tema12

Tema 12 Seguros sobre varias cabezas MATEMATICA ACTUARIAL I CURSO 2004-2005 J.E. DEVESA Y C. VIDAL

TEMA 12 : SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

A. AMPLIACIN DE CONCEPTOS SOBRE BIOMETRA, RENTAS Y SEGUROS

1 PROBABILIDAD DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA SOBRE VARIAS CABEZAS

1.1. Probabilidades sobre una cabeza. 1.2. Probabilidades de vida sobre dos cabezas. 1.3. Probabilidades de fallecimiento para dos cabezas. 1.4. Probabilidades de vida para m cabezas. 1.5. Probabilidades de fallecimiento para m cabezas. 1.6. Probabilidades de vida para grupos compuestos. 1.7. Probabilidades para un orden de fallecimiento.

2 TANTO INSTANTNEO DE MORTALIDAD

2.1. De una cabeza de edad x. 2.2. De un grupo de m cabezas.

3 LA FUNCIN ESPERANZA DE VIDA

3.1. Vida media abreviada. 3.2. Vida media completa.

4 RENTAS SOBRE VARIAS CABEZAS

5 SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS

6 BIBLIOGRAFA B. OTRAS PRESTACIONES

1 RENTAS DE SUPERVIVENCIA.

1.1. Caso general. 1.2. Rentas de supervivencia aplicadas a grupos.

2 PRESTACIONES POR MUERTE Y SUPERVIVENCIA. 2.1. Viudedad. 2.2. Orfandad. 2.3. Pensin en favor de familiares. 2.4. Seguros de supervivencia.

3 INVALIDEZ.

3.1. Determinacin de las principales probabilidades. 3.2. Otras probabilidades relacionadas con la invalidez. 3.3. Rentas de invalidez. 3.4. Seguros de invalidez. 3.5. Retorno a la actividad.

4 BIBLIOGRAFA. 5 PRCTICAS.

1


1 PROBABILIDAD DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA SOBRE VARIAS CABEZAS.

El estudio de las prestaciones de viudedad y orfandad requiere la introduccin

previa del anlisis de las probabilidades, rentas y seguros sobre varias cabezas. En primer lugar se recordar la notacin y las frmulas utilizadas para una cabeza, se analizar posteriormente el caso de dos cabezas, para finalmente generalizarlo al caso de varias cabezas.

1.1. Probabilidades sobre una cabeza. 1) Probabilidad de que una cabeza de edad x viva 1 ao ms, o alcance la edad

x+1:

x

1xx1x l

l P P += siendo lx el nmero de individuos vivos a la edad x.

2) Probabilidad de que una cabeza de edad x viva t aos ms, o alcance la edad

x+t:

P P ... P P ll

... ll

ll

ll

P sx1-t

0s1-tx1xx1tx

tx

1x

2x

x

1x

x

txxt +=+++

+++++ ====

3) Tanto de mortalidad. Probabilidad de que una cabeza de edad x no alcance la edad

x+1:

P-1 ll- l

ld q/ /q q x

x

1xx

x

xx1x0x === +

siendo dx el nmero de individuos que fallecen a la edad x. Adems, se verifica que:

Px + qx = 1

4) Probabilidad de que una cabeza de edad x fallezca en el transcurso del ao t o a la edad x+t-1. Probabilidad de fallecimiento diferida:

P - Pq P ld

l

l

ll

- l

l

ll- l

l

d /q xtx1-t1-txx1-t

1-tx

1-tx

x

1-tx

x

tx

x

1-tx

x

tx1-tx

x

1-txx1-t ====== +

++++++++

Esta ltima relacin es la que se va a poder generalizar para el caso de varias cabezas. 5) Probabilidad de que una cabeza de edad x fallezca en el transcurso de los

prximos t aos. Probabilidad de fallecimiento temporal:

2


=

++

+++++++

=+++=+++=

=+++====t

1sx1-sx1-tx1x

x

1-tx1xx

x

tx1-tx2x1x1xxxt

x

tx

x

txxxt

/q /q ... /q q l

d...dd

l

)l(l...)l(l)l(l P - 1

ll

- 1 ll- l

q /

1.2. Probabilidades de vida sobre dos cabezas. 1) Probabilidad de que las cabezas de edades x e y vivan t aos ms:

tPxy = tPx tPy = y

ty

x

tx

xy

tyt,x

ll

l

l

ll

++++ = que tambin se puede expresar como la probabilidad de que al menos dos cabezas sobrevivan t aos (vase apartado 2 de este mismo epgrafe); o de que exactamente dos cabezas sobrevivan t aos (vase apartado 3 de este mismo epgrafe):

tPxy [ ] 2 yx

t 2

yx t PP = = Z2

donde Z2 representa la suma de las probabilidades de supervivencia combinando las edades de 2 en 2 elementos

2) Probabilidad de que de las dos cabezas de edades x e y, al menos una viva t aos ms:

xytP 1

yx t P = tPx (1- tPy) + tPy (1- tPx) + tPx tPy = tPx /tqy + tPy /tqx + tPx tPy =

= tPx ( /tqy + tPy) + tPy /tqx = tPx + tPy (1- tPx) = tPx + tPy tPxy = Z1 - Z2 Para esta ltima relacin, vase apartado 3 del epgrafe 8.1.3.

3) Probabilidad de que de las dos cabezas de edades x e y, solamente una (exactamente una) viva t aos ms:

[ ]1

yx t P = tPx /tqy + /tqx tPy = tPx (1 tPy) + (1- tPx) tPy = tPx + tPy - tPxy - tPxy =

=xyt

P - tPxy = tPx + tPy - 2 tPxy = = Z1 - 2 Z2

Para esta ltima relacin, vase apartado 2 del epgrafe 8.1.3.

3


1.3. Probabilidades de fallecimiento para dos cabezas. La notacin que se utiliza para las probabilidades de fallecimiento est relacionada con la que se emplea en las correspondientes probabilidades complementarias de supervivencia. 1) Probabilidad de que al menos una cabeza fallezca en los prximos t aos.

Probabilidad temporal. Disolucin del grupo en t aos: /tqxy 2

xytq/ = /tqx tPy + /tqy tPx + /tqx /tqy = (1- tPx) tPy + (1- tPy) tPx + (1- tPx) (1- tPy) =

= tPy tPx tPy + tPx tPx tPy +1 tPx tPy + tPx tPy = 1- tPxy 2 xy

tP -1 =1-y

ty

x

tx

ll

l

l ++

2) Probabilidad de que las dos fallezcan en los prximos t aos. Probabilidad

temporal. Extincin del grupo en t aos. 1

xytxyt q/q / = /tqx /tqy =

y

tyy

x

txx

lll

l

ll ++

= (1- tPx) (1- tPy) =

= 1- tPx tPy + tPx tPy = 1- ( tPx + tPy tPx tPy) = 1- 1 xy

txyt P -1 P 3) Probabilidad de que al menos una fallezca en el ao t. Probabilidad diferida.

Disolucin del grupo en el ao t. t-1/qxy = t-1/qx tPy + t-1/qy tPx + t-1/qx t-1/qy = (t-1Px tPx) tPy + (t-1Py tPy) tPx +

+ (t-1Px tPx) (t-1Py tPy) = t-1Px tPy tPxy + t-1Py tPx tPxy + t-1Pxy + tPxy - - t-1Px tPy - t-1Py tPx = t-1Pxy tPxy

4) Probabilidad de que al menos una fallezca entre el ao t y el t+m. Probabilidad diferida y temporal. Disolucin del grupo entre t y t+m.

t-1/mqxy = t-1Pxy - t-1+mPxy

5) Probabilidad de extincin del grupo en el ao t. Probabilidad diferida. (Por

fallecimiento en ese ao de la segunda, pudiendo fallecer o no en el mismo ao la primera).

1 xy 1-txy 1-t

/q /q = t-1/qx /tqy + t-1/qy /tqx - t-1/qx t-1/qy = = (t-1Px - tPx) (1- tPy) + (t-1Py - tPy) (1- tPx) - (t-1Px - tPx) (t-1Py - tPy) = = t-1Px - t-1Px tPy tPx + tPxy + t-1Py - t-1Py tPx - tPy + tPxy t-1Pxy + t-1Px tPy + + tPx t-1Py tPxy = (t-1Px + t-1Py - t-1Pxy ) (tPx + tPy - tPxy) = xy1-t P - xyt P =

= t-1/qx + t-1/qy t-1/qxy = S1 S2

Donde S2 representa la suma de las probabilidades de fallecimiento diferidas combinando las edades de 2 en 2 elementos. Para esta ltima relacin, vase el apartado 4 del epgrafe 8.1.4..

4


6) Probabilidad de extincin del grupo entre los aos t y t+m. Probabilidad diferida y temporal.

xym 1-tq/ =

xy1-tP -

xym1-tP +

1.4. Probabilidades de vida para m cabezas. 1) Probabilidad de que el grupo de cabezas de edades x1, x2, ... xm vivan t aos ms.

tPx1 x2 ... xm = tPx1 tPx2 ... tPxm = =

m

1sxst P

que tambin se puede expresar como la probabilidad de que al menos m cabezas sobrevivan t aos (vase apartado 3 de este mismo epgrafe) o de que exactamente m cabezas sobrevivan t aos (vase apartado 2 de este mismo epgrafe):

tPx1 x2 ... xm [ ] m xm... x2x1

tm

xm... x2x1t P P

Si todas fueran de la misma edad:

tPx x ... x = (tPx)m

2) Probabilidad de que de las m cabezas de edades x1, x2, ... xm transcurridos t aos vivan exactamente r; que representaremos por:

[ ]r

xm... x2x1t P

En primer lugar, supondremos que las m cabezas tienen todas la misma edad x. Si determinsemos las r cabezas que viven, la probabilidad pedida sera:

[ ]r

x...x x t P = (tPx)

r (1- tPx)m-r

Si no se especifica quin sobrevive de las m cabezas, entonces habr que utilizar los nmeros combinatorios: [ ]r

x...x x t P = (

r m

tPx)r (1- tPx)m-r = r)!-(m r!m! (tPx)r (1- tPx)m-r =

[

]

mxt

3rxt

2rxt

1rxt

rxt

rmxt

3xt

2xtxt

rxt

)P( r)!-(m r! r)!-(m

2)...1-r-1)(m-r-r)(m-(mm!...)P( r)!-(m r! 3!

2)-r-1)(m-r-r)(m-(mm!

)P( r)!-(m r! 2!

1)-r-r)(m-(mm!)P( r)!-(m r!r)-(mm!)P(

r)!-(m r!m!)P (

r)!-(m 1)...1-r-r)(m-(m

...)P ( 3!

2)-r-1)(m-r-r)(m-(m)P ( 2!

1)-r-r)(m-(mP r)m(1)P( r)!-(m r!

m!

++

+=+

+++=

+

++

5


Como:

=

r r

r m

r)!-(m r!

m! ;

; r 1r

1r

m )1r(

1rm

)1r( 1)!-r-(m 1)!(r

m! 1)!-r-(m r!

m! r)!-(m r!

r)-(m m!

+

+=+

+=++==

; r

2r2r

m

2!)2r)(1r(

2rm

2!)2r)(1r(

2)!-r-(m 2)!(r m!

2)!-r-(m r! 2! m!

r)!-(m r! 2!1)-r-r)(m-(m m!

+

+=

=++

+=

+++==

; r

3r3r

m

3!)3r)(2r)(1r(

3rm

3!)3r)(2r)(1r(

3)!-r-(m 3)!(r m!

3)!-r-(m r! 3! m!

r)!-(m r! 3!2)-r-1)(m-r-r)(m-(m m!

+

+=

+++

+=

=++++==

==

r m

m m

1! r! r)!-(m

m! r)!-(m r! r)!-(m

1)...1-r-r)(m-(m m! .

Sustituyendo estas expresiones, queda:

[ ]

r h

)P(h m

1)(

)P( r m

m m

(-1)...)P( r

3r3r

m

)P( r

2r2r

m )P(

r 1r

1r m

-)P( r r

r m

P

hxt

m

rh

rh

mxt

r-m3rxt

2rxt

1rxt

rxt

r

x...x x t

=

=

++

+

+

+

++

+

+

=

=

+

++

Si en lugar de personas de la misma edad se trata de edades diferentes, se

formarn tantos grupos de edades como combinaciones posibles de m elementos tomados de r en r, de r+1 en r+1, etc.. Por ejemplo, si se trata de cuatro edades tomadas dos a dos:

a) Si las edades son iguales: (

24

tPx)2 = 6 tPxx

b) Si son distintas, habr que ir formando diferentes sumas:

Z2 = tPx1 x2 + tPx1 x3 + tPx1 x4 + tPx2 x3 + tPx2 x4 + tPx3 x4

En general, Zh representar la suma de las probabilidades de supervivencia combinando las edades de h en h elementos. Para aplicar a distintas edades la frmula hallada para idnticas edades, sustituimos:

6


r m

(tPx)r , (

+1r m

tPx)r+1 , ... , (

m m

tPx)m

por sumas de probabilidades del tipo Zr, Zr+1, ...Zm; con lo cual:

[ ]r

xm... x2x1t P = ( ) r

h Z1 h

m

rh

r-h

=

3) Probabilidad de que de las m cabezas vivan al menos r transcurridos t aos. Ser igual a la suma de las probabilidades de que vivan exactamente r, exactamente r+1, ..., exactamente m. Con lo cual tendremos:

a) Para el caso de m cabezas de edades iguales:

r

x...x x t P =

[ ]r x...x x

t P +[ ]1r

x...x x t P

+ +...+ [ ]m x...x x

t P = ( ) ( ) 1-r 1-h

P h m

1 hxtm

rh

r-h

=

b) Para el caso de m cabezas de edades x1, x2, ... xm:

r

xm... x2x1t P =

[ ]r xm... x2x1

t P +[ ]1r

xm... x2x1t P

+ +...+ [ ]m xm... x2x1

t P = ( ) 1-r 1-h

Z1 hm

rh

r-h

=

1.5. Probabilidades de fallecimiento para m cabezas.

1) Probabilidad de que fallezca al menos una en el intervalo (0, t). Probabilidad

temporal. Disolucin del grupo transcurridos t aos.

/tqx1 x2 ... xm = 1 tPx1x2...xm = 1- =

m

1sxst P

2) Probabilidad de extincin del grupo en el intervalo (0, t). Probabilidad temporal:

1

xm... x2x1t

xm... x2x1t q/q / = 1 - 1

xm... x2x1t P 1 -

xm... x2x1t P = /tqx1 /tqx2 ... /tqxm

Es decir, 1- (Probabilidad de que al menos viva una).

3) Probabilidad de que se disuelva el grupo en el ao t. Probabilidad diferida.

t-1/qx1 x2 ... xm = t-1Px1x2...xm tPx1x2...xm Anlogamente a lo que ocurre para el caso de una y para el de dos cabezas. 4) Probabilidad de que se extinga el grupo en el ao t. Probabilidad diferida.

7


1 xm... x2x11-t xm... x2x1

1-t /q /q = x1x2...xm1-t P - x1x2...xmt P

( )

=

= 1-1

1-h S 1 P P h

m

1h

1-h1 xm... x2x1t

1 xm... x2x11t

representando Sh la suma de las probabilidades de fallecimiento diferidas combinando las edades de h en h elementos. As, por ejemplo:

S2 = t-1/qx1 x2 + t-1/qx1 x3 + ... + t-1/qx1 xm + t-1/qx2 x3 + t-1/qx2 x4 + ... + t-1/qxm-1 xm

5) Probabilidad de que en el ao t se produzca el m-r+1 fallecimiento del grupo.

r

xm... x2x11-t /q =

r

xm... x2x11-t P -

r

xm... x2x1t P = ( ) 1-r

1-h S 1 h

m

rh

r-h

= donde: m: nmero de individuos del grupo. r: nmero de individuos asociado a la probabilidad de supervivencia correspondiente. n=m-r+1 = nmero de fallecimientos. Como la notacin que se utiliza para las probabilidades de fallecimiento est relacionada con la que se emplea en la correspondiente probabilidad complementaria de supervivencia, el nmero que aparece en la notacin no es el de fallecimientos sino r porque el complementario de que al menos fallezcan n individuos es el de que al menos sobrevivan r, siendo:

r = m n + 1 Por ejemplo, si el nmero de cabezas es 3 (m=3) y queremos calcular la probabilidad de que en el ao t se produzca el segundo fallecimiento (n=2), tendremos que poner en la notacin 2 (r=3-2+1=2) porque el complementario de que al menos ocurra el segundo fallecimiento es que al menos vivan 2. En el caso de tres cabezas tenemos 8 posibilidades (23, por ser variaciones con repeticin de dos elementos tomados de tres en tres):

V V V V M M M M M M M M V V V V V V M M V V M M = M V M M + V V M V V M V M V M V M V M V M V M V M

1.6. Probabilidades de vida para grupos compuestos. Hasta ahora se han estudiado grupos de cabezas individuales. En este epgrafe vamos a ampliarlo a grupos compuestos, a su vez, de grupos de cabezas individuales. 1) Sea

u = v:w, con v = x1x2, w = x x 4 3

8


donde, la probabilidad de que u sobreviva t aos ms es igual a la probabilidad de que las dos cabezas que forman v sobrevivan t aos ms y al menos una de las que forman w sobrevivan t aos ms; es decir:

tPu = tPv:w = tPv tPw = x1x2t P

x3x4 tP

siendo a su vez:

tPv = tPx1x2 = tPx1 tPx2y

tPw = x3x4 t P = tPx3 + tPx4 tPx3 tPx4 por tanto

tPu = x3x4 : x1x2t P = (tPx1 tPx2) (tPx3 + tPx4 tPx3 tPx4) = = tPx1 tPx2 tPx3 + tPx1 tPx2 tPx4 tPx1 tPx2 tPx3 tPx4

2) Sea

wv u = , con v = x1x2, w = x x 4 3

donde, la probabilidad de que u sobreviva t aos ms es igual a la probabilidad de que al menos uno de los dos grupos v y w sobrevivan t aos; a su vez, para ello, las dos cabezas que forman v deben sobrevivir t aos ms y al menos una de las que forman w sobrevivan t aos ms; es decir:

tPu = w v t P = tPv + tPw tPv w = x1x2t P +

x3x4 t

P - x3x4 : x1x2t

P

que, a su vez, y recordando el caso anterior:

tPv = = x1x2t P tPx1 tPx2

tPw = x3x4 t P = tPx3 + tPx4 tPx3 tPx4

tPv w = x3x4 : x1x2t P = tPx1 tPx2 tPx3 + tPx1 tPx2 tPx4 tPx1 tPx2 tPx3 tPx4

por lo tanto

tPu = x3x4 : x1x2t

P = tPx1 tPx2+ tPx3 + tPx4 tPx3 tPx4

tPx1 tPx2 tPx3 tPx1 tPx2 tPx4 + tPx1 tPx2 tPx3 tPx4 3) Sea

wv u = , con v = x1x2, w =x3x4

donde, la probabilidad de que u sobreviva t aos ms es igual a la probabilidad de que al menos uno de los dos grupos v y w sobrevivan t aos; a su vez, para ello, las dos cabezas que forman v deben sobrevivir t aos ms y las dos cabezas que forman w sobrevivan t aos ms; es decir:

9


tPu = w v t P = tPv + tPw tPv w = + - x1x2t P

x3x4t P

x3x4: x1x2t P

que, a su vez, y recordando el caso anterior:

tPv = = x1x2t P tPx1 tPx2

tPw = = x3x4t P tPx3 tPx4

tPv w = = x3x4: x1x2t P tPx1 tPx2 tPx3 tPx4 por tanto

wv t

P = x3x4: x1x2 t

P = tPx1 tPx2 + tPx3 tPx4 tPx1 tPx2 tPx3 tPx4

1.7. Probabilidades para un orden de fallecimiento. En este epgrafe vamos a estudiar las probabilidades de que dentro de un grupo de varias cabezas no slo se produzca el fallecimiento de alguna o varias de ellas sino que, adems, ocurra en un orden determinado. 1) Disolucin del grupo x, y en el ao t por fallecimiento de x. Ser igual a la probabilidad de que x fallezca en el ao t e y despus de ese ao, ms la probabilidad de que ambas fallezcan en el ao t, pero x antes que y:

1

yx 1-t /q = x1-t /q tPy + = (x1-t /q y1-t /q t-1Px tPx) tPy + (t-1Px tPx) (t-1Py tPy) = = (t-1Py + tPy) (t-1Px tPx)= (t-1Py + tPy) x1-t /q =

= x1-ty

(1/2)-tyx1-t

y

ty1-tyx1-t

y

ty

y

1-ty /q l

l/q

l1

2ll

/q l

ll

l21 +++++ +=

+ = x1-t /q t- Py

para ello se ha tomado como hiptesis la distribucin uniforme de fallecimientos. Adems, se cumple:

1yx 1-t /q + =

1 yx 1-t /q xy1-t /q

2) Extincin del grupo x, y en el ao t por fallecimiento de x. Ser igual a la probabilidad de que x fallezca en el ao t e y dentro de los t-1 aos anteriores, ms la probabilidad de que ambas fallezcan en el ao t, pero y antes que x:

2yx 1-t /q = / + [(1 x1-t /q y1-t q x1-t /q y1-t /q = x1-t /q t-1Py) + (t-1Py tPy)] =

= [1 (x1-t /q t-1Py + tPy)] = t-1/ qx t-1/ qx t- Py = t-1/ qx 1

yx 1-t /q

10


Cumplindose: + = 2 yx 1-t /q 2 yx 1-t /q xy1-t /q = xy1-t P xyt P

3) Disolucin del grupo x y z en el ao t por fallecimiento de x. Ser igual a la suma de las siguientes probabilidades: a) Que x fallezca en el ao t, viviendo z e y al final del mismo. b) Que x e y fallezcan en el ao t, siendo x la primera y viviendo z al final

del mismo. c) Que x y z fallezcan en el ao t, siendo x la primera y viviendo y al final

del mismo. d) Que las tres fallezcan en el ao t, siendo x la primera.

1zy x 1-t /q = x1-t /q tPyz + ( x1-t /q y1-t /q tPz + x1-t /q tPy z1-t /q ) +

+ 1/3 ( = x1-t /q y1-t /q z1-t /q ) x1-t /q t-Pyz = (t-1Px tPx) (t-1Pyz + tPyz)

para ello se ha tomado como hiptesis la distribucin uniforme de fallecimientos. Adems, se cumple:

1zy x 1-t /q + + =

1 zy x 1-t /q

1 zy x 1-t /q xyz1-t /q

4) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x en el ao t, habiendo

fallecido y, y viviendo z en dicho momento. Ser igual a la suma de las siguientes probabilidades: a) Que x fallezca en el ao t, que y fallezca en los t-1 anteriores y que z viva

al trmino de los t aos. b) Que x e y fallezcan en el ao t, siendo y la primera y viviendo z al

trmino de los t aos. c) Que y fallezca en los primeros t-1 aos, y que x y z fallezcan en el ao t,

pero x antes que z. d) Que las tres fallezcan en el ao t, pero y la primera, x la segunda y z la

tercera. Esta probabilidad es igual a () (1/3) = 1/6 de que las tres fallezcan en el ao t.

1 2

zy x 1-t /q = /x1-t /q t-1qy tPz + ( x1-t /q y1-t /q tPz + + x1-t /q y1-t q / z1-t /q )

+ 1/6 ( = - x1-t /q y1-t /q z1-t /q ) 1

zx 1-t /q 1

zy x 1-t /q

5) Disolucin del grupo x y z porque x fallezca exactamente la segunda en el ao t.

Ser igual a la suma de las siguientes probabilidades: a) Que x fallezca la segunda en el ao t, habindolo hecho y la primera. b) Que x fallezca la segunda en el ao t, habindolo hecho z la primera.

2zy x 1-t /q = + = + 2

1 2zy x 1-t /q

1 2zy x 1-t /q

1yx 1-t /q

1zx 1-t /q -

1zy x 1-t /q

6) Extincin del grupo x y z porque x fallezca exactamente la tercera en el ao t.

11


Ser igual a la probabilidad de que x fallezca en el ao t, menos la probabilidad de que x haya fallecido la primera o la segunda en el ao t:

3zy x 1-t /q = ( + ) = x1-t /q -

1zy x 1-t /q

2zy x 1-t /q

(sustituyendo y simplificando) 2 zy x 1-t /q

= - + x1-t /q -

1yx 1-t /q

1zx 1-t /q

1zy x 1-t /q

7) Disolucin del grupo x y z porque x fallezca en el ao t, antes de extinguirse

el grupo y z. Ser igual a la suma de la probabilidad de que x fallezca la primera en el ao t, ms la probabilidad de que x fallezca la segunda en el ao t:

1zy :x1-t

/q = + =

1zy x 1-t /q

2zy x 1-t /q

(sustituyendo y simplificando) 2 zy x 1-t /q

= + - 1 yx 1-t /q 1

zx 1-t /q 1

zy x 1-t /q

8) Disolucin del grupo x y z porque el grupo x y se extinga en el ao t, y viva z.

Ser igual a la suma de la probabilidad de que x fallezca la segunda e y la primera en el ao t, ms la probabilidad de que y fallezca la segunda y x la primera en el ao t:

1 z : yx 1-t

/q = + = + - - 1 2 zy x 1-t /q 2 1

zy x 1-t /q 1

zx 1-t /q 1

zy 1-t /q 1

zy x 1-t /q 1

zy x 1-t /q

9) Disolucin del grupo x y por fallecimiento de x en cualquier momento; es decir,

la probabilidad de que y sobreviva a x en cualquier momento.

1yx q = = ( /q

xw

1t

1xy1-t

= 2/1

xw

1t=

t-1Px tPx) (t-1Py + tPy) =

= P

e

Pe

1 1/21-y

1-y x,

1-x

1- xy,

+

donde ey,x-1 es la esperanza de vida conjunta para un individuo de edad y y uno de edad x-1. (Vase epgrafe 3). 10) Extincin del grupo x y por fallecimiento de x en cualquier momento.

2yx q =

1 yx q

12


11) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x, en cualquier momento; es

decir, la probabilidad de que y z sobreviva a x en cualquier momento. Similar al apartado 9), sin ms que cambiar y por yz.

1

zy x q = = 1 ( /q xw

1t

1zy x 1-t

= 2/

xw

1t=

t-1Px tPx) (t-1Pyz + tPyz) =

= P

e

Pe

1 1/21-z 1,-y

1-z 1,-y x,

1-x

1- x, z y,

+

Verificndose: 1

zy x q + + = 1 1

zy x q 1 zy x q

12) Extincin del grupo x y z por fallecimiento primero de y, despus de x, y por

ltimo de z en cualquier momento. Similar al apartado 4), pero sumando para todo t.

1 2

zy x q = [ ] =

== xw

1t

1zy x 1-t

1zx 1-t

xw

1t

1 2zy x 1-t /q - /q /q =

= P

e - e P

Pe - e

1/21-z 1,-y

1-z 1,-y x,1-z x,1-y

1-x

1- xz, y,1- x, z

13) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x, exactamente la segunda, en

cualquier momento.

2zy x q = +

1 2zy x q

1 2zy x q

14) Extincin del grupo x y z por fallecimiento de x, exactamente la tercera, en

cualquier momento.

3zy x q = 1 - ( + ) =

1 zy x q

2zy x q [ ]

=

x-w

1t

2zy x 1-t

1zy x 1-tx1-t /q - /q - /q

15) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x antes de extinguirse el grupo

y z.

1zy :x

q = + = 1 zy x q2

zy x q1 2zy x

1 2zy x

1zy x qqq ++

16) Disolucin del grupo x y z por extincin del grupo x y, antes del fallecimiento

de z. 1

z : yx q = + 1 2 zy x q

2 1zy x q

Se pueden expresar los mismos sucesos, pero a un plazo de n aos.

13


17) Disolucin del grupo x y por fallecimiento de x en los prximos n aos.

1yx nq/ = = 1 ( /q

n

1t

1xy1-t

= 2/

n

1t=

t-1Px tPx) (t-1Py + tPy) =

= Pe/

Pe/

)P - (1 1/21-y

1-y x,n

1-x

1- xy,nxyn

+

donde /ney,x-1 es la vida media temporal conjunta para un individuo de edad y y uno de edad x-1. (Vase epgrafe 3). Cumplindose:

yx nq/ = + 1

yx nq/1 yx nq/

18) Extincin del grupo x y por fallecimiento de x en los prximos n aos.

2yx nq / = [ ]

=

n

1t

1yx 1-tx1-t /q - /q =

1yx nxn q/- q /

19) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x, en los prximos n aos; es

decir, la probabilidad de que y z sobreviva a x en los prximos n aos.

1zy x nq / = = /q

n

1t

1zy x 1-t

=

Pe/

Pe/

1 1/21-z 1,-y

1-z 1,-y x,n

1-x

1- xz, y,n

+

Verificndose: 1

zy x nq / + + = = 1 1

zy x nq/1 zy x nq/

zy x nq/ nPxyz

20) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x en los prximos n aos,

habiendo fallecido y y viviendo z al final del plazo.

1 2zy x nq / =

1zx nq / -

1zy x nq /

21) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x, exactamente la segunda, en

los prximos n aos.

2zy x nq/ = +

1 2zy x n q /

1 2zy x nq /

22) Extincin del grupo x y z por fallecimiento de x, exactamente la tercera, en los

prximos n aos.

3zy x nq / = -

xnq / -

1zy x nq/

2zy x nq/

23) Disolucin del grupo x y z por fallecimiento de x en los prximos n aos,

antes de extinguirse el grupo y z.

14


1

zy :xnq / = + 1 zy x nq/

2zy x nq/

1.8. Disolucin del grupo x y z por extincin del grupo x y en los prximos n aos,

antes del fallecimiento de z.

1 z : yx n

q / = + 1 2 zy x nq /2 1

zy x n q /

2 TANTO INSTANTNEO DE MORTALIDAD.

2.1. De una cabeza de edad x.

El tanto de mortalidad referente a un ao se define de la siguiente forma:

x

1xxx l

l - l q +=

Si consideramos un periodo de amplitud 1/t aos, el tanto de mortalidad ser:

x

(1/t)xxx1/t l

l - l q / +=

Para volver al tanto anual, habr que multiplicar el tanto periodal por el fraccionamiento:

x

(1/t)xxx l

l - l t (t)q +=

Si la amplitud del intervalo es infinitesimal, se llega al tanto instantneo de mortalidad, fuerza de mortalidad o intensidad de la mortalidad:

xlln

- 1/t

l - l m i l

l1-

l (1/t)

l - l m i l

ll - l

t m i l (t) q m i l

xx(1/t)x

x

x

(1/t)xx

x

(1/t)xxxx

0(1/t)

0(1/t)0(1/t)0(1/t)

dd==

====

+

++

Y, en general:

tlln

- txtx dd +

+ = Una de las frmulas aproximadas ms utilizadas para calcular el tanto instantneo es:

x

1x1-xx l 2

l - l +=

15


2.2. De un grupo de m cabezas .

... t

)lln ... lln l(ln -

t

)l ... l (lln -

tlln

-

twtytx

twtytxtw..., t,y t,xxy...w

wyxdd

dd

dd

+++=+++=

===+++

++++++

Podemos tomar:

m z = x + y +...+ w siendo z la edad comn.

m...

wyxz +++=

Buscando x, y, ..., w en la tabla de mortalidad se halla el valor de z que corresponde a una edad comn z.

3 LA FUNCIN ESPERANZA DE VIDA.

3.1. Vida media abreviada. La vida media abreviada de un grupo de m cabezas x, y, ..., w se obtiene de manera anloga a la de una cabeza:

... P P P l

...lll e xy...w3xy...w2xy...w

wy,...,x,

3w3,...,y3,x2w2,...,y2,x1w..., 1,y1,xxy...w +++=

+++= +++++++++

siendo tambin anloga su interpretacin: el nmero de aos que, por trmino medio, le correspondera vivir a un grupo de personas de edades x,y,...,w

3.2. Vida media completa. La vida media completa de un grupo de m cabezas x, y, ..., w no se puede obtener de manera anloga a la de una cabeza, ya que se comete un error por exceso. Vemoslo para el caso de dos cabezas:

1/2 e e xyxy +& ya que si tenemos lx supervivientes de edad x, ly de edad y, el total de grupos que se pueden formar de dos cabezas, una de edad x y otra de edad y es: lx ly. Cada cabeza de edad x forma ly grupos; luego si la primera cabeza que fallece es de edad x, se disolvern ly grupos. Fallecimientos sucesivos, tanto de x como de y disuelven un nmero decreciente de grupos. Por tanto, no es posible compensar los

16


grupos desaparecidos a comienzos de ao con los desaparecidos al final del mismo. Para corregirlo se realiza la siguiente aproximacin:

xyxyxy 1/12 - 1/2 e e +=& La interpretacin es similar a la de la vida media abreviada, sin ms que suponer que los fallecimientos ocurren a mitad de ao. Tambin se utilizan otros valores derivados de los anteriores, como por ejemplo: 1) Vida media diferida m aos.

mwm,...,ym,xxy...wm1mt

xy...wtwy,...,x,m e P P /e +++

+===

2) Vida media temporal n aos.

P e /1t

xy...wtwy,...,x,n =

=n

4 RENTAS SOBRE VARIAS CABEZAS. Para el desarrollo de este epgrafe vamos a partir, en primer lugar, de un cuadro general que nos resuma todas las rentas sobre una y sobre varias cabezas.

CUADRO GENERAL RESUMEN

Inmediatas Pospagables Prepagables

Vitalicias

1

0

Temporalesn aos

n

1 1n

0

Constantes

= vt F

= vt F

Crecientes en progresin aritmtica

= [k + (t-1) h] vt F

= [k + (t) h] vt F

Crecientes en progresin geomtrica

= (1+)t-1 vt F

= (1+)t vt F

17


1) Rentas Financieras: F = 1 2) Rentas sobre una cabeza:

a) Mientras viva: F = tPx 3) Rentas sobre dos cabezas:

a) Si viven ambas: F = tPxy b) Si al menos vive una: F = P

xyt

c) Si exactamente vive una: F = [ ] 1

yx t P

d) De supervivencia: F = tPy (1- tPx)

4) Rentas sobre m cabezas:

a) Si viven todas: F = tPx1 x2 ... xm

b) Si viven al menos r: F = r xm... x2x1

t P = ( ) hmrh

r-h Z1-r 1-h

1

=

c) Si viven exactamente r: F = [ ]r xm... x2x1

t P = ( ) hmrh

r-h Zrh

1

= 5) Rentas para grupos compuestos sobre dos cabezas: (Vase epgrafe 1.5 de este tema). Rentas pagaderas:

a) Hasta la disolucin del primer grupo. Es decir, mientras vivan todas:

F = tPxy tP b) Hasta la disolucin de xy o la extincin de . Es decir, mientras vivan

xy y al menos una de :

P P F txyt =

18


c) Hasta la extincin del primer grupo que se extinga. Es decir, mientras viva al

menos una de xy y al menos una de :

P P F txyt =

d) Hasta la disolucin del segundo grupo. Es decir, mientras vivan xy o :

P -P P P F xyt txyt :xy t +==

e) Hasta la disolucin de xy y la extincin de . Es decir, mientras vivan xy o al menos una de :

P -P P P F

:xy t txyt

:xy t +==

f) Hasta la extincin del segundo grupo que se extinga. Es decir, mientras vivan al menos una de xy o al menos una de :

P -P P P F

: xyt txyt

: xyt +==

6) Rentas para dos grupos compuestos de varias cabezas x1x2...xh, y1y2...yj: Rentas pagaderas:

a) Hasta la disolucin del primer grupo. Es decir, mientras vivan todas:

F = tPx1x2...xh tPy1y2...yj

b) Hasta la disolucin de x1x2...xh o la extincin de y1y2...yj. Es decir, mientras vivan x1x2...xh y al menos una de y1y2...yj:

P P F

y1y2...yj tx1x2...xht=

c) Hasta la extincin del primer grupo que se extinga. Es decir, mientras viva al

menos una de x1x2...xh y al menos una de y1y2...yj:

P P F y1y2...yj txh x1x2....t

=

d) Hasta la disolucin del segundo grupo. Es decir, mientras vivan x1x2...xh o y1y2...yj:

P F

y1y2...yj :xh x1x2....t=

e) Hasta la disolucin de x1x2...xh y la extincin de y1y2...yj. Es decir, mientras

vivan x1x2...xh o al menos una de y1y2...yj:

19


P -P P P F

y1y2...yj :x1x2...xh t y1y2...yjtx1x2...xht

y1y2...yj :x1x2...xh t+==

f) Hasta la extincin del segundo grupo que se extinga. Es decir, mientras vivan al

menos una de x1x2...xh o al menos una de y1y2...yj:

P -P P P F y1y2...yj : x1x2...xht y1y2...yj t x1x2...xht

y1y2...yj : x1x2...xht+==

g) Mientras vivan x1x2...xh y exactamente r de y1y2...yj, siendo r menor que

j:

[ ] P P F r y1y2...yj tx1x2...xht

=

h) Mientras vivan exactamente r1 de x1x2...xh y exactamente r2 de y1y2...yj:

[ ] [ ] P P F r2 y1y2...yj t

r1 x1x2...xht

=

i) Mientras vivan exactamente r1 de x1x2...xh o exactamente r2 de y1y2...yj:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]r2 y1y2...yj t

r1 x1x2...xht

r2 y1y2...yj t

r1 x1x2...xht

r2 y1y2...yj t

r1 x1x2...xht

PPPP P P F +== j) Mientras vivan x1x2...xh o exactamente r2 de y1y2...yj:

[ ] [ ] [ ]r2

y1y2...yj tx1x2...xhtr2

y1y2...yj tx1x2...xhtr2

y1y2...yj tx1x2...xhtP PPP P P F +==

k) Mientras vivan al menos una de x1x2...xh o exactamente r2 de y1y2...yj:

[ ] [ ] [ ]r2

y1y2...yj t

x1x2...xhtr2

y1y2...yj t

x1x2...xhtr2

y1y2...yj t

x1x2...xhtPPPP P P F +==

En definitiva, se pueden obtener tantas combinaciones como se nos ocurran, a partir de las probabilidades estudiadas.

Slo se han expuesto las rentas inmediatas; en caso de rentas diferidas d aos,

lo nico que debemos hacer es multiplicar la renta a la edad x+d por el factor de actualizacin actuarial que corresponda.

20


5 SEGUROS SOBRE VARIAS CABEZAS. Veremos dos tipos de seguros: para caso de supervivencia y para caso de fallecimiento. A) Seguros para caso de supervivencia: 1) Capital diferido (Factor de actualizacin actuarial):

a) Para el caso de una cabeza x: tEx = vt tPx b) Para el caso de un grupo u: tEu = vt tPu

Donde el grupo u puede estar formado por cualquier combinacin de los grupos expuestos en anteriores epgrafes. B) Seguros para caso de fallecimiento: Veamos un cuadro general que nos resuma todas los seguros sobre una y varias cabezas.

CUADRO GENERAL RESUMEN DE LOS SEGUROS PARA CASO DE

FALLECIMIENTO

Tipo de Seguro Expresin

Vida entera uA

1

Temporal

A 1 n :u

n

1

Constante

= vt F

Creciente en

progresin aritmtica

= [k + (t-1) h] vt F

Creciente en

progresin geomtrica

= (1+)t-1 vt F

1) Seguros sobre una cabeza: F = t-1/qx 2) Seguros sobre un grupo u de varias cabezas:

a) Pagaderos al primer fallecimiento: F = t-1/qx1x2...xm b) Pagaderos al m-r+1 fallecimiento /q F r

x1x2...xm1-t=

c) Pagaderos a la extincin del grupo (r=1) /q F 1 x1x2...xm1-t

=

21


6 BIBLIOGRAFA.

Bowers, N.; H. Gerber; J. Hickman; D. Jones y C. Nesbitt (1997): Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, Itasca, Illinois.

Gil, J.; A. Heras y J. Vilar (1999): Matemtica de los Seguros de Vida. Mapfre, Madrid. Levi, E. (1973): Curso de Matemtica Financiera y Actuarial. Bosch, Barcelona. Marco, F. J. (1991): Apuntes de Introduccin a la Matemtica Actuarial. Mmeo,

Universidad Complutense.

Nieto, U. y J. Vegas (1993): Matemtica Actuarial. Mapfre, Madrid.

22


PRCTICAS Parte 1. Probabilidades de vida para dos cabezas. 1) Hallar la probabilidad de que dos cabezas de edades 35 y 38 aos, vivan 25 aos

ms. 2) Hallar la probabilidad de que de las dos cabezas de edades 35 y 38 aos, al menos

una viva 25 aos ms. 3) Hallar la probabilidad de que de las dos cabezas de edades 35 y 38 aos, solamente

una viva 25 aos ms. 4) Hallar la probabilidad de que de las dos cabezas de edades 35 y 38 aos, solamente

la de edad 38 viva 25 aos ms. Parte 2. Probabilidades de fallecimiento para dos cabezas. 5) Hallar la probabilidad de que de dos cabezas de edades 35 y 38 aos, al menos una

fallezca en los prximos 25 aos. 6) Hallar la probabilidad de que las dos cabezas de edades 35 y 38 aos, fallezcan en

los prximos 25 aos. 7) Suponiendo conocidas las siguientes probabilidades:

38 35,2538 35,25qy / q/ calcular

[ ]1 38 35,

25p .

8) Definir disolucin y extincin de un grupo formado por dos cabezas de edades 35 y 38 aos, en los prximos 17 aos y relacionarlos.

9) Si la probabilidad de disolucin de un grupo de dos cabezas de edades x e y en los prximos t aos es igual a , determinar la probabilidad de que sobrevivan las dos.

10) Si la probabilidad de extincin de un grupo de dos cabezas de edades x e y en los prximos t aos es igual a , determinar la probabilidad de que sobrevivan las dos.

11) Tomando como datos l35, l36, ..., l68, determinar la probabilidad de que al menos una de las dos cabezas del grupo de edades 35 y 38 aos fallezca en el ao 26.

12) Calcular la probabilidad de extincin del grupo anterior: a) En el ao 26 b) Por fallecimiento de ambas en el ao 26.

Parte 3. Probabilidades de vida para m cabezas. 13) Suponiendo un grupo de cuatrillizos del mismo sexo y recien nacidos, determinar la

probabilidad de que: a) Alcancen los 21 aos de edad. b) Slo uno alcance los 21 aos. c) Al menos tres alcancen los 21 aos.

14) Suponiendo un grupo de cuatro hermanos del mismo sexo y de edades 3, 6, 10 y 12 aos, determinar la probabilidad de que:

a) Alcancen los 15 aos. b) Vivan 15 aos ms.

23


c) nicamente la cabeza de 10 aos viva 15 aos ms. d) Uno de ellos viva 15 aos ms, sin especificar cul. e) nicamente los tres ms jvenes vivan 10 aos ms. f) Al menos tres vivan 10 aos ms.

Parte 4. Probabilidades de fallecimiento para m cabezas. 15) Suponiendo un grupo de cuatrillizos del mismo sexo y recien nacidos, determinar la

probabilidad: a) De que el grupo no alcance los 21 aos. b) Contraria a la de que solamente uno alcance los 21 aos.

16) Suponiendo un grupo de cuatro hermanos del mismo sexo y de edades 3, 6, 10 y 12 aos, determinar la probabilidad:

a) Contraria a la de que todos alcancen los 15 aos. b) De que se extinga el grupo en los prximos 15 aos. c) De que se disuelva el grupo en el ao 15. d) De que se extinga el grupo en el ao 15.

Parte 5. Probabilidades para un orden de fallecimiento. 17) Suponiendo un grupo de dos cabezas de edades 35 y 38, determinar la probabilidad:

a) De disolucin del grupo en el ao 15 por fallecimiento de la de edad 35. b) De extincin del grupo por fallecimiento de la de edad 35 en el ao 15.

18) Suponiendo conocidas las siguientes probabilidades: calcular la probabilidad de que el grupo anterior se disuelva en el ao 15 por fallecimiento de la de edad 38.

38 35,141

38 35,14 /qy /q

19) Calcular las probabilidades de: a) Fallecimiento de un individuo de edad 35 aos, en el ao 15. b) Disolucin del grupo de edades 45 y 38 aos por fallecimiento, en el ao 15,

de la de edad 45. c) Disolucin del grupo de edades 35 y 45 aos por fallecimiento, en el ao 15,

de la de edad 35. 20) Suponiendo un grupo de tres cabezas de edades 35, 45, 38, determinar la

probabilidad: a) De disolucin del grupo en el ao 15 por fallecimiento de la primera. b) De disolucin del grupo en el ao 15 por fallecimiento de la segunda. c) De que la primera fallezca en el ao 15, habiendo fallecido la segunda y

viviendo la tercera. d) De que la segunda fallezca en el ao 15, habiendo fallecido la primera y

viviendo la tercera. e) De que la de edad 35 fallezca exactamente la segunda en el ao 15. f) De que la de edad 35 fallezca exactamente la tercera en el ao 15. g) De que la de edad 35 fallezca, en el ao 15, antes de que lo hagan las de 45 y

38; es decir, antes de la extincin del grupo formado por estas dos ltimas. h) De que el grupo formado por las de edades 35 y 45 fallezcan en el ao 15,

sobreviviendo la de 38 aos.

24


Parte 6. Tanto instantneo y vida media. 21) Dadas tres cabezas de edades 35, 49 y 55 aos, calcular:

a) El tanto instantneo de cada una de las cabezas. b) El tanto instantneo del grupo. c) La edad comn del grupo. d) La vida media abreviada de cada una de las cabezas. e) La vida media abreviada del grupo.

Parte 7. Rentas sobre varias cabezas. 22) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de dos personas de edades 28 y 38

aos que desea percibir una renta de 250.000 pesetas anuales, constante, inmediata, mientras vivan ambas, en los siguientes casos:

a) Vitalicia, pospagable. b) Vitalicia, prepagable. c) Temporal 10 aos, pospagable. d) Temporal 10 aos, prepagable.

23) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de dos personas de edades 28 y 38 aos que desea percibir una renta de 250.000 pesetas anuales, constante, inmediata, si al menos vive una, en los siguientes casos:


24) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de tres personas de edades 28, 38 y 50 aos que desea percibir una renta de 250.000 pesetas anuales, constante, inmediata, mientras vivan todas, en los siguientes casos:


25) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de tres personas de edades 28, 38 y 50 aos que desea percibir una renta de 250.000 pesetas anuales, constante, inmediata, mientras viva al menos una, en los siguientes casos:


Parte 8. Seguros sobre varias cabezas. 26) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de dos personas de edades 28 y 38

aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas, en el caso de que ambas vivan dentro de 20 aos.

27) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de tres personas de edades 28, 38 y 50 aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas, en el caso de que al menos una viva dentro de 20 aos.

25


28) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de tres personas de edades 28, 38 y 50 aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas, en el caso de que dentro de 20 aos sobreviva la de 28 aos y, al menos, sobreviva una de las otras dos.

29) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de dos personas de edades 28 y 38 aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas al final del ao de disolucin del mismo.

30) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de tres personas de edades 28, 38 y 50 aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas al final del ao de extincin del mismo.

31) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de dos personas de edades 28 y 38 aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas al final del ao de extincin del mismo, si esto ocurre en los prximos 20 aos.

32) Calcular la prima nica a pagar por un grupo de cuatro personas de edades 28, 38, 42 y 50 aos que permita asegurar el cobro de un capital nico de 5.000.000 de pesetas, pagadero al tercer (4-2+1) fallecimiento.

33) Igual que el problema 32), pero suponiendo que el pago de la prima es: a) Constante, temporal 20 aos, pagadera mientras vivan las cuatro cabezas. b) Constante, temporal 20 aos, pagadera mientras vivan las de edades 28, 38 y

50.

26


B. OTRAS PRESTACIONES


1.1. Caso general. 1.2. Rentas de supervivencia aplicadas a grupos.

2 PRESTACIONES POR MUERTE Y SUPERVIVENCIA. 2.1. Viudedad. 2.2. Orfandad. 2.3. Pensin en favor de familiares. 2.4. Seguros de supervivencia.

3 INVALIDEZ.

3.1. Determinacin de las principales probabilidades. 3.2. Otras probabilidades relacionadas con la invalidez. 3.3. Rentas de invalidez. 3.4. Seguros de invalidez. 3.5. Retorno a la actividad.

4 BIBLIOGRAFA. 5 PRCTICAS.

27



Reciben este nombre aqullas cuyo pago, a una o varias personas, est ligado al fallecimiento de otra u otras, mientras aqulla o aqullas sobrevivan.

1.1. Caso general.

El caso general est asociado a tantos de mortalidad temporales. Veamos, en

primer lugar, el valor actual de la renta vitalicia unitaria, pospagable, pagadera a la cabeza y una vez fallecida x:

Esquema 1: Renta, unitaria, inmediata, vitalicia, pospagable, pagadera a y si fallece x

El valor actual, representado por ax/y , de una renta de este tipo, se puede deducir de la siguiente manera:

= ==

=

===

==+++=w

1t

w

1txyyxyt

tyt

tw

1txtyt

t

w

1txtyt

tx3y3

3x2y2

2x1yx/y

a - a P V - P V )P -(1 P V

q /P V ...q /P Vq /P Vq /P V a (1.)

El caso de diferimiento de la renta no plantea ningn problema. Veamos el esquema:

Py qx 2Py /2qx 3Py /3qx 4Py /4qx ... tPy /tqx ... 1 1 1 1 ... 1 ...

0 1 2 3 4 ... t ... x x+1 x+2 x+3 x+4 ... x+t ... y y+1 y+2 y+3 y+4 ... y+t ...

ax+d / y+d

0 d x x+d y y+d

Esquema 2: Renta diferida, unitaria.

28


( ) a - a E a P V /a dy d,xdyxyddy / dxxyddx/y d +++++ == (2.) La expresin (2.) permite calcular el valor actual de una renta vitalicia unitaria, a favor de y una vez se haya producido el fallecimiento de x y siempre que esto haya ocurrido pasados d aos. En la prctica, se utiliza en lo que se denomina la viudedad de pasivos: con d=65-x, el cnyuge y tendr derecho a recibir una renta siempre que el asegurado x fallezca una vez cumplidos los 65 aos. En el caso de que el asegurador slo cubra el riesgo de fallecimiento de x si ste ocurre antes de n aos, siendo la renta de supervivencia sobre y tambin de duracin mxima de n aos, entonces tendremos una renta temporal sobre las dos cabezas:

= ===

=====++++=

n

1t

n

1tn :xy n :y xyt

tyt

tn

1txtyt

tn

1txtyt

t

xnynn

x3y33

x2y22

x1yx/y n

a - a P V - P V )P -(1 P V q /P V

q /P V...q /P Vq /P Vq /P V a/

(3.) Se utiliza para la valoracin de rentas de orfandad. Por ejemplo, con n=23-y: se contempla el supuesto de que el asegurado x fallezca antes de los prximos n aos y en caso de que esto ocurra, slo se paga la renta hasta que el hijo cumpla los 23 aos.

Sin embargo, con este mtodo no se pueden contemplar todas las posibilidades de temporalidad, teniendo que recurrir al estudio dinmico de la operacin, que est basado en tantos de mortalidad diferidos. Comenzaremos nuevamente por el caso vitalicio:

x x+1 x+2 x+3 ... x+t-1 x+t y y+1 y+2 y+3 ... y+t-1 y+t

Viven x e y Vive y y+1 y+2 y+3 y+t-1 y+t

Esquema 3: Estudio dinmico de una renta de supervivencia.

xyy

w

1txtyt

tw

1ttyx1-tyt

t

3yx2y33

2yx1y22

1yx0yx/y

a - a )P -(1 P V /q P V

... /q P V /q P V /q P V a

==

+

+++

====+++=

(4.)

Cada uno de los sumandos de la ecuacin (4.) recoge la valoracin del riesgo soportado por el asegurador suponiendo que la renta se genera en cada uno de los aos de duracin del seguro. Se puede demostrar que las expresiones (1.) y (4.) son equivalentes.

Una de las principales ventajas de este mtodo es que permite ms juego a la hora de introducir la temporalidad. As, por ejemplo, en el caso de que el asegurador slo cubra el riesgo de fallecimiento de x si ste ocurre antes de n aos, siendo la renta de supervivencia de y vitalicia, entonces tendremos una renta temporal slo sobre x:

29


/q P V an

1ttyx1-tyt

ty n / :x

=+= (5.)

que responde al hecho ms habitual. Por ejemplo, cuando n=65-x, si se produce el fallecimiento de x antes de los 65 aos, la cabeza y recibe una renta vitalicia, lo que se denomina viudedad de activos. Despus de los 65 aos entrara, en su caso, la viudedad de pasivos, con otra renta y otro planteamiento que podra ser diferente del anterior.

Otra de las situaciones en las que slo se puede utilizar el estudio dinmico, como veremos posteriormente, es en el caso de prestaciones de viudedad y orfandad que estn relacionadas con el salario que tenga el empleado en el momento de producirse el fallecimiento.

1.2. Rentas de supervivencia aplicadas a grupos.

Se puede extender todo lo comentado anteriormente al caso de formacin de grupos. Para el clculo de la renta slo hay que sustituir en el Cuadro General Resumen de Rentas, los valores siguientes de F:

1) Rentas pagaderas al fallecimiento de x en tanto vivan

( ) P -P P -1 P q /P F xt txt txt t ===

con lo cual, si la renta es constante, vitalicia, inmediata, pospagable, quedara:

a - a a x x / =

2) Rentas pagaderas al fallecimiento de x en tanto viva al menos una de

)P -P P (-P -P P )P -(1 )P -P P ( q /P F xtxtxttttxttttxt t ++=+==


( ) ( ) a- a a - a- a a a - a a xxxx x / ++==

3) Rentas pagaderas a la disolucin de x y en tanto vivan

( ) xyt txyt txyt t P P P -1 P q /P F === 30



a - a a xy xy / =

4) Rentas pagaderas a la disolucin de x y en tanto viva al menos una de

( ))P P P (- )P P P (

)P 1( )P P P( P -1 P q /P F

xytxytxyt ttt

xyttttxyt txyt t

++=

=+===


( ) ( ) xyxy xyxy xy / a - aa - a -a a a - a a ++==

5) Rentas pagaderas a la extincin de x y en tanto vivan ( ) [ ]

)P P P ( P

)P P P ( 1 P P -1 P q /P F

xytytxtt

xytytxt txyt txyt t

+=

=+===


( ) a-aa - a a xyyx /xy +=

6) Rentas pagaderas a la extincin de x y en tanto viva al menos una de ( ) [ ]

)P P P P P P P P P(

)PPP()PPP( )PPP()PPP(

)PPP(1 )PPP( P -1 P q /P F

xytytxtxytxytytxtytxt

tttxytytxttttttt

xytytxttttxyt txyt t

+++++=+++=

=++===


( ) (

xyy xxy xyy xyx

:xy /xy

a a-a-a-a-aa aa - a -a a

a - a a

+++++= )==

31


Siguiendo el mismo mtodo se puede ampliar a grupos de m cabezas, con todas las combinaciones posibles en cuanto a que vivan al menos r, o exactamente r; o para un orden de fallecimiento. Por ejemplo:

7) Rentas pagaderas a la disolucin de x y por fallecimiento de x en favor de z.

q /P F 1 yx t zt=


q /P V aw

1t

1yx t zt

t1zy / x

==

8) Rentas pagaderas a la extincin de x y por fallecimiento de y en favor de z.

q /P F 2 yx t zt=


q /P V aw

1t

2 yx t zt

t2 zy / x

==

9) En este tipo de rentas tambin se puede sustituir una cabeza por un trmino cierto (por ejemplo, una renta financiera). As, si en la renta de supervivencia pagadera a y si fallece x, sustituimos:

n y = nos queda:

n :x nnx / a - a a =

donde a n

es el valor actual de una renta financiera, unitaria, pospagable, temporal de n periodos,

valorada con un rdito igual al tipo de inters tcnico utilizado en la valoracin de la renta actuarial.

A esta ltima modalidad est asociado el denominado seguro de amortizacin de prstamos, que consiste en la percepcin, en caso de fallecimiento del prestatario x, de una renta cierta durante un mximo de n aos (normalmente, duracin del prstamo) a contar desde la fecha de contratacin del seguro.

32


2 PRESTACIONES POR MUERTE Y SUPERVIVENCIA.

Las prestaciones por muerte y supervivencia estn destinadas a compensar la situacin de necesidad econmica que produce, para determinadas personas, el fallecimiento de otras. Las prestaciones de este tipo que vamos a estudiar son las de viudedad, orfandad y pensin a favor de familiares.

2.1. Viudedad.

Desde el punto de vista financiero-actuarial la prima nica a pagar para asegurar una renta vitalicia de viudedad en caso de fallecimiento del asegurado x mientras viva el cnyuge y se puede calcular, mediante las ecuaciones de equivalencia, para los siguientes casos:

1) Viudedad de activos (obtenida a partir de la ecuacin 5 de este tema). Si el asegurado x est en activo y quiere asegurar una pensin de viudedad vitalicia, constante hasta que cumpla los 65 aos:

/q P V R a R x-65

1ttyx1-tyt

tayy x / -65 :x

ay0

=+== (6.)

donde:

0 : Prima nica. R ay : Renta anual de viudedad constante, vitalicia, que pagar el asegurador si se produce el

fallecimiento de x antes de cumplir los 65 aos.

y x / -65 :x a : Valor actual de una renta unitaria, pagadera, en caso de fallecimiento de x en los prximos 65-x aos, mientras viva y.

t y + : Valor actual de una renta unitaria, prepagable, vitalicia, para una persona de edad y+t.

2) Viudedad de pasivos (obtenida a partir de la ecuacin 2 de este tema). Se garantiza una renta de viudedad vitalicia, constante, en caso de que se produzca el fallecimiento de x una vez jubilado (a partir de los 65 aos):

( ) a - a E R a P V R /a R x65y 65,x65yyx x-65pyx65y / 65yx x-65x-65pyy x / x-65py0 +++ === (7.)

donde:

0 : Prima nica. R py : Renta anual de viudedad que cobrar y vitaliciamente, si x fallece despus de cumplir los 65

aos.

y x / x-65 /a : Valor actual de una renta unitaria, pagadera, en caso de fallecimiento de x, mientras viva y, diferida 65-x aos.

33


3) Pensin de viudedad relacionada con el salario que tenga el empleado en el momento de producirse el fallecimiento.

Supongamos que la cuanta de la pensin de viudedad vitalicia a favor de y es un porcentaje constante k del salario, S, que tenga el empleado en el momento de su fallecimiento, siempre que ste ocurra en su etapa de actividad (viudedad de activos). Dado que la pensin de viudedad est relacionada con el salario que tenga x en el momento de su fallecimiento, slo se puede resolver mediante el estudio dinmico (ecuacin 5). El esquema de la operacin y el clculo de la prima nica en el momento actual, a la edad x del empleado, siendo j la edad de jubilacin, es:

x x+1 x+2 x+3 ... j-1 j y y+1 y+2 y+3 ... y+j-x-1 y+j-x

Viven x e y Vive y y+1 y+2 y+3 y+j-x-1 y+j-x

Esquema 4: Estudio dinmico de una renta de supervivencia.

/q P V Sk /q P VSk

... /q P VSk /q P V Sk /q P VSk x-j

1ttyx1-tyt

t1-txx-jyx1-x-jyx-j

x-j 1-j

3yx2y33

2x2yx1y22

1x1yx0yx0

= +++

+++++

=+

++++=

(8.)

Cada uno de los sumandos de la ecuacin (8.) recoge la valoracin del riesgo soportado por el asegurador suponiendo que la renta se genera en cada uno de los aos de duracin del seguro.

En el caso particular de que los salarios crezcan a una tasa anual, acumulativa, s, el valor de la prima nica ser:

DN

l

d

ll

V S s1

k

DN

l

d

ll

V S s1

k /q P V S s1

k

s1s1 /q P V s)(1 Sk /q P V Sk

x-j

1t ty

ty

x

1-tx

y

ty t*x

x-j

1t ty

ty

x

1-tx

y

ty t*x

x-j

1ttyx1-tyt

t*x

x-j

1ttyx1-tyt

t1-tx

x-j

1ttyx1-tyt

t1-tx0

= +

+++

= +

+++

=+

=+

=++

+=

=+=+=

=+++==

(9.)

siendo:

s1siicon ;

i11

i1s1 V **

*

+=+=+

+= (10.)

34


2.2. Orfandad.

Desde el punto de vista financiero-actuarial la prima nica a pagar para asegurar una renta temporal se puede calcular, mediante las ecuaciones de equivalencia, para los siguientes casos:

a) Renta de orfandad en caso de fallecimiento del cnyuge de edad x (obtenida a partir de la ecuacin 3 de este tema), hasta que el hijo (beneficiario) de edad actual cumpla, una determinada edad. La temporalidad afecta tanto a x como a . Si, por ejemplo, se considera la edad mxima 23 aos, tendremos:

a a R q /P V R a /R -23 : x -23 :

x-23

1txtt

tx x / -23

x0

===

=

(11.)

siendo:

0 : Prima nica. x : edad de uno de los cnyuges.

: edad del hijo beneficiario. xR : Renta de orfandad anual, constante a favor de si fallece x.

x / -23 a/ : Valor actual de una renta unitaria, pagadera, en caso de que ocurra el fallecimiento de x en los prximos 23- aos, y mientras viva en los prximos 23- aos (temporal sobre las dos cabezas).

b) Renta de orfandad en caso de fallecimiento de los dos cnyuges de edades x e y (obtenida a partir de la ecuacin 3 de este tema), hasta que el hijo beneficiario de edad actual cumpla una determinada edad. La temporalidad afecta tanto a x, como a y, como a . Si, por ejemplo, se considera la edad mxima 23 aos, tendremos:

( ) a-aaa R a a R

P -1 P V R q /P V R a /R

-23 : y x -23 : y -23 : x -23 : yx

-23 : , yx -23 : yx

-23

1tyx tt

tyx

-23

1tyx tt

tyx / yx -23

yx 0

+=

=

==== ==

(12.)

siendo:

0 : Prima nica. x, y : edades de los cnyuges.

: edad del hijo beneficiario. xyR : Renta de orfandad anual, constante a favor de si fallecen los dos cnyugesx,y.

/ xy-23a/ : Valor actual de una renta unitaria, pagadera, en caso de que ocurra el fallecimiento de x e

y en los prximos 23- aos, y mientras viva en los prximos 23- aos (temporal sobre las tres cabezas).

35


2.3. Pensin en favor de familiares.

En el ordenamiento jurdico de los distintos pases es habitual extender la cobertura de la Seguridad Social, mediante pensiones o subsidios, a favor de otros familiares del afiliado, pensionista o invlido. As, por ejemplo, en Espaa se extiende a nietos, hermanos, madre, padre, abuelos, abuelas, cumpliendo una serie de requisitos1.

Desde el punto de vista del clculo de la prima se pueden presentar los siguientes supuestos:

a) Si se trata de rentas similares a las de orfandad, la distinta temporalidad de las rentas motivada por la diferente edad de los beneficiarios- obliga a que haya que realizar el estudio individualmente.

b) En el caso de rentas similares a las de viudedad de activos o viudedad de pasivos, se puede ampliar fcilmente el anlisis sin ms que sustituir la cabeza y por un grupo de varias cabezas.

Por ejemplo, pensin vitalicia a favor de hijos y hermanos (mientras viva al menos uno) de pensionista (una vez se haya jubilado) que cumplan los requisitos referenciados en la nota al pie nmero 1. Se tratara de un caso particular de viudedad de pasivos (vase epgrafe 2.1. de este mismo tema) a favor de un grupo de cabezas (vase epgrafe 4 del tema 8):

( ) a - a E R a P V R /a R

x65x,...,65x,65 : 65x65x,...,65x,65...,,, :xx-65p

...,,,

x65x,...,65x,65 / 65...,,, :xx-65x-65p

...,,, ...,,,x / x-65p

...,,,0

++++++

+++

====

(13.)

donde:

0 : Prima nica. R p ,...,, : Renta anual que cobrar el grupo , , ..., , si fallece x a partir de que cumpla los 65

aos y si sobrevive al menos uno del grupo , , ..., . ,...,,x / x-65

/a : Valor actual de una renta unitaria, pagadera, en caso de fallecimiento de x, mientras viva al menos uno del grupo , , ..., , y diferida 65-x aos.

,...,, :xx-65E : Factor de actualizacin actuarial para el caso de que sobreviva x y al menos uno del

grupo , , ..., , y por un plazo de 65-x aos.

2.4. Seguros de supervivencia.

No plantea ningn problema especial la utilizacin de los Seguros de supervivencia como complemento de las rentas de supervivencia. Su utilizacin es mucho ms limitada que las rentas, aunque se podra utilizar para el pago de subsidios en caso de viudedad, orfandad o a favor de otros familiares. As, por ejemplo, podramos contemplar: 1 Puede verse en la direccin: http://www.seg-social.es/inss/prestaciones/docs/familiarespension.html

36


1) Seguro pagadero al fallecimiento de x si sobrevive y:

( ) ( )

P

aP

aA

21

P P

V - P

PV /q V

21

P

P -

P P

/q V 21

P P P P V 21 /q V A

1-y

1-y x,

1-x

y 1,-xyx

w

1t

w

1t

w

1t 1-y

1-y x,tt

1-x

y 1,-xttyx 1-t

t

w

1t 1-y

1-y x,t

1-x

y 1,-xtyx 1-t

t

w

1tyty1-txtx1-t

tw

1t

1yx 1-t

t1 yx

+=

+=

=

+=

=+==

= = =

=

==

(14.)

verificndose: 1

yx,1

yx,yx A A A += (15.)

2) Seguro pagadero a la extincin del grupo x,y por fallecimiento de x:

( ) A - A /qV - /qV /q /q V /q V A 1 yx xw1t

1yx 1-t

tw

1tx1-t

tw

1t

1yx 1-tx1-t

tw

1t

2yx 1-t

t 2yx ====

====

(16.)

37


3 INVALIDEZ2

En general, un seguro de invalidez cubre al asegurado de posibles disminuciones de ingresos provenientes de una inhabilitacin laboral del asegurado, motivada por un accidente o enfermedad. Es un riesgo con gran carga subjetiva, dado que su evaluacin est sujeta a apreciaciones personales de los agentes e instituciones que intervienen en su cualificacin.

En general, se puede entender por invalidez aquella contingencia por la que un trabajador resulta imposibilitado para desarrollar su actividad profesional habitual o aqulla para la que, por su forma n, se encuentra capacitado, a causa bien de una lesin corporal producida o no p n accidente laboral, o bien de una enfermedad comn o profesional. Ambas circununa resolucin judicial que reconoz

En Espaa, el Ministerio dpermanente como la situacin del tratamiento prescrito y de haber sanatmicas o funcionales gravprevisiblemente definitivas, que distal calificacin la posibilidad de resi dicha posibilidad se estima mdi

3.1. Determinacin de l Esta operacin se podra mo

Esquema 5: Estudio

2 Para la elaboracin de este epgrafe se ha

E0

E1 E2

x

cior u

stancias deben proceder de un dictamen mdico o de ca la incapacitacin laboral del asegurado.

e Trabajo y Asuntos Sociales define la incapacidad trabajador que, despus de haber estado sometido al ido dado de alta mdicamente, presenta reducciones es, susceptibles de determinacin objetiva y minuyan o anulen su capacidad laboral. No obstar a cuperacin de la capacidad laboral del incapacitado, camente como incierta o a largo plazo.

as principales probabilidades.

delizar de la siguiente forma:

dinmico de la contingencia de invalidez.

seguido, en su mayor parte, Nieto y Vegas (1993).

qxaa

x

Pxaa

x+1

38


Donde:

E0 : Estado asociado a que una cabeza viva vlida.

E1 : Estado asociado a que una cabeza fallezca vlida.

E2 : Estado asociado a que una cabeza se invalide.

Las probabilidades correspondientes, a partir de E0, para una cabeza de edad x son:

x = Probabilidad de que una cabeza de edad x se invalide antes de alcanzar la edad x+1. Pxaa = Probabilidad de que una cabeza de edad x alcance la edad x+1 en estado de actividad o validez.

qxaa = Probabilidad de que una cabeza de edad x fallezca, en estado de actividad o validez, antes de alcanzar la edad x+1.

Verificndose la siguiente relacin:

Pxaa + qxaa + x = 1 (17.)

Adems, consideraremos en nuestro anlisis las siguientes probabilidades:

Pxai = Probabilidad de que una cabeza activa de edad x se invalide, alcanzando con vida la edad x+1

qxai = Probabilidad de que una cabeza activa de edad x se invalide y muera antes de cumplir la edad x+1.

Pxa = Probabilidad de que una cabeza activa de edad x alcance la edad x+1, bien en estado de actividad o bien de invalidez.

qxa = Probabilidad de que una cabeza activa de edad x fallezca antes de cumplir la edad x+1, bien en estado de actividad o bien de invalidez.

Verificndose las siguientes relaciones:

Pxa = Pxaa + Pxai (18.)

qxa = qxaa + qxai (19.)

x = Pxai + qxai (20.)

Pxa + qxa = 1 (21.)

El tanto anual de invalidez, x, se puede obtener de forma parecida a los tantos de mortalidad de las tablas generales: es decir, como el cociente:

aax

x

ln = x (22.)

39


donde, lxaa : nmero de cabezas activas o vlidas a la edad x. nx : nmero de individuos, de entre el grupo lxaa , que se invalidan a la edad x. De forma similar se puede obtener el tanto anual de mortalidad entre vlidos:

aaxaa

x

aax q

ld = (23.)

donde, dxaa : nmero de individuos, de entre el grupo lxaa , que fallecen antes de alcanzar la edad x+1 sin haberse invalidado previamente. Por otro lado, la diferencia:

aax

aa1x

aax l - l =+ (24.)

no tiene el mismo significado que su equivalente de la supervivencia general (lx), ya que

mide el nmero de los vlidos de edad x que no han llegado a la edad x+1, bien por haber fallecido en estado de validez o bien por haberse invalidado:

aax

n d l - l x

aax

aa1x

aax

aax +== + (25.)

Lo ideal sera elaborar unas tablas propias de invalidez para el colectivo, pero es,

en lneas generales, ms difcil que las de mortalidad, ya que una variable que influye mucho es el periodo que ha de transcurrir para suponer que una persona va a permanecer invlida en lo sucesivo, es decir, lo que se llama el periodo de carencia en estado de invalidez. Adems, tambin hay grandes diferencias segn el pas, y dentro de cada pas, segn el sector. Por todo ello, se suelen utilizar tablas de invalidez generales que existen en el mercado. Podemos comprobar en la Tabla 1 los diferentes valores que alcanza el tanto de invalidez, para el caso de la invalidez total3, absoluta4 y la agregada5 del Rgimen General de la Seguridad Social Espaola (1990) y el de las tablas EVK suizas (1980) para varones, que corresponden a la experiencia de una Caja de Pensiones suiza.

Edad Rgimen General Seguridad Social

1990 Invalidez total

(a)

Rgimen General Seguridad Social

1990 Invalidez absoluta

(b)

Rgimen General Seguridad Social

1990 Tasa de Invalidez

(a+b)

EVK-

VARON

EVK-

MUJER

20 0,0001382 0,0001669 0,0003051 0,0001 0,00025 30 0,0004745 0,0004330 0,0009075 0,0001 0,00025 40 0,0017271 0,0012728 0,0029999 0,0003 0,00075 50 0,0067590 0,0047590 0,0115180 0,0028 0,00550 60 0,0106370 0,0143220 0,0249590 0,0328 0,02200 64 0,0036780 0,0143670 0,0180450 0,0616 -

Tabla 1. Tantos de invalidez. 3 Corresponde a la invalidez total para la profesin habitual. 4 Se refiere a la incapacidad absoluta para todo trabajo. 5 Es la suma de las tasa de invalidez total y absoluta, que se denomina tasa observada de invalidez.

40


Se ha contrastado, Instituto de Actuarios Espaoles (1991), que los trabajadores que estn en la primera etapa de su carrera laboral, entre 18 y 44 aos, acceden a la invalidez por causas de incapacitacin fsica. Entre 45 y 59 aos, junto con las causas puramente biolgicas estn las sociales, como el desempleo o la imposibilidad de prepararse para una nueva profesin cuando el trabajador queda incapacitado para la suya habitual. A partir de los 60 aos y hasta los 64, la tasa de invalidez disminuye como consecuencia de dos fenmenos contrapuestos: por una parte y en razn de la edad, la probabilidad de invalidarse es mayor, y por otra el trabajador puede optar por una jubilacin anticipada o esperar a los 65 aos porque le sea ms beneficioso econmicamente. Por estas razones, a partir de los 60 aos disminuye la solicitud de invalidez, sobre todo cuando se presume que el grado alcanzable va a ser el de total. Para la elaboracin de las tasas de invalidez no se ha distinguido por sexo y se ha ajustado mediante funciones del tipo:

dxcx ) xb x(a i2tt2

ttt e ++= (26.) siendo it la tasa de invalidez para un individuo de edad xt. Se ha realizado el estudio separadamente por tramos de edad: 1. Primer grupo de edad. Entre 18 y 44 aos. La ecuacin obtenida ha sido:

10 ) x11.174.598 x11(127.599.1 10 ) x14 x(75882 i102

tt10-2ttt e

+= (27.) con un coeficiente de correlacin de 0,997. 2. Segundo grupo de edad. Entre 41 y 59 aos. Dado que la curva resultante enlazaba

con la obtenida en el tramo anterior, esta estimacin sirve para determinar la tasa de invalidez para las edades entre 45 y 59 aos. La ecuacin resultante ha sido:

10 ) x595.619.72 x.039(4.090.656 10 x8 i102

tt10-tt e

+= (28.) con un coeficiente de correlacin de 0,984 3. Tercer grupo de edad. Entre 60 y 64 aos. La ecuacin obtenida ha sido:

10 ) x73.755.964 x(9.854.078 i102

ttt e

= (29.) con un coeficiente de correlacin de 0,983.

Las tablas EVK suizas tambin estn ajustadas por tramos de edades, pero con funciones lineales. En el caso de los varones, estos ajustes se corresponden con un valor constante de la tasa igual a 0,1 por mil, entre 20 y 30 aos. Entre 30 y 40 aos, el valor es el de una recta con origen en 0,1 por mil y creciente un 0,02 por mil anual. De 40 a 45 aos, se sigue ajustando por una recta, cuyo crecimiento anual pasa a ser de 0,1 por

41


mil. De 45 a 50 aos el crecimiento es del 0,4 por mil anual. Entre 50 y 60 aos crece al 3 por mil anual y de 60 hasta 64 aos de edad, el crecimiento anual de la tasa es del 7,2 por mil.

Comparacin EVK-RGSS

00,010,020,030,040,050,060,07

20 30 40 50 60

Edad

Tasa

de

inva

lidez

EVKRGSS

Grfico 1. Tasa de invalidez.

Tambin puede ser til contar con informacin sobre la supervivencia y mortalidad de las personas en estado de invalidez, ya que dichas probabilidades son sustancialmente diferentes a las de la poblacin normal. En la Tabla 2 se puede comparar las probabilidades de mortalidad de la poblacin general espaola masculina 70, con las probabilidades de mortalidad de invlidos (procedentes del grupo de activos, pero que en algn momento adquirieron el estado de invalidez). Como se puede comprobar para las edades ms jvenes, la probabilidad de fallecimiento de invlidos llega a ser hasta ocho veces mayor que la de la poblacin general.

Edad 1000. qx (PEM-70) 1000. qxi20 1,140 8,919 30 1,502 10,691 40 2,823 14,143 50 6,857 20,872 60 17,209 33,986 65 27,363 44,653 70 43,470 59,545 80 108,150 109,356 90 255,799 206,434 100 533,872 757,969 Tabla 2: Tantos de mortalidad para activos e invlidos.

Si denominamos:

lxi : nmero de invlidos vivos de edad x.

dxi : nmero de invlidos fallecidos a la edad x.

Pxi : probabilidad de que un invlido de edad x alcance la edad x+1.

42


qxi : probabilidad de que un invlido de edad x fallezca antes de cumplir x+1 aos.

De forma anloga al caso general de supervivencia, se cumple:

l

lP ix

i1xi

x+= (30.)

ldq i

x

ixi

x = (31.)

Pxi + qxi = 1 (32.)

Los datos o parmetros a estimar son x, qxi, qxa, denominados funciones fundamentales de Zimmermann. Conocidos estos valores podemos calcular las dems probabilidades que nos interesan.

Si, adems, admitimos la hiptesis de distribucin uniforme de las invalideces, tendremos:

= q aix P(S1 S2) = P(S1) P(S2/S1) = 21

x ixq (33.)

donde:

S1 : Suceso de que se invalide a lo largo del ao.

S2 : Suceso de que fallezca esa persona a lo largo del ao.

21

: porque los sucesos slo se pueden producir en ese orden: invalidarse y fallecer.

Obteniendo, fcilmente, el resto de probabilidades:

= P aix x q- aix = x

2q

-1 ix = x 2

P1 ix+ (34.)

-PP -P P axaix

ax

aax == x

2q

-1 ix (35.)

-qq -q q axaix

ax

aax == x 2

qix (36.)

43


3.2. Otras probabilidades relacionadas con la invalidez.

Veamos, a continuacin, una serie de probabilidades que pueden ser tiles a la hora del clculo de las rentas y seguros de invalidez. Para su determinacin se tiene en cuenta las relaciones vistas en el tema 8 y el epgrafe 9.3.1.:

1) Probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente vlida, alcance la edad x+n en estado de actividad [designaremos esta cabeza con la notacin (x)aa]:

aax

aanxaa

xn llP += (37.)

2) Probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente vlida, muera en estado de actividad durante el t-simo ao:

aa1-tx

aax1-taa

1-tx

aa1tx

aax

aa1tx

aax

aa1txaa

x1-t q P ld

l

ll

d/q +

++++ === (38.)

3) Probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente vlida, muera en estado de actividad en los prximos n aos:

/qq/n

1t

aax1-t

aaxn

== (39.)

4) Probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente vlida, se invalide durante el t-simo ao:

t-1/ x aax1-taa1-tx

1txaax

aa1tx

aax

1tx P ln

l

ll

n ===+

+++ x+t-1 (40.)

5) Probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente vlida, se invalide en los prximos n aos:

/nx ==n

1t t-1/ x (41.)

6) Probabilidad contraria de es: aaxnP

+= aaxnaaxn q /P 1 /nx (42.)

es decir, la probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente activa, no alcance la edad x+n en estado de actividad. Puede ser por haber fallecido en estado de actividad o por haberse invalidado antes de alcanzar dicha edad.

7) Probabilidad contraria de es: aax1-t /q

44


++= aaxtaax1-taax1-t P q //q 1 /tx (43.)

que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad x muera activa en los prximos t-1 aos, ms la de que alcance activa (viva) la edad x+t, ms la de que se invalide en los prximos t aos.

8) Probabilidad contraria de es: aaxn q/

+= aaxnaaxn P q /1 /nx (44.)

que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad x siga activa (viva) a la edad x+n, ms la de que se invalide en los prximos n aos.

9) Probabilidad contraria de t-1/x es:

1 - t-1/x = /t-1x (45.) aaxtaaxt q/ P ++

que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad x se invalide en los prximos t-1 aos, ms la de que siga activa (viva) a la edad x+t, ms la de que muera activa en los prximos t aos.

10) Probabilidad contraria de /nx es:

1 - /nx = (46.) aaxnaaxn q / P +

que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad x siga activa (viva) a la edad x+n, ms la de que muera activa en los prximos n aos.

11) Probabilidad de que la cabeza de edad x, inicialmente activa, alcance la edad

tema12

Documents