TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLABİLGİSAYAR BİLİMİ

Yılmaz Kılıçaslan

Sunum Planı

Hilbert’in Problemi Hilbert’e Yanıtlar Bilgisayar Bilimi

– Bilgisayım Kuramı

– Enformasyon Kuramı

Hesaplanabilirlik– Sayılabilir Kümeler

– Sayılamaz Kümeler

Karmaşıklık– Verimli Hesaplama

– Chomsky Hiyerarşisi2

DİĞ

ER

BİL

İML

ER

LE

İLİŞ

KİS

İ İÇİN

DE

BİL

GİS

AY

AR

BİL

İMİ

Hilbert’in Problemi (1928)

ALGORİTMA

?

Formel Dil

Matematikselİfade

(Önerme)

Doğru / Yanlış

Algoritma: Bir problemi sonlu sayıda adımla etkin (mekanik) olarak çözen yöntem.

Hilbert’e Kötü Haberler

Aritmetik Sistemlerin Eksikliği (Kurt Gödel)(Incompleteness of Systems of Arithmetic)

(Birinci Dereceden Yüklem) Mantığında Karar Verilmezlik (Alonzo Church)(Undecidability of (First Order) Logic)

Doğruluğun Tanımsızlığı (Alfred Tarski)(Undefinability of Truth)

Fonksiyonların Hesaplanamazlığı / Durma Problemi (Alan Turing)(Uncomputability of Functions / Halting Problem)

4

Gödel’in Eksiklik Teoremi

5

Gödel Yalancının Paradoksunu aşağıdaki şekilde değiştirdi:

“Bu önerme ispatlanabilir değildir.”

… Aritmetiğin her tutarlı

biçimselleştirilmesi için öyle aritmetik doğrular vardır ki, bunlar bu biçimsel sistem içinde ispatlanabilir değillerdir.

Durma Problemi

ALGORİTMA(BİLGİSAYIM

MODELİ)?

Program

Input

Durur / Durmaz

Alan Turing 1936’da, Durma Problemini bütün program-input çiftleri için çözebilecek genel bir algoritmanın olmadığını ispatlamıştır.

Tipik Matematiksel Bilgisayım Modelleri

Durum Modelleri– Sonlu Durum Otomatları

– Bask-Bırak Otomatları

– Turing Makineleri

– etc.

Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller Mantık programlama gibi mantıksal modeller

7

Bilgisayar Bilimi

Bilgisayım Kuramı Enformasyon Kuramı

8

Hesaplanabilirlik

Sayılabilir Kümeler Sayılamaz Kümeler

9

Sayılabilir Kümeler

Tamsayılar Rasyonel Sayılar

10

Sayılamaz Kümeler

Reel Sayılar Karmaşık Sayılar

11

Karmaşıklık

Verimli Hesaplama (Efficient Computation) NP Problemleri Üstel Patlama

12

Verimli ve Verimsiz Algoritmalar

Verimli algoritmaların zaman karmaşılığı:– O(n)

– O(nlogn)

– O(n10)

– vs.

Verimsiz algoritmaların zaman karmaşılığı:– O(nlog n)

– O(2n)

– O(n!)

– vs. 13

Çok terimli (Polynomial)

Bir c sabiti için O(nc)

Çok terimli değil

"İyi Algoritmalar"

An explanation is due on the use of the words "efficient algorithm"…I am not prepared to set up the machinery necessary to give it formal meaning, nor is the present context appropriate for doing this…For practical purposes the difference between algebraic and exponential order is more crucial than the difference between [computable and not computable]… (Paths, Trees and Flowers, Jack Edmonds, 1965)

14

P versus NP

NP contains lots of problems we don’t know to be in P– Classroom Scheduling

– Packing objects into bins

– Scheduling jobs on machines

– Finding cheap tours visiting a subset of cities

– Allocating variables to registers

– Finding good packet routings in networks

– Decryption

– …15

Hence proving P = NP would break cryptosystems

Kaynak

16

Computers and Intractablity:A guide to the Theory of NP-completeness

by Mike Garey and David Johnson

Chomsky Hiyerarşisi

Otomatlar

TuringMachine

ATN

RTN

Diller

FSA Düzenli Diller

Bağlamdan-bağımsız

Bağlama-duyarlı

R.E.

Bir Kognitif Hiyerarşi Denemesi

Bilişsel Yetiler

Akıl

Anlam

Bellek

Bilişsel Araçlar

Mantık

Semantik

Sentaks

Özyineleme Morfoloji

En Kısa Özet

Bilgisayar Bilimi – Bilgisayım ve

– Enformasyon

kuramlarını içerir. Bilgisayım Kuramı

– Hesaplanabilirlik ve

– Karmaşıklık

alt kuramlarını barındırır.

19