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Unidad Didáctica V

Para ponernos en situación

A Chispazos y Porrazos ha llegado Juan Albadalejo, del taller de carpintería métálica HIERROSA, a plantearles un problema:

Parece ser que de vez en cuando, al realizar determinadas operaciones en fábrica, los fluorescentes parece que se apagan instantáneamente, y los ordenadores de la oficina se han colgado e incluso se han llegado a averiar.

Blanca le preguntó si tenían muchos equipos equipos de soldadura, y responderle que sí, le dijo:

"No le dé más vueltas. Eso son perturbaciones que le están introduciendo las cargas no lineales en la red".

Y Juan le dijo: "¿Qué cargas?"

A lo que Blanca respondió: " Las soldadoras te están metiendo armónicos, flickers, en la onda de alterna... "

"No tengo ni idea de lo que me estás hablando, pero ¿se puede solucionar?" preguntó Juan

"Claro, hombre. En electricidad, todo se puede arreglar,... pero pagando"- Se rió Blanca.

Corrientes periódicas

Ya se vio en la unidad 2 que los electrones no siempre tienen por qué tener el mismo valor en una corriente eléctrica, caso de la CC constante, ni siquiera desplazarse en el mismo sentido, caso de la CC , sino que ambos (valor y sentido) pueden variar.

Así aparecen corrientes no continuas, siendo la posibilidad de formas de ondas infinitas, lo que se denominan corrientes variables. Pero nosotros las acotaremos, para centrarnos en unas concretas: las corriente periódicas, donde el flujo de cargas toma una serie de valores distintos que se repiten en el tiempo, por ciclos.

Se puede hacer una primera clasificación de las corrientes periódicas de corriente según elsentido en que se desplazan las cargas:

Pulsatoria (o pulsante): si las cargas se desplazan siempre en el mismo sentido. Es positiva si es un sentido y negativa si es el sentido contrario

Alterna: (abreviada CA en español y AC en inglés). Las cargas se desplazan en ambos sentidos.

Más concretamente se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente.

Al punto en que una onda alterna alcanza su valor máximo también se le denomina cresta o pico y al punto en que una onda alterna alcanza su valor mínimo, valle.

Los puntos en que una onda alterna toma el valor cero se los denomina ceros.

Se puede hacer una segunda clasificación, muchos más amplia según la forma de la onda, es decir, según los valores que va adquiriendo la corriente según transcurre el tiempo:

Senoidales (su valor sigue una función senoidal: seno, coseno, tangente) Triangulares (crece y decrece linealmente, es decir, las velocidades de subida

(desde el valor mínimo hasta el máximo) y bajada (desde el valor máximo hasta el mínimo) son constantes. Lo más habitual es que sea simétrica, se decir, los tiempos de subida y bajada sean iguales.)

Cuadradas (alterna su valor entre dos valores extremos sin pasar por los valores intermedios (a diferencia de lo que sucede con la onda senoidal y la onda triangular, etc.)

En diente de sierra (crece linealmente hasta un valor y decrece instantáneamente) Impulsos (crece instantáneamente y decrece lentamente) ...

En la figura se observan ejemplos de ondas de distintas corrientes periódicas

Frecuencia y periodo

Las formas de onda alternas senoidales tienen una serie de parámetros

característicos, que, una vez definidos, nos permiten identificarlas

inequívocamente. Los principales son la frecuencia y periodo

El parámetro principal de las formas de onda periódicas es la rapidez con que se repiten los valores que adquiere la forma de onda en el tiempo. La magnitud que lo mide es la frecuencia, que indica el número de ciclos por segundo. Su símbolo es f y según el Sistema Internacional, su unidad es el hercio (Hz). A esta unidad también se la conoce como ciclo por segundo (cps). (1 Hz = 1 / s)

Otras unidades para indicar la frecuencia son revoluciones por minuto (rpm) y radianes por segundo (rad/s).

Para calcular la frecuencia de una onda, se contabilizan el número de veces que se repite éste en un determinado intervalo temporal y luego se divide el número de repeticiones por el tiempo transcurrido.

A la inversa de la frecuencia se la denomina periodo, y representa el intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo. Su símbolo es T y su unidad es el segundo (s). Indica el mínimo intervalo de tiempo que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. Por tanto para calcular la frecuencia se puede medir el tiempo entre dos repeticiones (periodo) y luego calcular la inversa:

f = 1 / T

Y así;

T = 1 / f

Evidentemente, una vez definido uno de los dos, el otro queda identificado, al ser el inverso.

La forma más cómoda de medir el periodo es entre picos, valles o ceros consecutivos, como se ve en la figura:

En la siguiente imagen animada se puede observar cómo varía la forma de una onda al variar su periodo, desde un valor 1s hasta un valor 5s.

Otros parámetros característicos

Además de la frecuencia o el período de una corriente periódica, se pueden

considerar otros parámetros relacionados con sus valores de intensidad, I, o

tensión, V.

A continuación se indican los más frecuentes (los expresaremos con la letra A (a), ya que pueden representar I (i) ó V (v) según interese):

Valor instantáneo (a(t)): Es el valor que toma la ordenada en un instante t determinado. (Es el único valor que se representa con letra minúscula)

Valor máximo o de pico Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período.

El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo.

Valor eficaz (A o Aef): Matemáticamente, el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período.

Su utilidad es que el valor eficaz de una corriente periódica se mide por el proporciona una resistencia cuando pasa la corriente por ella, y es equivalente al mismo calor que suministraría una fuente de CC sobre dicha resistencia.

Además es el parámetro que miden la mayoría de los aparatos de medida, como se verá más adelante.

Factor de amplitud (ξa): Cociente entre el valor máximo y el eficaz. ( Factor de forma (ξf): Cociente entre el valor eficaz y su valor medio en un

(A / Amed)

En la siguiente imagen animada se puede observar cómo varía la forma de una onda al variar su periodo, desde un valor 1s hasta un valor 5s.

Variaciones de una onda

Otros parámetros característicos Además de la frecuencia o el período de una corriente periódica, se pueden


A continuación se indican los más frecuentes (los expresaremos con la letra A (a), ya que pueden representar I (i) ó V (v) según interese):

): Es el valor que toma la ordenada en un instante t determinado. (Es el único valor que se representa con letra minúscula)

de pico (A0 o Amax): Equivale a la amplitud de la onda.): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo.

): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por

): Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período.

Su utilidad es que el valor eficaz de una corriente periódica se mide por el proporciona una resistencia cuando pasa la corriente por ella, y es equivalente al mismo calor que suministraría una fuente de CC sobre dicha resistencia.

Además es el parámetro que miden la mayoría de los aparatos de medida, como se verá

): Cociente entre el valor máximo y el eficaz. (A): Cociente entre el valor eficaz y su valor medio en un

En la siguiente imagen animada se puede observar cómo varía la forma de una onda al

Además de la frecuencia o el período de una corriente periódica, se pueden


A continuación se indican los más frecuentes (los expresaremos con la letra A (a), ya que

): Es el valor que toma la ordenada en un instante t determinado.

de la onda. ): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo.

): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por

valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores

Su utilidad es que el valor eficaz de una corriente periódica se mide por el calor que proporciona una resistencia cuando pasa la corriente por ella, y es equivalente al mismo

Además es el parámetro que miden la mayoría de los aparatos de medida, como se verá

A0 / A) ): Cociente entre el valor eficaz y su valor medio en un semiperíodo.

En la siguiente tabla se indican los valores de algunas corrientes periódicas:

Parámetro

Forma de onda

Cuadrada Triangular Senoidal Media onda

senoidal

Doble onda

senoidal

App 2A0 2A0 2A0 A0 A0

A n/d n/d A0 /√2 n/d n/d

ξa 1 √3 √2 n/d n/d

ξf 1 1.15 1.11 n/d n/d

n/d significa no determinado

Pero de todas las anteriores, sólo hay una que tiene una gran aplicación dentro del campo de la electrotecnia, por lo que nos centraremos en su estudio: la corriente alterna senoidal, (como la mostrada en la figura), que denominaremos simplemente CA.

Ondas alternas senoidales

Veremos en este apartado la expresión matemática de las ondas senoidales, fundamental para el resto de apartados de la unidad,

Una señal senoidal (también llamada sinusoidal), a(t), (tensión, v(t), o corriente, i(t)), se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos (figura 2), como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:

a(t) = A0 · sen (ω·t + β)

siendo:

A0, la amplitud, en V o A, según corresponda ω, la pulsación, en rdn/s (radianes/segundo), t, el tiempo, en s. β, el ángulo de fase inicial, o desfase, en rdn.

La velocidad angular ω, en rdn/s no es muy útil en electrotecnia y dado que

ω = 2·π·f

siendo

f, la frecuencia, en Hz.

la función matemática inicial se expresa frecuentemente como:

a(t) = A0 · sen (2·π·f·t + β)

Se ha elegido, con convenio, la forma de onda seno como referencia, porque en el instante inicial (t=0), si el desfase es 0º (0 rdn), el valor instantáneo vale también 0, pero se puede expresar en forma cosenoidal, ya que son ondas similares pero desfasadas 90º (π/2 rdn) (en el instante inicial vale A0).

Particularizando para el caso de que A0 tuviera valor 1, se puede comprobar como las funciones seno y coseno varían entre -1 (valor mínimo) y 1 (valor máximo), (funciones unitarias), como se observa en la figura

Valores significativos

Particularizaremos en este apartado los parámetros característicos de las ondas

periódicas para el caso de las ondas alternas senoidales y determinaremos sus

valores.

A continuación se indican los valores significativos de una señal senoidal:

Valor pico a pico (App): Dado que el valor máximo de sen (t) es +1 y el valor mínimo es -1, una señal senoidal oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto

App = (+A0)-(-A0) = 2·A0

Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo. Como en una señal senoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda senoidal se refiere a un semiciclo. Se puede demostrar que su expresión es la siguiente:

Amed = 2A0 /π

Valor eficaz (A): En la industria, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor.

Por ese motivo, para mayor claridad y simplicidad, se suele representar únicamente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.) sin subíndice. Aunque hay veces que se denominan a estos valores R.M.S. (del inglés root mean square, valor cuadrático medio).

Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene dado por la expresión:

A = A0 / √2

Ya dijimos que el valor eficaz A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una carga. Así, si una tensión de corriente continua (CC), VCC, desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de CA de Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC.

En la siguiente tabla se resumen todos los parámetros vistos hasta ahora. (Recordar que sólo hay que sustituir la letra a por v o i según sea tensión o intensidad)

Parámetro Expresión Unidad Comentarios

VALOR INSTANTANEO a(t) = A0·sen(ω·t) En A o en V, según

corresponda

VELOCIDAD ANGULAR ω = α / t En rad/s. (También llamada

pulsación).

ANGULO GIRADO α = ω · t En radianes Calculadora en RAD.

PERIODO T = 2·π / ω En segundos Tiempo que dura un

ciclo.

FRECUENCIA f= 1 / T = ω / (2·π)

( ω = 2·π·f En hercios (Hz) o

ciclos/segundo.

Número de ciclos en

un segundo.

VALOR MAXIMO (o de

pico o de cresta.) A0

En A o en V, según

corresponda

VALOR PICO A PICO App = 2·A0 En A o en V, según

corresponda Valor doble del valor

máximo.

VALOR MEDIO Amed = 2A0 /π En A o en V, según

corresponda

Media algebraica de

un semiperiodo. (La

media de un periodo

es cero).

VALOR EFICAZ A = A0 / √2 En A o en V, según

corresponda

Media cuadrática de

un periodo.

Ejemplo Para ilustrar prácticamente los conceptos anteriores, consideremos, por ejemplo,

la corriente alterna en la red eléctrica doméstica en España, y en el resto de

Europa.

En la siguiente figura se muestra un mapa mundial con las diferentes tensiones nominales empleadas por países, donde se ve cómo en España, al igual que en el resto de Europa y gran parte del mundo, la tensión empleada en CA es de 230 V y la frecuencia de 50 Hz.

Cuando decimos que la corriente alterna tiene un valor es de 230 V CA a 50 Hz, estamos diciendo que:

Su valor eficaz (al menos nominalmente) es de 230 V, lo que significa que tiene los mismos efectos caloríficos que una tensión de 230 V de CC.

Su tensión de pico (amplitud), que se obtiene despejando de la ecuación vista en el apartado anterior (V0 = √2 · V), tiene un valor de, aproximadamente, 325 V

Su tensión de pico a pico será el doble del valor anterior: 650 V. Su frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la onda senoidal (el

periodo) tarda 20 ms en repetirse. Su pulsación, que se despeja de la expresión ω = 2·π·f, tiene un valor ω = 2·π·50 = 314

rad/s La tensión de pico positivo (325 V) se alcanza a los 5 ms de pasar la onda por cero (0 V)

en su incremento, y 10 ms después se alcanza la tensión de pico negativo (-325 V). Si se desea conocer cualquier valor instantaneo, por ejemplo, el valor a los 3 ms de

pasar por cero en su incremento, se empleará la función sinusoidal:

V(t) = V0·sen(2·π·f·t) = 325 sen (2·π·50·3·10-3) ≈ 263 V

Todos los valores anteriores se resumen en la siguiente figura, donde sólo se ha representado, como es habitual, el primer periodo, pues todos los demás son similares al ser una onda periódica:

Ventajas de las ondas senoidales

La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una

onda senoidal, puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la

energía y es como se emplea en viviendas e industrias, así como otra serie de

ventajas adicionales.

Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas:

La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos

de alterna. Si un circuito eléctrico, constituida por elementos lineales, se alimenta mediante una

fuente de tensión o de intensidad senoidal, las tensiones o intensidades que se originan en todas las partes del circuito son, también, senoidales.

Los valores se podrán diferencias a lo sumo, en sus amplitudes y fases, pero tienen todas la misma frecuencia.

Ninguna otra función periódica cumple esta condición.

Si se suman dos o más ondas senoidales, de amplitudes y fases arbitrarias, pero de la misma frecuencia, la onda resultante tiene, también, forma senoidal.

La amplitud y fase de la resultante dependerá de las ondas que se sumen, pero la frecuencia no varía.

No existe ninguna otra función periódica que presente esta propiedad.

La derivada de una onda senoidal, también tiene forma senoidal. Por tanto, la integral tiene, asimismo, esta forma.

La onda senoidal es la única que conserva su forma al integrarla o derivarla, y eso ocurre cualquiera que sea el número de veces que se repita una u otra operación.

Cualquier onda periódica no senoidal se puede descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armónicos, de los que hablaremos más adelante

Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica, como veremos más adelante.

Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores.

Ya sabemos que la energía eléctrica viene dada por el producto de la tensión, la intensidad y el tiempo (W = P · t, como se vio en la unidad 2). Dado que la sección de los conductores de las líneas de transporte de energía eléctrica depende de la intensidad, podemos, mediante un transformador (se verá en la unidad 9), elevar la tensión hasta altos valores (alta tensión). Con esto la misma energía puede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y, por tanto, con bajas pérdidas por causa del efecto Joule. Una vez en el punto de utilización o en sus cercanías, la tensión puede ser de nuevo reducido para su uso industrial o doméstico de forma cómoda y segura.

Generación de CA monofásica

Ya vimos en la unidad 4 que si hacemos girar un conductor en el interior de un campo magnético, se generará en él una fuerza electromotriz inducida

Concretamente, de valor:

e = B · L · v · sen α

Siendo:

e, la fem inducida, en V B, la inducción magnética, en T L, la longituddel conductor, en m v, la velocidad del movimiento, en rdn/s (si es un movimiento de rotación) α, el ángulo entre la inducción magnética y la velocidad o sentido del

movimiento, en º

Como se ve en la figura, α varía de 0º a 360º a cada vuelta del conductor.

Si en vez de un conductor colocamos una espira, formada por un conductor de ida y otro de vuelta, en ella se induce una f.e.m. doble:

e = 2 · B · L · v · sen α

Por extensión, si colocamos una bobina de Ne espiras:

e = 2 · Ne · B · L · v · sen α

Si mantenemos constante la inducción del campo (B) y la velocidad de giro (v), siéndolo también el número de conductores (Ne) y la longitud de los mismos (L), tendremos:

Emax = 2 · Ne · B · L · v (Constante

e = Emax · sen α

Como puede deducirse de la fórmula, la f.e.m. resultante tendrá forma senoidal.

Si además expresamos el ángulo girado en función de la velocidad angular (y por tanto del tiempo):

ω = α / t ( α = ω · t

e (t) = Emax · sen ω · t

siendo:

ω · t, el ángulo girado, en rad, (al ser ω la velocidad angular en rad/s).

En la práctica, la generación de tensión alterna monofásica se efectúa manteniendo fija la bobina, donde se produce un flujo magnético senoidal y girando los polos (imanes) con velocidad angular constante, ωg.

Si el campo magnético se forma con un solo imán, con un solo polo norte y otro sur, esto es, la pulsación ω de la tensión inducida en la bobina sería ω = ωg, ya que en una vuelta se completa un periodo.

Receptores de CA

Los receptores que emplean corriente alterna (monofásica) para su funcionamiento son muchos y muy variados.

Se puede hacer una primera clasificación en tres grandes grupos:

Receptores para movimiento: son todos los tipos de motores, empleados sobre todo para aplicaciones domésticas (electrodomésticos), ya que para aplicaciones industriales se suele recurrir a la corriente trifásica (por las ventajas que veremos en la unidad 8). Se estudiarán en el bloque dedicado exclusivamente a máquinas eléctricas.

Receptores para caldeo: Ya se introdujeron en la unidad 2, ya que el efecto resistivo es similar en corriente continua como en corriente alterna (en valor eficaz, recordar). Son muy empleados en la industria (hornos, estufas, calentadores de depósitos (resistencias para inmersión en líquidos),...)

Las características más importantes para este tipo de receptores son:

La tensión de red ( a partir de una cierta potencia se emplean trifásicos) La potencia eléctrica El rango de tª Las dimensiones y el volumen útil

Para saber más: Aquí tienes algunos enlaces a páginas web de fabricantes de resistencias calefactoras http://www.resistencias.com/esp/resistencias-electricas.html http://www.stego.de/es/productos/resistencia-calefactora.html [versión en caché] http://www.watlow.es/ [versión en caché] http://www.rica.it/zoppas01/heating/eu_it/catalogues/catalogsList.do?lang=eng&id=undefined http://www.juliomartineznaya.com/ [versión en caché] http://www.surisa.es/res.html [versión en caché] http://www.consonni.mcc.es/ [versión en caché] http://www.alberttrullas.com/ [versión en caché] http://www.resistenciastope.com/ [versión en caché] http://www.electricfor.com/index_productos.html http://www.asturgo.com/pag1.htm [versión en caché] http://www.rellorente.com/ [versión en caché] http://www.reospain.com/resistors_11.htm

Receptores para iluminación: Ciertas aplicaciones emplean corriente continua para conseguir efectos luminosos (ya se vio en la unidad 2), (linternas, juguetes eléctricos, flashes de cámaras, faros de vehículos,...) pero la práctica totalidad de los receptores destinados a alumbrado doméstico, industrial y público funcionan con corriente alterna monofásico, por lo que su campo de estudio es muy amplio.

Se estudiarán en profundidad en el módulo "Instalaciones Eléctricas de Interior"

Pérdidas en los cables en CA

Además de las pérdidas por calentamiento por efecto Joule, en los cables que

transportan corriente alterna existen una serie de pérdidas en los cables que no se

dan en corriente continua.

Para calcular las pérdidas por efecto Joule, sigue siendo válida la fórmula vista en la unidad 2, es decir:

con la precaución de poner la intensidad, o la tensión, en valores eficaces.

Cuando una CC circula por un cable, las cargas se distribuyen homogéneamente a lo largo de la sección. Pero si la que circula es CA, se observa experimentalmente que las cargas ya no se distribuyen homogéneamente, sino que tienden a acercarse a la superficie del cable. Es decir, la densidad de carga aumenta en la periferia y disminuyen en el interior lo que provoca dos efectos importantes:

1. La resistencia aumenta debido a que la sección efectiva del cable (sección por la que realmente circulan electrones) disminuye. (Recordar que R = ρ·L/S. Si S disminuye, R aumenta). Ello da lugar a un aumento de pérdidas eléctricas por Efecto Joule

2. Laautoinducción disminuye, ya que disminuye el flujo de campo magnético dentro del cable (Recordar que el campo generado por un cilindro es nulo en su interior)

Este efecto se denomina efecto piel o pelicular, y se puede demostrar que a mayor frecuencia de la señal de corriente, mayor es el efecto. Esto es especialmente importante en cables que trabajan a altas frecuencias, como por ejemplo los cables de telecomunicación.

También aumenta el efecto piel con la sección.

Su cálculo exacto se detalla en la Norma UNE 21144, aunque en redes de baja tensión, se suele despreciar.

Así, en la figura, en CC, o CA de muy baja frecuencia, toda la sección conduce (Zonas roja y anaranjada). A medida que la frecuencia aumenta, la circulación sólo se produce por las zonas exteriores del conductor. A frecuencias muy altas, sólo conduce la superficie exterior (Zona roja).

Hay otras pérdidas asociadas a las cubiertas metálicas de los cables, cuyo estudio detenido sale de los límites de nuestro curso. Sin profundizar diremos que pueden clasificarse en:

Pérdidas en las pantallas Corrientes de circulación (al poner a tierra los extremos de la cubierta metálica

del cable, se crea una espira cerrada, que abarca parte del campo magnético (variable) generado por la corriente que circula por el cable, dando lugar a una corriente inducida)

Corrientes de Foucault (ya vistas en la unidad 4) Efecto proximidad: se generan tensiones inducidas en las pantallas, como

consecuencia de las corrientes que circulas por cables colindantes. A mayor proximidad, mayores pérdidas

Pérdidas en las armaduras. Se suelen considerar conjuntamente con las de la pantalla.

Todas vienen descritas en la Norma UNE 21144.

Si bien todas las pérdidas anteriores están en función de la corriente, hay otro tipo de pérdidas que están en función de la tensión. Son las denominadas pérdidas dieléctricas, que se producen en los aislamientos de los cables sometidos a un campo magnético alterno, ya que los cables (conductores y aislamientos) se comportan como condensadores cilíndricos. La frecuencia de la tensión es otro de los parámetros de los que dependen.

Nuevamente hay que acudir a la Norma UNE 21144 para ver cómo se calcula.

Así las pérdidas en los cables sometidos a corrientes alternas se pueden clasificar como:

Pérdidas debidas a la intensidad En el alma conductor

Pérdidas por efecto Joule Pérdidas por efecto Piel

En las cubiertas metálicas En las pantallas

Pérdidas por corrientes de circulación Pérdidas por corrientes de Foucault Pérdidas por efecto proximidad

En las armaduras Pérdidas debidas a la tensión

Pérdidas dieléctricas

Además de las pérdidas de potencia vistas anteriormente, la circulación de corriente a través de los conductores ocasiona una caída de tensión o diferencia entre las tensiones en el origen y al final del trayecto. Este fenómeno será determinante, como veremos en otros módulos, para el correcto dimensionado de la sección de los cables a utilizar en una determinada instalación

Representación fasorial de ondas senoidales

Existe una manera de representar las ondas senoidales, que nos hará más sencillo su manejo y las operaciones entre ellas

Una función senoidal de la forma a (t) = Avector giratorio, al que se denomina que proceden de la proyección de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas (o mejor coordenadas real e imaginaria del plano complejo, como se verá más adelante) que tendrá las siguientes características:

1. Girará con una velocidad angular 2. Su longitud será el valor máximo o el eficaz, según convenga.

Pulsa sobre la imagen para ampliar

Movimiento de un fasor en una onda senoidal

La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone.

Para demostrar lo anterior, si dibujáramos un vector de longitud Ade las x un ángulo φ en un instante determinado. Este vector girarlas agujas del reloj, con una velocidad angular de la posición inicial, habrá recorrido un ángulo ángulototal θ= ω·t + φ.

Así, el conocimiento del vector giratorio hace que se conozca la evolución de una onda senoidal en el tiempo.

al de ondas senoidales

Existe una manera de representar las ondas senoidales, que nos hará más sencillo su manejo y las operaciones entre ellas

Una función senoidal de la forma a (t) = A0 sen (ω·t + φ) puede ser representada por un vector giratorio, al que se denomina fasor o vector de Fresnel que se pueden considerar que proceden de la proyección de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema de

(o mejor coordenadas real e imaginaria del plano complejo, como se verá más adelante) que tendrá las siguientes características:

Girará con una velocidad angular ω. Su longitud será el valor máximo o el eficaz, según convenga.


Movimiento de un fasor en una onda senoidal


Para demostrar lo anterior, si dibujáramos un vector de longitud A0 que forme con el eje en un instante determinado. Este vector girará en sentido contrario a

las agujas del reloj, con una velocidad angular ω (rad/s); en un instante t medido a partir de la posición inicial, habrá recorrido un ángulo ω·t, que unido al inicial

Así, el conocimiento del vector giratorio hace que se conozca la evolución de una onda

Existe una manera de representar las ondas senoidales, que nos hará

ser representada por un que se pueden considerar

que proceden de la proyección de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema de (o mejor coordenadas real e imaginaria del plano complejo,

Su longitud será el valor máximo o el eficaz, según convenga.


que forme con el eje á en sentido contrario a

(rad/s); en un instante t medido a partir t, que unido al inicial φ supondrá un

Así, el conocimiento del vector giratorio hace que se conozca la evolución de una onda

Se denomina fasor al vector que nos permite conocer la amplitud de la onda senoidal (se deduce de su tamaño A0, denominado módulo), y su posición en un instante inicial. (definida por el ángulo φ, denominado argumento o fase).

Así, conocido el valor de un fasor (módulo A (o √2·A) y su fase φ) queda determinada la evolución senoidal.

Para mayor simplicidad es usual considerar el origen de tiempos (t=0) en el momento en que la onda pasa por 0 según asciende y además, en la práctica de la ingeniería eléctrica se prefiere hacer uso de fasores en valores eficaces,

La representación fasorial tiene además la ventaja de que permite ver con sencillez el desfase entre diferentes magnitudes senoidales, esto es, la diferencia de fase e interpretar geométricamente las operaciones efectuadas sobre las magnitudes que representan.

En un diagrama fasorial sólo se pueden representar señales senoidales de la misma frecuencia, lo que significa fasores que giran a la misma velocidad (pulsación)

Los valores instantáneos de una tensión aplicada a un elemento y la corriente que circula por él tendrán unos valores fasoriales determinados V e I, pero ambos fasores, al girar a la misma velocidad ω, siempre tendrán la misma posición relativa:

Si el ángulo del fasor tensión (φV) es mayor que el ángulo del fasor intensidad (φI), el desfase de los fasores es φ = φV - φI, e indica que la tensión se adelanta a la corriente (o la corriente se retrasa a la tensión).

Si el ángulo del fasor intensidad (φI) es mayor que el ángulo del fasor tensión (φV), el desfase de los fasores es φ = φI - φV, e indica que la corriente se adelanta a la tensión (o la tensión se retrasa a la corriente).

Al coseno de dicho ángulo φ (cos φ) se le denomina factor de potencia, y será objeto de un posterior estudio exhaustivo por su importancia práctica

En la mayoría de los casos se tomará una de las magnitudes como referencia de fases, es decir, se colocará en el eje de las x (0º), lo que simplificará su cálculo, como se verá en los próximos apartados.

A continuación se muestra una secuencia de imágenes donde se observa el desfase entre una onda tensión y una intensidad, y sus fasores correspondientes, tomando como referencia la onda de tensión.


Números complejos

Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.

Los números complejos son una manera matemática de definir fasores, o lo que es lo mismo, un punto del plano respecto a unos ejes de coordenadas que se cruzan perpendicularmente en un punto (origen).

Al eje de las x se le denomina eje real y al eje de las y se le denomina eje imaginario.

Son muy similares a los ejes cartesianos, con la diferencia de que a la coordenada del eje de abscisas (eje imaginario) se le debe añadir siempre, en su notación, una letra "j".

Al quedar definido dicho punto queda definida la flecha que va entre el origen de coordenadas y el mismo.

Los números complejos admiten tres maneras de definirse:

Forma binómica (coordenadas rectangulares): P= a + bj Forma polar (coordenadas polares): P = mα Forma trigonométrica: P = m (cos α + j sen α)

De las cuales nosotros usaremos las dos primeras, donde cada una de las coordenadas se denominan:

a = parte real b = parte imaginaria m = módulo α = ángulo o argumento

En la siguiente figura se resumen las principales fórmulas trigonométricas, algunas de las cuales se manejarán en sucesivos apartados:

Superficie (A):

Teorema de Pitágoras:

Relaciones con el ángulo α

Relaciones con el ángulo β

Relaciones entre ángulos

α = 90 - β β = 90-α

Relaciones trigonométricas

Ejemplo de fasor tensión.

Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea el siguiente:

v(t) = 4 · sen (314·t + π/4)

Tomando como módulo del fasor su valor eficaz, la representación gráfica de la anterior tensión será la que se puede observar en la figura,

y se anotará en forma polar:

V = 2√245º

o bien, en forma binómica:

V = 2 + 2j

Operaciones y conversiones de números complejos Los números complejos, como el resto de números que conocemos, admite las

operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), pero

requiere de unas reglas especiales.

La suma y la resta se realizan en forma binómica:

Suma: (a + bj) + (c + dj) = [(a + c) + (b + d)j]

O lo que es lo mismo: "suma de partes reales + suma de partes imaginarias".

Resta: (a + bj) - (c + dj) = [(a - c) + (b - d)j]

O lo que es lo mismo: "resta de partes reales + resta de partes imaginarias".

El producto y el cociente se realizan en forma polar:

Producto: ma · nß = (m·n)a+ß

O lo que es lo mismo: "producto de módulos y suma de argumentos".

Cociente: ma / nß = (m/n)a-ß

O lo que es lo mismo: "cociente de módulos y resta de argumentos.

De donde se ve que si nos dan el número complejo expresado en forma polar, para hacer la suma o la resta deberemos expresarlo en forma binómica (rectangulares), y de la misma forma, si nos dan el número complejo expresado en forma binómica (rectangulares), para hacer la multiplicación o la división deberemos expresarlo en forma polar

A continuación se detalla cómo realizar dichas conversiones:

Paso de rectangulares a polares (Conocidos a y b):

Por trigonometría se deduce que el módulo (m) es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, y que la tangente del argumento es cateto opuesto (b) partido por cateto contiguo (a), y por tanto:

m = v(a2+b2) a = arc tan (b/a)

Con la calculadora:

[a] [R -> P] [b] [=] "sale m " [X?Y] "sale a "

(En muchas de calculadoras científicas, estas operaciones se hacen con las teclas de "segunda función", es decir, aparecen en la parte superior de las teclas, por lo que se debe pulsar previamente. (2nd o shift, según modelo). Otras muchas ya incorporan una tecla de función para las mismas)

Paso de polares a rectangulares(Conocidos m y a):

Por trigonometría se deduce que el coseno del argumento (a) es el cateto contiguo (a) partido por la hipotenusa (m) y que el seno del argumento (a) es el cateto opuesto (b) partido por la hipotenusa (m), y por tanto, despejando:

a = m· cos a b = m· sen a

Con la calculadora:

[m] [P -> R] [a] [=] "sale a" [X?Y] "sale b"

Nota1: Dado que tg a = tg (a +180º), existen dos ángulos posibles para cada valor de la tangente. Esto provoca que al aplicar las fórmulas de paso de rectangulares a polares:

m = v(a2+b2) a = arc tan (b/a)

deba tenerse en cuenta el signo de la parte real a y sumar al ángulo resultante +180º cuando esta sea negativa para obtener el ángulo correcto.

Ejemplo:

Pasar a coordenadas polares el número complejo -20 + 12j.

m = v(a2+b2) = v((-20)2+122) = 23.324 a = arc tan (b/a) = arc tan (12/20) = -30.96º

En realidad el argumento debe ser f = a + 180º = -30.96º+ 180º = 149º.

El resultado es lógico teniendo en cuenta que el extremo del vector debe estar en el semiplano negativo del eje de las x, ya que la parte real era negativa. Para comprobarlo sólo es necesario dibujar gráficamente ambos.

En el caso de utilizar la herramienta de paso de rectangulares a polares de la calculadora el resultado sale correcto directamente.

Nota 2: los ángulos, en la calculadora, deben estar en deg.

Ejemplos Dada la importancia que de ahora en adelante tendrá el dominio de las

operaciones con números complejos, ya que todos los circuitos eléctricos en CA

hacen uso de ellos, se muestran en este apartado un par de ejemplos sobre cómo

se deben realizar.

Ejemplo 1:

Se muestra aquí el desarrollo completo de unas operaciones con complejos

3. Calcula: P = (2 + 6j) + [(4 +4j) · (6 - 2j)].

Como en cualquier operación matemática, los productos (y las divisiones) tienen prioridad sobre las sumas (y las restas) por lo que se deben realizar primero. (Aunque en este caso no habría duda porque el producto va entre corchetes).

Por lo tanto habrá que pasar ambos términos a forma polar:

P = (2 + 6j) + [(5,65745º) · (6,324-18,43º)

Y operando en polar:

P= (2 + 6j) + (35,7726,57º)

Ahora la suma hay que hacerla en rectangulares, por lo que hay que transformar el segundo término:

P = (2 + 6j) + (32 + 16j)

Y operando en rectangular, sale:

P = (34 + 22j)

Ejemplo 2

Se muestran en este ejemplo varios casos donde hay que realizar todo tipo de transformaciones y de operaciones. Se muestran las soluciones para que el alumno compruebe si maneja este tipo de operaciones

4. Dados los números complejos: P1 = 6 + 8j ; P2 = 9 - 3j ; P3 = 12j ; P4 = 20, calcula: 1. P1 - P2 2. P1 + P2 + P3 + P4 3. P1 · P2 4. P2 / P4 5. P1 / (P2 - P3).

Soluciones:

1. -3 + 11j 2. 35 + 17j 3. 78,1 + 53,8j 4. 0,45 - 0,15j 5. 0,57 - 0,06j

Impedancia

En CC el único elemento pasivo que nos aparecía en los circuitos y que representaban una oposición al paso de corriente eran las resistencias (ver unidad 3), ya que las bobinas eran equivalentes a un circuito cerrado y un condensador a un circuito abierto. En CA ya no.

En CA las bobinas y los condensadores no pueden simplificarse como se ha descrito, ya que la frecuencia de la corriente ya no es 0, y por tanto, ahora todos los componentes pasivos ofrecen una oposición al paso de la corriente.

Se llama impedancia de un elemento cualquiera, y se notará en general con la letra Z, a la oposición que ofrece al paso de una corriente alterna. Su unidad es el Ω.

En los próximos apartados veremos cómo se calcula la impedancia de los elementos pasivos, considerándolos como ideales, esto es, como resistencias puras, bobinas puras o condensadores puros, o bien considerándolos como reales, esto es, como una mezcla de los anteriores.

Impedancia de componentes pasivos ideales

La impedancia de los componentes pasivos ideales es sencilla de obtener y

además, su expresión es siempre la misma

Así, se tiene:

Impedancia de un resistor (resistencia): en este caso a la impedancia se la llama simplemente resistencia y se representa por R:

ZR= R

En forma compleja:

ZR0 = R + 0j

Siendo:

R, la resistencia, en Ω j, la unidad imaginaria

Impedancia de una bobina: en este caso a laimpedancia se la llama reactancia inductiva o inductancia y se representa por XL.

Como la oposición que presenta la bobina al paso de la corriente alterna (XL) tiene que ver con los fenómenos de autoinducción, esta será mayor cuanto mayor sea el coeficiente de autoinducción L y más rápidas sean las variaciones de la corriente, es decir, de la frecuencia f, y por tanto se tiene que:

:ZL = XL = 2·π·f·L = ω·L

En forma compleja:

ZL90 = 0 + (2·π·f·L)j = 0 + (ω·L)j

Siendo:

XL, la reactancia inductiva, en Ω f, la frecuencia, en Hz L, el coeficiente de autoinducción, en H (Henrios) j, la unidad imaginaria

Impedancia de un condensador: en este caso a la impedancia se la llama reactancia capacitiva o capacitancia y se representa por XC:

Como el establecimiento de la corriente eléctrica en un condensador tiene que ver con los fenómenos de carga y descarga del mismo, dicha corriente será mayor cuanto mayor sea la capacidad del condensador C y más rápidas sean dichas cargas y descargas, es decir la frecuencia f, y por tanto se tiene que:

ZC = XC = 1/(ω·C)

En forma compleja:

ZC-90 = 0 - (1/ (ω·C))j = 0 - (1/ (2· π·f·C))j

Siendo:

Zc, la reactancia capacitiva, en Ω f, la frecuencia, en Hz C, la capacidad, en F j, la unidad imaginaria j = Unidad imaginaria

Impedancia de componentes pasivos reales

Las impedancias de los componentes reales son un poco más complicadas y

pueden ser modeladas por circuitos más o menos complicados, formados de

componentes ideales.

En general, la impedancia de un componente real puede representarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria:

Z = R + X j

Siendo:

R, la parteresistiva o real de la impedancia, en Ω X, la partereactiva o reactancia de la impedancia en Ω

La Reactancia (X), es la suma de la inductancia (reactancia inductiva) y la capacitancia (reactancia capacitiva).

Se podría definir como la impedancia ofrecida, al paso de la corriente alterna, por un circuito en el que solo existen inductancias (bobinas) o capacitancias (condensadores) puras, esto es, sin resistencias, pero esto representaría una condición ideal, puesto que no existen en la realidad bobinas ni condensadores que no contengan una parte resistiva, con lo cual los circuitos en general estarán formados por una composición R-L-C (resistencia, bobina, condensador)

Vectorialmente, la reactancia inductiva y la capacitiva están en la misma dirección y son opuestas y por tanto se pueden restar aritméticamente (sin hacerlo geométricamente)

X = XL - XC

Dependiendo del valor de la reactancia se puede decir que el elemento real presenta:

Reactancia capacitiva, cuando X < 0 (XC > XL)

Reactancia inductiva, cuando X > 0 (XL > XC)

Es puramente resistivo, cuando X = 0. (XL = XC)

Por tanto, se puede escribir, en forma de números complejos, que, en general, la impedancia de un elemento pasivo real es:

Z = R + (XL - XC)j

Vectorialmente se tiene el triángulo de impedancias de la figura, muy empleado para resolver, por trigonometría los circuitos eléctricos:

Para determinar el ángulo ( se puede utilizar la relación trigonométrica de la tg:

tg ( = X / R

Una vez obtenida la tangente, mediante una calculadora científica, se determina el ángulo que le corresponde:

φ = arctg X/R

Además, si aplicamos el teorema de Pitágoras a este triángulo podemos obtener la siguiente relación:

Z = ( (R2 + X2)

Así, nos podemos encontrar con:

Impedancia de un receptor RL: En el caso de un receptor que tenga una resistencia en serie con una bobina (RL) la impedancia total tiene un valor que responde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos la resistencia y la inductancia:

Z = √(R2+ (ω·L)2)

En forma compleja:

Zφ = R + (ω·L)j

Impedancia de un receptor RC: En el caso de un receptor que tenga una resistencia en serie con un condensador (RC) la impedancia total tiene un valor que responde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos la resistencia y la capacitancia:

Z = √(R2+ (1/(ω·C))2)

En forma compleja:

Z-φ = R - (1/ω·C)j

Impedancia de un receptor RLC:En el caso de un receptor que conste de una resistencia en serie con una bobina y con un condensador (RLC) la impedancia total tiene un valor que responde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por catetos la resistencia y la reactancia (inductancia menos capacitancia):

Z = √(R2 + (ω·L - 1/(ω·C))2)

En forma compleja:

Zφ = R + (ω·L - 1/(ω·C) j

El ángulo será positivo si predomina la inductancia sobre la capacitancia y negativo si sucede al contrario.

Existen más términos empleados en Electrotecnia para resolver circuitos eléctricos, pero nosotros no los manejaremos (ya que se usan fundamentalmente en el método de los nudos). Sólo los definiremos:

Admitancia: el inverso de la impedancia: Y = 1 / Z = YC + YSj Conductancia,YC: la parte real de la admitancia. ¡Cuidado! YC no es la inversa de la

resistencia Susceptancia, YS: la parte imaginaria de la admitancia. ¡Cuidado! YS no es la inversa de la

reactancia

Las unidades de la admitancia, la conductancia y la susceptancia son los Siemens (S). (Evidentemente, un S es el inverso de un Ω (1 S = 1 Ω-1)).

Generalización de la ley de Ohm

El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna (AC).

En CC decíamos que la ley de Ohm establecía que la tensión entre las extremidades de una resistencia era igual al producto de la corriente por la resistencia (V = R · I).

En CA esa ley puede generalizarse para el caso de receptores con una cierta impedancia, en lugar de simplemente una resistencia

Así, se dice que "la tensión (V) entre las extremidades de un receptor con una determinada impedancia (Z) es igual al producto de la corriente (I) que la atraviesa por el valor de dicha impedancia":

V = Z · I

O dicho al revés: La intensidad de corriente que circula por un circuito de C.A. es directamente proporcional a la tensión V aplicada, e inversamente proporcional a la impedancia Z.

I = V / Z

Tanto la impedancia como la corriente y la tensión son, en general, complejas.

Diagrama de Tensiones

A partir del triángulo de impedancias se puede obtener un triángulo semejante, para las tensiones que aparecen en un receptor, de gran utilidad en el análisis de los circuitos eléctricos.

Para ello sólo hay que multiplicar por I cada lado, pudiéndose observar que pasan a ser productos Z·I, que según la ley de Ohm generalizada es lo mismo que V, por lo que el triángulo resultante se denomina triángulo de tensiones,

En la figura se representa dicho triángulo para el caso más genérico (el del receptor RLC), donde se reflejan tanto las tensiones parciales (catetos), como la tensión total (hipotenusa). P = V·I = R·I2

Si aplicamos el teorema de Pitágoras a este triángulo podemos obtener la siguiente relación:

V = ( (VR2 + VX

2)

Para determinar el ángulo ( de desfase entre V e I se puede utilizar la relación trigonométrica de la tg (tanto a este triángulo como al de impedancias, pues al ser proporcionales los ángulos no varían):

tg ( = X / R = VX / VR

Una vez obtenida la tangente, mediante unas tablas trigonométricas o una calculadora científica, se determina el ángulo que le corresponde.

Reglas para el cálculo de circuitos en CA con impedancias

Mediante unas sencillas reglas, podremos emplear magnitudes en forma de impedancias para calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al cálculo de circuitos resistivos en CC visto en la unidad 3

Estas reglas son las siguientes (Su comprensión es fundamental para poder resolver la gran mayoría de problemas que se presentarán a lo largo del curso y en el resto de módulos):

Como las tensiones y las corrientes son sinusoidales, se pueden utilizar los valores pico (amplitudes), los valores eficaces, los valores pico a pico o los valores medios. Pero hay que cuidar de ser uniforme y no mezclar los tipos. Generalmente emplearemos valores eficaces.

Si, en un circuito, se encuentran varios generadores de tensión o de corriente, se elige uno de ellos como generador de referencia de fase.

Si la verdadera tensión del generador de referencia es V0·cos(ωt), para el cálculo con las impedancias escribiremos su tensión como V0

0.

Si la tensión de otro generador tiene un avance de fase de α grados con respecto al generador de referencia y su corriente es I1·cos(ωt+α), para el cálculo con las impedancias escribiremos su corriente como I1

α.

El argumento de las tensiones y corrientes calculadas será desfase de esas tensiones o corrientes con respecto al generador tomado como referencia.

Se pueden representar las tensiones de los generadores de tensión y las tensiones entre los extremos de los componentes como vectores en un plano complejo. (diagrama de Fresnel)

La magnitud (longitud) de los vectores es el módulo de la tensión y el ángulo que hacen con en eje real es igual al ángulo de desfase con respecto al generador de referencia.

Las Leyes de Kirchoff se aplican de la misma manera: "la suma de las corrientes que llegan a un nodo es cero" y "la suma de todas las tensiones alrededor de una malla es cero". Esta vez, tanto las corrientes como las tensiones, son, en general, complejas. Lo mismo ocurre con los teoremas de Thevenin,...

Las impedancias en serie o en paralelo se tratan como las resistencias con la ley de Ohm. La impedancia de varias impedancias en serie es igual a su suma:

Z = Z1 + Z2 + .... + Zn

La impedancia de varias impedancias en paralelo es igual al inverso de la suma de los inversos:

Z = 1/ (1/Z1 + 1/Z2 + .... + 1/Zn

El resultado de un cálculo de una tensión o de una corriente es, generalmente, un número complejo. Ese número complejo se interpreta de manera siguiente:

El módulo indica el valor de la tensión o de la corriente calculada.

Si los valores utilizados para los generadores eran los valores pico, el resultado también será un valor pico. Si los valores eran valores eficaces, el resultado también será un valor eficaz.

El argumento de ese número complejo da el desfase con respecto al generador utilizado como referencia de fase.

Si el argumento es positivo la tensión o la corriente calculadas estarán en avance de fase.

En los siguientes apartados veremos cómo se aplican las reglas anteriores en los principales tipos de circuitos que nos podemos encontrar, según los componentes que aparezcan. Estos circuitos, clasificados en función de la impedancia del receptor son:

Circuitos resistivos: Receptor puramente resistivo (Circuito R) Circuitos inductivos: Receptor puramente inductivo (Circuito L) Circuitos capacitivos: Receptor puramente capacitivo (Circuito C) Circuitos impedantes.

Receptor resistivo-inductivo (Circuito RL) Receptor resistivo-capacitivo (Circuito RC) Receptor resistivo-inductivo-capacitivo (Circuito RLC)

Circuito R

Analizaremos en este apartado cómo se resuelve un circuito eléctrico donde una

fuente de CA alimenta un receptor resistivo puro.

Una resistencia pura se comporta de forma similar en CA que en CC.

Así, particularizando la ley de Ohm generalizada (V = Z · I) para el caso de una resistencia, se tiene:

V = R · I

Con la precaución de aplicarla con los valores eficaces de la corriente y la tensión, que son los que indicarían un amperímetro y un voltímetro, respectivamente

De esta manera, se puede deducir que, para una tensión determinada aplicada a una resistencia, la intensidad eficaz que aparece en CA es del mismo valor que la intensidad de CC que recorre el mismo circuito.

En forma compleja:

V0 = R0 · I0

Al circular una corriente alterna por una resistencia da lugar a una tensión alterna en sus extremos quedando ambas (V e I) en fase

Sus valores se resumen en la siguiente tabla:

Valor Eficaz Valor Complejo Valor Instantaneo Impedancia

I I0 i(t)= I·√2·sen(ωt) Z = R

Z0 = R V V0 v(t)= V·√2·sen(ωt)

Ejemplo:

Calcula e indica en forma compleja la tensión, la impedancia y la intensidad del siguiente circuito.

El valor complejo de la tensión será:

V = 280/√290 = 19890 V

El valor de la impedancia será:

R = 100

Por la Ley de Ohm la intensidad será:

I = V/ZR = 19890 /100 = 19.890 A

Circuito L


fuente de CA alimenta un receptor inductivo puro.

Para el estudio del comportamiento de la bobina vamos a partir del hecho de que su resistencia es cero. Aunque ya dijimos que esto estrictamente es imposible, ya que los conductores con los que se construyen habitualmente las bobinas son de cobre, por lo que siempre tienen una determinada resistencia.

Particularizando la ley de Ohm generalizada (V = Z · I) para el caso de una bobina:

V = XL · I

En forma compleja:

V90 = XL90 · I0

Ilustración 2V e I en un receptor L

Al circular una corriente alterna por una bobina da lugar a una tensión alterna en sus extremos, que está adelantada 90º respecto a la intensidad que circula por ella


Valor Eficaz Valor Complejo Valor Instantáneo Impedancia

I I0 i(t)= I·√2·sen(ωt) Z = XL = ω · L

V V90 v(t)= V·√2·sen(ωt+π/2) Z90 = (ω·L)j

Ejemplo:



V = 280/√290 = 19890 V


XL = 1090


I = V/ZR = 19890 /1090 = 19.80 A

(Como se ve sólo se distingue del caso resistivo en el desfase)

Circuito C


fuente de CA alimenta un receptor capacitivo puro.

Para el estudio del comportamiento del condensador nuevamente vamos a partir del hecho de que su resistencia es cero.

Particularizando la ley de Ohm generalizada (V = Z · I) para el caso de un condensador:

V = (1/ (ω·C))· I

En forma compleja:

V-90 = XC-90 · I0

Al circular una corriente alterna por un condensador da lugar a una tensión alterna en sus extremos, retrasada 90º respecto a la intensidad que circula por él



I I0 i(t)= I·√2·sen(ωt) Z = XC = 1/(ω·C)

V V-90 v(t)= V·√2·sen(ωt-π/2) Z-90 = - (1/(ω·C))j

Ejemplo:



V = 280/√290 = 19890 V


XC = 10-90


I = V/ZR = 19890 /10-90 = 19.8180 A

(Como se ve sólo se distingue de los casos anteriores)

Observar que es igual el resultado de I180 y V90 al de I0 y V-90, porque lo que importa son los desfases (90º de adelanto de la I), es decir, el ángulo relativo entre ambas magnitudes.

Circuito RL


fuente de CA alimenta un receptor parcialmente resistivo y parcialmente

inductivo..

En la práctica es difícil encontrar circuitos que sean exclusivamente inductivos, ya que para la fabricación de las bobinas se utilizan hilos metálicos conductores (normalmente de cobre) que tienen, como vimos en la unidad 1, una cierta resistencia.

Este tipo de circuitos es muy común, como es el caso de los motores, circuitos de arranque en las lámparas fluorescentes, contactores, electroimanes, etc.

En la figura se ha representado el circuito equivalente de una bobina real, que en este caso está formado por una resistencia de valor óhmico R conectada en serie con una bobina pura de reactancia XL

Particularizando la ley de Ohm generalizada (V = Z · I) para el caso de un circuito RL:

En forma compleja:

Vφ = Zφ · I0

Al circular una corriente alterna por una resistencia y una bobina en serie da lugar a una tensión alterna en extremos del circuito, cuyo valor es la suma vectorial (geométrica) de las tensiones parciales que se dan en la resistencia VRy la bobina VL (ver el triángulo de tensiones de la figura):

VR = R · I

VL = XL · I

V = VR + VL

La tensión en extremos de un circuito RL está adelantada φº respecto a la intensidad que circula por él, siendo 0º < φ < 90º como se muestra en la figura



I I0 i(t)= I·√2·sen(ωt)

V Vφ v(t)= V·√2·sen(ωt+φ) Zφ = R+ (ω·L)j

Ejemplo:



V = 280/√290 = 19890 V


Z = R +XLj = 8 + 6j= 1036,9


I = V/ZR = 19890 /1036,9 = 19.853.1 A

Y las tensiones parciales quedan:

VR = I · R = 19.8126,9 · 80 = 158.4126,9 V

VL = I · XL = 19.8126,9 · 690 = 118.8216,9 V

Se deja al alumno la representación fasorial y temporal del problema

Observaciones:

Notar que la suma aritmética de las tres no coincide con la tensión total

(158.4+118.8≠198) Se deja al alumno la comprobación geométrica de la suma

Circuito RC


fuente de CA alimenta un receptor parcialmente resistivo y parcialmente

capacitivo.

Al igual que ocurría con el circuito RL, aquí aparece una sola corriente eléctrica I que queda limitada por la impedancia del circuito Z

En la figura se ha representado el circuito formado por una resistencia de valor óhmico R conectada en serie con un condensado de reactancia XC,

Particularizando la ley de Ohm generalizada (V = Z · I) para el caso de un circuito RC:

En forma compleja:

V-φ = Z-φ · I0

Al circular una corriente alterna por una resistencia y un condensador en serie da lugar a una tensión alterna en los extremos del circuito (total) que es la suma vectorial (geométrica) de las tensiones parciales que se dan en la resistencia VR y el condensador VC

VR = R · I

VC = XC · I

V = VR + VC

La tensión en extremos de un circuito RC está retrasada -φ º respecto a la intensidad que circula por él, siendo -90º < - φ < 0º




V V-φ v(t)= V·√2·sen(ωt- φ) Z-φ = R- (1/ω·C)j

Ejemplo:



V = 280/√290 = 19890 V


Z = R - XCj = 8 - 6j= 10-36,9


I = V/ZR = 19890 /10-36,9 = 19.8126,9 A


VR = I · R = 19.8126,9 · 80 = 158.4126,9 V

VC = I · XC = 19.8126,9 · 6-90 = 118.836,9 V


Observaciones:

Notar que la suma aritmética de las tres no coincide con la tensión total

(158.4+118.8≠198) Se deja al alumno la comprobación geométrica de la suma

Circuito RLC Analizaremos en este apartado cómo se resuelve un

circuito eléctrico donde una fuente de CA alimenta un

receptor parcialmente resistivo, parcialmente inductivo y

parcialmente capacitivo.

En el caso más general se considera un receptor donde aparecen en serie una resistencia R, una bobina con una reactancia inductiva XL y un condensador con una reactancia capacitiva XC.

Particularizando la ley de Ohm generalizada (V = Z · I) para el caso de un circuito RLC:

En forma compleja:

Vφ = Z φ · I0

Al circular una corriente alterna por una resistencia, una bobina y un condensador en serie da lugar a una tensión alterna en

extremos del circuito, cuyo valor es la suma vectorial de la tensión parcial en cada elemento.

En la siguiente figura se ha dibujado el diagrama vectorial correspondiente a este circuito. Al situar en el diagrama las tensiones parciales de la bobina y condensador (VL y VC) se observa que éstas quedan en oposición, por lo que la suma vectorial de estas tensiones se convierte en una resta aritmética.

VR = R · I

VL = XL · I

VC = XC · I

V = VR + VL + VC

Como se ve en el triángulo de la figura, se pueden dar los siguientes casos:

XL > XC: Circuito inductivo, la intensidad queda retrasada respecto de la tensión. XL < XC: Circuito capacitivo, la intensidad queda adelantada respecto de la tensión. XL = XC: Circuito resistivo, la intensidad queda en fase con la tensión (en este caso se

dice que hay resonancia. Será objeto de un estudio posterior).

La tensión en extremos de un circuito RLC está defasada φ º respecto a la intensidad que circula por él, siendo -90º < φ < 90º




V V±φ v(t)= V·√2·sen(ωt±φ) Z±φ = R +[(ω·L) - (1/(ω·C))]j

Ejemplo:



V = 280/√290 = 19890 V


Z = R +(XL-XC) j = 8 + (6-12)j = 8 -6 j = 10-36,9


I = V/ZR = 19890 /10-36,9 = 19.8126,9 A


VR = I · R = 19.8126,9 · 80 = 158.4126,9 V

VL = I · XL = 19.8126,9 · 690 = 118.8216,9 V

VC = I · XC = 19.8126,9 · 12-90 = 237.636,9 V


Observaciones:

Notar que la suma aritmética de las tres no coincide con la tensión total (158.4+118.8+237.6 ≠198) Se deja al alumno la comprobación geométrica de la suma

Ver que en algún elemento, la tensión parcial puede ser incluso mayor que la tensión total (237.6>198)

Como se puede ver es idéntico resultado al del ejemplo anterior del circuito RC, pues se compensan la bobina y el condensador, quedando un efecto "exterior" similar (I del circuito), aunque los valores "internos" son distintos (V parciales))

Potencias. Triángulo de potencias

Al igual que obtuvimos el triángulo de tensiones a partir del triángulo de impedancias, a partir del triángulo de tensiones se puede obtener un triángulo semejante, para las potencias.

Para ello sólo hay que multiplicar por I cada lado, pudiéndose observar que pasan a ser productos V·I, que es lo mismo que potencia, por lo que el triángulo resultante se denomina triángulo de potencias, que representa los tres tipos de potencias que pueden aparecer en un circuito RLC y la relación entre ellas:

Potencia Activa (P), Potencia Reactiva (Q) Potencia Aparente (S).


A continuación explicamos cada una de esas potencias y lo que representan:

Potencia activa: Es la potencia que representa la capacidad de un circuito para realizar un proceso de transformación de la energía eléctrica en trabajo. Los diferentes dispositivos eléctricos existentes convierten la energía eléctrica en otras formas de energía tales como: mecánica, lumínica, térmica, química, etc. Esta potencia es, por lo tanto, la realmente consumida por los circuitos.

Se designa con la letra P y se mide en vatios (W).

De acuerdo con su expresión, la ley de Ohm y el triángulo de impedancias:

P = V·I·cosφ = I·Z·I·cosφ = I2·Z·cosφ =I2·R

se comprueba que la potencia activa es debida a los elementos resistivos.

Potenciareactiva: Esta potencia no tiene tampoco el carácter de realmente consumida y sólo aparecerá cuando existan bobinas o condensadores en los circuitos. Es la encargada de generar el campo magnético que requieren para su funcionamiento los equipos inductivos como los motores y transformadores o de crear el campo eléctrico para cargar los condensadores

La potencia reactiva tiene un valor medio nulo, por lo que no produce trabajo útil.

Se mide en voltamperios reactivos (VAR) y se designa con la letra Q.

A partir de su expresión:

Q = V·I·senφ = I·Z·I·senφ = I2·Z·senφ =I2·X

se comprueba que esta potencia es debida únicamente a los elementos reactivos.

Potencia aparente: La potencia aparente de un circuito eléctrico de corriente alterna, es la suma de la energía que disipa dicho circuito en cierto tiempo en forma de calor o trabajo y la energía utilizada para la formación de los campos eléctricos y magnéticos de sus componentes.

Esta potencia no es la realmente consumida, salvo cuando el factor de potencia es la unidad (cos φ=1), y nos señala que la red de alimentación de un circuito no sólo ha de satisfacer la energía consumida por los elementos resistivos, sino que también ha de contarse con la que van a satisfacer la demanda de bobinas y condensadores.

Se la designa con la letra S y se mide en voltiamperios (VA).

La potencia aparente S es la suma geométrica de las potencias activa y reactiva. Por trigonometría, a partir de triángulo de potencias se ve que se puede calcular como:

S = V·I = P·cos φ = Q·sen φ = √(P2 + Q2)

El triángulo de potencias nos indica que la potencia aparente en forma compleja se expresa como:

S = P + Q j

Siendo:

P, la parte real de S Q, la parte imaginaria de S

En resumen, se pueden obtener, en circuitos serie, el siguiente cuadro de potencias:

Tipo de circuito Potencia activa

Potencia reactiva Potencia Aparente

Circuito R P = R · I2 Q = 0 S = P

Circuito L P = 0 QL = XL · I2 S = QL

Circuito C P = 0 QC = XC ·I2 S = QC

Circuito RL P = R · I2 QL = XL · I2 S = R + QL j

Circuito RC P = R · I2 QC = XC ·I2 S = R + QC j

Circuito RLC P = R · I2 Q = QL - QC = (XL - XC) · I2

S = R + Q j

Se deja al alumno, como actividad propuesta, calcular cómo quedaría el cuadro anterior si se consideraran los distintos elementos ideales paralelos, en vez de serie. Saca tus propias conclusiones.

Potencia total de un circuito: Teorema de Boucherot

Existe un teorema que nos permitirá resolver, de una manera muy sencilla y sistemática, el cálculo total de potencias en circuitos de CA donde hay más de una carga.

Este teorema se denomina Teorema de Boucherot, y establece que las potencias activa y reactiva totales en un circuito, vienen dadas por la suma de las potencias activa y reactiva, respectivamente, de cada una de sus cargas.

De forma analítica:

Por ejemplo, para tres cargas:

PT = Pl + P2 + P3

QT = Q1 + Q2 + Q3

(si hay cargas capacitivas su potencia reactiva se resta a las inductivas)

Pero, ¡¡cuidado!! las dos expresiones anteriores no implican que la potencia aparente total de un sistema se obtenga como suma de las potencias aparentes parciales (error muy frecuente entre el alumnado):

Y esto es debido a que así como las potencias activa y reactiva sí se puede sumar analíticamente (sólo números), al estar en la misma dirección (horizontales y verticales respectivamente), la potencia aparente no se puede, al no estar en la misma dirección, por lo que se han de sumar geométricamente (en forma de complejos)

Si se quiere calcular analíticamente, la potencia aparente total hay que calcularla por el teorema de Pitágoras (Hipotenusa2 = cateto12 + cateto22)

De donde, inmediatamente se deduce, por trigonometría, que:

CosφT = PT / ST

También se pueden resolver estos circuitos gráficamente:

1. hay que averiguar la potencia activa y reactiva de cada uno de los receptores.

2. Se dibuja el triángulo de potencias de cada una de las cargas (triángulos de potencia parciales)

3. Se procede a la suma vectorial de las potencias. 4. Se obtiene el triángulo total de potencias, de donde se pueden obtener

todos los resultados buscados (ST, PT, QT, cosφ)

Ejemplo:

De un cuadro secundario de distribución de un local comercial parte una serie de cargas con las siguientes características:

Cargas Potencia activa Potencia reactiva

Motor 1 2 kW 5 kVAr (ind)

Motor 2 5 kW 7 kVAr (ind)

Motor 3 7 kW 5 KVAr (cap)

Calcular:

1. Potencia eléctrica del cuadro (activa, reactiva y aparente). 2. Factor de potencia global del cuadro. 3. Dibujar el triángulo de potencias.

Solución:

1. PT = PM1 + PM2 + PM3 = 2 + 5 + 7 = 14 kW

QT = QM1 + QM2 + QM3 = 5 + 7 - 5 = 7 kVAr

ST = √(PT2+QT

2) = √(142+72) = 15.6 kVA

2. CosφT = PT / ST = 14 / 15.6 = 0.90 3. El tamaño de los catetos de los triángulos deberá ser proporcional a los valores

de potencias activas y reactivas de cada uno de los receptores, si queremos hacer el cálculo gráficamente, o aproximado si solo es para hacernos una idea de cómo queda planteado el problema (lo más usual)

Factor de potencia

Hay un parámetro de gran interés derivado de todo lo anterior, por su importancia práctica en los sistemas electrotécnicos de CA: el denominado factor de potencia o cos φ.

Deduciremos este parámetro desde dos conceptos distintos y veremos el por qué recibe dos nombres distintos aunque se trate de lo mismo:

Se define factor de potencia, f.d.p., de un circuito de corriente alterna, como la relación entre la potencia activa, P, y la potencia aparente, S:

f.d.p. = P / S

Se define como "cos φ", (se lee "coseno de fi") el coseno del ángulo que forman los fasores de la intensidad y la tensión.

De acuerdo con el triángulo de potencias se puede calcular su valor:

S = V·I

P = V·I·cos φ

Luego sustituyendo S en la fórmula de la P:

P = S· cos φ

De donde:

cos φ =P / S

Por tanto, se ve que los conceptos factor de potencia y cos φ son dos maneras de expresar un mismo parámetro, que describe la cantidad de energía eléctrica que se ha convertido en trabajo.

Influencia del tipo de cargas El valor del f.d.p. viene determinado por el tipo de cargas conectadas en una

instalación, y solamente puede tomar valores entre 0 y 1 (es un parámetro

adimensional).

Dependiendo del tipo de carga, el factor de potencia puede ser: adelantado, retrasado o igual a 1.

Así, nos encontramos, para las cargas puras vistas anteriormente los siguientes resultados:

En un circuito con carga resistivapura recorrido por una corriente alterna, la intensidad y la tensión están en fase (φ=0º) esto es, cambian de polaridad en el mismo instante en cada ciclo, siendo por lo tanto el factor de potencia la unidad. (si φ=0 ( cos φ= cos 0 = 1)

En un circuito con carga inductivapura recorrido por una corriente alterna, la intensidad y la tensión están en cuadratura (φ=-90º), siendo nulo el factor de potencia. (si φ=-90 cos φ= cos (-90) = 0.

En un circuito con carga capacitivapura recorrido por una corriente alterna, la intensidad y la tensión también están en cuadratura (φ=90º), siendo nulo el factor de potencia. (si φ=90 cos φ= cos 90 = 0).

En la práctica los circuitos no pueden ser puramente resistivos ni reactivos, observándose desfases, más o menos significativos, entre las formas de onda de la corriente y el voltaje:

Así, si el f.d.p. está cercano a la unidad, se dirá que es un circuito fuertemente resistivo por lo que su f.d.p. es alto. Es el caso de las lámparas incandescentes.

Si está cercano a cero que es fuertemente reactivo y su f.d.p. es bajo. Cuando el circuito sea de carácter inductivo, caso más común, se hablará de un f.d.p. en

retraso,

Las cargas inductivas, tales como transformadores, motores de inducción y, en general, cualquier tipo de inductancia (como las que acompañan a las lámparas fluorescentes) generan potencia reactiva con la intensidad retrasada respecto a la tensión.

Cuando el circuito sea de carácter capacitivo, se dice en adelanto.

Las cargas capacitivas, tales como bancos de condensadores o cables enterrados, generan potencia reactiva con la intensidad adelantada respecto a la tensión.

Importancia práctica

El tener un f.d.p. cercano a la unidad, tiene una enorme importancia práctica,

desde múltiples puntos de vista, pero sobre todo económicos

Un receptor que debe de producir una potencia P lo puede hacer absorbiendo de la línea una potencia Q o Q' tal como se ve en el esquema de debajo, con cos φ y cos φ' respectivamente (φ < φ' ( cos φ > cos φ'). (Haz una prueba con la calculadora con dos ángulos cualesquiera, por ejemplo 30 y 60º para cerciorarte.)

Sin embargo en el primer caso la intensidad absorbida es menor que en el segundo:

S = V · I < S = V · I' --> I < I'

con la consiguiente reducción de las pérdidas por efecto Joule. (Recuerda: a menor I, menor R·I2)

Ejemplo:

Para comprender todo lo anterior se van a considerar dos receptores con la misma potencia, 1000 W, conectados a la misma tensión de 230 V, pero el primero con un f.d.p. alto, cosφ1 = 0,96, y el segundo con uno bajo, cosφ2 = 0,25.

Primer receptor:

I1= P1 / (V · cos φ1) = 1000 / (230 · 0.96) = 4.53 A

S1= V · I1 = 230 · 4.53 = 1042 VA

Segundo receptor

I2 = P2 / (V · cos φ2) = 1000 / (230 · 0.25) = 17.39 A

S1 = V · I1 = 230 · 17.39 = 3400 VA

Comparando ambos resultados, se obtienen las siguientes conclusiones:

Un f.d.p. bajo comparado con otro alto, origina, para una misma potencia, una mayor demanda de intensidad, lo que implica la necesidad de utilizar cables de mayor sección.

Las pérdidas por calentamiento (efecto Joule) dependen del factor de potencia de la instalación. A mejor factor de potencia (más próximo a 1), menores pérdidas, como se puede estimar en el gráfico de la figura:

La potencia aparente es tanto mayor cuanto más bajo sea el f.d.p., lo que origina una mayor dimensión de los generadores.

Todo lo anterior conlleva un mayor coste de la instalación. Esto no resulta práctico para las compañías eléctricas, puesto que el gasto es mayor para un f.d.p. bajo. Es por ello que las compañías suministradoras penalizan la existencia de un f.d.p. bajo, obligando a su mejora o imponiendo costes adicionales.

Por tanto, los inconvenientes que plantea el tener un bajo factor de potencia se pueden resumir en:

Mayor consumo de corriente. Aumento de las pérdidas e incremento de las caídas de tensión en los conductores. Sobrecarga de transformadores, generadores y líneas de distribución. Incremento de la facturación eléctrica.

La conclusión por tanto es clara: en una instalación nos interesa tener valores altos (cercanos a la unidad) del factor de potencia

El valor ideal del factor de potencia es 1, esto indica que toda la energía consumida por los aparatos ha sido transformada en trabajo, es decir, S coincide con P y por tanto Q debe ser 0.

En una instalación se puede llegar a esta situación mediante la "corrección del factor de potencia" que se desarrolla en el siguiente apartado.

Corrección del factor de potencia A menudo es posible ajustar el factor de potencia de un sistema a un valor muy

próximo a la unidad. Esta práctica es conocida como mejora o corrección del

factor de potencia

Las pérdidas de energía en las líneas de transporte de energía eléctrica aumentan con el incremento de la intensidad (por efecto Joule, como ya sabemos). Como se ha comprobado, cuanto más bajo sea el f.d.p. de una carga, se requiere más corriente para conseguir la misma cantidad de energía útil. Por tanto, como ya se ha comentado, las compañías suministradoras de electricidad, para conseguir una mayor eficiencia de su red, requieren que los usuarios, especialmente aquellos que utilizan grandes potencias, mantengan los factores de potencia de sus respectivas cargas dentro de límites especificados, estando sujetos, de lo contrario, a pagos adicionales por energía reactiva. (Se estudiará en el módulo de "Instalaciones de Enlace y Centros de Transformación")

La mejora del factor de potencia debe ser realizada de una forma cuidadosa con objeto de mantenerlo lo más alto posible, pero sin llegar nunca a la unidad, ya que en este caso se produce el fenómeno de la resonancia que puede dar lugar a la aparición de tensiones o intensidades peligrosas para la red. (Se estudiará a continuación). Es por ello que en los casos de grandes variaciones en la composición de la carga es preferible que la corrección se realice por medios automáticos.

Se realiza mediante la conexión, a través de conmutadores, de bancos (baterías) de condensadores o de inductores.

Supongamos una instalación de tipo inductivo, como por ejemplo una instalación a base de motores, al ser el caso más representativo, cuyas potencias P, Q y S forma el triángulo de la figura.

Si se desea mejora el cos φ a otro mejor cos φ', sin variar la potencia activa P, se deberán conectar un banco de condensadores en paralelo a la entrada de la instalación para generar una potencia reactiva Qc de signo contrario al de Q, para así obtener una potencia reactiva final Q'.

De la figura se deduce que la potencia reactiva del condensador ha de ser:

QC= Q - Q' = P (tg φ - tg φ')

y como:

QC = V · IC = V2 · ω · C

se tiene que:

V2 · ω · C = P (tg φ - tg φ')

de donde se deduce que la capacidad del condensador debe ser:

C = P · (tg φ - tg φ') / (V2 · ω)

Siendo:

C, la capacidad de la batería de condensadores, en F P, la potencia activa de la instalación, en W φ, el desfase actual de la instalación, en rdn (o grados) φ', el desfase deseado para la instalación, en rdn (o grados) V, la tensión de la instalación, en V ω, la pulsación, en rdn/s

En las siguientes figuras se puede comprobar como la intensidad que circula por el motor disminuye con la batería de condensadores, así como la Q:

Los beneficios por corregir el factor de potencia se resumen en:

Disminución de las pérdidas en conductores. Reducción de las caídas de tensión. Aumento de la disponibilidad de potencia de transformadores, líneas y

generadores. Incremento de la vida útil de las instalaciones Reducción de los costos por facturación eléctrica. Mejor rendimiento de la instalación

Perturbaciones en las ondas senoidales

Aunque hemos hecho el estudio para ondas senoidales perfectas, en la realidad de la Electrotecnia, algunas perturbaciones de la red hacen que las ondas no sean totalmente senoidales

Un sistema eléctrico monofásico ideal debe proporcionar una tensión con las siguientes características:

Amplitud constante Forma de onda senoidal Frecuencia constante

Sin embargo, un sistema eléctrico real, que contiene cargas no lineales tales como rectificadores, algunas formas de iluminación eléctrica, hornos de arco voltaico, equipos de soldadura,..., no cumple con esas características ideales, sino que presentan una serie de alteraciones o perturbaciones que alteran a la calidad del servicio,

A continuación, y sin profundizar, pues su estudio queda fuera de nuestro nivel, se definen las principales perturbaciones (puntuales) en las redes senoidales, denominadas genéricamente perturbaciones armónicas:

Variaciones de frecuencia de la alimentación (power-frequency variations): Alteración del equilibrio entre la carga y las fuentes de alimentación.

Variaciones lentas de tensión: Alteración en la amplitud, y, por tanto, en el valor eficaz de la onda de tensión.

Variaciones rápidas de tensión: Cambio rápido en una tensión entre dos condiciones estables. Es originado por la conexión y la desconexión de una gran carga.

Sobretensiones (Swell): Aumento en la tensión por sobre un 110% del valor nominal, por más de un minuto.

s

Subidas de tensión (overvoltage): Aumento de tensión instantáneo (lo opuesto a los huecos de tensión).


Sobretensiones transitorias (transient overvoltage): Variación brusca del valor instantáneo de la amplitud de la tensión, que pueden a veces llegar a ser varias veces superior al valor nominal de ésta, y cuyo valor oscila entre algunos microsegundos y 10 mseg., lo que equivale a medio ciclo de la onda senoidal.

Microcortes: Falta de tensión de una duración muy breve (generalmente del orden de mseg, en ningún caso superiores a 10 seg.).

Huecos de tensión (voltage dip, sag): Reducción temporal de una tensión por debajo de un umbral. La duración de los fenómenos está limitada a 10 segundos.

Subtensiones: Disminución del nivel de tensión por debajo del 90% del valor nominal, durante más de un minuto.

Interrupciones de tensión (interruption): Aislamiento de la red de toda fuente de suministro durante un tiempo muy corto.

Ruido (Noise): Distorsión de alta frecuencia en la forma de onda del tensión

Muescas (Notching): Perturbación de polaridad opuesta al forma de onda normal, (que se substrae de la forma de onda), de duración de menos de medio ciclo.

Fluctuaciones de tensión (voltage fluctuacion): Serie de variaciones periódicas o series de cambios aleatorios en la tensión de la red eléctrica, es decir, variaciones periódicas del valor eficaz o valor de pico de tensión entre dos niveles consecutivos que se mantienen durante un tiempo finito no especificado. Su duración va desde varios mseg. hasta unos 10 seg., y con una amplitud que no supere el +/- 10%del valor nominal.

Su efecto más perceptible es el parpadeo de la luminosidad en las lámparas.

Flicker: Percepción de la variación de la luminosidad de una lámpara experimentada por el ojo humano, causado por fluctuaciones de tensión. Depende fundamentalmente de la amplitud, frecuencia y duración de las fluctuaciones de tensión que lo causan. Éstas oscilan entre los 0,5 Hz y los 30 Hz.

Desequilibrios de tensión (Voltage unbalance): Diferencia de amplitud de la parte positiva y la negativa de una señal eléctrica.

Armónicos

Por ser de gran importancia, dedicamos un apartado a una de las perturbaciones

más importantes de las redes de CA: los armónicos, ya que son distorsiones

recurrentes de la forma de onda, es decir, permanentes en el tiempo.

Los armónicos son tensiones o corrientes de frecuencia múltiplo entero de la frecuencia fundamental (ejemplo:150 Hz en nuestra red de 50Hz).

Por semejanza, se llaman interarmónicos a señales que no son múltiplos enteros (ejemplo:175 Hz en nuestra red de 50Hz). Son de poca importancia, por lo que no se les suele tener en cuenta.

Se dice que existe distorsión armónica cuando debido a la presencia de armónicos en la señal, prácticamente pura, que generan las centrales eléctricas, ésta sufre deformaciones en las redes de alimentación a los usuarios. Aunque la señal sea de 50Hz, ésta contiene componentes de alta frecuencia. Esta distorsión armónica depende de los armónicos presentes, de sus magnitudes y de las fases en las que se encuentren.

Para cuantificar el grado de deformación de una onda se recurre a su análisis frecuencial. Éste se lleva a cabo mediante la transformada rápida de Fourier, un algoritmo de cálculo que nos proporciona los contenidos de las diferentes ondas senoidales puras que componen la onda deformada. La teoría de Fourier describe cómo una onda periódica puede descomponerse en suma de señales periódicas de frecuencia múltiplos enteros de la fundamental.

A los armónicos se les designa normalmente por su orden, un número que resulta de la relación entre su propia frecuencia y la de la componente fundamental.

Los contenidos o tasas de los diferentes armónicos de tensión que constituyen una onda deformada se expresan en forma de porcentajerespecto de la componente fundamental, de acuerdo con la siguiente relación:

Vn (%) = 100 · Vn / V1

Siendo:

Vn, la amplitud del armónico de orden n, en V V1, la amplitud de la componente fundamental de la onda de tensión, en V.

La siguiente figura muestra una onda distorsionada formada por un 80% de señal fundamental y un 20% del tercer armónico.

En relación con los armónicos, se han definido tasas que no deben ser sobrepasadas, en el tiempo, en un determinado porcentaje, que expresamos en función de lo que se llama el factor de distorsión armónica total (THD Total Harmonic Distortion), que nos indica el nivel porcentual de distorsión armónica con respecto de la señal principal, y viene dado por la expresión:

La tasa de distorsión total (THD%) admitida es del 3% para Alta Tensión y del 8% para Media y Baja Tensión, entendiendo como Alta Tensión a tensiones superiores a 30kV, Media Tensión las comprendidas entre 1 y 30kV, y Baja Tensión a tensiones inferiores a 1kV.

Todo lo anterior hace que los equipos de medida típicos den resultados incorrectos cuando tratan de medir parámetros de AC en un circuito con cargas que requieran corrientes no-sinusoidal.

Debe usarse un multímetro con RMS verdadero ("verdadero valor eficaz") para medir las corrientes y voltajes RMS reales (y por tanto la potencia aparente).

Igualmente, para medir la potencia real o la reactiva, debe usarse un vatímetro diseñado para trabajar adecuadamente con corrientes no sinusoidales.

Resonancia

Ya vimos anteriormente que la mejora del factor de potencia debe ser realizada de una forma cuidadosa con objeto de mantenerlo lo más alto posible, pero sin llegar nunca a la unidad, ya que en este caso pueden aparecer tensiones o intensidades peligrosas para la red. Es el fenómeno de la resonancia.

La resonancia en Electricidad es un fenómeno que se produce en un circuito en el que existen elementos reactivos (bobinas y condensadores) cuando es recorrido por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule, en caso de estar ambos en serie o se haga máxima si están en paralelo.

Describiremos detalladamente ambos casos en los siguientes apartados.

Circuito RLC serie

En un circuito serie RLC, existirá una cierta frecuencia a la que se igualen la

inductancia y la capacitancia.

Dado que la inductancia depende directamente de la frecuencia mientras la capacitancia lo hace inversamente, al aumentar la frecuencia, crecerá la primera y se reducirá la segunda:

Inductancia: XL = ω · L = 2 · π · f · L -->Si f aumenta, aumenta XL. Capacitancia: XC = 1/(ω · C) = 1/(2 · π · f · C) --> Si f aumenta, disminuye XC.

En un circuito RLC serie:

La intensidad es la misma en los tres elementos. La tensión está en fase con la intensidad en la resistencia, atrasada 90º en el condensador

y adelantada 90º en la bobina.

Para el caso particular de que f=0 (CC) la inductancia vale cero (cortocircuito) y la capacitancia infinito (circuito abierto), con lo que no habrá problema al reducirse el circuito a un circuito abierto y no circular corriente.

Pero en un caso general (f≠0), en un circuito serie RLC, existirá una cierta frecuencia a la que se igualen y anulen (por ser opuestas) la inductancia y la capacitancia. A esa frecuencia la impedancia del circuito será mínima y de un valor igual a la resistencia del mismo:

XL = XC ( Z = √(R2 + (XL - XC)2) = √R2 = R

A esa frecuencia la tensión a la que queda aplicado el condensador es igual a la que queda aplicada la bobina, pero opuesta (desfasada 180º), por lo que ambas se anulan dando la impresión de que la única tensión aplicada es la de la resistencia

XL = XC --> VL = - VC --> VT = VR

A esta frecuencia se le llama frecuencia de resonancia:

XL = XC --> ω · L = 1/ (ω · C) --> 2 · π · fr · L = 1 / (2 · π · fr · C) --> fr = 1 / (2·π·√(L·C))

Cuando un circuito serie entra en resonancia, la intensidad sólo está limitada por la resistencia y puede tomar un valor muy alto.

Aún cuando las tensiones en la bobina y el condensador se igualan y se anulan, siguen existiendo y pueden tener valores muy altos y peligrosos.

Por los motivos anteriores, en Electrotecnia el fenómeno de resonancia suele ser muy perjudicial y obliga a proyectar con cuidado las redes eléctricas para que a la frecuencia de transmisión de la energía (50 Hz en España) no puedan producirse fenómenos de este tipo, que darían lugar a sobretensiones en el sistema con el posible deterioro de los aislamientos en las máquinas eléctricas y a sobreintensidades, que harían desconectar las redes, por actuación de las protecciones, o en su defecto, a calentamientos inadmisibles.

Circuito RLC paralelo

En un circuito paralelo RLC, existirá una cierta frecuencia a la que se igualen la

inductancia y la capacitancia.

En un circuito RLC paralelo:

La tensión es la misma en los tres elementos. La intensidad está en fase con la tensión en la resistencia, atrasada 90º en la bobina y

adelantada 90º en el condensador.

A esa frecuencia que vamos buscando, la intensidad que circula por el condensador es igual a la que circula por la bobina, pero opuesta (desfasada 180º), por lo que ambas se anulan dando la impresión de que la única intensidad que circula es la que pasa a través de la resistencia.

XL = XC --> IL = - IC --> IT = IR

A esta frecuencia se le llama frecuencia de resonancia, (fr):

XL = XC --> ω · L = 1/ (ω · C) --> 2 · π · fr · L = 1 / (2 · π · fr · C) --> fr = 1 / (2·π·√(L·C))

Cuando al variar la frecuencia un circuito paralelo entra en resonancia, su impedancia se hace máxima, y la intensidad que sale al exterior es la que pasa por la resistencia. Sin embargo, a pesar de que la intensidad que circula por el condensador se anula con la que pasa por la bobina, estas intensidades existen y pueden ser muy altas y peligrosas.

Se ve que la expresión de la frecuencia de resonancia serie y paralelo coincide.

Ejemplos

Se ven a continuación un par de ejemplo para mejor comprensión del fenómeno

de la resonancia

Resonancia serie: Calcula la intensidad y la tensión en cada elemento en un circuito serie formado por una resistencia de 1Ω , una bobina de 1 H y un condensador de 100 µF, cuando está alimentado a 230V y entra en resonancia.

1. fr= 1 / (2·π·√(L·C)) = 1/ (2·π·√(1·100·10-6)) = 15.9155 Hz --> ω = 2 · π · fr = 2 · π · 15.9155 = 100

2. Z = √(R2 + (XL - XC)2) = R = 1 Ω --> I = V / Z = 230 / 1 = 230 A 3. R = 1 Ω --> VR= R · I = 230 V 4. XL = ω · L = 100 · 1 = 100 Ω --> VL= XL · I = 100 · 230 = 23000 V 5. XC = 1/ (ω · C) = 1 / (100 · 100·10-6) = 100 Ω --> VC= XC · I = 100 · 230 =

23000 V

¡¡Aunque la alimentación es de 230V en la bobina y en el condensador aparecen 23000V!!

Resonancia paralelo: Calcula la intensidad total y la intensidad en cada elemento en un circuito paralelo formado por una resistencia de 100 Ω, una bobina de 1 mH y un condensador de 1000 µ F, cuando está alimentado a 230V y entra en resonancia.

1. fr= 1 / (2·π·√(L·C)) = 1/ (2·π·√(1·1000·10-6)) = 159.155 Hz --> ω = 2 · π · fr = 2 · π · 159.155 = 1000

2. R = 100 Ω --> IR = VT / R = 230 / 100 = 2.3 A --> IT = IR = 2.3 A 3. XL= ω · L = 1000 · 1·10-3 = 1 Ω --> IL= VT / XL = 230 / 1 = 230 A 4. XC= 1/ (ω · C) = 1 / (1000 · 1000·10-6) = 1 Ω --> IC= VT / XC = 230 / 1 = 230 A

Instrumentos de medidas eléctricas de CA

La gran mayoría de los instrumentos de medida vistos en la unidad 3 (CC) también son válidos para medir parámetros.

Como es el caso de los multímetros, por lo que no profundizaremos en su estudio.

En los siguientes apartados sólo se estudiarán equipos que sólo se emplean, normalmente en CA, como son:

El Osciloscopio El Frecuencímetro El Cosímetro El Varímetro El Kilovatihorímetro Contador de energía activa (y reactiva)

Medida de la forma de onda. El osciloscopio Los osciloscopios son instrumentos de medida que permiten medir y mostrar de

manera gráfica las variaciones de una señal en el tiempo, como por ejemplo, su

forma de onda.

En principio, se podría pensar un osciloscopio como un voltímetro con gráficos. Un voltímetro normal tiene una aguja móvil sobre una escala (analógico) o un display numérico (digital) para dar la lectura de la señal de tensión. Un osciloscopio por otra parte tiene una pantalla, mostrando de forma gráfica.

Las principales diferencias entre osciloscopio y voltímetros son las siguientes:

1. Los voltímetros dan una lectura numérica, generalmente valor eficaz. Algunos voltímetros pueden medir además valores de cresta y frecuencia, pero salvo casos excepcionales, no es posible obtener información acerca de la forma de la onda.

2. Los voltímetros generalmente dan medidas de una única señal. Los osciloscopios pueden mostrar dos o más señales a la vez.

Existen dos grandes tipos de osciloscopios: los analógicos y los digitales como se muestran en las siguientes imágenes, aunque los segundos son cada vez más predominantes.

Los osciloscopios representan los valores de las señales eléctricas en forma de coordenadas en una pantalla, en tiempos y el eje Y (vertical) representa tensiones. La imagen obtenida en la pantalla se denomina oscilograma.

En un osciloscopio existen, básicamente, dos tipos de controles que son utilizados como reguladores que ajustan la señal de entrada y permiten, consecuentemepantalla y de esta manera se pueden ver la forma de la señal medida por el osciloscopio, esto denominado en forma técnica se puede decir que el osciloscopio sirve para observar la señal que quiera medir:

El primer control regula el eje X según la resolución del aparato).

El segundo regula el eje Y (vertical) controlando la tensión de entrada (en V, mV, dependiendo de la resolución del aparato).

Estas regulaciones determinan el valor de la escala cuadricular que divide la pantalla, permitiendo saber cuánto representa cada cuadrado de esta para, en consecuencia, conocer el valor de la señal a medir, tanto en tensión como en frecuencia.

Los osciloscopios representan los valores de las señales eléctricas en forma de coordenadas en una pantalla, en la que normalmente el eje X (horizontal) representa tiempos y el eje Y (vertical) representa tensiones. La imagen obtenida en la pantalla se

Senoidal en osciloscopio

En un osciloscopio existen, básicamente, dos tipos de controles que son utilizados como reguladores que ajustan la señal de entrada y permiten, consecuentemepantalla y de esta manera se pueden ver la forma de la señal medida por el osciloscopio, esto denominado en forma técnica se puede decir que el osciloscopio sirve para observar

El primer control regula el eje X (horizontal) y aprecia fracciones de tiempo (s, ms, según la resolución del aparato). El segundo regula el eje Y (vertical) controlando la tensión de entrada (en V, mV, dependiendo de la resolución del aparato).

terminan el valor de la escala cuadricular que divide la pantalla, permitiendo saber cuánto representa cada cuadrado de esta para, en consecuencia, conocer el valor de la señal a medir, tanto en tensión como en frecuencia.

Los osciloscopios representan los valores de las señales eléctricas en forma de la que normalmente el eje X (horizontal) representa

tiempos y el eje Y (vertical) representa tensiones. La imagen obtenida en la pantalla se

En un osciloscopio existen, básicamente, dos tipos de controles que son utilizados como reguladores que ajustan la señal de entrada y permiten, consecuentemente, medir en la pantalla y de esta manera se pueden ver la forma de la señal medida por el osciloscopio, esto denominado en forma técnica se puede decir que el osciloscopio sirve para observar

(horizontal) y aprecia fracciones de tiempo (s, ms, µs, etc.,

El segundo regula el eje Y (vertical) controlando la tensión de entrada (en V, mV, µV, , etc.,

terminan el valor de la escala cuadricular que divide la pantalla, permitiendo saber cuánto representa cada cuadrado de esta para, en consecuencia, conocer el valor de la señal a medir, tanto en tensión como en frecuencia.

Algunas ventajas de los digitales frente a los analógicos son:

Pueden mostrar gran cantidad de información antes del trigger (disparador) Son posibles medidas completamente automáticas, tanto con cursores como sin ellos. Las formas de onda se pueden almacenar indefinidamente. Las formas de onda se pueden transferir a un ordenador para su almacenamiento o

posterior análisis. Se pueden realizar copias en papel o plotter para documentos. Se pueden comparar formas de onda recientes con formas de onda de referencia. La información de la formas de onda se puede procesar matemáticamente.

Si bien su uso es fundamentalmente para circuitos electrónicos, también pueden usarse en circuitos eléctricos.

Medida de la frecuencia. El frecuencímetro Los frecuencímetros son los aparatos destinados a medir la frecuencia de las

señales eléctricas.

Permiten medir la frecuencia en circuitos de CA de cualquier forma de onda.

Los analógicos pueden ser de láminas o de agujas. En ambos casos los rangos de medida suelen ser 45-55 o 47-53 Hz.

Los de aguja indicadora son similares a los ya estudiados, variando la magnitud entre dos valores sobre una escala angular, generalmente de unos 90º, con escalas equidistantes.

Según el sistema de medida utilizado, los frecuencímetros de aguja indicadora pueden clasificarse en:

1. Frecuencímetros electrodinámicos. 2. Frecuencimetros de inducción. 3. Frecuencimetros magnetoeléctricos.

Los de láminas están formados por un número de láminas de igual longitud, generalmente 13, que vibran bajo la acción del campo magnético producido por la bobina de tensión.

Cada lámina es ajustada para vibrar a su valor de frecuencia.

Frecuencímetro de láminas vibrantes en reposo

Frecuencímetro de láminas vibrantes conectado a una red de 50 Hz

Cuando la frecuencia a medir es muy superior (ondas de comunicaciones, radiofrecuencia,...) se emplean aparatos electrónicos. Su estudio queda fuera de nuestro objetivo.

Medida del factor de potencia. El cosímetro Los cosímetros son los instrumentos empleados para la medida del factor de

potencia o cos φ, siendo φ el ángulo de fase entre la tensión y la intensidad.

Este aparato de medida se conecta de forma similar a la de un vatímetro, ya que posee circuitos amperimétricos y voltimétricos.

A continuación se muestran una imagen de un cosímetro analógico de cuadro, donde se puede apreciar que los cuadrantes vienen divididos en dos partes, según que el desfase sea inductivo o capacitivo. También los hay digitales

Una variante de estos aparatos de medida son los fasímetros, que miden directamente el ángulo de desfase φ.

Medida de la potencia reactiva. El varímetro

Al aparecer en CA el concepto de la potencia reactiva, surge la necesidad de medir

dicho parámetro. Se hace mediante los varímetros (o vármetros)

Su principio de funcionamiento y su esquema de conexión para el caso analógico es similar al de los vatímetros (generalmente electrodinámicos), con la diferencia de que, para medir potencia reactiva, se ha de añadir a la bobina móvil (voltimétrica o de tensión), una reactancia, para que su circuito sea muy inductivo (así añadimos un desfase de 90º para convertir el coseno en seno)).

Medida de la energía. El contador de energía activa El vatihorímetro o simplemente contador eléctrico, es un dispositivo que mide el

consumo de energía eléctrica (activa) de un circuito.

Los contadores de energía eléctrica, son utilizados para las medidas de energía eléctrica suministrada a los consumidores industriales y domésticos a partir de la red de distribución eléctrica.

En función del tipo de energía entregada por un generador o absorbida por un consumidor que se quiera medir se puede hacer una primera clasificación de los contadores:

de energía activa (kWh), de energíaaparente (kVAh), de energíareactiva (kvarh).

Según el principio de medida, se dividen, a grandes rasgos, en dos grupos:

Estáticos (Electrónicos): Los medidores electrónicos utilizan convertidores analógico-digitales para hacer la conversión.

Electromecánicos (De inducción): Los medidores electromecánicos utilizan bobinados de corriente y de tensión para crear corrientes parásitas en un disco que, bajo la influencia de los campos magnéticos, produce un giro que mueve las agujas de la carátula.

Por haber sido los más utilizados hasta la actualidad, y por lo didáctico de su funcionamiento se profundizará en su estudio:

Su esquema se muestra en la siguiente figura:

Las corrientes alternas en las bobinas de tensión y corriente del medidor producen campos magnéticos alternos que interactúan con un disco de aluminio e inducen corrientes de Foucault en él, que experimenta un par al girar proporcional a V·I·cos(.

A este par de giro del disco se opone otro generado por un imán permanente proporcional a la velocidad de rotación del disco, que sirve de freno. En el equilibrio, los pares generados y de frenado son iguales,

La velocidad de rotación del disco es, por tanto, proporcional a V·I·cos(, es decir, la potencia a medir.

El eje del disco se conecta mediante un engranaje a un contador mecánico que da, por tanto, una cantidad proporcional a los vatios-hora. Es decir, la integración de la potencia a lo largo del tiempo se realiza sumando las vueltas del disco, cuya velocidad es proporcional a la potencia instantánea, mediante un mecanismo de cómputo o integrador .

Esos mecanismos de cómputo, generalmente son del tipo tambor, de 6 o 7 rodillos, el primero de los cuales, comenzando a contar por la dcha, es accionado por el rotor a través de un tornillo sinfín y un tren de engranajes. La unidad de lectura indicada en el mecanismo de cómputo, debe ser multiplicada, eventualmente, por el factor indicado en la placa de características (10, 100, 1000,...)

No obstante estos equipos analógicos, unos 22 millones actualmente en España, empezarán a desaparecer a partir del 1 de julio de 2007. Los nuevos que se instalen tendrán que ser electrónicos, para permitir su telegestión y la discriminación horaria de los consumos.

La medida está incluida en el Real Decreto que aprobó el Consejo de Ministros el 30 de junio de 2006.

La sustitución de los contadores por aparatos electrónicos capaces de contabilizar los consumos y las potencias máximas en diversos tramos horarios (tarificadores) se justifica en la conveniencia de incentivar el ahorro, favoreciendo que se oriente hacia los periodos en los que menos demanda existe (de noche, fines de semana y festivos) y de permitir la telegestión, que consiste en conectar los equipos electrónicos a un concentrador que transmite a la central de la compañía, y permitirá ver el consumo por hora en cada hogar; controlar lo que consume en horas puntas y horas bajas; contratar en función de esas necesidades; y hacer los contratos con una llamada telefónica.

En las siguientes figuras se muestran diversas fotos de contadores tanto electrónicos como electromecánicos (donde se pueden apreciar todas las partes expuestas anteriormente), así como los distintos tipos de montaje (para cuadro, para carril DIN, para tablero,...), así como algunos esquemas de conexión.

Los contadores se pueden conectar al circuito directamente, o a través de transformadores de medida, cuando las I y las V existentes son elevadas (Las tensiones máximas que soportan los medidores eléctricos son de aproximadamente 600 V y las corrientes máximas pueden ser de hasta 200 A.)

Igualmente existen contadores de energía reactiva, cuyo principio de funcionamiento es muy similar al de los contadores de activa, denominados vatihorímetros, y se emplean para registrar la energía inductiva consumida por receptores industriales

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