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1
Tema 5: Modelos Discretos de Canal
2
Sistema de transmisión (según Shannon)
• Se introducen símbolos pertenecientes a un alfabeto de entrada (que supondremos finito y, típicamente, binario): A = {0,1}
• Salen símbolos pertenecientes a un alfabeto de salida (no necesariamenteigual al de entrada): B={0, 1, *}
• Se relacionan las entradas y salidas de cada uso del canal de manera probabilística: Pr(B=0 | A=1)
Canales discretos
Descodificación de canal
bitsDemodulación
BER
bits
Codificación de canal
bits
Canal Discreto
Modulación
Señales [W, dBW]Información transmitida
Codificaciónde fuente
bits
Información recibida
Descodificaciónde fuente
Transmisor
Medio de transmisión(atenuación)
Receptor(sensibilidad)
Señales
3
Motivación
• Los modelos de canal discreto son más sencillos porque− ... resultan más fáciles y eficientes a
la hora de estimar y simular su comportamiento
• ... pero− Se pierde la capacidad de diseño del
modem• El objetivo fundamental al que
responde este modelo es el de diseño de los “códigos de fuente y de canal”− Para este objetivo, la información
que proporcionan es completa.
Modulaciónseñales
Transmisor
Medio de transmisión
Receptorseñales
Demodulaciónbits
bits
Canal Discreto
Canal Discreto
4
Motivación
En muchos sistemas de comunicación, las capas física (OFDM), de acceso al medio (CDMA), la capa de red (IP)... dan poco (o ningún) margen a cambios o mejoras.Sin embargo, el diseñador tiene mucho más margen cuando se trata de diseñar aplicaciones, servicios...Ejemplo: diseño de un codificador de vídeo para sistemas 3G.
− El 3G está fijado en cuanto al modem.− Sin embargo, es posible diseñar (u optimizar) un codificador de fuente (por
ejemplo, MPEG-4) para adaptarlo a las características del canal (bajo retardo, alta probabilidad de error en paquetes, errores en ráfagas...) y seleccionar el codificador de canal adecuado al anterior
− Trama MPEG
Bits de posición
Bits de Info. Brillo Color
Muy sensibles → codificación más potenteMenos sensibles → codificación débil
5
Canales discretos sin memoriaAlfabeto• entrada A: {a0, a1, ..., aK-1} (K-símbolos)• salida B: {b0, b1, ..., bL-1} (L-símbolos)• Secuencia enviada: an = (a[0], ..., a[n-1])∈A• Secuencia recibida bn = (b[0], ..., b[n-1])∈B
Discrete Memoryless Channel: no tienen memoria
• Ejemplo: Binary Symmetric Channel− Diagrama para A = B = { 0,1 }
BSCA={0,1} B={0,1}
Pr(0 | 0) 1 , Pr(1| 0) ,Pr(0 |1) , Pr(1|1) 1 .
p pp p
= − == = −
0
1
0
1Es simétrico porque Pr(0|1) = Pr(1|0)
1
n n0
Pr( | ) Pr( [ ] | [ ])n
m
b m a m−
=
=∏b a
Canal discretona nb
Pr(1| 0)
Pr(1|1)Pr(0 |1)
( )Pr 0 | 0
6
Canales con memoria
En las aplicaciones reales, la clase más importante de canales de transmisión tiene memoria (debida a retardos, el medio)En los canales con memoria, además de los alfabetos de entrada y salida hace falta especificar...1. cómo se representa la memoria
En el modelo que vamos a considerar, supondremos que el canal puede estar en un conjunto FINITO de estados
2. y, los parámetros que se necesitan para el cálculo de la distorsión introducida por el canal
Las probabilidades conjuntas de entrada salida
n nPr( | )b aCanal discretona nb
7
1. Representación Memoria: Finite State Channel, FSC• Número de estados finito: espacio de M-estados S={S0, ..., SM-1}
− La probabilidad de estar en cada uno de los M-estados en el instante “n” está contenida en el vector
• Adicionalmente, hay que especificar cómo evolucionan los estados:− Cada uso del canal produce una transición especificada por un diagrama con unas
probabilidades asociadas. • Ejemplo: M=2 estados
− Por completitud
− puede depender del símbolo transmitido en ese uso del canal
ISI Type
Canales con memoria
1 0S SP →
0 1S SP →
1 1S SP →0 0S SP →
0S 1S
0 1 0 11S S S SP P→ →+ =
1 0 1 11S S S SP P→ →+ =
i jS SP → ka
[ ]0 1[ ] Pr( [ ] ), , Pr( [ ] ) TMn S n S S n S −= = =…π
0S 1S 1MS −
8
Canales con memoriaDesvanecimiento
Tiempo t
Amplitud dela señal
Umbral
Bueno(Non-fade)
Malo(Fade)
0 0
1 1
1-10-5
1-10-5
10-5
0 0
1 1
1-10-2
1-10-2
10-2
Tasa de errores más elevada cuandohay desvanecimiento
La probabilidad de estar en estado malo
es menor que la de estar en estado bueno
0.7
0.3
0.99
0.01
Los periodos con amplitud de señal
alta tienen una duración grande
Bits transmitidos
bT
9
Canales con memoria
Código en Matlab para simular un canal con memoriafunction [bt,S]=FSC(at,P,p,pe0,pe1,pi00)% [bt,S]=FSC(at,P,p,pe0,pe1,pi00)% Parámetros de entrada% at -> Secuencia de Nbits% P -> Prob. de transición del estado 0 al 1% p -> Prob. de transición del estado 1 al 0% pe0 -> Prob. de error en el estado 0% pe1 -> Prob. de error en el estado 1% pi00-> Prob. de comenzar en el estado 0
Nbits=length(at);S=zeros(Nbits+1,1);S(1)=1-(rand(1,1)<pi00);bt=at;
for n=1:Nbitsif S(n)==0
bt(n)=BSC(at(n),pe0); S(n+1)=(rand(1,1)<P);
elsebt(n)=BSC(at(n),pe1);S(n+1)=1-(rand(1,1)<p);
endend
410P −=
210p −=
1 0,99p− =41 1 10P −− = − 0S 1S
1-10-5
10-5=pe0=Pr(e=1|0)
1-10-5
0,7
0,3=pe1=Pr(e=1|1)0 0 0 0
1 1 1 1
10
Matriz de transiciones
Evolución del canal (cadena de Markov)• Probabilidad de que en el instante n=1, el estado sea el “0”
• Probabilidad de que en el instante n=1, el estado sea el “1”
Canales estacionarios con memoria
[1] [0]T T= ⋅π π T
,Pr( | )j i i j
S S⎡ ⎤= ⎣ ⎦T0 0 1 0
0 1 1 1
Pr( | ) Pr( | )Pr( | ) Pr( | )
S S S SS S S S
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
T
0 0 0 1
1 0 1 1
Pr( ) Pr( )Pr( ) Pr( )
S S S SS S S S→ →⎡ ⎤
= ⎢ ⎥→ →⎣ ⎦T
[ ] 0 0 1 00 1
0 1 1 1
Pr( | ) Pr( | )[1] Pr( [0] ) Pr( [0] )
Pr( | ) Pr( | )T S S S S
S S S SS S S S
⎡ ⎤= = = ⋅ ⎢ ⎥
⎣ ⎦π
0 0 0 0 0 1 1Pr( [1] ) Pr( | ) Pr( [0] ) Pr( | ) Pr( [0] )S S S S S S S S S S= = = + =
0 1S SP →
1 0S SP → 1 1S SP →
0 0S SP →0S
1 1 0 0 1 1 1Pr( [1] ) Pr( | ) Pr( [0] ) Pr( | ) Pr( [0] )S S S S S S S S S S= = = + =
1S
11
Evolución del canal (cadena de Markov)
Estado en régimen permanente
Simplificaciones• Canales estacionarios
− Si la cadena de Markov que describe las transiciones entre estados es regular, la cadena converge a una distribución de estados
− Puede haber más de una distribución de estados estacionaria
Canales estacionarios con memoria
con 1T T T⋅ = ⋅ =π T π π 1
lim [ ] [0] lim [0]nT T T
n nn
→∞ →∞= = ⋅ =π π π T π T
2[1] [0] [2] [1] [0] [ ] [0] nT T T T T T Tn= ⋅ → = ⋅ = ⋅ → = ⋅π π T π π T π T π π T
,Pr( | )j i i j
S S⎡ ⎤= ⎣ ⎦T
0 0 0 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 1 1
Pr( ) Pr( ) Pr( | ) Pr( | )Pr( ) Pr( ) Pr( | ) Pr( | )
S S S S S S S SS S S S S S S S→ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ →⎣ ⎦ ⎣ ⎦T
0 1S SP →
1 0S SP →
1 1S SP →0 0S SP →
0S 1S ,Pr( )i j i j
S S⎡ ⎤= →⎣ ⎦T
12
Calculo de la distribución estacionaria
A. Número de estados finitoResolver explícitamente el sistema de ecuaciones
Numéricamente a partir de • Converge a una matriz cuyas filas son iguales a π
Adecuado para número de estados pequeños
1
01
0
π π , 0,1,..., 1
π 1
M
j i iji
M
ii
T j M−
=−
=
= = −
=
∑
∑nT
lim [ ] [0] lim nT T
n nn
→∞ →∞= = ⋅π π π T ⇔ con 1T T T⋅ = ⋅ =π T π π 1
13
Ejemplo
Matriz de transición
0 2 1 1 p−
p1 p−
1 p
0 0 10 1
1 0p p
p p
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
T
0 1 2π 1 π π π 1i i = ⇔ + + =∑
( )0.1
1 1 1, , 0.310, 0.345, 0.3453 3 3
T
p
pp p p =
⎛ ⎞−= =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
π
0.310 0.345 0.345lim 0.310 0.345 0.345 ( 150)
0.310 0.345 0.345
n
nn
→∞
⎡ ⎤⎢ ⎥= ≈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T
Estado de partida (fila)
Estado de llegada (columna)
2 0 1
0 2
1 1 2
π (1 )
π π
ππ (1 )π π
π
T T
pp pp
= −⎧⎪= ⇔ = −
= ++⎨
⎪⎩
π π T
14
Modelo de Gilbert
Ejemplo
• La distribución estacionaria se obtiene de
Bueno=G Malo=B
P
1 P−
p
1 p−
y de 1TT T T= ⇔ = =π π T T π π π 1
Gp
P pπ =
+ BP
P pπ =
+
Pr( | ) Pr( | ) 1Pr( | ) Pr( | ) 1
G G B G P PG B B B p p
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T
π
15
Canales con memoria
n nPr( | )b aCanal discretoM estados
na nb
0S 1S 1MS −
En los canales con memoria hace falta especificar1. Como se representa la memoria.
En el modelo que vamos a considerar, supondremos que el canal puede estar en un conjunto FINITO de estados.
2. Los parámetros que se necesitan para el cálculo de la distorsión introducida por el canal
Las probabilidades conjuntas de entrada salida
16
Canales con memoria2. Cálculo de las probabilidades
• Notación matricial− Para cada par de símbolos (ENTRADA, SALIDA) [(a[i],b[i])] se define una
Matriz de Probabilidad de tamaño M×M (M número de estados del canal)
• Con esta notación, se puede escribir para las secuencias y
− Atención: el producto de matrices no es conmutativo.Hay que seguir el orden correcto
0 0 1 0 1 0
0 1 1 1
Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )( [ ] | [ ])
Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )
M
M M M
b m S a m S b m S a m S b m S a m Sb m a m
b m S a m S b m S a m S
−
− − −
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
P
nb1
0
( | ) ( [0] | [0]) ( [1] | [1]) ( [ 1] | [ 1]) ( [ ] | [ ])n
n nm
b a b a b n a n b m a m−
=
= − − =∏P b a P P P P
na
n nPr( | )b a
17
Canales con memoria
Ejemplo
Se supone que el estado de partida es el que determina la probabilidad de recibir un determinado símbolo conocido el símbolo transmitidoLa opción alternativa (el estado de llegada es el que determina el efecto sobre el símbolo) es válida y los resultados no son muy diferentes.
410−
210−
0,9941 10−−0S 1S
0 0
1 1
1-10-5
10-5
1-10-5
0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a
0 0
1 1
0,7
0,3
1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a
0 0 1 0
0 1 1 1
Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )( [ ] | [ ])
Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )b m S a m S b m S a m S
b m a mb m S a m S b m S a m S
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
P
( ) ( ) ( )( )
5 4 5 -4
-2 2
1 10 1 10 1 10 10( [ ] 1| [ ] 1) ( [ ] 0 | [ ] 0)
0.7 10 0.7 1 10b m a m b m a m
− − −
−
⎡ ⎤− × − − ×⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥× × −⎣ ⎦
P P
( )( )
-5 4 -5 -4
-2 2
10 1 10 10 10( [ ] 0 | [ ] 1) ( [ ] 1| [ ] 0)
0.3 10 0.3 1 10b m a m b m a m
−
−
⎡ ⎤× − ×⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥× × −⎣ ⎦
P P
18
Canales con memoriaEjemplo
• Si
410−
210−
0,9941 10−−0S 1S
0 0
1 1
1-10-5
10-5
1-10-5
0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a
0 0
1 1
0,7
0,3
1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a
(0,0,1,1,1,1,0,0,1)n =a
(0,0,1,1,0,1,1,0,0)n =b
( | ) ( [0] 0 | [0] 0) ( [1] 0 | [1] 0) ( [ 1] 0 | [ 1] 1)n n b a b a b n a n= = = = = − = − =P b a P P P
8 60 0 1 0
5 30 1 1 1
Pr( , | , ) Pr( , | , ) 3.2 10 3.1 10( | )
Pr( , | , ) Pr( , | , ) 2.9 10 2.9 10n n n n
n nn n n n
S S S S
S S S S
− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
× ×⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
b a b aP b a
b a b a
¿ ( | )?n nP b a
19
Canales con memoria
2. Cálculo de las probabilidades• Notación matricial
− Como la probabilidad de recibir la secuencia cuando se ha transmitido la secuencia y se ha partido desde el estado inicial S[0] es:
− se puede escribir
00 0 1 0 1 0
1
0 1 1
1
Pr( | , [0] )Pr( , [ ] | , [0] ) Pr( , [ ] | , [0] ) Pr( , [ ] | , [0] )
Pr( | , [0] )
Pr( , [ ] | , [0] ) Pr( , [ ] |Pr( | , [0] )
n nn n n n n M n
n n
n n M n M
n n M
S SS n S S S S n S S S S n S S S
S S
S n S S S S n SS S
−
− −
−
⎡ ⎤== = = = = =⎢ ⎥
=⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ = = =⎢ ⎥=⎣ ⎦
b ab a b a b a
b a
b a bb a
1
1
, [0] ) 1
( | )
n M
n n
S S −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎣ ⎦
= ⋅
a
P b a 1
nb
Sobre todoslos estados [ ]
Pr( | , [0]) Pr( , [ ] | , [0])n n n n
S n
S S n S= ∑b a b a
na
n nPr( | )b a
20
Canales con memoria
Ejemplo
• Si
410−
210−
0,9941 10−−0S 1S
0 0
1 1
1-10-5
10-5
1-10-5
0 0
1 1
0,7
0,3
(0,0,1,1,1,1,0,0,1)n =a
(0,0,1,1,0,1,1,0,0)n =b
8 6
5 3
3.2 10 3.1 10( | )
2.9 10 2.9 10n n
− −
− −
⎡ ⎤× ×= ⎢ ⎥
× ×⎣ ⎦P b a
60
31
Pr( | , [0] ) 3.1 10Pr( | , [0]) ( | )
Pr( | , [0] 2.9 10n n
n n n nn n
S SS
S S
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×= ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ×⎣ ⎦⎣ ⎦
b ab a P b a 1
b a
0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a 1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a
Pr( | , [0])n n Sb a
21
Canales con memoria
2. Cálculo de las probabilidades • Notación matricial
− Si promediamos para todos los posibles estados de entrada (y tenemos en cuenta la distribución de probabilidad) resulta
1
[0] 0
Pr( | ) Pr( | , [0]) Pr( [0]) [0] ( | )M
Tn n n n n n
S
S S−
=
= = ⋅∑b a b a π P b a 1
[ ]0 1[0] Pr( [0] ), , Pr( [0] ) TTMS S S S −= = =π [0] 1T ⋅ =π 1
n nPr( | )b a
22
Canales con memoriaEjemplo
• Si
410−
210−
0,9941 10−−0S 1S
0 0
1 1
1-10-5
10-5
1-10-5
0 0
1 1
0,7
0,3
(0,0,1,1,1,1,0,0,1)n =a
(0,0,1,1,0,1,1,0,0)n =b
8 6
5 3
3.2 10 3.1 10( | )
2.9 10 2.9 10n n
− −
− −
⎡ ⎤× ×= ⎢ ⎥
× ×⎣ ⎦P b a
6
3
3.1 10Pr( | , [0]) ( | )
2.9 10n n n nS−
−
⎡ ⎤×= ⋅ = ⎢ ⎥×⎣ ⎦
b a P b a 1
0 1
6 3Pr( | ) [0] ( | ) 3.1 10 2.9 10Tn n n n S Sπ π− −= ⋅ = × × + × ×b a π P b a 1
0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a 1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a
23
Patrones de Error
Es posible caracterizar la distorsión del canal mediante la distribución de probabilidad de los errores condicionados a la secuencia transmitida• Relación entre secuencias
Haciendo un simple cambio de variable obtenemos
• Conocida las secuencia transmitida y el patrón de errores puede generarse la secuencia recibida
Si [ ] 0 no hay error [ ] [ ] 0 [ ]Si [ ] 1 hay error [ ] [ ] 1 [ ]n n n
e m b m a m a me m b m a m a m
= → = ⊕ =⎧= ⊕ ⎨ = → = ⊕ =⎩
b a e
Pr( | ) [0] ( | )Tn n n n= ⋅ ⋅e a π P e a 1
0 0 1 0
0 1 1 1
Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )( [ ] | [ ]) ( [ ] | [ ])
Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )
M
M M M
e m S a m S e m S a m Sb i a i e m a m
e m S a m S e m S a m S
−
− − −
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
P P
Pr( [ ] | [ ])= Pr( [ ] [ ] | [ ])= Pr( [ ] | [ ])b m a m a m e m a m e m a m⊕
24
Patrones de ErrorSimplificaciones• Canales simétricos:
− la probabilidad de una secuencia de error no depende de la secuencia transmitida
− Por tanto
• Probabilidad de error media− Se obtiene considerando la distribución estacionaria de probabilidades:
1
0
Pr( ) [0] ( ) [0] ( [ ])n
T Tn n
m
e m−
=
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∏e π P e 1 π P 1
( [ ] | [ ]) ( [ ])e m a m e m=P P
Pr(Error) (1)T= ⋅ ⋅π P 1
Distribución estacionaria de probabilidades
con 1T T T⋅ = ⋅ =π T π π 1
, ,Pr( | ) Pr( )j i i ji j i j
S S S S⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = →⎣ ⎦ ⎣ ⎦T
000011010001n =en0123456789
[0]π
25
Patrones de ErrorEjemplo 410P −=
210p −=
1 0,99p− =41 1 10P −− = − 0S 1S
0 0
1 1
1-10-5
10-5=pe0=Pr(e=1|S0)
1-10-5
0 0
1 1
0,7
0,3=pe1=Pr(e=1|S1)
Pr(Error) (1)T= ⋅ ⋅π P 1
0
1
0.990.01
S
S
pP p
PP p
π
π
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ + ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+⎣ ⎦
π
0 1
30 1Pr(Error) (1) 3 10T
e S e Sp pπ π −= ⋅ ⋅ = + = ⋅π P 1
( )( )
6 90 0
31 1
1 9.999 10 10(1) (1)
1 3 10 0.297e e
e e
p P p P
p p p p
− −
−
× − ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
× × − ×⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦P F T
{ }( ) diag Pr( | )i i ie e S=F (1) (1)= −F I F0
1
1 0(0)
0 1e
e
pp
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
F
26
Medidas de calidad en Canales Discretos
Probabilidad de error• Probabilidad de tener 1 error:
Probabilidad de patrón de error “01”
Probabilidad condicionada
11
P Pp p−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T
Pr(Error) (1)T= ⋅ ⋅π P 1
Pr(01) (0) (1)T= ⋅ ⋅ ⋅π P P 1
(1) (0) (1)Pr(01|1)
(1)
T
T
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅
π P P P 1π P 1101
pP p
PP p
⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
π
410P −=
210p −=
1 0,99p− =41 1 10P −− = − 0S 1S
1-10-5
10-5=pe0=Pr(e=1|S0)
1-10-5
0,7
0,3=pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0
1 1 1 1
27
Medidas de calidad en Canales Discretos
Modelo de Gilbert
• Matrices de error
• Probabilidades de error
0=BuenoPr(e=1)=0
1=MaloPr(e=1)=1-h
P
1 P−
p
1 p−1
1P P
p p−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T
Pr(1) (1)T= ⋅ ⋅π P 1 (1) (1)Pr(1|1)
(1)
T
T
⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅
π P P 1π P 1
0 0(1) (1)
(1 ) (1 )(1 )h p h p⎡ ⎤
= ⋅ = ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦P F T
1(0) (0)
(1 )P P
hp h p−⎡ ⎤
= ⋅ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦P F T
pP p
PP p
⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
πh
1-h=pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0
1 1 1 1
28
¿Cómo asociar un modelo a un canal real?
Se introduce en un canal una secuencia de bits nula (todos 0s)
• Si a la salida aparece un 1 es porque se ha producido un error• La clave está en determinar las probabilidades de aparción de ciertos patrones de
errorEjemplo: Modelo de Gilbert: • Tres parámetros: p, P y h
• Como el modelo tiene 3 parámetros, es posible determinarlos si conocemos las probabilidades de aparición de, al menos, 3 patrones de error distintos.− Gilbert propone utilizar los siguientes:
0=BuenoPr(e=1)=0
1=MaloPr(e=1)=1-h
P
1 P−
p
1 p−
Canal0000 0000 0 010 0 011
Pr(1), Pr(1|1), Pr(111), Pr(010)
29
Parámetros en el modelo de Gilbert
Parámetros del modelo de Gilbert: p, P y h
• Como, teóricamente, ...
• ... resulta que
( ) ( )( )2
2
(1- )1 ; 1 1- y (1 ) (1- )
P pa h b h p c hP p p pP
= − = − = −+ +
( )2
1 ; 1 ; 2 ( ) 1 1
ac b b app h Pac b a c p h a
−− = = − =
− + − − −
0 1 10 1 1Pr(1) e S e S e Sa p p pπ π π= = + =
11
P Pp p−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T
pP p
PP p
⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
π
Pr(1); Pr(1|1)
Pr(111) Pr(101)+Pr(111)
ab
c
==
=
0=BuenoPr(e=1)=0
1=MaloPr(e=1)=1-h
P
1 P−
p
1 p−
h
1-h=pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0
1 1 1 1
30
Probabilidades de aparición de patrones de error
Notación: transmisión de 26 bits
¿Cómo contar los patrones dentro de una secuencia de error?• Pr(11): Probabilidad de dos bits erróneos consecutivos (contando el último
par, hay 25 pares)
• Por ejemplo “Pr(1 | 1)”− Dado que hay un bit erróneo, probabilidad de que el siguiente también lo sea
5 2 2 6 3 2 4 200000110011111100011000011 0 1 0 1 0 1 0 1→
8Nº Casos 8 Pr(11) 2512Nº Casos Posibles 11 Pr(1) 26
= ≈ =
82500000110011111100011000011
00000110011111100011000011
31
Parámetros en el modelo de Gilbert
Notación
¿Cómo contar los patrones dentro de una secuencia de error?• Por ejemplo “111”
−
−
− Las variaciones son pequeñas (siempre dentro del mismo orden de magnitud)
2 300000110011111100011000011 26 133→ =
4 20000011001111110001100001124 12
→ =
5 2 2 6 3 2 4 200000110011111100011000011 0 1 0 1 0 1 0 1→
32
Modelo de Fading – Modelo Gilbert-Elliot
Bueno(Non-fade)
Malo(Fade)
0 0
1 1
1-10-5
1-10-5
10-5
0 0
1 1
1-10-2
1-10-2
10-2
Desvanecimiento
Tiempo t
Amplitud dela señal
Umbral
bT
33
Ejemplo
Considere un canal de comunicaciones móviles con desvanecimiento. • Frecuencia de portadora: fc• Velocidad del móvil: v • Modulación binaria: Rb
Dicho canal quiere modelarse empleando un modelo de canal discreto de dos estados:• Estado S0 “bueno”: ρ > ρUmbral
• Estado S1 “malo”: ρ < ρUmbral
ρUmbral es un dato conocido.S0
Pr(e)=0S1
Pr(e)=1-h
P1 P−
p
1 p−
Desvanecimiento
Tiempo t
Envolvente deseñal normalizada
ρUmbral
( )( )
RMS
r tt
Rρ =
cos cosDoppler cv vf f
cθ θ
λ⎫
= =⎬⎭
34
Ejemplo
Relación con el modelo de canal discreto• La probabilidad de estar en el
estado malo es igual a la probabilidad de que la envolvente caiga por debajo del umbral ρUmbral
Desvanecimiento
Tiempo t
ρUmbral
( )( )
RMS
r tt
Rρ =
2
11 Umbral
SP e
P pρπ −= = −
+S0
Pr(e)=0S1
Pr(e)=1-h
P1 P−
p
1 p−
1ª Ecuación, dos incógnitas
1SP
P pπ =
+0Sp
P pπ =
+
35
Ejemplo
La duración media de los desvanecimientos es
El número medio de símbolos (bits) transmitidos durante un desvanecimiento es:
Modelo de Gilbert• Supongamos que acabamos de entrar
en el estado “malo”. − El número medio de símbolos durante
una ráfaga en el estado “malo” (⇔desvanecimiento) es 1/p
Desvanecimiento
Tiempo t
ρUmbral
( )( )
RMS
r tt
Rρ =
S0Pr(e)=0
S1Pr(e)=1-h
P1 P−
p
1 p−
[ ]( ) [ ]
2
1Umbral
Pr ( ) e 1 seg.2
UmbralUmbral
Umbral Doppler
tN f
ρρ ρτ
ρ ρ π≤ −
= =
[ ]2
1Umbral
e 1 bits2
Umbral
b bDoppler
R Rf
ρ
τρ π
−=
1τ 0τ
( )1 [segundos/cruce]UmbralN ρ
1
1
b
pR τ
= 2ª Ecuación2
1 0
Si 10 , en media se necesitan 100 simbolos para que se produzca una transicion desde
a
p
S S
−=
36
Cálculo de la probabilidad de error media
Fórmula de Wang Moayeri• Constelación QPSK
{ }
( )
min2Pr error de bit
2
QPSK
dQ
Q
σ⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠
= Γ
Imag
Real
b bE j E+
P
p
1 p−1 P− 0S 1S
1-10-5
pe0=Pr(e=1|S0)
1-10-5
pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0
1 1 1 1
Pbit erroroBER
10-4
10-6
10-8
10-2
10-10 5 1510 [ ] dBΓ
THΓ<ΓΓ THΓ
1Pr( 1| )e S=
01 1Pr( 1| )
Pr( )TH
eTH
e S p γ γ−= = =
Γ < Γ
( ) 12 21
k
k k ke Q QγΓ
−Γ
⎛ ⎞⎛ ⎞Γ Γ +⎜ ⎟= Γ + Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟Γ + Γ⎝ ⎠⎝ ⎠
0 0Γ =
1 THΓ = Γ
37
Cálculo de la probabilidad de error media
Aproximación más simple.1. Calcular la relación señal a
ruido media de las relaciones por debajo del umbral
2. Con esa relación, obtener la probabilidad de error de bit
− Sólo válido para relaciones señal a ruido inferiores a 15 dB
0 10 20 30 40 50 60 700
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Valores de la (Eb/N0)
His
togr
ama
1( )x
p x e−Γ
Γ =Γ
{ } 0
0
1
|1
1
TH TH
THTH
TH
x
THTH x
x e dx eEe dx e
−Γ ΓΓ −Γ
Γ<ΓΓ−Γ −
Γ Γ
ΓΓΓ = Γ Γ < Γ = = Γ −⎛ ⎞−⎜ ⎟Γ ⎝ ⎠
∫
∫
ΓTHΓ
{ }0
1Pr 1TH
THx
TH e dx eΓ
− −ΓΓ Γ
⎛ ⎞Γ < Γ = = −⎜ ⎟
Γ ⎝ ⎠∫
unidadesnaturales
38
Cálculo de la probabilidad de error media
Constelación QPSK
Imag
Real
{ } ( )min2Pr error de bit 2QPSK
dQ Qσ
⎛ ⎞≈ = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠
b bE j E+
Pbit erroroBER
10-4
10-6
10-8
10-2
10-10 5 1510 [ ] dBΓ
THΓ<ΓΓ
P
p
1 p−1 P− 0S 1S
1-10-5
pe0=Pr(e=1|S0)
1-10-5
pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0
1 1 1 1
pe1=Pr(e=1|S1)
2
11 Umbral
SP e
P pρπ −= = −
+
1
1 b
pR τ
=
Aproximación válida para 0
15 dBbEN
⎛ ⎞Γ = <⎜ ⎟
⎝ ⎠
THΓ