tema2-deformaciones

Tema 2: Deformaciones

Tema 2 : DEFORMACIONES

1

O

u1 u2 u3

ε1 ε2

ε3

δ1δ2δ3

γ1/2 γ2/2

γ3/2

F1 F3

F2

Fn


2.1.- INTRODUCCIÓN Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede descomponer e cuatro partes: 1º.- Una TRASLACIÓN que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´

F3 F1 y xO Fn F5 F4 O´ zF2

Fig. 2.1 2º.-Una ROTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´ F3

2

Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin deformarse

F1

F2

Fn F4 F5 O´

Eje Rotación

Fig. 2.2

Sección 2.1: Introducción

3º.-Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo

F3 F1

4º.- Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMÉTRICAS” de los ángulos que forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º. Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del paralelepípedo. Observación: En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por qué de ello lo veremos a continuación: Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentido horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual la arista OA habría que girarla 1º mas en sentido antihorario y la arista OB restarla 1º, osea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación

F2

Fn F5 F4 O´

Fig. 2.3

F3 F1

F2

Fn F5 F4 O´

Fig. 2.4

=

O OA

B B1º2º

deformación angular

4º

3º

3

+

OA A

B deformación rotación angular simétrica

3º 1º


2.2.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓN Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo: deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD´, con lo cual el elemento lineal OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD´.

4

y D D´ Definición: Se denomina DEFORMACIÓN UNITARIA (δ) del elemento lineal OD, al cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento lineal: OD, es decir: Si observamos la fig.2.5. se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos ODD´y ODoDo´ se obtiene: Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN LONGITUDINAL UNITARIA (ε) y otra en dirección perpendicular al elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN ANGULAR UNITARIA (γ/2). Se cumplirá:

O x

z Fig. 2.5

1 Do δ

Do´

ODDD´

=δr (2.1)

ODDD

ODDD ´´

1=→= δδ

y D

22

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+=

γεδ

γεδr

rrD´ γ/2 Do

ε (2.2) Do´ 1 δ

x O

z Fig. 2.6

Sección 2.2: Concepto de deformación

2.3.- ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones Tal y como se vió en 1.3 que……………..”a cada superficie S que pase por un punto O de un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ (tensión cortante)”……………..y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haber en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O” En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: “A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde una deformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y γ/2 (deformación angular unitaria).”

5

“Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O sw le denomina: Estado de Deformaciones del puno O” Siguiendo con dicha analogía, vimos en 1.3 que…………….”de las infinitas Tensiones que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan por él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, denominadas componentes del estado de tensiones en el punto O, podremos conocer todas las demás a través de la ecuación (1.9): Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir: “De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de ellas: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que como ahora se verá, será similar a la de las tensiones (1.9).”

O

u1 u2 u3

ε1 ε2

ε3

δ1δ2δ3

γ1/2 γ2/2

γ3/2

F1 F3

F2

Fn

Fig. 2.7

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γβα

στττστττσ

ρρρ

coscoscos

.

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x


Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6 componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y sea OD un elemento lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer. La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = ODo , dado por sus cosenos directores: u (cos α, cos β, cos γ). Construyamos ahora un paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver fig.2.8). El paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos α (en dirección del eje OX), cos β (en dirección del eje OY) y cos γ (en dirección del eje OZ).

y D

D´

6

Do δ

Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx.

• Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz,

O x

z Fig. 2.8

1 Do´ cos β

u

cos α

cos γ

y

εy.cosβ

δcos β

εx.cosαcos α

εz.cosγ

cos γ O x

z Fig. 2.9

γεδβεδαεδ cos.cos.cos. zzyyxx ===

Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto

7

• Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: γxy, γyz, γzx.

(γyx/2).cosβ

Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría:

δ

(γxy/2).cosα

y

cos α

cos β

O x

γyx/2

αγ

δ

βγ

δ

cos.2

cos.2xy

y

yxx

=

=

γxy/2

cos α O

δ

(γxz/2).cosα

(γzx/2).cosγ

x γxz/2

cos γ

z

γzx/2 αγ

δ

γγ

δ

cos.2

cos.2xz

z

zxx

=

=

(γyz/2).cosβ

δ

(γzy/2).cosγ cos β

cos γO z

γzy/2

γyz/2

y

βγ

δ

γγ

δ

cos.2

cos.2yz

z

zyy

=

=

Fig. 2.10.a), b), c)

γεβγ

αγδ

γγ

βεαγ

δ

γγβγ

αεδ

cos.cos.2

cos.2

cos.2

cos.cos.2

cos.2

cos.2

cos.

zyzxz

z

zyy

xyy

zxyxxx

++=

++=

++=

(2.3)


Poniendo las ecuaciones (2.3) en forma matricial, sería:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γβα

εγγ

γε

γ

γγε

δδδ

coscoscos

.

22

22

22

zyzxz

zyy

xy

zxyxx

z

y

x

(2.4) r

=δ uD r.y en forma abreviada: (2.5) siendo:

""

22

22

22

nesDeformaciodeTensorD

zyzxz

zyy

xy

zxyxx

εγγ

γε

γ

γγε

=

Conclusión: Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (2.4), la deformación δ en dicha dirección. Una vez conocida la deformación δ, se podrá obtener ε y γ/2, (ver fig.2.6):

22

22

..

εδγεδγεεδε

−=−=

==rrr

rrrr uu )6.2(

CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS Se considera un estado de deformaciones planas cuando se cumpla:

0,0,0 === yzxzz γγε La ecuación matricial (2.4) se verá reducida a:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡βα

εγ

γε

δδ

coscos

.

2

2

yxy

yxx

y

x )7.2(

8

Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto

9

onvenios de signos para las deformacionesC Para las deformaciones longitudinales: ε → se consideran positivas, (ε > 0), cuando

ara las deformaciones angulares: γ → se consideran positivas, (γ > 0), cuando

o mismo sería con γxz y γyz

bservaciones: Analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de

expresen alargamientos (negativas en caso contrario)

ε < 0

O

D

Do

ε > 0

O

D

Do

1 Do´ 1D ´o

el vector unitario ODo, en la direcció el vector unitario ODo, en la dirección OD,

n OD,

Pindiquen una disminución del ángulo recto inicial que forman las aristas del paralelepípedo que están en los ejes coordenados (negativas en caso contrario)

L Odeformaciones Vistas las analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, se

obtendrán a 2 sobre

n efecto:

podrá concluir que si se en todas las ecuaciones obtenidas en el Tema 1 sobre Tensiones, se hacen los siguientes cambios: se las ecuaciones equivalentes correspondientes al TemDeformaciones. E

se alarga y pasa a ODo´ se acorta y pasa a ODo´

O A OA

B

A´

´ Bγyx/2

γxy/2

γxy > 0

y

γyx/2

x

B

A

B´

´

γxy/2

γxy < 0

x

y

Fig. 2.12

2γτεσδρ →→→

rrrrr

Fig. 2.11


10

.4.- DEFORMACIONES PRINCIPALES

2 De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a

currirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá

⎤⎡⎤⎡⎤⎡ αττσρ cos

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γβα

εγγ

γε

γ

ε

δδδ

coscoscos

.

22

22

22

zyzxz

zyy

xy

zxyxx

z

y

x

⎤⎡ γγ

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ γβ

στττστ

ρρ

coscos.

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

(1 9).

TENSIONES DEFORMACIONES

(2.4)

22

22

..

εδγεδγεεδε

−=−=

==rrr

rrrr uu22

..

σρτσρτ

σσρσ

−=−=

==rrr

rrrr uu)6.2((1.12)

las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los valores máximo y mínimo a las que se denominará: DEFORMACIONES PRINCIPALES. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las denominará : DIRECCIONES PRINCIPALES. Oque: γ / 2 = 0 y por tanto: δ = ε.

O

D Do

1 x

y

z

εδ

γ/2

F1

F2

F3

Fn

OD: dirección

O

D Do

1x

y

z

ε = δ

γ/2 = 0

F1

F2

F3

Fn

OD: dirección principal

Fig. 2.13

cualquiera

Sección 2.4: Deformaciones Principales

CÁLCULO DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES En el tema de Tensiones las ecuaciones 1.16, nos permitían calcular las tensiones principales:

33

22

11

σρσρσρ

===

0=−

−−

ρστττρστττρσ

zyzxz

zyyxy

zxyxx →

Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios:


rrrrr y quedarán las ecuaciones:

0

22

22

22

=

−

−

−

δεγγ

γδε

γ

γγδε

zyzxz

zyy

xy

zxyxx

(2.8)

Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se obtendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2, δ3

y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2, δ3 = ε3 CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.:

0cos).(cos.cos.0cos.cos).(cos.0cos.cos.cos).(

=−++

=+−+

=++−

iiziyzixz

izyiiyixy

izxiyxiix

γρσβτατ

γτβρσατ

γτβταρσ

1coscoscos 222 =++ iii γβα Pues bien, haciendo nuevamente los cambios:


rrrrr

11


obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones Principales y serán:

0cos).(cos.2

cos.2

0cos.2

cos).(cos.2

0cos.2

cos.2

cos).(

=−++

=+−+

=++−

iiziyz

ixz

izy

iiyixy

izx

iyx

iix

γδεβγ

αγ

γγ

βδεαγ

γγ

βγ

αδε (2.9.a)

(2.9.b) 1coscoscos 222 =++ iii γβα CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS Para el caso particular de deformaciones planas: ,

0,0,0 === yzxzz γγε

La ecuación para el cálculo de las Deformaciones Principales (2.8) quedaría reducida a :

0

2

2 =−

−

δεγ

γδε

yxy

yxx

(2.10) Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado se tendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2 y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2 Si aplicamos la fórmula de resolución de la ecuación de 2º grado, se obtendrían:

12

Por su parte las Direcciones Principales se obtendrán de:

( )

( )2

222

22

11

2.4.

21

2

2.4.

21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

+==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+==

xyyx

yx

xyyx

yx

γεε

εεεδ

γεε

εεεδ

(2.11)

0cos).(cos.2

0cos.2

cos).(

=−+

=+−

iiyixy

iyx

iix

βδεαγ

βγ

αδε (2.12.a) (2.12.b) 1coscos 22 =+ ii βα

Sección 2.5: Representación de Mohr

2.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR Al igual que en el caso de las Tensiones, podremos desarrollar también un método gráfico para el cálculo de las deformaciones CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS Supongamos conocidas las tres componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, γxy, y se quieren calcular, gráficamente, las deformaciones: ε y γ/2 correspondientes en una dirección cualquiera OD, definida por su vector unitario: u (cosα, cosβ)

y D β = 90-α D´

13

Se sabe, por lo visto en 2.3., que para cada dirección OD se obtendrían por las ecuaciones analíticas (2.7) y (2.6), un par de valores: ε y γ/2. Así: Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en el eje de abcisas llevásemos las deformaciones longitudinales (ε) y en el de ordenadas, las deformaciones angulares (γ/2) y uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de los mismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr”

Do ε γ/2δu Do´

xO

β

α

Fig. 2.14

1 1

2 2

para dirección , / 2para dirección , / 2.............................................................................para dirección , / 2n n

ODOD

OD

1 1

2 2

n n

α α εα α ε γ

α α ε γ

= → →= → →

= → →

γ

(ε2,γ2/2γ/2

ε O

(ε1,γ1/2)

(εn,γn/2)

Fig. 2.15


Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr

• Deformaciones longitudinales (ε): se consideran positivas las deformaciones longitudinales cuando indican un alargamiento. Negativas en caso contrario.

D D ε > 0 ε < 0

14

• Deformaciones angulares (γ/2): se consideran positivas cuando impliquen un giro en sentido horario. Negativas en caso contrario.

Observaciones: Como las tensiones cortantes (τ) son las que producen las deformaciones angulares (γ/2), se observa por lo visto en la sección 1.5 del tema de Tensiones, que hay coherencia con los criterios de signos dados para las tensiones cortantes y el dado ahora para las deformaciones angulares: τ > 0 → γ/2 > 0 Los criterios de signos utilizados para las deformaciones angulares, en la representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 2.3. para la resolución analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los problemas.

O Do

1 Do´ Do

O 1Do´

Fig. 2.16

γ/2 > 0 γ/2 < 0D D´

O

D´ D

O Fig. 2.17

ττ τ

τ τ > 0 → γ/2 > 0 τ

ττ τ

Fig.2.18


15

:

onstrucción de la circunferencia de Mohr:

Ejemplo yy C Supónganse conocidas las componentes del estado de deformaciones plano en un punto

maciones

as deformaciones relativas al eje X ( εx > 0, γxy/2 < 0, por criterios de signos de Mohr),

O: εx, εy, γxy. (Fig.2.20.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisas llevaremos las deformaciones longitudinales unitarias (ε) y en el de ordenadas las deformaciones angulares simétricas (γ/2). La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de Deforse hará de una forma similar a como se construyó la Circunferencia de Mohr relativa a las Tensiones Lestarán representadas en los ejes coordenados por el punto X. A su vez, las deformaciones correspondientes al eje Y ( εy > 0, γyx/2 > 0, por criterios de signos de Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto Y. Si unimos, con una recta, los puntos X e Y, la intersección de ésta con el eje de abcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.2.20.b)

O

Y

1

εx

εy

X 1 γxy/2

γyx/2

δx

δy

ux

uy

O A

B

A´

B´ γyx/2 > 0

γxy/2 > 0

γxy > 0

x

Criterio de signos para la resolución analítica

O A

B B´γyx/2 > 0

A´ γxy/2 < 0

x

Criterio de signos para la resolución gráfica (Mohr)

Fig. 2.19

O C

X

Y

ε

γ/2

εx εy

γyx/2

Fi

D Eγxy/2

g.2.20.a Fig.2.20.b.


Por su construcción, se deduce fácilmente que la Circunferencia de Mohr tendrá por Centro y Radio los siguientes valores:

16

2

Centro :2

Radio :2 2

x y

x y xy

OC

CX

2

ε ε

ε ε γ

+=

−⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(2.13) Cálculo de las deformaciones ε y γ/2 en una dirección OD cualquiera: A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, γxy, se dibujará en un sistema de ejes coordenados: (ε, γ/2), la circunferencia de Mohr, tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones ε y γ/2 correspondientes a una dirección OD, definida por su vector unitario: uD (cosα, senα).

El procedimiento será el siguiente: Para pasar de la dirección OX (definida por uX), a la dirección OD (definida por uD), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto X, (representativo del estado de deformaciones de la direccion OX), al punto D, (que representará el estado de deformaciones de la dirección OD), se tendrá que girar, igualmente en sentido antihorario, el ángulo 2α.(o sea el doble del anterior). Mediante este procedimiento las deformaciones en la dirección OD serán pues: Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cos β Deformación angular: γ/2 = DH = CD.senβ (los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán de la circunferencia de Mohr)

O C

X

Y

ε

γ/2

εx εy

γxy/2

γyx/2

Y D

Hε

γ/2

2α β

O X1

1

εx

εy

γxy/2

γyx/2

δx

δy

ux

uy δ

ε γ/2

1 uD

D

α

Fig.2.21


Cálculo de las deformaciones principales: Se sabe, por lo visto en (2.4) que las deformaciones principales son las deformaciones máxima y mínima y que en las direcciones donde aparecen, no hay deformaciones angulares. Es decir, se cumple: δ =ε, γ/2 = 0.

γ/2 Y Yγyx/2 εy γyx/2 δy

17

Observando la Circunferencia de Mohr, se ve que los puntos M y N corresponden a las deformaciones máximas y mínimas y en ellos no hay deformaciones angulares, por tanto esos puntos estarán representando a las deformaciones principales. Sus valores serán:

Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia de Mohr. Se observa (Fig.2.22), que para pasar del punto X del circulo (representativo del estado de deformaciones de la dirección OX), al punto M, que es donde se dará la deformación principal: ε1 = εmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así pues para obtener la dirección principal OM, sobre la que se dará dicha deformación principal, se deberá girar la dirección OX, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1. siendo: La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la deformación principal mínima: ε2 = εmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver Fig.2.22), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la circunferencia).

O C

X

εεx

E εy γxy/2

2ϕ1

MN

ε2

ε1

O X1

1

εx

γxy/2 δx ux

uy

1 uM

Mδ1 = ε1

ϕ1

Fig.2.22

2 2

1 1

2 2

2 2

Centro Radio MAX2 2 2

Centro Radio MIN2 2 2

x y x y xy

x y x y xy

OM OC CM

ON OC CN

ε ε ε ε γδ ε

ε ε ε ε γδ ε

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + = + = + + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − = − = − + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.14)

11

2

22 ϕεε

γεε

γ

ϕ ⇒−

=−

==yx

xy

yx

xy

CEXEtag (2.15)

tema2-deformaciones

Documents