tema ii espacios vectoriales algebra lineal uts
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PROFESOR JULIO C BARRETO G ESC 78 AacuteLGEBRA LINEAL
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO
MODELO FX-570ES PLUS)
ANTECEDENTES HISTOacuteRICOS
El aacutelgebra lineal hace su aparicioacuten en la Matemaacutetica especiacuteficamente en el siglo XVII con
trabajos de dos matemaacuteticos franceses como lo son Pierre Fermat (1601-1665) y Reneacute Descartes
pero debemos tener en cuenta que su estudio estuvo limitado hasta el final del siglo XVIII al
plano y al espacio ya que la extensioacuten a espacios vectoriales de dimensioacuten 3n tiene lugar en la
primera mitad del siglo XIX Giuseppe Piano (loacutegico y matemaacutetico italiano 1858-1932) define
en 1888 de manera axiomaacutetica los espacios vectoriales de cualquier dimensioacuten y Otto Teoplitz
(matemaacutetico alemaacuten 01081881-15021940) extiende a los espacios vectoriales maacutes generales
sobre cuerpos cualesquiera los principales teoremas del aacutelgebra lineal
El aacutelgebra lineal ocupa un lugar importante en la matemaacutetica debido a sus aplicaciones a
diferentes ramas de la matemaacutetica y de la fiacutesica teniendo en cuenta que se adapta
particularmente al caacutelculo automaacutetico de ahiacute la importancia que ocupa fundamentalmente en el
anaacutelisis numeacuterico y en la investigacioacuten de operaciones Por esto es de vital importancia que todo
estudiante a nivel universitario debe adquirir el conocimiento baacutesico del algebra lineal
VECTORES Y EL ESPACIO n-DIMENSIONAL
Antes que todo llamaremos espacio n -dimensional nR al conjunto de ternas ordenadas
a )( naaa 21 donde naaa 21 son nuacutemeros reales
DEFINICIOacuteN Un vector es cualquier punto de nR y en general se designa con una letra
negrita yxcba o tambieacuten en mayuacutesculas por RQP (Los fiacutesicos los designan con
flechas arriba como por ejemplo a
)
El opuesto de un vector a es el vector a que viene definido por a )( naaa 21 El
vector cero es el vector 0 dado por el punto )000(
Se llama longitud magnitud o moacutedulo de un vector a )( naaa 21 al nuacutemero real
a 22
2
2
1 naaa Es evidente que a 0 y a 0 si y soacutelo si 0a
OPERACIONES CON VECTORES
ADICIOacuteN DE VECTORES
Dados dos vectores a )( naaa 21 y b )( 21 nbbb de nR la suma de ba es el vector
definido por ba )( 2211 nn bababa
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DIFERENCIA DE VECTORES
Sean los vectores a y b le diferencia es el vector )( baba donde b es el vector
opuesto de b el cual ya fue definido
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Si k es un nuacutemero real y a )( naaa 21 es un vector el producto de un vector por un escalar
k a se define como el vector k a )( 21 nkakaka
EJEMPLOS Sean los vectores 20)1( a y )011(b Entonces
)11(11)1020(1(011)20)1( ba
)120(0)2)(1(20)1( a
)13(0)2111(0120)(011)( 1 ab
5041(0)2)((1) 222 a
La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con vectores de hasta dimensioacuten
3 Para trabajar con vectores debemos seleccionar primero el MODE 8VECTOR
Nos aparece la pantalla siguiente donde podemos trabajar hasta con 3 vectores
denominados VctA VctB y VctC
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Al seleccionar uno de los vectores normalmente 1 VctA nos aparece otra pantalla
para elegir la dimensioacuten que podraacute ser 2 oacute 3
Una vez elegida la dimensioacuten vamos introduciendo ordenadamente las componentes
del vector pulsando la tecla despueacutes de cada nuevo ingreso De esta forma
queda almacenado en memoria el vector A Podemos repetir la operacioacuten con el B y
el C
Para operar con los vectores debemos entrar en el submenuacute de operaciones
pulsando Nos aparece el siguiente menuacute
1 Dim nos permite dimensionar el vector
2 Data introducimos las componentes del vector
3 VctA hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector A
4 VctB hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector B
5 VctC hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector C
6 VctAns es la memoria de respuesta de los caacutelculos matriciales
7 Dot es el operador para el producto escalar
El producto vectorial (para vectores de orden 3) lo haremos con la tecla
En el ejemplo Sean los vectores
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La suma es
El opuesto del vector a es
La doferencia de b-a
Y la norma del vector a es
Notando que
EJERCICIO Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k
calcular cbacbacbababba kkk )(
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adicioacuten de vectores cumple con las siguientes leyes Dados tres vectores ba y c tenemos
que
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1A abba (Ley conmutativa)
2A )()( cbacba (Ley asociativa)
3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o
nulo de la adicioacuten)
4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicacioacuten de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes Dados dos
vectores ba y dos escalares 21 kk en R tal que se cumple
1M akkakkakk 212121 )()(
2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva)
3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva)
4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de la suma vectorial desde 1A hasta la 4A
Por ejemplo Demostremos que se cumple la propiedad 1A Sean los vectores
)( naaaa 21 )( 21 nbbbb donde nn bbbaaa 2121 son nuacutemeros reales de
acuerdo con la definicioacuten de vector Luego
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn
vectoresde suma de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros de
adicioacuten la de aconmutativ Propiedad )(
vectoresde suma de Definicioacuten )(
)()(
2121
2211
2211
2121
NOTA Obseacutervese que la demostracioacuten se basa en las propiedades de los nuacutemeros reales las
cuales son como las enunciadas en 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M pero para
un campo de nuacutemeros
2 Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A se puede demostrar que la ecuacioacuten
vectorial bxa tiene la uacutenica solucioacuten )( ababx Usando este resultado
demuestre que
a El vector 0 es uacutenico es decir si 0 aa entonces 00
b El vector a es uacutenico es decir si 0 aa entonces aa
c aa )( para todo vector a
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3 Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector desde 1M hasta
la 4M
Por ejemplo Sean el vector )( naaaa 21 y los escalares 21 kk en R Luego
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vectorpor escalar un de producto
del definicioacuten lacon acuerdo De ))(( )(
reales nuacutemeros los
de asociativa Propiedad )()()( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )()(
)()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M
se dice que es un espacio vectorial sobre R Se nombra la terna )( nR es un espacio vectorial
sobre R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera Veamos los siguientes ejercicios de abajo
EJERCICIOS
1 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
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2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
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Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
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1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
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2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
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El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
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Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 2 AacuteLGEBRA LINEAL
DIFERENCIA DE VECTORES
Sean los vectores a y b le diferencia es el vector )( baba donde b es el vector
opuesto de b el cual ya fue definido
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Si k es un nuacutemero real y a )( naaa 21 es un vector el producto de un vector por un escalar
k a se define como el vector k a )( 21 nkakaka
EJEMPLOS Sean los vectores 20)1( a y )011(b Entonces
)11(11)1020(1(011)20)1( ba
)120(0)2)(1(20)1( a
)13(0)2111(0120)(011)( 1 ab
5041(0)2)((1) 222 a
La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con vectores de hasta dimensioacuten
3 Para trabajar con vectores debemos seleccionar primero el MODE 8VECTOR
Nos aparece la pantalla siguiente donde podemos trabajar hasta con 3 vectores
denominados VctA VctB y VctC
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Al seleccionar uno de los vectores normalmente 1 VctA nos aparece otra pantalla
para elegir la dimensioacuten que podraacute ser 2 oacute 3
Una vez elegida la dimensioacuten vamos introduciendo ordenadamente las componentes
del vector pulsando la tecla despueacutes de cada nuevo ingreso De esta forma
queda almacenado en memoria el vector A Podemos repetir la operacioacuten con el B y
el C
Para operar con los vectores debemos entrar en el submenuacute de operaciones
pulsando Nos aparece el siguiente menuacute
1 Dim nos permite dimensionar el vector
2 Data introducimos las componentes del vector
3 VctA hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector A
4 VctB hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector B
5 VctC hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector C
6 VctAns es la memoria de respuesta de los caacutelculos matriciales
7 Dot es el operador para el producto escalar
El producto vectorial (para vectores de orden 3) lo haremos con la tecla
En el ejemplo Sean los vectores
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La suma es
El opuesto del vector a es
La doferencia de b-a
Y la norma del vector a es
Notando que
EJERCICIO Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k
calcular cbacbacbababba kkk )(
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adicioacuten de vectores cumple con las siguientes leyes Dados tres vectores ba y c tenemos
que
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1A abba (Ley conmutativa)
2A )()( cbacba (Ley asociativa)
3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o
nulo de la adicioacuten)
4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicacioacuten de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes Dados dos
vectores ba y dos escalares 21 kk en R tal que se cumple
1M akkakkakk 212121 )()(
2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva)
3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva)
4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de la suma vectorial desde 1A hasta la 4A
Por ejemplo Demostremos que se cumple la propiedad 1A Sean los vectores
)( naaaa 21 )( 21 nbbbb donde nn bbbaaa 2121 son nuacutemeros reales de
acuerdo con la definicioacuten de vector Luego
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn
vectoresde suma de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros de
adicioacuten la de aconmutativ Propiedad )(
vectoresde suma de Definicioacuten )(
)()(
2121
2211
2211
2121
NOTA Obseacutervese que la demostracioacuten se basa en las propiedades de los nuacutemeros reales las
cuales son como las enunciadas en 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M pero para
un campo de nuacutemeros
2 Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A se puede demostrar que la ecuacioacuten
vectorial bxa tiene la uacutenica solucioacuten )( ababx Usando este resultado
demuestre que
a El vector 0 es uacutenico es decir si 0 aa entonces 00
b El vector a es uacutenico es decir si 0 aa entonces aa
c aa )( para todo vector a
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3 Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector desde 1M hasta
la 4M
Por ejemplo Sean el vector )( naaaa 21 y los escalares 21 kk en R Luego
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vectorpor escalar un de producto
del definicioacuten lacon acuerdo De ))(( )(
reales nuacutemeros los
de asociativa Propiedad )()()( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )()(
)()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M
se dice que es un espacio vectorial sobre R Se nombra la terna )( nR es un espacio vectorial
sobre R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera Veamos los siguientes ejercicios de abajo
EJERCICIOS
1 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
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2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
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Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 10 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
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1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
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Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 3 AacuteLGEBRA LINEAL
Al seleccionar uno de los vectores normalmente 1 VctA nos aparece otra pantalla
para elegir la dimensioacuten que podraacute ser 2 oacute 3
Una vez elegida la dimensioacuten vamos introduciendo ordenadamente las componentes
del vector pulsando la tecla despueacutes de cada nuevo ingreso De esta forma
queda almacenado en memoria el vector A Podemos repetir la operacioacuten con el B y
el C
Para operar con los vectores debemos entrar en el submenuacute de operaciones
pulsando Nos aparece el siguiente menuacute
1 Dim nos permite dimensionar el vector
2 Data introducimos las componentes del vector
3 VctA hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector A
4 VctB hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector B
5 VctC hace referencia a ese vector nos permite llamar al vector C
6 VctAns es la memoria de respuesta de los caacutelculos matriciales
7 Dot es el operador para el producto escalar
El producto vectorial (para vectores de orden 3) lo haremos con la tecla
En el ejemplo Sean los vectores
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La suma es
El opuesto del vector a es
La doferencia de b-a
Y la norma del vector a es
Notando que
EJERCICIO Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k
calcular cbacbacbababba kkk )(
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adicioacuten de vectores cumple con las siguientes leyes Dados tres vectores ba y c tenemos
que
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1A abba (Ley conmutativa)
2A )()( cbacba (Ley asociativa)
3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o
nulo de la adicioacuten)
4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicacioacuten de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes Dados dos
vectores ba y dos escalares 21 kk en R tal que se cumple
1M akkakkakk 212121 )()(
2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva)
3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva)
4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de la suma vectorial desde 1A hasta la 4A
Por ejemplo Demostremos que se cumple la propiedad 1A Sean los vectores
)( naaaa 21 )( 21 nbbbb donde nn bbbaaa 2121 son nuacutemeros reales de
acuerdo con la definicioacuten de vector Luego
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn
vectoresde suma de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros de
adicioacuten la de aconmutativ Propiedad )(
vectoresde suma de Definicioacuten )(
)()(
2121
2211
2211
2121
NOTA Obseacutervese que la demostracioacuten se basa en las propiedades de los nuacutemeros reales las
cuales son como las enunciadas en 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M pero para
un campo de nuacutemeros
2 Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A se puede demostrar que la ecuacioacuten
vectorial bxa tiene la uacutenica solucioacuten )( ababx Usando este resultado
demuestre que
a El vector 0 es uacutenico es decir si 0 aa entonces 00
b El vector a es uacutenico es decir si 0 aa entonces aa
c aa )( para todo vector a
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3 Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector desde 1M hasta
la 4M
Por ejemplo Sean el vector )( naaaa 21 y los escalares 21 kk en R Luego
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vectorpor escalar un de producto
del definicioacuten lacon acuerdo De ))(( )(
reales nuacutemeros los
de asociativa Propiedad )()()( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )()(
)()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M
se dice que es un espacio vectorial sobre R Se nombra la terna )( nR es un espacio vectorial
sobre R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera Veamos los siguientes ejercicios de abajo
EJERCICIOS
1 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
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2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 8 AacuteLGEBRA LINEAL
Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 4 AacuteLGEBRA LINEAL
La suma es
El opuesto del vector a es
La doferencia de b-a
Y la norma del vector a es
Notando que
EJERCICIO Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k
calcular cbacbacbababba kkk )(
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
La adicioacuten de vectores cumple con las siguientes leyes Dados tres vectores ba y c tenemos
que
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1A abba (Ley conmutativa)
2A )()( cbacba (Ley asociativa)
3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o
nulo de la adicioacuten)
4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicacioacuten de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes Dados dos
vectores ba y dos escalares 21 kk en R tal que se cumple
1M akkakkakk 212121 )()(
2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva)
3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva)
4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de la suma vectorial desde 1A hasta la 4A
Por ejemplo Demostremos que se cumple la propiedad 1A Sean los vectores
)( naaaa 21 )( 21 nbbbb donde nn bbbaaa 2121 son nuacutemeros reales de
acuerdo con la definicioacuten de vector Luego
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn
vectoresde suma de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros de
adicioacuten la de aconmutativ Propiedad )(
vectoresde suma de Definicioacuten )(
)()(
2121
2211
2211
2121
NOTA Obseacutervese que la demostracioacuten se basa en las propiedades de los nuacutemeros reales las
cuales son como las enunciadas en 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M pero para
un campo de nuacutemeros
2 Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A se puede demostrar que la ecuacioacuten
vectorial bxa tiene la uacutenica solucioacuten )( ababx Usando este resultado
demuestre que
a El vector 0 es uacutenico es decir si 0 aa entonces 00
b El vector a es uacutenico es decir si 0 aa entonces aa
c aa )( para todo vector a
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3 Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector desde 1M hasta
la 4M
Por ejemplo Sean el vector )( naaaa 21 y los escalares 21 kk en R Luego
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vectorpor escalar un de producto
del definicioacuten lacon acuerdo De ))(( )(
reales nuacutemeros los
de asociativa Propiedad )()()( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )()(
)()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M
se dice que es un espacio vectorial sobre R Se nombra la terna )( nR es un espacio vectorial
sobre R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera Veamos los siguientes ejercicios de abajo
EJERCICIOS
1 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
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2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
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Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
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1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
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EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
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El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 5 AacuteLGEBRA LINEAL
1A abba (Ley conmutativa)
2A )()( cbacba (Ley asociativa)
3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o
nulo de la adicioacuten)
4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)
La multiplicacioacuten de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes Dados dos
vectores ba y dos escalares 21 kk en R tal que se cumple
1M akkakkakk 212121 )()(
2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva)
3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva)
4M aa 1 (Elemento neutro del producto)
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de la suma vectorial desde 1A hasta la 4A
Por ejemplo Demostremos que se cumple la propiedad 1A Sean los vectores
)( naaaa 21 )( 21 nbbbb donde nn bbbaaa 2121 son nuacutemeros reales de
acuerdo con la definicioacuten de vector Luego
ab
aaabbb
ababab
bababa
bbbaaaba
nn
nn
nn
nn
vectoresde suma de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros de
adicioacuten la de aconmutativ Propiedad )(
vectoresde suma de Definicioacuten )(
)()(
2121
2211
2211
2121
NOTA Obseacutervese que la demostracioacuten se basa en las propiedades de los nuacutemeros reales las
cuales son como las enunciadas en 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M pero para
un campo de nuacutemeros
2 Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A se puede demostrar que la ecuacioacuten
vectorial bxa tiene la uacutenica solucioacuten )( ababx Usando este resultado
demuestre que
a El vector 0 es uacutenico es decir si 0 aa entonces 00
b El vector a es uacutenico es decir si 0 aa entonces aa
c aa )( para todo vector a
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 6 AacuteLGEBRA LINEAL
3 Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector desde 1M hasta
la 4M
Por ejemplo Sean el vector )( naaaa 21 y los escalares 21 kk en R Luego
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vectorpor escalar un de producto
del definicioacuten lacon acuerdo De ))(( )(
reales nuacutemeros los
de asociativa Propiedad )()()( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )()(
)()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M
se dice que es un espacio vectorial sobre R Se nombra la terna )( nR es un espacio vectorial
sobre R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera Veamos los siguientes ejercicios de abajo
EJERCICIOS
1 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
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2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 8 AacuteLGEBRA LINEAL
Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 10 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 13 AacuteLGEBRA LINEAL
Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 14 AacuteLGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
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2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
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Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
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Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 6 AacuteLGEBRA LINEAL
3 Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector desde 1M hasta
la 4M
Por ejemplo Sean el vector )( naaaa 21 y los escalares 21 kk en R Luego
akkakk
aaakkakk
akkakkakkakk
akkakkakkakk
akakakkakk
aaakkakk
n
n
n
n
n
)()(
un vectorpor escalar un de producto
del definicioacuten lacon acuerdo De ))(( )(
reales nuacutemeros los
de asociativa Propiedad )()()( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )( )(
un vectorpor escalar un de producto del
definicioacuten lacon acuerdo De )()(
)()(
2121
212121
2122112121
2122112121
22212121
212121
El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A 2A 3A 4A 1M 2M 3M y 4M
se dice que es un espacio vectorial sobre R Se nombra la terna )( nR es un espacio vectorial
sobre R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio
vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera Veamos los siguientes ejercicios de abajo
EJERCICIOS
1 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
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2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
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Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
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Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 7 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros reales R o complejos C ) y
nm nuacutemeros naturales Ademaacutes 21 mEm nEn 21 y definamos el
conjunto
funcioacuten o aplicacioacuten una )( fKEEfKM nmnm
Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota
)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar
Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre K
OBSERVACIOacuteN Basta observar que )()( KXAKM nm donde nm EEx
Ahora bien se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad En
general el siacutembolo au serviraacute para denotar un vector unitario de la misma direccioacuten y el mismo
sentido que el vector a diferente de cero Es claro que tal vector unitario se obtiene al
multiplicar a por a
1 es decir
a
aua Este proceso se llama normalizacioacuten como veremos
maacutes adelante
EJERCICIO Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario
Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccioacuten y sentido que otro vector b
diferente de cero si para cualquier 0k es kba En caso que se cumpla que kba 0b y
0k entonces se dice que a tiene igual direccioacuten que b pero sentido opuesto En el primer
caso los fiacutesicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos
Ademaacutes para que un vector quede uniacutevocamente determinado es necesario tener su direccioacuten
sentido y longitud
OBSERVACIOacuteN Un espacio n -dimensional o tambieacuten llamado euclidiano se clasifican asiacute
1R = espacio unidimensional liacutenea recta real 2R = espacio bidimensional pares ordenados
R3 = espacio tridimensional terna ordenadas
nR = espacio n-dimensional n-adas ordenadas o n -uplas
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 8 AacuteLGEBRA LINEAL
Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 9 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 10 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 11 AacuteLGEBRA LINEAL
Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
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1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
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2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
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Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
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programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
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Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
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Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
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Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 8 AacuteLGEBRA LINEAL
Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma
y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma
el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por un escalar
COMBINACIOacuteN LINEAL
Dados el vector a no nulo un conjunto de n vectores nvvv 21 y los n escalares
n 21 se dice que a es combinacioacuten lineal de los n vectores si se cumple
nnvvva 2211
EJEMPLO Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d Expresa si
es posible el vector d como combinacioacuten lineal de a b y c
Solucioacuten Debemos encontrar tres nuacutemeros x y z tales que zcybxad
Es decir 501111321311 z y x -
z y x y x z y x - 532311
Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo
353
12
1
zyx
yx
zyx
Sea
Tenemos que
6
513
012
111
A
06
0
6
313
112
111
36
18
6
533
012
111
26
12
6
513
011
111
zyx
Por tanto 0 z -3y 2 x Y asiacute cbad 032
EJERCICIOS
1) Determina la expresioacuten general de los vectores de 3R que son combinacioacuten lineal de los
vectores )( 121 y )( 114 Solucioacuten )( 24
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2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 10 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
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Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
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programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
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Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
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Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 9 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Dados los vectores 48 )(au )( 021v y )( 210w Halla los valores de a para que u
se pueda expresar como combinacioacuten lineal de v y de w Solucioacuten 3a
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucioacuten no trivial esto quiere
decir que la combinacioacuten lineal denotada asiacute 02211 nnvvv o sea que tiene una
solucioacuten uacutenica
PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea nvvvS 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de
la ecuacioacuten vectorial 02211 nnvvv (que es la misma que combinacioacuten lineal
donde n 21 son escalares) se escribe un sistema homogeacuteneo de ecuaciones lineales en
variable n 21 Despueacutes se hace Gauss-Jordaacuten a la matriz aumentada para diagonalizarla
si la solucioacuten de la diagonalizacioacuten tiene solamente solucioacuten trivial
n 021 entonces S es linealmente independiente O tambieacuten se halla el
determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores
Si un conjunto nvvvS 21 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno
de los vectores jv puede expresarse como una combinacioacuten lineal de los demaacutes vectores S
EJEMPLO Comprueba si los vectores 1) 1 (1y 1) 1- (1 1)- 1 (1 de 3R son linealmente
independientes
Solucioacuten Primero formemos una matriz A con los vectores es decir
111
111
111
A
Luego hallemos el determinante de esa matriz es decir det A
0431)111()111(
111
111
111
detdet
A
Y como el determinante no es nulo los vectores son linealmente independientes
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 10 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
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Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 13 AacuteLGEBRA LINEAL
Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 14 AacuteLGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
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6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
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Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 10 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLO El meacutetodo del ejemplo anterior no es la uacutenica manera de saber si unos vectores son
linealmente independientes veamos los vectores )012( y )123( los cuales son linealmente
independientes En efecto si escribimos
000123012 -y - x
Es decir formamos el siguiente sistema de ecuaciones
0
02
032
y
yx
yx
El cual soacutelo tiene la solucioacuten trivial yx
EJERCICIOS
1) Los vectores )302( )021( y )623( son linealmente dependientes
En efecto haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo
2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t(0 t)1 (1 y
t)2- (1 sean linealmente dependientes
Solucioacuten Si son linealmente dependientes uno de ellos se podraacute expresar como combinacioacuten
lineal de los otros restantes por tanto
(1 1 t) = (0 t 1-t) + (1 -2 t)
Y de aquiacute se obtiene
ttt)-(1
12-t
1
Y de aquiacute resulta
0)t1(
3t
Si 1t0t-1 oacute 00)t1( Y si t = 1 = 3
La relacioacuten de dependencia es )121(1)010(3)111( es decir
)000()121(1)010(3)111(
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 11 AacuteLGEBRA LINEAL
Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
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Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
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Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
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EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 11 AacuteLGEBRA LINEAL
Otro meacutetodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores Observando
estos dos vectores )23(1 v y )46(2 v geomeacutetricamente como en la siguiente de abajo
uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes
Tambieacuten podemos graficar estos dos vectores )21(1 v y )23(2 v de la figura de abajo para
chequear la independencia lineal
EJERCICIOS
1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa
foacutermula de determinantes
2) Verificar que los vectores )321( y )111( son linealmente independientes
3) Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente
independientes cualquiera que sea el valor de k
4) Halle los valores de m para que los vectores )110( )102( y )11( mm sean
linealmente independientes
5) Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los
vectores sean linealmente dependientes
ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO
Para encontrar el aacutengulo entre dos vectores distintos de cero usamos la foacutermula
vu
vuv(u Cos φ 2211
DEFINICIOacuteN Donde los vectores son uu u 21 y vv v 21 y donde 2211 v u vu se
denota como producto punto o producto interno de dos vectores
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 13 AacuteLGEBRA LINEAL
Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 14 AacuteLGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 12 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1) Halla el aacutengulo que forman los vectores )623(u y )154(v
Solucioacuten Calculemos lo siguiente
461012 vu
7493649|||| u 4212516|||| v
Luego
427
4
||||||||
cos
vu
vu
Buscando con la calculadora el aacutengulo cuyo coseno es 427
4 se obtiene el siguiente aacutengulo
ordm9484
Usando la calculadora
Sean los vectores
El producto interno es
Guardandolo en memoria
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 13 AacuteLGEBRA LINEAL
Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 14 AacuteLGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 13 AacuteLGEBRA LINEAL
Las normas de los vectores son
Multiplicando lo anterior
Guardandolo en memoria
Luego calculando el coseno inverso
En grados sexagesimales
2) Halla el valor de a para que los vectores )512(u y )62(av sean perpendiculares
Solucioacuten Para que sean perpendiculares el producto escalar ha de ser nulo por tanto
0)62)(512( a 03022 a
Y de aquiacute se obtiene a 16
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 14 AacuteLGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 14 AacuteLGEBRA LINEAL
Verifiquemos con la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto escalar o interno es
El producto punto para nR se denota nn v u v uv uvu 2211 las propiedades que
cumple son Donde c es un escalar y que wvu son vectores cualesquiera en nR
1) u vvu (Ley de simetriacutea)
2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)
3) vucvuvcuvuc
4) 0vv y 0vv si soacutelo si 0v (El producto interno es positivo)
5) 2
vvv (Definicioacuten de norma de un vector)
DESIGUALDAD DE CAUCHY ndash SCHWARZ
La desigualdad de Cauchy ndash Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor
absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el
aacutengulo entre dos vectores en nR asiacute
vu
v u Cos φ
Esta foacutermula nos define aacutengulos entre dos vectores si vu 0 se dice que los aacutengulos son
ortogonales
LA DESIGUALDAD DEL TRIAacuteNGULO
Dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v || || u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 15 AacuteLGEBRA LINEAL
EL TEOREMA DE PITAacuteGORAS
Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores
ortogonales iquestSeraacute cierto que || v || || u || v |||| u 222 Dar una interpretacioacuten
geomeacutetrica
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades del producto interno de vectores
Por ejemplo demostremos la simetriacutea Sean dos vectores )( nuuuu 21 y
)( nvvvv 21 luego
uv
uuuvvv
uvuvuv
vuvuvu
vvvuuuvu
nn
nn
nn
nn
interno producto de Definicioacuten )()(
reales nuacutemeros los
de producto del aconmutativ Propiedad
interno producto de Definicioacuten
)()(
2121
2211
2211
2121
2 Dados los vectores )( 312 u y )( 224 v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sea 321 eee una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextroacutegira y los vectores
332211 eueueuu y 332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de
u y v se representa por vu al vector
cofactores los de Metodos
matriz una de tedeterminan de Definicioacuten
3
22
11
2
31
31
1
32
32
321
321
321
312212311312332
evv
uue
vv
uue
vv
uu
vvv
uuu
eee
evuvuevuvuevuvuvu
detdetdet
det
Las propiedades del producto cruz son Sean los vectores u v w y un escalar c en los
nuacutemeros reales
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 16 AacuteLGEBRA LINEAL
1 uvvu (Ley anticonmutativa)
2 wuvuwvu (Ley distributiva)
3 cuvucvvuc
4 0uu
EJEMPLOS
1) Calcula el producto vectorial de los vectores )371( u y )405(v
Solucioacuten Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo
405
371
- v
- u
Luego
35) 11 28(0 5-
7 1
5- 4
1 3-
4 0
3- 7
vu
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
2) Dados los vectores 6) 1 (4 y v 5) 2 (3 u halla un vector perpendicular a ambos y el
aacuterea del paralelogramo que determinan
Solucioacuten Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
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SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
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Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 17 AacuteLGEBRA LINEAL
6) 1 (4 v
5) 2 (3 u
Luego
5)- 2 7(1 4
2 3
4 6
3 5
6 1
5 2
vu
El producto vectorial puede obtenerse tambieacuten desarrollando el siguiente determinante
)527(527185832012
614
523 kjijikkji
kji
vu
El aacuterea del paralelogramo que determinan es el moacutedulo del producto vectorial
Aacuterea = 78)5(27|||| 222 vu
O bien Aacuterea = 2u 78
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
Y su norma (aacuterea) es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 18 AacuteLGEBRA LINEAL
Ya que
3) Halla un vector w cuyo moacutedulo sea 4 y ademaacutes perpendicular a )102(u y )213( v
Solucioacuten Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada
uno de ellos por tanto )211(1- 3
0 2
3 2
2 1
2 1-
1 0 vu
Lo dividimos por su moacutedulo
para obtener un vector de moacutedulo unidad )211(vu Es perpendicular a u y a v
6)2()1(1||vu|| 222
62
61
61)211(
6
1
||vu||
vu
El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado
3
64
3
62
3
62
6
2
6
1
6
14w
Usando la calculadora
Sean los vectores
Luego el producto vectorial es
La norma es
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
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PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 19 AacuteLGEBRA LINEAL
Guardando en la memoria
Ahora buscando un vector unitario
Por uacuteltimo multiplicaacutendolo por 4
Notando que
VERSOR
Representacioacuten graacutefica del versor asociado a un vector
u
u u u
u
1u u
u
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 20 AacuteLGEBRA LINEAL
VECTOR PROYECCIOacuteN
Se necesita obtener la proyeccioacuten del vector
a en la direccioacuten del vector
b Ello se
simboliza b
a
Proy
PROPIEDADES
Sea Proy axb
entonces verificar geomeacutetrica y algebraicamente se cumple que
i bx
ii bxa
iii xxaa
EJERCICIOS
1 Demostrar las propiedades de vector proyeccioacuten
2 Demostrar las propiedades del producto cruz
3 Los vectores 2kia kjib 2 y kjic 22 estaacuten expresados en una base
ortonormal Calcula ba )( aca y )( baa
Solucioacuten kjiba 52 kjiaca 4108)( 0)( baa
4 Demuestre que siacute u y v son vectores cualesquiera se tiene que
)()()( vuvuvu 2
Sugerencia Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa
y la propiedad 4 ( 0uu )
5 iquestEs cierto que )()( wvuwvu Para cualesquiera triacuteo de vectores vu y w
Falso Sugerencia use los vectores )()( 001 001 vu y )( 010w
Proyb
a k b
a
ba
Proyb b
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 21 AacuteLGEBRA LINEAL
SUBESPACIO VECTORIAL
Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio
vectorial de V Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por
un escalar definidas en V Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las
propiedades de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar tambieacuten debe cumplir la ley
del elemento neutro bajo la suma el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacioacuten por
un escalar
EJEMPLOS
1 Sea 3RV y VS definido por 0)( xVzyxS Entonces S es un subespacio
vectorial de V ya que )000( S y si )( 321 Sxxx tenemos que
)()()( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma
pertenece a S pues 00011 yx De manera anaacuteloga tomamos Syyy )( 321 y
R entonces )()( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que 01 x
Asiacute S es un subespacio vectorial de V
2 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en continuafuncioacuten una es RfVfS
Entonces S es un subespacio vectorial de V ya que la funcioacuten ideacutenticamente nula es una
funcioacuten continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por
todopara )()())(( Rxxgxfxgf
Y el producto de una constante R por una funcioacuten continua f definida por
todopara )())(( Rxxfxf
Son funciones continuas Asiacute S es un subespacio vectorial de V
EJERCICIOS
1) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 22 AacuteLGEBRA LINEAL
2) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en ordenes los todosde derivadas admite quefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
3) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en creciente nteestrictamefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S no es un subespacio vectorial de V
NOTA Sabemos que una funcioacuten es estrictamente creciente en R si para todo par de valores
Rxx se cumple que
)()( xfxfxx
Sugerencia Basta probar que la funcioacuten ideacutenticamente nula no pertenece a S
4) Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
)()( R x todopara xfxfVfT
Probar que S y T son un subespacios vectoriales de V
NOTA Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente
OBSERVACIOacuteN Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades
de cierre de la suma y la multiplicacioacuten por un escalar
BASE Y DIMENSIOacuteN
En un conjunto nvvvS 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple
que si el espacio vectorial tiene una base con un nuacutemero finito de vectores entonces V es de
dimensioacuten finita y en caso contrario es de dimensioacuten infinita
BASE Y DEPENDENCIA LINEAL
Si un conjunto finito nvvvS 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto
que contiene maacutes de n vectores de V es linealmente dependiente
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 23 AacuteLGEBRA LINEAL
EJEMPLOS
1 Estudia si los vectores 1) (01 0) 1 (1 y )1 1 (2 forman una base de 3R
Solucioacuten Hemos de saber que
Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de
2R
Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de
3R
Etc
En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formaraacuten una base haga
los caacutelculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y por tanto no
forman una base de 3R
2 El vector )( 231 v estaacute dado en la base canoacutenica Halla sus componentes respecto de la
base )320()101()111(B
Solucioacuten Hagamos )320()101()111()231(
Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones
23
32
1
Sumando la 1ordf ecuacioacuten cambiada de signo a las otras dos se nos reduce el sistema de
ecuaciones al siguiente
33
22
1
Y entonces 4 Si el valor de lo llevamos a la 1ordf ecuacioacuten del sistema inicial
514 El vector v queda expresado en funcioacuten de los elementos que forman la base
en la forma siguiente )320(1)101(4)111(5)231(
EJERCICIOS
1 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base Solucioacuten Como son tres vectores
basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) cbax 12811
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 24 AacuteLGEBRA LINEAL
2 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a
b y c
3 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
NUacuteMERO DE VECTORES DE UNA BASE
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n
vectores
DIMENSIOacuteN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensioacuten de esa
base y se denota )dim( nV Teoacutericamente la dimensioacuten se determina al hallar el conjunto de
vectores linealmente independientes que genera el subespacio este conjunto es una base del
subespacio y la dimensioacuten del mismo es el nuacutemero de vectores que hay en la base
Para ver que una base en un espacio n-dimensional Siendo V su espacio vectorial y nn
entonces nvvvS 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en V
entonces S es una base de V
EJEMPLO Si nvvvS 21 genera a V entonces S es una base de V
OBSERVACIONES
1 Si W es un subespacio vectorial de V dimdim VW Si 0
W 0dim W
2 Si 21WW son subespacios vectoriales de V se tiene
dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW
En particular dimW2 dimW1 W2) dim(W1
Donde recordemos lo siguiente
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma
22112121 WvWvvvV vv W W
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 25 AacuteLGEBRA LINEAL
El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V Si 0 W W 21
la suma se dice
directa y se denota WW 21 Si V WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios
o complementarios
NOTA Recordar que 0
es otra notacioacuten del vector nulo y 0
es el conjunto unitario formado
por el vector nulo
EJEMPLO Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
Solucioacuten Las ecuaciones parameacutetricas de U son y z y x 0 Por tanto
R)( U 0
Luego una base de U es 110 )( BU Y U 1dim
Las ecuaciones parameacutetricas de V son y 22 z - y -x Por tanto
R) -( V 22
Luego una base de V es 122 ) ( BV Y V 1dim
El subespacio interseccioacuten es
(000)
0
0200
3
3
z y x R(x y z)
z y x x y -z x R(xy z) V U
El subespacio suma es )) () ( L( V U 122110 Esto es VU (xy z) si
existen Rα β tales que ) -(- ) ( (x y z) 122110 Esto es
z
xy
x
z
y
x2
2
2
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 26 AacuteLGEBRA LINEAL
Por tanto el sistema anterior tiene solucioacuten si y soacutelo si
xyzx
xyz2
3
2
Luego
x y - z R(x y z) V U 2
33
Y V ) (U 2dim Como ) ( V U 000 asiacute la suma es directa
NOTA Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacioacuten lineal de S
EJERCICIOS DE VECTORES
1 Dados los tres vectores )( 625a )( 782b )( 479c y el escalar 5k calcular
k )( aacbababa
2 Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial 2M acabcba )( (Ley
distributiva)
3 Demuestre que los vectores )23( k )23(k y )011( son linealmente independientes
cualquiera que sea el valor de k
4 Dados los vectores )( 321 )( 111 y )( 51 hallar el valor de para que los vectores
sean linealmente dependientes
5 Dados los vectores )312(u y )294( v hallar vu y el aacutengulo que forman los
vectores u y v
6 Dados los vectores 6) 9- (4 y v 5) 4 (-6 u halla un vector perpendicular a ambos y
el aacuterea del paralelogramo que determinan
7 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
en derivablefuncioacuten una es RfVfS
Probar que S es un subespacio vectorial de V
8 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
)()( R x todopara xfxfVfS
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones pares
9 Prueba que los vectores (111)y (1-11) 111 cba )( son una base de 3R Halla
las componentes del vector )( 1597x en esta base
10 Dados los vectores )( 321a )( 111b )( 501c y )( 311d iquestForman una base
de 3R Exprese si es posible el vector d como combinacioacuten lineal de los vectores a b y
c
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F
TEMA II ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)
PROFESOR JULIO C BARRETO G 27 AacuteLGEBRA LINEAL
11 Dados los vectores )( 012 u y )( 123 v iquestSon linealmente independientes
iquestForman una base de 3R Halla un vector w tal que 2
32v
wu
12 Se consideran los siguientes subespacios de R3
00 3 z y x Rz) y(x U
022 3 z y x x jR z) y(x V
Hallar una base de U otra de V la dimensioacuten de U V y los subespacios V U y V U
13 Sea X un conjunto no vacioacute K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nuacutemeros
reales R o complejos C ) y
funcioacuten o aplicacioacuten una es )( fKXfKXAV
Definamos
XxxfxfVfK
XxxgxfxgfVgf
)())((
)()())((
Demostrar que la terna )( V es un espacio vectorial sobre K
14 Sea funcioacuten una o aplicacioacuten una es )( fRRfRRAV y
xfxfRxVfS todopara
Es S es un subespacio vectoriales de V (Es el subconjunto de las funciones impares
15 Demuestre la desigualdad de Cauchy ndash Schwarz De una idea geomeacutetrica
16 Demuestre la desigualdad triaacutengulo De una idea geomeacutetrica
17 Demuestre el teorema de Pitaacutegoras De una idea geomeacutetrica
REFERENCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS
Anton H (1994) Introduccioacuten al Aacutelgebra Lineal Tercera Edicioacuten Editorial Limusa S
A de C V Noriega Editores Meacutexico
Barreto J (2015) Introduccioacuten al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos
eleacutectricos al balanceo de ecuaciones quiacutemicas a la investigacioacuten de operaciones y la
programacioacuten lineal Coleccioacuten de Universitaria Volume 1 Spanish Edition ISBN-
10 1506029175 ISBN-13 978-1506029177 Antildeo 2015
httpswwwcreatespacecom5230822
Luiacutes Gonzaacutelez (1981) Aacutelgebra II Universidad Nacional Abierta Deacutecima primera
reimpresioacuten 2007 Caracas Venezuela
Tom Apoacutestol (2005) Calculus Caacutelculo con funciones de varias variables y aacutelgebra
lineal con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades Editorial
Reverteacute
Serge Lang (1976) Aacutelgebra Lineal Fondo Interamericano S A Meacutexico D F