Introducción.

Métodos de conteo.

Permutaciones.

Combinaciones.

Diagrama de árbol.

Principio multiplicativo.

Principio aditivo.

Bibliografía.

Conclusión.

En esta presentación explicaremos temas de probabilidad y estadística y la manera de como se pueden aplicar además de saber donde se aplican. Ya sea en la vida o en la industria.

Probabilidad.

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad que el contexto supone. 

Esto quiere decir que la probabilidad  está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos:

-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas-Competencias deportivas-Juegos de azar, etc., etc. 

Estadística.

La estadística generalmente es definida como la rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y así mismo que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar el número de elementos del espacio muestral S y el número de elementos de evento A. Cuando el conjunto es pequeño no hay problema, pero cuando los conjuntos contienen muchos elementos toca acudir a unas técnicas de conteo especiales llamadas métodos de conteo.

Principio de la multiplicación.

La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en n1 formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en n2 y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede realizar en n1, n2… nk formas.

Ejemplo: ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?

Procedimiento: n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 y n4 = 4 total.

n1 X n2 X n3 X n4 = 4 X 3 X 5 X 4 = 240 tipos de almuerzos.

Como podemos observar con anterioridad se expresa la forma en que se determinaron los diferentes tipos de almuerzo.

Principio de la suma.

Ahora un proceso, con 1, se puede hacer de n1 formas. Ahora si se hace un segundo proceso un, con 2, se puede hacer de n2 formas. además no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n2.

Para demostrar lo que queremos explicar esta el siguiente problema de una manera muy sencilla de entender.

Ejemplo: Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.

En matemáticas llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ.

Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7   ´ 6   ´ 5   ´ 4   ´ 3   ´ 2   ´ 1   = 40320

Analizando el ejemplo anterior podemos definir las permutaciones u ordenaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez, de la siguiente forma:

"Las ordenaciones o permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez es n!y se denotan con el símbolo:

O 

Ejemplo: quieres visitar las casas de tres amigos: Alex ("a"), Betty ("b") y Chyra ("c"), pero no has decidido en qué orden. ¿Qué opciones tienes?Respuesta: {a,b,c} {a,c,b} {b,a,c} {b,c,a} {c,a,b} {c,b,a} Si el orden no importa, es una Combinación.

Lo que se hizo en realidad de una forma mas sencilla fue la de mezclar todos los elementos con los cuales contamos de forma que ninguno fuera a repetirse.

Las combinaciones son arreglos de elementos donde no interesa el orden posición o lugar en que se pusieron cada uno de los elementos del arreglo.

Lo único que interesa es el formar los grupos y el contenido de estos Sin importar el orden de estos.

Lo que hace en realidad es buscar los totales de los subgrupos que se pueden obtener en base al n de los objetos o elementos.

El orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultado se denomina combinación, por ejemplo: si se requiere

formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A,B y C); si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, CA, BC

Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar “r” objetos de un grupo de “n” objetos sin importar el orden,

La formula de combinaciones es: = r!(n-r)!

Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?

Solución: La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

Para poder obtener el resultado fue necesario multiplicar y después dividir como se observa en

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos

Donde se observa que,

El diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos: Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: tres caras

Solución:            

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un

dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.

En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1 x N2 x...........x  Nr  maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplos: Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1

N1  x N 2  x N 3  x N 4  = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N +.........+ W  maneras o formas

Ejemplos: Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Espero que dudas que hayan tenido acerca de los temas que se explicaron con anterioridad hayan sido aclaradas de forma que hayan comprendido el procedimiento de cada uno de estos temas además de a que se refiere en si cada uno.

http://www.mitecnologico.com/Main/CombinacionesYPermutaciones

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/09Digramas%20de%20arbol.htm

https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r49032.PDF

http://www.mitecnologico.com/Main/PrincipiosDeConteoAditivoYMultiplicativo