M. Mocholí Modelización y Optimización 1

Tema 8 PLE (II) • Restricciones alternativas (Either or)

• Restricciones complementarias (If Then)

•Problemas con costes fijos

• Problemas con variables semi-continuas

• Problemas con Economías de Escala I

•Problemas con Economías de Escala II

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 2

Restricciones alternativas (either or)En muchos problemas reales se dan situaciones en las cualesse debe elegir entre condiciones alternativas que a vecespueden ser incompatibles entre si.Consideremos que tenemos dos restricciones de la forma:

f ( x1, x2, ...., xn ) b1 (1)g ( x1, x2, ...., xn ) b2 (2)

y queremos asegurar que al menos una de las dosrestricciones se satisface, aunque ello no excluye que a vecesse puedan cumplir las dos simultáneamente

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 3

Para ello se sustituyen dichas ecuaciones por las siguientes

f ( x1, x2, ...., xn ) - b1 My (1b)g ( x1, x2, ...., xn ) - b2 M(1-y) (2b)

siendo y{0,1} y M un valor lo suficientemente grande.De este modo se garantiza que si:

y = 0 → f(x1, x2, ...., xn)-b1 0 → f(x1, x2, ...., xn)b1

g(x1,x2, ....,xn )-b2M puede cumplirse o no

y = 1 → g(x1,x2, ....,xn )-b2 0 → g(x1,x2, ....,xn ) b2

f(x1,x2, ...., xn)-b1M puede cumplirse o no

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 4

EJEMPLO 8.1TEMA 8 PLE II -Condicional

Una fábrica de sillas produce cuatro modelos de sillas M1,M2,M3 y M4, la fábrica

está distribuida en cuatro secciones, Maquinaria donde se procesa la madera, Ensamblado

donde se terminan las piezas y se acoplan para su correcto encaje, Pulimento y Tapizado,

el beneficio por cada modelo de silla, las horas necesarias en cada sección para su

producción, así como las disponibilidades en cada una estas, viene dado por la siguiente

tabla.

Máquinas Montaje

Pulimento

Tapizado Beneficio

M1 0.4 2.15 0.1 0.4 12 M2 0.5 1.7 0.1 0.3 9.6 M3 0.6 1.1 0.1 0.5 6.5 M4 0.5 1.3 0.3 0.5 7.5 Horas

750 2200 230 650

a) Determinar las sillas a producir de cada modelo para maximizar el beneficio.

b) Determinar las sillas a producir de cada modelo, si ha de producir como mínimo 900

entre los modelos M1 y M2, y/o 1000 sillas entre los modelos M3 y M4.

M. Mocholí Modelización y Optimización 5

Planteamientoa)

Solución M1=533 M2=90 M3=0 M4=819 Bº=12583.5b) Solución M1=189 M2=711 M3=527 M4=4 Bº=12549.1

TEMA 8 PLE II -Condicional

ZMMMM

MMMM

as

MMMMZMax

4321

4

3

2

1

4321

,,,

650230

2200750

*

5.05.03.04.03.01.01.01.03.11.17.115.25.06.05.04.0

:.

5.75.66.912

M. Mocholí Modelización y Optimización 6

Generalización al caso de N ecuacionesCuando se pretende que se cumplan al menos m de necuaciones (m < n)

TEMA 8 PLE II -Condicional

n

jj

nnn

n

nnn

n

mny

Myxxxgb

Mybxxxf

bxxxg

bxxxf

1

21

1121

21

1211

),,,(

),,,(

),,,(

),,,(

M. Mocholí Modelización y Optimización 7

Restricciones complementarias (If Then)En la modelización de algunos problema reales aparecen

situaciones en las cuales la realización de una determinada condición valigada a otra, de modo que la realización de una de ellas no sirve denada si no va complementada por otra.Es decir queremos asegurar que si se cumple

f(x1,x2, . . . ,x3)<b1

Entonces se ha de cumplir también que

g(x1,x2, . . . ,x3)≤b2

Para asegurarlo sustituimos las dos ecuaciones anteriores por lassiguientes

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 8

b1-f(x1,x2, . . . ,x3)≤My

g(x1,x2, . . . ,x3)-b2 ≤M(1-y)

Y Є{0,1} , M es un valor arbitrariamente grande

Comprobación

Si se cumple que f(x1,x2, . . . ,x3)<b1

f(x1,x2, . . . ,x3)<b1 → b1-f(x1,x2, . . . ,x3)>0 → y=1

y=1 → g(x1,x2, . . . ,x3)-b2 ≤M(1-y)=0 → g(x1,x2, . . . ,x3) ≤b2

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 9

EJEMPLO 8.2TEMA 8 PLE II -Condicional

Una fábrica de sillas produce cuatro modelos de sillas M1,M2,M3 y M4, la fábrica

está distribuida en cuatro secciones Maquinaria donde se procesa la madera, Ensamblado

donde se terminan las piezas y se acoplan para su correcto encaje, Pulimento y Tapizado,

el beneficio por cada modelo de silla, las horas necesarias en cada sección para su

producción, así como las disponibilidades en cada una estas, viene dado por la siguiente

tabla.

Máquinas Montaje Pulimento Tapizado Beneficio M1 0.4 2.15 0.1 0.4 12 M2 0.5 1.7 0.1 0.3 9.6 M3 0.6 1.1 0.1 0.5 6.5 M4 0.5 1.3 0.3 0.5 7.5 Horas 750 2200 230 650

a) Determinar las sillas a producir de cada modelo para maximizar el beneficio.

b) Determinar las sillas a producir de cada modelo, en el caso en el que de producir más

de 800 sillas de los modelos 1 y 3, también haya que producir como mínimo 300 de los

modelos 3 y 4.

Solución M1=454 M2=157 M3=688 M4=154 Bº=12582.2

M. Mocholí Modelización y Optimización 10

Problemas con costes fijosEn la mayoría de problemas, existen unos costes fijos que son

independientes de la cantidad producida y que hay que sufrir por elmero hecho de comenzar la actividad productiva. (alquileres, términosfijos de energía, etc).

Es decir

TEMA 8 PLE II -Condicional

CFjcj

xj

Fj(xj)

0

00)(

jjjj

jjj xsixcCF

xsixf

M. Mocholí Modelización y Optimización 11

Planteamiento

M>0 arbitrariamente grande

TEMA 8 PLE II -Condicional

}1,0{

:.1

j

jj

n

jjjjj

y

Myxas

xcyCFZMin

M. Mocholí Modelización y Optimización 12

VARIABLES SEMICONTÍNUASEsta situación se da cuando una variable xj ha de ser

cero o estar comprendida entre un valor mínimo mj ymáximo Mj

xj ≤ mj yj

xj ≥ Mj yj

TEMA 8 PLE II -Condicional

}1,0{jy

M. Mocholí Modelización y Optimización 13

Ejemplo 8.3TEMA 8 PLE II -Condicional

DSW Auto produce tres tipos de automóviles: compactos, berlinas y rancheras. Los

recursos necesarios, así como los beneficios producidos, en cada uno de los tipos de

automóviles son:

Compacto Berlina Ranchera Disponib.

ACERO(toneladas) 1.5 3.2 5 6000

MANO DE OBRA 25 h 29 h 35 h 59000

BENEFICIOS 2000 € 3000 € 4000 €

a) ¿Cuántos coches de cada modelo debe producir para maximizar el beneficio?

b) ¿Cuántos coches debe producir de cada modelo, si la introducción de un modelo en la

cadena debe hacerse para producir un mínimo de 800 coches para que resulte

operativo y la demanda máxima de cada modelo es de 8000 uds.?

Solución

a) COMPACTO 405, BERLINA 1685 5865000 BENEFICIO

b) COMPACTO 1170, RANCHERA 849 5736000 BENEFICIO

M. Mocholí Modelización y Optimización 14

Problemas con Economías de Escala ISe trata de problemas en los cuales el coste de

producción o el beneficio unitario viene dado en función de lacantidad producida, es decir, la función es

función que aunque no es lineal, se puede linealizar mediante lacorrespondiente transformación

TEMA 8 PLE II -Condicional

xksixc

kxksixckxsixc

xf

nn 1

212

11 0

)(

M. Mocholí Modelización y Optimización 15

PlanteamientoTEMA 8 PLE II -Condicional

}1,0{,...,1

0:.

1

21

1

22221

111

2211

n

n

nnnnn

nn

yyyyy

ykxyk

ykxykykxas

xcxcxcZOpt

M. Mocholí Modelización y Optimización 16

Ejemplo 8.4TEMA 8 PLE II -Condicional

Una empresa compra tres productos a un proveedor y tras un proceso de

manipulación de 1h, 1,5h y 2h respectivamente los vende por 15, 40 y 60€ la unidad

respectivamente. Las mano de obra disponible es de 2000h. semanales.

Los precios que paga por los productos dependen del volumen de compras, a mayor

cantidad menor precio unitario de acuerdo con la siguiente tabla.

Costes Variables

Producto 1-100 ud. 101-500 ud. 501-2500 ud

1 10 8 5

2 20 18 15

3 40 30 20

Determinar la cantidad a comprar y vender de cada producto para maximizar el

beneficio, sabiendo que hay que vender un mínimo del 15% del total de cada producto.

M. Mocholí Modelización y Optimización 17

Ejemplo 8.4TEMA 8 PLE II -Condicional

SOLUCIÓN VARIABLE X.L unidades del producto i que se producen en el tramo j

B C

1 169.000

2 169.000

3 788.000

VARIABLE Y.L si el producto i se produce o no en el tramo j

B C

1 1.000

2 1.000

3 1.000

BENEFICIO 36421

M. Mocholí Modelización y Optimización 18

SET P PRODUCTOS /P1*P3/T TRAMOS /T1*T3/;

alias (p,p1);PARAMETER H(P) HORAS PARA PRODUCIR UNA UNIDAD/P1 1P2 1.5P3 2/;SCALAR HOR HORAS DISPONIBLES /2000/;PARAMETER PVP(P) PRECIO DE VENTA/P1 15P2 40P3 60/;TABLE CV(P,T) COSTES VARIABLES

T1 T2 T3P1 10 8 5P2 20 18 15P3 40 30 20PARAMETER LIMINF(T) LIMITE INFERIOR DEL TRAMO T/T1 1T2 101T3 501/;PARAMETER LIMSUP(T) LIMITE SUPERIOR DEL TRAMO T/T1 100T2 500T3 2500/;

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 19

VARIABLESB BENEFICIO;POSITIVE VARIABLES PR(P,T) UNIDADES DE P PRODUCIDAS EN T;BINARY VARIABLES Y(P,T) SI PRODUCE P EN T;

EQUATIONSOBJ FUNCION OBJETIVOHORAS DISPONIBILIDAD DE HORASMIN15(P) PRODUCIR MINIMO EL 15 POR CIEN DE CADA P SOBRE TOTALLIMITIN(P,T) LIMITES INFERIORESLIMITSUP(P,T) LIMITES SUPERIORESTRAMO(P) UN SOLO TRAMO CADA P;

OBJ.. SUM[(P,T), (PVP(P)-CV(P,T))*PR(P,T)]=E=B;HORAS.. SUM[(P,T),H(P)*PR(P,T)]=L=HOR;MIN15(P).. SUM(T, PR(P,T))=G=0.15*SUM[(P1,T), PR(P1,T)];LIMITIN(P,T).. PR(P,T)=G= LIMINF(T)*Y(P,T);LIMITSUP(P,T).. PR(P,T)=L= LIMSUP(T)*Y(P,T);TRAMO(P).. SUM(T, Y(P,T))=L=1;

MODEL ECOESCAL /ALL/;SOLVE ECOESCAL USING MIP MAXIMIZING B;DISPLAY PR.L, B.L;

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 20

PROBLEMAS CON ECONOMÍAS DE ESCALA II

Las k1 primeras unidades se producen con un costes unitario c1

Las k2-k1 siguientes se producen con un coste unitario c2

las k3-k2 siguientes se producen con un coste unitario c3

etc.

TEMA 8 PLE II -Condicional

k1 k2 k3

M. Mocholí Modelización y Optimización 21

El planteamiento del problema es:

Min F= c1x1+ c2x2+c3x3+c4x4

k1(y2+y3+y4) ≤ x1 ≤ k1(y1+y2+y3+y4)(k2-k1)(y3+y4) ≤ x2 ≤ (k2-k1)(y2+y3+y4)

(k3-k2)y4 ≤ x3 ≤ (k3-k2)(y3+y4)x4 ≤ (k4-k3)y4

y1 + y2 + y3 + y4 ≤ 1

xi ≥ 0, yi Є{0,1}

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 22

EJEMPLO 8.5TEMA 8 PLE II -Condicional

Una compañía de productos químicos fabrica un compuesto cuyas materias primas deben someterse a un proceso de mezcla a altas temperaturas, en una cuba con capacidad para mezclar 300 toneladas al mes. Este proceso tiene economías de escala de forma que el coste de calentar las 50 primeras toneladas es de 400€, el de las 100 siguientes es de 250€ y el de las 150 últimas de 150€.

La demanda es sensible a la cantidad vendida y el beneficio por tonelada varía en función de la cantidad vendida de acuerdo con la siguiente tabla:

Producción TmTramo Desde Hasta

Beneficio (€/Tm.)

1 0 50 450 2 51 100 430 3 101 150 380 4 151 200 350 5 201 250 310 6 251 300 280

Determinar la cantidad a producir y vender para maximizar el beneficio

M. Mocholí Modelización y Optimización 23

SET V TRAMO DE VENTA /V1*V6/C TRAMO DE COSTE /C1*C3/;

ALIAS(C,C1);PARAMETER

LIV(V) LIMITE INFERIOR DE CADA TRAMO DE VENTA/V1 1V2 51V3 101V4 151V5 201V6 251/

LSV(V) LIMITE SUPERIOR DE CADA TRAMO DE VENTALSC LIMITE SUPERIOR DE CADA TRAMO DE COSTE

/C1 50C2 100C3 150/

PV(V) PRECIO DE VENTA EN EL TRAMO V/V1 450V2 430V3 380V4 350V5 310V6 280/

PC(C) COSTE DE FABRICACION DEL TRAMO C/C1 400C2 250C3 150/;

LSV(V)=LIV(V)+49;

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 24

VARIABLESI INGRESOSCTEB BENEFICIO;

POSITIVE VARIABLESXV(V) UNIDADES VENDIDAS EN EL TRAMO VXC(C) UNIDADES PRODUCIDAS EN EL TRAMO C;

BINARY VARIABLESYV(V) SI SE VENDE EN EL TRAMO VYC(C) SI SE PRODUCE EN EL TRAMO C;

EQUATIONSINGRESOSCOSTESBENEFICIOPROVEN SE VENDE LO PRODUCIDOUNIV SOLO SE PUEDE VENDER EN UN TRAMOUNIC SOLO SE PUEDE PRODUCIR EN UN TRAMOLIXV(V) LIMITE INFERIOR DE CADA XVLSXV(V) LIMITE SUPERIOR DE CADA XVLIXC(C) LIMITE INFERIOR DE CADA XCLSXC(C) LIMITE SUPERIOR DE CADA XC;INGRESOS.. I=E=SUM(V, PV(V)*XV(V));COSTES.. CTE=E=SUM(C,PC(C)*XC(C));BENEFICIO.. B=E=I-CTE;PROVEN.. SUM(C,XC(C))=E=SUM(V,XV(V));UNIV.. SUM(V, YV(V)) =E= 1;UNIC.. SUM(C,YC(C))=E=1;LIXV(V).. XV(V)=G=LIV(V)*YV(V);LSXV(V).. XV(V)=L=LSV(V)*YV(V);LIXC(C).. XC(C)=G=LSC(C)*SUM[C1$(ORD(C1) GT ORD(C)),YC(C1)];LSXC(C).. XC(C)=L=LSC(C)*SUM[C1$(ORD(C1) GE ORD(C)),YC(C1)];MODEL CTESDEC /ALL/;SOLVE CTESDEC USING MIP MAXIMIZING B;DISPLAY YV.L,YC.L,XV.L, XC.L,I.L,CTE.L,B.L

TEMA 8 PLE II -Condicional

M. Mocholí Modelización y Optimización 25

VARIABLE XV.L UNIDADES VENDIDAS EN EL TRAMO VV4 200.000

VARIABLE XC.L UNIDADES PRODUCIDAS EN EL TRAMO CC1 50.000, C2 100.000, C3 50.000

VARIABLE B.L = 17500.000 BENEFICIO

TEMA 8 PLE II -Condicional