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MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 1 / 1

Parte I

Ecuaciones lineales


Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x 2 = 71 lnx = 0cos x sen x = 1 x3x2 5x = 2.

En varias variables

3x 2y = 1 4xx2 + y2 = 25


Ecuaciones


Ejemplos


3x 2 = 7

1 lnx = 0cos x sen x = 1 x3x2 5x = 2.

En varias variables

3x 2y = 1 4xx2 + y2 = 25


Ecuaciones


Ejemplos


3x 2 = 71 lnx = 0

cos x sen x = 1 x3x2 5x = 2.

En varias variables

3x 2y = 1 4xx2 + y2 = 25


Ecuaciones


Ejemplos


3x 2 = 71 lnx = 0cos x sen x = 1 x

3x2 5x = 2.

En varias variables

3x 2y = 1 4xx2 + y2 = 25


Ecuaciones


Ejemplos



En varias variables

3x 2y = 1 4xx2 + y2 = 25


Ecuaciones


Ejemplos



En varias variables

3x 2y = 1 4x

x2 + y2 = 25


Ecuaciones


Ejemplos



En varias variables

3x 2y = 1 4xx2 + y2 = 25


Ecuaciones lineales

Solucion de una ecuacion:

Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.

Ejemplos

(A) 3 es solucion de 3x 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .

(B) Dada la ecuacion x2 5x + 6 = 0. La transformamos en(x 2)(x 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.

(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (3, 4), (0, 5), (5, 0), etc.


Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a c = b c ,a c = b cy si ademas c 6= 0, ac = bc .





Si a = b entonces para cualquier c tenemos:

a + c = b + c ,a c = b c ,a c = b cy si ademas c 6= 0, ac = bc .





Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,

a c = b c ,a c = b cy si ademas c 6= 0, ac = bc .





Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a c = b c ,

a c = b cy si ademas c 6= 0, ac = bc .





Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a c = b c ,a c = b c

y si ademas c 6= 0, ac = bc .





Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a c = b c ,a c = b cy si ademas c 6= 0, ac = bc .


Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax + b = c

ax = c bx =

c ba

y el conjunto solucion es{cba

}


Ecuaciones lineales


ax + b = c

ax = c b

x =c ba


}


Ecuaciones lineales


ax + b = c

ax = c bx =

c ba


}


Ecuaciones lineales

Ejercicio

Resolver las siguientes ecuaciones

6x 3(24x 5) = 2(3x 1) 8x1

3 x4 = 523x + 4 = 7 + 5(x 2)3x 2 x = x + 7

5t22t26t+9 11t23t 5t = 0


Ecuaciones lineales

Ejercicio

Hallar cuatro enteros pares consecutivos, tales que la suma de los tresprimeros exceda al cuarto en 8.


Ecuaciones lineales

Solucion

Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.

De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos

n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,

luego,

n = 4.


Ecuaciones lineales

Solucion

Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos

n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,

luego,

n = 4.


Ecuaciones lineales

Ejercicio

Si un lado de un triangulo es la tercera parte del permetro, el segundolado mide 7 cm y el tercer lado es un quinto del permetro, cual es elpermetro del triangulo?


Ecuaciones lineales

Ejercicio

Un rectangulo cuyo largo es de 24 cm tiene la misma superficie que uncuadrado de 12 cm de lado. Cuales son las dimensiones del rectangulo?


Ecuaciones lineales

Ejercicio

La distancia martima entre San Francisco y Honolulu es de 2,100 millasnauticas. Si un barco sale de San Francisco al mismo tiempo que otro salede Honolulu, y si el primero viaja a 15 millas nauticas por hora y elsegundo a 20 millas nauticas por hora, cuanto tardaran los barcos enencontrarse? A que distancia se encontraran de San Francisco y deHonolulu en ese momento?


Ecuaciones lineales

Ejercicio

Una lancha tarda 1, 5 veces mas al remontar un ro y recorrer 360 millascontra la corriente, que al regreso. Si navega a una velocidad de 15 millaspor hora en agua tranquila, cual es la velocidad de la corriente?


Ecuaciones lineales

Solucion

Seax la velocidad de la corriente,15 x la velocidad de la lancha contra la corriente,15 + x la velocidad de la lancha a favor de la corriente.


Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente360

15 x = (1, 5)360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del ro es de 3 millas nauticas por hora.


Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que





Velocidad a favor de la corriente

360

15 x = (1, 5)360

15 + x

x = 3



Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que





Velocidad a favor de la corriente360

15 x = (1, 5)360

15 + x

x = 3



Ecuaciones lineales

Ejercicio

Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se debenagregar a 5 litros de una solucion que esta al 20 % para producir unasolucion al 30 %?


Parte II

Ecuaciones cuadraticas


Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Un rectangulo tiene un permetro de 20 metros. Expresar el area delrectangulo en funcion de uno de sus lados.



Si a, b, c son numeros reales y a 6= 0, entonces cuantas y cuales son lassoluciones de la ecuacion

ax2 + bx + c = 0?



ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= c+b

2

4a

a

(x +

b

2a

)2=4ac + b2

4a(x +

b

2a

)2=

b2 4ac4a2



ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= c+b

2

4a

a

(x +

b

2a

)2=4ac + b2

4a

(x +

b

2a

)2=

b2 4ac4a2



ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= c+b

2

4a

a

(x +

b

2a

)2=4ac + b2

4a(x +

b

2a

)2=

b2 4ac4a2



x +b

2a=

b2 4ac

4a2

x = b2ab2 4ac

2a

x =b b2 4ac

2a



En la solucion x = bb24ac

2a , la expresion b2 4ac se denomina

discriminante de la ecuacion cuadratica.

El signo de dicho numero nosproporciona informacion sobre el numero de soluciones as:

Discriminante Soluciones

Positivo Dos soluciones distintas

Cero Una solucion doble

Negativo No tiene solucion



En la solucion x = bb24ac

2a , la expresion b2 4ac se denomina

discriminante de la ecuacion cuadratica. El signo de dicho numero nosproporciona informacion sobre el numero de soluciones as:

Discriminante Soluciones

Positivo Dos soluciones distintas

Cero Una solucion doble

Negativo No tiene solucion



Ejercicio

Resolver 6x2 19x 7 = 0(a) Factorizando si es posible,

(b) Usando la formula cuadratica.



Ejercicio

Resolver 2x2 3x = 0(a) Factorizando si es posible,




Ejercicio

Resolver 3x2 + 27 = 0

(a) Factorizando si es posible,




Ejercicio

Resolver x2 + 6x 2 = 0(a) Completando cuadrados,




Ejercicio

Resolver

(a)x 1 = 2x 3

(b) x +x 4 = 4

(c) x10 + 6x5 16 = 0(d)x + 137 x = 2

(e) xx+2 4x+1 = 2x+2(f) x2x4 23 = 72x3x6(g) 13 s22s+4 = s+23s+6



Ejercicio

La suma de dos numeros es 23 y su producto es 132. Hallar los numeros.



Ejercicio

La suma de un numero con su recproco es 103 . Hallar el numero.



Ejercicio

Al mismo tiempo, dos automoviles abandonan una interseccion, uno haciael norte y otro al oeste. Poco tiempo despues, estan separadosexactamente por 100 millas. El que iba al norte ha avanzado 20 millas masque el que se diriga al oeste. Cuanto ha viajado cada vehculo?


Parte III

Desigualdades


Desigualdades lineales

Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.

El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.

Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.



Ejemplos

2 es una solucion a la inecuacion 5x 18 0.

10 NO es una solucion a la inecuacion 5x 18 0.pi es una solucion a la inecuacion cos x 1



Ejemplos

2 es una solucion a la inecuacion 5x 18 0.10 NO es una solucion a la inecuacion 5x 18 0.

pi es una solucion a la inecuacion cos x 1



Ejemplos

2 es una solucion a la inecuacion 5x 18 0.10 NO es una solucion a la inecuacion 5x 18 0.pi es una solucion a la inecuacion cos x 1


Desigualdades cuadraticas

En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas

Ejemplos

5x 18 0

1 3x 7 x + 2x2 5x + 6 0

Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:

x2 5x + 61 x2 < 0




Ejemplos

5x 18 01 3x 7 x + 2

x2 5x + 6 0


x2 5x + 61 x2 < 0




Ejemplos

5x 18 01 3x 7 x + 2x2 5x + 6 0


x2 5x + 61 x2 < 0


Desigualdades

Para encontrar el conjunto solucion de una inecuacion la transformamos enuna equivalente utilizando las siguientes propiedades de las desigualdades:


Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 bc.


















Si 0 < a < b, entonces 0 12x 121

12(18) >

1

12(12x) 1

12(12)

3

2> x 1

Solucion :

[1,

3

2

).


Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 42,

48 > 12x + 30 42

48 30 > 12x 42 3018 > 12x 12

1

12(18) >

1

12(12x) 1

12(12)

3

2> x 1

Solucion :

[1,

3

2

).



Resolver 48 > 12x + 30 42,

48 > 12x + 30 4248 30 > 12x 42 30

18 > 12x 121

12(18) >

1

12(12x) 1

12(12)

3

2> x 1

Solucion :

[1,

3

2

).



Resolver 48 > 12x + 30 42,

48 > 12x + 30 4248 30 > 12x 42 30

18 > 12x 12

1

12(18) >

1

12(12x) 1

12(12)

3

2> x 1

Solucion :

[1,

3

2

).



Resolver 48 > 12x + 30 42,

48 > 12x + 30 4248 30 > 12x 42 30

18 > 12x 121

12(18) >

1

12(12x) 1

12(12)

3

2> x 1

Solucion :

[1,

3

2

).



Ejercicio

Encontrar el conjunto solucion de las siguientes desigualdades.

1 12 3x 6 + 3x2 15 6x > 45 9x3 8x + 6 < 4 + 24x4 3x52 5x 10


Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 0.

Resolver x2 + 4x + 3 0,

x2 + 4x + 3 0(x + 3)(x + 1) 0

Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos 3 y 1respectivamente, as que dividimos la recta real como sigue

3 1 0




x2 + 4x + 3 0

(x + 3)(x + 1) 0


3 1 0




x2 + 4x + 3 0(x + 3)(x + 1) 0


3 1 0



(x + 3)(x + 1) 0

Intervalo (,3) (3,1) (1,)

Signo de (x + 3) + +Signo de (x + 1) +Signo resultante + +

Solucion: (,3] [1,) .



(x + 3)(x + 1) 0

Intervalo (,3) (3,1) (1,)Signo de (x + 3) + +

Signo de (x + 1) +Signo resultante + +

Solucion: (,3] [1,) .



(x + 3)(x + 1) 0

Intervalo (,3) (3,1) (1,)Signo de (x + 3) + +Signo de (x + 1) +

Signo resultante + +

Solucion: (,3] [1,) .



(x + 3)(x + 1) 0

Intervalo (,3) (3,1) (1,)Signo de (x + 3) + +Signo de (x + 1) +Signo resultante + +

Solucion: (,3] [1,) .


Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 2x 12 < 0.

Resolver 2x2 2x 12 < 0.

2x2 2x 12 < 02(x + 2)(x 3) < 0

Los factores x + 2 y x 3 se anulan en los puntos 2 y 3respectivamente, as que dividimos la recta real as

2 30




2x2 2x 12 < 0

2(x + 2)(x 3) < 0


2 30




2x2 2x 12 < 02(x + 2)(x 3) < 0


2 30



2(x + 2)(x 3) < 0

Intervalo (,2) (2, 3) (3,)

Signo de (x + 2) + +Signo de (x 3) +Signo resultante + +

Solucion: (2, 3) .



2(x + 2)(x 3) < 0

Intervalo (,2) (2, 3) (3,)Signo de (x + 2) + +

Signo de (x 3) +Signo resultante + +

Solucion: (2, 3) .



2(x + 2)(x 3) < 0

Intervalo (,2) (2, 3) (3,)Signo de (x + 2) + +Signo de (x 3) +


Solucion: (2, 3) .



2(x + 2)(x 3) < 0

Intervalo (,2) (2, 3) (3,)Signo de (x + 2) + +Signo de (x 3) +Signo resultante + +

Solucion: (2, 3) .


Resolver (x+2)(4x)(x1) 0.


Los factores x + 2, 4 x y x 1 se anulan en los puntos 2, 4 y 1respectivamente, as que dividimos la recta real as

2 10 4



Resolver (x+2)(4x)(x1) 0.Los factores x + 2, 4 x y x 1 se anulan en los puntos 2, 4 y 1respectivamente, as que dividimos la recta real as

2 10 4



Intervalo (,2) (2, 1) (1, 4) (4,)

Signo de (x + 2) + + +Signo de (4 x) + + + Signo de (x 1) + +Signo resultante + +

Solucion: (,2] (1, 4] .

Por que el intervalo es cerrado en 2 y en 4 y abierto en 1?



Intervalo (,2) (2, 1) (1, 4) (4,)Signo de (x + 2) + + +

Signo de (4 x) + + + Signo de (x 1) + +Signo resultante + +

Solucion: (,2] (1, 4] .




Intervalo (,2) (2, 1) (1, 4) (4,)Signo de (x + 2) + + +Signo de (4 x) + + +

Signo de (x 1) + +Signo resultante + +

Solucion: (,2] (1, 4] .




Intervalo (,2) (2, 1) (1, 4) (4,)Signo de (x + 2) + + +Signo de (4 x) + + + Signo de (x 1) + +


Solucion: (,2] (1, 4] .




Intervalo (,2) (2, 1) (1, 4) (4,)Signo de (x + 2) + + +Signo de (4 x) + + + Signo de (x 1) + +Signo resultante + +

Solucion: (,2] (1, 4] .



Resolver 4(x2)(3x)x2(x+1) 0.

Resolver 4(x2)(3x)x2(x+1)

0.

Los factores x 2, 3 x , x2 y x + 1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y 1respectivamente.

1 0 2 3



Intervalo (,1) (1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,)

Signo de (x 2) + +Signo de (3 x) + + + +

Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) + + + +Signo resultante + +

Solucion: (1, 0) (0, 2] [3,) .

Puede escribirse (1, 2] en lugar de (1, 0) (0, 2]?



Intervalo (,1) (1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,)Signo de (x 2) + +

Signo de (3 x) + + + + Signo de x2 + + + + +


Solucion: (1, 0) (0, 2] [3,) .




Intervalo (,1) (1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,)Signo de (x 2) + +Signo de (3 x) + + + +

Signo de x2 + + + + +


Solucion: (1, 0) (0, 2] [3,) .





Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) + + + +


Solucion: (1, 0) (0, 2] [3,) .





Signo de x2 + + + + +


Solucion: (1, 0) (0, 2] [3,) .



Ejercicios

Encontrar todas las soluciones de las siguientes desigualdades

Ejercicio

1(2x+1)(4x)

x2+2x 0

2(x+3)2(x3)x27x+12 0

3(x2x)(3x1)x23x10 0

4 x4 + 15x2 < 16


Parte IV

Desigualdades con valor absoluto


Valor Absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un numero real corresponde a ladistancia que hay entre el y el origen.

Definicion

Sea x un numero real,

|x | ={

x si x 0x si x < 0


Valor Absoluto

|x | a equivale a a x a, si a 0

a 0 a

|x | a equivale a x a o x a, si a 0

a 0 a



Resolver |2x + 1| 4.

|2x + 1| 4 4 2x + 1 4 4 1 2x 4 1 5 2x 3 5

2 x 3

2

Solucion:

[5

2,

3

2

].




|2x + 1| 4

4 2x + 1 4 4 1 2x 4 1 5 2x 3 5

2 x 3

2

Solucion:

[5

2,

3

2

].




|2x + 1| 4 4 2x + 1 4

4 1 2x 4 1 5 2x 3 5

2 x 3

2

Solucion:

[5

2,

3

2

].




|2x + 1| 4 4 2x + 1 4 4 1 2x 4 1

5 2x 3 5

2 x 3

2

Solucion:

[5

2,

3

2

].




|2x + 1| 4 4 2x + 1 4 4 1 2x 4 1 5 2x 3

52 x 3

2

Solucion:

[5

2,

3

2

].




|2x + 1| 4 4 2x + 1 4 4 1 2x 4 1 5 2x 3 5

2 x 3

2

Solucion:

[5

2,

3

2

].



Resolver |8 3x | 5.

|8 3x | 5 5 8 3x 5 5 8 3x 5 8 13 3x 3 1

3(13) x 1

3(3)

13

3 x 1

Solucion:

[1,

13

3

].



Resolver |8 3x | 5.

|8 3x | 5

5 8 3x 5 5 8 3x 5 8 13 3x 3 1

3(13) x 1

3(3)

13

3 x 1

Solucion:

[1,

13

3

].



Resolver |8 3x | 5.

|8 3x | 5 5 8 3x 5

5 8 3x 5 8 13 3x 3 1

3(13) x 1

3(3)

13

3 x 1

Solucion:

[1,

13

3

].



Resolver |8 3x | 5.

|8 3x | 5 5 8 3x 5 5 8 3x 5 8

13 3x 3 1

3(13) x 1

3(3)

13

3 x 1

Solucion:

[1,

13

3

].



Resolver |8 3x | 5.

|8 3x | 5 5 8 3x 5 5 8 3x 5 8 13 3x 3

13

(13) x 13

(3)13

3 x 1

Solucion:

[1,

13

3

].



Resolver |8 3x | 5.

|8 3x | 5 5 8 3x 5 5 8 3x 5 8 13 3x 3 1

3(13) x 1

3(3)

13

3 x 1

Solucion:

[1,

13

3

].



Resolver |12 + 4x | 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 6

4x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 12

4x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18

x 92

12 + 4x 64x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 6

4x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 12

4x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 124x 6

x 32

Solucion:

(,9

2

][3

2,).




12 + 4x 6 o 12 + 4x 6

12 + 4x 64x 6 124x 18x 9

2

12 + 4x 64x 6 124x 6x 3

2

Solucion:

(,9

2

][3

2,).



Resolver |25 7x | 8. Por la propiedad tenemos que,

25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8 7x 8 25 7x 33

x 337

25 7x 8 7x 8 25 7x 17

x 177

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).




25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8

7x 8 25 7x 33

x 337

25 7x 8 7x 8 25 7x 17

x 177

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).




25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8 7x 8 25

7x 33x 33

7

25 7x 8 7x 8 25 7x 17

x 177

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).




25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8 7x 8 25 7x 33

x 337

25 7x 8 7x 8 25 7x 17

x 177

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).




25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8 7x 8 25 7x 33

x 337

25 7x 8

7x 8 25 7x 17

x 177

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).




25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8 7x 8 25 7x 33

x 337

25 7x 8 7x 8 25

7x 17x 17

7

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).




25 7x 8 o 25 7x 8

25 7x 8 7x 8 25 7x 33

x 337

25 7x 8 7x 8 25 7x 17

x 177

Solucion:

(, 17

7

][

33

7,).



Para resolver |x + 2| |x 1| > 2 usamos la definicion,

|x + 2| ={

x + 2 si x + 2 0(x + 2) si x + 2 < 0

=

{x + 2 si x 2x 2 si x < 2

|x 1| ={

x 1 si x 1 0(x 1) si x 1 < 0

=

{x 1 si x 1x + 1 si x < 1



La recta real se divide en tres sub-intervalos

2 0 1(,2) [2, 1) [1,+)



En (,2)|x + 2| |x 1| > 2

(x 2) (x + 1) > 2 3 > 2 FalsoS1 =

En [2, 1)|x + 2| |x 1| > 2

(x + 2) (x + 1) > 22x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,) [2, 1)



En (,2)|x + 2| |x 1| > 2

(x 2) (x + 1) > 2

3 > 2 FalsoS1 =

En [2, 1)|x + 2| |x 1| > 2

(x + 2) (x + 1) > 22x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,) [2, 1)



En (,2)|x + 2| |x 1| > 2

(x 2) (x + 1) > 2 3 > 2 Falso

S1 = En [2, 1)

|x + 2| |x 1| > 2(x + 2) (x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,) [2, 1)



En (,2)|x + 2| |x 1| > 2

(x 2) (x + 1) > 2 3 > 2 FalsoS1 =

En [2, 1)|x + 2| |x 1| > 2

(x + 2) (x + 1) > 22x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,) [2, 1)



En (,2)|x + 2| |x 1| > 2

(x 2) (x + 1) > 2 3 > 2 FalsoS1 =

En [2, 1)|x + 2| |x 1| > 2

(x + 2) (x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,) [2, 1)



En (,2)|x + 2| |x 1| > 2

(x 2) (x + 1) > 2 3 > 2 FalsoS1 =

En [2, 1)|x + 2| |x 1| > 2

(x + 2) (x + 1) > 22x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,) [2, 1)



En [1,)

|x + 2| |x 1| > 2

(x + 2) (x 1) > 23 > 2

S3 = R [1,) = [1,)

Solucion S = S1 S2 S3

S =

(1

2, 1

) [1,+).



En [1,)

|x + 2| |x 1| > 2(x + 2) (x 1) > 2

3 > 2

S3 = R [1,) = [1,)

Solucion S = S1 S2 S3

S =

(1

2, 1

) [1,+).



Ejercicio

Encuentre el conjunto solucion de las siguientes desigualdades

1

25x3x

42 |12x 8| > 73 4|3x2| 64 1 < |2x 5| < 8


tema_4-ecuaciones_y_desigualdades.pdf

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