tema 7 · 2012-02-21 · rotación que es función del tiempo. el tratamiento matemático del...

Figura 1.- (a) Traslación. El segmento AB se conserva paralelo a sí

mismo. (b) Rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del

dibujo por el punto O. AB no se conserva paralelo a sí mismo. Las

trayectorias son circunferencias.

Figura 2.- Movimiento de un sólido rígido bajo la acción de la

aceleración de la gravedad. El centro de masas describe una trayectoria

parabólica mientras el cuerpo rota alrededor de un eje perpendicular al

plano del dibujo, que pasa por el centro de masas.

TEMA 7

DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

1.- El sólido rígido. Movimientos que puede describir

Un sólido rígido es un caso especial e importante de los sistemas de partículas. Se define como un sistema

de partículas en el que la posición relativa de todas ellas permanece constante bajo la aplicación de una fuerza

o momento, lo que quiere decir que el sólido rígido conserva su forma durante el movimiento.

Un sólido rígido puede realizar dos

tipos de movimiento básicos: traslación y

rotación. El movimiento es de traslación

cuando todas sus partículas describen tra-

yectorias paralelas, de forma que el segmen-

to que une dos partículas cualesquiera se

conserva siempre paralelo a sí mismo (Figu-

ra 1a). El movimiento es de rotación alrede-

dor de un eje cuando todas las partículas del

sólido describen trayectorias circulares

cuyos centros son puntos del eje (Figura 1b).

El movimiento más general del sólido

rígido siempre puede considerarse como una

traslación más una rotación alrededor de un

eje que puede ser fijo o cambiante con el tiempo, por lo que se introduce el concepto de eje instantáneo de

rotación que es función del tiempo. El tratamiento matemático del movimiento del sólido rígido, en su caso más

general (eje de rotación variable) es muy complicado y en este tema sólo estudiaremos el caso de eje de rotación

fijo o, lo que es lo mismo, eje instantáneo de rotación independiente del tiempo.

El hecho de que cualquier movimiento

que describa el sólido rígido pueda reducirse

a una traslación más una rotación (Figura 2)

simplifica su estudio, pues siempre será

posible escoger un sistema de referencia tal

que se traslade con el sólido y, por tanto, el

sólido describirá respecto de él un movimien-

to de rotación exclusivamente. El sistema de

referencia al que nos estamos refiriendo es,

evidentemente, el sistema de referencia de

momento lineal nulo, es decir, el sistema-C.

2.- Integral de volumen. Centro de masas de un sistema continuo

Un sólido rígido típico, por ejemplo una piedra de tamaño normal, puede fácilmente tener del orden de

1025 partículas, considerando como partículas las moléculas que lo constituyen, con lo que el sumatorio de la

TEMA 7.- DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO \ 2

Figura 3

[7.1]C

rdmrdmr

M M

ϑ= =∫∫∫∫��

�

[7.2]C

rdrdr

M M

ϑρ ϑρ ϑ

= =∫∫∫∫��

�

[7.3]C

rdrdr ϑ

ϑϑ

ϑ ϑ= =

∫∫∫∫��

�

* * [7.2 ]C C C

xd yd zdx y z bis

d d d

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ

ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ= = =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

* * [7.3 ]C C C

xd yd zdx y z bisϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ= = =∫ ∫ ∫

ecuación [6.3] se extendería desde i = 1 hasta i = 1025, lo que hace inviable su cálculo. Por otra parte, sabemos

que, a nivel microscópico, la mayor parte de la piedra está vacía debido a que las distancias interatómicas son

mucho mayores que las propias dimensiones atómicas, por lo que asimilar el sumatorio a una integral de variable

de integración m (masa) no está justificado desde el punto de vista matemático al no ser una función continua.

En la física estas situaciones se plantean a menudo y se

solucionan llegando a un compromiso: "tomamos una masa elemen-

tal, dm, lo suficientemente pequeña como para considerarla puntual

(pero no tan pequeña como queramos, que dirían los matemáticos)

pero lo suficientemente grande como para que contenga muchos

átomos". Por ejemplo, un volumen cúbico del material que compone

el sólido de arista igual a una diezmilésima de milímetro (10!7 m)

puede contener 100 millones de átomos. En estas condiciones,

decimos que el sólido es continuo y, para él, es válido asimilar el

sumatorio a una integral, pero a una integral de volumen o integral

triple. Así pues, el centro de masas de un sólido continuo (Figura 3)

se calcula

donde la integral triple indica que la variable de integración varía entre los límites físicos del sólido, es decir,

tres dimensiones.

Teniendo en cuenta que la masa y el volumen están relacionados por la densidad de la sustancia de la que

está hecho el sólido, dm = ρdh, por lo que la ecuación anterior puede escribirse

No suele ser fácil resolver la integral de la ecuación [7.2] salvo en casos muy particulares. La dificultad

suele provenir de la densidad, que puede ser función de la posición. Si el sólido es homogéneo (ρ = constante),

entonces la ecuación [7.2] se transforma en:

En coordenadas cartesianas, las ecuaciones [7.2] y [7.3] se escriben:

En el caso de sólido homogéneo, la posición del centro de masas depende exclusivamente de la geometría

del cuerpo, por lo que podemos afirmar que si un sólido homogéneo tiene centro de simetría, el centro de masas


Figura A

Cx xd x dx dy dzϑ= =∫∫∫ ∫∫∫

22 21 1

2 20 0 0 0 0 0 2

a c b a c a

C

b cax xd dy dz x dx dy b dz b cdyϑ= = = = =∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

2

2C

b ca

xd bx

abc

ϑ

ϑ

= = =

∫∫∫

Figura B

21 2120 0 2

2

b b

C

xd x acdx ac x acb bx

abc abc abc

ϑϑ

ϑ

= = = = =∫ ∫

estará localizado en él; si el sólido tiene eje de simetría, el centro de masas estará localizado en un punto del eje.

En la práctica, la existencia de simetrías y la adecuada elección del sistema de referencia permite simplificar

el cálculo de la posición del centro de masas.

EJEMPLOS

1.- Calcular el centro de masas del bloque paralelepipédico homogéneo de dimensiones a, b y c de la

figura A.

Sabemos, por la simetría del cuerpo, que el centro de masas está

localizado en el punto de coordenadas (b/2, a/2, c/2). No obstante,

vamos a aprovechar este sencillo ejemplo para aplicar la integral de

volumen y para ver cómo podemos evitarla.

a) Uso de la fórmula general. Tomamos un elemento de volumen

de paralelepípedo elemental de dimensiones dx, dy, dz.

x varía entre 0 y b; y varía entre 0 y a; z varía entre 0 y c, con lo que 0 0 0

b a c

Cx xd x dx dy dzϑ= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Puesto que las variables están separadas, podemos descomponer la integral en:

Así pues, la coordenada x del centro de masas será

Pruebe el alumno a calcular yC y zC.

b) Uso de las simetrías para calcular el centro de masas

mediante una integral definida simple.

Se trata de elegir un dh de forma tal que, según el eje

de la coordenada que corresponda, se pueda barrer con él el

sólido entero. En nuestro caso elegiríamos el paralelepípedo

de la figura B. En este caso, tendremos dh = acdx

Pruebe el alumno ahora a elegir convenientemente los volúmenes elementales que permiten calcular yC

y zC.


Figura C

C

ydy

L=∫ �

[ ]2 2 2

0 0sen cos 2 2

LC

R dyd R R Ry

L R R R

ππθ θ θ

π π π π

−= = = = =

∫∫ �

20,

C

Rr

π

=

�

Figura EFigura D

[ ]( )31

1 1 1 1 1 1

4* 0, 2 ,0

3

Rm r R

πρ ϑ ρ= = = − +

��

2.- Calcular el centro de masas de un alambre homogéneo de longitud L doblado en forma semicircular

de radio R.

Tomando como sistema de referencia el mostrado en la figura C,

apreciamos que el eje Y es de simetría, por lo que podemos garantizar que

xC = 0.

Puesto que el alambre se puede considerar lineal (predomina su

longitud y podemos despreciar su "ancho" y su "alto"), usaremos la

densidad lineal (µ=dm/dR, es la masa de la unidad de longitud) en lugar de

la cúbica. Tomando, pues, una longitud elemental,

En la integral del numerador podemos apreciar que, tanto y como RRRR son variables, por lo que hemos de

relacionarlas a fin de que el integrando sea función de una sola variable. Dada la geometría del cuerpo, es mucho

más cómodo trabajar en coordenadas polares: y = Rsen θ, dR = Rdθ y, al barrer el alambre con dR, θ varía entre

0 y π. Así pues,

y, por tanto, la posición del centro de masas será:

Destaquemos que el centro de masas de este sólido está fuera de él.

3.- Calcular el centro de masas de un sólido constituido por dos esferas homogéneas de radios R1 y R2

unidas mediante una barra delgada y homogénea de longitud R (Figura D).

Si un sólido se puede descomponer mentalmente en partes simples y simétricas, podemos calcular el

centro de masas de cada una de las partes y pensar que el sólido es un sistema discreto de partículas constituido

por tantas partículas como partes simples hayamos tomado y situadas cada una de ellas en su centro de masas.

En nuestro ejemplo, las dos esferas tienen sus centros de masas en sus respectivos centros y la barra en la mitad

de su longitud, por lo que nuestro sólido es equivalente al mostrado en la figura E, siendo


[ ]( )32

2 2 2 2 2 2

4* 0, 2 ,0

3

Rm r R

πρ ϑ ρ= = = +

��

( )3 3* 0,0,0m rµ= =�

�

( )3 31 2

1 1 2 21 1 2 2 3 3

3 31 21 2 3

1 2

4 402 23 3

4 43 3

C C CC

R RR R

m y m y m yy

R Rm m m

π πρ ρ

π πρ ρ µ

− + + + ++ +

= =+ +

+ +

� �

�

Figura F

( )2Disco : * 0,0d d d d

m S R rβ βπ= = =�

( ) ( )22

Agujero : * 0,2 24a a a a

RR Rm S rβπ

β βπ= = − = − = −�

( )21 314 82 2 231

4 4

0 26

d d a aC

d a

RR Rm y m y Ry

m m R R R

βπ βπ

βπ βπ βπ

− −+= = = =

+ −

( )0, 6CRr =

�

Figura 4

Evidentemente, xC1 = xC2 = xC3 = 0 Y xC = 0, zC1 = zC2 = zC3 = 0 Y zC = 0. Por tanto, sólo nos queda

determinar la coordenada yC del centro de masas.

4.- Calcular el centro de masas de una placa circular de radio R con un orificio circular de radio R/2 tangente

a la periferia (Figura F).

Puesto que el eje Y es de simetría, xC = 0 (en el sistema de referencia

indicado en la figura F).

Podemos considerar que nuestro cuerpo consta de dos partículas:

a) el disco completo, de masa evidentemente positiva, situado en (0,0).

b) El agujero que, al ser masa que hay que quitar al anterior, podemos

considerar de masa negativa (lo que equivale a decir densidad negativa. No

tiene sentido físico, pero es un artificio muy útil), situado en (0,!R/2). Como

son dos las dimensiones predominantes, usaremos la densidad superficial

(β = dm/dS, masa de la unidad de superficie). Así pues,

y, por tanto, la posición del centro de masas será:

3.- Momento angular de un sólido rígido. Momento de inercia

Consideremos un sólido rígido cualquiera que rota alrededor de un

eje fijo, que escogemos como eje Z de nuestro sistema de referencia, y

tomemos un punto cualquiera del eje como origen del sistema (dicho punto

puede ser un punto fijo en un sistema inercial o el centro de masas del

sólido), tal como se muestra en la figura 4.

Tomemos una partícula mi del sólido y supongamos que éste gira con

una velocidad angular . La partícula que hemos tomado describiráω�


sen 90ºi i i i i i i i i i

L m rv m rv m r Rω= = =

( )2cos sen sen [7.4]iz i i i i i i i i

L L L m r Rπ θ θ ω θ= − = =

2iz i i

L m Rω=

2

1 1

[7.5]n n

z iz i i

i i

L L m Rω= =

= =∑ ∑

2

1

[7.6]n

i i

i

I m R=

=∑

[7.8]L Iω=� �

alrededor de un punto del eje una trayectoria circular de radio Ri con una velocidad lineal cuyo módulo será ωRi.

El momento angular de dicha partícula respecto del punto O será y su módulo serái i i i

L m r v= ×� � �

El vector será perpendicular a y y no será, en general, paralelo al eje Z. La componente Z de

valdrá

Ya que ri senθi = Ri, la ecuación anterior se escribe

La componente Z del momento angular total se obtendrá sumando todas las componentes Z de todas la

partículas del sólido. Así pues,

La cantidad se denomina momento de inercia del sólido rígido respecto del eje Z y se define2

1

n

i i

i

m R=

∑

como la suma de los productos de las masas de las partículas del sólido por el cuadrado de las distancias al

eje en cuestión. Así pues,

con lo que la ecuación [7.5] se escribe

Lz = I ω [7.7]

El vector momento angular del sólido respecto del punto O, , no es, en general, paralelo al eje

de rotación (lo que equivale a decir que no es, en general, paralelo a ) por lo que la ecuación [7.7] sólo seω�

cumple para la componente del momento angular según el eje de rotación (en nuestro caso, eje Z). No obstante,

puede demostrarse que cualquier cuerpo posee al menos tres ejes, perpendiculares dos a dos, para los cuales el

vector momento angular es paralelo al vector velocidad angular. Para dichos ejes, y sólo para ellos, se cumple

que

ya que el vector no tiene más componentes que la correspondiente a dicho eje. Los ejes para los que se

verifica la ecuación [7.8] se denominan ejes principales de inercia. Salvo mención explícita en caso contrario,

en lo sucesivo siempre nos referiremos a ejes principales de inercia.

El momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje, que en el Sistema Internacional se mide en

kgAm2, es una característica del mismo, que sólo depende de la masa del sólido, de su geometría y del eje que

se considere. Es una magnitud fundamental en la dinámica de rotación ya que en ella juega el papel que juega

la masa en la traslación (de ahí que su nombre haga referencia a la inercia). La ecuación [7.8], o la [7.7] si el

eje no es principal, nos relaciona una característica del sólido (I) con una magnitud eminentemente dinámica

( ). Es, en la rotación, la fórmula "equivalente" a en la traslación.p mv=� �


2 2 [7.9]I r dm r dϑ

ρ ϑ= =∫∫∫ ∫

2 [7.10]I r dϑ

ρ ϑ= ∫

2 2 2

1 1 1

* * [7.11]n n n

ZOY i i ZOX i i XOY i i

i i i

I m x I m y I m z= = =

= = =∑ ∑ ∑

( )

( )

( )

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

[7.12 ]

[7.12 ]

[7.12 ]

n n

X i i i i i ZOX XOY

i i

n n

Y i i i i i ZOY XOY

i i

n n

Z i i i i i ZOY ZOX

i i

I m a m y z I I a

I m b m x z I I b

I m c m x y I I c

= =

= =

= =

= = + = +

= = + = +

= = + = +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

Figura 5 ( )2 2 2 20

1 1

[7.13]n n

O i i i i i i ZOY ZOX XOY

i i

I m r m x y z I I I= =

= = + + = + +∑ ∑

Si nuestro cuerpo es un sólido continuo (en el sentido mencionado en el segundo epígrafe de este tema),

la definición de momento de inercia dada por la ecuación [7.6] no es operativa y debe ser sustituida por

donde r es la distancia al eje considerado del elemento de masa (o de volumen) tomado. Si el sólido es

homogéneo, la ecuación [7.9] se transforma en

4.- Momentos de inercia respecto a un plano, un eje y un punto

Normalmente, el momento de inercia de un sólido se refiere a un eje, pero resulta conveniente, como

técnica de cálculo de momentos de inercia, definir el momento de inercia del sólido respecto de un plano o de

un punto, observando la norma de que un momento de inercia es la suma de productos de masas por cuadrados

de distancias. Así pues, definimos el momento de inercia con respecto a un plano como la suma de los productos

de las masas de las partículas del sólido por el cuadrado de la distancia de cada partícula al plano.

Análogamente, el momento de inercia respecto a una punto será la suma de los productos de las masas de las

partículas del sólido por el cuadrado de la distancia de cada partícula al punto considerado. Así, los momentos

de inercia de un sólido respecto a los planos coordenados será (Figura 5)

Los momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas serán:

Las ecuaciones [7.12] nos dicen que el momento de inercia de un

sólido respecto a un eje cualquiera es igual a la suma de los momentos

de inercia con respecto a dos planos ortogonales cuya intersección sea

dicho eje.

El momento de inercia del sólido respecto del origen de coorde-

nadas será:

es decir, el momento de inercia de un sólido respecto a un punto cualquiera es igual a la suma de los momentos

de inercia con respecto a tres planos, ortogonales dos a dos, cuya intersección sea dicho punto.


(((( ))))2 2 [7.14]X Y Z ZOY ZOX XOY O

I I I I I I I+ + = + + =+ + = + + =+ + = + + =+ + = + + =

Figura 6

(((( ))))2 2 2

1 1

[7.17]n n

C i iC i iC iC

i i

I m r m x y

= == == == =

= = += = += = += = +∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

(((( ))))2 2 2

1 1

n n

i i i i i

i i

I m r m x y

= == == == =

= = += = += = += = +∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

(((( )))) (((( ))))2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2n n n n n

i iC iC i iC iC i i iC C i iC

i i i i i

I m x y d m x y m d d m y I Md d m y

= = = = == = = = == = = = == = = = =

= + + = + + + = + += + + = + + + = + += + + = + + + = + += + + = + + + = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Sumando miembro a miembro las ecuaciones [7.12], obtenemos

es decir, el momento de inercia de un sólido respecto a un punto cualquiera es igual a la semisuma de los

momentos de inercia con respecto a tres ejes, ortogonales dos a dos, cuya intersección sea dicho punto.

5.- Radio de giro

El radio de giro de un sólido rígido respecto a un eje se define como la distancia al eje del punto en el

que se podría considerar toda la masa del sólido para que tuviera el mismo momento de inercia, es decir, si

K es el radio de giro

I = M K2 [7.15]

Físicamente equivale a considerar una partícula, de masa igual a la del sólido a una distancia K tal que

su momento de inercia respecto al eje es igual al del sólido.

6.- Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos)

Supongamos un sólido de masa M y dos ejes paralelos, uno de ellos arbitrario (Z) y el otro que pasa por

el centro de masas del sólido (ZC). Si I es el momento de inercia del sólido respecto al eje Z, IC respecto al eje

ZC y d la distancia entre ambos ejes, el teorema de Steiner nos dice que

I = IC + M d2 [7.16]

es decir, el momento de inercia de un sólido respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia

respecto de otro eje paralelo al anterior, que pasa por su centro de masas, más el producto de la masa del

sólido por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes.

En efecto, sea mi una partícula del sólido (figura 6); el

momento de inercia del sólido respecto del eje Zc será

El momento de inercia respecto al eje Z será

como xi = xiC ; yi = yiC + d, tendremos pues:

en esta última ecuación tenemos que, debido a que el origen del sistema-C es el centro1

0n

i iC C

i

m y M y

====

= == == == =∑∑∑∑de masas. Por tanto, definitivamente nos queda: que es lo que queríamos demostrar.2

CI I Md= +


Figura G 2 2 3 4120

2R

SI r dm r dS r dr Rβ β π βπ= = = =∫∫∫ ∫ ∫

4 22

1 1

2 2

MI R MR

Rπ

π= =

2 21 2

2 2

RI Mr MK K= = ⇒ =

2 2 2 21 1 1 12 2 2 42 2 2

X Y Z OI I I I I I MR MR I MR I MR+ + = ⇒ + + = ⇒ = ⇒ =

2 21

4 2

RI MR MK K= = ⇒ =

Figura H

/ 2 / 22 2 3 3

/ 2/ 2

1 1

3 12

L L

LLI r dm d Lµ µ µ

−− = = = = ∫∫∫ ∫ � � �

EJEMPLOS:

1.- Calcular el momento de inercia de un disco delgado y homogéneo (Figura G),

a) respecto a un eje perpendicular al disco por su centro de masas.

b) respecto a un eje que contiene a un diámetro.

a) Escogemos como diferencial de masa una corona circular de

radio r y anchura dr. Puesto que son dos las dimensiones predominan-

tes, usaremos la densidad superficial de masa (que simbolizaremos por

β). Como la superficie del disco es πr2, la superficie de la corona será:

dS = 2πrdr, y el momento de inercia del disco será,

Como , quedará:2M S M Rβ π= =

El radio de giro del disco respecto de este eje será

b) En el apartado anterior hemos calculado Iz que, puesto que el espesor del disco es despreciable,

coincide con IO. Ahora hemos de calcular Ix (o Iy, pues son evidentemente idénticos). Haciendo uso de

la ecuación [7.14]

El radio de giro respecto de este eje valdrá

2.- Calcular el momento de inercia de una varilla delgada y homogénea

(Figura H)

a) respecto de un eje perpendicular a la varilla por su centro de

masas.

b) respecto de un eje paralelo al anterior que pase por un

extremo de la varilla.

a) Usando densidades lineales de masa, dm = µ dR

Como µ=M/L, quedará:


3 21 1

12 12

MI L ML

L= =

Figura J

22 2 21 1

12 2 3C

LI I Md ML M ML

= + = + =

/ 2 / 22 2 3 3

/ 2/ 2

1 1

3 12

c c

XOY ccI z d z abdz ab z abcρ ϑ ρ ρ ρ

−− = = = = ∫∫∫ ∫

3 21 1

12 12XOY

MI abc Mc

abc= =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1* *

12 12 12X Y ZI M b c I M a c I M a b= + = + = +

[7.17]ext

dLM

dt=

��

( )[7.18]

ext

d IM

dt

ω=

��

( )[7.19]

extZ

d IM

dt

ω=

b) Usando el teorema de Steiner, teniendo en cuenta que d = ½L,

3.- Calcular el momento de inercia de un paralelepípedo homogéneo de

dimensiones a, b y c (Figura J) respecto de sus tres ejes de simetría.

Comenzaremos por calcular el momento de inercia con respecto al

plano XOY, para lo que debemos tomar un dh tal que barramos el

paralelepípedo según dicho plano. Así dh = abdz

como , quedará:M M abcρ ϑ= =

Pruebe el alumno a calcular que IZOX = M b2/12 y que IZOY = M a2/12.

Usando las expresiones de la ecuación [7.12]

7.- Ecuación fundamental del movimiento de rotación del sólido rígido

En el tema anterior, demostramos (ecuación [6.20]) que para un sistema de partículas

Puesto que un sólido rígido es un sistema de partículas, cumplirá la ecuación anterior. En particular, si

el sólido rota alrededor de un eje principal de inercia,

Si el eje no es principal

Si la posición del eje de rotación no cambia en el tiempo y el sólido no se deforma, el momento de inercia

será constante con lo que las ecuaciones [7.18] y [7.19] se escribirán


( )[7.21]

extZ

d I dM I

dt dt

ω ω= =

[7.22]I Cteω =��

[7.23]Cteω =��

Figura 7

( )2

11 2 [7.25]

ext extW M d

φ

φφ φ φ→ = ∫

( )2

11 2 [7.26]

ext extZW M d

φ

φφ φ φ→ = ∫

[7.27]extext ext ext ext

dWdW M dt P M M

dtω ω ω= ⇒ = = = ⋅

� �

212' [7.28]

C C CE E Mv= +

La ecuación [7.17] es la ecuación fundamental de la dinámica de rotación del sólido rígido (al igual

que lo es de la traslación de una partícula). La ecuación [7.18] es válida sólo si la rotación seext

F dp dt=� �

realiza alrededor de un eje principal de inercia; la ecuación [7.20] se aplica cuando la posición del eje principal

no cambia con el tiempo y el sólido no se deforma; la ecuación [7.19] se aplica cuando el eje de rotación no es

principal y la ecuación [7.21] cuando dicho eje no cambia de posición con el tiempo y el sólido no se deforma.

En todos los casos, si el momento de torsión neto exterior es nulo, el momento angular del sólido rígido

se conserva (principio de conservación del momento angular) y, por tanto, pasa a ser una constante delL�

movimiento. Así pues, si la ecuación [7.18] conduce a0ext

M =�

y la ecuación [7.20] a

8.- Trabajo y Energía cinética de rotación

Supongamos que un sólido rígido rota alrededor de un eje por la acción de una fuerza aplicada en elF�

punto P (Figura 7). El trabajo elemental realizado por la fuerza exterior seráF�

y así el trabajo total realizado por la fuerza exterior sobre el sólido rígido es

Si el eje de rotación no es principal, la ecuación anterior se transforma en

De la ecuación [7.24], deducimos que la potencia instantánea en la

rotación es:

Debido a que tanto como son perpendiculares al plano determinado por y , tenemos queext

M�

ω�

r�

v�

y, por tanto, . La expresión [7.27] es equivalente a la potencia( )cos , cos0 1ext

M ω = =� �

ext extM Mω ω⋅ =� �

instantánea en la traslación . P F v= ⋅� �

La energía cinética de un sólido rígido respecto del sistema-L será (Ecuación [6.35]),

( )[7.20]

ext

d I dM I I

dt dt

ω ωα= = =

� ��

cos sen [7.24]ext ext

dW F d F ds F r d r F d M dθ φ γ φ φ= ⋅ = = = × =��


Figura 8

siendo EC' la energía cinética del sólido respecto del sistema-C. Respecto de dicho sistema de referencia, las

partículas del sólido describen movimientos circulares de velocidad lineal vi' = ωRi, siendo Ri el radio de su

trayectoria y, por tanto, la distancia al eje. Así pues,

y la energía cinética interna total será

Al semiproducto del momento de inercia de un sólido rígido por el cuadrado de su velocidad angular se

le conoce como energía cinética de rotación. Si el eje de rotación es un eje principal de inercia, y,L Iω=� �

por tanto, , con lo que ω2 = L2/I2, y de este modo la ecuación [7.29] se transforma enL Iω =��

válida sólo para rotaciones alrededor de un eje principal de inercia. Con el concepto de energía cinética de

rotación, la ecuación [7.28] se transforma en

Puesto que, por definición, la posición relativa de las partículas de un sólido rígido es inalterable y la

energía potencial interna de un sistema de partículas depende de dicha posición relativa, ∆Uint = 0, con lo que

la ecuación [6.37] se transforma, para el sólido rígido, en

Wext = ∆EC = ∆ (½ I ω2 + ½ M vC2) [7.32]

Si las fuerzas exteriores son conservativas Wext = !∆Uext y la ecuación [7.32] conduce a

Uext + ½ I ω2 + ½ M vC2 = Cte [7.33]

Si algunas de las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido no son conservativas, entonces

Wnc = ∆Ec + ∆Uext = ∆ (½ I ω2 + ½ M vC2) + ∆Uext [7.34]

donde Wnc representa el trabajo realizado sobre el sólido rígido por las fuerzas exteriores no conservativas.

9.- Movimientos combinados de rotación y traslación de un sólido rígido

Consideremos sólo el caso interesante que se

presenta cuando el sólido rígido es de forma esférica,

cilíndrica o circular (aros y anillos) y comenzaremos

por dar una serie de definiciones propias de la cinemá-

tica de esta clase de movimientos.

Decimos que un sólido rígido desliza sin rodar

cuando todas sus partículas tienen la misma velocidad

en un instante de tiempo dado. En esta situación, se produce una traslación pura (Figura 8).


[7.35]C

v v Rω= + ×��

Figura 9

* [7.40]C C

v R a Rω α≠ ≠

Decimos que el sólido rígido rueda sin deslizar cuando la longitud del arco B'E' coincide con la longitud

de BE' (Figura 9a). En este caso, el sólido avanza sobre el plano de forma que una sola generatriz (cilindro, aro,

anillo) o un solo punto (esfera, circunferencia) de su periferia, diferente en cada instante, se encuentra en

contacto en el plano. La definición formal de rodar sin deslizar es que la velocidad instantánea del contacto

es nula.

Para entender el significado de velocidad

instantánea del contacto igual a cero, pensemos que

la velocidad de cualquier punto del sólido rígido

puede expresarse como

donde es la velocidad del centro de masas y Cv�

ω�

es la velocidad angular del sólido en su rotación

alrededor del centro de masas. La velocidad del

punto de contacto (Figura 9b) será, en módulo,

vB = vC ! ω R [7.36]

Para otros puntos de la periferia, se ha representado gráficamente su velocidad, como composición de Cv�

y , en la figura 9b.Rω ×��

Puesto que, por definición, vB = 0 (en el instante en que B es el contacto, se entiende), de la ecuación

[7.36] deducimos que

vC = ω R [7.37]

La ecuación [7.37] se verifica si, y sólo si, el cuerpo rueda sin deslizar. Si la derivamos respecto al tiempo,

encontraremos otra ecuación que sólo se cumple en las condiciones mencionadas:

aC = α R [7.38]

El eje perpendicular al plano del dibujo por el punto de contacto (dicho eje sería la generatriz de contacto

si el cuerpo es, por ejemplo cilíndrico) se denomina eje instantáneo de rotación.

La rodadura pura (rodar sin deslizar) es imposible en ausencia de rozamiento y, puesto que el contacto

instantáneo está en reposo, la fuerza de rozamiento que actúa es la estática, por lo que la última condición para

que el cuerpo ruede sin deslizar es

FR # µE N [7.39]

A pesar de que exista rozamiento, éste no realiza ningún trabajo neto. Esto se debe a que la fuerza de

rozamiento realizaría un trabajo positivo de rotación y un trabajo negativo de traslación, de igual cuantía que

el anterior, realizando un trabajo neto nulo. Así pues, si un objeto rueda, aunque exista rozamiento, la energía

mecánica del sólido rígido se conservará si el resto de fuerzas que actúan sobre él son conservativas.

Por último, decimos que el cuerpo rueda y desliza simultáneamente si la velocidad del punto de contacto

no es nula y, por tanto,

En esta situación, también debe existir la fuerza de rozamiento, que ahora será la cinética (FR=µ N), y

dicha fuerza sí realiza trabajo (el contacto instantáneo no está en reposo) y, por tanto, será imposible que se


conserve la energía mecánica del sólido rígido.

TABLA 7.1. ANALOGÍAS ENTRE EL MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y EL DE ROTACIÓN

TRASLACIÓN ROTACIÓN

Magnitud física expresión Magnitud física expresión

Desplazamiento elemental Desplazamiento angular dφ

Velocidad Velocidad angular

Aceleración Aceleración angular

Masa m Momento de inercia I

Momento lineal Momento angularLz=Iω

(*)

Impulso lineal2

1

t

t

Fdt∫∫∫∫�

Impulso angular2

1

t

t

Mdt∫∫∫∫�

Fuerza Momento de torsión

Ecuación del mto (m = Cte) Ecuación del mto (I = Cte) (*)

Energía cinética

212

2 2

C

C

E mv

E p m

====

====Energía cinética

Ec=½Iω2

Ec=L2/2I (*)

Trabajo2

1W F dr= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅∫∫∫∫

� �Trabajo

2

1W M dφ==== ∫∫∫∫

Potencia instantánea Potencia instantánea

(*) Válidas sólo para ejes principales de inercia

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