tema progresiones
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Tema – Progresiones
Fibonacci
Recursos subvencionados por el…
Profesor Juan Sanmartín Matemáticas
Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada. De modo que se puedan numerar: primero (a1), segundo (a2), tercero(a3), etc…
,...a ,a ,a ,a,...27 ,9 ,3 ,1
4321
Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con un subíndice a1. El subíndice de cada elemento indica el lugar que
ocupa en la sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …. an
,...b ,b ,b ,b,...8 ,6 ,4 ,2
4321 ,...c ,c ,c ,c,...14- ,11- ,8- ,-5
4321
Se puede designar una sucesión con cualquier letra del abecedario: b , c , d , t, z , r , ….
Término general de una sucesión
Se llama término general de una sucesión a, y se representa como an, a la
expresión que representa un término cualquiera de esta.
50n220an
En este caso, el término general puede expresarse mediante una fórmula, an =f(n), en la cual, dando a n un cierto valor, se obtiene el término correspondiente a la posición que indica ese valor. Es decir, para obtener a1 se sustituye n por 1.
170150220a1
120250220a2
70350220a3
20450220a4
Ejemplos sucesión a partir del término general
...
53352a
35342a
21332a
11322a
5312a
32na
25
24
23
22
21
2n
...
12342)(515b
6232)(414b
2122)(313b
0012)(212b
0102)(111b
2n1nb
5
4
3
2
1
n
Para obtener cada uno de los términos, se sustituye la n por el valor correspondiente a la posición del término, es decir, en a5 se sustituye n por 5
Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se dice que están dadas en forma recurrente.
,...13,8,5,3,2,1,1
Famosa Sucesión de Fibonacci, donde se obtiene cada término de la suma de los dos anteriores y por lo tanto su expresión seria.
2n1nn fff
1223133 fffff
Sucesión recurrente
Ejemplos sucesión recurrente2n1nn t3t2t
En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los anteriores debemos conocer de antemano dichos términos, en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.
1t1
2t2
23133 t3t2t 12 t3t2 1322 34 1
24144 t3t2t 23 t3t2 2312 62 4
25155 t3t2t 34 t3t2 1342 38 11
26166 t3t2t 45 t3t2 43112 1222 10
...
2n1nn t3t2t
Ejemplos sucesión recurrente
2n1nn fff En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los anteriores debemos conocer de antemano dichos términos, en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.
0f1 1f2
23133 fff 12 ff 01 1
24144 fff 23 ff 11 0
25155 fff 34 ff 1-0 1...
Sucesiones – progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión en la que para pasar de un término al siguiente se suma una cantidad fija y siempre la misma (positiva o negativa) a la que se denomina diferencia d de la progresión
,...17,14,11,8,5,2
diferencia
3 3
El término general de una progresión aritmética, conociendo el primer término a1 y la diferencia d, viene dado por la siguiente expresión:
d1naa 1n
Ya que para obtener el término an tenemos que sumarle (n-1) veces a a1 (primer
término) la diferencia d.
d1naa 1n
Ejemplo:
,...17,14,11,8,5,2
3 3
1a 3a 4a 5a 6a2a
Es decir, para obtener el término a6=17 debemos sumarle a a1=2 la diferencia +3 un
número de veces (n-1=6-1=5), es decir cinco veces.
17532a6
Teniendo en cuenta esto, para la sucesión anterior, el término general será.
44n1641n16bn
Otros ejemplos de sucesiones aritméticas…
4,0,4,8,12,16
4 4
1b 3b 4b 5b 6b2b
31-n2an
13nan
4n20bn
5´7,7,5´6,6,5´5,5
5´0 5´0
1c 3c 4c 5c 6c2c 0´5n5´05´55´01n5´5cn
n5´05cn
d1naa 1n 33n2an
Ejemplos obtención término general de una progresión
aritmética
Ejemplo ,...22,17,12,7,2na
5d2a
d1naa 11n
35n55n2a51n2a nresolvemos
n
2235535na 5ejemplo
n a
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión
51n2an
Ejemplo ,...5,3,1,1,3,5,7,9 nb
2d9b
d1nbb 11n
2n1122n9b21n9b nresolvemos
n
314117211211b 7ejemplo
n bn
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión
21n9bn
Desde muy pequeño Gauss mostró su talento para los números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo, y sin que nadie lo ayudara aprendió muy rápido la aritmética desde muy pequeño.
En 1784 a los siete años de edad ingresó en la escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética el profesor propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética.Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se'» (ya está). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus compañeros no.
Anécdota de gauss
Carl Friedrich Gauss
“…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante:
101101101101101101101101101101212345...979899100
10099989796...4321
n
n
n
SSS
1001012Sn
La suma de la sucesión de los cien números naturales con la misma sucesión invertida da 101 cada término, es decir, sumaríamos 100 veces 101.
2100101Sn
Carl Friedrich Gauss
50502
10100
Suma de los términos de unaprogresión aritmética
nn-nn ,a,a,...,a,a,a,aaa 124321
Entonces obtenemos la siguiente expresión general para la suma de los términos de una progresión aritmética.
nnn
nnnn
nnnnn
aaaaSaaaaaaaSaaaaaaaS
11
123421
123321
()()()()()()2......
naaS nn 12 2
1 naaS nn
Ejemplo: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 7 y la suma de los 12 primeros términos
,...220,200,180,160,140,120nc
20d801c
d1ncc 11n
nn 201602020180c201n801c nn
300140160720160c7 n20160cn
Obtenemos el término general de la sucesión y con este obtenemos el término 7, es decir b7.
201n801cn
2400
210360120
210101
10
cc
S
2
nccS n1
n
Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión aritmética
No tenemos el término 10, por lo que lo tenemos que calcular…
3602001601020160c10
Entonces…
2
1010110
ccS
Sucesiones - progresión geométricaUna progresión geométrica es una sucesión en la que para pasar de un término al siguiente se multiplica por una cantidad fija, y siempre la misma, a la que se denomina razón r de la progresión.
...243,81,27,9,3,1
razón
3x 3x
El término general de una progresión geométrica, conociendo el primer término a1 y la razón r, viene dado por la siguiente expresión:
1-n1n raa
Ya que para obtener el término an tenemos que multiplicar el primer término a1 por la
razón r un numero de veces igual a n-1.
Ejemplo:
,...30000,3000,300,30,3
10x 10x
1a 3a 4a 5a2a
Es decir, para obtener el término a5=30000 debemos multiplicar a1=3 por la razón
r=10 un número de veces (n-1=5-1=4), es decir cuatro veces.
30000103103 415
1-n1n raa
Entonces para la sucesión anterior, el término general será....
Otros ejemplos:
,...5,10,20,40,80
5,021x
1b 3b 4b 5b2b
1-n1n raa
1-nn
1-n1n 013araa
5,021x
11-n
n1-n
1n 5,0802108brbb
n
x3
1c 3c 4c 5c2c
x3
,...243,81,27,9,3n1n11-nn
1-n1n 3333crcc
Ejemplos obtención término general de una
progresión geométrica
Ejemplo ,...96,48,24,12,6,3 na
1n 23a n
48232323a 4155
ejemplo1n an
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión
23a
aa 111n rr n
Calcula el término general de la siguiente sucesión
1n1n rbb
1nn 0,20001b
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión
6,1;8;40;200;1000
2,0x 2,0x
Dividir entre 5 es igual
a multiplicar por 0,2
2,051
0,2r
1000b1
32,00,200010,20001b 5166
ejemplo
Suma de los términos de unaprogresión geométrica
La suma de una progresión geométrica es.
raaSrSaaaaaaS
raaaaaarS
nnn
nnnn
nnnnn
1
12321
1232
...
...
nnnn aaaaaaS 12321 ...
raaaaaaa
rararararararS
nnnn
nnnn
12432
12321
...
...
Si multiplicamos dicha suma de la sucesión por r (la razón de una sucesión geométrica)nos queda…
Ahora restamos ambas sucesiones… nn SrS
Es por lo que, podemos deducir que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón r es:
1araSrS nnn
1n
111n.
1n
1n.r1ana1nn araarra1rSara1rS
1r
1raS
n1
n
Tras las anteriores operaciones obtenemos…
Con lo que obtenemos que…
11 ararS nn
1raara1rS n11
n1n
Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 10 y la suma de los 10 primeros términos
0,...0,1250,6252,10,50,25en
5r
2eree 11n
1n
1nn 52e
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión
3.906.2505252e 911010
Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces…
1r
1reS
101
10
1r
1reS
101
10
4.882.81215
152 10
1r
1reS
n1
n
Calcula el término general, el término 7 y la suma de los 10 primeros términos de las siguiente sucesión geométrica: b1=2 ; r= 3
.
3r
2brbb 11n
1n
1nn 32b
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los términos de la sucesión
45813232b 6177
Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la suma de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces…
1r
1rbS
n1
n
1r
1rbS
101
10
1r
1rbS
101
10
59.048
13132 10
Ejemplo.- Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que a2=17 y
a5=50.
d1naa 1n
1750d4d
d450
d17
1
1
a
a
61117a1
511nan
4dad15a50a
1dad12a17a
115
112
d450
d17
1
1
a
ad450d17
333d 113
33d
111n6an 1111n6
Ejemplo : Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que c5=8 y
c11=17. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 152?.
d10cd111c17c
d4cd15c8cd1ncc
1111
115
1n
23
69d817d4d10
d1017d48d1017c
d48c
d10c17
d4c8
1
1
1
1
2682348
23
1481
cd dc
2312 ncn
1
322152
23
12152152
nncc nn
1011100n1n100
Un vez que obtenemos el término general de la sucesión aritmética, podemos obtener la posición que ocupa el término 152.
En una progresión geométrica su término tercero es a3 = 50 y el quinto es a5= 2.
Calcula la razón, el término general de la progresión, el término 8 y la suma de los 7 primeros términos
41
1515
21
1313
ra50ra2a
ra50ra50a
414
1
212
1
r2ara2
r50ara50
42 r2
r50
502
rr
2
4
0,20,04r0,04r 2
1n1n raa
1nn 2,02501a
21 r50a 22,0
50 1250
04,050
término general de la progresión
Fin de Tema
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