T emesi Jzsef

A dntselmlet alapjai

Aula, 2002 Budapest

LC K Lo ra iia : o o lym o si ia m a s

Tem esi J zse f, 2002

A knyv az Oktatsi M inisztrium tmogatsval, a F elsoktatsi Plyzatok Irodja ltal lebonyoltott felsoktatsi tanknyvtmogatsi program keretben jelent meg.

ISBN 963 9345 64 4

Az AULA Kiad az 1795-ben alaptott Magyar Knyvkiadk s Knyvterjesztk Egyeslsnek a tagja.

A kiadvny szerzi jogi vdelem alatt ll, arrl msolat ksztse, ms formban val felhasznlsa (papr, elektronikus stb.) a kiad elzetes rsbeli engedlye nlkl tilos. A kiadvny msolsa s jogosulatlan felhasznlsa bncselekmnynek minsl.

Elsz

Ez a knyv a dntselmlet (az angol nyelv szakirodalomban szoksos elnevezssel: Dedsion Theory) alapfogalmaival, mdszereivel s a dntselmlet alkalmazsakor fellp mdszertani s viselkedstani problmkkal, paradoxonokkal ismerteti meg az olvast.

Elssorban egyetemi hallgatk szmra kszlt: a Budapesti Kzgazdasgtudomnyi s llamigazgatsi Egyetem opercikutatst tanul hallgatinak egy flves dntselmleti bevezet tantrgynak anyagt leli fel. A knyvben felptett fogalomrendszer j l felhasznlhat kzgazdasp, zleti, szociolgiai s pszicholgiai stdiumokban, s magasabb szint opercikutatsi, vezetstudomnyi vagy dntstmogatsi tantrgyak megalapozsaknt. Az egyes fejezetekben trgyalt mdszerek szles krben hozzfrhet szmtgpes program- csomagok egyes elemei, azaz a knyv elmleti htteret szolgltat ezen dntsi szoftverek hasznlathoz is (Expert Choice, MAUT, PRJEFCALC, stb.).

A szakirodalomban a dntsi mdszerek trgyalsa, a dntselemzs (Dedsion Analysis) szkebb s tgabb rtelmezsben egyarnt hasznlatos. Attl fggen, hogy a kzgazdasgi, zleti, statisztikai, pszicholgiai, szodolgiai vonatkozsok kzl melyekre fektetjk a f hangslyt, eltr szemllet s a matematikai eszkzket klnbz mlysgben felhasznl trgyals lehetsges. Ennek a knyvnek az a clja, hogy gazdasgi dntsek terletn hasznlatos alapfogalmakrl, mdszertani megkzeltsekrl adjon ttekintst.

A tanknyv alapvet fejezetd a dntslmleti mdszertan elemi matematikai bevezetst tartalmazzk. Tmaszkodik ugyan az egyetemi hallgatk matematikai analzisben, algebrban s valsznsgszmtsban szerzett ismereteire, de a trgyals nhny fejezetrsz kivtelvel - azok szmra is kvethet, akik ezen trgyak nem mindegyikt tanultk. Megtrtnik a fogalmak defini- lsa, a ttelek kimondsa s a ttelekre pl mdszerek bemutatsa. A knyv azonban nem matematikai alaptanknyv abban az rtelemben, hogy a ttelek bizonytsait nem tartalmazza, hanem csak utal azok forrsra. A mdszereket, algoritmusokat mintapldk illusztrljk. Az rdekld olvask szmra az egyes fejezetekhez ajnlott olvasmnyok jegyzke csatlakozik.

Az egyetemi hallgatsg mellett ajnlom ezt a knyvet mindazoknak a gyakorlati gazdasgi szakembereknek, akik munkjuk sorn ismtld mdon komplex dntsi problmkkal kerlnek szembe. E knyv elolvassa hasznos lehet

szmukra a problmk megfogalmazsa, strukturlsa tekintetben, m abban is fontos segtsget nyjthat, hogy felismerjk sajt szakrtelmk, preferenciik kinyilvntsnak, modellezsnek lehetsgeit. Orientlhat e knyv arra is, hogy a dntstmogat rendszerek manapsg mr bsges knlatban tjkozdjanak, ignybe vegyk professzionlis dntstmogat szakemberek, cgek szolgltatsait.

Kziratos formban ezt az anyagot az 1999/2000. tanv folyamn tanultk elszr gazdlkodsi szakos hallgatk a budapesti kzgazdasgi egyetemen, s egyes rszeket a pcsi Kzgazdasgtudomnyi Kar oktatsban is felhasznlt Komlsi Sndor. Neki s Rapcsk Tamsnak kln ksznettel tartozom azrt, hogy a tananyag knyv formjban val megjelentetsre sztnztek, illetve tancsokat kaptam tlk a tartalmi arnyokra vonatkozan is. Solymosi Tams alapos lektori megjegyzseit igyekeztem figyelembe venni, termszetesen azonban a megmaradt hibkrt n vagyok a felels. Vgl ksznettel tartozom Nmeth Lajosnnak a gondos gpelsi munkrt.

Budapest, 2001. oktber 15.

Tartalomjegyzk

Elsz 5

Tartalom jegyzk 7

1 A lapfogalm ak 111.1 Nhny jellemz dntsi p ro b l m a ................................................. 111.2 Matematikai programozsi k it r .................................................... 131.3 Alapfogalmak....................................................................................... 181.4 Irodalonyegyzk az 1. fejezethez....................................................... 20

2 N hny elem i dntsi m dszer 232.1 Harci replgp vsrlsa.......................................... 232.2 A kvalitatv szempontok szmszerstse........................................ 252.3 Mrtkegysgtl fggetlen adatok ellltsa.................................. 262.4 Elimincis eljrsok.......................................................................... 27

2.4.1 Kielgtsre trekv m d s z e r ............................................... 272.4.2 Diszjunktv m dszer............................................................... 282.4.3 Dominancia.............................................................................. 28

2.5 Lexikografikus mdszer ..................................................... 292.6 Pesszimista dntshoz: a maximin mdszer.................................. 292.7 Optimista dntshoz: a maximax m d szer.................................. 302.8 Irodalomjegyzk a 2. fejezethez....................................... 30

3 Dntsek bizonytalansg m ellett 313.1 Egy vllalkozs bv tse .................................................................... 313.2 Pesszimista s optimista dnts a pnzrtk a la p j n ................... 333.3 Elmulasztott nyeresgek alapjn trtn d n ts ............................ 343.4 Dnts a valsznsgrtkek alapjn ............................................... 34

3.5 Dnts a vrhat pnzrtk alapjn................................................. 353.6 Egy befektetsi d n ts ....................................................................... 363.7 Dnts a rendelkezsre ll informci alapjn............................... 363.8 A tkletes informci vrhat pnzrtke .................................. 373.9 Nem tkletes informcin alapul d n t s ..................................... 373.10 A nem teljes informci vrhat pnzrtke.................................. 403.11 Dntsi f k .......................................................................................... 403.12 Irodalomjegyzk a 3. fejezethez........................................................ 45

4 rtkel fggvnyek 474.1 Preferencia relcik alapvet tulajdonsgai ...................... 474.2 rtkel fggvnyekre vonatkoz egzisztencia t te lek .................. 504.3 Additv rtkel fggvnyek.............................................................. 544.4 rtkel fggvnyek dekompozcis alakjai..................................... 594.5 Tbbtnyezs rtkel fggvnyek ellltsa.................................. 624.6 Egydimenzis rtkel fggvnyek ellltsa.................................. 63

5 Hasznossgi fggvnyek 675.1 Hasznossgi fggvnyek ltezsre vonatkoz aximk . . . . . . 675.2 Hasznossgi fggvny ellltsa........................................................ 735.3 A bizonyossgi egyenrtkes m dszer............................................... 765-4 Kockzati magatarts ........................................................................ 795.5 Tbbtnyezs hasznossgi fggvnyek ltezse s ellltsa . . . 815.6 A hasznossgi elmlet feltevseinek magatartselmleti kritiki . 905.7 Irodalomjegyzk a 4. s 5. fejezetekhez........................................... 95

6 Nem-klasszikus dntsi m odellek 976.1 Kiterjesztsek........................................................................................ 97

6.1.1 Kzmbssgi tartomnyok (kszbrtkek) bekapcsolsa 1006.1.2 Vltoz kszbrtk m o d e ll.....................................................1016.1.3 sszehasonlthatatlansgot tartalmaz m o d e lle k 101

6.2 Outranking relcik: az ELECTRE mdszercsald.........................1026.3 A PROMETHEE m dszer.....................................................................1126.4 Irodalomjegyzk a 6. fejezethez........................................................... 118

7 Slyozsos m dszerek 1197.1 Egyszer slyozs.................................................................................... 1197.2 S M A R T ....................................................................................................1207.3 A Saaty-fle Analytic Hierarchy Process (AHP) m dszer 1217.4 Irodalomjegyzk a 7. fejezethez........................................................... 125

i 7

8 Alkalmazsi krdsek 1278.1 Az "amerikai s "eurpai" iskola megkzeltse...............................1278.2 A vals alkalmazsok problmi ...............................................1318.3 Irodalomjegyzk a 8. fejezethez........................................................... 133

9 C soportos dntsekrl 1359.1 Csoportos dntshozatal.............................................................. 1359.2 Az Arrow-fle lehefcetlensgi t t e l ........................................................ 1399.3 Szavazsi eljrsok.................................................................................1409.4 Irodalomjegyzk a 9. fejezethez........................................................... 143

10 R angsor m dszerek 14510.1 Rangsorol eljrsok egyes tulajdonsgai........................................... 14510.2 Borda mdszere.......................................................... 14810.3 Cook s Seiford m d szere .................................................................... 14910.4 Bemardo m dszere.................................................................................15010.5 Khler m d szere ....................................................................................15110.6 Arrow s Raynaud mdszere................................................................. 15210.7 Irodalomjegyzk a 10. fe jezeth ez ........................................................153

11 Dntstm ogatsi eljrsok 15511.1 A ptllagos informci bekapcsolsa..................................................15511.2 Interaktv eljrsok.................................................................................15711.3 Dntstmogats....................................................................................15811.4 A dntsi feladatok egy tipolgija .....................................................16011.5 Validlsi krdsek.................................................................................16411.6 Kitr: a csoportos dntsek tmogatsrl..................................... 16611.7 Dntstmogat rendszerek tervezse.............................................. 16711.8 Irodalomjegyzk a 11. fe jezeth ez ........................................................169

1. Fejezet

Alapfogalmak

A nyit fejezetben elszr nhny mintaplda segtsgvel mutatjuk be a dntsi alapfogalmakat, illetve azokat a dntsi problmkat, amelyek megoldsval knyvnk foglalkozik. Mint ltni fogjuk, elssorban a vges sok dntsi vltozatot tartalmaz, egyetlen vagy tbb rtkelsi tnyezvel jellemzett feladatok megoldsi mdszereit trgyaljuk. Ezek a mdszerek azonban tbb szlon ktdnek a matematikai programozsban, azon bell is a tbbcl programozsban felhasznlt fogalmakhoz, az ott alkalmazott megoldsi elvekhez, ezrt rvid kitrt tesznk erre a terletre. Ezutn kerl sor a tovbbi fejezetekben fontos szerepet jtsz alapfogalmak ttekintsre.

1.1 Nhny jellemz dntsi problma

Mindennapi tevkenysgnk sorn lpten-nyomon dntseket hozunk: kezdve a legegyszerbbtl (mit reggelizznk?), folytatva a napi rutin dntseivel (villamossal menjnk hivatalba vagy autval? vigynk-e esernyt? mit kell ma bevsrolni?), majd a munkahely bonyolultabb krdsei kvetkeznek (kivel s mikor folytassunk megbeszlst? mely munkkat kezdjk el vagy fejezzk be aznap?), mikzben fejnkben ott jrnak a rvidebb s hosszabb tv, olykor tovbbi letnket komolyan meghatroz vlasztsi lehetsgek is (ki lesz az idelis partner? cserljk-e el laksunkat? fogadjuk-e el egy msik cg llsajnlatt?). Kzhely, hogy letnk dntsek sorozata, nem vletlen teht, hogy a legtbb ember bizonyos sokszor ismtld helyzetekre akr "dntsi elvnek nevezhet szablyokat is felllt sajt maga szmra, s ltalban sajt jl felfogott rdekben "megfontoltan" igyekszik nagyobb horderej krdsekben llst foglalni.

Ugyanakkor nyilvnvalan igaz az, hogy ha minden dntsi szituciban hosszas vizsgldsba kezdennk, netaln mdszertani segtsget vennnk ignybe, letnk hamar ellehetetlenlne, lass s bosszant elemzsekbe bonyoldva

egyre tvolabb kerlnnk a normlis s hatkony letviteltl. Azt is ineg kell gondolnunk teht, hogy mikor rdemes egy adott dntst alaposan elkszteni, tudomnyos eszkzkkel megtmogatni.

Knyvnk bevezet jelleg. A dntsekkel foglalkoz szakirodalom legfontosabb fejezeteibl vlogat gy, hogy a fent emltett magnletbeli krdsektl kezdve a szakrti szinten felmerl dntsi problmkig tfogan foglalkozzon olyan mdszerekkel, amelyek ezen dntsi feladatok megoldshoz vezetnek. A tovbbi trgyalsok illusztrlsa cljbl kezdjk azzal, hogy megfogalmazunk nhny jellemz dntsi feladatot.

1. Termelsi feladat

Tbbfle tennk ellltsnak mennyisgrl kell dntennk. Dntsnket elssorban a korltozottan rendelkezsre ll erforrsok (nyersanyag-, munkaer- s kltsgkorltok), illetve a termels technolgiai szabvnyai befolysoljk. Az elrend cl a maximlis profit, de az is megeshet, hogy egyszerre kvnunk maximlis eredmnyt elrni s minimlis krnyezeti krt okozni, st, egyb clok is felmerlhetnek.

2. Befektetsi feladat

Klnbz befektetsi lehetsgek kzl szeretnnk a maximlis hozamot biztost portfolit kivlasztani. Lehetsgeinknek elssorban pnzgyi korltok szabnak gtat. Ha vatosak vagyunk, akkor a maximlis hozamot minimlis kockzattal szeretnnk elrni.

3. Iskolavlasztsi problma

j laksba kltzve a gyerekek szmra megfelel iskolt szeretnnk tallni. Ehhez sokfle szempontot hatrozunk meg: a lakstl val tvolsggal, az oktatsi sznvonallal, a tandjjal, az tlagos osztlyltszrmnal, a szmtgpes felszereltsggel s a sportolsi lehetsgekkel jellemzett iskolk kzl akarjuk a legjobbat kivlasztani.

4- Szemtget teleptse

A vrosi nkormnyzatnak egy j szemtget teleptst kell megoldania gy, hogy figyelembe veszi a technolgiai megvalsts feltteleit, a helyi munkaer rendelkezsre llst, a telepts kltsgeit s a krnyezeti kvnalmakat egyarnt.

5. Kzbeszerzsi plyzat kirtkelse

Egy banki szmtgpei! tender kirst szeretnnk kirtkelni gy, hogy a nyertes az rban, a megkvnt szolgltatsi felttelekben, a hardver-kvetelmnyekben, a garancilis felttelekben s a rendszer betantsban a legjobb legyen.

Brmelyik feladatot tekintjk is, kzs bennk az, hogy mozgsternket egyetlen cselekvsi alternatvra szeretnnk leszkteni (a legjobb termelsi tervre, befektetsre, a legjobb iskolra, stb.).

1.2 Matematikai programozsi kitr

Az els s msodik feladat szoksos megfogalmazsa a feltteli rendszer s a cl klnvlasztsa, majd egy matematikai programozsi modell felrsa. A programozsi modell folytonos vagy egszrtk vltozi testestik meg a dntsi lehetsgeket, amelyek a feltteli rendszer korltjai rvn vlnak dntsi alternatvkk. A legjobb dnts kivlasztst a clfggvny vezrli.

Legyenek dntsi vltozink az x n-dimenzis vektor-komponensei. Az optimalizland rendszer korltjait m vals rtk

nem termelnk, egy msikbl pedig a kapacitsok hatrig, ez a megolds a clfggvny rtkelse szerint egyenrtk a fordtott esettl, azaz amikor az els termket termeltetjk a kapacitsok hatrig, a msikbl pedig nem termelnk (mikzben a tbbi termk termelsi szintjei a klnbz megoldsokban nem felttlenl azonos pozitv rtkek).

Tekintsk a kvetkez feladatot:

*1 *2 + *3 < 8< 11< 10> 0

> max

(1.2)

(6*1 + 2*2 + 5*3 + 7**)

Megoldva ezt a feladatot az egyik optimlis bzismegoldsban az els s msodik termkbl nem termelnk, a msikban viszont a msodik termkbl 7 egysget termelni kell. Az sszes olyan termelsi terv azonos profitot szolgltat, amely a kt bzismegolds konvex lineris kombincija, s ez a profitrtk 166 egysg. Nem vltozik teht a profit rtke, ha [0,0,8,18], [0,7,15,11] ezek az optimlis bzismegoldsok vagy pl. [0, 3.5,11.5,14.5] az egyes termkekbl termelt mennyisg.

Amikor vals (ltalban nagymret) feladatok esetben hasonl megoldsokat bemutatunk a megbznak, gy rvelhetnk, hogy teljesen mindegy, milyen termelsi dntst hoz, hiszen a clfggvnyrtk (nyeresg vagy rbevtel vagy nkltsg) mindkt illetve tbb megoldsnl azonos. Ha ez az rvels mgsem tetszik neki (legtbbszr ez a helyzet), akkor kiderl, hogy a problmt szmra ppen a szlssgesen eltr struktrj termelsi dntsek s az ezekhez tartoz klnbz kapacitsfeleslegek jelentik.

Ezt kezelhetjk gy is, hogy vltoztatunk a feladat feltteli rendszern. Amennyiben azonban a modellezs megfelelnek tltetett, s a feladatnak alternatv optimumai maradtak, mr az egyetlen clfggvnyes feladatnl is felmerl, hogy milyen mdon vlasszon a dntshoz ezen megoldsok kzl, azaz a dntsi problm a megoldsa (egyetlen cselekvsi alternatva kivlasztsa) nem esik automatikusan egybe a matematikai feladat megoldsval. A vgleges dntshez valamilyen ptllagos informcira van szksg (hacsak a vletlenre nem bzzuk a dntst).

Mg a fenti esetben a dntsi problma megoldsra a ptllagos informci bekapcsolsval tbbfle t is knlkozhat, vannak olyan programozsi feladatok, amelyekkel eleve az a problma, hogy nem ltezik lehetsges megoldsuk sem. Feltve, hogy a modell felptse helyes, az a krds, vajon le kell-e mondanunk ezen problmk "megoldsrl11? Ez a krds mr a programozs alkalmazsainak els idszakban is foglalkoztatta a terlet ma mr klasszikusnak szmt mvelit, s kidolgoztk az n. clprogram ozs mdszertant.

Ebben a modellben a feltteleket kt rszre oszthatjuk. Egy rszk a "ke

mny", szigoran betartand korltozs, msik rszk a clfelttelek azonban olyanok, ahol a dntshoz ltal meghatrozott szint, elirnyzat tetszleges irnybl val meghaladsa vagy elrse kvnatos. A clok alulteljestst s tlteljestst eltrsvltozk mrik, s a clprogramozs (egyik) modelljben az eltrsvltozk sszegnek minimalizlsa rvn keressk a leginkbb kielgt megoldst.

Tekintsk pldul az albbi feladatot:

* i + *2 0

(14000*i + 6000*2) > max

Ha mindegyik felttel "kemny", akkor nincs a feladatnak megoldsa. Ha viszont csak az els felttit kvnjuk tkletesen betartani, a tbbinl pedig megelgsznk azzal, hogy olyan kzel kerljnk a betartsukhoz, amennyire csak lehetsges, akkor a feladatnak van "megoldsa", azaz a feltteli rendszer vltoztatsa, vagy ptllagos informcik nlkl is tudunk dntst hozni. (Lsd pldul Danyi- Varr [1997].)

Lttuk teht, hogy az alternatv optimumok s a clprogramozsi feladat egyarnt felveti az egy clfuggvnyes matematikai programozsi feladatknt formalizlt dntsi problma "megoldsnak" krdst. Ha ellenben az egy cl- fggvnyes feladat egyetlen optimlis megoldssal rendelkezik, akkor ez a megolds egyben automatikusan a dntsi feladat megoldsa is. Ez az automatizmus sznik meg (kivteles esetektl eltekintve) a tbbc l program ozsi feladatoknl.

Termelsi feladatunkat gy fogalmaztuk meg, hogy a profit maximalizlsval egyidejleg rdekelhet bennnket a krnyezeti krok minimalizlsa is. Ha tbb clfggvnynk van, legyenek ezek rendre / i (x ) , /s (x ), . . . , / r (x), azaz az f(x ) clvktor lljon r db egyedi clfggvnybl, akkor a vekt orm axim um - problm a formlis felrsa az elzleg definilt dntsi halmazon a kvetkezkppen trtnik:

n w f(x ) (1.4)

Ennk a fladatnak a megoldshoz egy j optimum-fogalomra, a Pareto- optim lis vagy efficiens m egolds definilsra van szksg. Ezt a fogalmat a kzgazdasgtanban vezettk be s azt a jzan elvet kpviseli, hogy tbb cl egyidej figyelembe vtele esetn egy racionlis dntshoz elnyben rszesti azokat a dntsi vltozatokat, amelyekre igaz az, hogy nem tallhat nluk jobb abban az rtelemben, hogy az j vltozat minden szempont szerint egyenrtk legyen az addig vizsglttal, m legalbb egyetlen szempontbl biztosan jobb. Ha mgis sikerl a vizsglt dntsi vltozatra nzve ilyen "Pareto javtst" vgrehajtani, akkor ezt a vltozatot nem tekinthetjk optimlisnak.

12090 (1.3)

168000

Formlisan ez gy fogalmazhat meg, hogy a vektormaximum feladat efficiens vagy Pareto-optimiis megoldsai mindazok az x* X vektorok, amelyekhez nem tudunk megadni egy x X , x ^ x* vektort, amelyre f(x ) > /(x * ), f {x ) ^ F(x*) teljeslne, azaz nem ltezik olyan x, amelyre / j (x ) > /j(x * ) teljesl minden j-re (j = 1 r) s f j {x ) > f j (x*) legalbb egy j -re (j = 1, . . . , r ) .

Mivel a Pareto-optimlis megoldsok halmaza az esetek tbbsgben vgtelen sok elembl ll, a matematikai megolds a Pareto-optimlis halmaz ellltsa ltalban nem adja meg a dntsi problma megoldst. (Lsd pldul Stahl [1991]).

Ha el akarjuk kerlni a flrertst, hogy egy tbbcl feladat megolds sorn az sszes efficiens (nem-dominlt) megolds ellltsa, vagy ezek kzl egyetlen (ltalban a dntshoz ltal legjobbnak tallt) efficiens megolds ellltsa- e a cl, az utbbit amely teht a fentebbiek rtelmben a dntsi problma megoldsa kompromisszumos megoldsnak nevezzk. Ebben az rtelemben a "tbbcl dntshozatal11 a kom prom isszum os m egolds megkeresst jelenti.

A tbbcl programozsi feladatban a

slyozsos mdszer, a

Iexikograhkus eljrs, a

korltok mdszere s a

kompromisszumprogramozs elve

egy-egy efficiens megoldshoz vezet, amelyet tekinthetnk a dntsi problma megoldsnak is (Gspr-Temesi [1998]).

Mindezek a mdszerek az egyetlen clfggvnyes feladatra vezetik vissza a megoldst. Azrt trnk ki ezekre, mivel az eljrsok egyben a feladat kezelsnek megoldsi filozfijt is jelentik, s a tbbtnyezs vges feladatok megoldsakor is megjelennek. A 3., 4. s 5. feladatok egyarnt olyan dntsi problmt jelentenek meg, ahol felttelezhetjk, hogy a dntsi vltozatok szma vges vagy legalbbis megszmllhat (a szbajhet iskolk, szemtget mvek vagy banki szmtgpes tenderajnlatok) s a dntsben szerepet jtsz clok (kritriumok, tnyezk) szma is vges. Ezeket a feladatokat nevezzk tbbtnyezs dntsi problm knak.

A slyozsos mdszer teht a tbbcl programozsi feladat megoldsa rdekben az egyes clfggvnyeket fontossgi slyokkal ltja el, s ezen slyokkal kpezett sszegknt llt el egyetlen clfggvnyt. Ennek analgijaknt rtelmezhetjk majd a vges feladatok slyozsos mdszereit.

A lexikografikus eljrsban mind a programozsi, mind a tbbtnyezs esetekben ugyanazt az elvet kvetjk: ha a legfontosabbnak tlt cl szerint egyetlen legjobb dntsi vltozatunk van, akkor azt vlasztjuk, ha tbb egyenrtk, akkor a kvetkez cl szerinti rtkelsre trnk r, s gy tovbb, mg dnteni nem tudunk.

A korltok mdszere a tbbcl programozsi feladatoknl azt jelenti, hogy egy kivtelvel az sszes tbbi clt valamely kvnatos korlt segtsgvel beptjk a feltteli rendszerbe. A tbbtnyezs dntseknl ez azt jelenti, hogy aspircis szinteket vagy szr rtkeket adunk meg.

Vgl a kompromisszumprogramozs sorn egy olyan idelis megoldst lltunk el, amely minden cl szerint a legjobb rtket tartalmazza, s az ehhez az (ltalban nem ltez) vltozathoz legkzelebb es dntsi vltozatot vlasztjuk. Ez az elv is alkalmazhat a vges sok vltozatot tartalmaz dntsi feladatoknl.

Mivel azonban az itt felvzolt eljrsok paramteresek, nem magtl rtetd, hogy milyen

slyok,

clprioritsok,

korltok,

tvolsgfggvnyek

szerint adjuk meg a kompromisszumos megoldst. Ha a feladat vges elemszm alternatvt tartalmaz, szintn felmerl slyok, prioritsok, referenciapontok alkalmazsa a programozsi eljrsokkal analg mdon.

A dntsi mdszerek nagy szzalka ezen elveket varilva llt el egymstl klnbz eljrsokat. Knyvnkben nem treksznk arra, hogy a ltez eljrsok kimert trgyalst adjuk meg. (Sok mdszert ismertet pldul Temesi [1997]). A tovbbi fejezetekben szmos esetben felismerhet lesz azonban az itt emltett elvek alkalmazsa.

Az 1. feladat teht rdekldsi krnkn kvl esik ugyan, de megismerkedtnk ltala nhny hasznos fogalommal s dntsi filozfival, amelyeket a tovbbiakban is hasznlni tudunk. Ugyanez a helyzet a 2. feladattal is. Ez a beruhzsi feladat szintn programozsi feladatknt rhat fel, azonban rendelkezik egy nagyon fontos tulajdonsggal, amelyre rdemes felfigyelnnk. Mind a hozamok, mind a kockzat a feladat sztochasztikus jellegvel fgg ssze. A 2. feladatot egy- vagy kt clfggvnyes sztochasztikus program ozsi feladatknt jellemezhetjk. Ezekkel szintn nem foglalkozunk, azonban az itt felmerl bizonytalansg, a vltozk vletlentl val fggse egyb dntsi feladatoknl is felmerl.

A 3., a 4. s az 5. feladatokat tekinthetjk az els ketthz hasonlnak, abban az rtelemben, hogy itt is a legjobb megoldst keressk. Szembetn sajtossga azonban mindhrom feladatnak, hogy dntsi vltozatai (az alternatvk) szma vges. Ebben az esetben egyetlen szempont szerint kivlasztani a legjobb megoldst nem lenne tlsgosan bonyolult, teht a feladatok lnyegi tulajdonsga a tbb (olykor akr egymsnak ellentmond) tnyez jelenlte. Ezekre a szmozssal elltott feladatokra a ksbbi fejezetekben hivatkozni fogunk.

Ezen kitr utn felkszltebbek vagyunk arra, hogy egyes alapfogalmakattSZt7.7'.t i n lr

1.3 Alapfogalmak

Alternatvk

Egy dntsi szituci megoldsra, a cselekvsre klnbz lehetsgek vannak. Ezeket nevezzk alternatvknak. Az alternatvk egy strukturlt halmaza a dntsi tr. A dntsi tr lersa trtnhet explicit vagy implicit mdon. Egyik formja lehet pldul a matematikai programozs felttelrendszere ltal meghar trozott halmaz, de trtnhet egyszer felsorolssal is. Az alternatvk nhny fontos jellemzje:

Szmossg: a megoldshoz vezet mdszer kidolgozsa szempontjbl lnyeges krds, hogy az alternatvk halmaza vges, megszmllhatan vagy nem megszmllhatan vgtelen szmossg. Pldul a tbbcl programozsi feladatok folytonos problmkat rnak le, a tbbtnyezs dntsek vges (s ltalban nem tl nagyszm) alternatvahalmazzal dolgoznak. Ilyeneket lttunk a 3. s 4. problmban.

Szmszersithetsg: reprezentlhatak-e az alternatvk egyszerbb vagy bonyolultabb numerikus struktrkkal vagy nem kvantitatv mdon adottak.

Klcsnkapcsolatok az alternatvk lehetnek fggetlenek, alkothatnak egy lazn sszefgg struktrt vagy lehetnek lnyeges, bonyolult klcsnkap- csolataik.

Bizonytalansg: a lehetsges alternatvk lehetnek olyan esemnyek is, amelyek bekvetkezse a vletlentl fgg.

C lok (kritrium ok, rtkelsi tnyezk)

Clnak ltalban azokat az irnyokat tekintjk, amerre a rendszer llapott vinni szeretnnk. A clok sok esetben nem felttlenl elrhet vagy szmszersthet kvnsgokat jelentenek meg. Ha a clokat egy hierarchikus struktrba rendezzk, akkor a legmagasabb szinten lev clok ltalban kevss operado- nlisak, mg a hierarchia alsbb szintjein tallhat kritriumok mr kezelhetek, s ltalban a hierarchia legals szintjn mint rtkelsi tnyezk fogalmazhatk meg. Az rtkelsi tnyezk szmszersthetk, s azt mrik, hogy egy adott kritrium (cl) egy bizonyos aspektusbl milyen mrtkben elrhet. Az rtkelsi tnyezk sszessgnek idelis esetben rendelkeznie kell az albbi tulajdonsgokkal:

teljessg: ne maradjon ki egyetlen fontos jellemz sem,

operacionalizlhatsg. elemzsre alkalmas tnyezkrl legyen sz,

felbonthatsg: az rtkelsi folyamatban az alternatvkat az adott tnyez szerint kln is vizsglhassuk,

a redundancia kiszrse: ne legyen ismtld, halmozd szempont,

minimalits: ne ltezzen egy msik, kisebb elemszm tnyezhalmaz, amelyik ugyanolyan jl lerja a problmt.

D ntshoz

A dntshoz a dntsi problma gazdja. Lehet egyetlen vagy tbb szemly, aki a dntsi szituciban az informcik megadsrt, az alternatvk generlsrt s kirtkelsrt, majd a megolds realizlsrt felels.

A dntshoz magatartsa lehet racionlis vagy irracionlis. A dntselmlet ltalban joggal teszi fel, hogy a dntshoz racionlis, s csak ezekkel a problmkkal foglalkozik. A racionlis dntshozrl felttelezhetjk, hogy optim alizl szemllet, az adott szituciban a lehet "legjobb" alternatvt fogja vlasztani. A tbbcl kontextusban pldul ez azt jelenti, hogy a dntshoz a Pareto-optimlis alternatvkat rszesti elnyben, s ezek kzl azt vlasztja, amely rtkel vagy hasznossgi fggvnyt maximalizlja.

A magatartstudomnyok neves kpviseli kimutattk, hogy a dntshozk viselkedse nem mindig felel meg a szigor racionalitsnak: Simon [1982] elnevezsvel lve korltozott racionalits rvnyesl. Ebben az esetben a dntshoz lehet kielgt szemllet: nem keresi a hasznossgi fggvnyt maximalizl alternatvt (hiszen legtbbszr arra vonatkozan kvetkezetes informcik megadsra kptelen), hanem egy szmra megfelel lehetsges (tbbcl esetben Pareto-optimlis) megoldssal fejezi be a kivlasztsi eljrst.

A dntshozrl ltalban azt felttelezzk, hogy a problmra vonatkozan ktfle szemlletben tud informcit szolgltatni. Az informcik egyik rsze az, amit ltalban a problma ob jek tv adatainak neveznk: egytthatk, paramterek, mrsek eredmnyei, szmtott rtkek. A dntshoz ismereteinek s informciinak msik rsze preferencik formjban adott. A dntshoznak lehetnek direkt mdon az alternatvkra vonatkoz s lehetnek az alternatvk egyes tulajdonsgai szerinti preferencii.

A dntsi folyamat

A dntsi folyamat els szakasznak magt a dntsi szituci keletkezst tekintjk. Zeleny [1982] nyomn azt a hipotzist kvetjk, hogy a dntsi modellezs konfliktusfelold folyamat. A rendszeres mkds sorn a vizsglt krnyezetben felmerl egy konfliktus, amelynek feloldsa csak j cselekvsi mdok kzli vlaszts rvn lehetsges: megfogalmazdik a dntsi problm a.

A kvetkez szakaszban trtnik a dntsi problma formalizlsa, azaz valamilyen matematikai formalizmussal trtn lersa, majd pedig a m dszervlaszts (amely ritkn egyrtelm).

A dntsi problma m egoldsnak ltalban azt tekintjk, ha egyetlen cselekvsi lehetsget vlasztottunk ki. Egyes esetekben az alternatvk rangsort adjuk meg, azonban itt is az els helyezsnek van praktikus jelentsge. A modellezsi folyamat elz lpcsjben megadott mdszernek kpesnek kell lennie arra, hogy az adott problma "legjobb" megoldst szolgltassa.

Vgl az adaptls, az rtkels s elem zs fzisban dl el, hogy ez a megolds helyes volt-e, vagy a folyamat jrakezdse szksges.

1.4 Irodalomjegyzk az 1. fejezethez

ARROW, K.J. [1951): Social Choice and Individml Valit es, Wiley, New York

BEROGGI, G.E.G. [1998]: Decision Modeling in Policy Management: An Int- roduction to the Analytic Concepts, Kluwer, Boston

CHANKONG, V.-HAIMES, Y.Y. [1983]: Multiobjective Decision Making: The- ory and Methodology, North Holland, Amsterdam

DANYI, P.-VARR, Z. [1997]: Opercikutats zleti dntsek megalapozshoz, JPTE, Pcs

GSPR, J.-TEMESI, J.: [1998]: Matematikai programozsi gyakorlatok, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest

KEENEY, R.L. [1992]: Value Focused Thinking, Harvard University Press

KEENEY, RL.-RAIFFA, H. [1976]: Decisions with Multiple Objectives: Prefe- rences and Value Trade-offs, Wiley, New York

KINDLER, J.-PAPRIKA, Z.-PPAI, Z. [1991]: Fejezetek a dntselmletbl, Aula Kiad, Budapest

LEE, S.M. [1972]: God Programming fr Decision Andysis, Auerbach Publis- hers, Philadelphia

SIMON, H. [1982]: Korltozott raciondits [ Vlogatott tanulmnyod, Kzgazdasgi s Jogi Knyvkiad, Budapest

STAHL, J. [1991]: Optimumszmts, Aula Kiad, Budapest

STEUER, R.E. [1986]: Multiple Criteria Optimization: Theory, Computations and Applications, Wiley, New York

SZIDAROVSZKY, F.-MOLNR, S. [1986]: Jtkelmleti s tbbcl programozsi mdszerek mszaki alkalmazsokkal, Mszaki Knyvkiad, Budapest

TEMESI, J. [1997]: Dntstmogat rendszerek a tbbcl dntshozatalban, Habiiitcis rtekezs, Budapesti Kzgazdasgtudomnyi Egyetem

TEMESI, J. [1998]: Modellek, mdszerek, alkalmazsok: nyitott krdsek a tbbcl dntsek tmogatsban, A "tlzott kzpontoststl" az tmenet stratgijig, Tanulmnyok Komi .Jnosnak, szerk. Gcs J.-Kll J., Kzgazdasgi s Jogi Knyvkiad, Budapest, 49-63.

VRJ, A.-VECSENYI, J. [1989]: Dntselemzs vezetkkel, SZMALK, Budapest

ZELENY, M. [1982]: Multiple Criteria Decision Making, McGraw-Hill, New York

2. Fejezet

Nhny elemi dntsi mdszer

A fejezetet egy vges sok dntsi vltozatot tartalmaz, tbbtnyezs dntsi pldval kezdjk, amely elssorban az egyszer (klasszikus) dntsi eljrsok bemutatsra szolgl, s a tovbbiakban is fel fogjuk hasznlni illusztratv clokra. Az alapadatokbl egy dntsi mtrixot szerkesztnk, megmutatjuk, hogyan lehet a nem szmszer dntsi tnyezket kvantifiklni, illetve olyan eljrsokat trgyalunk, amelyek biztostjk a mrtkegysgtl val fggetlensget. Ezutn trnk r azon dntsi mdszerek bemutatsra, amelyek nem kompenzcis esetben az alternatvk szrst teszik lehetv, majd a dntshoz termszetbl vagy dntsi filozfijbl szrmaztathat nhny dntsi elvet ismertetnk.

2.1 Harci replgp vsrlsa

sszelt a Harci Team, hogy eldntse, melyik harci replgp felelne meg a legjobban haditechnikjuk modernizcis cljainak. Kt lpcsben fogtak neki a feladatnak. Elszr a szakrtk vlemnyt krdeztk meg, hogy mely tulajdonsgokat tartjk a legfontosabbnak a vgleges dnts meghozatalnl. A szakrtk hosszasain lseztek, majd gy dntttek, hogy a dntshozkat nem szabad tlsgosan sok tnyez egyidej figyelembe vtelvel terhelni, ezrt a 6 legfontosabb tulajdonsgot jelltk meg. Ezek:

X\: maximlis sebessg (mrfld/sec)X 2: rakfellet (m2)X 3: maximlis terhelhetsg (font)Jl4: beszerzsi kltsg (milli $)X 5: megbzhatsg A 6: manverezsi kpessg

Mivel az utbbi kt tulajdonsg minsget mr, ezrt a kvetkez sklt alkalmaztk:

nagyon alacsony; alacsony; tlagos; j; nagyon j

Miutn beszereztk az ajnlatokat, jra a szakrtkn volt a sor: mondjk meg, hogy hny replgpgyrt ajnlatval rdemes foglalkozni. A szakrtk vgl ngy replgp adatait terjesztettk a Harci Team el, a 2 .1 . tblzatban megadott formban:

X i * 3 *4 x 5 *6l 2.0 1500 20000 5.5 tlagos nagyon jM 2.5 2700 18000 6.5 alacsony tlagosAs 1.8 2000 21000 4.5 j jA4 2.2 1800 20000 5.0 tlagos tlagos

2 .1 . tblzat

Melyik gpet vlasszk? Mieltt a sorsdnt lsre sor kerlt volna, a bizottsg titkra (aki az MBA tanfolyamrl emlkezett arra, hogy mdszertani eszkzket is be lehetne vetni a dntselksztsnl) felkrte a kzeli egyetem dntselmletet tanul dikjait, hogy segtsk a Harci Team munkjt. Az egyetemi csoport megvitatta a feladatot s tbbfle mdszert is kiprblt. Ezeket a ksrleteket kvetjk vgig a tovbbiakban.

Az egyetemistk tudtk, hogy a megolds fgg attl, hogy

egy- vagy tbbcl a feladat,

az eredeti feladatot, vagy annak valamilyen transzformltjt oldjk meg,

egyetlen vagy tbb dntshoz van.

Megvitatva a konkrt problmt, az albbi nehzsgekre vilgtottak r:

keverednek a kvantitatv s a kvalitatv szempontok,

nem azonosak a mrtkegysgek,

ellenkez irny clokat tartalmaz a feladat,

nem ismerjk az ismrvek statisztikai tulajdonsgait,

nem tudjuk, hogy milyen fggvnnyel rhatk le az egyes szempontok.

Els kzeltsben a kvetkez javaslataik voltak:

a szempontokat azonos mrtkegysgre kell hozni, vagy mrtkegysgtl fggetlenn kell tenni (ha a tblzat adataival dolgozunk),

egyedi fggvnyeket kell konstrulni (ha a tblzat adatait az ismrvhez tartoz rtkel fggvny egyedi rtkeinek tekintjk),

fontossgi slyokra van szksg (ha a feladatot egyetlen clfggvnyre akarjuk visszavezetni),

a dntshozk preferenciinak megismerse utn fogjunk csak hozz a megoldshoz,

tekintsk az ismrvek rtkeit rangsort meghatroz elemknt s keressnk egy ismrvek szerinti rangsorokat aggregl mdszert.

A javaslatok szemmel lthatan eltr szemlletben fogantak. A krds az, vajon alkalmazni tudjuk-e ezeket az tleteket, s ha igen, milyen eredmnyre jutunk a segtsgkkel? A kvetkez fejezetekben a dikok tleteinek megfelel nhny egyszer dntsi elvet alkalmazunk a fenti feladatra.

2.2 A kvalitatv szempontok szmszerstse

Mivel a nem szmszer ismrvek kezelse gondot okozhat, a verblis sklt az albbival helyettestettk:

nagyon alacsony 1 pont alacsony 3 ponttlagos 5 pontj 7 pontnagyon j 9 pont

Adataink teht a 2 .2 . tblzat szerint alakulnak:

X i X 2 *3 X 4 *6M 2.0 1500 20000 5.5 5 9M 2.5 2700 18000 6.5 3 5A.3 1.8 2000 21000 4.5 7 7A4 2.2 1800 20000 5.0 5 5

2 .2 . tblzat

2.3 Mrtkegysgtl fggetlen adatok ellltsaNe feledjk, hogy a 4. szempont kivtelvel mindegyik ismrvnl az a jobb, ha nagyobb rtket vesz fel (maximum a cl), mg a 4. szempont, az r, akkor jobb, ha rtke kisebb (minimum a cl). Amikor a tblzatot mrtkegysgtl fggetlenn kvnjuk tenni, egyszersmind azonos irnyv is tesszk az ismrveket.

Mrtkegysgtl fggetlen adataink lehetnek tbbfle mdon is. Itt a kt legelterjedtebb mdszert emltjk meg. Az els esetben minden szemponthoz meghatrozzuk az idelis rtket, s ehhez viszonytjuk a tblzat adatait (jl lthat, hogy a transzformcihoz arnyskln mrt alapadatokra van szksg).

Jelljk az eredeti adatokat zy-vel, a transzformit adatokat pedig jellje n j. Ha az egyes szempontok szerinti idelis rtk Xj, akkor kt esetet szoktunk megklnbztetni:a. az idelis rtket a szakrtk adjk meg b. az idelis rtket a tblzatbl kapjuk, mgpedig az

(2.1)

vagyx* = (2.2)

megfeleltetssel, attl fggen, hogy a nagyobb vagy a kisebb rtket tekintjk jobbnak.

Az els eset elnye, hogy az idelis rtk a hasonl feladatok esetben lland, htrnya, hogy csak akkor alkalmazhat, ha a szakrtk kznl vannak, vagy valamilyen ms forrsbl megllapthat az idelis rtk: A msodik esetben az idelis rtket a tblzatbl tudjuk generlni.

Ha a b. esetnek megfelel transzformcit hajtjuk vgre, akkor eljrhatunk gy, hogy az ry rtket az albbi mdon lltjuk el:

= x ij/ x f* * , (2.3)

ha az ismrv maximalizland, s

n j ~ x f n/Xij , (2.4)

ha az ismrv minimalizland.Vegyk szre, hogy a transzformlt tblzatban mindig lesz oszloponknt

legalbb egy 1-es. Esetnkben a transzformlt adatokat a 2.3. tblzat mutatja:

Xx *2 *3 X i X sAx 0.80 0.56 0.95 0.82 0.71 1A 2 1 1 0.86 0.69 0.43 0.56

0.72 0.74 1 1 1 0.78A 0.88 0.67 0.95 0.90 0.71 0.56

2.3. tblzat

Mrtkegysgtl fggetlen adatokat kaphatunk gy is, hogy a tblzatban szerepl szempontok szerinti maximlis s minimlis rtkekbl kpzett terjedelemmel normljuk az eredeti rtkeket.

Ha az ismrvnl a nagyobb rtk a kedvez, akkor a transzformci:

ff . . __

* = f c p (2-5)

Ha az ismrvnl a kisebb rtk a kedvez, akkor a transzformlt rtk:

rV j.rrix _ jJTiin ' (2.6)

Vegyk szre, hogy ezt a transzformcit alkalmazva mindegyik szempontnl (mindegyik oszlopban) lesz legalbb egy 0 s legalbb egy 1 rtk. (Ezt atblzatot az ELECTRE-mdszer bemutatsnl fogjuk elkszteni a 6.2 fejezetben).

2.4 Elimincis eljrsok

Feladatunk megoldst hallgatlagosan gy kpzeltk el, hogy egyetlen (a legjobb) alternatvt (harci replgpet) kell kivlasztani. Sok olyan feladat van azonban, ahol rdemes az alternatvk krt leszkteni: megalkotni a vgs dntshez kivlasztott alternatvknak (az eredetinl legtbbszr jval kisebb elemszm) csoportjt. Feltve azt, hogy az egyes tnyezk nem kompenzlhatjk egymst, ezt a szktst tbbfle filozfia alapjn is megtehetjk.

2.4.1 Kielgtsre trekv mdszer

Ebben a szemlletmdban az egyes alternatvkat szempontjaikkal megadva fogadjuk el, azaz kiindulpontunk a 2.1. tblzat (nincs szksgnk kvantifik- lsra vagy transzformcira sem). Minden szemponthoz tartozik egy kielgtsi szint (z p , amely azt jelzi, hogy ez alatti (fltti) rtkek esetn az alternatvt nem tudjuk elfogadni. Ezt a kielgtsi szintet mindegyik szempontra szimultn rvnyestve csak azok az alternatvink maradnak meg, amelyek egyszerre kielgtik mindegyik aspirds szintet, azaz Aj elfogadhat, ha

Xij > x f mindazokra a j indexekre, ahol a nagyobb rtk a jo b b , (2.7)

s

*i < xj mindazoknl a j indexeknl, ahol a kisebb rtk a jo b b . (2.8)

Ez a szrsi eljrs bntet, ha brmelyik szempont szerint rossz az alternatva. Ez a szrsi szably nagyon sokszor letszer, hiszen pldul egy pozci

betltsnl, -egy tanulmnyi program elvgzse sorn, stb. nem engedjk meg, hogy akr egyetlen szempontbl is "megbukjon" ajelltnk.

Pldnkban legyen

x = (2.0; 1500; 20000; 6.0; tlagos; tlagos)

A 2.1. tblzatot vgigelemezve azt talljuk, hogy kt alternatvnk maradt: Ai s A i (vigyzzunk az rnl: a kisebb rtk a jobb!).

2.4.2 Diszjunktv mdszer

Megeshet azonban, hogy problmnkban nem az a j, ha valaki "megbzhat" minden szempont szerint, hanem az egyedi kivlsgot keressk - elnzve a rossz teljestmnyt, ha valaki valamiben kiemelked tuds. A sportban ltalnos ez az eset, hiszen pldul Pusks nem kerlt volna plyra, ha jobb lbbal is kell tudni legalbb kzepesen cselezni. De tehetsges tudsembereknl is elnznek aprbb kisiklsokat, ha valamiben messze fellmljk a tbbieket. A kiemelkedket jutalmaz szrs teht az albbi mdon adhat meg:

, 3 = 1 vagy 3 = 2 vagy . . . vagy j = m (2.9)

(rtelemszeren < relcit rva, ha a kisebb rtk a jobb), ahol x most olyan szinteket jell, amelyek meghaladsa a jelltet a tbbi szemponttl fggetlenl elfogadott teszi.

Feladatunkban legyen most

x = (2.4; 2500; 21000; 4.5; nagyon j; nagyon j)

Az A i, A s A3 alternatvk maradtak fent a szrn, hiszen legalbb egy szempont szerint teljestettk a kivlsg kritriumt.

2.4.3 Dominancia

A szempontjaink szerint rtkelt alternatvkat tekinthetjk egy-egy hatelem vektornak is. Mint tudjuk, a vektorok nem felttlenl sszehasonlthatak. Ha az egyes szempontok szerint a nagyobb rtk jelenti a jobbat, akkor ha valamelyik alternatvt kpvisel vektorunk minden szempontbl alatta marad egy msiknak (esetleg egyesekben egyenl), akkor azt mondjuk, hogy a vizsglt alternatva dominlt.

A dntshoz nem lenne racionlis, ha dominlt alternatvt vlasztana, magtl rtetdik teht a dominlt alternatvk kiszrse.

Esetnkben a 2.3. tblzat jl mutatja, hogy nincs dominlt alternatvnk (az A4 pldul a hatodik szempont kivtelvel minden szempontbl jobb vagy

egyenl, mit az A i, ez azonban nem elegend ahhoz, hogy az A i kikerljn az elemzend alternatvk kzl), azaz egy racionlis dntshoz brmelyik alternatvt vlaszthatja, attl fggen, hogy milyenek a szempontokra vonatkoz preferencii.

2.5 Lexikografikus mdszer

Trjnk vissza alapfeltevsnkhz, amely szerint egyetlen (a legjobb) alternatvt szeretnnk vlasztani.

Az egyes szempontokrl a legkevesebb, amit mondhatunk, ha fontossgi sorrendbe tudjuk ket lltani. Ezt hasznlja fel a lexikografikus mdszer, amelynek lnyege az, hogy a fontossgi sorrendbe rakott szempontok szerint vizsglja meg az alternatvkat. Ha a legfontosabb szempont szerint egyetlen alternatva a legjobb, akkor azt vlasztjuk. Ha tbb alternatva is holtversenyben ll az els helyen, akkor bekapcsoljuk az elemzsbe a msodik legfontosabb szempontot. Ha ekkor egyetlen alternatvnk marad, akkor megtalltuk a legjobbat. Ha nem, akkor a fontossg szerint soron kvetkez szemponttal folytatjuk az eljrst mindaddig, amg egyetlen alternatvnk marad.

Ha feladatunkban a megbzhatsg a legfontosabb, akkor az A3-at vlasztjuk. Ha az r a leglnyegesebb, akkor is az A 3 a nyer. A maximlis sebessget tekintve legfontosabbnak az A2-t vlasztjuk. Brmi is a szempontok sorrendje, mindig ki tudjuk vlasztani a legjobb megoldst az els lpsben. Ez pldul a 2.3. tblzatban onnan lthat, hogy egyik ismrv szerinti oszlopban sem tallunk egynl tbb 1-es rtket (ez utalna holtversenyre az els helyen).

2.6 Pesszimista dntshoz: a maximin mdszer

Ha a dntshoz kizrlag a tblzat elemeire figyel s azonos fontossgnak tli ket, valamint az rtkek sszehasonlthat sklra vannak transzformlva (pldul a 2.3. tblzatban megadott rtkeket tekintjk), akkor optimista vagy pesszimista hozzllsa is irnythatja t.

A pesszimista dntshoz mindegyik alternatva esetn a legrosszabb rtket tekinti a "gyenge lncszemnek" s gy szeretn a legjobb dntst meghozni, hogy ezen gyenge lncszemek kzl a legmagasabb rtkkel rendelkez alternatvt rszesti elnyben. Megkeresi teht az

nij = minlzfj : j = 1 , . . . , m }

rtket minden i s i n esetn s kivlasztja a

max{mj : * = ! , . . . , }

(2.10)

(2.11)

rtk alternatvt.

A 2.3. tblzatbl az rtkek vektora

(0.56; 0.43; 0.72; 0.56)

Ezek kzl az A 3 alternatvhoz tartozik a legnagyobb rtk.

2.7 Optimista dntshoz: a maximax mdszer

Mg a pesszimista dntshoz csak a legrosszabb rtkekre figyel s azok alapjn hozza meg dntst, az optimista dntshoz csak a legjobb rtkeket veszi figyelembe. gy tekinti, hogy az alternatvt a legjobb rtke kpviseli, teht azok kzl is a legjobbat kell vlasztania. Az azonos mrtkegysgre hozott alternatvknl megkeresi teht az

Mi = m ax{iy : j = 1 , . . . , m } (2.12)

rtket minden t-re, majd kivlasztja a

m ax{M i: t = 1 ,. . . , n } (2.13)

rtk alternatvt.Ha a 2.3. tblzat rtkei szerint hozza meg dntst, akkor szmra az Ax,

az Ai s az A3 alternatvk egyenrtkek, hiszen azok mindegyike legalbb egy szempont szerint a legjobb.

2.8 Irodalomjegyzk a 2. fejezethez

CHIKN, A. [1978]: Bevezets a dntselmletbe, Mszaki Knyvkiad, Budapest

HWANG, C.L.-MASUD, A.S.M. [1979]: Multiple Objective Decision Making: Methods and Applications, Springer, New York

KINDLER, J.-PAPP, O. [1977]: Komplex rendszerek vizsglata, Mszaki Knyvkiad, Budapest

NIJKAMP, P.-VAN DELFT, A. [1977]: Multi-Criteria Analysis and Rginl Decision Making, Leiden, The Netherlands

SZABADKAI, A.-SZIDAROVSZKY, F. [1983]: Dntselksztsi mdszerek alkalmazsa, Mezgazdasgi Kiad, Budapest

YOON, K.P.-HWANG, C.L. [1995]: Multiple Attribute Decision Making: An Introduction, Sage Publications, Thousand Oaks

3. Fejezet

Dntsek bizonytalansg mellett

Dntseink nagy rszben a krnyezet bizonytalansgot tartalmaz elemei is befolysolhatjk a vgeredmnyt. Ebben a fejezetben egy klasszikus dntsi feladatot s mdszert trgyalunk az informci rtkt eltrbe helyez mdon: a Bayes-ttelt felhasznl dntsi diagramok s dntsi fk egy pldjt mutatjuk be.

3.1 Egy vllalkozs bvtse

Mg a 2.1. fejezet mintafeladatban az alternatvk kzl val vlasztsban nem jtszott szerepet a dntsi problma krnyezetnek llapota, most egy olyan nagyon egyszer feladatot tekintnk, ahol vannak (vagy beszerezhetk) informcik a dntsnl megjelen bizonyos esemnyek bekvetkeztnek valsznsgeirl. Ezt gy is megfogalmazhatjuk, hogy a harci replgp kivlasztsakor nem befolysolt bennnket sem egy jelenlegi bizonytalan esemny, sem az, hogy dntsnk kvetkezmnyeivel a jvben fogunk szembenzni, amikorra esetleg a dntsben szerepet jtsz egyes krlmnyek megvltozhatnak: els mintafeladatunkra determ inisztikus modelleket alkalmaztunk.

A vals dntsek nagy rsze azonban olyan, hogy a jvben bekvetkez bizonytalan kim enetel esemnyek is befolysoljk: nem mindegy az, hogy egyes felttelek amelyek kimenete a vletlentl fgg hogyan alakulnak. A dntsben teht sztochasztikus (a vletlentl fgg) tnyezket is kezelnnk kell.

Vegyk azt az egyszer esetet, amikor egy vllalkozs tulajdonosa az zlethlzat bvtse vagy j tevkenysgek bevezetse kztti dnts eltt ll. Cselekvsi lehetsgei az albbiak:

a\: j fikzlet megnyitsa2 : j szolgltats bevezetse03: j termkkel val megjelens a piacon

Brmelyik tevkenysgbe kezd is, az eredmnyt befolysolja az, hogy milyenek lesznek a kvetkez v keresleti viszonyai, hiszen akkorra fejezdik be a kivlasztott tevkenysg elksztse, vagyis csak a jv vben tud piacra lpni. Vllalkoznknak teht valamifle elkpzelssel kell rendelkeznie a kvetkez v keresleti viszonyairl ahhoz, hogy az egyes cselekvsi vltozatokhoz tartoz jvbeni nyeresgeket szmszersteni tudja. A vllalkoz az eddigi zletmenet alapjn a kvetkez becslseket kpes megadni.

A jv vi keresleti viszonyokat egy ngyfokozat sklval jellemzi, s a piac mai llapota alapjn a lehetsges jvbeni esemnyek bekvetkezsnek eslyt is meg tudja adni. Szerinte teht a jv vi keresleti viszonyok:

s; nagyon js2: jS3: kzepes s4: gyenge

Mivel vllalkoznknak semmifle hatsa nincs arra, hogy az egyes esemnyek kzl melyik kvetkezik be, ezrt azt szoktuk mondani, hogy szmra a jvbeni esemnyek mint a term szet jv b en i llapotai jelennek meg. Az ezen llapotok bekvetkezsnek eslyre vonatkoz becslsei a szubjektv valsznsgi rtkek, amelyeket P(si)-vel jellnk. Esetnkben ezek az rtkek:

P (s i) = 0.4 P (s2) = 0.3 P (s3) = 0.2 P (s4) = 0.1

Az egyes tevkenysgek jv vi tiszta nyeresge fgg attl, hogy milyenek lesznek a keresleti viszonyok. A 3.1. tblzat milli forintban tartalmazza a tiszta nyeresgeket.

Esemnyek TevkenysgekOi o2 0320 26 10

s2 12 10 88 4 7

4 4 -4 5

3.1. tblzat

A tblzat rtkeire a tovbbiakban v(sj, aj) = v^-knt is fogunk hivatkozni, azaz pl. v(s2,o 3) = V23 8. Bevezetjk mg a kvetkez jellseket:

M j = m ax{t;y} (oszlopmaxhnum)

a legnagyobb nyeresg,rrj = (oszlopminimum)

(3.1)

(3.2)

pedig a legkisebb nyeresg az egyes tevkenysgekre vonatkozan.

Esetnkben

Mj = 20, 26 s 10,

trj = 4 , - 4 s 5.

A dntsi krds az, hogy a vllalkoz melyik tevkenysget vlassza?

3.2 Pesszimista s optimista dnts a pnzrtk alapjn

Ebben a feladatban is gondolkodhat gy a vllalkoznk, hogy nem veszi figyelembe a keresleti viszonyok jvbeni llapothoz tartoz valsznsgeket. Ezt most gy is megfogalmazhatjuk, hogy a dntshoz a feladatban rejl bizonytalansggal nem foglalkozik s dntsben kizrlag a 3.1. tblzatban megadott nyeresgrtkekre koncentrl. Mint ahogyan azt a 2.6 s 2.7 fejezetekben lttuk, itt is megklnbztethetjk a pesszimista s optimista esetet.

A pesszimista dntshoz a tevkenysgenknt bekvetkez legrosszabb rtkek kzl vlasztja a legjobbat, vagyis az nij rtkekbl a maximlis rtk lesz a dntse (m axim in kritrium ). Ez a pldnkban 5 milli forint, s az 3 tevkenysget (j termk) kell vlasztani.

Az optimista dntshoz a lehet legjobb rtket vlasztja, vagyis az Mj rtkek kzl a legnagyobbat (m axim ax kritrium ). Pldnkban ez 26 milli forint, s az 02 tevkenysget kell vlasztania (j szolgltats).

A pnzrtkre koncentrl dntshoz optimizmusa nem felttlenl lt olyan szlssges formt, mint ahogyan az a maximax kritriumban megjelenik. Hur- wicz vezette be az n. optim izm us egytthatt, a H urw icz-fle a-t. Az gy jellemzett dntshoz a arnyban optimista, mg 1a arnyban pesszimista, dntse teht az albbi kplet szerint alakul:

s a H rtkekbl kell a legnagyobbat vlasztanunk. Ha dntshoznk kimondottan optimista, vagyis pl. a = 0.8, akkor

Hi(a) = a Mi + (1 a) mi (3.3)

H = 0.8 20 + 0.2 4 = 16.8 H2 = 0.8 26 + 0.2 ( -4 ) = 20.0 H3 = 0 .8 -1 0 + 0 .2 -5 = 9.0

A dnts teht Oj. Lthat, hogy a rtknek vltozsval a dnts is vltozhat hogy ez mely a esetben kvetkezik be, itt most ezzel nem foglalkozunk, az olvas megkeresheti azt az optimizmus egytthatt, amelynl egy msik cselekvsi vltozatba fordul t a dnts.

3.3 Elmulasztott nyeresgek alapjn trtn dnts

Az eddigiekben a 3.1. tblzatban megadott nyeresgrtkekkel dolgoztunk. Dntshoznk azonban gondolkozhat gy is, hogy az. n. elmulasztott nyeresgrtkeket veszi figyelembe dntsnl. A termszet brmelyik llapott tekintjk, annak bekvetkezsekor mindig megmondhat, hogy mi lett volna a legmagasabb elrhet nyeresg. Ha teht valban bekvetkezett az az llapot, s mi nem az optimlis cselekvsi vltozatot vlasztottuk, akkor hhoz kpest vesztettnk valamennyit. Ha pldul a vllalkoz az j tennk bevezetse mellett dnttt, s a kvetkez vben nagyon jk lettek a keresleti viszonyok, akkor 16 milli forint nyeresget elmulasztott ahhoz kpest, ha az ebben az esetben optimlis tevkenysget, az j szolgltats bevezetst vlasztotta volna. Ebben a szemlletben teht felpthet az elmulasztott nyeresgeket tartalmaz3.2. tblzat. Vegyk szre, hogy a sorok maximlis rtkeihez viszonytunk, teht minden sorban van legalbb egy 0 rtk.

Esemnyek Tevkenysgek1 2 03

S 6 0 162 0 2 4sz 0 4 1s4 1 9 0

3.2. tblzat

Az elmulasztott nyeresgekben gondolkod dntshoz megkeresi az egyes tevkenysgekhez tartoz m axim lis rtket, s ezek kzl a m inim list vlasztja. Pldnkban a maximumok:

6 9 16Ezek kzl a 6 a legkisebb, teht dntshoznk az aj vltozatot (j fikzlet

megnyitsa) vlasztja.

3.4 Dnts a valsznsgrtkek alapjn

Mg az elz kt alfejezetben csak a pnzrtkeket (nyeresgeket) vettk figyelembe, ebben az esetben viszont a termszet llapotaihoz rendelt valsznsgekre koncentrlunk. A dntshoz azt a cselekvsi lehetsget vlasztja, amely

a legnagyobb bekvetkezsi valsznsg esem ny m ellett a maximlis nyeresget biztostja. Ez a dntsi mdszer a maximum likelikood kritrium elnevezst viseli. Esetnkben a legnagyobb valsznsg a nagyon j keresleti viszonyhoz tartozik (0.4), itt pedig az 02 alternatva (j szolgltats) adja a legnagyobb nyeresget.

3.5 Dnts a vrhat pnzrtk alapjn

Mivel az eddigi mdszerek mindegyike egyoldalan valamelyik oldalra koncentrlt, kzenfekvnek tnik, hogy egy olyan szemlletben hozzunk dntst, amely mind a termszet llapotaira vonatkoz valsznsgeket, mind pedig az egyes bekvetkezsek melletti nyeresgeket is figyelembe veszi. ppen ezt teszi a vrhat pnzrtk kritrium alapjn trtn dnts, ahol az egyes cselekvsi lehetsgekhez kiszm tjuk a k lnbz term szeti llapotoknl kaphat nyeresgek valsznsgekkel slyozott sszegt s ezek kzl vlasztjuk a maximlis rtkt.

Jelljk FP(oj)-vel az egyes alternatvkhoz tartoz vrhat pnzrtket s szmoljunk a 3.1. tblzat adataival:

V P (o i) = 0.4-20 + 0 .3 -12+ 0 .2-8 + 0 .1-4 = 13.6VP{a2) = 0 .4 -2 6 + 0 .3 -1 0 + 0 .2 -4 + 0 .1 - ( - 4 ) = 13.8VP{az) = 0.4 10 + 0.3 8 + 0.2 7 + 0.1 5 = 8.3

A vrhat pnzrtk szerinti dnts teht az a2 (j szolgltats bevezetse) de amint ltjuk, ez az alternatva ppen csak megelzi az j fikzlet megnyitst reprezentl ai alternatvt.

Az elmulasztott nyeresgekben gondolkod dntshoz dnthet a vrhat elm ulasztott nyeresg kritriuma alapjn is. Ekkor a 3.2. tblzat adataival tudjuk kiszmolni a VE(j) rtkeket:

VEiax) = 2.5 VE{a2) = 2.3 VE(a3) = 7.8

Az egyes cselekvsi lehetsgekre kiszmtott vrhat elmulasztott nyeresgek kzl a legkisebbet vlasztva kerlnk a legkedvezbb helyzetbe, teht ismt02-t kell vlasztanunk. Vegyk szre, hogy ez nem vletlen, a vrhat pnzrtk s a vrhat elmulasztott nyeresg kritrium mindig ugyanazt a dntst szolgltatja. Ez abbl kvetkezik, ahogyan a nyeresg tblzatbl az elmulasztott nyeresg tblzatot kpeztk.

3.6 Egy befektetsi dnts

Vllalkoznknak 14 milli forint befektetni val pnze akadt. Kt befektetsi vltozatot vizsgl meg: telket vsrolhat a krnyken, vagy bankba teszi a pnzt. A telek ppen 14 milli forintba kerl, s megvsrlsval rtkll befektetsben remnykedik a vllalkoz. Ezrt utnanz, hogy nem lesz-e a krnyken olyan vltozs, amely jelentsen megvltoztatn a telek rtkt. Kiderl, hogy ugyan a krnyk nem ppen a legjobb az ingatlanbefektetsek cljra valszn, hogy 1%-kal cskken az rtke a kvetkez vre , m valsznsthet, hogy a vrosi nkormnyzat bevsrlkzpontot pt a kzelben, s ekkor a telek rtke akr 10%-kal is nhet.

A msik lehetsg az, ha bankba teszi a pn2t. A kamatlb most 5%, m ha felpl a bevsrlkzpont, ez olyan zleti pezsgst jelenthet, hogy a bank jobb kamatot, 5.5%-ot is tudna fizetni. A bevsrlkzpont ptsnek valsznsge a rendelkezsre ll informcik alapjn 75%.

Ebben a rendkvl leegyszerstett pldban alkalmazzuk az elz fejezetekben alkalmazott jellseket! A 3.3. nyeresg-tblzat (ezer forintban):

Esemnyek Cselekvsi lehetsgekai telekvsrls 2 = pnz a bankban

s = bevsrlkzpont pl 1400 770

S2 = nem pl bevsrlkzpont -140 700

3.3. tblzat

A szubjektv valsznsgek: P (s i) = 0.75, P(sz) = 0.25.

3.7 Dnts a rendelkezsre ll informci alapjn

Ismerve az elz fejezetekben ismertetett mdszereket, dntshoznk a vrhat rtk alapjn val dntst rszesti elnyben. Kiszmolja teht az egyes alternatvkhoz tartoz vrhat pnzrtket a rendelkezsre ll inform ci alapjn (V P R I(a j)):

VPRI(a i) = 1400 0.75 - 140 0.25 = 10X5 VPRI(a2) = 770-0.75 + 700-0.25 = 752.5

A nagyobb rtk az ai -hez tartozik, vagyis a vllalkoznak a telekvsrls mellett kell dntenie, V P R I = 1015.

3.8 A tkletes informci vrhat pnzrtkeVllalkoznkat azonban nem hagyja nyugodni az, hogy ha tbbet tudna a bevsrlkzpont megptsrl, megalapozottabban fektethetn be a pnzt. A kvetkezkppen gondolkodik. Ha lenne valaki, aki pontosan meg tudn mondani, hogy megpl-e a bevsrlkzpont, vagy sem, akkor minden lehetsges esethez meg tudnnk adni az optimlis alternatvt s annak nyeresgt. Tegyk fel, hogy l valahol egy js, aki erre valban kpes. Mennyi lenne a vrhat pnzrtk tkletes informci birtokban (VPTI)? Megkrdezzk-e a jst, s ha igen, vajon mennyit rdemes fizetni a tkletes informcirt? Tekintsk aS.4 . tblzatot.

O.' j

V i - o - i r

3.4- tblzat

A tkletes informcihoz tartoz vrhat pnzrtk teht V P T I = 1225 ezer Ft lenne. Ebbl mr az is kiszmthat, hogy mennyit rdemes ldozni a tkletes informcirt: a kt vrhat rtk klnbzetnl tbbet semmikppen. Ez a klnbsg

V P T I - V P R I = 1225 - 1015 - 210ezer Ft.

Tkletes jst valsznleg nem tall a vllalkoz, ha azonban mgiscsak akadna valaki az nkormnyzat krl, aki ezt a szerepet elvllalja, annak maximum 210 ezer forint jutalmat rdemes adnia..

3.9 Nem tkletes informcin alapul dnts

Ha jsok nem is teremnek minden bokorban, elrejelz cgeket knnyebben tallni. Tegyk fel, hogy vllalkoznknak az az tlete tmad, hogy.megkrdezzen egy elrejelzsekkel foglalkoz cget, hogy szerintk pl-e bevsrlkzpont vagy sem? Az elrejelz cg teht az albbi lehetsgeket adja hozz a feladathoz:

z\: az elrejelzs szerint megpl a bevsrlkzpont,Zi\ az elrejelzs szerint nem pl meg a bevsrlkzpont.Ha megkrdeztk a cget, s a fenti lehetsgek kzl az egyiket vlasztotta

(pozitvan vagy negatvan vlaszolt a feltett krdsre), akkor a valsgban bekvetkez esemny vagy megersti vagy megcfolja a cg elrejelzst. Megeshet,

Lehetsgeselrejelzs

Optimliscselekvs

Az optimlis cselekvs nyeresge

Az elrejelzs valsznsge

Vrhatpnzrtk

Sl i 1400 0.75 1050 -

S2 02 700 0.25 175

hogy a cg azt vlaszolta neknk, hogy meg fog plni a bevsrlkzpont, s az valban meg is pl. Elfordulhat azonban az is, hogy a cg tved, s a bevsrlkzpont mgsem pl meg.

Hasznljuk a valsznsgszmtsban tanult feltteles valsznsg fogalmt a fentebb elmondottakra s definiljuk a P(si \ z j), P (s2 ) z i), F (si | z2) s P{s 2 | z2) valsznsgeket! Ezeket a valsznsgeket a tovbbiakban a posteriori valsznsgeknek nevezzk. A P (s2 | zj) pldul azt jelenti, hogy annak valsznsge, hogy a bevsrlkzpont nem pl meg,/mikzben a felkrt cg azt jelezte elre, hogy meg fog plni: P i s ^ z f f

Ennek megfelelen a P (s i), P (s2) valsznsgeket a priori valsznsgeknek fogjuk nevezni.

A felkrt elrejelz cget jl jellemzi az, hogy eddigi mkdse sorn milyen mrtkben "tallta el" pozitv vagy negatv rtelemben a jvbeni trtnseket. A P (zi | s) s a P (z 2 | s2) feltteles valsznsgeket (Iikelihood-okat) bevlsi valsznsgnek is nevezhetjk, hiszen az els valsznsgi rtk azt mutatja, hogy milyen szzalkban tallt el a cg valamilyen esemnyt, ami valban bekvetkezett, a msodik valsznsg pedig azt mutatja, hogy milyen szzalkban tallta el azt, ha az esemny nem kvetkezett be. A kt valsznsgnek nem kell felttlenl egyformnak lennie, a nagy marketing cgekre vonatkoz vizsglatok azt mutatjk, hogy "negatv" esetet "knnyebb" elrejelezni, mint pozitvat, azaz legtbbszr a msodik feltteles valsznsg a nagyobb.

Tegyk fel, hogy vllalkoznk felkeresett egy olyan cget, amelynek hossz vekre vonatkozan vannak kimutatsai az elrejelzseinek pontossgrl, s ez alapjn az albbi feltteles valsznsgekkel rendelkeznk:

P {z2 | *2) = 0.9, azaz P (zi | s2) = 0.1.Ha rendelkezsnkre llnak az a priori valsznsgek s a feltteles (bevlsi)

valsznsgek, akkor a Bayes-ttel segtsgvel ki tudjuk szmtani a bennnket rdekl a posteriori valsznsgeket ezeket pedig fel fogjuk hasznlni a vrhat pnzrtk meghatrozsnl.

A Bayes-ttellel pldul a P (si | zi) valsznsget az albbi kplettel szmthatjuk ki:

P (z 1 I s ) = 0.8,teht

P(Z2 f S) = 1 P(zi I S) = 0.2s

p (5i | I s ) ' P(s i ) = P (z iH s i) (3.4)

Hogyan trtnik pldnkban az a posteriori valsznsgek kiszmtsa? A szmtsokat a 3.5. tblzat segtsgvel kvethetjk vgig.

P(*l 1 Si) p { z i n s i ) P(Si | Zl)

S 0.75 0.80 0.600 0.600/0.625 =0.96

S 2 0.25 0.10 0.025 0.025/0.625 = 0.04

3.5. tblzat

A tblzatbl kiszmthat a P(z\) = P (zi Cl s) + P (z i n s2) = 0.625 valsznsg, amely azt adja meg, hogy mennyi a valsznsge annak, hogy a cg a bevsrlkzpont megptst fogja elrejelezni.

Hasonl szmtsok utn:P (si | z2) = 0.4 s P {s2 | *a) = 0*6,P(z2) = 0.375.

Most mr ki tudjuk szmolni az egyes elrejelzsekhez tartoz vrhat pnzrtket mindegyik alternatvra- Jellje a VP(a i | Zi) az Oj alternatva vrhat pnzrtkt az elrejelz cgnek azon jslata mellett, hogy a bevsrlkzpont meg fog plni. Hasonlkppen a VP(2 | z\) az a2 vrhat pnzrtke, ha az elrejelzs szerint a bevsrlkzpont megpl. A V P (c i | z2) s VP(2 J z2) az i s aj vrhat pnzrtke, ha a cg a bevsrlkzpont megpltnek elmaradst jsolja.

A bevsrlkzpont megplst elrejelz vltozathoz tartoz vrhat pnzrtkek:

V P (o i | Zj) = * j(s i,O i) 'P (s i| * i) + u (s2 ,a i)-P (s2 | i) =

= 1400 * 0.96 + (-140) 0.04 = 1338 A

V P(a2 |z1) = (s i ,a 3) -P ( s i 1 zi) + u(s2, 03) -P(*2 | i) == 770 0.96 + 700 0.04 = 767.2

Ha teht az elrejelzs szerint a bevsrlkzpont megpl, akkor a helyes dnts a telekvsrls (az alternatva).

Ugyanezen mdon kiszmolva az egyes alternatvk vrhat pnzrtkt, ha az elrejelzs a bevsrlkzpont megplst negatvan tli meg:

V P (o i | z2) = 1400 0.40 + (-140 ) 0.60 = 476

VP(a 2 | z2) = 770 0.40 + 700 0.60 = 728

Ha teht az elrejelzs szerint a bevsrlkzpont nem pl meg, akkor a helyes dnts a bankbett (az a2 alternatva).

Hegyk fel, hogy a cg 115 ezer forintot kr az elrejelzsrt. Megri ez neknk vagy sem? Egy jbb dnts vr rnk: ignybe vegyk-e az elrejelzst?

Akrcsak a tkletes informci esetben, most is kiszmolhatjuk azt, vajon mennyit rdemes ldozni a ptllagos informcirt. Ha ignybe vesszk a ptllagos (rszleges) informcit, akkor a rszleges informci alapjn a vrhat pnzrtk kiszmtshoz elksztjk a 3.6. tblzatot.

3.10 A nem teljes informci vrhat pnzrtke

Elrejelzs Optimlis

cselekvs

Az optimlis

cselekvs nyeresge

Az elrejelzs

valsznsge

Vrhat

pnzrtk

Zl 01 1338.4 0.625 836.5

z2 a2 728 0.375 273.0

S.6 . tblzat

A vrhat pnzrtk, V P I I 1109.5. A rszleges informcirt fizethet sszeg maximuma most

V P I I - V P R I - 1109.5 -1 0 1 5 = 94.5

ezer Ft. A feladatunkban a cg ltal krt sszeg ennl nagyobb, teht nem rdemes az elrejelzst ignybe venni. Elrejelzs nlkl pedig a vrhat pnzrtk alapjn ai mellett dntnk.

3.11 Dntsi fk

Az eddig elmondottakat knyelmesen tudjuk kezelni akkor, ha egy megfelel grafikus eszkzt hasznlunk. Ez az eszkz a dntsi fa, amelyen a dnts meghozatala az n. kirtkelsi eljrs segtsgvel trtnik meg. A dntsi fa elnevezs a grfelmletbi szrmazik.

Jellje eg s e\ az albbi cselekvsi alternatvkat:e0: ignybe vesszk az elrejelzst,ef. nem vesszk ignybe az elrejelzst.Ezen j jellsnket s a rgebbi jellseket felhasznlva (z q egy virtulis

alternatva, amely csak az bra trdelsben segt) az albbi halmazokat definilhatjuk:

E - {eg, e i } Z = {zg, * i, z2} ' A = {a j, 02} S = {s , 2)

Jegyezzk meg, hogy az B s A halmazok dntsi alternatvkat tartalmaznak, mg a Z s S a dntshoztl fggetlen esemnyek lehetsges kimeneteleit tartalmaz halmazok. A 3.1. bra ngy szakaszra bontja dntsi folyamatunkat. Az E halmaz elemei jelentik a kiindul dntsi helyzetet: vegyk-e ignybe az elrejelzst vagy sem. Ha ignybe vesszk az elrejelzst, akkor pozitv vagy negatv vlasz lehetsges: az brn a Z{ lekre kerlnk. A harmadik szakasz jra dntst kvn (akrmi is az elrejelzs): melyik cselekvsi lehetsget vlasztjuk? Vgl az bra negyedik szegmense a jvbeli lehetsges kimenetelekt brzolja: brmit is dntttnk, a bevsrlkzpont vagy meg fog plni vagy sem.

3.1. braA 3.2. brn megjelennek az alapadatok s az elzekben kiszmolt val

sznsgek. A vgpontokon a nyeresgmtrix adatai szerepelnek, amelyekbl levontuk az elrejelz cg ltal krt sszeget (mivel az a nyeresget cskkent kltsg). Az bra vgpontjai a feladatban szerepl sszes lehetsges esetet jelentik. Ha valamelyik vgpontbl elindulunk a kezdpont fel, akkor ezltal egy dntsekbl s lehetsges kimenetelekbl ll elgazssorozatot adunk meg. A vletlen esemnyeket jelz gakra a bekvetkezsi valsznsgek kerltek. Ezek a vgpontokat kzvetlenl megelzen az a priori s a posteriori valsznsgek (ez utbbiak az elrejelzsi gon tallhatk), az els dntsi szakaszban pedig az elrejelzs eredmnyhez tartoz feltteles valsznsgek.

- y y w i l a a c n i n j g g x t

3.2. bra

Az adatok felvitele utn megkezddik a kirtkelsi eljrs, amelyet a fa vgpontjaibl indtunk. A 3.3. bra csompontjaira berjuk azokat a vrhat pnzrtkeket, amelyeket akkor kapnnk, ha az adott gon az ppen vizsglt pontig mr eljutottunk volna. A szmok mr ismersek a fels gon: ezek a megfelel vrhat pnzrtkek, ha nem vettnk ignybe elrejelzst. A tbbi rtk akkor egyezik meg az ltalunk az elzekben kiszmtottakkal, ha mindegyikhez hozzadunk 115 ezer forintot (pl 1223.4 + 115 = 1338.4). Ez a ngy rtk az sszes lehetsges esetet mutatja, akrmi is volt az elrejelzs eredmnye s akrmi is a vgs kimenetel. A fa csompontjai teht az sszes lehetsges eset vrhat pnzrtkt kpviselik.

Tovbbra is visszafel haladva a grfon egy dntsi pontba rkeznk el. Nyilvnval, hogy a dntsi pontbl most mr elre tekintve azon az gon akarunk majd haladni, amelyikhez a nagyobb vrhat pnzrtk tartozik. Ha teht valaha is eljutunk pldul a zq vgpontjba, akkor az j-et vlasztjuk, mert az elgazsnl ahhoz tartozik a nagyobb pnzrtk. Ugyangy a z\ vgpontjban az oi-et, a z-i vgpontjban az 02-t vlasztjuk. A vgpontokra ezrt fel is rjuk az innen "szerezhet" maximlis nyeresgeket, s a kvetend utat gy jelljk meg, hogy a nem maximlis rtkekhez tartoz gakat "kivgjuk". A 3-4 brn kvethetjk vgig az elmondottakat.

3.3. bra

3-4- bra

A 3.5. bra mutatja azt a helyzetet, amelyben egy jabb htrafel trtn lpssel kaptunk. Ezen az brn az elrejelzsi dnts meghozatala eltti helyzetben vagyunk. A fels g trivilis: mivel nincs sz elrejelzsrl, a vrhat pnzrtk vltozatlan. Az als gon aszerint kapjuk meg a vrhat pnzrtkeket, hogy az elrejelzs eredmnye a bevsrlkzpont megptsrl pozitv vagy negatv. A kiszmtshoz a feltteles valsznsgeket s a mr kirtkelt vgpontok vrhat pnzrtkeit hasznljuk fel. A vgpontokra felrtuk az eredmnyeket.

A 3.5. bra vgpontjain lthat rtkek kzl kell vlasztanunk, ha az eo s ei elgazsval jellemzett dntsi helyzetbe jutottunk el.

[1015]

3.5. bra

Innen megint elre tekintve magtl rtetdik, hogy a nagyobb rtket kell vlasztanunk s a kisebb rtkhez tartoz gat ki kell vgnunk a fbl. Ez lthat a 3.6. brn. Utols teendnk az, hogy a kiindulpontra felrjuk a maximlis vrhat pnzrtket.

3.6. bra

Ha ezzel a kirtkelssel kszen vagyunk, akkor megllunk a kiindulponton s megtekintjk a 3.7. brn lv helyzetet. (Az brra nem rtuk fel az adatokat, mivel a kivgsokkal keletkez tvonalra sszpontostunk.)

3.7. bra

Ha nem voltak egyes vgpontokban azonos vrhat pnzrtkek, akkor a kivgsok miatt (amerre nem mehetnk) a grfon egyetlen olyan tvonal keletkezett, amelyet most mr az elejrl vgigjrva megkapjuk az optimlis dntseket. Feladatunkban a megolds az, ha nem krjk az elrejelzst (eo) s az j fikzlet megnyitsa (o i) mellett dntnk. Ekkor a vrhat pnzrtk 1015 ezer Ft, nagyobb, mint brmely ms esetben.

3.12 Irodalomjegyzk a 3. fejezethez

BEROGGI, G.E.G. [1998}: Decision Modeling in Policy Management: An Int- roduction to the Anlytic Concepts, Kluwer, Boston

HILLIER, F.S. - LIEBERMAN, G.S. [1986]: Introduction to Operations Research, Holdn Day, Oakland, Califomia; magyarul: Bevezets az opercikutatsba,, SZMALK, Budapest

HOWARD, R. [1968]: The foundations o f decision analysis, IEEE Transaction n Systems, Science and Cybemetics, SSC-4, 211-219.

HOWARD, R. [1989]: The evaluation of decision analysis, a HOWARD, R.- MATHESON, J. (szerk): The Principles and Applications of Decision Analysis, Strategic Decision Group, Menlo Park, California ktetben

PRATT, J.W .- RAIFFA, H. -SCHLAIFER, R. [1965]: The Foundations of Decision Under Uncertainty: An Elementary Exposition, McGraw Hill, New York

RAIFFA, H.[1968]: Decision Analysis, Addison Wesley, Reading, MA

SAGE, A.P. [1977]: Methodology fr Large Scale Systems, MacGraw Hill, New York

SCHLAIFER, R. [1969]: Analysis o f Decisions Under Uncertainty, McGraw Hill, New York

SZENTPTERI, GY. [1980]: Gazdasgi dntsek bizonytalansg esetn, Kz- gazdasgi s Jogi Knyvkiad, Budapest

VON WINTERFELDT, D. - EDWARDS, W. [1986]: Decision Analysis and Behavioral Research, Cambridge University Press, New York

WATSON, S.R. - BUEDE, D.M. [1987]: Decision Synthesis. The Principles and Practice of Decision Analysis, Cambridge University Press, New York

4. Fejezet

rtkel fggvnyek

A negyedik fejezetet a preferencia relcik s preferencia rendezsek alapvet tulajdonsgainak bemutatsval kezdjk, majd az egy- s tbbtnyezs rtkel fggvnyek (value fimctions) trgyalsa kvetkezik. Kimondjuk az ezen fggvnyek ltezsre vonatkoz alapvet tteleket, majd rszletesen trgyaljuk a legegyszerbb eseteket: az additv s a dekomponlhat fggvnyeket. A fejezethez tartoz irodalomjegyzk az 5. fejezet utn tallhat.

4.1 Preferencia relcik alapvet tulajdonsgai

Mind a determinisztikus, mind a kockzat melletti nem-determinisztikus feladatok tovbbi trgyalshoz szksgnk van a preferencia relcik trgyalsra, amely a mikrokonmia megalapozsban is fontos szerepet jtszik. Pldinkat ezrt nem csak a dntselmlet terletrl vesszk majd, hanem a mikrokonmia terletrl is.

Kiindulsknt vegynk egy rtkelsre vagy sszehasonltsra vr elemekbl ll X halmazt. Ez a halmaz lehet vges (tartalmazhat autkat, llshelyeket, szemlyeket), vagy vgtelen szmossg (tartalmazhat fogyasztsi szinteket vagy tkletesen oszthat javakat).

Tekintsk ezen halmaz (z, y) rendezett elemprjt. A preferencik klasz- szikus elm letben arra a krdsre, hogy vajon az "a; elem legalbb olyan j- e, mint y " , kizrlag igennel vagy nemmel lehet vlaszolni. Ha minden X-beli rendezett prra feltesszk ezt a krdst, akkor egy binris relcit ltestettnk az X halmazon, amelyet x b y mdon jellnk, s|| l I ....

x y y akkor s csak akkor ll fenn, ha az "x legalbb olyan j-e, mint y" krdsre a vlasz igen.

Legyen az x y y relci a kiinduls (a primitv relci), s ekkor knnyen belthat, hogy az (x, y) elemprra az albbi ngy, egymst klcsnsen kizr eset fogalmazhat meg:

(1) [x y y s y y a:), amelyet az x ~ y mdon jellnk s azt mondjuk, hogy az x s y indifferensek (I).

(2) [Nem(x > y) s Nem(y y *)], amelyet x ? y mdon jellnk, s azt mondjuk, hogy x s y nem sszehasonlthat (J).

(3) [x >: y s Nem(y y a:)], amelyet x y y mdon jellnk s azt mondjak, hogy x szigoran preferlt y-hoz kpest (S).

(4) [Nem(x y y) s y y x], azaz y szigoran preferlt x-hez kpest.Az x y y relci esetben azt mondjuk, hogy x preferlt y-hoz kpest (P ) .

Megjegyezzk, hogy nem felttlenl a y relci a primitv, lehet pldul a szigor (ers) preferencibl is elindtani a preferencia struktrk vizsglatt.

Mieltt P , I ,J s S .egyes jellemzit megvizsglnnk, definiljuk a binris relcik nhny, a tovbbiakban szmunkra fontos szerepet jtsz tulajdonsgt az a, b, c X elemek segtsgvel.

Tranzitivits: egy X -en rtelmezett binris relci (J?) tranzitv, ha aRb s bRc teljeslsbl kvetkezik aRc, azaz: aRb s bRc = > aRc

Negatv tranzitivits: Nem (aRb) s Nem(&l?c) = 5 Nem (aRc)Reflexivits: aRa Irreflexivits: Nem (ofa)Szimmetria: aRb bRa Aszimmetria: aRb = y Nem(Wia)Antiszimmetria: aRb s bRa = > a = b

i Teljessg: aRb s/vagy bRa teljesl minden a e X s b X esetben.Az aszimmetrikus binris relci irrefiexlv. Egy irreflexv s tranzitv binris

relci aszimmetrikus. A negatv tranzitivits akkor s csak akkor ll fenn, ha aRb =^- (aRc vagy cRb).

Az elzekben bevezetett preferencia-relcikra vonatkozan az albbi tulajdonsgokat emeljk ki:1. / s J szimmetrikus

x ~ y y ~ x x ? y = > y ? z

2. S aszimmetrikus s irreflexvx y y => Nem(y >- x)Nem(x >- x)

3. P s I reflexvx y xX ~ X

4. J irreflexv .Nem(x ? x )

Brmely binris relcit rendezsnek neveznk, ha teljesti a tranzitivitst. Egyb tulajdonsgok hozzvtelvel klnbz rendezsek konstrulhatok. Egy tranzitv R relci

elrendezs (vagy hizi-rendezs), ha reflexv, gyenge rendezs, ha reflexv s teljes,(reflexv) rszleges rendezs, ha antiszimmetrikus s reflexv, lineris rendezs, ha antiszimmetrikus, reflexv s teljes, szigor rszleges rendezs, ha irreflexv, szigor lineris rendezs, ha irreflexv s teljes.

Egy rszleges rendezs antiszimmetrikus elrendezs.- A gyenge rendezs egyben teljes elrendezs s a szigor lineris rendezs egy teljes szigor rszleges rendezs. A lineris rendezst tekinthetjk teljes rszleges rendezsnek vagy antiszimmetrikus gyenge rendezsnek. Az eligazodst segti a 4 -1 . bra.

tranzitivits

4 -1 . bra

A gyenge rendezs, a szigor lineris rendezs s a lineris rendezs megkveteli az sszes pr sszehasonlthatsgt. Ezrt mindhrom rendezs teljes

ellenttben a rszleges rendezsekkel, amelyeknl az sszes klnbz pr sszehasonlthatsgt kveteljk meg.

A rendezshez szksges tranzitivits nem magtl rtetd: a gyakorlatban, a mindennapi letben nagyon sok olyan pldt tallunk, amely megsrti a tranzitivitst, m teljes mrtkben valszer. Sportolknl gyakran megesik, hogy A megveri B jtkost, s ezltal jobbnak tekintjk az A-1 a Z?-nl. Ezutn B jtszik C-vel s megveri t, s ezltal gy ltjuk, hogy B jobb jtkos, mint a C Mgis megtrtnik, hogy ugyanazon a versenyen C megveri az A jtkost.

Ugyancsak vigyznunk kell a teljessggel is. Ez a tulajdonsg azt mondja ki, hogy ha sem a nem jobb 6-nl, sem fordtva, akkor a kt elem indifferens. Ez csak akkor igaz, ha az indifferencia fogalmba belertjk azt is, ha a dntshoz valamilyen okbl kptelen az sszehasonltsi dntst meghozni.

A klnbz kiterjesztsekre s paradoxonokra ksbb visszatrnk, most sszpontostsuk figyelmnket arra, vajon mi a felttele annak, hogy a preferencikhoz vals rtk fggvnyeket tudjunk rendelni. A tovbbiakban ltni fogjuk, hogy egy olyan vals rtk fggvny ltezsnek garantlshoz, amely megrzi a P (h ) leglnyegesebbnek tekintett rendezsi tulajdonsgait, a P relcinak legalbb gyenge rendezsnek kell lennie, illetve az (>-) relcinak legalbb szigor rszleges rendezsnek kell lennie.

Tekintsk a P (h ) relcit, amely a fentebb bemutatott reflexivitson kvl rendelkezzen a teljessgi s tranzdtivitsi tulajdonsggal is, azaz

(a) minden x ,y esetn Nem (a; y y) = > y y x,(k) h y s y y z = > x y z,

teht P egy gyenge rendezst hatroz meg. Ez azt jelenti, hogy(1) nincs sszehasonlthatatlansg (J res),(2) az indifferencia /( -) tranzitv,(3) a szigor preferencia S (y ) tranzitv s(4) az indifferencia s a szigor preferencia az albbi "kellemes1' tulajdon

sggal br:[* y y s y ~ z => x y z]

s[x ~ y s y y z = y

4.2 rtkel fggvnyekre vonatkoz egzisztencia ttelek

Ha a P gyenge rendezs s az indifferencia (I) egy ekvivalencia relci (reflexv, szimmetrikus s tranzitv), az A-beli alternatvk indifferencia osztlyokba sorolhatk. Jellje \ en indifferencia osztlyok halmazt. A megszmllhat- sgi tulajdonsg azt jelenti, hogy x elemei egyrtelm megfeleltetsbe hozhatk a termszetes szmok halmazval. gy a x elemeit A j , X 2 , A 3, . . . cmkvel lthatjuk el, ahol Xi az t-edik indifferencia osztly. Ha teht az egyik alternatva: a e A j s egy msik alternatva: b A j, akkor vagy

o ~ 5 , ha i = j (4.1)

(az A j defincija szerint), vagy pedig

a y b vagy b y a , ha i ^ j (4.2)

(a y A-en vett teljessge miatt).

Ha >: egy gyenge rendezs az X halmazon, akkor y egy szigor gyenge rendezs (irreflexv, negatv tranzitv), amely a x halmazon egy szigor lineris rendezst indukl.

4.1 T tel. Ha > gyenge rendezs az X halmaz elemeire vonatkozan s a x indifferencia osztlyok halmaza megszmllhat, akkor ltezik egy olyan v-vel jellt vals rtk fggvny, amely X -en rtelmezett s az X brmely a s b elemre a >: b akkor s csak akkor teljesl, ha v(a.) > v(b), azaz a y b akkor s csak akkor teljesl, ha v(a) > v(b) s a ~ & akkor s csak akkor teljesl, ha v(a) = v(b). Ezt a fggvnyt rtkel fggvnynek (value ftm ction) nevezzk.

A bizonyts megtallhat pldul Fishbum (1970) knyvben.

Ezt a fggvnyt a kzgazdasgtanban hasznossgi fggvnynek is szoktk nevezni. A dntselmlet inkbb rtkel fggvnyt mond s fenntartja a hasznossgi fggvny (utility functionJ elnevezst a kockzat melletti dntshozatal sorn definilt fggvnyekre. Ahol teht a dntselmlet value theory-t hasznl, ott a kzgazdasgtan utility theory-rl beszl, ahol pedig a dntselmlet a utility theory kifejezst hasznlja, ott a kzgazdasgtan a vrhat hasznossg elmletrl expected utility theory beszl. A tovbbiakban mi a determinisztikus esetre fenntartjuk az rtkel (value) fggvny, a kockzat melletti esetre pedig a hasznossgi (utility) fggvny kifejezst, sszhangban a dntsel- mleti trgyalsok tbbsgvel, s nmileg zavar mdon azok szmra, akik a kzgazdasgi megkzeltsbl szoktak kiindulni. Remljk, hogy ez a terminolgiai kettssg nem okoz gondot a dolgok lnyegnek megrtsben.

Jegyezzk meg, hogy az rtkel fggvny s a racionlis dntshoz kztt szoros kapcsolat van. ltalban azt a dntshozt tekintik racionlisnak, akinek l a preferencia struktrja egy rtkel fggvnnyel trhat. A racionlis dnts- }

'Tzra vonatkozan teht megllapthatjuk, hogy preferencia struktrja teljes s tranzitv, valamint rendelkezik a (4.3) helyettesthetsgi tulajdonsggal:

ha a >- b s o ~ c , akkor c y b (4.3)!

Ezeknek a feltteleknek az egyenes kvetkezmnye az, hogy az indifferencia ; grbk nem metszik egymst: az egymst metsz grbk a racionalits me^sr- ! tst jelzik. K Z .

Visszatrve teht a 4.1. ttelben definilt rtkel fggvnyre, annak egzisztencija s unicitsa rdekel bennnket. Ez utbbi az egyszerbb: a v fggvny brmely szigoran nvekv monoton transzformcija megrzi az rtkel fggvny rendezst. Ez a sorrend megrzsi tulajdonsg akkor s csak akkor garantlt, ha az alternatvkat legalbb ordinlis skln mrjk.

Az rtkel fggvny szmszer rtkeket rendel ahhoz a kijelentshez, hogy valamely alternatvt jobban preferlunk, mint egy msikat. Az rtkel fggvnyt ltalban gy kalibrljk, hogy a legnagyobb rtke 1 s a legkisebb rtke

0 legyen. A kzbees rtkek megfelelnek a preferencia rendezs sorrendjnek. Ha az alternatvkat nvekv preferencia sorrendbe raktuk, akkor az rtkel fggvny egy monoton nvekv fggvny. Monoton nvekv rtkel fggvny tartozik pldul a pnzbeli nyeresgekhez. Minl magasabb a nyeresgnk, annl preferltabb az az esemny, amelynek kimenetele ez a nyeresg volt (feltehetjk, hogy vannak sszer als s fels korltai a nyeresgnek). A monoton cskken rtkel fggvny pldja a pnzbeli vesztesg lehet.

Vannak azonban arra is pldk, hogy a preferencikat reprezentl rtkel fggvnyek nem rendelkeznek a monotonitsi tulajdonsggal. Trgyalsunkban a monoton nvekv rtkel fggvnyekre szortkozunk. Alkalmas transzformcival a monoton cskken eset trhat monoton nvekvbe, s a nem monoton esetekben is tallhatunk olyanokat, amelyek a monoton nvekv feladatba transzformlhatk.

Az egymsbl szigoran nvekv transzformcival kapott rtkel fggvnyeket egyms stratgiai ekvivalensnek nevezzk. A stratgiailag ekvivalens rtkel fggvnyekhez az alternatvknak ugyanaz a prefrencia sorrendje tartozik.

Az rtkel fggvny ltezst kimond ttel kt tulajdonsgot hasznl fel: a preferencia struktra gyenge rendezsi tulajdonsgt s az indifferencia osztlyok megszmllhatsgt. Ezeket a feltteleket gyengbb megktsekkel is helyettesthetjk. A megszmllhatsg helyett elegend azt kiktni, hogy x tartalmazzon egy megszmllhat rszhalmazt, amely na rendezsre nzve sr" a >- preferencia relcira vonatkozan (lsd mg a 4.1 Ttel eltti megjegyzst).

4.2 T tel. Legyen > egy gyenge rendezs az X -en s B a x e8 V rszhalmaza az albbi tulajdonsgokkal:

1. B megszmllhat2. brmely X i, X 2 6 esetn ltezik egy Y B , amelyre nzve

X i y Y y X 2 (sr a >- rendezsre nzve). (4.4)

Ekkor ltezik egy v : X R vals rtk fggvny, amelyre nzve minden a , b e X -re teljesl, hogy

a y b akkor s csi akkor, ha v(o) > v(E>), s (4.5)

a ~ b akkor s csak akkor, ha v(a) = v(b) . (4.6)

Megfordtva: ha a (4.5) s (4.6) igaz, akkor y egy gyenge rendezs s a x halmaznak kell egy 1 . s 2 - tulajdonsgokkal rendelkez rszhalmaznak lennie.

A bizonyts Fishbum (1970) vagy Debreu (1954) knyvben tallhat meg.Chankong s Haimes (1983) nyomn nzzk meg a ttel egy illusztrcijt.

X legyen az R 2 pontjainak halmaza s >; legyen adott az albbi mdon:

minden a, b 6 X-re a y b akkor s csak akkor igaz, ha

0 . 4 o i + 0 . 6 2 > 0 . 4 f e i + 0 . 6 f >2

Megmutathat, hogy ez a y egy gyenge rendezs. Az x -hez tartoz tipikus indifferencia osztly ebben az esetben

X x = {a | a f2,0.4ai + 0.6a2 = a ;},

s ezltal x {-^2 I * }.X nyilvnvalan nem megszmllhat. Legyen B a x egy rszhalmaza

B = { X ri , X r2, . . . , X rn, . . . }

ahol r ,r 2, . . . , rn racionlis szmok. Mivel a racionlis szmok halmaza megszmllhat, B is az. Brmely kt klnbz x s y vals szmra mindig ltezik egy olyan r racionlis szm, amely x s y kztt van. Ezrt brmely X* s X X , >- X y x-beli halmazokra mindig ltezik egy X r B gy, hogy X x y X r y X y. Kvetkezskppen a B kielgti az 1. s 2. felttelt, teht a31.2. ttel rteimben ltezik egy v vals rtk fggvny, amely kielgti (4.5) s (4.6)-ot. Sajnos a ttel bizonytsa nem konstruktv, ezrt ltalban nem tudjuk, hogyan lehet ezt a fggvnyt megkapni. Ebben a pldban azonban elgg trivilis, hogy

o(a) = 0.4ai + 0.6a2, brmely a X -re a megfelel v fggvny.

Az eddigiekben egy ltalnos X halmazrl volt sz. Van azonban egy olyan specilis eset, amely bennnket klnsen rdekel, mgpedig az, amikor az X az n-dimenzis vektortr. Egy x X alternatva az x\, z 2, . . . , x komponenseivel jellemzett, amelyeket rtkelsi tnyezknek vagy tulajdonsgoknak tekintnk. Az erre az esetre kidolgozott elmletnek a tbbcl dntshozatalban van kiemelt jelentsge.

A 4.2. ttel egy specilis eseteknt interpretlhat a kvetkez ttel, ahol a rendezsre nzve srsgi tulajdonsgot az n. folytonossgi felttellel helyettestjk (ez utbbibl kvetkezik az elbbi).

4.3 T tel. Legyen X az Rn rszhalmaza s y egy gyenge rendezs X-en. Tegyk fel tovbb, hogy1- brmely x, y 6 X esetn x > y maga utn vonja, hogy x y y (itt x > y akkor s csak akkor teljesl, ha > yt minden i = 1 ,2 , . . . , n s legalbb egy i index esetn szigor egyenltlensg ll fenn) s2. brmely x ,y ,z 6 X-re, ahol x y y y z ltezik pontosan egy A (0,1), amelyre

y ~ Ax + (1 A)z (4.7)

Ekkor ltezik egy olyan X -en definilt v vals rtk fggvny, amely kielgti a (4.5) s (4.6)-ot.

Az 1. felttel m onotonitsi felttelknt ismert (vagy mint dom inancia-, avagy nem -kielgthetsgi felttel), amely azt lltja, hogy amint legalbb egy tnyez rtke n, mikzben egyetlen ms tnyezben sem trtnik cskkens, akkor a preferencia is nvekszik.

A 2. felttel a folytonossgi vagy arkhimdszi felttel, amely a v ltezsnek egy lnyegi felttele. Eszerint ha y az x s a z kztt fekszik szigor preferencia rtelemben, akkor kell lennie az x s z olyan konvex kombincijnak, amely y-ra nzve indifferens.

Luce s Suppes (1965) ad egy klasszikus ellenpldt, amikoris y lexikogra- fikus rendezs (vagyis gyenge rendezs) s amely nem elgti ki a folytonossgi felttelt.

4.3 Additv rtkel fggvnyek

Tbbtnyezs esetbn a tbbvltozs rtkel fggvny megkonstrulsa a dimenziszm nvekedsvel egyre kellemetlenebb feladat. A tnyezk fggetlen csoportjait kpezve prbljuk meg feladatunkat annyira leegyszersteni, amennyire lehetsges. Idelis esetben minden tnyezre kln-kln meg tudunk, konstrulni egy rtkel fggvnyt, majd ezeket additv mdon szerkesztjk egyetlen fggvnny. Ha ez sikerl, akkor azt mondjuk, hogy a szbanforg preferencia struktra additv.

Ha teht x X , s x = (xi,a;2 z n), a preferencia struktra akkor scsak akkor additv, ha _ .

v(x) = V l(x i)+ V 2(2) + . . . + Vnfcn), (4.8)

vagyu(x) = Aiurzi) + A2u2(a?2) + . . . + At>(a:), (4.9)

ahol Aj > 0 sklz konstansok s a Aj-k sszege 1.

4.1 Definci. A T tnyezhalmaz (T ( X i ,X 2, . . . , X n}) egy C rszhalmaza s a C* komplementer halmaz akkor s csak akkor preferencia-fggetlen, ha egy adott x^ . esetn

(x c Xc O ^ (Ke**!?*) (4-O)

maga utn vonja( x j j . x o ) y (x ,x c - ) (4.11)

relcit, minden x o X c * esetben, ahol x^, s tetszleges alternatva darabok.

Kt tnyez esetn pldul C legyen vagy {X i } vagy {X 2} s a komplementer halmazok rendre {X 2} s {X i } . Ha az X 2 msodik tnyezbeli a:2 rgztett

rtknl egy (a:?,x!>) alternatva legalbb olyan j, mint az {x\,x^} alternatva, azaz

(*?,*) h (*}>*) (4.12)

sX i preferenciarfggetlen az X 2-tl, akkor

t. (* ,*2 ) (4.13)

az X2 tetszleges rtkre. Fordtva: ha (4.12)-bl az X2 minden lehetsges rtkre kvetkezik a (4.13), akkor X\ preferencia-fggetlen az X 2-tl. Vigyzat: ha X i preferencia-fggetlen az XVtl, nem biztos, hogy X 2 preferencia-fggetlen az Xi-tl! Nzznk meg teht egy ersebb felttelt.

4.2 D efin ci. A T tnyezhalinazt akkor mondjuk klcsnsen preferencia-fggetlennek, ha brmely nemres C rszhalmaza preferencia-fggetlen a C* komplementer halmaztl.

j ..Knnyen megmutatKtj' hogy' a klcsns preferencia-fggetlensg az additv preferencia struktra ltezsnek szksges felttele, s a legtbb esetben

[ elgages-fdttel-is.- *Tekintsnk egy pldt a preferencia-fggetlensgre. Ha valaki nyron a fagy

laltot jobban szereti, mint a stemnyt, de tlen a stemnyt rszesti elnyben a fagylalthoz kpest, akkor azt mondjuk, hogy az dessgekre vonatkoz preferencija nem preferencia-fggetlen az vszaktl. Jellje az a3- := (dessg^, vszakj) az egyes alternatvkat, s ekkor az elmondottak szerint pl.:

(fagylalt, nyr) J- (stemny, nyr) ==> (stemny, tl) >- (fagylalt, tl)

Ha viszont ugyanez az illet a vanlia zt jobban szereti, mint a csokoldzt, akr fagylaltrl, akr stemnyrl, akr egyb dessgrl is van sz, akkor azt mondhatjuk, hogy az dessg ze preferencia^-fggetlen az dessg tpustl, azaz pl.:

vanliafagylalt >- csokoldfagylalt => vanliatorta csokoldtorta

ltalnosabb is tehetjk ezt a kijelentst, ha egyb zekre is kiterjesztjk (eper, citrom, stb.) Az dessg znek az dessg tpusra vonatkoz preferenciar fggetlensge ekkor felrhat a kvetkezkppen:

(z j,t p u s j >- (zj, tpustt) => (izj, tpus^) >- (z, tpus^).

Ha mg azt is tudjuk, hogy az dessg tpusa preferencia-fggetlen az ztl, vagyis ha pldul:

(vanliafagylalt >- vanliatorta) = > (csokoldfagylalt y csokoldtorta),

akkor azt mondhatjuk, hogy ez a kt tnyez (z s tpus) klcsnsen preferencia-fggetlenek.

(Ez az illet teht tlen-nyxon azonos mdon viselkedik: ha ktfle azonos z dessget tesznek el, mindig a fagylaltot rszesti elnyben, ha klnbz z azonos tpus dessget knlnak neki, akkor mindig a vanlit tartja jobbnak.)

Kt tnyez esetben a preferenciafggetlensget az egyik tnyez rtkeinek (szintjeinek) a msik tnyez rgztett rtkei melletti vltoztatsval vizsgltuk. Ebben az esetben a msodik tnyez az els komplementere. Ha tbb tnyeznk van, akkor is hasznlhatjuk ezt a komplementer fogalmat: egy vagy tbb tnyez vltozsai mellett figyeljk meg a preferencikat, mikzben az sszes tbbi tnyezt adott rtkeken rgztjk. A preferencia-fggetlensg ekkor nem az eredeti tnyezk kztt ll fenn, hanem tnyezhalmazok kztt. Ha egy tnyezhalmaz minden rszhalmaza preferencia-fggetlen a komplementertl, akkor igaz az, hogy a tnyezhalmaz klcsnsen preferencia-fggetlen.

Nzznk meg egy kzlekedsi pldt. A forgalom jellemzi legyenek: a forgalom srsge (d), a forgalom sebessge (s) s a napszak (n). Elszr is azt kell megjegyeznnk, hogy a forgalom Srsge s a napszak lehet preferencia- fggetlen mg akkor is, ha a kt tnyez korrellt: az alacsony forgalmi srsget mindig jobbnak tartjuk, akrmelyik napszakban is vagyunk mikzben a cscsidben termszetesen magas a forgalomsrsg.

> {d } preferencia-fggetlen, {s , n}-tl, ha az alacsony forgalomsrsget mindig; preferljuk, akrmelyik napszakban is vagyunk s brmilyen a forgalom sebes- | sge. Nyilvnval, hogy ez nem igaz. Az ellenkezje viszont mr igaz lehet: i {a, n } tetszleges kombincija preferencia-fggetlen lehet {d } adott rtkeire: | pl. az alacsony forgalomsrsg s alacsony sebessg preferlt a magas forga- | lomsrsg s a magas sebessg esethez kpest a nap brmely rjban. A | klcsns preferencia-fggetlensg azonban nem ll fenn.

Hrom- vagy tbbdimenzis esetben a klcsns preferencia-fggetlensg elgsges ahhoz, hogy biztostsa: ha a preferencia struktra numerikus fggvnyek egy halmazval lerhat, akkor legalbb egy fggvny additv az ltalunk fentebb definilt rtelemben. Sajnos ppen a ktdimenzis esetben ellenpldk hozhatk, amelyek azt mutatjk, hogy a klcsns preferencia-fggetlensg nem elgsges. Ezrt a ktdimenzis esetre jabb felttelek bevezetsre van szksg.

4.3 D efinci. A kttnyezs dntsi problmhoz tartoz y preferencia rendezs akkor elgti ki az egyszerstsi felttelt, ha brmely z l5 3/1, i X\ s 12,^2,02 X 2 esetn

fr i ,a 2) t (a i,y2) s (a i ,x 2 ) y ( y i ia2) (4.14)

egyttes fennllsbl kvetkezik, hogy

(aji,z2) y (v i,y2) . (4.15)

Knnyen megmutathat, hogy az additv preferencia struktrk ltezsnek az egyszerstsi felttel egyben szksges felttele is. Ez egy nagyon ers felttel.

4.4 Ttel. Egy kttnyezs dntsi problmt jellemezzen a y preferencia struktra, amelyet a u (x i,x2) vals rtk fggvny reprezentl gy, hogy

O i , x2) t ( * i *2) v(* * * 2) t v (x " ,x 'i) . (4.16)

Ekkor1 . y klcsnsen preferencia fggetlen, ha az egyszerstsi felttel fennll s2. akkor s csak akkor van olyan i s v2 az X i s X 2 -n, hogy

x X y 4= * v\(xi) + v2(x2) > Vi(yi) + M m ) (4.17)

brmely x = (x i,x 2) s y =