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TEMA 7. LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. LÍMITES

1.1. CONCEPTO DE LÍMITE. IDEA INTUITIVA. DEFINICIÓN

1.2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

1.3. LÍMITES LATERALES.

1.4. TIPOS DE LÍMITES.

1.5. CÁLCULO DE LÍMITES OPERACIONES CON Y 0.

INDETERMINACIONES

1.1. CONCEPTO DE LÍMITE. IDEA INTUITIVA. DEFINICIÓN El concepto de límite es necesario para comprender todo el Análisis.

Límite: lo podemos definir, de manera intuitiva, como aquel lugar al que, si no llegamos,

seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos.

En sentido matemático, el límite de una función en un punto, tiene sentido de “lugar”

hacia el que se dirige el valor de la función f(x) cuando la variable independiente (x)

se aproxima a un valor determinado.

Calcula el valor de

lim𝑥→2

𝑥2 − 3

Para calcularlo damos valores próximos a 2

x 3 2,5 2,1 2,05 2,04 2,01 2,001 2,0001

f(x) 6 3,25 1,41 1,2025 1,1616 1,0401 1,004001 1,00040001

x 1 1,5 1,7 1,9 1,97 1,99 1,999 1,9999

f(x) -2 -0,75 -0,11 0,61 0,8809 0,9601 0,996001 0,99960001

El valor al que se aproxima la función cuando x→2 es 1.

Dada una función f(x): X , X un intervalo de , y un punto x = a, se dice que el

límite de f(x),cuando se aproxima a “a” (x→2) es L, y se expresa:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = L

Para todo > 0, existe un > 0 tal que, siempre que 0 <x a<, x X, se cumple

f(x) L<.

2

Utiliza la definición para comprobar que

lim𝑥→2

𝑥2 = 4

La definición dice :Para todo > 0,por lo que elegimos un cualquiera, e imponemos:

f(x) L<

f(x) L<x24<x 2)

x 2)·(x+2)x24< 𝑥 − 2 < 휀

Entonces si cogemos un basta tomar 0 < 𝛿 < 휀 para que se verifique si

0 < 𝑥 − 2 < 𝛿 entonces x24<Con lo cual:

lim𝑥→2

𝑥2 = 4

1.2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Calcular límites utilizando la definición puede ser muy complicado. Por eso nos interesa

obtener propiedades y encontrar procedimientos que nos permitan calcularlos con

mayor facilidad.

Si existe lim 𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 es único

Operaciones con los límites

Para estudiar las operaciones con los límites vamos a suponer que f y g son dos

funciones definidas sobre un mismo intervalo X y con valores en . Cuando indicamos

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

a y L deben ser números reales.

Siempre que los límites de las funciones existan y la operación entre los límites esté

definida se verifica:

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

3

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 · 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 / 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) 𝑠𝑖 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Un caso particular se da cuando el límite de la base es 1 y el exponente tiende a ∞

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑓 𝑥 ∘ 𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

( 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)) 𝑠𝑖 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑔(𝑥)

Si nos aproximamos a “a” por la derecha o por la izquierda se obtienen los límites

laterales.

Usando las propiedades podemos calcular los límites sustituyendo.

Calcula

lim𝑥→2

𝑥2 − 3 = 22 − 3 = 4 − 3 = 1

lim𝑥→4

𝑥2 − 4x + 3

x − 2=

42 − 4 · 4 + 3

4 − 2=

3

2

1.3. LÍMITES LATERALES El límite lateral, por la derecha de un punto, de la función f(x), se expresa como:

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = L = lim𝑥→𝑎𝑥>𝑎

𝑓(𝑥) = L

y se define como el valor de f(x) cuando x→a, siempre que se cumpla la condición x >a.

Es decir para todo > 0, existe un > 0 tal que, siempre que 0 <x a<, x X, se cumple

f(x) L<.

El límite lateral, por la izquierda de un punto, de la función f(x), se expresa como:

lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = L = lim𝑥→𝑎𝑥<𝑎

𝑓(𝑥) = L

y se define como el valor de f(x) cuando x→a siempre que se cumpla la condición x <a.

Es decir para todo > 0, existe un > 0 tal que, siempre que 0 <ax <, x X, se

cumplef(x) L<.

Para que una función f(x) tenga límite en un punto x = a, es necesario y suficiente que

existan los límites laterales y coincidan, es decir:

4

1. Existen

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

2. Son iguales

lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = 𝐿

3. Entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = 𝐿

Ejemplo: Calcula los límites laterales y determina si existe el límite de las siguientes

funciones en el punto x = 1.

𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 15𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

lim𝑥→1+

𝑓 𝑥 = lim

𝑥→1𝑥>1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

5𝑥 − 4 = 1

lim𝑥→1−

𝑓 𝑥 = lim

𝑥→1 𝑥<1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

− 2𝑥 + 3 = 1

Si existe el límite y es 1

𝑔 𝑥 =

3𝑥+5

2𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

𝑥2+5

7𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 > 1

lim𝑥→1+

𝑔 𝑥 = lim 𝑥→1 𝑥>1

𝑔(𝑥) = lim𝑥→1

𝑥2 + 5

7𝑥 − 1=

6

6= 1

lim𝑥→1−

𝑔 𝑥 = lim

𝑥→1𝑥<1

𝑔(𝑥) = lim𝑥→1

3𝑥 + 5

2𝑥 + 1=

8

3

No existe el límite

5

1.4. TIPOS DE LÍMITES

Límites infinitos

Dada una función f(x): X , X =[a,+∞) se dice que el límite de f(x),cuando x → + ∞

es L y se expresa:

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = L

Cuando, para todo > 0, existe un k> 0 tal que, siempre que x>k x X, se cumple:

f(x) L<.

De manera análoga se define

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = L

En general

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = L ⇔ ∀ 휀 > 0 ,∃𝑘 > 0/ 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥 > 0 , 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀.

En ocasiones, para un determinado valor de la variable independiente, x = a, el valor de

la función crece tanto como se quiera en valor absoluto:

Dada una función f(x): X , X un intervalo de , y un punto x = a, se dice que el

límite de f(x), cuando x →a es +∞, y se expresa:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = +∞

Cuando, para todo k > 0, existe un > 0 tal que, siempre que 0 <x a<, x X, se

cumple f(x)>k.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∞⇔ ∀ 𝑘 > 0 ,∃𝛿 > 0/ 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 , 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑓 𝑥 > 𝑘

De forma análoga podemos definir cuando el límite de la función es. Y también

cuando x →+y el límite de la función es +, ….

Se tienen las siguientes posibilidades

VALOR VARIABLE INDEPENDIENTE

FINITO INFINITO

VALOR DEL LÍMITE

FINITO lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = L lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = L

INFINITO lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∞

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

6

Límite finito en punto finito En este caso el valor del límite es finito cuando la variable independiente tiende a un

valor finito.

lim𝑥→1

1

𝑥= 1

Límite finito en punto infinito

lim𝑥→∞

1

𝑥= 0

Limite infinito en punto finito

lim𝑥→0

1

𝑥= ∞

Límite infinito en punto infinito En el caso de valor de límite infinito cuando la variable independiente tiende a infinito,

deberemos tomar otra función cualquiera que sea siempre creciente a partir de un

valor.

lim𝑥→∞

𝑥2 = ∞

1.5. CÁLCULO DE LÍMITES OPERACIONES CON Y 0.

INDETERMINACIONES

Para poder calcular límites, debemos conocer previamente ciertas operaciones con y

0, y ciertas propiedades que tienen los límites respecto de algunas operaciones

matemáticas como son la suma ,resta, multiplicación, división, potencias, composición,

etc.

Si sumamos, restamos, multiplicamos… dos números reales, no tenemos ningún

problema para saber el resultado, pero ¿y si es el ?

En ocasiones sí sabemos el resultado, pero en otras, decimos “indeterminado” pues no

lo sabemos de forma inmediata, debemos trabajar más para saberlo.

SUMA PRODUCTO COCIENTE

∞±K=∞ K·∞=∞ 0/K=0 K/0=∞

∞+∞=∞ ∞·∞=∞ ∞/K=∞ K/∞=0

∞-∞=? 0·∞=? 0/∞=0 ∞/0=∞

0/0=? ∞/∞=?

7

POTENCIAS

K0=1 0K=0 si K≥0

0K=∞ si K<0 O0=?

0∞=0 K∞=0 si 0<K<1

K∞=∞ si K>1 ∞O=?

∞∞=∞ 1∞=?

Como infinito no es un número real, cuando el límite tiende a infinito, decimos que no

existe

El proceso de cálculo de un límite consiste, en sustituir la variable por el valor al que

tiende y operar, obteniendo el resultado del límite que podrá ser un valor finito,

infinito o indeterminado. Si el resultado es “indeterminado” debemos trabajar más.

Existen algunos tipos de indeterminaciones que son resolubles haciendo operaciones

y/o simplificaciones previas que veremos a continuación.

Lo primero que hay que hacer para calcular un límite en un punto, es sustituir el punto

en la x de la función. Cuando la función sea continua en ese punto, el problema está

resuelto. Si no es así habrá que hacer algún cálculo más, dependiendo del resultado de

la sustitución. Vamos a ir viendo los diferentes casos que pueden aparecer mediante

ejemplos:

INDETERMINACIÓN -

Este tipo de indeterminaciones se pueden resolver haciendo operaciones con ambas

funciones, ya que suelen ser del tipo f(x) - g(x)

lim 𝑥 →2

1

𝑥2 − 4−

1

𝑥 − 2=

1

0−

1

0= − indeterminación

Para resolver la indeterminación, se realizan las operaciones:

1

𝑥2 − 4−

1

𝑥 − 2=

1 − (𝑥 + 2)

𝑥2 − 4=−𝑥 − 1

𝑥2 − 4

lim 𝑥 →2

1

𝑥2 − 4−

1

𝑥 − 2= lim

𝑥 →2

−𝑥 − 1

𝑥2 − 4=−2 − 1

22 − 4= −

3

0= −

INDETERMINACIÓN ·

Normalmente suelen darse en productos de funciones f(x) · g(x), donde f(x) = 0 y

g(x) =

Se resuelven operando y simplificando.

lim𝑥⟶−3

1

𝑥 + 3 (𝑥2 + 6𝑥 + 9) = · 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

8

x2 +6x +9 =(x+3)2. Sustituyendo y simplificando el limite anterior seria

lim𝑥⟶−3

𝑥 + 3 = −3 + 3 = 0

INDETERMINACIÓN 0/0

Este tipo de indeterminaciones se producen porque existen algunos factores en el

numerador y denominador que lo hacen cero y que será conveniente eliminar por algún

método. Para ello, debemos factorizar polinomios, multiplicar y dividir por el

conjugado o cualquier otro procedimiento que nos permita eliminar la indeterminación.

limx→1

x2 + 2x − 3

x2 + x − 2=

0

0

Factorizamos los polinomios del numerador y denominador, y simplificamos

limx→1

x2 + 2x − 3

x2 + x − 2= lim

x→1

x − 1 (x + 3)

x − 1 (x + 2)= lim

x→1

(x + 3)

(x + 2)=

4

3

limx→−1

x + 5 − 2

x + 1=

0

0

Uno de los sumandos es una raíz, por lo que para quitar la indeterminación vamos a

probar multiplicando por el conjugado:

limx→−1

x + 5 − 2

x + 1= lim

x→−1

x + 5 − 2 · x + 5 + 2

x + 1 · x + 5 + 2 = lim

x→−1

x + 5 )2 − 22

x + 1 · x + 5 + 2 =

= limx→−1

x + 5 − 4

x + 1 · x + 5 + 2 = lim

x→−1

x + 1

x + 1 · x + 5 + 2 = lim

x→−1

1

x + 5 + 2 =

1

4

INDETERMINACIÓN /

Aunque pueden presentarse muchos casos, el más frecuente es el de cocientes de

polinomios cuando la variable independiente tiende alimx→

P x = limx→

Q x =

limx→

𝑃(𝑥)

Q(x) es una indeterminación del tipo /

Para resolver este tipo de indeterminaciones, es necesario comparar el grado del

polinomio del numerador con el grado del polinomio del denominador, pudiéndose

presentar los siguientes casos:

9

limx→

𝑃(𝑥)

Q(x)= ±∞ .Si grado P(x)>Q(x).

limx→

𝑃(𝑥)

Q(x)=

𝑎

𝑏 .Si grado P(x)=Q(x).a = coeficiente de mayor grado de P(x).

b = coeficiente de mayor grado de Q(x).

limx→

𝑃(𝑥)

Q(x)= 0 Si grado P(x) < Q(x).

Para resolver este tipo de límites observamos que cuando la variable se hace muy

grande el límite vendrá dado por los términos de mayor grado. Nos quedamos con ellos,

y simplificamos.

limx→

x5 + 3x − 5

7x2 + 4x − 2= lim

x→

x5

7x2= lim

x→

x3

7=

limx→

5x2 + 2x − 3

3x2 + 9x − 2= lim

x→

5x2

3x2=

5

3

limx→

x2 + 2x − 3

x4 + 3x − 1= lim

x→

x2

x4= lim

x→

1

x2= 0

INDETERMINACIÓN 1∞

Para poder resolver este tipo de indeterminaciones, es necesario conocer el número e,

que se define como:

𝑒 = lim𝑛→∞

1 +1

𝑛 𝑛

≈ 2,718282

Si lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = ∞ entonces 𝑒 = lim𝑥→∞

1 +1

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)

≈ 2,718282

Las soluciones de este tipo de indeterminaciones pasan, por llegar a una expresión

del tipo de la definición del número e. Que es el límite de una potencia en la que la

base tiende a 1, y el exponente tiende a infinito. En general este tipo de

indeterminaciones son de la forma eA.

limx→∞

2x + 1

2𝑥 − 2

2𝑥+1

La base tiende a 1, y el exponente a luego es un límite de la forma eA. Para

resolverlo, primero completamos el primer 1 de la definición, y luego el segundo.

10

2x+1=(2x-2)·1+3→2x+1

2𝑥−2= 1 +

3

2𝑥−2

limx→∞

2x + 1

2𝑥 − 2

2𝑥+1

= limx→∞

1 +3

2𝑥 − 2

2𝑥+1

= limx→∞

1 +1

2𝑥−2

3

2𝑥+1

Luego hacemos el exponente igual al denominador para lo que multiplicamos y dividimos

el exponente por el denominador del sumando de la base. Así, tendremos

limx→∞

1 +1

2𝑥−2

3

2𝑥−2

3

3

2𝑥−22𝑥+1

El límite de la base es e y el límite del nuevo exponente en este caso es 3, por lo que:

limx→∞

1 +1

2𝑥−2

3

2𝑥−2

3

limx→∞

3

2𝑥−22𝑥+1

= elimx→∞

3

2𝑥−22𝑥+1

= e3

Si el límite es de la forma eA,el exponente se puede calcular de la siguiente forma

A = lim x→∞

exponente · (base − 1)

INDETERMINACIONES 00, ∞0

Este tipo de indeterminaciones exponenciales se resuelven mediante la aplicación de

logaritmos neperianos (ln). Suponemos que el límite de estas indeterminaciones es

limx→a

f(x)g(x) = eL

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad, tendremos

𝑙𝑛(𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑛(𝑒𝐿)

Teniendo en cuenta las propiedades de los límites y los logaritmos se tiene:

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑙𝑛(𝑓 𝑥 )𝑔(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑙𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑒𝐿 = 𝐿𝑙𝑛 𝑒 = 𝐿

Por tanto

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑙𝑛 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

(𝑙𝑛(𝑓 𝑥 )𝑔(𝑥)) = 𝑒𝐿