinámica del calefactor
Dinámica del habitáculo
61
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
• Las ganancias estáticas determinan los valores de régimen permanente cuando se aplican 220V en la entrada:
11501.0+s 12400
7+s
qV PDinámica del
calefactorDinámica del
habitáculo
CkWPVV
º4.15)(2,2)(220)(
:iasestacionarscondicioneen
=¥=¥=¥
q
62
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
• Si la entrada (V) es un escalón de 0 a 220 v., obtenemos:
0 3000 60000
5
10
15
11501.0+s 12400
7+s
qV PDinámica del
calefactorDinámica del
habitáculo
)(ºCq
0 3000 60000
5
10
15
0 3000 60000
100
200
V (voltios) P (kW)
63
n Polos dominantes:
Sistema de orden superior
11501.0+s 12400
7+s
qV PDinámica del
calefactorDinámica del
habitáculo
Dinámica rápidaPolo: -1/15 =-0.0667
Dinámica LentaPolo: -1/2400=-0.00041 Dominante
Re
Im
-0.00041-0.0667
0.0667/0.0041=160 >> 5
64
Sistema de orden superior
n Polos dominantes:
0 3000 60000
5
10
15
01.0 124007+s
qV P
Dinámica del Calefactor aproximada
Dinámica del habitáculo
)(ºCq
0 3000 60000
100
200
V (voltios)
0 3000 60000
5
10
15P (kW)
65
Sistema de orden superior
n Polos dominantes: Aplicando la dinámica del polo dominante
Time (sec.)0 20000
1
2
01.0
11501.0+s
VP
Dinámica del Calefactor real
0 3000 60000
100
200
V (voltios)
P (kW)
0 20000
1
2
PV P (kW)Dinámica del
Calefactor aproximada
0 3000 60000
100
200
V (voltios)
66
Sistema de orden superior
n Polos dominantes: Se ha sustituido la dinámica del polo rápido por una dinámica instantánea
tt eetyssssG
105 18162)()10)(5(
)1(100)(
-- -+=
+++
=
Efecto de los ceros en la respuestan Los ceros afectan al transitorio
0 0.4 0.8 1.20
2
4
6
0 0.4 0.8 1.20
2
4
6
tt eetyss
sG
105 242)()10)(5(
100)(
-- +-=
++=
67
0 1 20
2
4
6yc(t)
dy(t)/dt
y(t))()(1)(será derespuesta La
por dadosistema delrespuesta la es Si
)()11()sea ,una Dada
tydttdy
cty(s)G
G(s)y(t)
sGsc
(sGG(s)
cc
c
+=
+=
tt
ttttc
eeeeeety
105
105105
18162
2020242)(--
----
-+=
=-++-=
68
Efecto de los ceros en la respuestan Ceros de fase mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano izquierdo
-20 -15 -10 -5 0 5
0 1 20
2
4
6
0 1 20
2
4
6
0 1 20
2
4
6
x xo o o o
0 1 20
2
4
6
C>0 à la derivada SUMA. Mientras más lejos esté el cero del eje imaginario, menor será su influencia
69
Efecto de los ceros en la respuesta
n Ceros de fase mínima
-20 -15 -10 -5 0 5
0 1 2-4
-2
0
2
0 1 2-4
-2
0
2
x x o o
C<0 à la derivada RESTA à Respuesta inversa
70
Efecto de los ceros en la respuesta
n Ceros de fase no mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano derecho