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Tema 5:Programas Universales

Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia ArtificialUniversidad de Sevilla

Lógica y ComputabilidadCurso 2006–07

LC, 2006–07 Programas universales 5.1

Procedimientos de definición

I Estudiaremos procedimientos para definir funciones, que nospermitan obtener nuevas funciones computables a partir deotras funciones computables ya conocidas.

I Es deseable que estos procedimientos de definición permitanobtener todas las funciones GOTO–computables a partir dealgunas funciones básicas cuya computabilidad seaindiscutible.

I Esto nos proporcionará, más adelante, una caracterización delas funciones GOTO-computables independiente de todomodelo de computación particular.

I Consideramos tres procedimientos básicos:I Composición.I Recursión primitiva.I µ–recursión (o minimización).


Composición

Composición:Dadas g : Nn− −→ N, h1, .., hn : Nm− −→ N, decimos quef : Nm− −→ N es la composición de g y h1, . . . , hn, si

Para todo ~x ∈ Nm, f (~x) = g(h1(~x), . . . , hn(~x))

Usamos como notación f = C(g ; h1, . . . , hn).Lema. GCOMP es cerrado bajo composición:

I En efecto, sean g : Nn− −→ N, h1, ..., hn : Nm− −→ NG-computables.El siguiente programa calcula f = C(g ; h1, ..., hn):

Z1 ←− h1(X1, ...,Xm)...

Zn ←− hn(X1, ...,Xm)Y ←− g(Z1, ...,Zn)


Recursión primitiva (I)

Recursión Primitiva:

Dadas g : Nm− −→ N, h : Nm+2− −→ N, decimos quef : Nm+1− −→ N se define por recursión primitiva a partir de g yh (y escribimos f = R(g , h)), si

Para todo ~x ∈ Nm, y ∈ N{

f (~x , 0) = g(~x)f (~x , y + 1) = h(~x , y , f (~x , y))

I Esta definición se extiende al caso m = 0:{f (0) = kf (x + 1) = h(x , f (x))

donde k ∈ N. En este caso escribimos: f = R(k, h), ydiremos que f se obtiene por recursión primitiva a partir de laconstante k y de h.


Recursión primitiva (II)

Lema. GCOMP es cerrado bajo recursión primitiva:

I En efecto, sean g : Nm− −→ N, h : Nm+2− −→ NG-computables.El siguiente programa calcula f = R(g ; h):

Y ←− g(X1, ...,Xm)[A] IF Xm+1 = 0 GOTO E

Y ←− h(X1, ...,Xm,Z ,Y )Z ←− Z + 1Xm+1 ←− Xm+1 − 1GOTO A


µ–recursión (I)

µ-recursión.

Sea f : Nn+1− −→ N, (n ≥ 1). La función definida porµ–recursión a partir de f es la función fµ : Nn− −→ N dada por

fµ(~x) =

{min{y : f (~x , y) = 0 ∧ ∀z < y (f (~x , z) ↓)} si existe↑ e.o.c .

I Nota. Usualmente escribiremos: µy(f (~x , y) = 0).

Lema. GCOMP es cerrada bajo µ–recursión.

I En efecto, sea f : Nn+1− −→ N, (n ≥ 1), GOTO–computable.El siguiente programa calcula fµ:

[A] Z ←− f (X1, ...,Xn,Y )IF Z = 0 GOTO EY ←− Y + 1GOTO A


µ–recursión (II)

I Si θ es un predicado n + 1-ario, definimos:

θµ(~x) ≡ µy(θ(~x , y)) ={

min{y : θ(~x , y)} si existe el minimo↑ e.c .o.c .

Lema. θ ∈ GCOMP =⇒ µy(θ(~x , y)) ∈ GCOMPObservaciones:

I La µ–recursión permite obtener funciones que no son totalesaunque las de partida śı lo sean.

I Ejemplo. Sea f : N2 → N la función GOTO-computable

f (x , y) =

{1 si x = 00 e.o.c.

Entonces, fµ(x) = (µy)(f (x , y) = 0) =

{0 si x 6= 0↑ si x = 0


Funciones básicas

Llamaremos funciones básicas a las siguientes funciones:

I Siguiente: S : N −→ N; S(x) = x + 1I Idénticamente nula: O : N −→ N; O(x) = 0I Proyecciones: Para cada i , n ∈ N (1 ≤ i ≤ n),∏n

i : N −→ N;∏n

i (x1, . . . , xn) = xi

Lema. Las funciones básicas son G-computables:

I Siguiente, S :{

X ←− X + 1Y ←− X

I Nula, O : Programa vaćıo, p∅I Proyecciones,

∏(n)j : Y ←− Xj


Ejemplos (I)

Las siguientes funciones son GOTO–computables:

I La función identidad IN : N −→ NI Las funciones constantes: Cna : Nn −→ N, Cna (~x) = aI La función predecesor: pr : N −→ N

pr(x) =

{0 si x = 0

x − 1 si x > 0

I La función diferencia reducida:•− : N2 −→ N

x•− y =

{0 si x ≤ y

x − y e.c .o.c .

I La función signo: sg : N −→ N

sg(x) =

{0 si x = 01 e.c .o.c .


Ejemplos (II)

Las siguientes funciones son GOTO–computables:

I La función signo inverso:−sg : N −→ N

−sg (x) = 1

•− sg(x)

I La función suma: + : N2 −→ N+(x , y) = x + y

I La función producto: · : N2 −→ N·(x , y) = x ·y

I La función ḿınimo: min : N2 −→ N

min(x , y) =

{x si x ≤ yy e.c .o.c .

I La función máximo: max : N2 −→ N

max(x , y) =

{x si x ≥ yy e.c .o.c .


Ejemplos (III)

I La función distancia: || : N2 −→ N

|x − y | ={

x − y si x ≥ yy − x e.c .o.c .

I La función exponencial: exp : N2 −→ N

exp(x , y) =

{1 si x = 0 ∧ y = 0xy e.c .o.c .

I La función factorial: fact : N −→ N

fact(x) =

1 si x = 0∏1≤j≤x

j e.c .o.c .


Predicados GOTO–computables

I Un predicado sobre N GOTO–computable si la función quelo define es GOTO–computable.

I Un conjunto A ⊆ Nn es GOTO–computable si su funcióncaracteŕıstica, CA, es GOTO–computable.

Ejemplos:

I Los conjuntos ∅ y Nn son GOTO–computables.I Los predicados: θ1(x , y) ≡ x = y ; θ2(x , y) ≡ x ≤ y ;

θ3(x , y) ≡ x < y son GOTO–computables.I Dada f : Nn −→ N; f ∈ GCOMP, los predicados (n + 1)-arios

siguientes son GOTO–computables:

θ(~x , y) ≡ f (~x) = y ; θ′(~x , y) ≡ f (~x) ≤ y ; θ′′(~x , y) ≡ f (~x) < y .


Operaciones con conjuntos y predicados

Proposición. Sean θ, θ′ predicados sobre N, n–arios yGOTO–computables entonces ¬θ, θ ∧ θ′, θ ∨ θ′, θ ⇒ θ′ y θ ⇔ θ′son predicados GOTO–computables.

I ¬θ(~x) = sg(θ(~x)).I (θ ∧ θ′)(~x) = θ(~x)·θ′(~x)I (θ ∨ θ′)(~x) = sg(θ(~x) + θ′(~x))I θ ⇒ θ′ ≡ ¬θ ∨ θ′.I θ ⇔ θ′ ≡ θ ⇒ θ′ ∧ θ′ ⇒ θ

Corolario. Si A,B ⊆ Nn son conjuntos GOTO–computables,entonces: Nn − A; A ∩ B; A ∪ B son GOTO–computables.

I CNn−A = ¬CA;I CA∩B = CA ∧ CB ;I CA∪B = CA ∨ CB


Definiciones por casos

Proposición. Sean k ≥ 2 y f1, . . . , fk : Nn −→ N funcionesGOTO–computables totales. Sea {A1, . . . ,Ak} una partición deNn en conjuntos GOTO–computables, es decir,

Nn =⋃k

i=1 Ai y ∀i , j = 1, . . . , k, i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅Entonces, la función g : Nn −→ N definida por

g(~x) =

f1(~x) si ~x ∈ A1

......

...fk(~x) si ~x ∈ Ak

es GOTO–computable (y total).

I Basta observar que g = f1·CA1 + . . .+ fk ·CAk está en GCOMP.I La proposición anterior puede expresarse con predicados

GOTO–computables θ1, . . . , θk , que sean exhaustivos yexcluyentes, es decir, tales que, para todo ~x ∈ Nn:

θ1(~x) + . . . + θk(~x) = 1LC, 2006–07 Programas universales 5.14

Suma y producto acotados

Sea f : Nn+1 −→ N total. Definimos:I Suma acotada:

∑f (~x , y) =

∑z≤y

f (~x , z)

I Producto acotado:∏

f (~x , y) =∏z≤y

f (~x , z)

Proposición. Si f ∈ GCOMP(n+1) entonces∑f ,

∏f ∈ GCOMP(n+1).

Observaciones:

1. En vez de la última variable, podŕıa utilizarse cualquier otracomo cota de la suma o del producto.

2. Para n = 0:∑

f (y) =∑

z≤y f (z) y∏

f (y) =∏

z≤y f (z).

Corolario. Si f : Nn+1 −→ N; g : Nn+k −→ N están en GCOMP,entonces F1,F2 ∈ GCOMP, siendo F1,F2 : Nn+k −→ N,

F1(~x , ~y) =∑

z≤g(~x ,~y)

f (~x , z); F2(~x , ~y) =∏

z≤g(~x ,~y)

f (~x , z)


Cuantificación acotada

Proposición. Sea θ ∈ GCOMP un predicado n+1-ario. Lossiguientes predicados son GOTO–computables:

θ1(~x , y) ≡ ∀z ≤ y θ(~x , z); θ2(~x , y) ≡ ∃z ≤ y θ(~x , z)

I En efecto:

θ1(~x , y) =∏z≤y

θ(~x , z); θ2(~x , y) = sg(∑z≤y

θ(~x , z))

Ejemplos. Los siguientes predicados son GOTO–computables:I Predicado de divisibilidad, x |y :

θ(x , y) ≡ ∃z ≤ y(y = z · x)

I Predicado de primalidad:

primo(x) ≡ (x > 1) ∧ ∀t ≤ x((t|x)→ (t = 1 ∨ t = x))


Minimización acotada (I)

Definición. Sea θ(~x , y) un predicado (n + 1)–ario. Definimos lafunción θ∗µ : Nn+1 → N, aśı:

θ∗µ(~x , y) =

{min{z ≤ y : θ(~x , z)} si existe tal ḿınimoy + 1 e.c.o.c.

I Usualmente escribiremos: (µz)≤y (θ(~x , z))y diremos que θ∗µ se obtiene de θ por minimización acotada.

Definición. Sea f (~x , y) una función (n + 1)–aria. Definimos lafunción de aridad n + 1, f ∗µ , aśı:

f ∗µ (~x , y) = (µz)≤y (f (~x , z) = 0)

I Decimos que f ∗µ se obtiene de f por minimización acotada.

Proposición.I Si θ ∈ GCOMP(n+1) entonces θ∗µ ∈ GCOMP(n+1).I Si f ∈ GCOMP(n+1) entonces f ∗µ ∈ GCOMP(n+1).


Minimización acotada (II)

Ejemplos.I Las funciones cociente y resto:

qt(x , y) =

{(µt)≤x (x < (t + 1) · y) si y 6= 00 en otro caso

rm(x , y) =

{x•− (y · qt(x , y)) si y 6= 0

0 si y = 0

I La sucesión de números primos.Sea p : N→ N la función tal que p(0) = 0 y para todo n ≥ 1,p(n) = pn es el n–ésimo primo.

I Lema. ∀n (pn+1 ≤ 1 + pn!).Por tanto, 1 + p(x)! es una cota para p(x + 1) y tenemos:{

p(0) = 0p(x + 1) = (µy)≤(1+p(x)!) (y > p(x) ∧ primo(y))

Luego p ∈ GCOMP.LC, 2006–07 Programas universales 5.18

Codificación de sucesiones finitas

Definición. Una codificación de Nn a partir de N, es una funcióntotal f : Nn −→ N que verifica:

1. f es PR e inyectiva.2. Para cada i , 1 ≤ i ≤ n, la función total, gi : N −→ N:

gi (x) =

{ai si x ∈ rang(f ) ∧ x = f (a1, ..., an)0 e.c .o.c .

es GCOMP.

Sea, ahora, N′ = {ε} ∪ N∗ = {ε} ∪ N ∪ N2 ∪ ... ∪ Nk ...,donde ε es la sucesión vaćıa (de longitud 0).Definición. Una función f : N′ −→ N, codifica N′ a partir de N,si:

I f es total.

I ∀n ≥ 1, f � Nn es una codificación de Nn, a partir de N.


La función par

La función par es la función total 〈· , ·〉 : N2 −→ N definida por

〈x , y〉 = 2x · (2y + 1)•− 1

I La función par es GCOMP y biyectiva.I Para todo x y para todo y se verifica:

x ≤ 〈x , y〉, y ≤ 〈x , y〉I Existen l , r : N −→ N tales que si z = 〈x , y〉 ,

l(z) = x ; r(z) = y z = 〈l(z), r(z)〉

l y r son funciones decodificadoras de 〈 ·, ·〉.I Las funciones l , r son GCOMP(1)

Nota. Usando la función par podemos codificar N3 a partir de N:

(x , y , z) −→ 〈x , 〈y , z〉〉

Y, en general, Nk a partir de N.LC, 2006–07 Programas universales 5.20

Números de Gödel

Sea {pn : n ≥ 1} la sucesión de números primos y [ · · · ] : N′ −→ Nla función definida aśı:{

[ε] = 1[a1, ..., an] = p

a11 ...p

ann

Diremos que [a1, ..., an] es el número de Gödel de la sucesiónfinita a1, ..., an.

Propiedades:

I La función [ · · · ] codifica N′ a partir de N.I La función [ · · · ] no es inyectiva.I rang( [ · · · ])= N− {0}.I Cada número natural codifica infinitas sucesiones.

I Para todo i , 1 ≤ i ≤ n se verifica: ai ≤ [a1, ..., an].


Las funciones componente y longitud

Lema. Si x ∈ N−{0, 1} existen unos únicos a1, ..., an ∈ N, an 6= 0,tales que x = [a1, ..., an].

I Si i ∈ {1, ..., n} el número ai es la componente i–ésima de x .Escribiremos (x)i = ai .

I Si i /∈ {1, ..., n} entonces será: (x)i = 0.Definición. Denominaremos función componente a la función:( · )· : N2 −→ N , definida aśı:

(x)i =

(µt)≤x (¬(pt+1i |x)) si x 6= 0

0 si x = 0

Definición. Definimos la función longitud, Long : N −→ N, aśı:

Long(x) =

(µi)≤x ((x)i 6= 0 ∧ ∀j ≤ x (j > i → (x)j = 0)) si x 6= 0, 1

0 si x = 0, 1

I Las funciones componente y longitud son GCOMP.LC, 2006–07 Programas universales 5.22

Codificación

I Nuestro siguiente objetivo es probar la existencia deprogramas universales, es decir, programas GOTO capaces desimular al ejecución de cualquier otro programa GOTO.

I Para ello será necesario manejar programas de maneraefectiva, es decir, manejar los programas mediante programas.

I Esto requiere la codificación de programas mediantenúmeros.

I Codificaremos las instrucciones GOTO utilizando la funciónpar 〈〉.

I Codificaremos los programas GOTO mediante la función deGödel [ · ], usando la codificación de instrucciones previa.


Codificación de las Instrucciones (I)

Una instrucción consta básicamente de tres elementos:

I Etiqueta,

I Variable, y

I Formato (o tipo) de la instrucción.

Codificación de las etiquetas:Ordenamos las etiquetas: A1,B1,C1,D1,E1,A2, ...,E2,A3, ...E3, . . .Asignamos un número a cada etiqueta como sigue:

(k ≥ 1) :

#(Ak) = 5(k − 1) + 1#(Bk) = 5(k − 1) + 2#(Ck) = 5(k − 1) + 3#(Dk) = 5(k − 1) + 4#(Ek) = 5k


Codificación de las Instrucciones (II)

Codificación de las variables:Ordenamos las variables: Y ,X1,Z1,X2,Z2, · · · y asignamos unnúmero a cada variable según este orden:

#(Y ) = 1#(Xk) = 2k (k ≥ 1)#(Zk) = 2k + 1 (k ≥ 1)

Codificación del Formato:0 si el formato es V ←− V1 si el formato es V ←− V + 12 si el formato es V ←− V − 1#(L) + 2 si el formato es IF V 6= 0 GOTO L


Codificación de las Instrucciones (III)

Definición. Sea I una instrucción GOTO. Definimos su código#(I ) como:

#(I ) = 〈a, 〈b, c〉〉en donde:

a =

{0 si I no tiene etiqueta#(L) si I tiene etiqueta L

b = Código del formato de I0 si formato V ←− V1 si formato V ←− V + 12 si formato V ←− V − 1#(L) + 2 si formato IF V 6= 0 GOTO L

c = #(V )− 1 si V es la variable de I .I Todo n ∈ N codifica una única instrucción.


Codificación de los Programas

Sea P = (I1, I2, . . . , In). Definimos:

#(P) = [#(I1),#(I2), . . . ,#(In)]− 1

Si P∅ es el programa vaćıo, #(P∅) = [ε]− 1 = 0

Observaciones:

I Puesto que #(Y ←− Y ) = 〈0, 〈0, 0〉〉 = 0 y[a1, ..., an] = [a1, ..., an, 0, ..0], se tiene:

[#(I1), ...,#(In)] = [#(I1), ...,#(In),#(Y ←− Y ), ...,#(Y ←− Y )]

y, por tanto, la codificación no seŕıa inyectiva si los programasGOTO pudiesen terminar con la instrucción Y ←− Y . Poreso no se permite que dicha instrucción sea la última.

I Lema. Todo n ∈ N codifica un único programa GOTO.


Codificación de las d.i.

Para describir la computación de P sobre ~x codificaremosnuméricamente las descripciones instantáneas.

Codificación de descripciones instantáneas.

I Estados: Dado el estado σ = {V1 = r1,V2 = r2, ...,Vn = rn},con #(Vi ) = i , definimos el código de σ aśı:

#(σ) = [r1, ..., rn]

I Descripciones instantáneas: Sea (i , σ) una d.i. Definimossu código como:

#(i , σ) = 〈i ,#(σ)〉


Programas universales

Sean P ∈ GOTO y ~x ∈ Nn. ¿Es computable la función:

(~x ,#(P))→ [[P]](n)(~x)?

Un programa que calcule esta función se denomina programauniversal. Si fijamos la aridad y designamos por Un a dichoprograma, tendremos:

[[Un]](n+1)(~x ,#(P)) = [[P]](n)(~x)

Esencialmente, un programa universal es un intérprete de GOTO,que simula la ejecución del programa P sobre la tupla ~x que recibecomo entrada.

Notación: Un = [[Un]](n+1).Teorema. Para cada n ≥ 1, existe un programa Un tal que paratodo ~x ∈ Nn y todo programa GOTO, P, se tiene

[[Un]](n+1)(~x ,#(P)) = [[P]](n)(~x)


El programa universal Un

Z ←− Xn+1 + 1S ←−

∏ni=1(p2i )

Xi

K ←− 1

(1)[C ] IF K = Long(Z ) + 1 GOTO F

}(2)

U ←− r((Z )k)P ←− pr(U)+1IF l(U) = 0 GOTO NIF l(U) = 1 GOTO AIF P - S GOTO NIF l(U) = 2 GOTO MK ←− µi ≤ Long(Z )[l((Z )i ) + 2 = l(U)]GOTO C

(3)

[M] S ←− qt(S ,P)GOTO N

[A] S ←− S ·P[N] K ←− K + 1

GOTO C

(4)[F ] Y ←− (S)1


Descripción de Un

I BLOQUE 1: Iniciación del programa UnI En Z guardamos la información acerca del programa P.I En S el estado actualI En K la siguiente instrucción que debe ejecutarse.

(Si K = k y S = s, el par (k, s) almacena una d.i.)

I BLOQUE 2: Test de salida.Un para cuando lleguemos a una d.i. de P terminal. Como lalongitud de P es |P| = Long(Z ), la instrucción de salida será:

IF K = Long(Z ) + 1 GOTO F

I BLOQUE 3: Obtención del tipo de instrucción que debeejecutarse.

I BLOQUE 4: Obtención de la nueva d.i.


Ejecución en tiempo limitado (I)

Proposición. Para cada n ≥ 1 el predicado:

STEP(n)(x1, ..., xn, y , t) ≡“El programa y para sobre (x1, ..., xn) en, a lo sumo, t pasos”.

es GOTO–computable.

I Podemos probar este resultado sin más que modificar elprograma universal Un adecuadamente.


STEP (n) es GOTO–computable

Z ←− Xn+1 + 1S ←−

∏ni=1(p2i )

Xi

K ←− 1

(1)[C ] IF K = Long(Z) + 1 GOTO F

IF Xn+2 = 0 GOTO EXn+2 ←− Xn+2 − 1

(2)U ←− r((Z)k )P ←− pr(U)+1IF l(U) = 0 GOTO NIF l(U) = 1 GOTO AIF P - S GOTO NIF l(U) = 2 GOTO MK ←− µi ≤ Long(Z)[l((Z)i ) + 2 = l(U)]GOTO C

(3)

[M] S ←− qt(S , P)GOTO N

[A] S ←− S ·P[N] K ←− K + 1

GOTO C

(4)[F ] Y ←− Y + 1


La función di (n) es GOTO–computable

La función di (n) : Nn+2 → N, se define mediante:di (n)(~x , e, t) = la t + 1–ésima d. i. de la computación de e sobre ~x

Z ←− Xn+1 + 1S ←−

∏ni=1(p2i )

Xi

K ←− 1

(1)[C ] IF K = Long(Z) + 1 ∨ Xn+2 = 0 GOTO F

Xn+2 ←− Xn+2 − 1

}(2)

U ←− r((Z)k )P ←− pr(U)+1IF l(U) = 0 GOTO NIF l(U) = 1 GOTO AIF P - S GOTO NIF l(U) = 2 GOTO MK ←− µi ≤ Long(Z)[l((Z)i ) + 2 = l(U)]GOTO C

(3)

[M] S ←− qt(S , P)GOTO N

[A] S ←− S ·P[N] K ←− K + 1

GOTO C

(4)[F ] Y ←− 〈K , S〉


Forma normal

Teorema de la forma normal. Para cada n ≥ 1, existenI Un predicado (n + 2)-ario, GOTO–computable, Tn, yI Una función H ∈ GCOMP

tales que, para cada función, f , n-aria y G -computable existe une ∈ N verificando:

1. f (~x) ↓⇔ ∃zTn(~x , e, z)2. f (~x) = H((µz)Tn(~x , e, z))

Demostración: Dada f ∈ GCOMP(n), existe P ∈ GOTOP ,[[P]](n) = f . Sea e = #(P). Entonces

f (~x) ↓⇔ [[P]](n)(~x) ↓ ⇔ ∃t STEP(n)(~x , e, t)Definamos el predicado (n+2)-ario, Tn(~x , e, z) como:

STEP(n)(~x , e, r(z)) ∧ (r(di (n)(~x , e, r(z))))1 = l(z)donde z = 〈y , t〉 es la codificación del valor almacenado en Y(y = l(z)) y el número de pasos (t = r(z)) de la computación deP para la entrada ~x .


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