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Sistemas DinSistemas DinSistemas DinSistemas DináááámicosmicosmicosmicosProfesor Luis Felipe RojasProfesor Luis Felipe RojasProfesor Luis Felipe RojasProfesor Luis Felipe Rojas

Tema IV: Anál. Y Dis. Por medio delLugar de las Raíces

Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas

Dpto de Computación y Sistemas

Diap. IV - 1

ANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEÑÑÑÑÑÑÑÑO POR MEDIO O POR MEDIO O POR MEDIO O POR MEDIO O POR MEDIO O POR MEDIO O POR MEDIO O POR MEDIO DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)DEL LUGAR DE LAS RAICES (LR)

TEMA IVTEMA IVTEMA IVTEMA IVTEMA IVTEMA IVTEMA IVTEMA IV

Universidad de OrienteUniversidad de OrienteUniversidad de OrienteUniversidad de OrienteNNNNúúúúcleo de Anzocleo de Anzocleo de Anzocleo de Anzoááááteguiteguiteguitegui

Escuela de IngenierEscuela de IngenierEscuela de IngenierEscuela de Ingenieríííía y Ciencias Aplicadasa y Ciencias Aplicadasa y Ciencias Aplicadasa y Ciencias Aplicadas

Carátula





Diap. IV - 2

ANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEANALISIS Y DISEÑÑÑÑO POR MEDIO DEL LUGAR O POR MEDIO DEL LUGAR O POR MEDIO DEL LUGAR O POR MEDIO DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES (LGR)GEOMETRICO DE LAS RAICES (LGR)GEOMETRICO DE LAS RAICES (LGR)GEOMETRICO DE LAS RAICES (LGR)

TEMA IV TEMA IV TEMA IV TEMA IV TEMA IV TEMA IV TEMA IV TEMA IV –––––––– ObjetivosObjetivosObjetivosObjetivosObjetivosObjetivosObjetivosObjetivos

• Objetivo Terminal:

Construir lugares geométricos de las raíces y utilizarlos en el diseño de controladores clásicos

• Objetivos Específicos:

Interpretar el significado del lugar geométrico de las raíces (LGR).Construir la gráfica del lugar geométrico de las raíces.Determinar parámetros sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces.Identificar el tipo de respuesta de un sistema de acuerdo al LGR.Diseñar controladores por medio del lugar geométrico de las raíces.





Diap. IV - 3

TEMA VII TEMA VII TEMA VII TEMA VII TEMA VII TEMA VII TEMA VII TEMA VII –––––––– ContenidoContenidoContenidoContenidoContenidoContenidoContenidoContenido

Definición de lugar geométrico de las raíces (LGR).Importancia del lugar geométrico de las raícesPasos generales para construir la gráfica del lugar geométrico de las raíces.

Polos y ceros de lazo abierto.Lugar geométrico sobre el eje realAsíntotas2.2.4. Ramas fuera del eje realÁngulos de salida y llegadaPuntos de rupturaGanancia y frecuencia crítica

Cálculo de la ganancia sobre la gráfica del lugar geométrico de las raíces.Método gráfico.Método analítico.

Relación de amortiguamientoZona subamortiguadaZona críticamente amortiguadaZona sobreamortiguadaZona críticamente estable.Contorno de las raíces.

Deducción de la gráfica del contorno de las raíces.Líneas de Relación De Amortiguamiento constante.Líneas de frecuencia natural constanteDiseño de controladores PI.Diseño de controladores PD.Diseño de controladores PID.

Método de Ziegler y nychols





Diap. IV - 4

Lugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar Geoméééééééétrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Raííííííííces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)

• Significado del Lugar Geométrico de Las Raíces

Es un método simple desarrollado por W.R. Evans para hallar las raíces de la ecuación característica. Este método, denominado método del lugar de las raíces, consiste en un procedimiento en que se trazan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Así se podrá ubicar en la gráfica resultante las raíces correspondiente a un valor determinado de dicho parámetro.

Utilizando este método, el diseñador puede predecir los efectos que la variación del parámetro (normalmente la ganancia) o la adición de nuevos polos y/o ceros de lazo abierto, tienen en la ubicación de los polos de lazo cerrado. (Ogata, 1998. p.372)





Diap. IV - 5

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sY

+= 0)()(1 =+ sHsG

Lazo Cerrado Ecuación Característica

°=∠ 180)s(H)s(GAngulo

1)s(H)s(G =Magnitud

Lugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar GeomLugar Geoméééééééétrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Ratrico de Las Raííííííííces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)ces (LGR)

• Significado del Lugar Geométrico de Las Raíces (cont)

El método del lugar de las raíces tiene la idea básica de que los valores de “s”que hacen la función de transferencia de lazo abierto igual a –1, deben satisfacer la ecuación característicaTambién permite obtener las gráficas de los polos de lazo cerrado para sistemas que posean parámetros múltiples; esto se conoce como Contornos de las Raices

1)s(H)s(G ⋅−=Lazo Abierto





Diap. IV - 6

ConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstruccióóóóóóóón del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geoméééééééétrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Raííííííííces (1)ces (1)ces (1)ces (1)ces (1)ces (1)ces (1)ces (1)

• Pasos generales para la construcción del Lugar Geométrico de las Racíes

El proceso parte del conocimiento de la función de transferencia de Lazo Abierto [ G(s)H(s) ]

• Pasos GeneralesGraficar Polos y Ceros de Lazo Abierto en Plano “s”Ramas del LGR sobre el Eje RealAsíntotas para Ramas del LGRRamas del LGR fuera del Eje RealPuntos de RupturaÁngulos de Salida y de llegada (Asociado a polos y ceros complejos generalmente)Cortes con el eje Imaginario (Punto Crítico de estabilidad Kcrit ; Wcrit)





Diap. IV - 7

1. Graficar Polos y Ceros de Lazo Abierto en Plano “s”

2. Ramas del LGR sobre el Eje RealLas ramas del LGR sobre el eje real, serán todos aquellos segmentos de puntos que posean a su derecha un número impar de polos mas ceros.

X

X

X X

O

O

σreal

jWimaginario

5 (polos + ceros) a

la derecha

3 (polos + ceros) a

la derecha

Las ramas del LG, siempre “salen” de un

polo y “llegan” a un cero .

La ganancia en los polos es igual a cero

(K=0).

La ganancia en los ceros es igual a infinito

(K=∞).

O : Ceros (Z1,Z2,...Zn)

X : Polos (p1,p2,...pm))ps)...(ps)(ps(

)zs)...(zs)(zs(K)s(H)s(G

m21

n21

++++++

=

ConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstrucciConstruccióóóóóóóón del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geomn del Lugar Geoméééééééétrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Ratrico de las Raíííííííícescescescescescescesces........ (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)

X

X

X X

O

O

σreal

jwimaginario

Plano S

X

X

X X

O

O

O O

jwimaginario

σreal

Plano S





Diap. IV - 8

3. Asíntotas para Ramas del LGRLas asíntotas son caminos que guiarán las ramas del lugar geométrico. Tienen dos elementos que se deben calcular:

Punto de arranque de la asíntota (σa)

Es un punto, generalmente sobre el eje real de donde sale la asíntota.

zp

ii

ann

ZP

−

−= ∑∑σ

Angulo de las asíntota (α)

Son los ángulos que indican hacia donde van las asintotas.

∑Pi : Sumatoria de todos los polos.∑Zi : Sumatoria de todos los ceros.np : N° total de polos.nz : N° total de ceros.n = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ....., (np – nz)

)n(360180o +=α σreal

jwimaginario

σσσσa

1α

2α

3α

4α






Diap. IV - 9

4. Ramas del LGR fuera del Eje Real Las ramas del LGR fuera del eje real, las conforman aquellas generadas por polos o ceros complejos conjugados y por puntos de ruptura que van hacia ceros o polos no finitos guiados por asíntotas.Estas ramas estarán basadas en lo siguiente:

� Cada polo debe poseer una sola pareja o cero.� Las ramas siempre deben ser simétricas con respecto al eje real.� El LG sale de un polo y llega a un cero.� Los polos o ceros sin pareja finita, siguen las asíntotas.

X

X

X X

O

O

σreal

jWimaginario

cφ

cφ−

pφ

pφ−

X

X

O

O

σreal

jWimaginarioX

X

1pφ

1pφ−

2pφ

3pφ

cφ

cφ−






Diap. IV - 10

5. Puntos de Ruptura Es aquel punto o puntos del LG, generalmente sobre el eje real, donde las ramas de la gráfica del LG se dividen en varias ramas para romper un segmento de LG entre dos polos o entre dos ceros, cumpliendo las siguientes condiciones:

• Las raíces salen del eje real entre dos polos, con una ganancia mínima (Kmín) en el segmento.• Las raíces entran al eje real entre dos ceros, con una ganancia máxima (Kmáx) en el segmento.

Cálculo de los puntos de ruptura:

El cálculo de los puntos de ruptura es un problema de máximos y mínimos en el valor de la ganancia K. Para determinarlos, se partede la ecuación característica de donde se obtiene una expresión para la ganancia ||K|| en fucnión de “s”, la cual se deriva, se iguala a cero y se obtendrán los puntos de ruptura.

X Xσ

jw

Punto ruptura

Kmín

O Oσ

jw

Punto ruptura

Kmáxpero

)ps)...(ps)(ps(

)zs)...(zs)(zs(K)s(H)s(G

m21

n21

++++++

=0)s(H)s(G1 =+

1)ps)...(ps)(ps(

)zs)...(zs)(zs(K

m21

n21 −=++++++

)zs)...(zs)(zs(

)ps)...(ps)(ps(K

n21

m21

++++++

=−

0ds

)K(d )s( =− Arroja

La Soluciónn21 s;s;s Λ

Se debe inspeccionar

cual de las soluciones

es punto de ruptura






Diap. IV - 11

( ) ( ) ( )non

i

ceros

n

i

polos

zp

⋅+=∠−∠ ∑∑==

36018011

Angulos de Salida (Asociado a los polos)

pNφ1cθ

2cθ

3cθ2pθ

1pθ

3pθ

( )pppp Nφθθθ +++ 321

( ) ( ) ( )3p2p1p3c2c1c

o

p )n(360180N θθθθθθφ ++−++++=

( )( ) ( ) ( )N

npz

n

i

pi

n

j

ci

o

p

∑∑−

==

−+⋅+

=

1

11

360180 θθφ

; n = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ....., (np – nz)

N: Multiplicidad de polos (N=1,2,3....)(está asociado a polos dobles, triples, etc)


6. Angulos de Salida y de llegada (Asociado a polos y ceros complejos generalmente)Condición de ángulo: “La ∑ de ángulos de polos - la ∑ de ángulos de ceros = 180° + 360(n)”

X X

O

O

σσσσreal

jw

O

X

X

( ) ( ))(360180321 no

ccc +=++− θθθ





Diap. IV - 12

Angulos de LLegada (Asociado a los ceros)

?N c =φ1cθ

2cθ

3cθ4cθ

( ) ( ) ( ))n(360180No

c4c3c2c1c4p3p2p1p +=++++−+++ φθθθθθθθθ

( ) ( ) ( )4p3p2p1p4c3c2c1c

o

c )n(360180N θθθθθθθθφ +++++++−+−=

( )( ) ( ) ( )

N

n3601801n

1j

ci

n

1i

pi

o

c

zp

∑∑−

==

−+⋅+−

=

θθφ

2pθ1pθ

3pθ

4pθ

( ) ( ) ( )n360180on

1i

ceros

n

1i

polos

zp

⋅+=∠−∠ ∑∑==

; n = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ....., (np – nz)

N: Multiplicidad de ceros (N=1,2,3....)(está asociado a ceros dobles, triples, etc)


X Xσσσσreal

jw

O

O

O

X

X

O

O





Diap. IV - 13


7. Cortes con eje Imaginario [ Kcrit ; wcrit ]Los cortes con el eje imaginario es de vital importancia ya que éstos representan la frontera de estabilidad.El valor de la ganancia en los cortes con el EI, representa un valor donde el sistema es “Críticamente Estable” o “Marginalmente Estable”; es decir, estápropenso a la inestabilidad.Se puede decir que la ganancia en este punto representa el límite de estabilidad.

Se explicarán dos formas o métodos para hallar los cortes:

Por sustitución de s=jw en la Ecuación Característica

Por medio del Conjunto de Coeficientes de Routh-Hurwitz





Diap. IV - 14

0)s(H)s(G1 =+ 0)ps)...(ps)(ps(

)zs)...(zs)(zs(K1

m21

n21 =++++++

+

0)pjw)...(pjw)(pjw(

)zjw)...(zjw)(zjw(K1

m21

n21 =++++++

+


• Por sustitución de s=jw en Ecuación CaracterísticaSe parte de la ec. Característica en función de “K”, en la cual se debe sustituir s por “jw”. Luego se agrupan términos imaginarios y términos reales en forma independiente y finalmente plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, de donde se obtendrá el corte

s = jw

(Parte Real) + j (Parte Imag.) = 0( Parte Real ) = 0 (Ec. 1)

( Parte Imag. ) = 0 (Ec. 2)





Diap. IV - 15

(K2-24.5K+85)

(4K-77)S1

K

5

K

(20-K)/4

3

1

(4K – 77)S2

4S4

KS0

(1/4)S3

1S5

Se iguala cada término a cero y se buscan los valores de K que hacen cero

a todos los coeficientes.

K=0 y K=77/4 son los valores que hacen cero a la fila.Con estos valores se evalúa el polinomio de la fila superior con s=jw para hallar “W”.

( )4

770774 =→=− KK

( ) 0=K

a.)

b.)


• Por medio del Conjunto de Coeficientes de Routh-HurwitzSabiendo que cuando hay una fila completa de ceros se sospecha la existencia de raíces sobre el eje imaginario, esto se utiliza para determinar los cortes sobre el EI, utilizando primero la posible fila que tendrá los ceros y luego el polinomio auxiliar introduciendo el valor de K determinado.

Posible fila con ceros en todos sus elementos





Diap. IV - 16


• Por medio del Conjunto de Coeficientes de Routh-Hurwitz (cont)

(K2-24.5K+85)

(4K-77)S1

K

5

K

(20-K)/4

3

1

(4K – 77)S2

4S4

KS0

(1/4)S3

1S5 Polinomioauxiliar 0

4

20

4

1 3 =

−+ s

Ks

0213 =⋅− sKs

021 3 =s

K=0

ordenando

04

7721 3 =⋅

−⋅ ss

04

7721 2 =

−⋅ ss

916.0±=s0=s

0=s0=s0=s

K=774





Diap. IV - 17

X

X

X X

O

O

σσσσreal

jWimaginario

d5

d6

Sxd1

d2

d3

d4

CCCCCCCCáááááááálculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Ralculo de Ganancia sobre puntos del Lugar de las Raíííííííícescescescescescescesces

• Ganancia sobre el Lugar Geométrico (Método Gráfico)Un paso importante en el análisis del LGR es el cálculo de valores específicos de ganancia sobre las ramas del LG para satisfacer exigencias de diseño.

))...()((

))...()((

21

21

n

m

zszszs

pspspsK

++++++

=

De la ecuación característica

nxxx

mxxx

zszszs

pspsps

aK

++⋅+

++⋅+⋅

=...

...1

21

21

El módulo de K en el punto Sx se expresa:

Donde “a” depende de la fdt de lazo abierto

⋅⋅⋅⋅

⋅

=65

4321

dd

dddd

a

1K





Diap. IV - 18

X

X

X X

O

O

σreal

jWimaginario

))...()((

))...()((

21

21

n

m

zszszs

pspspsK

+++

+++−=

Sx=σσσσx+jwx

CCCCCCCCáááááááálculo de Parlculo de Parlculo de Parlculo de Parlculo de Parlculo de Parlculo de Parlculo de Paráááááááámetros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Rametros en Puntos del Lugar de las Raíííííííícescescescescescescesces

• Ganancia sobre el Lugar Geométrico (Método Analítico)Consiste en el desarrollo matemático de la expresión compleja del parámetro; haciendo la sustitución de las coordenadas del punto Sx.

)))...(())(()((

)))...(())(()((

21

21

nxxxxxx

mxxxxxx

zjwzjwzjw

pjwpjwpjwK

++++++

++++++−=

σσσσσσ θ∠= KK





Diap. IV - 19

Tipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las RaTipo de Respuesta de A al Lugar de las Raíííííííícescescescescescescesces

• Con la gráfica del lugar de las raíces se puede inspeccionar la estabilidad del sistema.

X X

O

O

σσσσreal

jWimaginario

Zona de

Estabilidad

Zona de

Inestabilidad

Zona deEstabilidad Marginal





Diap. IV - 20

ζζζζ aumenta.

ζζζζ aumenta.

ζζζζ disminuye

ζζζζ disminuye

ζζζζ = 1.

ζζζζ = 0.

σσσσ.

jw

θθθθ

Linea de Amortiguamiento

Constante ζζζζ

ζζζζ = ctte.

ζζζζ = cos (θθθθ)

-θθθθ

LineasLineasLineasLineasLineasLineasLineasLineas de Relacide Relacide Relacide Relacide Relacide Relacide Relacide Relacióóóóóóóón de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constanten de Amortiguamiento Constante

• Son líneas radiales con ángulo θ medido desde el eje real negativo.• Son simétricas respecto al eje real.





Diap. IV - 21

LineasLineasLineasLineasLineasLineasLineasLineas de Frecuencia Constantede Frecuencia Constantede Frecuencia Constantede Frecuencia Constantede Frecuencia Constantede Frecuencia Constantede Frecuencia Constantede Frecuencia Constante

• Lineas de Frecuencia Natural (Wn) ConstanteSon semicircunferencias de radio constante igual al valor de cada frecuencia

σσσσ.

jw

Wn

ζWn

21 ζ−=nd

WW





Diap. IV - 22

Donde K1 y K2 son los parámetros variables y P(s) Q1(s) y Q2(s) son polinomios de sEl primer paso es hacer uno de los parámetros igual a cero. Seguido se expresa la ecuación en forma de ecuación característica.

Consideremos K2=0

Contorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las RaContorno del Lugar de las Raíííííííícescescescescescescesces

• Significado del Contorno del Lugar de Las RaícesEs un método sistemático que se aplica en el lugar de las raíces con parámetros múltiples, es decir cuando más de un parámetro varía desde -∞hasta +∞ .

El principio del contorno de las raíces puede describirse al considerar la siguiente ecuación:

0)()( 11 =+ sQKsP

0)(

)(1 1

1 =+sP

sQK 0)()(1 =+ sHsKG

[ ] 0)()(1 111 =+ sHsGKDe aquí se puede construir el lugar de las raíces

partiendo de G1(s)H1(s) como función de lazo abiertopara variaciones del parámetro K1 con K2=0

0)()()( 2211 =++ sQKsQKsP (**)





Diap. IV - 23


• Contorno del Lugar de las Raíces (cont)Después se restaura el valor de K2, mientras se considera que el valor de K1 está fijo, es decir, ahora es K2 quien variará.Se dividen ambos miembros de la ecuación (**) entre los términos que no contengan a K2 buscando expresarla en forma de ecuación característica

0)()()( 2211 =++ sQKsQKsP

0)()(

)(

)()(

)()(

11

22

11

11 =+

+++

sQKsP

sQK

sQKsP

sQKsP

0)()(

)(1

11

22 =

++

sQKsP

sQK

Seguido se expresa la ecuación en forma de ecuación característica.

[ ] 0)()(1 222 =+ sHsGKQue es deLa forma





Diap. IV - 24


• Contorno del Lugar de las Raíces (cont)

De aquí se puede construir el lugar de las raíces partiendo de G2(s)H2(s)como función de lazo abierto para variaciones del parámetro K2

+=

)()(

)()()(

11

2222

sQKsP

sQKsHsGdonde

Los contornos de las raíces de la ecuación (**) cuando varía K2 mientras k1 es fija, se construye con base en la configuración de polos y ceros de la ecuación anterior.

σreal

jWimaginario

X O

X

X

X

X

X

X





Diap. IV - 25

DiseDiseDiseDiseDiseDiseDiseDiseñññññññño de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGRo de Controladores PI por medio del Contorno del LGR

• Procedimiento general de diseño para controlador PI.• La estructura del controlador PI se identificó en el tema 3 y es la

siguiente:

Sistema de control con realimentación unitaria

R(S)+-

E(s)Kp + Ki

SGp(s)

0)()(1 =+ sHsGLa ecuación característica para este sistema viene expresada por

Que en este caso será:

0)(1 =

++ sGs

KKp p

i 0)(

)(1 =

++

s

sGKsGK

p

ipp

Ejemplificar con:

=s

sGp2

1)(

Con Ki = 0

0)(1 =+ sGK pp

Se construye el LGR para eltérmino KpGp(s) y se toma un valor para Kp adecuado

• Se construye luego el contorno para Ki con el valor de Kp que se tome en el paso anterior.

• Se selecciona el valor de la constante Ki para el controlador de acuerdo a las condiciones de diseño.





Diap. IV - 26

DiseDiseDiseDiseDiseDiseDiseDiseñññññññño de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGRo de Controladores PD por medio del Contorno del LGR

• Procedimiento general de diseño para controlador PD.• La estructura del controlador PD también se identificó en el tema

3 y es la siguiente:


R(S)+-

E(s)Kp+ Kds Gp(s)

0)()(1 =+ sHsGLa ecuación característica para este sistema viene expresada por

Que en este caso será:

[ ] 0)(1 =++ sGsKK pdp[ ] 0)()(1 =⋅⋅++ sGsKsGK pdpp

Ejemplificar con:

=s

sGp2

1)(

Con Kd = 0

0)(1 =+ sGK pp

Se construye el LGR para eltérmino KpGp(s) y se toma un valor para Kp adecuado

• Se construye luego el contorno para Kd con el valor de Kp que se tome en el paso anterior.

• Se selecciona el valor de la constante Kd para el controlador de acuerdo a las condiciones de diseño.





Diap. IV - 27

DiseDiseDiseDiseDiseDiseDiseDiseñññññññño de Controladores PIDo de Controladores PIDo de Controladores PIDo de Controladores PIDo de Controladores PIDo de Controladores PIDo de Controladores PIDo de Controladores PID

• Estructura del Controlador PID (Desarrollada en Tema 3)

• Reglas de Sintonizado:Las reglas de sintonizado empírico usadas con mayor frecuencia fueron publicadas por primera vez por Ziegler y Nichols (1942).Se empezó a divulgar a partir de 1950 en el mundo industrial, apreciándose su enorme simplicidad y validez técnica.Existen dos variantes que Ziegler y Nichols presentaron: (1)en lazo cerrado y (2) en lazo abierto, siendo la técnica en lazo cerrado la más usada.


R(S)+-

Y(s)Gp(s)sKK

sT

KK dP

i

Pp ++





Diap. IV - 28


• Reglas de Sintonizado (cont)

Tanto los métodos de circuito abierto como cerrado tratan de conseguir que la respuesta del sistema a una perturbación tenga una Relación de Decadencia (b/a) igual a 1/4.Con una relación de decadencia menor, se tendrá una respuesta del sistema más rápida, pero aumenta el riesgo de inestabilidad, y viceversa.La relación 1/4 es un compromiso entre rapidez y estabilidad.

• Aplicación en CampoLazo abierto: se suelen usar en procesos lentos tales como temperatura.Lazo cerrado: en procesos rápidos (caudal, presión) es mucho más rápido y seguro.





Diap. IV - 29


• Reglas de Sintonizado de Ziegler-Nichols en LAZO CERRADODejar el controlador sólo con acción proporcional. (Td mínima y Timáxima)Se introduce una perturbación en el punto de consigna, empezando con valores bajos de ganancia que se debe ir aumentando.Esto se repite hasta que el sistema tenga una oscilación sostenida (aproximadamente senoidal).Se anota el valor de la ganancia (“crítica”) Kc y el periodo natural Pc.

t

y(t)

ba

Pn

b = 1a 4





Diap. IV - 30


0.5Pn

Ti(min)

Pn/80.6KCPID

Td(min)Kp

• Regla de Sintonizado de Ziegler-Nichols en LAZO CERRADOSe ajustan los valores de las constantes del controlador PID como se indica en la tabla siguiente

El método también es Aplicable a controladores P y PI

Pn/1.20.45KCPI

Ti

0.5KCP

TdKp

�Puede ser necesario retocar finalmente la acción proporcional para mantener la relación de decadencia.





Diap. IV - 31


• Regla de Sintonizado de Ziegler-Nichols en LAZO ABIERTOSe realizan con el controlador en manual.Se basan en la obtención de un modelo matemático aproximado a partir de la curva de respuesta del proceso a un escalón de entrada.El criterio de diseño de parámetros es de relación de decadencia 1/4.Ventaja: introducen menos perturbaciones.

( )1)(

+=

−

Ts

eKty

Ls

TL

K

Recta tangente enEl pto. de inflexión)

Finalmente la función de transferencia del Sistema

se aproxima por:





Diap. IV - 32


• Regla de Sintonizado de Ziegler-Nichols en LAZO ABIERTOUna vez obtenidos L y T, se ajustan los valores de las constantes del controlador PID como se indica en la tabla siguiente

2L

Ti(min)

0.5L1.2T/LPID

Td(min)Kp

El método también es Aplicable a controladores P y PI

-L/0.30.9T/LPI

-

Ti

-T/LP

TdKp

tema iv - files.rojaslf.webnode.esfiles.rojaslf.webnode.es/200000027-e2dbae3562/tema... · tema iv:...

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