temas a desarrollar -...

Material Preparado por Hugo Delfino

Temas a desarrollar

Experimento aleatorio, espacio muestral y resultado.

Eventos (simples y compuestos). Breve teoría de

conjuntos. Definiciones de probabilidad. Propiedades.

Probabilidad condicional. Eventos dependientes e

independientes. Teorema de Bayes.

Variable aleatoria. Caso discreto y continuo. Función

de densidad y de distribución poblacional. Esperanza

y varianza. Propiedades. Distribuciones Binomial,

Poisson, Normal y Student. Distribución normal

estándar. Aplicaciones.


La teoría de probabilidades comienza a desarrollarse en el siglo XVII en

Francia con dos notables matemáticos, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, por

la correspondencia entre ellos sobre un requerimiento de un noble Frances y

jugador Chevalier de Méré.

Se dice que de Méré habia apostado en el lanzamiento de cuatro dados al

menos un 6 aparecerá. El había ganado consistentemente, pero para atraer

a mas gente a jugar, cambió el juego a: en 24 lanzamientos de dos dados, un

par de 6 aparecerá.

Según se cuenta de Méré perdía con 24 lanzamientos y creía que 25

lanzamientos necesarios para hacer el juego favorable a él.

Problemas como estos Pascal y Fermat resolvieron e influyeron con ello a

investigadores como Huygens, Bernoulli, and DeMoivre para establecer la

teoría de probabilidades.

Hoy en día la teoría de probabilidades esta muy desarrollada y es la base de

muchas de las aplicaciones utilizadas para la toma de decisiones

Origen de la Teoría de Probabilidades


El uso de la teoría de probabilidades ayuda para comprender la variabilidad y

de esta forma hace que las organizaciones puedan resolver problemas con

mayor eficiencia y eficacia.

La variabilidad puede observarse en el comportamiento y en le resultado de

muchas actividades, incluso bajo aparentes condiciones de estabilidad.

La variabilidad puede observarse en las características medibles de muchos

procesos.

La teoría de probabilidades es muy útil para resolver problemas de análisis

cuantitativo como ser:

Análisis de decisiones, modelos de regresión, de pronósticos, de

administración de proyectos y de teoría de colas.

Modelación y simulación. Control estadístico de la calidad. Teoría de juegos

Uso de la teoría de Probabilidades


Definiciones

• Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos

estos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrencia

de un evento.

• Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.

· Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene

siempre el mismo resultado.

· Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas

condiciones se obtienen distintos resultados.

• Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de

un experimento.

• Evento: Es una colección de uno o mas resultados de un

experimento.


Definiciones

evento o suceso aleatorio

• Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección

de uno o mas resultados de un experimento.

· E1=Sacar un 5 al tirar un dado

· E2=Sacar un número par al tirar un dado.

· E3=Sacar un número menor que 7 al tirar

un dado=EVENTO CIERTO

· E4=Sacar un número mayor que 6 al tirar un

dado=EVENTO IMPOSIBLE


Definiciones

sucesos compuestos

• Sucesos mutuamente excluyentes:

· Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes

cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la

ocurrencia del otro.

· P(A B)=P(AyB)=P(AB)=0

• Sucesos colectivamente exhaustivos

· Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos

cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre

que se realiza el experimento.

· Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma

de las probabilidades de todos los sucesos deberá ser

igual a 1.


Definiciones

espacio muestral

• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

• Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de

· Listas

– Conjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}

· Diagramas de árbol

– Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas

C

C

S

C

S

S

4-3


Definiciones

espacio muestral

· Tablas rejilla

– Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo

y uno azul

11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

4-3


Definiciones

espacio muestral· Conjuntos ( Diagramas de Venn)

– Se pretende representar a las mujeres, a los

universitarios pero es necesario tener en cuenta que

existen mujeres universitarias.

4-3

A B

mujeresuniversitarios

Mujeres universitarias


Definiciones

espacio muestral· Tablas de doble entrada

–Cuando se tienen dos o mas variables con dos o mas categorías cada una, por ejemplo sexo( hombres y mujeres), nivel socioeconómico (Bajo, Alto).

Bajo Alto

M 40 25 65

H 60 30 90

100 55 155

Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total.


DEFINICION

CLASICA

PROBABILIDAD

CLASICA

DEFINICION

FRECUENCIAL

PROBABILIDAD

EMPIRICA

PROBABILIDAD

OBJETIVA

DEFINICION

SUBJETIVA

PROBABILIDAD

SUBJETIVA

TIPOS DE PROBABILIDAD

4-4

Definiciones de probabilidad


• Se basa en que todos los resultados son

· igualmente probables o equiprobables.

· Mutuamente excluyentes

· Colectivamente exhaustivos

posibles resultados de Número

favorables resultados de Número = evento un de adProbabilid

Definición clasica

Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez

•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}

•Consideremos el evento de que salga una sola cara.

•Probabilidad de una sola cara = {CS, SC}/{CC, CS, SC, SS}=

= 2/4 = ½ = 0,5.


El naturalista francés Buffon lanzó una moneda

4.040 veces. Resultando 2.048 caras, una razón de

2.048/4.040 = 0,5069

El matemático inglés John Kerrich, mientras fue

prisionero de los alemanes durante la Segunda Guerra

Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces. Resultando

5.067 caras, una razón de 0,5067

Alrededor de 1900, el estadístico inglés Karl

Pearson en un acto sin precedentes lanzó una

moneda 24.000 veces. Resultando 12.012 caras,

una razón de 0,5005

Ejemplos de ensayos realizados


• Si realizamos un experimento de lanzar una moneda un cierto

número de veces y calculamos la frecuencia relativa de la

aparición de cara.

• Podremos observar que la frecuencia relativa del suceso cara

tiende a estabilizarse en 0,5.

• A esto lo llamaremos probabilidad de un suceso.

Ley de los grandes números


• Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de

ocurrencia de un evento se determina por observación del número

de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado.

(frecuencia relativa)

nesobservacio de Número

pasado elen ocurrió evento el que vecesde Número = eventoun de adProbabilid

Definición frecuencial

Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que cura

cierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000

vacunos y se curaron 700.

•El espacio muestral será S = {curado; no curado}

•Consideremos el evento de que el vacuno se cure.

•Probabilidad de curado = 700/1000=0,7


• Se quiere estudiar la demanda de camisas en una gran tienda

departamental, para ver los talles que se demandan, para ello se

utilizaron los registros de las ventas diarias del último año y se

obtuvo la siguiente tabla

• ¿Cuál es la probabilidad de vender en un año una camisa de talle

42?

• ¿Cuál es la probabilidad de vender en un año una camisa de talle

41?

Ejemplo

Talle

Número de camisas

vendidas

Frecuencia

Relativa

38 231 0,065

39 343 0,097

40 520 0,147

41 685 0,193

42 897 0,253

43 540 0,152

44 333 0,094

TOTAL 3549 1


• Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo,

ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento,

se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen

saber y entender estimará la probabilidad.

Definición subjetiva

Ejemplos:

•Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato

•Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón

•Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una

compañía se incremente en dos años.


• Independientemente de que definición de probabilidad

utilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientes

tres axiomas.

Axiomas de probabilidades

Axiomas:

•Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número

mayor o igual a cero

)(0 AP

•Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

P(S)=1•Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes

P(A B)=P(A)+P(B)


Consecuencias de los axiomas de

probabilidades

1. P( )=0

2. Si Ā = suceso complementario de A es decir

Ā = S – A, será P(Ā) = 1 – P(A)

3. Si A1 A2, entonces P(A1) P(A2)

4. A se cumple que P(A) 1


Regla general de la suma

• Si A y B son dos sucesos no mutuamente

excluyentes, luego la probabilidad de la unión entre

ambos está dada por la siguiente fórmula.

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A and BA

B

• Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes,

se cumple:

P(A B) = P(A) + P(B)


Un experimento genera

un espacio muestral que

contiene ocho sucesos

E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,

i=1,...,8. Los sucesos A

y B se definen así:

A= {E1,E4,E6}

B= {E3,E4,E5,E6,E7}

Encuentre:

(a) P(A)

(b) P(Ā)

(c) P(A U B)

A B

E1

E4

E6

E7

E3

E5

E8E2

a) P(A)= 3/8

(b) P(Ā)= 5/8

(c) P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A B)

P(A U B)= 3/8 + 5/8 – 2/8= 6/8= 0,75

resultado que es muy fácil verificar

visualmente en el diagrama.

Ejemplo


En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El

sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de

cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos.

¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al

menos una de estas alarmas?

Solución: Se definen los sucesos

A:”El sistema A funciona”

B:”El sistema B funciona”

9,06,08,07,0)(

6,0)(8,0)(7,0)(

BUAP

BAPBPAP

Ejemplo


Independencia

• Dos eventos A y B son independientes cuando se

cumple que la probabilidad conjunta es igual al

producto de las probabilidades marginales.

P(A B) = P(A)*P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

• Probabilidad Condicional es la probabilidad de

ocurrencia de un evento en particular, dado que

otro evento ha ocurrido. La probabilidad

condicional del evento A dado que el evento B ha

ocurrido se escribe P(A|B).


Ejemplo de Independencia y Probabilidad

conjunta y condicionalUna empresa clasifica a sus clientes en función de dos variables, la calificación de tamaño de cada uno según el monto operado en tres categorias (Gran, Mediano y Pequeño) y los días promedio para cobrar una factura ( menos de 15 días, entre 15 y 30 días, más de 30 días).

• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cliente Grande y pague sus facturas en menos de 15 días?

• Se desea saber si hay independencia entre el tamaño del cliente y los días promedio para la cobranza.

• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es un cliente Grande el mismo pague sus facturas en menos de 15 días?

Frecuencias absolutas Pequeña Mediana Grande Total

menos de 15 días 152 50 6 208

entre 15 y 30 días 116 60 12 188

mas de 30 días 87 45 25 157

Total 355 155 43 553


Ejemplo de Independencia y Probabilidad

condicional• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cliente Grande y

pague sus facturas en menos de 15 días?

• Se desea saber si hay independencia entre el tamaño del cliente y los días promedio para la cobranza.

• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es un cliente Grande el mismo pague sus facturas en menos de 15 días?

Probabilidad Conjunta Pequeña Mediana Grande Total

menos de 15 días 0,275 0,090 0,011 0,376

entre 15 y 30 días 0,210 0,108 0,022 0,340

mas de 30 días 0,157 0,081 0,045 0,284

Total 0,642 0,280 0,078 1,000

Producto de las marginales Pequeña Mediana Grande Total

menos de 15 días 0,241 0,105 0,029 0,376

entre 15 y 30 días 0,218 0,095 0,026 0,340

mas de 30 días 0,182 0,080 0,022 0,284

Total 0,642 0,280 0,078 1,000


Regla general del producto

• Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta

de que ambos sucedan se calcula según la

siguiente fórmula:

P(A B) = P(A)*P(B/A) = P(B A) = P(B)*P(A/B)

• Si los eventos A y B son independientes la

probabilidad conjunta de que ambos sucedan

se calcula según la siguiente fórmula:

P(A B) = P(B A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A)


Un experimento genera un

espacio muestral que

contiene ocho sucesos

E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,

i=1,...,8. Los sucesos A y B

se definen así:

A= {E1,E4,E6}

B= {E3,E4,E5,E6,E7}

Resolver: (a)

¿Son los sucesos A y B

mutuamente excluyentes?

¿Por qué? (b) ¿Son

los sucesos A y B

independientes? ¿Por qué?

(C) P(A B) (d)

P(A/B)

A B

E1

E4

E6

E7

E3

E5

E8E2

(a) No, porque A B 0

(b) No, porque P(A)*P(B) P(A B)

3/8 * 5/8 2/8

(c) P(A B) = 2/8= 0,25

(d) P(A/B)= P(A B) / P(B)= (2/8) / (5/8)= 2/5

Esto puede verse en el diagrama, ya que saber que

B ocurrió, reduce nuestro espacio muestral a los

cinco elementos de B. Y de ellos, sólo dos

pertenecen a A.

Ejemplo


Consideremos el siguiente ejemplo:

80 buenos

100 artículos

20 defectuosos

Se definen los sucesos:

A: El primer artículo esta defectuoso

B: El segundo artículo esta bueno

Calculemos la probabilidad de que ocurran los sucesos

Ay B. Primero considerando que el muestreo se realiza

con reposición y luego que se hace sin reposición.


Problemas a resolver

Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de

una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3,

respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8;

si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las

elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.

A

B

N

Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta

Considerar todo el espacio muestralDatos:

P(A)= 0,7 P(N/A)= 0,8

P(B)= 0,3 P(N/B)= 0,4

Solución:

P(N)= P(N A) + P(N B)

P(N)= P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)

P(N)= 0,8*0,7 + 0,4*0,3= 0,68

P(N A)

P(N B)


El 34% de las luminarias públicas de una ciudad tienen más de 5 años. El 54% son de

la Marca A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 5 años. Si se elige una

luminaria al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 5 años y sea de la Marca A?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 5 años, sea de la Marca A?

10,660,34

0,460,15780,3022Ā

0,540,50220,0378A

<5> 5

Datos:

P(>5)= 0,34 P(A)= 0,54

P(>5/A)= 0,07


Considerar tablas de contingencia

Solución:

a) P(>5 A)= P(>5/A)*P(A) =

0,07*0,54= 0,0378

b) P(A/<5)= P(A <5) / P(<5)

= 0,5022 / 0,66= 0,76



El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una

enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en

20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal

infectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna

preventiva?

Datos:

P( I )= 0,7 P( R / I )= 0,2

P( Ī )= 0,3 P( R / Ī )= 0,05Incógnita: P( I /R )


Regla del producto.

9,03,0*05,07,0*2,0

7,0*2,0

)(*)/()(*)/(

)(*)/(

)()(

)(

)(

)()/(

IPIRPIPIRP

IPIRP

IRPIRP

IRP

RP

RIPRIP



Variable aleatoria

Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio

muestral se denomina variable aleatoria a la función que

asigna a cada elemento del espacio muestral un número real.

xsXRSX )(/:

Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X=número de caras obtenidas al

arrojar dos monedas

¿Quá valores puede tomar x?

X(SS)=0

X(CS)=X(SC)=1

X(CC)=2

Se denomina recorrido Rx al conjunto

de valores que puede tomar la variable.

S Rx

SS

CC

SC

CS

0

2

1


Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número

contable de valores.Entonces entre dos valores

consecutivos de una variable aleatoria discreta no hay

ningún número que pertenezca al recorrido de la variable

Rx={X1;X2;…,Xn,…} donde cada Xi es un valor de la v.a.

En general , estos valores no serán igualmente probables,

sino que cada X tendrá asignada una probabilidad.

Luego, para caracterizar una variable aleatoria discreta es

necesario conocer su recorrido y la probabilidad de cada

elemento del recorrido


RiXi

XiP 1)()2

Propiedades

1) P(Xi) 0

Xi


Esperanza de una variable aleatoria

discreta

La esperanza es un parámetro de la distribución. Es

una medida de tendencia central.

La esperanza E(x) no es un resultado que

esperararíamos cuando X se observa sólo una vez.

Pero si observáramos un gran número de

observaciones independientes de X el promedio de

esos resultados estará cerca de E(x).

)()( i

Rx

i xpxXE

xi


Propiedades de la esperanza

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante

perteneciente a los reales:

1) E (c ) = c

2) E (X+c ) = E(X) + c

3) E (cX) = c E(X)

4) E (X+Y) = E(X) + E(Y)

5) E (X-Y) = E(X) - E(Y)

6) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y)



discretaEjemplo:

En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir

una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre

que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.

Primero definimos la variable aleatoria

X= utilidad en operación comercial

• Si luego de una reingenieria del proceso comercial se mejora la utilidad en

$100, ¿Cuál será el valor esperado de la operación comercial? Hágalo por la

propiedades de la esperanza.

)()( i

Rx

i xpxXE

xi

E(X)=1000*0,6+(-500)*0,4

E(X)=400$


Variancia de una variable aleatoria

22 )()( XEXVar

La variancia es un parámetro de la distribución. Esuna medida de dispersión de los valores de x

alrededor de E(X)

i

n

i

i pxXVar1

22 )()(


Propiedades de la variancia

Sean X e Y variables aleatorias y c una constante

perteneciente a los reales:

1) V (c ) = 0

2) V (X+c ) = V(X)

3) V (cX) = c2 V(X)

4) Si X e Y son independientes V (X+Y) = V(X) + V(Y)

5) Si X e Y son independientes V (X-Y) = V(X) + V(Y)


Variancia de una variable aleatoria

discretaEjemplo:

En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir

una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6. ¿Cuál es la

variancia y cual el Desvio estándar?

Primero definimos la variable aleatoria

X= utilidad en operación comercial

• Si luego de una reingeniería del proceso comercial se mejora la utilidad en

$100, ¿Cuál será variancia y el desvío estándar de la operación comercial?

Hágalo por la propiedades de la Variancia

2(X)=(1000-400) 2 * 0,6+(-500-400) 2 * 0,4

2(X)=540000$ 2

(X)=734,85$

i

n

i

i px1

22 )(


La Distribución Binomial

Llamaremos experimento dicotómico a un experimento aleatorio cuyos resultados posibles son sólo dos, o nos interesa considerarlos como dos. Por ejemplo:• Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz.

• Sacar una carta de una baraja y observar si es una figura o no lo es.

• Lanzar dos dados y observar si el total de sus puntos es un número par o impar.

• Una pieza es defectuosa o no lo es.

• Un cliente es bien atendido o no lo es.

• Una operación comercial es exitosa o no.


Binomial ( continuación)

• En este tipo de experiencias a uno de los dos resultados posibles se le suele llamar "éxito" y a su contrario "fracaso".

• A la probabilidad del suceso llamado éxito se la suele representar por p y a la de su contrario por q.

• Se verifica, claro está, que p+q=1 (¿Por qué?).

• En los ejemplos anteriores podríamos considerar:

· éxito ="cara", fracaso = "cruz" y, si la moneda no está trucada, p = q = 1/2.

· éxito = "figura", fracaso = "no figura" y, en una baraja española, p = 12/40 y q = 28/40.

· éxito = "suma par", fracaso = "suma impar" ¿Cuánto valdrían p y q?.


• Un experimento binomial consiste en repetir una cierta cantidad de veces, y siempre en las mismas condiciones, un experimento dicotómico.

• Llamaremos "tirada" a cada una de las veces que repetimos el experimento dicotómico.

• Vamos a representar por B(n,p) a una binomial con n tiradas y probabilidad de éxito igual a p.



• Por ejemplo, son experimento binomiales:

· Lanzar una misma moneda repetidas veces y observar el número de caras (éxitos) obtenidas.

· Sacar, con reemplazamiento, varias cartas de una misma baraja y observar el número de figuras (éxitos) obtenidas.

· Lanzar un dado repetidas veces y observar la cantidad de veces que obtenemos una en la que el número total de puntos que aparece es par.



• Puede interesar conocer cual es la probabilidad que de las n pruebas, salgan exactamente x0 casos favorables a A; o bien calcular la probabilidad que los casos A esten entre x1 y x2, ambos menores que n.

• Conceptualmente puede decirse que x es una variable aleatoria discreta que toma valores entre 0 (puede no aparecer nunca el suceso) y n (puede aparecer siempre). Es decir que el campo de definición de la variable es: 0 x n.



• Bajo estas condiciones Bernoulli desarrolló la distribución de probabilidad denominada Binomial, cuya expresión matemática, P(x ), está dada por:

Donde: x es la variable aleatoria que varía entre 0 y n.

n y p son los datos o parámetros de la distribución

Binomial.

C n, x =

)!!*(

!

xnx

n

(Número combinatorio)

xnx

xn, q .p .CP(x)



Binomial: Esperanza, Variancia y Desvio estándar

pnxpxXE i

Rx

i

xi

*)()(

qpnpx i

n

i

i **)(1

22

qpnpx i

n

i

i **)(1

2


Ejemplo de Binomial

De los clientes de una compañía de celulares, un 20 % se encuentra con deudas pendientes. Si se seleccionan al azar 4 clientes, calcular la probabilidad de que de los mismos tengan deudas pendientes:

a) exactamente 2

b) Más de uno

Respuesta:

Análisis de las características del problema:

Se realizan 4 observaciones al azar (n = 4 es un dato)

Ante cada observación, los clientes pueden estar A = con deuda pendiente; = no tener deuda pendiente. Es decir dos resultados posibles en cada prueba.

No se tienen elementos para decir que la probabilidad de que cada cliente observado varíe de uno a otro, es decir: p = 0,2 probabilidad de que cada uno de los clientes tenga deuda. Será entonces: q = 0,8 probabilidad de que el cliente no tenga deuda.

Las preguntas planteadas se refieren a la cantidad de clientes que estén con deuda (x = variable).

Se dan exactamente las condiciones exigidas para utilizar la Distribución Binomial, y para calcular la probabilidades pedidas, es posible aplicar su función.

a) P(x=2) = C4,2 .0,2 2 . 0,8 4-2 = 6 . 0,04 . 0,64 = 0,1536

b) P(x>1) = ∑ C4,x . 0,2 x . 0,8 4-x =

También se podría haber calculado como: 1 – P(x<2).


Distribución de Poisson

Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía.

La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

Esta distribución se emplea para describir sucesos discretos que ocurren con poca frecuencia en el tiempo o en el espacio; por ello a veces recibe el nombre de distribución de sucesos raros.


Poisson, usos

• “La probabilidad de obtener “X “ éxitos en un intervalo continuo”

• Se emplea para describir varios procesos:

Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador

La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes

Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro

El número de accidentes en un cruce

El número de defectos en una tela por m2

El número de bacterias por cm2



• Variable aleatoria X: esta representa la cantidad de

veces que ocurre un suceso de interés en un

intervalo dado.

• Ya que X es una cuenta, puede tomar teóricamente

cualquier valor entero entre 0 e infinito.

• Sea λ (lambda, letra griega) una constante que

indica el número promedio de veces que acontece

un suceso en un intervalo.



Si la probabilidad de que X tome el valor de x es

!)(

x

xexXP

se dice que X tiene una distribución de Poisson con

parámetro λ.

e representa una constante con valor aproximado de

2.71828, este es la base de los logaritmos naturales



Sucesos fundamentales:

• La probabilidad de que acontezca un suceso en un

intervalo es proporcional a la amplitud del intervalo.

• En principio, teóricamente es posible que suceda

un número infinito de eventos en un intervalo dado.

No hay límite al número de ensayos.

• Los sucesos ocurren independientemente tanto en

el mismo intervalo como entre intervalos

consecutivos.



Usos, describir la cantidad de:

• ambulancias que se requieren en una ciudad en una noche

particular.

• clientes que llegan a un cajero automático en un horario

determinado.

• autos que llegan a una casilla de peaje en un horario

determinado..

• llamados a un call center en un horario determinado..

• partículas emitidas por una cantidad específica de material

radiactivo.

• colonias de bacterias que crecen en una caja de Petri.



• La propiedad de que la esperanza sea igual a la

varianza es una característica que identifica a la

distribución de Poisson.

)()( i

Rx

i xpxXExi

i

n

i

i px1

22 )(

i

n

i

i px1

2)(


Ejemplo: Distribución de Poisson

Se desea determinar la cantidad de ambulancias requeridas una noche

en particular en una ciudad de 12000 habitantes. Para ello se cuenta con

un registro de los llamados ocurridos durante el último año.

· ¿Cuál es la probabilidad de que nadie en esta población llame a la

ambulancia en una noche en particular?

· ¿Cuál es la probabilidad de que al halla 4 o menos llamados en

esta población a la ambulancia en una noche en particular?

· ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 llamen en esta

población a la ambulancia en una noche en particular?

Número de

llamados

Frecuencia

observada

0 25

1 63

2 99

3 86

4 40

5 29

6 13

7 10

365



También se puede conocer la probabilidad de

Poisson con la siguiente tabla.

Cantidad de sucesos

λ



Para valores específicos de x y λ, la entrada en

la tabla representa

!)(

x

xexXP



Grafica de la distribución de probabilidad X, la cantidad de individuos de la población involucrados en un accidente vehicular cada año

El eje Y suma 1



La distribución de Poisson se encuentra pronunciadamente sesgada por valores pequeños de λ

Conforme λ aumenta, la distribución se torna mas simétrica.


Distribución de Poisson como

aproximación de una binomial

Si n muy grande y p muy pequeño, es

conveniente utilizar la distribución de

Poisson, ya que se consigue una buena

aproximación.


Aproximación de la distribución

binomial por una de Poisson• Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las

distribuciones binomiales, sobre todo si n (ensayos) es muy grande y p o q (éxito y fracaso) es muy pequeña, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :

n ≥ 30 y np ó nq < 5

• En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo: λ =np

• Ejemplo: Se sabe que 1% de los artículos de un gran embarque de transistores procedente de un proveedor son defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de 30 transistores, la probabilidad de que dos o más de ellos sean defectuosos.

• P (X ≥ 2 I n=30, p= 0.01) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0328+0.0031+0.0002 = 0.0361

• Si λ =np=30(0.01) = 0.3, la aproximación de Poisson del anterior valor de probabilidad es

• P (X ≥ 2 I λ = 0.3) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0333 + 0.0033 + 0.0002 = 0.0368

• Así la diferencia entre la aproximación de Poisson y el valor de probabilidad binomial real

es de sólo 0.0007


Variable aleatoria continua

Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier valor perteneciente al intervalo.

En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo, temperatura, etc.

En este caso se define (en lugar de la función de distribución) una función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes propiedades

1) f(x) 0 X R

b

adxxfbxaPba

dxxf

)()()3

1)()2


Variable aleatoria continua

Ejemplo:

• Tiempo de navegación de una página web.

•Calcular la media y el desvío estándar.

•Asumiendo que sigue una distribución normal con los parámetros media y desvío calculados.Calcular que probabilidad hay de que un nuevo internauta:

· navegue entre 8 y 12 minutos.

· navegue más de 7,5 minutos.

·Navegue menos de 4,8 minutos.

Minutos Frecuencia

1 a 3 11

3 a 5 43

5 a 7 89

7 a 9 180

9 a 11 253

11 a 13 178

13 a 15 92

15 a 17 40

17 a 19 10



continua

La esperanza es un parámetro de la distribución. Es

una medida de tendencia central.

La esperanza E(x) no es un resultado que

esperararíamos cuando X se observa sólo una vez.

Pero si observáramos un gran número de

observaciones independientes de X el promedio de

esos resultados estará cerca de E(x).

dxxfxXE )(.)( Si X es continua


La Distribución Normal

A lo largo de la historia, matemáticos como De Moivre,

Gauss o Galton se sorprendieron por la frecuencia con la

que aparece la llamada curva Normal o de Gauss en

estudios estadísticos tan aparentemente distintos como

la distribución de alturas de un grupo de personas, la

resistencia de un tipo determinado de piezas, el número

total de caras que obtenemos al lanzar reiteradamente

una moneda, y muchos otros.


En una granja modelo de la Provincia de Entre Ríos, en un momento determinado de su desarrollo, los cerdos que producen tienen en cuanto a su peso, una distribución Normal con un promedio de 75 kg. y un desvío estándar de 6 kg.

Es decir: x ~ N (75 , 6)

La variable Normal Estándar será: z = (x - ) / = (x - 75) / 6

Donde: z ~ N (0 , 1)

Con esa información calcular:

P( - k < x < + k ) = P(- k < x - < k ) = P(- k < (x -)/ < k)

Ejemplo de Normal


Para k = 1

P(|z| < 1) = P(-1 < z < 1) = F(1) - F(-1) = 0.84134 - 0.15866 = 0,68268

El 68 % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre un desvío estándar en más y en menos de la media (es decir entre 69 y 81 kg.) (

)

Para k = 2

P(|z| < 2) = P(-2 < z < 2) = F(2) - F(-2) = 0.97725 - 0.02275 = 0,9545

El 95 % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre dos desvíos estándar en más y en menos de la media (es decir entre 63 y 87 kg.) (2. ).

Ejemplo de Normal


Para k = 3

P(|z| < 3) = P(-3 < z < 3) = F(3) - F(-3) = 0.99865 - 0.00135 = 0,9973

Casi el 100% (99.73%) de los cerdos tendrán pesos entre tres desvíos estándar en más y en menos de la media (es decir 57 y 93 kg.) ( 3. )

Calcular el % de cerdos que tendrán pesos superiores a 72 kg.

P(x > 72) = P (z > (x – 75)/6 = -0.50) = 1 - F(-0.50) = 1 - 0.30854 =

0,69146

El 69 % de los cerdos tendrán pesos superiores a 72 kg.

Ejemplo de Normal


¿ Qué % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre 69 y

87 kg?

P (69 < x < 87) = P (-1 < z < 2) = F(2) – F(-1) =

= 0.97725 – 0.15866 = 0,81859

El 82 % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre 69 y

87 kg.

De 20 cerdos elegidos aleatoriamente, ¿ cuántos se esperan que

pesen más de 81 kg. ?

20 . P( x > 81 ) = 20 . P ( z > 1) = 20 . [1 - F(1)] =

= 20 . (1 – 0,84134) = 20 . 0,15866 = 3,1732 cerdos

Se espera que tres (o cuatro) cerdos tengan pesos superiores a

81 kg.

Ejemplo de Normal


¿ Cuál es el peso que es superado por el 10 % de los cerdos ?: Con

las Tablas que se dispone para este Curso, se tienen algunos

valores:

P ( x > x0 ) =~ 0,10 Þ P ( z > z0 ) =~ 0,10 Þ z0 = 1,28;

o bien

P ( z z0 ) =~ 1 - 0,10 ÞF (z0 ) =~ 0,90 no disponible en las

Tablas.

Si z = (x - )/ Þ x = z . + ; y para x0 será:

x0 = 1,28 . 6 + 75 = 82,68 kg.

El peso de los cerdos que es superado por el 10 % de ellos es

82,68 kg.

Ejemplo de Normal


Determinar el valor de peso que supera al 5 % de los

cerdos:

P ( x < x0 ) = P ( z < z0 ) = 0,05; de donde surge que z0 es

un valor negativo y simétrico a: P ( z > z0´) = 0,05; Þ z0´=

1,645 y será:

z0 = - 1,645 Þ x0 = - 1,645 . 6 + 75 = 65,03 kg.

El peso superado por el 5 % de los cerdos e 65 kg.

Ejemplo de Normal

temas a desarrollar -...

Documents