tema iv torsión en barras prismáticas - ula.ve · sección paralelogramo. ... 45º --- 0,160...
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Torsión
La torsión pura se presenta en toda barra rectacuando las fuerzas solicitantes actúan sólo enlas bases extremas, y equivalen mecánicamentea dos pares de sentido opuesto, cuyo ejecoincide con el eje de la pieza. Siendo la barrade sección constante, todas las seccionestransversales están solicitadas en idéntica forma.En cuanto a la deformación presenta comocaracterística mas acentuada, un giro elementalde cada sección, con respecto a la inmediata,alrededor del eje de la pieza.
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones Macizas
Sección circular. Sección elíptica. Sección triangular equilátera e isósceles. Sección rectangular y rectangular estrecha. Sección segmento circular y sector circular. Sección diamante y diamante truncado Sección trapezoidal. Sección paralelogramo. Otras.
Mecánica de materiales – Torsión
Barra recta de sección circular
Consideremos un barra recta de seccióncircular empotrada en uno de sus dos lados,sobre la cual actúa un momento torsor; setoma el plano XY como el plano de la base, y eleje OZ coincide con la directriz de la barracomo se indica en la siguiente figura.
Mecánica de materiales – Torsión
De la figura, notamos que los desplazamientos son:
sinsincoscos
rrvrru
Con las identidades trigonométricas ytomando en cuenta que para ángulos muypequeños de giro Cos() =1 y Sen() = tendríamos:
xvyu
Mecánica de materiales – Torsión
Desplazamientos
Hay que tomar en cuenta que cada seccióntransversal sufre un giro diferente proporcionala la distancia Z que hay hasta la base fija:
Donde θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud a lo largo de la dirección Z
0 wxzvyzu
desplazamientosMecánica de materiales – Torsión
Tensor de esfuerzo para torsión pura
0
0000
zyzx
yz
xz
ij
Donde:
YGzu
xwGG zxzx
XGzv
ywGG zyzy
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte y ángulo de giro
yJTx
JT
zxzy00
00max GJ
TJTR
El esfuerzo máximo se produce en el contorno(x=±R, y=0) y (x=0 , y=±R) entonces elesfuerzo de corte máximo sería:
Donde:2
4
0RJ
Mecánica de materiales – Torsión
Desplazamientos en función del momento torsor
0
0
0
w
xzGJ
Tv
yzGJ
Tu
Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión
Es la relación que existe entre el momento torsor y el ángulo de giro.
GJGRTD o
2
4
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en barras de sección elíptica
X
Y
(0,b)
(a,0)(-a,0)
(0,-b)
max
maxmax
Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión
22
33
33
4422
4;
4
4
babaGD
tienesendosimplificaydosustituyen
abIbaIdonde
IaIbyx
GD
xy
xy
Mecánica de materiales – Torsión
Ángulo de giro
33
22
baba
GT
DT
El ángulo de giro experimentado por la sección por unidad de longitud esta dado por:
Sustituyendo el valor de D se tiene:
Mecánica de materiales – Torsión
Función de alabeo Φ(x,y) y función conjugada Ψ(x,y)
2222
22
22
22
2,
,
xyababyx
xyababyx
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
2max2abT
4
2
4
222 2
by
ax
abT
zyzx
El esfuerzo de corte máximo ocurre en los extremosdel eje menor de la elipse de contorno, es decir, enx=0 e y=±b sustituyendo estos valores en laecuación anterior se tiene:
Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de la sección
xybaab
GTzyxw
xzbaba
GTzyxv
yzbaba
GTzyxu
33
22
33
22
33
22
,,
,,
,,
Mecánica de materiales – Torsión
Función de alabeo y función conjugada
ayxaxyayya
yx
xaxaxyaxya
yx
3663263),(
2363
223
3),(
22
22
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro
3max20a
T
2
225 3
2280
xaxayyaxya
T
El esfuerzo cortante máximo se encuentra en elcentro de cada lado del triángulo, por ejemplopara el lado AC el esfuerzo máximo está en x=a/2e y=0
Mecánica de materiales – Torsión
Alabeo de la sección
xaxaxyaxyGa
Tzyxw
xzGaTzyxv
yzGaTzyxu
2363
22
80),,(
380),,(
380),,(
22
5
3
3
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en piezas de sección rectangular
(0,b/2)
(-a/2,0) (a/2,0)
(0,-b/2)
b/2
a/2Y
zy
zx
x
dy
T
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que lasección rectangular nosea estrecha se debecumplir que b/a ≤5
Función de alabeo y función conjugada
0 33
222
2
0 33
2
2cosh12
1821
4),(
2cosh12
18),(
n n
nnn
n n
nnn
bn
xsenhysenhaxyayx
bn
xsenhysenhaxyyx
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzos cortantes
0 22
0 22
2cosh12
cosh142
2cosh12
cosh18
n n
nnn
zy
n n
nnn
zx
bn
xsenhyaxGa
bn
xysenhGa
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
023
122
2max
2cosh121412
:
n nbn
K
KKKdonde
baKT
Mecánica de materiales – Torsión
Constantes de torsión para una barra de sección rectangular
b/a K K1 K2
1,00 0,675 0,1406 0,2081,20 0,759 0,166 0,2191,50 0,848 0,196 0,2312,00 0,930 0,229 0,2462,50 0,968 0,249 0,2583,00 0,985 0,263 0,2674,00 0,997 0,281 0,2825,00 0,999 0,291 0,29110,00 1,000 0,312 0,312
∞ 1,000 1/3 1/3
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
4
4
22
33
0216,0,º600261,0,º90
2015
cKparacKpara
babaKdonde
KGT
Rigidez de torsión:
D = KG
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
3max CRQdonde
QT
0º 30º 60º 80º 90º
C π/2 1,25 0,8 0,49 0,35
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
3CRKdondeKGT
0º 30º 60º 80º 90º
C π/2 1,47 0,91 0,48 0,296
Rigidez de torsión:
D = KG=CR G
Mecánica de materiales – Torsión
3
Esfuerzo de corte máximo
KTc
max
punto h’/h
90º 80º 70º 60º 50º 40º 30º
B 1,000 0,675 0,656 0,637 0,585 0,536 0,448 0,356A 0,750 0,589 0,527 0,452 0,378 0,288 0,138 ---B 0,750 0,651 0,646 0,635 0,596 0,555 0,485 0,382A 0,500 0,699 0,608 0,541 0,467 0,417 0,368 0,292B 0,500 0,511 0,547 0,551 0,548 0,616 0,475 0,437
C depende de y de h’/h
Valores de c
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario y rigidez de torsión
KGT
cos31sin25,0sin5,0 2
4
aK
Cuando = 70º y h’ > 0,75h el valor de K sería:
Cuando > 70º y h’ > 0,75h ó h’ < 0,75h el valor de K sería:
inerciadepolarMomentoI
ltransversacciónsedeareaAI
AK
P
P
40
4
Mecánica de materiales – Torsión
D = KG
Esfuerzo de corte máximo
3max cbQdonde
QT
h/b
0,577 1 2 3 4
90º --- 0,208 0,493 0,801 1,150
60º 0,077 0,184 0,474 0,781 1,102
45º --- 0,160 0,446 0,746 1,066
30º ---- --- 0,402 0,697 1,014
Valores de c
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
4cbKdondeKGT
h/b
0,577 1 2 3 4 h/b>4
90º --- 0,141 0,457 0,790 1,123 ---
60º 0,038 0,125 0,436 0,768 1,101 h/3b-0,232
45º --- 0,104 0,398 0,729 1,061 h/3b-0,271
30º --- --- 0,345 0,674 1,007 h/b-0,326
Valores de c
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo3
max cabQdondeQT
b/a
15º 30º 45º 60º 75º
1,00 1,618 1,207 0,7442 0,3468 0,088591,20 1,350 1,008 0,6231 0,2909 0,074341,50 1,084 0,8151 0,5071 0,2384 0,061212,00 0,8200 0,6237 0,3930 0,1871 0,048472,50 0,6605 0,5076 0,3232 0,1554 0,040553,00 0,5533 0,4256 0,275 0,1332 0,03493
Valores de c
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario3cabKdonde
KGT
b/a
15º 30º 45º 60º 75º
1,00 2,038 1,502 0,8448 0,3092 0,044051,20 1,670 1,230 0,6909 0,2525 0,035941,50 1,253 0,9203 0,5148 0,1873 0,026562,00 0,8129 0,5943 0,3300 0,1192 0,016792,50 0,5599 0,4078 0,2253 0,0808 0,011343,00 0,4055 0,2946 0,1621 0,0579 0,00811
Valores de c
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo
3max CRQdonde
QT
60º 120º 180º
C 0,0712 0,227 0,35
Valores de C para calcular Q
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
4CRKdondeKGT
45º 60º 90º 120º 180º 270º 300º 360º
C 0,018 0,035 0,082 0,148 0,296 0,528 0,686 0,878
Valores de C para calcular K
Rigidez de torsión
D=KG=CR G
Mecánica de materiales – Torsión
4
Esfuerzo de corte máximo
3max CRQdonde
QT
W/R 7/8 3/4 5/8 ½
C 1,155 0,912 0,638 0,471
Valores de C para calcular Q
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario4CRKdonde
KGT
W/R 7/8 3/4 5/8 ½
C 1,357 1,076 0,733 0,438
Valores de C para calcular K
Rigidez de torsión
D=KG=CR G
Mecánica de materiales – Torsión
4
Esfuerzo de corte máximo
Ddny
desiendo
nnnnnnnnnnn
nnnnnnn
nnn
nnF
dondedD
TDF
48642
121086424
3642
64222
42
2
2
2
44max
111131418281912264
111232148
1132
141
16
Mecánica de materiales – Torsión
Angulo de giro unitario
Q
GdDKGD
torsiónderigidez
nnn
nnnQsiendo
QdDKdonde
KGT
32
11384
11161
32
44
4422
42
42
2
44
Mecánica de materiales – Torsión
Ángulo de giro
43 1124,71406,0 Ga
TaGa
T
bGaKT
31
Como a = b y para b/a = 1 K1=0,1406 entonces:
Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión D = 0,1406Ga4
Esfuerzo de corte máximo
32max 8077,4208,0 a
Taa
T
baKT
22
max
Como a = b y para b/a=1 K2=0,208 entonces:
Mecánica de materiales – Torsión
Torsión en piezas de sección rectangular estrecha
c
d
Y
X
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que lasección rectangular seaestrecha se debe cumplirque c/d > 10
Ángulo de giro
dGcT
dGc
T3
3
3
31
bGaKT
31
a = c ; b = d y para b/a >10 K1=1/3
Mecánica de materiales – Torsión
Rigidez de torsión D = 1/3(a bG)3
Esfuerzo de corte máximo
dcT
dc
T2
2max
3
31
baKT
22
max
a = c ; b = d y para b/a >10 K2=1/3
Mecánica de materiales – Torsión
Analogía de la membrana (resolución experimental del problema de torsión)Consideremos una membrana homogénea,flexible y elástica, inicialmente plana tensadauniformemente en su contorno por un esfuerzounitario (S) y solicitada por una presión verticalconstante (P). Supóngase que el contorno esprecisamente el de la sección transversal de lapieza solicitada por torsión. Esta membrana sedeforma y sus puntos experimentandesplazamientos verticales Z en función de X e Y.Las ecuaciones de los diferentes parámetros delas secciones transversales que se muestran acontinuación fueron calculados usando la analogíade la membrana.
Mecánica de materiales – Torsión
Componentes verticales y fuerzas resultantes de una membrana elástica
Mecánica de materiales – Torsión
Sumando las fuerzas de la última columnae igualando a cero se obtiene la ecuaciónde equilibrio del elemento de la membrana.
02
2
2
2
Pdxdydxdy
yzSdxdy
xzS
Mecánica de materiales – Torsión
La membrana, en su deformación, adopta la forma de una superficie Z=Z(x,y)
Mecánica de materiales – Torsión
CsobreyxZ
AenSP
yz
xz
0,
2
2
2
2
yz
PSG
xz
PSG
zy
zy
2
2
Los esfuerzos quedarían expresados de la siguiente manera
Mecánica de materiales – Torsión
La componente del esfuerzo zy según el eje Oy,es proprcional a la pendiente ∂z/∂x que lamembrana presenta, según Ox.
Correlativamente, la componente zy, según Ox,es proporcional a la pendiente ∂z/∂y
Mecánica de materiales – Torsión
Observando las ecuaciones anteriores sepuede concluir lo siguiente
Para conocer en todo punto el esfuerzo ,será preciso medir la máxima pendiente dz/dn,por ser ésta normal a la referida curva de nivel
dndz
PSG
zyzx
2
cossin
Mecánica de materiales – Torsión
El momento torsor se expresa como:
A
A
dxdyyxzP
SGT
dxdyyxzPSGDT
,4
,22
Mecánica de materiales – Torsión
Observando la integral se comprueba que laecuación de enlace entre T y θ puedeexpresarse en función del volumen (V), limitadopor la membrana y el plano de contorno.
SVGPT
VPSGT
4
4
Mecánica de materiales – Torsión
VPSGTD 4
Rigidez de torsión
Los esfuerzos en función del volumenserían
dndz
VT
yz
VT
xz
VT
zy
zy
2
2
2
Mecánica de materiales – Torsión
En resumen tendríamos
membranalaenencerradovolumenT
VdxdyyxzT
dndz
yz
xz
yxzyx
A
zxzy
2
2,2
,,
,,
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones tubulares de pared gruesa cerrados
Sección circular.
Sección elíptica.
Mecánica de materiales – Torsión
Barra recta cilíndrica de sección anular
max
Y
max
X
max
R
rro t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que la sección sea de pared gruesa, se debe cumplir que:
ro/ t < 10
Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro
RrKdonde
KRT
43max 12
2
44
00
rRJdondeGJT
Mecánica de materiales – Torsión
Secciones tubulares de pared gruesa cerrados
y
x
a
am
ao
b
bo
t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que la sección sea de pared gruesa se debe cumplir que am / t < 10
Diámetro anular
422
33
1 KbabaGTDanular
20
20
30
30
22
33
int
baba
babaGD
DDD
anular
eriornucleomacizocilindroanular
Como K = ao/a y K = bo/b entonces:
Mecánica de materiales – Torsión
Componentes del esfuerzo cortante
No se puede mostrar la imagen en este momento.
yKab
Tyba
aG
xKba
Txba
bG
zy
zy
4322
2
4322
2
122
122
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
433
22
11Kba
baGT
basiKab
T
42max 1
2
Mecánica de materiales – Torsión
422
33
1 KbaGbaD
Secciones tubulares cerradas de pared delgada
Sección rectangular.
Sección elíptica.
Sección circular.
Mecánica de materiales – Torsión
Ecuaciones de Bredt
tAT
m2max tGA
TStGA
fS
mm242
Mecánica de materiales – Torsión
Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante laanalogía de la membrana, y es a partir de estasque se calcula el esfuerzo de corte máximo paralas siguientes secciones tubulares de pareddelgada.
Sección rectangular
d2
d1
t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que
d2 / t ≥ 0
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
tddT
21max 2
GT
tdddd22
21
21
2
Mecánica de materiales – Torsión
21
22
212
ddtGddD
Sección Elíptica
aa
b
b
t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
abtT
2max
GT
tbaba22
22
42
Mecánica de materiales – Torsión
22
22
24
batGbaD
Sección Circular
rot
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar quela sección sea depared delgada, sedebe cumplir
ro / t ≥ 10
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y rigidez de torsión
trT
2max 2
GtrT32
Mecánica de materiales – Torsión
tGrD 302
Productos tubulares de pared delgada abiertos
ro
t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que lasección sea depared delgada sedebe cumplir que
ro / t ≥ 10
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
18012
3
20
max
tr
T
18012
3
30
Gtr
T
Mecánica de materiales – Torsión
º180º12
31 3
0 GtrD
Sección Elíptica
aa
b
b
t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t ≥ 10
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
bat
T
2max 23
GbatT
32
3
Mecánica de materiales – Torsión
GbatD 3
32
Sección rectangular
d2
d1
t
Mecánica de materiales – Torsión
Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que
d2 / t ≥ 0
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
batT
2max 23
GbatT
323
Mecánica de materiales – Torsión
GbatD 3
32
Secciones de perfiles laminados
Sección en L.
Sección en T.
Sección en U.
Sección en I.
Mecánica de materiales – Torsión
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
cbacTK
2max3
GcbacT
3
3
GcbacD 3
31
Mecánica de materiales – Torsión
374,1rcK
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
chbcTK
2max3
GchbcT
3
3
Mecánica de materiales – Torsión
GchbcD 3
31
374,1rcK
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
1311
3max 223 c
bcchcTK
GbcchcT
311
3 223
GbcchcD 311
3 2231
Mecánica de materiales – Torsión
3 174,1
rccK
Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión
1311
3max 223 c
bcchcTK
GbcchcT
311
3 223
GbcchcD 311
3 2231
Mecánica de materiales – Torsión
3 174,1
rccK
Secciones con dependencia triple o múltiple
Las secciones transversales que tengandependencia triple o múltiple puedendescomponerse en forma doblemente conexas,que se denominan células; es posible asignar acada célula un flujo tangencial constante fi,manteniendo para todas la células el mismosentido de circulación (correspondiente al giropositivo alrededor del eje z). Llamando Ai el áreaencerrada por la línea media de la pared de lacélula i. La participación de la célula i en elmomento torsor T será igual a 2Aifi
Mecánica de materiales – Torsión
Celula 1 Celula 2
Celula 3Celula 4Celula 5
f1 f2
f1f2
f3
f3f4f5
f5
f12
f14f15
f45 f34
f23
Secciones con dependencia triple o múltiple
Mecánica de materiales – Torsión
Células descompuestas
Am5f5
f5 f5-f15
f1
f15
f1
f1
f34
-f15
f4
-f45f4
f45Am4
-f34
f12
Am1
-f12
f3Am3
f3-f23
f3
Am2f23
f2 f2
f2
Mecánica de materiales – Torsión
El momento torsor total transmitido por la barra sería
N
iiiNtotal fATTTT
121 2......
El flujo tangencial que actúa en cada paredintermedia está formada por dos partes, quecorresponden a las células situadas a amboslados. Como consecuencia de la igualdad desentido de circulación en todas las células, cadapared intermedia absorbe la diferencia de losflujos tangenciales de las células adyacentes
Mecánica de materiales – Torsión
jiij fff
En las paredes que rodean a la célula i actúanlos flujos fij en el sentido de circulación de lacélula i, entonces se va a introducir lasiguiente notación para cada una de lasintegrales de la ecuación del ángulo de giro
ij jiijt
ds
Mecánica de materiales – Torsión
Entonces tendríamos las siguientesecuaciones
NiparaAGff
AGff
tdsAGf
mij
jijii
mj
ijij
iji
j ji iijmijij
,...,2,12
2
2
Mecánica de materiales – Torsión