Tema 5: MHS 1

Tema 5

Movemento harmónico simple (MHS) 5-1 Descrición e definición dalgunhas

magnitudes 5-2 Estudio dinámico do MHS

Ecuación do movemento 5-3 Estudio enerxético do MHS 5-4 Problemas e cuestións

5-5 Práctica de laboratorio: Determinación

da constante elástica dun resorte. Cuestións referentes á práctica 5-6 Estudio dinámico do péndulo simple. 5-7 Práctica de laboratorio: Determinación

da aceleración da gravidade. Cuestións referentes á práctica

5-1 Descrición e definición dalgunhas magnitudes Un MHS é un movemento de vaivén arredor dunha posición de equilibrio O producido por unha forza variable F que é proporcional á distancia x existente entre a posición que ocupa o corpo en cada instante e, á posición de equilibrio:

F = -kx onde o signo negativo indica que F ten sentido oposto a x. Un exemplo de MHS son as oscilacións producidas nun resorte suspendido do que colga un corpo. Na posición de equilibrio o peso do corpo equilibrase coa forza elástica exercida polo resorte estirado. Se dende esta posición de equilibrio estiramos o resorte e o soltamos, observamos que o corpo empeza a oscilar. Interpretemos, para simplificar, as oscilacións dun corpo unido a un resorte horizontal. Cando despois de estirar o resorte ata a posición x=+A o soltamos, este actúa sobre o corpo cunha forza dirixida cara á posición x=0 provocando un aumento da súa velocidade. Esta forza é maior cando o resorte está máis estirado, sendo en xeral proporcional á separación respecto a posición de equilibrio O e anúlase cando o corpo pasa por esta posición. Cando o corpo supera a posición O no seu movemento cara á esquerda, tende por inercia a seguir con velocidade constante cara ó punto x=-A, pero a forza elástica do resorte diminúe a velocidade ata paralo. Nese instante, punto x=-A, a forza cara ó punto O, que aumenta a medida que o corpo se separa del, é máxima. A forza provoca o movemento do corpo acelerándoo ata a posición O onde o bloque chega con velocidade máxima. A continuación o corpo tende a seguir con velocidade constante cara ó punto +A, pero vese freado pola forza elástica do resorte, que termina por parar o corpo. Repítense a continuación os mesmos pasos descritos. En todo momento a forza é proporcional á distancia x á posición O, polo tanto as oscilacións do resorte son un MHS.

Tema 5: MHS 2

Pasemos a definir algúns conceptos relacionados co MHS: Elongación x: distancia dende a posición de equilibrio O, ata o lugar onde está o corpo nun momento dado. Amplitude A: valor máximo da elongación, é dicir, máxima separación respecto á posición de equilibrio. Vibración ou oscilación completa: traxectoria percorrida polo móbil, dende que pasa por un punto, ata que pasa de novo por el, movéndose no mesmo sentido. Período T: tempo que tarda o móbil en realizar unha vibración completa. Frecuencia f ou ν: número de vibracións realizadas nun segundo. A relación entre o período e a frecuencia,

obtense da seguinte proporción: f vibracións 1 vibración=1 segundo T segundos

5-2 Estudio dinámico do MHS. Ecuación do movemento Sexa unha partícula de masa m limitada a moverse nunha soa dirección (eixe X). Supoñamos que a partícula ten unha posición de equilibrio estable; elixiremos esa posición coma orixe de coordenadas. Cando a partícula sofre un desprazamento dende a orixe (en calquera dos dous sentidos posibles), aparece unha forza F que tende a levala de novo cara á posición inicial. Supoñamos que dita forza é proporcional ó desprazamento:

F= -kx. A ecuación diferencial correspondente ao movemento obtense substituíndo o tipo de forza F=-kx, na expresión da 2ª lei de Newton:

2

2

xdF = ma = mdt

resultando: 2 2

2 2

x x kd dm = kx ou = xmdt dt

A solución desta ecuación diferencial pode expresarse coma:

0 x(t)= Asen (k/m) t +φ

comprobándose facilmente que esta función verifica a ecuación diferencial. A expresión anterior permite calcular a posición x do corpo en cada instante t. O argumento da función seno:

0 (t)= (k/m) t +φ φ

denomínase fase, sendo φ0 a fase inicial. A fase inicial determina a posición inicial:

0 0 0 x(t = 0)= Asen (k/m) t + = Asen (k/m) 0+ = Asenφ φ φ

e o estado de movemento no instante inicial. Estudiemos as fases iniciais máis frecuentes e a súa correspondencia coa situación inicial do movemento: φ0=0 rad. A posición inicial será: 0 x(t = 0)= Asen = Asen0 = 0φ e a partícula está inicialmente na orixe de coordenadas. Ao aumentar o tempo t, aumenta a fase,

0(t)= (k/m) t + = (k/m) tφ φ , que tomará valores dende 0 a π/2. Logo senφ(t) varía de 0 a

1f =T

Tema 5: MHS 3

+1, e x(t) dende 0 a +A, polo que a partícula móvese no sentido positivo do eixe X (cara á dereita). φ0=π/2 rad. A posición inicial será: 0x(t = 0)= Asen = Asen( /2)= +Aπφ e a partícula está inicialmente no extremo +A φ0=π rad. A posición inicial será: 0x(t = 0)= Asen = Asen = 0πφ e a partícula está inicialmente na orixe de coordenadas. Ao aumentar o tempo t, aumenta a fase,

0(t)= (k/m) t + = (k/m) t +φ πφ , que tomará valores dende π a 3π/2. Logo senφ(t) varía

de 0 a -1e, x(t) dende 0 a -A, polo que a partícula móvese no sentido negativo do eixe X (cara á esquerda). φ0=3π/2 rad. A posición inicial será: 0x(t = 0)= Asen = Asen(3 /2)= -Aπφ e a partícula está inicialmente no extremo -A Vamos calcular a relación entre o período T, a masa m do corpo e a constante elástica do resorte, k. Se para simplificar consideramos que φ0=0, no instante inicial, t=0, a posición inicial é x0=0 e, cando a fase = k/m tφ varía dende 0 ata 2π radiáns, o valor da elongación toma tódolos valores correspondentes a unha vibración completa, segundo se observa na seguinte táboa:

= k/m tφ 0 π/2 π 3π/2 2π

senφ 0 +1 0 -1 0

x=Asenφ 0 +A 0 -A 0 ,e como por definición o período T é o tempo que tarda o móbil en dar unha oscilación completa cando a fase φ varia en 2π radiáns, transcorre un período T e viceversa:

0 0(t = T)= k/mT + = + 2 , k/mT = 2 , φ π πφ φ

m T = 2k

π

Obsérvese que T non depende da amplitude das oscilacións: o movemento é isócrono. Esta característica fai ao MHS idóneo para medir o tempo, pois a perda de amplitude das oscilacións debidas ao rozamento non afectan ao período de oscilación. Defínese a pulsación ou frecuencia angular ω, como o cociente, ω=2π/T e mídese en radiáns/s. A partir da expresión do período do MHS: k/m = 2 /T =π ω e permite escribir a ecuación dun MHS na forma:

0( ) ( )x t Asen tω φ= + Outra solución da ecuación diferencial correspondente a un MHS, pero menos empregada, é a expresión: x=Acos(ωt+φ0), onde a amplitude A e a frecuencia angular ω=2π/T son

Tema 5: MHS 4

evidentemente as mesmas que se empregamos a función seno, pero a fase inicial φ0 é diferente, pois a posición inicial da partícula será: x0=Acosφ0. Expresións da velocidade, a aceleración e a forza nun MHS de ecuación x=Asen(ωt+φ0), en función do tempo:

cos 02 2

02 2

v =dx/ dt= A ( t + )a =dv/ dt= A sen( t + )= x

F = ma = m(- x)= -m x

ω ω φω φω ω

ω ω

Criterio de signos nun MHS horizontal: x, v, a e F son positivos se están dirixidos no sentido positivo do eixe X (cara a dereita) e negativos se teñen o sentido oposto ( sentido negativo das X ou cara a esquerda). Deduzcamos unha fórmula útil na resolución de exercicios numéricos:

F=-kx=-mω2x → 2k mω= 5-3 Estudio enerxético do MHS

Ao separar o corpo da posición de equilibrio unha distancia x, o traballo necesario para desprazar a partícula , en contra da forza recuperadora F, transfórmase en enerxía potencial:

dW= Fdx= kxdx , x 2p 0

1=W = kxdx = kxE 2∫

2p

1= kxE 2

e substituíndo a expresión da elongación en función do tempo queda: Ep=½kA2sen2(ωt+φ0). A expresión da enerxía cinética en función do tempo vale:

Ec=½mv2=½ mA2ω2cos2(ωt+φ0)=½kA2cos2(ωt+φ0) A enerxía total E é a suma das Ec e Ep:

E= Ec+Ep=½kA2cos2(ωt+φ0)+½kA2sen2(ωt+φ0)= ½ k A2 vemos que a enerxía total é proporcional o cadrado da amplitude, e que non depende do tempo,

sendo unha constante do movemento: Existe unha continua conversión de Ec en Ep e viceversa, de forma que a suma de ambas permanece constante. Na posición de equilibrio x=0, a Ep é nula e a Ec máxima. Nos extremos x=±A, Ep é máxima e Ec=0. A expresión da enerxía cinética en función da posición é:

EC= ET-EP= ½ k A2-½ k x2 5-4 Problemas e cuestións 1) Un corpo de masa m, realiza un MHS ao oscilar suxeito a un resorte horizontal. Cando a

elongación é igual a metade da amplitude, ¿que fracción da enerxía total está en forma de enerxía cinética?.

Solución: a) Nun MHS:

1 22

1 22

1 12 22 2

T C P

P

C T P

= + = kA = constante.E E E= kxE

= = kA kxE E E− −

21T 2= kE A

Tema 5: MHS 5

Para x=A/2 será:

1 1 12 2 2 22 2 22

2 2 1 3 3 1

4 2 4 4 2

3

4

=C

C

A A

ET

= kA - k k A k A kAE

E

− = =

=

2) Nun MHS, ¿a que valores da elongación lle corresponden valores iguais da EC e da EP? Solución: Valores de x que verifican: EP=EC:

( )1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2; ; ;

2Akx kA kx kx kA x A x= − = = = ±

3) As condicións iniciais dun oscilador harmónico son: tempo (t=0), elongación (x=0) e velocidade (v 0). ¿Que perfil representa correctamente a variación da Ec co tempo nun

período?. Solución: c A enerxía cinética: EC=½ mv2 =½kA2-½kx2, ten o máximo valor cando x=0 que neste caso coincide con t=0 e para un período completo a gráfica correcta é a c, xa que x=0 e EC máxima nos instantes t=T/2 e t=T. 4) Dúas partículas te en un MHS coa mesma frecuencia e amplitude e móvense na mesma traxectoria. Se se cruzan no centro da traxectoria, a diferencia de fase será: a) π/2 radiáns. b) π radiáns. c) 3π/2 radiáns. Solución: b Cando coinciden no centro de oscilación dous MHS coa mesma frecuencia, para ambos se cumpre que x=Asen(ωt+φ)=0 co que sen(ωt+φ)=0 e ωt+φ=nπ, polo que ambas partículas teñen movementos que, nese momento (e polo tanto en tódolos momentos, pois a frecuencia é a mesma para ambos) só se poden diferenciar nun múltiplo de π radiáns. Se a diferencia fora múltiplo de 2π radiáns estarían en fase, polo que a diferencia de fases ten que ser dun número impar de veces π radiáns. 5) A enerxía mecánica dun oscilador harmónico: a) Duplícase cando se duplica a amplitude da oscilación. b) Duplícase cando se duplica a frecuencia da oscilación. c) Cuadriplícase cando se duplica a amplitude da oscilación. Solución: c Como a enerxía mecánica dun oscilador harmónico é E= ½kA2, se duplicamos A, cuadriplícase E. 6) Si un oscilador harmónico se encontra nun instante dado nunha posición x que é igual a metade da súa amplitude (x = A/2), a relación entre a enerxía cinética e potencial é: a) Ec = Ep;

Tema 5: MHS 6

b) Ec = 2Ep; c) Ec = 3Ep. 7) Un corpo de masa 1 Kg realiza un MHS de ecuación:

tx = 5sen2π

onde t esta en segundos e x en metros. Calcular: Amplitude, pulsación, período, frecuencia e fase inicial. Solución: Por comparación directa coa ecuación xeral dun MHS:

x(t)=Asen(ωt+φ0) , igualando coeficientes: A= 5 m ; φo= 0 rad ; ω= π/2 rad·s-1. Como ω=2π/T, substituíndo o seu valor π/2=2π/T e despexando: T= 4 s. A frecuencia vale: f= 1/T= 1/4= 0,25 s-1. 8) Un resorte horizontal, estírase 5 cm con respecto a súa posición de equilibrio, ao exercer unha forza de 2 N. a) Calcular a constante elástica do resorte.

Se no extremo do resorte anterior, colocamos un corpo de 0,5 kg e a continuación estiramos o resorte 0,1 m, e o soltamos, o corpo empeza a oscilar con MHS Calcular:

b) Período e frecuencia de oscilación. c) Velocidade e aceleración máxima. d) As enerxías cinética e potencial cando a elongación é igual á metade da amplitude. Solución: a) A forza exercida sobre o resorte é proporcional á deformación producida, F=kx, sendo k a constante elástica do resorte. k= F/x= 2 N / 0,05 m= 40 N·m-1. b) Período de oscilación:

/

m 0,5 kgT = 2 = 2 = 0,7025 sk 40 N m

π π

Frecuencia: f= 1/T= 1 / 0,7025 s-1= 1,423 Hz. c) As expresións da velocidade e a aceleración en función do tempo, obtéñense por derivación da ecuación da elongación, x=Asen(ωt+φo): v= dx/dt= Aωcos(ωt+φo) ; a= dv/dt= -Aω2sen(ωt+φo). O valor máximo da velocidade corresponde aos instantes nos que cos(ωt+φo)=1: vmáx.=Aω. Como ω=2π/T=2π/0,7025=8,944 rad·s-1, substituíndo: vmáx.=0,1 m·8,944 rad·s-1= 0,8944 m·s-1. Analogamente a aceleración máxima vale: amáx.=Aω2=0,1·8,9442=8 ms-2. d) Para x=A/2=0,1/2=0,05 m, a enerxía potencial vale: Ep=½kx2=½·40·0,052=0,05 J. A enerxía total do MHS ou suma das enerxías cinética e potencial permanece constante e vale: E=Ec+Ep=½kA2=½·40·0,12=0,2 J. Podemos obter a enerxía cinética no punto considerado, despexando na expresión anterior : Ec=E-Ep=0,2-0,05=0,15 J. 9) Un corpo de 50 g está unido a un resorte de constante elástica, k=10-3 N·m-1. Se na

posición de equilibrio a velocidade do corpo é 0,1 m/s, calcular: a) A amplitude do movemento. b) O traballo realizado pola forza elástica do resorte entre as posicións x=0 e x=A/3. Solución: a) A expresión da velocidade en función do tempo, obtense por derivación da ecuación da elongación, x=Asen(ωt+φo) : v= dx/dt= Aωcos(ωt+φo), e o valor máximo da velocidade corresponde aos instantes nos que cos(ωt+φo)=1 : vmáx.=Aω. Período de oscilación:

Tema 5: MHS 7

/

13

m 0,05 kgT = 2 = 2 = 44,43 sk N m10π π

Como ω=2π/T=2π/44,43=0,1414 rad·s-1, a amplitude vale: A=vmáx./ω=0,1/0,1414=0,7072 m. b) A forza elástica do resorte é proporcional á deformación producida, F=-kx, sendo k a constante elástica do resorte, e indicando o signo negativo que a forza ten sentido oposto á elongación. O traballo realizado entre x=0 e x=A/3=0,7072/3=0,2357 m, obtense por integración:

0,2357 3 2

0

10 ·0,2357 ·2

0,2357 25

0

kxW = Fdx = kxdx = = = 2,778 J 102

∫ ∫

10) Unha partícula describe un movemento oscilatorio harmónico simple, de xeito que a súa

aceleración máxima é de 18 m/s² e a súa velocidade máxima é de 3 m/s. Atopa: a) A frecuencia de oscilación da partícula. b) A amplitude do movemento. Solución: a) amáx.=Aω2 ; vmáx.=Aω. Dividindo as dúas igualdades:

2

1A 18= ; = 6 radsA 3ω ωω

Como ω=2πf será f=ω/2π=6/2π=0,9549 s-1. b) A=vmáx./ω=3/6=0,5 m. 11) A un corpo cunha masa de 50 g fáiselle describir un MHS, x=Acosωt, ó longo dun

segmento AB de 20 cm de lonxitude. Se cada 3 s realiza media vibración, calcular: a) A forza recuperadora no intre t= 1 s. b) A enerxía cinética que posúe a masa no intre t= 0,5 s. Solución: a) A amplitude dun MHS é igual á metade da lonxitude l do segmento no que se move a partícula: A = 20 cm / 2 = 10 cm =0,1m. O período obtense da proporción:

_3 s T s= T = 6 s0,5 vib. 1 vib.

Frecuencia angular: ω=2π/T=2π/6=π/3 rads-1. Expresión da elongación en función do tempo:

cosx = 0,1 t m3π

Para t=1 s : x=0,1cos(π/3)=5·10-2 m. Da expresión:

mT = 2k

π

obtemos: k=mω2=5·10-2·(π/3)2= 5,483·10-2 Nm-1. Substituíndo na expresión da forza: F=-kx=-5,483·10-2·5·10-2=-2,742·10-3 N.

b) dx mv = = 0,1 sen t dt 3 3 s

π π

Para t=0,5 s:

· 2 mv = 0,1 sen 0,5 = 5,236 103 3 sπ π

Substituíndo na expresión da enerxía cinética: EC=½mv2=½·5·10-2·(-5,236·10-2)2= 6,854·10-5 J. 12) Un sistema cun resorte estirado 3 cm sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co

Tema 5: MHS 8

resultado dunha oscilación cada 0'2 s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó cabo de 19 s b) A aceleración do extremo libre ó cabo de 19 s (Deprezar o amortecemento) Solución: a) O resorte deixado libre describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: x =Asen(ωt+φ0) No instante inicial, a elongación é máxima e sen(ωt+φ0)=1, e como t=0 será sen φ0=1 e φ0=(π/2)rad, quedando a ecuación : x =Asen(ωt+π/2) Derivando respecto ao tempo obtemos a velocidade: v=Aωcos(ωt+π/2) A=3 cm ; ω=2π/T=2π/0'2 =10·π rad·s-1 substituíndo os datos anteriores e o tempo transcorrido: v = 3· 31'416·cos(10·π ·19+π/2) = 0 cms-1= 0 ms-1 b) Derivando a velocidade respecto ao tempo obtemos a aceleración: a= - Aω2sen(ωt+π/2) a = - 3· 31'4162·sen(10·π ·19+π/2) = - 2,96·103 cm·s-2. A velocidade é mínima e a aceleración máxima (en valor absoluto), atopándonos na situación inicial, xa que transcorreu un número enteiro de períodos. 13) Un corpo sometido a un movemento harmónico simple realiza 10 oscilacións por segundo.

Calcula: a) A aceleración no centro de oscilación. b) A aceleración nun dos seus extremos, sabendo que a amplitude do movemento é de 9

cm. Solución: a) A ecuación do movemento harmónico simple é: x = A sen (ωt + φ0) onde A é a amplitude do movemento, φ0 un desfase constante ó longo do tempo, e ω a pulsación. Sabemos que a velocidade, no movemento harmónico simple, é a derivada da elongación con respecto ó tempo: v = A w cos (ωt +φ0) E que a aceleración é a derivada da velocidade con respecto ó tempo: a = - A ω2sen (ωt+φ0) No centro de oscilación, a elongación é cero, logo : 0 = Asen (ω t +φ0) É dicir: sen (ωt +φ0) = 0; Logo a aceleración será: a0 = 0 b) Nos extremos da oscilación, a elongación é máxima, x=A ou ben x=-A. É dicir: sen (ω t + φ0) = 1 ou ben sen (ωt) = -1 Logo o valor absoluto da aceleración será a = A ω2 A = 9 cm = 0'09 m ; ν = 10 osc·s-1 = 10 Hertzios ; ω = 2π/T = 2·π·ν = 62'83 rads-1 substituíndo, obtemos: a = 0'09 · 3947'61 = 3'5·102 ms-2 14) Unha masa de 2 kg suxeita a un resorte de constante recuperadora k= 5· 103 N/m sepárase

10 cm da posición de equilibrio e déixase en liberdade. Calcular: a) A ecuación do movemento. b) A enerxía potencial os 0'1 s de iniciado o movemento. Solución: a) A amplitude do movemento será A=10 cm=0,1 m. A ecuación do movemento harmónico simple é x = Asen (ωt + φ0)=0,1sen (ωt + φ0). No instante inicial: x=xo=0,1·sen(ω· 0,1 + φ0)=0,1·senφ0, e como a posición inicial xo vale 0,1 m será senφ

0=1 e φ 0 = π/2 rad por outra banda como nos dan a constante do resorte e esta é K = m·ω2 ó substituír obtemos ω = 50 rad·s-1 A ecuación queda x= 0'1·sen(50t+π/2) m b) Ep = (1/2) Kx2 Substituíndo t polo seu valor de 0'1 s na ecuación do movemento obtemos x = 0'028 m, e logo Ep = 2,01 J 15) No sistema da figura, un corpo de 2 kg móvese a 3 ms-1 sobre un plano horizontal.

Tema 5: MHS 9

a) Achar a velocidade do corpo ó comprimirse 1cm de resorte, de cte. k=1000Nm-1. Non se ten en conta a fricción.

b) Compresión máxima do resorte. Solución: a) No momento do contacto do corpo co resorte, toda a enerxía do conxunto atópase na forma de enerxía cinética. Ó irse comprimindo o resorte esta enerxía cinética vaise transformando en enerxía potencial de xeito que cando estea no máximo de compresión toda a enerxía estará en forma potencial. Emec = Ecmax = Epmax , Ecmax = ½mv2

max =½·2·32 = 9 J Nas posicións intermedias:Em = Ec + Ep = ½mv2 +½ kx2 Logo, cando se ten comprimido 1 cm teremos 9 = ½·2·v2 + ½·1000·0'012 , v = 2'992 m·s-1 b) No momento da máxima compresión, a EC=0, e 9 = ½·1000·A2 ; A = 0'134 m 16) Unha partícula oscila cun MHS que ten por elongación é x=5sen2t S.I. Calcular: a) período, b) frecuencia, c) amplitude, d) φ0, e) velocidade máxima. R.- T= π s, f= 1/π s-1, A= 5 m, φ0=0 , vmáx= 10 m/s. 17) A amplitude dun MHS é de 3 cm e a súa frecuencia de 5 oscilacións por segundo e a fase

inicial φ0=0. Escribir a fórmula da elongación, a velocidade e a aceleración. R.- x= 3sen10πt cm, v= 30πcos10πt cm/s, a= -300π2sen10πt cm/s2. 18) A aceleración dun MHS é a=-2x cm/s2. Se a amplitude é 1 cm, e φ0=0, determina-lo período

dese movemento e a ecuación da elongación en función do tempo. R.- T = 2 s, x = sen 2t cm.π 19) Unha masa de 2 g oscila cun período de π segundos e amplitude de 4 cm. No instante inicial

a fase é de 45°. Cando a súa elongación sexa de 1 cm, achar: a) A enerxía cinética da partícula. b) A súa enerxía potencial. R.- a) EC= 6·10-6 J. b) EP= 4·10-7 J. 20) Unha partícula suxeitase a un resorte horizontal. Cando t= 0 está na súa posición de

equilibrio e ten unha velocidade de 5 cm/s cara a parte negativa do eixe X. A súa frecuencia é de 3 Hz. Calcula:

a) Valor de t para o que se atopa en repouso. b) ¿Onde estará en dito instante?. c) ¿Cal será a aceleración en dito instante?. d) Ecuación da elongación co tempo. R.- a)t=1/12 s; b) x=-A=-2,653·10-3 m; c) a=0,9426 m/s2; d) x=2,653·10-3sen(6πt+π) m 21) Unha partícula de 5 g está sometida a unha forza do tipo F=-kx. No momento inicial pasa

por x=0 cunha velocidade de 1 ms-1. A frecuencia do movemento resultante é de 2/π Hz. Achar:

a) A aceleración no punto de máxima elongación. b) A enerxía cinética en función do tempo. R.- a) a=-4 ms-2 ; b) Ec=2,5cos24t J. 22) Un punto material de masa 25 g describe un MHS de 10 cm de amplitude e período igual a

1 s. No instante inicial, a elongación é máxima. Calcular: a) A velocidade máxima que pode alcanzar a citada masa. b) O valor da forza recuperadora ao cabo dun tempo igual a 0,125 s. R.- a) vmáx=0,6283 ms-1 ; b) F=-6,979·10-2 N. 23) Un resorte de masa desprezable atópase en equilibrio cando del pende un obxecto de 10 g.

Tema 5: MHS 10

Calcular: a) A forza con que debe tirarse do resorte para que ao soltalo realice 20 oscilacións en 5

segundos con amplitude de 2 cm. b) A enerxía total do sistema cando o obxecto está 0,5 cm por riba da súa posición de

equilibrio. (Desprécese a enerxía potencial gravitatoria) R.- a) F=0,1263 N ; b) E=1,263·10-3 J. 24) Unha partícula de 1 mg de masa executa un movemento oscilatorio harmónico que pode expresarse pola ecuación: x=asenωt, sendo o período de 0,01 s. Cando t=8,4·10-4 s, a velocidade vale v=31,4 cms-1. Calcular: a) A amplitude en metros de movemento. b) A enerxía total. R.- a) A=5,785·10-4 m ; b) ET=6,606·10-8 J. 25) Un corpo de 10 g de masa desprázase cun movemento harmónico simple de 80 Hz de

frecuencia e de 1 m de amplitude. Acha: a) A enerxía potencial cando a elongación é igual a 70 cm. b) O módulo da velocidade cando se atopa nesa posición R.- a) Ep = 6'2.102 J , b) v= 3'6.102 ms-1 26) Un resorte mide 22'86 cm cando se lle colga unha masa de 70 gramos e 19'92 cm cando se

lle colga unha masa de 40 g. Acha: a) A constante do resorte. b) A frecuencia das oscilacións se se lle colga unha masa de 80 g R.- a) K = 10 Nm-1 , b) ν = 1'78 Hz 27) Unha masa de 3·10-3 kg describe un M.H.S. de frecuencia 0,1 Hz e amplitude 0,05 m , sabendo que en t=0 x=0, determina: a) a velocidade e aceleración cando t= 3 s; b) as enerxías cinética e potencial nese instante. R.- a) v=-9,71:10-3 m/s ; a=-0,019 m/s2 ; b) EC=141,4·10-9 J ; EP=1339·10-9 J 28) Unha masa de 0,1 kg xunguida a un resorte de masa desprezable realiza oscilacións arredor da súa posición de equilibrio cunha frecuencia de 4 Hz sendo a enerxía total do sistema oscilante 1 Xulio. Calcula: a) a constante elástica do resorte e a amplitude das oscilacións (A); b) a enerxía cinética e potencial da masa oscilante nun punto situado a distancia A/4 da posición de equilibrio. R.- a) k=63 N/m ; A=0,18 m ; b) EC=0,938 J ; EP=0,062 J 29) Un resorte de masa desprezable estírase 10 cm cando se lle colga unha masa de 200 g. A continuación o sistema formado polo resorte e a masa estírase coa man outros 5 cm e se solta no instante t=0 s. Calcula: a) a ecuación do movemento que describe o sistema; b) a enerxía cinética e potencial cando a elongación y = 3 cm. (Dato g = 9,80 m/s2) R.- a) y(t)=0,05·sen(9,9t+π/2) m ; b) EC=1,57·10-2 J ; EP=8,82·10-3 J 30) Un resorte de masa desprezable estírase 0,1 m cando se lle aplica unha forza de 2,45 N. Fíxase no seu extremo libre unha masa de 0,085 kg e estírase 0,15 m ó longo dunha mesa horizontal a partir da súa posición de equilibrio e sóltase deixándoo oscilar libremente sen rozamento. Calcula: a) a constante elástica do resorte e o período de oscilación; b) a enerxía total asociada a oscilación e as enerxías potencial e cinética cando x = 0,075 m. R.- a) k=24,5 N/m ; T=0,37 s ; b) ET=0,28 J ; EC=0,021 J ; EK= 0,07 J

Tema 5: MHS 11

5-5 Práctica de laboratorio: determinación da constante elástica dun resorte

Determinación da constante elástica dun resorte elástico polo método estático: Lei de Hooke.

Introducción: Empregaremos a lei de Hooke F=kx, que expresa a proporcionalidade entre as forzas F aplicadas a un resorte elástico e as deformacións x producidas, para obter a constante elástica k do resorte. Material. Dúas bases para varelas e dúas varelas soporte, noz con gancho, resorte con índice, portapesas e pesas, regra milimetrada e cinta adhesiva transparente. Procedemento. Realizar a montaxe da figura colgando o resorte no gancho e o portapesas neste. Anotar a posición inicial l0 do índice do resorte cando está colgado unicamente o portapesas (sen pesas):

l0= ............... (m) Colocar no portapesas, sucesivamente, masas cada vez maiores, e anotar a posición l do índice do resorte en cada caso. Calcular e anotar o alargamento do resorte x=l-lo e a forza deformadora F=P=mg, producida polas pesas, sendo g=10 ms-2. Tratamento de datos. Obter a relación entre a forza e o alargamento k=F/x, en cada caso. Eliminar, se os hai, os valores que sexan moi diferentes dos demais. Calcular o valor medio km da constante elástica do resorte. Calcular o erro absoluto de cada medida ∆k=│k-km│, e o seu valor medio ∆km.

Nº m (kg) l (m) x=l-l0 (m) F=mg (N) k=F/x (N/m) ∆k=│k-km│ (N/m)

1

2

3

4

5

km= ∆km= Obter o erro relativo en tanto por cen:

·mr m

m

k( )= 100 = .............%kk∆

∆

Expresar o resultado da constante elástica na forma: k= km ± ∆km (N/m) , ∆r(km) (%)

k= .............. ± .............. (N/m) , ............... (%) Representar graficamente a forza (peso) F(N) en ordenadas fronte aos alargamentos x(m) do resorte, comprobando a relación lineal entre ambas magnitudes F=kx. Obter graficamente a constante elástica k que é a pendente da recta.

kgráfica=...................... N/m Determinación da constante elástica dun resorte elástico polo método dinámico. Introducción: Ao separala da súa posición de equilibrio unha masa colgada dun resorte,

Tema 5: MHS 12

realiza un MHS de período: T = 2 m/kπ

onde T é o período de oscilación, m a masa colgada e k a constante elástica do resorte. Da anterior ecuación despexamos a expresión da constante elástica do resorte:

2

2

4 mk =Tπ

Material. Base para varela, varela soporte, noz con gancho, resorte con índice, portapesas, pesas e cronómetro. Procedemento. Pesar o portapesas e anotar a súa masa:

mportapesas=.................. (kg).

Colocar no portapesas unha pesa e anotar a masa total (portapesas+pesas). Separar lixeiramente da posición de equilibrio e deixar que oscile verticalmente. Desprezar as dúas ou tres primeiras vibracións para que se homoxeneicen e medir o tempo t que tarda e completar 10 oscilacións. Realizar tres medidas de dito tempo. Obter o valor medio tm. Calcular o período de oscilación: T=tm/10. Repetir a experiencia colocando masas cada vez maiores e anotar os datos na táboa seguinte. Eliminar, se os hai, os valores que sexan moi diferentes dos demais. Calcular o valor medio km da constante elástica. Achar o erro absoluto de cada medida ∆k=│k-km│, e o seu valor medio ∆km.

Nº tm (s) mtotal (kg) mtT = (s)

10T2 (s2)

2

22

4 m Kgk = ( )sT

π ∆k=│k-km│2

Kg ( )s

1

2

3

4

5

km= ∆km= Obter o erro relativo en tanto por cen:

·mr m

m

k( )= 100 = .............%kk∆

∆

Expresar o resultado da constante elástica na forma: k= km ± ∆km (N/m) , ∆r(km) (%)

k= .............. ± .............. (N/m) , ............... (%) Representar graficamente o cadrado do período T2 (s2) en ordenadas, fronte á masa m(kg) e determinar graficamente a constante elástica k a partir da pendente da recta:

pendente= 4π2/k ; k=4π2/pendente kgráfica=...................... N/m

Determinar a través da gráfica o valor da masa correspondente a T=0 s: m=.................... kg Comparar o valor de k calculado polos métodos estático e dinámico. Cuestións referentes á práctica. 1) Explica o concepto de elasticidade e as limitacións que producen na lei de Hooke. Solución: Ao aplicar forzas aos corpos estes poden deformarse cambiando a súa forma e tamaño. Corpos elásticos son aqueles que recuperan a forma inicial cando cesa a forza deformadora; os demais chámanse inelásticos ou plásticos. Ao aplicar forzas cada vez maiores a un corpo elástico, obsérvase que ata un

Tema 5: MHS 13

determinado valor da forza exercida, esta é proporcional á deformación producida: F=kx (lei de Hooke). Esta lei de proporcionalidade entre forzas aplicadas e deformacións, cúmprese ata un determinado valor límite da forza aplicada, FL, característico de cada material. A partir deste valor, ao exercer forzas maiores o corpo non recupera a forma inicial ao cesar a acción deformadora e deixa de comportarse coma un corpo elástico presentando comportamento plástico. 2) Disponse de dous corpos e dun resorte elástico. Se se co ece a masa dun dos corpos ¿como

poderiamos saber a masa desco ecida do outro corpo? Nota: disponse do material de apoio necesario para realizar o experimento.

Solución: Colgando do resorte o corpo de masa m coñecida e medindo o alargamento, x=l-l0, que produce no resorte obtemos a constante elástica: F=kx , k=F/x. A continuación quitamos o corpo anterior e colgamos o corpo de nasa m' descoñecida. A partir do alargamento, x'=l'-l0, do resorte obtemos a masa: F'=kx' , m'g=kx' , m'=(kx')/g. 3) Dous corpos da mesma masa suspéndense respectivamente de dous resortes de constantes

elásticas k1 e k2. Sendo k2=4k1 , determinar a relación dos respectivos períodos de oscilación T1 e T2.

Solución: Desenrolamos as expresión do período de cada resorte:

1 21 21 2

m m m m= 2 = 2 , = 2 = 2T Tk kk k

π π π π

Dividindo entre si as dúas igualdades:

_1

2

m21 2 1 2k

m22 21 1k

k kT T= = =T Tk k

π

π

Substituíndo k2=4k1 queda:

_1 1 11 2

2 1 1

4 4k kT = = = 4 = 2 = 2T TT k k

4) Un resorte elástico do que pende unha masa m se o estiramos lixeiramente, comeza a oscilar

ao deixalo en liberdade. Se cambiamos a masa m por outra maior ou menor ¿verase afectado o período? ¿por que?

Solución: O período de oscilación T é directamente proporcional á raíz cadrada da masa

m mT = 2 = 2k k

π π

polo que ao aumentar ou diminuír, a masa, o período aumenta ou diminúe, respectivamente. 5) Téñense tres resortes distintos de constantes elásticas k1, k2 e k3. Mediante a experiencia do

estudio dinámico dun resorte comprobouse que k1<k2<k3. ¿Como estarán ordenados de menor a maior os períodos de oscilación T1, T2 e T3, dos tres resortes cando se cargan os tres coa mesma masa?. Razoar a resposta.

Solución: k1<k2<k3

1 2 31 2 3

m m m= 2 , = 2 , = 2T T Tk k k

π π π

Tema 5: MHS 14

1

2

m21 2 1 2k

1 2m22 21 1k

k kT T= = = > 1 >T TT Tk k

π

π⇒ ⇒

322 3

3 2

kT = > 1 >T TT k

→

Logo: T1>T2>T3 . O período T é inversamente proporcional á raíz cadrada da constante elástica k, polo que ao aumentar k diminúe T. 6) Na expresión que se emprega para calcular o período de oscilación dun resorte que oscila

verticalmente, non se usa a masa deste. Explica razoadamente que ocorrería se se incluíse. Solución: Vamos demostrar que un resorte vertical de masa M e constante k, do que se colga un corpo de masa m, ao poñelo a oscilar, realiza un MHS de período:

M3 +mT = 2

kπ

Definimos a densidade lineal de masa, λ, do resorte, como o cociente entre a súa masa M dividida entre a súa lonxitude L: λ=M/L. Sexa v a velocidade, nun determinada instante, da masa m colgada. Temos que calcular a enerxía cinética do resorte nese intre. Para elo descompoñemos o resorte en elementos diferenciais de lonxitude dl e masa dM. A velocidade de cada elemento de resorte aumenta linealmente dende 0 no extremo fixo, ata v no extremo do que colga o corpo, seguindo a ecuación: vresorte=vl/L. Calculamos a enerxía cinética por integración:

Esta expresión da enerxía cinética proba que a masa M do resorte provoca un efecto idéntico ao de aumentar a masa do corpo colgado na cantidade M/3. Ao realizar a práctica do estudio dinámico do resorte deberiamos empregar esta fórmula, que ten en conta a masa do resorte, para calcular o valor exacto da constante elástica:

M M2 22 3 3

exacta 2

+m +m= 4 = 4T Kk Tπ π→

Supoñendo M=0, a expresión do período toma a forma xa coñecida, correspondente a un resorte de masa desprezable:

mT = 2k

π

de onde obtemos a expresión aproximada da constante elástica:

_2 22aprox. 2

m m= 4 = 4T Kk Tπ π

Empregando a masa do resorte podemos calcular o valor exacto de k, cando non se emprega, obtemos un valor aproximado que é inferior ao correcto. 7) No estudio dinámico dun resorte, cando se tira do resorte para deformalo estase facendo

unha forza e, como consecuencia, aparece unha forza recuperadora que o fará oscilar ao deixalo en liberdade. Estudiar esa forza recuperadora.

Solución: Un corpo suspendido dun resorte elástico permañece na posición O, na que se equilibran o seu peso mg e a forza elástica kl, que exerce o resorte ao estirarse unha lonxitude l respecto á que tiña antes de colgar o corpo: mg=kl. Na figura compróbase que ao estirar o corpo e soltalo, o módulo da forza total F que actúa

2 2 2 2 32 2 2 21 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 3L

C resorte o

vl vl v v L L ME v dM dM dl l dl v vL L L L

λ λ λλ = = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫

Tema 5: MHS 15

sobre el é proporcional á separación x respecto a posición de equilibrio O: FT=kx, e que esta dirixida sempre cara a posición O (forza recuperadora).

8) Explica as transformacións enerxéticas que te en lugar durante a oscilación dun resorte que leve un corpo suspendido.

Solución: A suma das enerxías cinética e potencial elástica permanece constante:

ET=EC+EP=½mv2+½kx2=constante=½kA2 Na posición mais baixa, cando o resorte está máis estirado, x=-A, o corpo está en repouso: EC=0 e EP=½kA2. Ao ascender o corpo diminúe EP e aumenta EC, manténdose constante ao longo de todo o movemento a enerxía total E=EC+EP. Ao pasar pola posición de equilibrio O, EC é máxima e EP=0. Ao continuar subindo EC diminúe e EP aumenta, facéndose máxima no punto máis alto x=+A, EP=½kA2, punto no que EC=0. Ao descender aumenta EC e diminúe EP, ata chegar á posición O na que EC é máxima e EP=0. Ao continuar baixando EC diminúe e EP aumenta, facéndose máxima no punto máis baixo, x=-A, EP=½kA2, punto no que EC=0. E así sucesivamente, manténdose sempre constante a enerxía total:E=EC+EP=½kA2. 9) No estudio estático dun resorte represéntanse os puntos de lonxitudes (li) fronte ás forzas

aplicadas (fi), dando unha li a recta. No estudio dinámico do mesmo resorte, represéntanse as masas (mi) fronte aos cadrados dos períodos (Ti

2), obténdose tamén unha li a recta. ¿Te en ambas a mesma pendente?. Razoa a resposta.

Solución: A relación entre os alargamentos (li) e as forzas aplicadas (fi) é:

li=fi/k polo que ao representar os alargamentos (li) fronte ás forzas (fi) a pendente da recta obtida será igual a 1/k. A relación entre as masas (mi) e os cadrados dos períodos (Ti

2) é:

22 22

m m kT = 2 , = 4 , m =T Tk k 4π π

π

polo que ao representar as masas (mi) fronte aos cadrados dos períodos (Ti

2), obtemos unha liña recta de pendente k/4π2. As dúas rectas teñen pendentes distintas. 10) De dous resortes elásticos con idéntica constante cólgase a mesma masa. Un dos resortes

ten dobre lonxitude que o outro, entón, o corpo vibrará:a) Coa mesma frecuencia. b) O de dobre lonxitude con frecuencia dobre. c) O de dobre lonxitude coa metade da frecuencia.

R.- a)

Tema 5: MHS 16

11) O estudiar estaticamente un resorte obté ense as seguintes lecturas:

Peso suspendido (g) 0 2 6 10 15 20

Lonx. do resorte (mm) 70,0 72,0 76,1 79,9 84,9 99,2

Calcúlese a constante elástica do resorte. Indíquese se o comportamento do resorte é elástico en toda a rexión.

R.- k=10 Nm-1. Presenta comportamento elástico ata a pesa de 15 g. Coa pesa de 20 g deixa de cumprirse a relación lineal entre forzas e deformacións comportándose de forma inelástica ou plástica. 12) Se se require un resorte que se alargue moito ao colgar del un pequeno peso, ¿o elixirías

cunha constante elástica pequena ou grande? Razóese a resposta. R.- k pequena. 13) Dispoñemos dun resorte, un prato pequeno, unha caixa de pesas, papel milimetrado e lapis.

¿Como poderiamos obter gráfica e numericamente o valor da constante elástica do resorte? 14) Disponse dun resorte, un pratiño, pesas, un cronómetro e calculadora. Sabendo que o

período ven dado pola expresión: 2 m

kT π= ¿Como podería calcularse a constante do resorte?

¿Que representa m? 15) Se se quere medir a constante elástica dun resorte a partir de medidas experimentais do período, sábese que é mellor medir 5 series de 20 oscilacións ca contar 100 oscilacións completas. ¿Por que? 16) No estudio dinámico dun resorte, ¿como podería comprobarse experimentalmente que o período de oscilación, para unha mesma masa, é independente da amplitude de oscilación? 17) Cando un resorte se estira lixeiramente mediante unha pequena sobrecarga, ao soltalo comeza a oscilar arredor da posición de equilibrio inicial. ¿Que sucede co período de oscilación cando se vai cargando o resorte con masas cada vez maiores? Razoar a resposta. R.- O período aumenta. 18) a) Montaxe experimental e esquema correspondente á práctica do resorte elástico.

b) ¿Que lle ocorre á frecuencia de oscilación dun resorte se a constante se duplica? R.- b) Dados dous resortes de constantes k1 e k2 con k2=2k1, as frecuencias de oscilación ao colgar o mesmo corpo verifican: 2 12f f=

19) a) Montaxe experimental e esquema correspondente á práctica do resorte elástico.

b) ¿Como afecta á frecuencia de oscilación dun resorte o feito de que a masa suspendida se duplique?

R.- Se m2=2m1 entón 12 2

ff =

20) Un alumno realizou a práctica da constante elástica dun resorte mediante o seu estudio estático e dinámico. Observa que obtén diferentes valores da constante elástica do resorte, (k1 para o estudio estático e k2 para o estudio dinámico). ¿É normal que obte a dous valores diferentes ou debe repetir a práctica ata que obte a un único valor?. Razoa a resposta. 21) Ao traballar co resorte determínase a súa constante elástica polos métodos estático e

Tema 5: MHS 17

dinámico. ¿Obtívose o mesmo valor por ámbolos dous métodos? ¿É razoable o resultado? 22) Un resorte de aceiro ten unha lonxitude de 8 cm e ao colgarlle do extremo libre unha masa de 1 kg a súa lonxitude é de 14 cm. ¿Cal sería a frecuencia de oscilación de dita masa colgada do resorte cando se despraza verticalmente? R.- Tomando g=10 ms-2 : f=2,055 Hz. 23)Medíronse no laboratorio os seguintes valores de masas e períodos de oscilación dun resorte; obtén a partir deles o valor da constante elástica.

T(s) 3,52 3,91 4,12 4,24 4,35

m(kg) 0,62 0,75 0,85 0,9 0,95

24) Na medida da Ke polo método dinámico: a) ¿como inflúe na medida de Ke a masa do propio resorte?; b) ¿poderías avaliar a masa “efectiva” do resorte? 25) Na determinación da Ke polo método dinámico, valora a influencia que teñen as seguintes magnitudes: a) a masa total do resorte; b) a amplitude das oscilacións; c) o número de medidas feitas; d) a lonxitude do resorte. 26) Unha vez realizada a experiencia do resorte para determinar a constante elástica, ¿cómo pescudarías o valor dunha masa desconocida (método estático e dinámico)? 27) A constante elástica dun resorte medida polo método estático: a) depende do tipo de material?, b) ¿varía co período de oscilación?, c) ¿depende da masa e lonxitude do resorte?

Tema 5: MHS 18

5-6 Estudio dinámico do péndulo simple. Un péndulo simple é un punto material suspendido dun fío inextensible e sen masa, capaz de oscilar libremente nun plano vertical. Este concepto ideal non se pode reproducir con exactitude no laboratorio, pero aproxímase bastante a el, unha esfera dun material denso (chumbo, aceiro etc) suxeita dun fío fino. Consideremos un péndulo simple na posición vertical de equilibrio. Ao separalo lixeiramente da vertical e soltalo, observamos que oscila a un lado e outro da posición de equilibrio. O corpo suspendido interacciona coa Terra e co fío. O resultado desas interacións son o peso do corpo mg, e a tensión exercida polo fío T. Descompoñemos o peso mg en dúas compoñentes, unha na dirección do fío mgcosθ, e outra perpendicular á dirección do fío mgsenθ. A forza total na dirección normal á traxectoria do corpo T-mgcosθ, produce a aceleración normal cambiando a dirección da velocidade do corpo e obrigándoo a describir un arco de circunferencia. A forza na dirección tanxente á traxectoria mgsenθ, orixina a aceleración tanxencial cambiando o módulo da velocidade, que é máxima ao pasar pola posición de equilibrio e nula nos extremos da traxectoria; esta forza tende en todo instante a devolver o corpo a súa posición de equilibrio, sendo por tanto unha forza recuperadora. Para pequenas amplitudes angulares de oscilación (θ<5̊) a aproximación θ≈senθ, cando o ángulo está expresado en radiáns, é válida cun erro aproximado do 0,1%, polo que podemos escribir a forza tanxencial na forma:

Ft=mgθ e como o arco s é igual ao ángulo en radiáns θ multiplicado polo radio l, s=θl, será θ=s/l, e substituíndo:

tmg= s = ksF l

expresión que indica a proporcionalidade entre a forza recuperadora e a distancia s á posición de equilibrio, polo que para pequenas amplitudes de oscilación, o corpo realiza un MHS de período:

=mgl

m12 =mgl

m m ml lT = 2 = 2 2 = 2mg gkππ π π π

A expresión obtida da o período de oscilación dun péndulo simple:

lT = 2 g

π

e permite o cálculo experimental da aceleración da gravidade:

222

2

l l 4 lT = 2 , = 4 , g =Tg g Tππ π

Tema 5: MHS 19

5-7 Práctica de laboratorio: Determinación da aceleración da gravidade. Material. Base para varela, varela soporte, noz, mordaza, esfera metálica, fío fino, tesoiras, metro e cronómetro. Procedemento. Pesar a esfera empregada e anotar a súa masa:

mpéndulo=.................. (kg). Usar un fío de 1,5 m aproximadamente para construír o péndulo. Suspender o corpo dunha lonxitude de fío de 0,80 m medida dende o centro da esfera (centro de gravidade) ata o punto de suspensión, aprisionando o fío coa mordaza. Separar o péndulo lixeiramente da posición de equilibrio e deixar que oscile libremente. Comprobar que a traxectoria está nun plano vertical e non realiza un movemento elíptico Desprezar as dúas ou tres primeiras oscilacións para que se homoxeneicen e medir o tempo t que tarda e completar 10 oscilacións. Realizar tres medidas de dito tempo. Obter o valor medio tm. Calcular o período de oscilación: T=tm/10. Repetir a experiencia tomando lonxitudes entre 0,8 e 1,2 m, cada vez maiores, e colocar os datos na táboa seguinte. Eliminar, se os hai, os valores que sexan moi diferentes dos demais. Calcular o valor medio gm da aceleración da gravidade. Calcular o erro absoluto de cada medida ∆g=│g-gm│, e o seu valor medio ∆gm

Nº

l (m)

tm (s) mtT = (s)

10

T2 (s2)

2

22

4 l mg = ( )sT

π ∆gm=g-gm (ms-2)

1

2

3

4

5

gm= ∆gm= Obter o erro relativo en tanto por cen:

·mr m

m

g( )= 100 = .............%gg∆

∆

Expresar o resultado da aceleración da gravidade na forma: g= gm ± ∆gm (ms-2) , ∆r(gm) (%)

g= .............. ± .............. (ms-2) , ............... (%) Representar graficamente o cadrado do período T2 (s2) en ordenadas fronte á lonxitude l(m) e determinar graficamente aceleración da gravidade g a partir da pendente da recta.

pendente= 4π2/g ; g=4π2/pendente ggráfica=...................... ms-2.

Comparar os resultados obtidos polos demais grupos de alumnos, que empregan distintas masas, para demostrar que o período de oscilación T non depende da masa m:

Tema 5: MHS 20

l(m) T para m=...........kg T para m=...........kg T para m=...........kg

0,8

0,9

1

1,1

1,2 Cuestións referentes á práctica. 1) Temos un péndulo que realiza oscilacións de pequena amplitude arredor da súa posición de

equilibrio. De facerse varias experiencias con lonxitudes l1, l2, l3 ... crecentes, ¿quere esto dicir que se van acadar valores da aceleración da gravidade g1, g2, g3 ... tamén crecentes? ¿Por que? Solución:

O período de oscilación dun péndulo simple: l lT = 2 = 2g g

π π

é directamente proporcional ao cadrado da lonxitude e inversamente proporcional ao valor da gravidade no lugar da experiencia. Ao facer a práctica nun lugar concreto, o valor da gravidade é constante, polo que ao aumentar a lonxitude l1>l2>l3, aumenta o período de oscilación T1>T2>T3, pero a gravidade g non varía. 2) Se un reloxo de péndulo adianta, ¿Débese aumentar ou diminuír a lonxitude do péndulo

para corrixir a desviación? Razoa a resposta. Solución: Se o reloxo adianta, o período de oscilación

l lT = 2 = 2g g

π π

será demasiado pequeno polo que debe aumentar. Como o período de oscilación é directamente proporcional á raíz cadrada da lonxitude, debe aumentar a lonxitude. 3) Dunha experiencia do péndulo simple realizada no laboratorio obtivéronse as medidas de

lonxitude e período dadas na táboa seguinte. ¿Que conclusións se deducen desta experiencia? Razoar a resposta.

T(s) 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

l(m) 0,248 0,558 0,993 1,551 2,234 3,041 3,972 5,027 6,206 Solución: Podemos deducir experimentalmente a aceleración da gravidade:

222

2

l l 4 lT = 2 , = 4 , g =Tg g Tππ π

g(ms-2) 9,791 9,791 9,801 9,797 9,799 9,800 9,801 9,800 9,800

Valor medio da gravidade: g=9,798 ms-2.

Tema 5: MHS 21

Representando T2(s2) en ordenadas fronte á lonxitude l(m) obtemos unha liña recta que pasa pola orixe de pendente:

2 22 4 4= l , pendente =T g g

π π

o que permite calcular g graficamente. A gráfica expresa a relación de proporcionalidade directa do cadrado do período coa lonxitude do péndulo. 4) Ao determinar g cun péndulo simple observamos que podemos actuar sobre dous

parámetros: a lonxitude do fío e a masa que pende del. ¿Como lle afectan ao período de oscilación do péndulo estes dous parámetros?

Solución: O período de oscilación dun péndulo simple:

l lT = 2 = 2g g

π π

é directamente proporcional á raíz cadrada da lonxitude, inversamente proporcional á raíz cadrada da gravidade no lugar da experiencia, e independente da masa. Ao aumentar ou diminuír, a lonxitude do péndulo, o período aumenta ou diminúe, respectivamente. Ao variar a masa o período non varía. 5) Unha corda colga do alto dunha torre alta de xeito que o extremo superior é invisible e

inaccesible, pero o extremo inferior si se ve. ¿Como indagaría-la lonxitude da corda? a) É imposible. b) Medindo a amplitude da oscilación. c) Medindo o período da oscilación.

Solución: c Considerando un comportamento de péndulo simple, se medímo-lo período T = 2 l/gπ , coñecido g poderemos calcula-lo valor de l. 6) Nun péndulo simple, indica cal das seguintes gráficas se axusta correctamente á relación

enerxía/elongación:

Solución: c Un péndulo sinxelo pode asimilarse a un oscilador harmónico. Nun oscilador harmónico a enerxía total do mesmo permanece constante e independente da elongación, sendo o seu valor E=½kA2. A gráfica a) é incorrecta pois o valor da enerxía potencial, EK=½kx2, é máximo cando x=A, e cando x=0 a enerxía potencial é nula. A gráfica b) tamén é incorrecta pois a enerxía cinética é máxima para x=0 ó pasar polo punto central do movemento. 7) Determinar o período de oscilación na Lúa dun péndulo que na Terra realiza 15 oscilacións

en 30 s, sabendo que a aceleración da gravidade na Lúa é a sexta parte cá aceleración da gravidade na Terra.

Solución: Período do péndulo na Terra: 30 s / 15 osc. = 2 s Sexan TT e TL os períodos de oscilación na Terra e na Lúa, respectivamente, e gT e gL as respectivas

Tema 5: MHS 22

aceleracións da gravidade.

T LT LT L

l l l l= 2 = 2 , = 2 = 2T Tg gg g

π π π π

Dividindo entre si as dúas igualdades:

T

L

l2gT L T Ll2L LT Tg

g gT T= = =g gT T

π

π→

Substituíndo gT=6gL. queda:

·T L LL T

L L L

g g 1T = = = = 6 = 6 2 = 4,899 s.T T6 6 6g gT

→

8) Dous péndulos de distinta lonxitude oscilan no mesmo lugar. Se a lonxitude do primeiro é

a dobre cá do segundo, l1=2l2, obter a relación entre os períodos de oscilación. Solución: Dividindo entre si as expresións do período de cada péndulo:

1

2

l2g1 1 1 1l22 22 2g

l lT T= = =T Tl l

π

π→

Substituíndo l1=2l2. queda:

1 2 21 2

2 2 2

2 2l lT = = = 2 = 2T TT l l

→

9) ¿Como determinarías a aceleración da gravidade na aula, se dispós dun cronómetro e dun péndulo de lonxitude co ecida?

10) Un alumno que realizou a práctica do péndulo simple escribe o seguinte parágrafo no seu

caderno de laboratorio: "O obxectivo fundamental da práctica do péndulo simple é observar como varía o valor da gravidade no laboratorio, para iso constrúense diversos péndulos todos eles da mesma masa e de diversas lonxitudes". ¿Son correctas as dúas afirmacións? Razoa a resposta.

11) Un alumno desexa realizar a práctica do péndulo simple. Un compa eiro deulle dous

consellos para ter en conta: a) O péndulo débese deixar oscilar cunha amplitude maior de 30º para asegurarse que o

movemento é aproximadamente harmónico simple. b) Hai que asegurarse que o péndulo estea oscilando nun plano e que non o faga

elipticamente. ¿Son correctos os consellos? Razoa a resposta. 12) Mediante un péndulo simple obtivéronse estes datos de lonxitudes e períodos:

L(m) 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20

T(s) 1,43 1,55 1,71 1,76 1,92 2,02 2,13 2,19 ¿Que conclusións xerais poden deducirse?

13) Razoar se son verdadeiras ou falsas as seguintes afirmacións para un péndulo simple: a) Cando aumenta a amplitude a frecuencia non varía. b) O período do péndulo é independente da masa. c) O período dun péndulo de lonxitude dada varía segundo a súa posición xeográfica. d) A frecuencia é inversamente proporcional á lonxitude do péndulo.

5-23

14) ¿Que lle sucede ao período de oscilación dun péndulo cando se traslada a outro lugar onde

a gravidade é maior? 15) Queremos construír un péndulo que de cinco veces máis oscilacións cás que dá

actualmente. ¿Como o conseguiremos? 16) ¿Qué influencia teñen na medida experimental de g cun péndulo simple, as seguintes

variables?: a masa, o número de oscilacións, a amplitude das oscilacións. 17) Cando no laboratorio mides g cun péndulo simple: a) ¿cantas oscilacións convén medir?,

b) ¿qué precaucións se deben tomar coa amplitude das oscilacións?, c) ¿inflúe a masa do péndulo na medida de g?.

18) Na práctica de medida de g cun péndulo: ¿Como conseguirías (sen variar o valor de g)

que o péndulo duplique o número de oscilacións por segundo?. 19) Na determinación de g cun péndulo simple, describe brevemente o procedemento e o

material empregado. 20) Na práctica do péndulo: ¿depende o período do ángulo de oscilación? ¿canto varía o

período si se aumenta a lonxitude un 20%?