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SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA Tema II.

Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas.

I. Introducción

II. Mecánica de un medio elástico.� Ecuación del desplazamiento en un medio

elástico, isótropo, homogéneo e infinito.Ecuación de Navier.

� Ecuación de ondas: Ondas P y ondas S.� Solución de la ecuación de ondas. Frentes de onda y

rayos.� Desplazamiento, velocidad y aceleración.� Ondas Planas.

III. Desplazamientos de las ondas (uP, uS)

� Funciones potenciales del desplazamiento y dela fuerza.

� Expresiones analíticas del desplazamientp.� Geometria del desplazamiento de las ondas P y S.� Funciones potenciales particulares.

IV. Propiedades de las ondas al cambiar de medio depropagación.

� Principio de Fermat y Ley de Snell� Reflexión y refracción en la superficie de

discontinuidad de dos medios líquidos.� Rayo de incidencia normal (i=0). Incidencia crítica (ic)

V. Propagación de los rayos sísmicos. Trayectorias ytiempos de llegada

SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA Tema II.

Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas.

I. Introducción

II. Mecánica de un medio elástico.� Ecuación del desplazamiento en un medio

elástico, isótropo, homogéneo e infinito.Ecuación de Navier.

� Ecuación de ondas: Ondas P y ondas S.� Solución de la ecuación de ondas. Frentes de onda y

rayos.� Desplazamiento, velocidad y aceleración.� Ondas Planas.

III. Desplazamientos de las ondas (uP, uS)

� Funciones potenciales del desplazamiento y dela fuerza.

� Expresiones analíticas del desplazamientp.� Geometria del desplazamiento de las ondas P y S.� Funciones potenciales particulares.

IV. Propiedades de las ondas al cambiar de medio depropagación.

� Principio de Fermat y Ley de Snell� Reflexión y refracción en la superficie de

discontinuidad de dos medios líquidos.� Rayo de incidencia normal (i=0). Incidencia crítica (ic)

V. Propagación de los rayos sísmicos. Trayectorias ytiempos de llegada

TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS: ONDAS INTERNAS

Objetivo: Estudiar las ideas más fundamentales de la elasticidadaplicada al estudio de la propagación en el interior de la Tierra delas ondas sísmicas

2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO.

2.2.1 Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo,homogéneo e infinito. Ecuación de Navier.

2ª Ley de Newton:r r rFdV TdS

d

dtdV

VSV+ = ∫∫∫ ρυ

F: Fuerzas por unidad de volumenT: Vector de Esfuerzos (fuerza/superficie)

TEMA 2: PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS

2.2 MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS

rTdS

S∫

T: se puede expresar en términos del tensor de esfuerzos de acuerdo con la Ecuación de Cauchy: Ti ij j= τ υ

Sustituyo y Aplico T. Gauss� τ ν∂τ

∂ij j

ij

jVS

dSx

dV= ∫∫Sustituyo y agrupo todo como una integral de volumen �

∂τ

∂ρ

υρ

∂υ

∂ν

∂υ

∂

ij

j

i

i i

j

i

jxF

d

dt t x+ = = +

2.2.1 Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo,homogéneo e infinito. Ecuación de Navier.



Ecuaciones de un Medio Elástico

Relación esfuerzos y deformaciones:(Ecuación Constitutiva)

eu

x

u

xij

i

j

j

i

= +

1

2

∂

∂

∂

∂

Si el medio es elástico: Ley de Hooke: τ ij ijkl klC e=

La cte es un tensor de cuarto rango que debido a la simetría tiene 21 elementos distintos. Isotropía � que sólo dos son idptes �τ δ λ µij ij kk ije e= + 2 λ y µ coef. de Lamé

Si el medio es homogéneo� λ y µ son ctes.µ: módulo de cizalla o rigida y relaciona los esfuerzos ydeformaciones cortantes o de cizalla

µτ

ij

ij

ije=

2



Ecuaciones de un Medio Elástico

λ µ= −K2

3K: coeficiente volumétrico o de compresibilidad

KP

conV

Ve e e

u

x

u

x

u

x=

−= = + + = + +

θµ θ

δ ∂

∂

∂

∂

∂

∂; 11 12 13

1

1

2

2

3

3

Relación entre elongaciones y contracciones en dos direcciones perpendiculares lo da el coeficiente de Poisson:

σλ

λ µ=

−=

+

e

e

22

11 2( )0 < σ < 1/2

Para la corteza y manto de la Tierra σ = ¼ � λ = µ



Ecuaciones de un Medio Elástico∂τ

∂ρ

υρ

∂υ

∂ν

∂υ

∂

ij

j

i

i i

j

i

jxF

d

dt t x+ = = +

eu

x

u

xij

i

j

j

i

= +

1

2

∂

∂

∂

∂τ δ λ µij ij kk ije e= + 2F = 0 (No F.Ext)

Ec: Navier

2

222

2

22

t

u

t

uu)u()(

∂

∂=ω×∇β−θ∇α

∂

∂ρ=∇µ+⋅∇∇µ+λ

rrrr

rrrrr


Aplico el operador divergencia �∇ = =+2

2

2

2

1 2θ

α

∂ θ

∂α

λ µ

ρtcon;

Aplico el operador rotacional � ∇ = =22

2

2

1ω

β

∂ ω

∂β

µ

ρtcon;

Son ecuaciones de onda: La 1º representa una perturbación elástica de cambio de volumen sin cambio de forma (onda longitudinal) con velocidad α (Ondas P )La 2ª representa cambios de forma sin cambio de volumen (ondastransversales, su velocidad es β (onda S)Ambas son llamadas Ondas Internas: Propuestas por Poisson(1830) yStokes (1849).

ωωωω =∇×u

2.2.2 Ecuación de ondas: Ondas P y S.

ONDA P PROPAGÁNDOSE

ONDA S PROPAGÁNDOSE


Expresión en función de φ y ψψψψ

u = ∇∇∇∇φ + ∇∇∇∇×ψψψψ

2

2

22

2

222

2

2

22

2

222

t

1

t

t

1

t

∂

ψ∂

β=ψ∇⇒

∂

ψ∂=ψ∇β

∂

φ∂

α=φ∇⇒

∂

φ∂=φ∇α

rr

rr

u = uP + uSuP = ∇∇∇∇φ

uS = ∇∇∇∇×ψψψψ

2.2.2 Ecuación de ondas: Ondas P y S.


2.2.3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos

)t,x(ftc

1)t,x(f

x 2

2

22

2

∂

∂=

∂

∂Ecuación de ondas monodimensional

2

222

2

2

22

2

22

2

22

ckcon0)x(Rk

dx

)x(Rd

RkRcdx

)x(Rd

dx

)x(Rd

)x(R

c

ω==+

−=

ω−=⇒ω−=

0)t(Ttd

)t(Td

)t(Ttd

)t(Td

td

)t(Td

)t(T

1

22

2

22

22

2

2

=ω+

ω−=⇒ω−=

)tkx(i)tkx(i eBeA)t,x(f ω+ω− +=


f(x,t) = f(x-ct) + f(x+ct) Solución General.

Soluciones particulares)tkx(ieC)t,x(f ε+ω−=

f (x,t) = C cos[k (x-ct)+ε]f (x,t) = A cos (kx-ωt)+ B sen (kx-ωt)

C2 = A2 + B2 ε = tan-1 (B/A)

ε+

−

λπ=

T

tx2cosC)t,x(f

Fase: ξ = k ( x – ct) + ε



Frentes de onda y Rayos

{ })t)x(Sk(iexpA)t,x(f jj ε+ω−=

kt

k)x(S 1j

ε−

ω=

kt

k)x(S 2j

ε−

ω=y

i

ii

xS

xS

n

∂∂

∂∂

= : Orientación del Rayo

3

3

2

2

1

1

x

Sxd

x

Sxd

x

Sxd

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂:Trayectoria de los rayos.

∆S / ∆t = ω / k = c :Velocidad de fase



Ondas de varias frecuencias

∫∞+

∞−ω

ω−

ω

ωω

π= dt)x(S

)(ciexp)(F

2

1)t,x(f ii

)(ie)(A)(Ii)(R)(F ωΦω=ω+ω=ω

∫+∞

∞−

ω−=ω dte)t(f)(F ti



2.2.4 Desplazamiento, Velocidad y Aceleración

ε+

−ω= t

c

xcosA)t,x(u

ε+

−ωω=

∂

∂= t

c

xsenA

t

)t,x(u)t,x(v

ε+

−ωω−=

∂

∂= t

c

xcosA

t

)t,x(v)t,x(a 2


2.2.5 Ondas Planas

S(x1 , x2, x3 ) = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 :Ecuación del frente de onda

2

2

223

2

22

2

21

2

t

f

c

1

x

f

x

f

x

f

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂f(xj, t) = A exp {i kj xj - ωt + ε}

)}txn(kiexp{A jj ε+α−=φ α

)}txn(kiexp{B jjkk η+β−=ψ β

)}txn(kiexp{)n,n,n(kiA)u,u,u(u

)})txn(kiexp{A(u

jj321P3

P2

P1

Pk

jjP

ε+α−==

ε+α−∇=φ∇=

αα

α

rrr

)}txn(kiexp{

)}nBnB(),nBnB(),nBnB{(ki

)u,u,u(u

u

jj

211213313223

S3

S2

S1

Sk

S

η+β−

−−−=

==

ψ×∇=

β

β

rrr


2.2.5 Ondas Planas

La onda P se propagaen la dirección del rayo.Onda longitudinal.

La onda S se propagaperpendicularmente a la dirección del rayo.Onda transversal.


2.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S

u A i k x tk

P

k j j= − +exp [ ( ) ]α ν α ε

u B i k x tk

S

k j j= − +exp [ ( ) ]β ν β η

r r ru con= ∇ + ∇ × ∇ ⋅ =φ ψ ψ; 0



Los potenciales φ y ψψψψ son soluciones de la ec. de onda en la forma:

∇ =22

2

1φ

α

∂ φ

∂ t∇ =2

2

2

1rr

ψα

∂ ψ

∂ t

Si φ y ψψψψ funciones armónicas en el tiempo: φ(xi, t) = φ(xi)exp(jωt)

( )∇ + =2 2 0kα φ ( )∇ + =2 2 0k iβ ψ Ec. de Helmholtz

En función de los cosenos directores:{ }φ ν α εα= − +A i k x tj jexp ( )

{ }( , , ) ( , , ) exp ( )ψ ψ ψ ν β ηβ1 2 3 1 2 3= − +B B B i k x tj j



Onda P

Onda S

� u = uP + uS con uP = ∇φ y uS=∇×ψψψψ

De las anteriores ecuaciones se deduce que:.- Los desplazamientos de las ondas P son longitudinales

coincidentes con la dirección de propagación..- Los desplazamientos de las ondas S están en un plano normal

a la dirección de propagación.



En Sismología se acostumbra a referir los componentes de los desplazamientos de las ondas P y S con respecto a un sistemade ejes geográficos en la dirección Norte(X1), Oeste(X2) y zénit(X3).

tgSH

SVε =



La relación entre la dirección del rayo νi con los cosenos directores:

ν1 = sen i cos αν2 = sen i sen αν3 = cos i

• La componente SV y la onda P se mueven en el plano de incidencia.• La componente SH es normal a éste en el plano horizontal.

Si un rayo se propaga en el plano de incidencia (x1 , x3) �

ux x

u uP SV

11 3

1 1= − = +∂φ

∂

∂ψ

∂u

x xu u

P SV

33 1

3 3= − = +∂φ

∂

∂ψ

∂u u

SH

2 =



Si las ondas se propagan en la dirección positiva de x1 y x3 �

φ αα= + −A ik seni x ix texp ( cos )1 3

ψ ββ= + −B ik seni x ix texp ( cos )1 3

u C ik seni x ix t2 1 3= + −exp ( cos )β β

Luego eligiendo un sistema de ejes en el que el rayo estécontenido en el plano (x1, x3) se simplifica la solución demuchos problemas de propagación de ondas ya que de estaforma se pueden estudiar por separado los desplazamientosen el plano de incidencia (P y SV) y normales a él (SH),


2.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIODE PROPAGACIÓN

Ley de Snell:cos cos cos '

'

cos '

'

ε

α β

ε

α β= = =

f f2 sólidos

2 líquidos

Medios líquidos (sólo onda P)M

M’

ρ

ρ’

φ α

αα

α

= + − +

+ − −

A ik ex senex t

A ik ex senex t

o exp (cos )

exp (cos )1 2

1 3

φ αα' ' exp (cos ' ' ' )'= − −A ik e x sene x t1 3


Definiendo los coeficientes de reflexión V=A/Ao y deTransmisión W=A/Ao �

Vtg e tg e

tg e tg e=

−

+

ρ ρ

ρ ρ

' '

' Wtg e

tg e tg e=

+

2ρ

ρ ρ' '

Si la incidencia es normal � e = π /2

V =−

+

α ρ αρ

α ρ αρ

' '

' 'W =

+

2α ρ

α ρ αρ

'

' '

Bajo contraste de densidades � V 0 y W 1 Mucha Transmisión

Alto contraste de densidades � V 1 y W 0 Mucha Reflexión



Si α’ > α � ∃ Angulo límite para los rayos transmitidos ec, llamado ángulo crítico � cos ec = α / α’

El rayo se llama refractado crítico y se propaga paralelo a la superficie de separación.

Para ángulos e < ec toda la energía se refleja y no existen rayos transmitidos al medio M’



2.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA

Para deducir la ecuación fundamental que regula la trayectoriade un rayo sísmico aplicamos el principio de Fermat:

senip

ν=

i: ángulo con la vertical en un puntov : velocidad en dicho puntop: parámetro del rayo

v=cte� i=ctev=cambia� i=cambia

Tierra: � v=cambia con la profundidad

Conocidas v(z) y x, se puede obtenerla distancia recorrida a lo largo del rayo S,la profundidad máxima h y el tiempo t que tarda en llegar la onda.


Capas planas de velocidad constanteSi la dist. epicentral < 500 km � Rayos sólo penetran corteza yparte superior del manto. Consideramos la corteza formada por capasplanas de v = cte.

1) Rayo Directo2) Rayo Reflejado en la base de la capa3) Rayo Refractado Crítico a lo largo de

la superficie superior de medio

tx

v11

= tv

Hx

21

222

4= + t

x

v

H v v

v v32

22

12

1 2

2= +

−



Variación continua de la velocidad con la profundidad

En el interior de la Tierra (sobre todo el manto) la velocidadvaría de forma continua con la profundidad.

Sdz

i

z

= ∫ cos0

x tg i dzpdz

p

h h

= =−

∫ ∫2 20 2 20 η

tdz

i

dz

p

h h

= =−

∫ ∫2 20

2

2 20ν

η

ηcos


Trayectoria deRayos que aumentacon la profundidad

Domocrona

Curva (p,x) correspondiente


Variación continua de la velocidad con la profundidadSegún la figura anterior:

Consideremos dos rayos contiguos de parámetros p y p+dp, que llegan a distancias x y x-dx, si el recorrido del frente de onda alo largo del rayo de parámetro p en un dt es : ds = v dt �

senids

dxv

dt

dx= = Y, por tanto,

dt

dx

sen i

vp= =

Hay una relación entre la pendiente de la domocrona y p.Cuando i=90º (pto más profundo del rayo con velocidad vh)

dt

dxp

vh

= =1

La pendiente de la domocrona es la inversa de la velocidad máxima que alcanza el rayo.



Asumiendo una distribución de aumento lineal de la velocidadcon la profundidad, en la corteza y manto de la Tierra: v = vo +kz��La trayectoria de rayos es circular con radio igual a h+vo/k,luego la expresión del tiempo con la distancia será:

tk

senhkx

vo

= −2

21

Medio esférico

Para estudiar comportamiento de ondas sísmicas en el interiorde la Tierra, se ha de considera un medio esférico � La distancia entre dos puntos se toma como la distancia angular∆ y las domocronicas son ahora (t, ∆)


Rayos en un medioesférico de velocidadconstante

Domocrona:Curva limitada al intervalo0 < ∆ < π

Sea una esfera homogénea de radio R y velocidad cte v:

tR

vsen=

2

2

∆

Medio esférico

Trayectoria de unrayo en regiones esféricasde velocidad constante(V1 < V2 < V3)

seni

v

sen f

v

1

1 2

=

Triángulos PQO y SQO

r seni r sen f2 2 1= �

�r seni

vp=

Medio esférico

Trayectoria de un rayo en un medio esférico de velocidadque aumenta de forma continua con la profundidad a lo largodel radio

ds dr r d2 2 2= + ( )∆ r seni

vp= Usando L.Snell�

�r

v

d

dsp

2 ∆= Además�

ds

dr p=

−

η

η2 2

d

dr

p

r p

∆=

−

12 2η

Medio esférico

Elementos de un rayoen un medio esféricode velocidad variable.

Integrando a lo largo del rayo desdeLa superficie (ro) al punto más profundo (rp):

∆ =−

∫22 2

p

r

dr

prp

ro

ηS

dr

prp

ro

=−

∫22 2

η

η

tdr

prp

ro

=−

∫22 2

η

ν η∆: Distancia angular a la queaflora el rayo cuyo pto más profundoestá a r = rp del centro.t: tiempo de recorrido.S: Distancia recorrida a lo largo del rayo

Medio esférico

Rayos DomocronaDistribución de laVelocidad con el Radio

Aplicación de la fórmula de Herglotz-Wiechert

La distancia rp corresponde al pto del rayo donde i=90º�r

vp

dt

d

p

p

p= = =η∆

� cosh ln−

=

∫ 1

1 1

pd

r

r

o

o ηπ∆

∆ Fórmula deHerglotz-Wiechert

Resuelta la integral v1 se obtiene de: vr

dt

d

11

1

=

∆ ∆

Inversión:Determinaciónde la distrib.de velocidadesen el interior de la Tierraa partir de lostiempos de llegada

Medio esférico

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