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Tema 6: ÁlgebraMatemáticas 1oESO

Departamento de MatemáticasI.E.S. Los Neveros

Guillermo Sánchez-Gadeo Medina

Curso 2019/20

Índice

1 IntroducciónHistoria

2 Lenguaje algebraicoTraducción al lenguaje algebraico

3 Expresiones algebraicasClasificaciónMonomiosSuma y resta de monomiosProducto y división de monomios

IntroducciónHistoria

LenguajealgebraicoTraducción al lenguajealgebraico

ExpresionesalgebraicasClasificación

Monomios

Suma y resta demonomios

Producto y división demonomios

HistoriaIntroducción

Como curiosidad (no hay que sabérselo) para introducirel tema repasaremos unos pocos apuntes históricos queya comentamos en clase.

El origen del álgebra se remonta a tiempos de lacivilización babilónica (sobre el 3000 a.C.) pero de formaretórica (sin usar el lenguaje que usamos hoy en día).

El padre del álgeba actual es Mohammed Ibn MusaAl-Khwarizmi (780-850).

Álgebra proviene de al-jabr que significa reduccion.

Departamento de Matemáticas I.E.S. Los Neveros Tema 6: Álgebra Curso 2019/20 3/26




Monomios



HistoriaIntroducción

Figura: Sello con el retrato deAl-Khwarizmi

Figura: Fragmento manuscritopor Al-Khwarizmi.





Monomios



Lenguaje algebraico

En matemáticas es muy habitual que se nos presentensituaciones en las que hay que trabajar considerandonúmeros cuyo valor es desconocido. Es aquí dónde elálgebra toma un papel fundamental.

Definición.- (Álgebra)

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia elcomportamiento de expresiones con números y letras.





Monomios



Traducción al lenguaje algebraicoLenguaje algebraico

Debemos tomarnos el aprendizaje del lenguajealgebraico como si de un idioma nuevo se tratase. Portanto, es fundamental saber traducir enunciados denuestro lenguaje ordinario a expresiones algebraicas.

Lenguaje ordinario Lenguaje numéricoCuatro más el doble de siete −→ 4 + 2 · 7

Lenguaje ordinario Lenguaje algebraicoCuatro más el doble de un número → 4 + 2x





Monomios




Ejemplos básicos:

Lenguaje ordinario Lenguaje algebraicoUn número x

Otro número distinto yDos números consecutivos x , (x + 1)La suma de dos números x + y

La diferencia de dos números x − yEl triple de un número 3x

La tercera parte de un número13

x

El cuadrado de un número x2





Monomios




Nota importante:

Como venimos diciendo, el lenguaje algebraico es comoun idioma, y por tanto, hay que tener en cuenta el ordende las palabras a la hora de traducir.

Del mismo modo que no es lo mismo decir me río en elbaño que me baño en el río, no es lo mismo decir elcuadrado de la suma de dos números que la suma de dosnúmeros al cuadrado. Veámoslo.





Monomios




Nota importante:

El cuadrado de la suma de dos números −→ (x + y)2.

La suma de dos números al cuadrado −→ x2 + y2.

y evidentemente, (x + y)2 6= x2 + y2.





Monomios



Expresiones algebraicas

Definición.- (Expresión algebraica)

Una expresión algebraica es una expresión matemáticaformada por números, letras y operaciones.

Son expresiones algebraicas las siguientes:

3x + 7

12

x2y − 4y

a · b2

α3 − β2 + γ





Monomios



Valor numéricoExpresiones algebraicas

Definición.- (Valor numérico)

El valor numérico de una expresión algebraica es elvalor que toma cuando se sustituyen las letras pornúmeros conocidos.

Ejemplo.-

Si tenemos la expresión algebraica 7x2y − 4(x − 1) yqueremos conocer su valor numérico cuando x = 2 ey = 3 tenemos que cambiar las letras por esos valores yaconocidos:

7x2y − 4(x − 1) x=2−−→y=3

7 · 22 · 3− 4(2− 1) = 80





Monomios



ClasificaciónExpresiones algebraicas

Podemos clasificar las expresiones algebraicas según elnúmero de términos que tengan.

Recordamos que los términos se separan por sumas orestas. Veamos algunos ejemplos:

3x︸︷︷︸1

+ 7︸︷︷︸2

(2 términos)

12

x2y︸︷︷︸1

− 4y︸︷︷︸2

(2 términos)

a · b2︸︷︷︸1

(1 término)

α3︸︷︷︸1

− β2︸︷︷︸2

+ γ︸︷︷︸3

(3 términos)





Monomios



ClasificaciónExpresiones algebraicas

Clasificación de expresiones algebraicas

Monomio: expresión algebraica formada por un únicotérmino. (No hay sumas ni restas)

Binomio: expresión algebraica formada por dostérminos. (Solo una suma o resta)

Polinomio: expresión algebraica formada por más dedos términos.





Monomios



MonomiosExpresiones algebraicas

De todos los tipos de expresiones algebraicas, losmonomios son los más sencillos.

Los monomios están formados por el producto de unnúmero, que llamaremos coeficiente y una o variasletras, esto es la parte literal.

2x2 −4xy 12

ab3





Monomios




De todos los tipos de expresiones algebraicas, losmonomios son los más sencillos.

Los monomios están formados por el producto de unnúmero, que llamaremos coeficiente y una o variasletras, esto es la parte literal.

2 x2 −4 xy 12

ab3

Coeficiente Parte literal





Monomios




Además de coeficiente y parte literal, otra característicade los monomios es su grado. Para conocerlo debemosdiferenciar dos casos:

1 Cuando el monomio tiene una sola letra el grado delmonomio es el exponente al que está elevado dichaletra.

2x 2 −→ El monomio tiene grado 2

−5x = −5x 1 −→ El monomio tiene grado 1





Monomios




Además de coeficiente y parte literal, otra característicade los monomios es su grado. Para conocerlo debemosdiferenciar dos casos:

2 Cuando el monomio tiene más de una letra el grado delmonomio es la suma de los exponentes de cada letra.

2x 2 y 2 −→ Grado 2 + 2 = 4

−αβγ = −α 1 β 1 γ 1 −→ Grado 1 + 1 + 1 = 3


Hasta aquí llegamos explicando en clase.

A partir de aquí se presentanconceptos nuevos del tema.




Monomios



Suma y resta de monomiosExpresiones algebraicas

En multitud de ocasiones se nos presentan expresionesalgebraicas complejas, formadas por varios monomiosque se pueden reducir o simplificar mediante operacionesde sumas y restas.

Propiedad

Dos monomios se pueden sumar o restar cuando sonsemejantes, es decir, cuando tienen la misma parteliteral.

Nota: cuando los monomios no son semejantes laoperación se deja indicada.





Monomios



Suma y resta de monomiosExpresiones algebraicas

Supongamos que tenemos la siguiente expresión:

4x2y︸︷︷︸+ 3 xy︸︷︷︸+ 3x2y︸︷︷︸− 2 xy︸︷︷︸Por tanto se puede reducir la expresión agrupando pormonomios semejantes, de modo que:

4x2y + 3xy + 3x2y − 2xy = 7x2y + xy

Esto es más sencillo de entender si nos lo llevamos a unlenguaje más cotidiano:

4 uvas +3 peras +3 uvas −2 peras = 7 uvas +1 pera





Monomios



Producto y división de monomiosExpresiones algebraicas

Además de sumas y restas también se pueden efectuarmultiplicaciones y divisiones de monomios, pero en estecaso sin importar que sean o no semejantes.

Propiedad

Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplicanpor un lado los coeficientes y por otro las partes literales.





Monomios




Ejemplos de producto:

2 x · 3 x = 2 · 3 · x · x = 6 x2

32

x · (−2 xy) =32· (−2) · x · xy = −3 x2y

4 ( 2 a − 2 b ) = 4 · 2 a − 4 · 2 b = 8 a − 8 b

Recuerda: al multiplicar dos potencias con la misma basese suman sus exponentes, es decir:

22 · 24 = 22+4 = 26 x·x3 = x1+3 = x4





Monomios




Ejemplos de división:

3 x : 6 x =3 · x

6 · x=

3

6· Z

x

Zx=

1

2(Un número)

−8 xy2 : 2 xy =−8 · xy2

2 · xy=−8

2·ZxyA2

ZZZZxy= −4 y

(Un monomio)

3 xy2 : 15 x2y =3 · xy2

15 · x2y=

3

15·ZxyA2

xA2SSy=

1 · y

5 · x

(Una fracción algebraica)





Monomios




Recuerda: al dividir dos potencias con la misma base secancelan sus exponentes, es decir:

22

23 =S2 ·S2

S2 ·S2 · 2=

12

x2

x=

Zx · xZx

= x

Propiedad

El producto de dos monomios es siempre otromonomio.

La división de dos monomios puede ser un número,otro monomio o una fracción algebraica.





Monomios



Ejercicios

Para practicar las operaciones con monomios debéisrealizar los siguientes ejercicios:

Página 121Ejercicio 25Ejercicio 26

Página 123Ejercicio 29Ejercicio 34

Como siempre os digo, para cualquier duda escribidmeun correo a la dirección [email protected].


Continuará...

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