tema2 dinÁmica causas de los distintos tipos de … · cuando cortamos un papel, etc., aparecen...
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FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACH___________________________________________ IES EL PARADOR
Referencia bibliográfica: Fís y Quím 1º de Bachillerato (Jaime Carrascosa y otros) 1
TEMA2
DINÁMICA
CAUSAS DE LOS DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTO
INTRODUCCIÓN
En el tema anterior hemos aprendido a describir diferentes tipos de movimientos, en
unos casos conocida la trayectoria de antemano y en otros no. En cualquier caso, las
herramientas utilizadas para describirlos, es decir, las magnitudes cinemáticas y las
ecuaciones del movimiento, nos han permitido predecir situaciones en relación con cada
uno de ellos: a qué altura llegará un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba, qué
alcance conseguirá un cuerpo lanzado oblicuamente, qué tiempo tardará en dar una
vuelta completa un cuerpo que describa un movimiento circular, etc.
Sin embargo, un pregunta interesante que merece la pena hacerse es
¿Por qué un cuerpo se mueve de una determinada manera y no de otra?
Es decir, cuál es la causa de que haya diferentes tipos de movimientos. El interés de
responder a esta cuestión es que nos permitiría controlar algunos movimientos a nuestro
antojo y predecir situaciones futuras en el caso de algunos móviles. Esta es la cuestión
que trata fundamentalmente la parte de la física que llamamos Dinámica.
La pregunta anterior ya fue tratada hace mucho tiempo por
los filósofos griegos. Aristóteles, en el siglo V antes de
Cristo, construyó un cuerpo de conocimientos que llamamos
física aristotélica y que se basaba en el sentido común. Las
dos ideas básicas de la física aristotélica que nos interesa
aquí resaltar son:
a) Existen unas leyes que rigen el comportamiento de la
naturaleza que son muy distintas para lo que pasa en la
Tierra y para lo que pasa en el espacio celeste, donde se
mueven los planetas, el So, la Luna y las estrellas; y
b) Las fuerzas son las causantes de que los cuerpos se
muevan.
Todas las ideas de la física aristotélica fueron profundamente integradas en la ideología
cristiana que imperó en occidente desde el siglo V después de Cristo, ya que dichas
ideas casaban perfectamente con las sagradas escrituras. Así pues, todo aquél que
contradijera las teorías de Aristóteles contradecía a la vez a las sagradas escrituras, y
sería considerado un hereje merecedor de la muerte en la hoguera para limpiar sus
impurezas. Imaginaros quién se iba a atrever a poner en duda las ideas de Aristóteles.
Fijo que si Aristóteles hubiera salido de la tumba se hubiera llevado una gran desilusión,
pues en el fondo era un libre pensador que defendía, ante todo, el razonamiento
humano, coincidiera o no con el suyo.
Aristóteles (S.V a.C.)
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Así pues, la idea aristotélica de identificar las fuerzas como las causantes del
movimiento perduraron hasta el siglo XVII. El poder explicativo de las ideas de
Aristóteles era más bien limitado, y ya en el siglo XVI hubo personas que empezaron a
difundir ideas que contradecían poco a poco las ideas de Aristóteles. Las ideas de
personas como Copérnico, Galileo y Kepler ayudaron a que en el año 1687 el físico
inglés Isaac Newton publicara unas leyes que explicaban el comportamiento de la
naturaleza de una manera muy distinta a como lo hacía Aristóteles. La física newtoniana
demostró tener un enorme poder explicativo y constituyó la base de todos los avances
científicos que se sucedieron a lo largo del siglo XVIII y XIX. Newton concebía las
fuerzas como las causantes de los cambios de movimiento mientras que para Aristóteles
las fuerzas eran la causa del movimiento en sí. Además, la física newtoniana tenía
carácter universal, es decir, que servía para explicar de la misma manera los
movimientos que ocurrían en el planeta Tierra y los que ocurrían más allá de la Luna:
podía explicar con las mismas ideas por qué en ausencia de rozamiento los cuerpos caen
todos con la misma aceleración (9,8 m/s2) en las proximidades de la superficie de la
Tierra, o por qué el lanzamiento oblicuo da lugar a una trayectoria parabólica, o por qué
la Luna se mueve alrededor de la Tierra con un movimiento circular uniforme (como
muy buena aproximación) tardando 27,3 días en dar una
vuelta completa, o por qué hacen lo mismo los planetas
alrededor del Sol, etc. De esta manera se rompió
definitivamente la barrera histórica que entre el Cielo y la
Tierra establecía la física aristotélica.
En lo que a nosotros nos interesa en este tema, de la física
newtoniana hay que destacar dos elementos trascendentales:
los tres principios de la dinámica (o tres leyes de Newton) y
la ley de gravitación universal. Resumidamente las podemos
escribir en lenguaje matemático de la siguiente forma:
Principios de la Dinámica o Leyes de Newton
3ª ley: Cuando dos cuerpos interactúan lo hacen de manera simultánea, de modo que las
fuerzas que se ejercen entre ellos son exactamente iguales en módulo y dirección, pero
de sentidos contrarios.
1ª ley: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o la resultante de ellas es nula,
permanecerá en reposo o en movimiento
rectilíneo uniforme.
Si 0F reposo o mru
Isaac Newton (1643-1727)
1,2 2,1F F
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2ª ley: Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo no es nula, éste
adquiere una aceleración que cambia el estado de movimiento del cuerpo.
Esta aceleración viene dada por la ecuación fundamental de la Dinámica:
Ley de gravitación universal
Dos cuerpos con masa siempre interactúan de manera atractiva, de manera que las
fuerzas con las que se atraen como resultado de dicha interacción vienen dadas por la
expresión:
r es la distancia que separa ambos cuerpos
m1 y m2 son las masas de los cuerpos
G es la constante de gravitación universal
11 2 26,67 10 · /G x N m kg
Debido al pequeñísimo valor de la constante G, las fuerzas gravitatorias sólo son
apreciables cuando uno de los cuerpos (o los dos) son muy masivos, lo que sólo ocurre
en el caso de los planetas, las estrellas o los satélites.
Esta ley de gravitación universal cosechó enormes éxitos dada su capacidad predictiva,
tal y como veremos a lo largo de este tema, pero también suscitó algunas dudas. Cuando
empujamos un cuerpo o lo apoyamos en una superficie, cuando golpeamos un balón,
cuando cortamos un papel, etc., aparecen fuerzas debidas al contacto entre los cuerpos
que interactúan. Sin embargo, ¿cómo explicar que dos cuerpos que no estén en contacto
puedan interaccionar entre sí, más aún si la distancia entre ellos es tan grande como la
que separa la Tierra y la Luna o el Sol y un planeta? Newton resolvió en parte este
problema sugiriendo la idea de acción a distancia. Hoy en día queda totalmente
resuelto si utilizamos el concepto de campo gravitatorio, pero ese tratamiento lo
dejamos para un curso de Física de 2º de Bachillerato.
CAPACIDAD PREDICTIVA DE LAS LEYES DE NEWTON
Ahora ya nos vamos a meter en faena. Aplicaremos las leyes de Newton para poder dar
respuesta a cualquier interrogante que se nos plantee en relación con diferentes tipos de
movimientos en los que intervienen fuerzas muy distintas. Se trata de ver, pues, cuál es
el enorme poder explicativo y la capacidad predictiva que tienen los principios de la
dinámica. Por lo que ya sabemos de cinemática, para poder escribir las ecuaciones del
2 1,m mF
1 2,m mF
1m
2m
r
1 2 2 1
1 2, , 2m m m m
m mF F G
r
F F
Movimiento cada
vez más rápido Movimiento cada
vez más lento
Fa
m
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movimiento de un objeto es imprescindible conocer su aceleración en todo momento
(además de la velocidad y la posición en un instante dado, que generalmente suele ser el
inicial). Con ayuda de los principios de la dinámica podemos calcular la aceleración de
un cuerpo si conocemos en todo momento las interacciones en las que participa y somos
capaces de dibujar, por tanto, todas las fuerzas que actúan sobre él. De esta manera, si la
aceleración resultante es nula o constante en el tiempo estamos en situación de poder
abordar el estudio de tales movimientos. Empezaremos estudiando casos sencillos en
los que participan fuerzas conocidas ya por vosotros, como el peso o la normal. Luego
iremos estudiando movimientos en los que van interviniendo otras fuerzas: rozamiento,
tensiones de cuerdas, fuerzas elásticas de muelles, etc.
Sea cual sea el caso habrá siempre que determinar si la trayectoria del movimiento se
conoce de antemano o no. En los casos en los que no se conozca de antemano no nos
quedará más remedio que hacer un tratamiento vectorial y trabajar con las componentes
cartesianas (x,y). Para nosotros, estos casos se reducirán al estudio del tiro parabólico.
En los casos en los que sí que se conozca de antemano la trayectoria podremos trabajar
con las componentes intrínsecas del movimiento (tg,n). Eso nos obligará a descomponer
la ecuación fundamental de la dinámica en unas componentes u otras. En resumen:
MOVIMIENTOS GOBERNADOS POR FUERZAS CONOCIDAS:
EL PESO, LA NORMAL Y OTRAS FUERZAS DE CONTACTO
Peso de un cuerpo
Entendemos por peso de un cuerpo la fuerza con que un
planeta o un satélite lo atrae cuando se sitúa en la superficie de
dicho planeta o satélite. Así, podemos hablar del peso de un
cuerpo en la Tierra, o del peso de un cuerpo en la Luna, o del
peso de un cuerpo en Júpiter.
Ecuación
fundamental de
la dinámica
Fa
m
Si la trayectoria
NO se conoce
de antemano
Si la trayectoria
SÍ se conoce de
antemano
( )xx
Fa
m
( ) y
y
Fa
m
( )tg
tg
Fa
m
( )nn
Fa
m
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Cuestión 1
a) A partir de la LGU calcula tu peso en la Tierra; b) Demuestra que la expresión de la
fuerza peso de un cuerpo sobre la superficie de la Tierra viene dada por P=mg, y que el
valor de g es 9,8 N/kg. c) Seguidamente demuestra que todos los cuerpos que caen
libremente (en ausencia de rozamiento) en las cercanías de la superficie de la Tierra lo
hacen con la misma aceleración, y que su valor es de 9,8 m/s2.
Cuestión 2
Determina el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna y en la
superficie de Júpiter. Para ello, busca en internet los datos de las masas y los radios de
ambos cuerpos celestes.
Cuestión 3
Hallad cuántas veces es mayor el peso de una estudiante
de 55 kg que la fuerza de atracción gravitatoria existente
entre ella y un compañero de 65 kg que se encuentra a 50
cm de distancia.
Problema 1
a) Se lanza una pelota de tenis de 58 g en la dirección vertical sobre la superficie de la
Tierra con una velocidad inicial de 200 km/h. Suponiendo despreciable el rozamiento
con el aire, determina qué altura máxima alcanzará. b) Seguidamente comprueba si a
esa altura podemos seguir considerando para g el valor de 9,8 N/kg como buena
aproximación. c) Determina qué altura alcanzaría esa pelota de tenis si, en vez de
lanzarla sobre la superficie de la Tierra, la lanzásemos desde: i) la superficie de la
Luna, ii) la superficie de Júpiter.
Problema 2
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una torre 45 m de altura. Al mismo tiempo sopla
un viento lateral que ejerce sobre él una fuerza constante de 8 N. Determina a qué
distancia de la base de la torre llegará al suelo y demuestra que su trayectoria será
rectilínea.
Fuerza normal
¿Por qué no acelera hacia abajo un libro colocado sobre una mesa bajo la acción de la
fuerza peso? Cuando un cuerpo se encuentra en contacto con una superficie interactúan
de manera que aparecen sendas fuerzas, una sobre el cuerpo y otra sobre la superficie,
en la dirección perpendicular al plano de la superficie. A la fuerza que la superficie
ejerce sobre el cuerpo se la denomina fuerza normal (ten en cuenta que en matemáticas
la palabra normal significa perpendicular), y nosotros la vamos a representar por R . Esa
fuerza es mayor cuanto más apretados se encuentren el cuerpo y la superficie.
RR
R
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Problema 3
Se deja caer un bloque de 2,5 kg desde lo alto de un plano inclinado 30º y cuya longitud
es de 2 m. Suponiendo despreciable el rozamiento, calcula la rapidez con la que llegará
a la base del plano.
Problema 4
Se lanza un cuerpo de 2 kg desde la base de un plano inclinado 30º con una rapidez
inicial de 10 m/s. Calcula la distancia recorrida por el plano y la altura máxima
alcanzada suponiendo nulo el rozamiento entre el plano y el cuerpo.
Problema 5
Un bloque de 450 kg de masa se
encuentra en reposo sobre un plano
horizontal, cuando comienzan a actuar
sobre él las fuerzas F1 y F2 de módulos
7000 N y 4000 N respectivamente, tal y
como se indica en la figura. Suponiendo
el rozamiento despreciable, calcula: a)
La distancia que habrá recorrido al cabo de 5 s de actuar dichas fuerzas. b) El valor de
la fuerza normal que bloque ejerce sobre el suelo.
MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENE
LA FUERZA DE ROZAMIENTO
Vivimos en un mundo en el que las fuerzas de rozamiento están presentes en la mayoría
de los fenómenos que observamos. ¿Qué ocurriría si, de repente, desapareciesen las
fuerzas de rozamiento? Pues que no podríamos caminar, los coches parados no podrían
comenzar a circular, los vehículos en marcha en una carretera se saldrían en cuanto
intentaran tomar una curva y no podrían parar, no habría estrellas fugaces, los pájaros
no podrían volar, ni los peces nadar, etc. Nosotros vamos a analizar movimientos en los
que existe rozamiento por deslizamiento, pero hay otros tipos de rozamiento entre
superficies como es el rozamiento por rodadura, o el rozamiento con el aire o con el
agua. Estos últimos se estudian en cursos universitarios.
Haremos un estudio simplificado
de la fuerza de rozamiento por
deslizamiento admitiendo que
dicha fuerza se debe a la
existencia de pequeñas
irregularidades en las superficies
que entran en contacto. Dicha
fuerza de rozamiento será tal
que:
,max0 r rF F
,p bF
rozF
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Y se puede demostrar que el valor máximo de la fuerza de rozamiento por deslizamiento
depende de dos parámetros: de la irregularidad de las superficies que entran en contacto
(cuantificándose por el coeficiente de rozamiento que se calcula experimentalmente),
y de lo apretadas que estén ambas superficies (cuantificándose por el módulo de la
fuerza normal R). De esa manera, el valor máximo de la fuerza de rozamiento viene
dado por la expresión:
,maxrF R , o lo que es lo mismo, ,maxrF R
Problema 6
a) Se quiere determinar el coeficiente de rozamiento entre una caja y un tablón de 4 m
de largo, elevando poco a poco un extremo del tablón y observando cuándo
comienza a deslizar la caja. Al realizar la experiencia, la caja empieza a deslizar
cuando la inclinación del tablón es de 28°. ¿Cuál es el valor del coeficiente de
fricción?
b) Si se inclinase el tablón 60º y se dejase la caja en su parte más alta, ¿con que
rapidez llegaría al final?
Problema 7
Un esquiador inicia el descenso por una pendiente de 45º
siguiendo la línea de máxima pendiente. Suponiendo que el
coeficiente de rozamiento sea =0’15, determinad qué rapidez (en
km/h) llevará a los 100 m de recorrido. (Rdo. v=123’6 km/h)
Problema 8
Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza con una rapidez de 6 m/s desde la base de un plano
inclinado de 5 m de longitud y 3 m de altura. Sabiendo que el coeficiente de fricción es
0’6, se pide:
a) Altura máxima que alcanzará. (Rdo. hmax=1 m)
b) Razonad si bajará o no.
c) En caso de que baje, calculad con qué rapidez llegaría a la base. (Rdo. v=2 m/s)
MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENEN
CUERDAS Y POLEAS
En la vida cotidiana existen casos en los que se ejercen fuerzas mediante cuerdas o
cables metálicos: los cables de un ascensor, las cuerdas de las poleas usadas por los
albañiles, el hilo de un péndulo, las cuerdas de escalada, las de un barco de vela, etc. En
la mayoría de los casos se ejerce una fuerza en uno de los extremos de la cuerda y el
otro se sujeta al cuerpo sobre el que queremos actuar y que es el objeto de nuestro
estudio. En estos casos se puede
demostrar, aplicando los principios
de la dinámica, que cuando
consideramos la masa de la
cuerda despreciable, el papel de la
cuerda es transmitir la fuerza de un extremo a otro.
T T
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Existen también muchas ocasiones en las que una cuerda o
un cable que tira de un cuerpo pasa por la garganta de una
polea. Se trata de un caso más complejo, pero también se
simplifica cuando se supone que la masa de la polea es
despreciable. En ese caso la polea no presenta ninguna
resistencia a la rotación y su único efecto es cambiar la
dirección de la fuerza que transmite la cuerda.
Problema 9
Determinad la fuerza constante que la persona
de la figura ha de ejercer para subir el bloque
por la rampa en 5 s. Datos: El bloque se halla
inicialmente en reposo en la base de la rampa,
su masa es de 50 kg, el coeficiente de
rozamiento entre bloque y plano es =0’8, y la
longitud L que ha de recorrer es de 7 m.
(El dibujo no está a escala).
Problema 10
En el sistema de la figura adjunta las masas de los bloques
son mA=2 kg y mB=6 kg. Considerando despreciables las
masas de la polea y de la cuerda, se pide:
a) Aceleración con que se moverá el sistema y tensión de
la cuerda, suponiendo rozamiento nulo. (Rdo. a=2’45
m/s2 y T=14’7 N)
b) La aceleración y la tensión, suponiendo que entre el
bloque B y la superficie la fricción no es despreciable
y el coeficiente de rozamiento vale =0’2. (Rdo.
a=0’98 m/s2)
Problema 11 (Máquina de Atwood)
Dos masas, de 6 kg y de 2 kg, cuelgan de los extremos de una cuerda
inextensible que pasa por la garganta de una polea fija al techo.
Suponiendo g=10 N/kg y despreciando las masas de la cuerda y de la
polea, calcula la aceleración con que se mueve el conjunto y la
tensión de la cuerda.
Problema 12
La máquina de Atwood se ideó para determinar la intensidad del
campo gravitatorio. Consiste en dos cuerpos que cuelgan de los
extremos de una cuerda inextensible que pasa por la garganta de una
polea. En una máquina de Atwood las masas de los cuerpos utilizados
fueron de 3 kg y de 4 kg, comprobándose que la aceleración con que
se movieron fue de 1’4 m/s2. Determinad la intensidad del campo
gravitatorio y la tensión de la cuerda. (Rdo. g=9’8 N/kg y T=33’6 N)
T
T
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Problema 13
Un péndulo de 200 g de masa cuelga suspendido del techo de un vehículo. Sabiendo
que forma un ángulo de 20° con la vertical, determinad la aceleración del vehículo y la
tensión del hilo. (Rdo. a=3’6 m/s2 y T=2’1 N)
MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENEN FUERZAS
ELÁSTICAS
En la vida diaria también se presentan situaciones en las que hay presentes objetos
elásticos que ejercen fuerzas. Podemos considerar como elástico un objeto que puede
recuperar su forma inicial cuando se le comprime o estira y luego se le deja libre. Este
es el caso de los muelles, de las gomas elásticas, de una cama elástica, de la rama verde
y fina de un árbol, etc. Además, en física y en química es muy importante conocer bien
este tipo de fuerzas porque la interacción entre los átomos en cualquier enlace químico
es similar a la interacción entre dos cuerpos unidos por un muelle.
La naturaleza de esta interacción ya fue
estudiada en la época de Newton por un
científico llamado Robert Hooke. A la
expresión matemática que permite cuantificar
esta interacción se le llama ley de Hooke:
En esa expresión, Fe es el módulo de la fuerza con la que interactúan un muelle y el
cuerpo que lo deforma, x es la deformación que experimenta el muelle (porque se
alargue o porque se comprima), y k es la constante elástica del muelle que representa la
fuerza que se ejerce por cada metro que se deforme (siempre que se exprese en el S.I. de
unidades, es decir, en N/m). En realidad, esta ley sólo es válida dentro de los límites de
elasticidad del muelle, ya que si se estira o se comprime más allá de estos límites ya no
recupera nunca su forma inicial y ya no vale. Nunca vamos a estirar un muelle normal
un metro, pero si lo estiramos un centímetro (por ejemplo) la fuerza que aparecerá será
100 veces más pequeña que si se estirase un metro. Y lo dicho aquí para el muelle
valdría para cualquier objeto elástico dentro de sus límites de elasticidad.
Un aspecto importante de esta fuerza elástica es que cuando un cuerpo comprime o
estira a un muelle, el valor de la fuerza elástica no es constante, pues depende en cada
momento de lo que el muelle esté comprimido o estirado. Esto implica que la
aceleración del cuerpo no va a ser tampoco constante, por lo que no estamos en
condiciones de poder abordar movimientos de cuerpos sometidos a este tipo de
interacción ya que no conocemos aún las herramientas necesarias para ello. Pero hay
otra manera de abordar este tipo de movimientos que trataremos en el próximo capítulo:
el análisis energético. Así pues, en este capítulo sólo podremos abordar situaciones de
cuerpos que se encuentran bajo la acción de una fuerza elástica, pero siempre y cuando
el muelle no experimente ningún cambio en su deformación.
eF k x
x
eF
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Problema 14
De un resorte de 50 cm de longitud, sujeto del techo de un autobús,
se suspende un cuerpo de 1 kg que le produce un alargamiento de
10 cm. Si después el autobús arranca con una aceleración de 4
m/s2 y en línea recta, determinad el ángulo que formará el resorte
con la vertical y su nueva longitud en la posición estable (mientras
el autobús mantenga la misma aceleración).
Problema 15
Para poner en órbita un módulo espacial se puede acoplar éste a un cohete que,
durante un primer tramo, se dirige verticalmente hacia arriba. Con objeto de medir la
máxima aceleración que se experimenta durante el lanzamiento, un astronauta utiliza
un resorte elástico (k=78’4 N/m) y cuelga del mismo una objeto de 200 g, observando
que el mayor alargamiento del resorte durante el ascenso es de 10 cm. ¿Cuál fue la
mayor aceleración que experimentó? (Rdo. amax=29’4 m/s2)
Problema 16
El cuerpo de la figura tiene una masa de 5 kg. Sabiendo
que la constante elástica del resorte vale k=400 N/m,
determinad la deformación del muelle en el equilibrio
suponiendo que no hay rozamiento. (Rdo. x=61,25 mm)
MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENEN CUERPOS CON
CARGA ELÉCTRICA
Unos 75 años después de que Newton expusiera sus leyes de la dinámica y su Ley de
gravitación universal, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb dedujo en 1789 la
ley que rige la interacción entre cuerpos cargados eléctricamente. Se trata de una
interacción muy similar a la interacción gravitatoria entre masas pero que, sin embrago,
puede ser tanto atractiva como repulsiva. Si los cuerpos tienen carga del mismo signo la
interacción será repulsiva, pero si tienen cargas de distinto signo será atractiva.
Esta ley, conocida como ley de Coulomb, establece
que la fuerza con que se atraen o repelen dos cuerpos
cargados depende del valor de las cargas de los
cuerpos, de la distancia que los separa y del medio
material en el que se encuentran. El valor de dicha
fuerza viene dado por la expresión:
1 2 2 1
1 2, , 2q q q q
q qF F K
r
En este caso, K es la constante eléctrica del medio,
que en el vacío o en el aire toma el valor:
29
0 29 10
NmK x
C
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En este caso, al igual que lo que ocurre con la fuerza elástica, cuando dos cuerpos
cargados se alejan o se acercan el valor de la fuerza eléctrica entre ellos no es constante,
pues depende de la distancia que estén separados. Esto implica que la aceleración de
dichos cuerpos no va a ser tampoco constante, por lo que no estamos en condiciones de
poder abordar movimientos de cuerpos cargados sometidos a este tipo de interacción, ya
que no conocemos aún las herramientas necesarias para ello. Pero también hay otra
manera de abordar este tipo de movimientos que trataremos en el próximo capítulo: el
análisis energético. Así pues, en este capítulo sólo podremos abordar situaciones de
cuerpos cargados que se encuentren bajo la acción de una fuerza eléctrica, pero siempre
y cuando la distancia entre ellos no experimente ningún cambio.
Cuestión 4
Determina la fuerza eléctrica con que se atraen el protón y el
electrón en un átomo de hidrógeno sabiendo que les separa una
distancia de 0,5 A y que el valor de sus cargas es qe=e y qp=+e,
donde “e” es la unidad de carga eléctrica (e=1,6x1019 C)
(1A=1010 m). Compara esta fuerza con la atracción gravitatoria
entre ellos.
Problema 17
En el péndulo de la figura las dos esferas cargadas se
mantienen en equilibrio. Ambas tienen una masa de 10 g y
tienen la misma carga. La distancia que las separa en el
equilibrio es de 20 cm, y el ángulo que se desvían los hilos de la
vertical es de 15º. Determina el valor de la tensión que
soportan los hilos y la carga de ambas esferas.
Problema 18
Las esferas de la figura tienen ambas una masa de
1 kg y una carga de 15 C. Si en la posición de
equilibrio se encuentran separadas 40 cm,
determina la tensión en los hilos y el ángulo que
se desvían con respecto a la vertical.
(Rdo. =51,7º y T=16,13 N)
Problema 19
Dos esferas con la misma carga se encuentran unidas a los extremos de un resorte de
constante elástica k=180 N/m. En la situación de equilibrio mostrada en la figura, y
despreciando el rozamiento con el suelo, la
distancia que las separa es de 50 cm. Si la carga
de ambas esferas es de 5 C, determina el
alargamiento que ha sufrido el resorte.
(Rdo. x=5 cm)
+
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DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR Y UNIFORME
El movimiento circular está muy presente en la Naturaleza y también en nuestras vidas
diarias. Atracciones de feria, reproductores de CDs o DVDs, lavadoras, taladros, etc.
son ejemplos de ello. Y como muy buena aproximación también lo son los movimientos
planetarios alrededor del Sol, o el movimiento de los satélites alrededor de los planetas,
o incluso el movimiento de los electrones alrededor del núcleo de los átomos.
Un movimiento circular y uniforme se caracteriza por
mantener una rapidez v constante y una trayectoria
curvilínea con un radio de curvatura r también constante. Si
la rapidez es constante es porque la aceleración tangencial
ha de ser nula. Por otro lado, al ser circular el vector
velocidad cambia continuamente de dirección, por lo que
habrá aceleración normal ( 2
na v r ), que en este caso será
constante al serlo v y r.
¿Qué es lo que hace falta para que un cuerpo se desplace alrededor de un punto con
movimiento circular y uniforme? Pues hace falta una fuerza resultante que en todo
momento esté dirigida en la dirección normal hacia el centro de la trayectoria y cuyo
módulo valga: 2
( )n n
vF m a m
r
A este tipo de fuerza se les denomina también fuerza centrípeta, porque se dirige
siempre hacia el centro. Pero la fuerza centrípeta no es una nueva forma de interacción.
Así, como vamos a ver, puede ser la tensión de un hilo, la fuerza elástica de un resorte,
la fuerza de rozamiento (como cuando un vehículo toma una curva circular con rapidez
constante) o la fuerza de la gravedad (como en el movimiento de la Luna alrededor de la
Tierra).
Problema 20
La Luna describe aproximadamente un movimiento circular y
uniforme alrededor de la Tierra. La distancia media entre los
centros de ambos astros es de 384.000 km y la masa de la Tierra
es de 6x1024 kg. Con estos datos obtened la velocidad orbital de
la Luna (en km/h) y su periodo de rotación en torno a la Tierra
(en días).
Problema 21
Determina en km/h la velocidad orbital de la Tierra
suponiendo como buena aproximación que ésta describe un
movimiento circular uniforme en torno al Sol con un radio de
1,5x108 km y que la masa del Sol es de 2x1030 kg.
(Rdo.: v=107.358 km/h)
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Problema 22
Suponiendo como buena aproximación que la Tierra describe un movimiento circular
uniforme en torno al Sol con un radio de 150.000.000 de km, y que tarda todo un año
en completar un giro, determina la masa del Sol. (Rdo. MS=2x1030 kg)
Problema 23
Determina la velocidad con la que orbita un electrón de un
átomo de hidrógeno en torno al núcleo si el radio de la
órbita es de 0,5 Amstrongs. Determina a continuación el
número de vueltas que da el electrón en 1 segundo.
Datos: me=9,1x1031 kg; mp=1,7x1027 kg; e=1,6x1019 C;
K=9x109 Nm2/C2.
Problema 24
Sobre una plataforma plana, capaz de girar en torno a
un eje perpendicular, se deposita un cuerpo a 50 cm del
eje. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la
superficie es de 0’8, encontrad la máxima velocidad
angular a la que podrá girar la plataforma sin que el
cuerpo sea lanzado hacia el exterior.
Problema 25
Un muelle de 50 cm de longitud y constante elástica
k=120 N/m tiene un extremo fijo y en el otro una masa
de 200 g, encontrándose ambos sobre un plano
horizontal y sin rozamiento. Si se hace girar la masa
con rapidez angular constante de 10 rad/s ¿cuál será
la deformación que sufrirá el muelle? (Rdo. x=10 cm)
Problema 26
a) Determinad en km/h la máxima rapidez con la que un vehículo de 1000 kg podrá
tomar sin derrapar una curva de 100 m de radio y sin peralte, suponiendo que el
coeficiente de rozamiento por deslizamiento de los neumáticos con la carretera sea
de 0’64. (Rdo. vmax=90,16 km/h)
b) En ausencia de rozamiento, determina el ángulo
de peralte que tendría que tener la curva anterior
para que el mismo vehículo pudiera describirla a
100 km/h sin derrapar. (Rdo. =38’2º)
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EJERCICIOS PARA PRACTICAR
1. Admitiendo que MT=6x1024 kg y que RT=6400 km, calculad cuánto pesará una
persona de 80 kg en los siguientes puntos:
a) Sobre la superficie terrestre al nivel del mar.
b) En un avión que vuela a 10 km de altura.
c) En una estación espacial a 500 km sobre la superficie terrestre.
d) ¿A qué altura aproximada sobre el suelo deberá de subir si quiere pesar 10 veces
menos que en la superficie terrestre?
(Rdo. a) 800 N; b) 797’5 N; c) 787’7 N. d) Debería ascender a 13.838’6 km)
2. En un almacén hay que instalar una cinta transportadora para llevar cajas (con
rapidez constante). Al leer el proyecto comprobáis que en un tramo del recorrido la
cinta tiene una pendiente de 56’3º. Buscando en la bibliografía el valor del
coeficiente de rozamiento correspondiente al material de las cajas y la cinta
encontráis que vale =1’3. ¿Recomendarías la realización de dicho proyecto?
(Rdo. No, porque …)
3. Si dejamos en libertad un cuerpo de 4 kg de masa sobre un plano inclinado de 30º y a
una altura de 5 m, llega a la base del plano con una rapidez de 8 m/s. Determinad el
coeficiente de fricción entre cuerpo y plano. (Rdo. =0’2)
4. Se quiere proyectar un ascensor cuya cabina tiene una masa de 600 kg. Como sabéis
el ascensor sufre una cierta aceleración cada vez que abandona su estado de reposo
hasta que se mueve con velocidad constante. En este caso, la máxima aceleración
prevista es de 0’5 m/s2. Suponiendo que la carga nunca supere los 400 kg ¿podría
utilizarse para aguantar la cabina un cable que aguantase una tensión máxima de
10.000 N? (Rdo. No, porque …)
5. Calculad la aceleración del sistema de la figura
y la tensión de la cuerda, cuando el valor de F
sea de 400 N. Coeficiente de fricción con el
suelo =0’4; mA=20 kg, mB=30 kg.
(Rdo. a=4 m/s2 y T=240 N)
6. Dado el dispositivo esquematizado en la figura
adjunta, sabiendo que el coeficiente de fricción es 0’15
y que cada bloque tiene una masa que vale 20 kg,
determinad el tiempo necesario para que el sistema se
desplace 1 m partiendo de una situación inicial de
reposo. (Rdo. t=1’04 s)
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7. Sobre un disco plano capaz de girar en torno a su centro, se coloca un cuerpo de 5
kg de masa, sujetándolo mediante una cuerda de 0’5 m al centro de giro. Sabiendo
que el coeficiente de rozamiento entre dicho cuerpo y el disco es de 0’8, determinad
a partir de qué rapidez angular de giro del disco se romperá la cuerda si ésta soporta
como máximo una tensión de 60 N. (Rdo. wmax=6’3 rad/s)
8. Un astronauta de 75 kg de masa sale de la estación espacial a efectuar una
reparación durante dos horas. Sabiendo que dicha estación se encuentra a 400 km
de altura sobre el suelo, que el radio medio de la Tierra es RT=6400 km y que la
intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie vale g0=9’8 N/kg, se
pide: a) Número de vueltas alrededor del centro de la Tierra que dará el astronauta
en ese tiempo y rapidez (en km/h) a la que lo hace. b) Peso del astronauta a esa
altura y explicad por qué no se estrella contra el suelo.
(Rdo. a) Dará 1’3 vueltas desplazándose a 27 659’2 km/h; b) Pesará 651’1 N)
9. Un vehículo de 2000 Kg toma una curva de 20 m de radio y 30° de peralte.
Suponiendo que el rozamiento sea despreciable,
determinad la única rapidez con que podría tomar la
curva (con dicho radio). Razonad lo que sucedería si el
vehículo tomase la curva con otra rapidez.
(Rdo. La única rapidez posible es de 10’8 m/s)
10. (*) Determinad el ángulo mínimo con que
habría que peraltar una curva de 25 m de
radio para que un vehículo de 500 kg pudiese
tomarla, sin deslizar, con rapidez de 72 km/h,
sabiendo que el coeficiente de fricción es 0’8.
(Rdo. El ángulo mínimo es de 19’3º)
11. (*) En algunos parques de atracciones existe un “rotor” o cilindro
hueco que se pone en rotación alrededor de un eje vertical que
pasa por el centro del mismo. Cuando una persona se sitúa dentro
de este aparato pegada a la pared, el cilindro va aumentado su
rapidez de giro progresivamente hasta que al llegar a un valor
predeterminado el suelo baja y, sin embargo, la persona queda
pegada a la pared sin caer. Suponiendo un rotor que tenga un
radio de 2’5 m y que el coeficiente de fricción con la pared del
mismo sea 0’4, determinad cual debería de ser la rapidez angular
mínima con que debería de girar para que una persona pegada a la
pared del mismo permaneciese sin caer. (Rdo. wmin=3’16 rad/s)
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ANEXO
INTERACCIONES SIN ACCESO DIRECTO
A LO QUE OCURRE DURANTE LAS MISMAS
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN
DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Existen situaciones en las que no tenemos un acceso directo a lo que le ocurre al objeto
durante la interacción, pero sabemos que, debido a la interacción, su movimiento no es
el mismo antes que después de la misma. Tiene interés, pues, que intentemos relacionar
lo que le ocurre al objeto durante la interacción con el cambio producido en su
movimiento a causa de ella. Así pues, vamos a expresar primero lo que ocurre en la
interacción con propiedades del objeto que cambien su valor (y que puedan ser
accesibles). Para ello imaginaremos el choque en una sola dirección entre dos bolas (tal
y como puede ocurrir, por ejemplo, en una mesa de billar) y analizaremos lo que
sabemos que le ocurrirá a cada una de ellas:
Según la ecuación fundamental de la dinámica (2ª ley de Newton)
,B A
A
A
Fa
m
,A B
B
B
Fa
m
Si suponemos que durante el breve intervalo de tiempo que dura la colisión la aceleración de ambos
cuerpos es constante:
,Af Ai B A
A
v v F
t m
,Bf Bi A B
B
v v F
t m
donde Aiv representa la velocidad de la bola A “inmediatamente antes de la colisión” y Afv la velocidad
de esa misma bola “inmediatamente después de la colisión”.
Podemos expresar esto poniendo en un miembro magnitudes relacionadas con el proceso de interacción y
en el otro miembro magnitudes medibles antes y después de la interacción:
,B A A Af AiF t m v v ,A B B Bf BiF t m v v
,B A A Af A AiF t m v m v ,A B B Bf B BiF t m v m v
Esta última expresión relaciona “algo” que se le hace a un objeto durante una breve interacción ( F t ),
con “algo” del objeto que cambia ( m v ).
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A esa propiedad del objeto que cambia se la denomina cantidad de movimiento o momento lineal, y se
simboliza como p m v . Así, podemos escribir:
,B A Af AiF t p p ,A B Bf BiF t p p
,B A AF t p ,A B BF t p
donde Aip representa la cantidad de movimiento de la bola A “inmediatamente antes de la colisión” y
Afp la cantidad de movimiento de esa misma bola “inmediatamente después de la colisión”.
Finalmente, a partir de la 3ª ley de Newton podemos deducir que:
, ,B A A BF F A Bp p
Esa expresión nos indica que cuando dos cuerpos interaccionan se modifican sus cantidades de
movimiento, de manera que el cambio que se produce en uno de ellos es de igual valor y dirección pero
de sentido opuesto al cambio que se produce en el otro. Por lo tanto, si tenemos en cuenta los dos cuerpos
que interaccionan, se cumplirá que:
A Bp p Af Ai Bf Bip p p p Af Bf Ai Bip p p p
En el caso de colisiones que ocurren en dos y tres dimensiones, esa expresión sigue siendo válida, de
forma que se cumple para cada una de las componentes. Por otro lado, aunque estas ideas las hemos
desarrollado para dos objetos que interaccionan, no es difícil demostrar que para un sistema formado por
miles o millones de partículas también se cumplen.
El enunciado anterior nos permite, por ejemplo, conocer el movimiento de un cuerpo
que interacciona con otro, aunque no tengamos un conocimiento detallado de cómo es la
interacción. En general, mediante dicho principio podemos relacionar las cantidades de
movimiento de todos los cuerpos antes de la interacción con las cantidades de
movimiento de todos esos cuerpos después de la interacción.
Se trata de uno de los principios más importantes y útiles de la física debido a su
carácter universal, ya que no se conoce ninguna excepción al mismo. De hecho, cuando
en ocasiones los físicos, al trabajar con partículas subatómicas, han encontrado alguna
situación en la que aparentemente este principio parecía no cumplirse, lo que han hecho,
antes que rechazarlo, ha sido tratar de identificar otra partícula no descubierta hasta ese
momento cuya participación pudiera ser la causante del problema. De esta forma se han
identificado varias partículas como, por ejemplo, sucedió con el neutrón o con el
neutrino.
Principio de conservación de la cantidad de movimiento
En un sistema aislado sobre el cual no se ejercen fuerzas exteriores, aunque es
posible que la cantidad de movimiento de alguno de los cuerpos cambie debido
a su interacción con otros cuerpos del mismo sistema, la cantidad de
movimiento total ha de permanecer invariable
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Problema 1 Una patinadora de 60 kg de masa y un patinador de 70 kg que se deslizan en la misma
dirección y sentidos contrarios con rapideces de 8 m/s y 10 m/s respectivamente,
chocan frontalmente permaneciendo unidos tras la
colisión. Suponiendo el rozamiento despreciable,
determinad la rapidez con que se desplazarán
después del choque. (Rdo. vf=1’69 m/s)
Problema 2 Dos vehículos, uno de 600 kg y otro de 800 kg, chocan cuando se desplazaban a 20 m/s
y 10 m/s respectivamente en direcciones perpendiculares. Sabiendo que tras el choque
permanecen unidos, obtened su rapidez tras la colisión y el ángulo con el que se
desplazan. (Rdo. vf=10’3 m/s y =33’7º con respecto a la dirección que traía el
primero vehículo)
Problema 3 Una carcasa de 450 g de masa se lanza verticalmente hacia arriba y cuando alcanza su
altura máxima estalla rompiéndose en tres trozos. Uno de ellos, de 150 g, sale
despedido hacia el este a 40 m/s y otro, de 120 g, sale hacia el norte a 50 m/s. Calculad
con qué rapidez y en qué dirección salió despedido el trozo restante. ¿Es realmente la
carcasa un sistema aislado? (Rdo. v3f=47'14 m/s en dirección sur-oeste)
Problema 4 Una bala de 200 g sale de la boca de un arma con una rapidez de 300 m/s. Calculad la
velocidad con que ésta retrocede si la masa del arma descargada es de 4’8 kg. (Rdo.
vf=12’5 m/s)
Problema 5 Una partícula de 200 g se desplaza a 0’4 m/s cuando choca con otra de 300 g que se
encuentra en reposo. Después de la colisión, la primera se mueve a 0’2 m/s en una
dirección que forma un ángulo de 40° con la inicial. Obtened la rapidez y la dirección
con la que se moverá la segunda partícula tras la colisión. (Rdo. v2f=0’19 m/s con un
ángulo de 27’9º con respecto a la dirección inicial que llevaba la primera partícula
antes del choque)
Problema 6 (*) Un átomo de hidrógeno moviéndose a 384 m/s choca contra un átomo de yodo que se
mueve a 12’8 m/s perpendicularmente respecto al primero. A causa del choque ambos
quedan unidos formando una molécula que se mueve en una dirección que forma un
ángulo de 76’7º con la dirección inicial del átomo de hidrógeno. Con estos datos,
calculad cuántas veces es mayor la masa del átomo de yodo que la del de hidrógeno.
(Rdo. mI=126’9·mH)