1 TEMPERAMENTOS SISTEMA PITAGORICO 1.- Cronología:Descrito por Pitágoras y los pitagóricos desde el siglo VI a.de J.C. Transmitido por Boecio a partir del siglo VI d.de J.C. y usado como principio básico del sistema musical y de la afinación, de forma generalizada, durante toda la época medieval y hasta principios del siglo XVI. 2.- Uso: Relacionado con la producción musical desde la Antigüedad hasta el final de la Edad Media: sistemas monódicos y primeros ejemplos de polifonía (como el organum) que utilizan de forma preferente las consonancias de VIII y V (y IV), pero que no integran la IIIM o IIIm en las consonancias finales de las cláusulas. 3.- Estructura: Basado en V justas, en su proporción interválica natural 3/2 (701’96 cents). Estas V proporcionan sólo Tonos mayores de proporción 9/8. La suma de dos Tonos mayores produce Ditonos de proporción compleja 81/64, interválicamente mayores que la IIIM de proporción 5/4. (La diferencia entre Ditono y IIIM es el comma sintónico de proporción 81/80). 4.- Circularidad: El sistema, en principio, derivaría en una espiral. Sin embargo, ningún teórico explora este aspecto. Los sistemas pitagóricos siempre se presentan como un sistema diatónico finito, con principio y fin (en las propiedades de bemol y natura) y carente de circularidad, basado en 7 notas diatónicas y cinco alteraciones: F#, C#, B, Eb, Ab. Partiendo de la VIII, ésta se divide harmónicamente en V+IV. La IV contiene dos Tonos mayores (=Ditono) más un intervalo residual que es el Sem m diatónico. La V contiene tres Tonos mayores más Sem m diatónico. Sobre este esquema diatónico se insertan los Sem M cromáticos, etc. 5.- Semitonos y enharmonía: Existe diferencia entre el Sem M y el Sem m. El Sem m es el semitono diatónico, de proporción compleja 256/243 (llamado limma), resultado de sustraer un ditono a una IV (4/3 – 81/64 = 256/243) El Sem M es el semitono cromático, de proporción compleja 2187/2048 (llamado apotomé). Nótese que la secuencia de los semitonos dentro del tono es inversa a la de los sistemas mesotónicos. La diferencia entre ambos semitonos se denomina Diesis. Su valor coincide aquí con el del Comma pitagórico.

2 TEMPERAMENTOS MESOTONICOS 1.- Cronología: Descritos matemática y geométricamente por Gioseffo Zarlino en 1558 y por Francisco Salinas en 1577, aunque probablemente en uso práctico en la música instrumental desde tiempo atrás, según descripciones de, por ejemplo, Pietro Aron en 1523. Transmitidos luego por autores como Marin Mersenne (Harmonie Universelle, 1636) y otros a lo largo del siglo XVII. Usado como principio de organización del sistema musical y de la afinación, especialmente para instrumentos de afinación no móvil, durante los siglos XVI y XVII, pero en uso incluso hasta el siglo XIX en determinados ambientes musicales poco desarrollados o tradicionales. 2.- Uso: Relacionado con la producción musical de los siglos XVI y XVII que utiliza la triada mayor y menor como elemento armónico “perfecto” y predominante sobre la que reposa la resolución de los elementos “disonantes” (ligaduras o suspensiones, retardos, etc.). Por eso, su principal objetivo es la integración de la IIIM como consonancia dentro de la triada y la búsqueda de un equilibrio proporcionado entre los tres intervalos que forman la tríada: V, IIIM y IIIm. Pervivencia como sistema de afinación en centros poco desarrollados musicalmente o conservadores a lo largo del siglo XVIII. 3.- Estructura: Basados en V justas de proporción natural a las que se sustrae determinada fracción del comma sintónico. El modelo más común es el que divide el comma en cuatro partes y sustrae ¼ del comma a cada V (que pasa a tener sólo 696’6 cents). Las V reducidas (temperadas) en ¼ del comma producen entonces Tonos mayores a los que falta ½ comma. Estos tonos tiene un valor interválico intermedio entre el Tono M y el Tono m (de donde viene el término “meso-tónico”= “de tono medio”). Con dos Tonos medios del temperamento de ¼ de comma se construye una IIIM perfectamente justa en proporción 5/4 (de 386’3 cents). Esta IIIM ya no está compuesta de TM + Tm sino que resulta de la suma de dos Tonos medios. Existen otras posibles divisiones del comma sintónico en 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o más partes que producen diferentes equilibrios o tensiones entre la fundamental, la IIIM y la V de la triada. Salinas Zarlino común (TI) Pitagórico

1/3 2/7 1/4 1/5 1/6 …… (1/12) 0 V …………………………………………………… prop.3/2 Cents 694’79 695’8 696’6 700 701’96 IIIM ……… ……………………..prop.5/4…………………………………ditono pitagórico Cents 379’16 383’3 386’3 400 407’82 Todas las triadas posibles dentro del círculo (8 mayores y 8 menores) presentan las mismas características interválicas y grado de tensión. 4.- Circularidad: Todos los temperamentos mesotónicos contienen una V del lobo, intervalo falso e impracticable que corresponde a una VI disminuida, colocada normalmente entre G# y Eb. Su valor intervalico es el de una V más el excedente sobre -1 de la sustracción de fracciones del comma operado en las restantes once V del sistema. (Esta V del lobo tiene 737’62 cents en el temperamento mesotónico de ¼ de comma). De algún modo, la V del lobo delimita el principio y fin del sistema musical, entre los extremos de la propiedad de bemol y la propiedad de natura:

3 …Eb B F C G D A E H F# C# G#... … y es responsable de su falta de circularidad. El sistema aparece así, por tanto, limitado por sus extremos, a no ser que se amplie el número de notas por octava a más de doce. La limitación de la circularidad en los sistemas mesotónicos deriva de la imposibilidad de construir más de 8 triadas mayores y 8 triadas menores (sólo sobre Eb, B, F, C, G, D, A, E) en instrumentos de 12 teclas por octava. Esta falta de circularidad no representa ningún obstáculo en la composición modal polifónica de los siglos XVI y XVII, en la que son necesarias solamente las siete notas diatónicas más un número reducido de notas cromáticas que comprenden, exclusivamente, B y Eb, F#, C# y G#. El uso de notas fuera de este ámbito cromático es absolutamente excepcional. Cuando una pieza transgrede tal ámbito, al incorporar notas como D#, Ab u otras, se debe comprobar si no se trata de una transposición del ámbito original, lo que suele manifestarse por el uso de una armadura con más de un b o con uno o más #. 5.- Semitonos y enharmonía: Ninguna de las posiciones del círculo de V admite ningún tipo de enharmonía (Eb no es igual a D#, etc) y existe, por tanto, una diferencia interválica entre el Sem M y el Sem m (llamada Diesis). El Sem M es el semitono diatónico. En el temperamento de ¼ de comma, es el resultado de restar una IIIM de proporción 5/4 a una IV (4/3 – 5/4 = 16/15). El Sem m es el semitono cromático. Nótese que la secuencia de los semitonos dentro del tono es inversa a la del sistema pitagórico. La diferencia entre ambos semitonos se denomina Diesis. Su valor aquí es variable, y depende de la proporción del comma que se aplique para temperar cada quinta. 6.- Extensión del sistema: Durante los siglos XVI y XVII, diversos autores (incluyendo a Zarlino, Salinas, Mersenne y otros) abordan la posibilidad de construir el sistema musical no con doce posiciones o divisiones en la octava (desde Eb a G#) sino, por ejemplo:

a) División de la octava en 19 partes, a partir del temperamento mesotónico de 1/3 de comma. Da como resultado un “temperamento igual” de tercios de tono (C-C#-Db-D). Cada octava sigue la siguiente secuencia, sin correspondencia en altura entre notas enharmónicas:

C- C# - Db - D - D# - Eb - E - E# (= Fb) - F - F# - G - G# - Ab - A - A# - B - H -H# (=Cb) -C b) División de la octava en 31 partes, a partir del temperamento mesotónico de 1/4 de comma. Da como resultado un “temperamento igual” de quintos de tono C-Dbb-C#-Db-Cx-D-Ebb-D#-Fb-Dx-E etc . Este tipo de divisiones iguales (y también las de 43, 53, 55, 74, … partes) es defendido todavía por algunos autores en los siglos XIX y XX, encontrándose en la base de los sitema microtonales desarrollados durante el siglo XX (ver pg. 6).

4 TEMPERAMENTOS IRREGULARES O SISTEMAS “BIEN TEMPERAD OS” 1.- Cronología: Descritos a partir de la segunda mitad del siglo XVII por diferentes autores, entre los que destacan Andreas Werkmeister (1681), Francesco Antonio Valotti (antes de 1754) y Johann Philipp Kirnberger, alumno directo de J.S. Bach (1771). Difundidos a lo largo del siglo XVIII, especialmente en centros musicales de cierta importancia de toda Europa. En algunos casos resultan ser una modificación de sistemas mesotónicos preexistentes, lo que da lugar al concepto “sistemas mesotónicos modificados” que aparecen a lo largo de todo el siglo XVII, especialmente entre teóricos franceses o como resultado de una aplicación práctica sobre el instrumento de los temperamentos mesotónicos regulares. 2.- Uso: Relacionados con la producción tonal del Barroco y Clasicismo, desde finales del siglo XVII hasta principios del siglo XIX. Su objetivo es obtener un determinado “claroscuro”, según lo describe Tartini en 1754, entre las diferentes triadas, mediante la divisón del círculo de V en dos partes diferentes, una con V justas y otra con V temperadas. Esto se traduce en un diferente color y carácter para cada triada y para cada tonalidad. Este aspecto resulta esencial en el concepto barroco que atribuye un carácter concreto a cada tonalidad. 3.- Estructura: Aunque existen muchos modelos posibles, en general suelen dividir el círculo de V en dos secciones. Una con V justas de proporción natural 3/2 (de 701’96 cents) y otra con V temperadas a las que se ha sustraido determinada cantidad del comma. A veces incluyen también quintas temperadas por exceso, es decir, con desviación positiva. De este modo, existiendo dos tipos de V en el sistema (temperadas y sin temperar), se producen hasta tres tipos de tonos:

a) tonos formados por dos V temperadas b) tonos formados por dos V justas c) tonos formados por una V justa y otra temperada.

De ello se deducen hasta cinco tipos de IIIM:

a) IIIM formadas por cuatro V temperadas b) IIIM formadas por tres V temperadas y una V justa c) IIIM formadas por dos V temperadas y dos V justas d) IIIM formadas por una V temperada y tres V justas e) IIIM formadas por cuatro V justas, es decir, ditonos pitagóricos de proporción 81/64.

4.- Circularidad: Al sustraer a las V temperadas sólo el valor de un comma (-1), estos temperamentos carecen de V del lobo. Por tanto, su circularidad es buena, aunque favoreciendo normalmente a las tonalidades con menos alteraciones en la armadura, que suenan “más apacibles” o “afinadas” que las que tienen más alteraciones. 5.- Semitonos y enharmonía: Cada posición dentro del círculo de V admite la enharmonía de forma relativa, teniendo en cuenta lo dicho en el apartado 4.-, ya que Sem m y Sem M no son nunca idénticos en estos temperamentos irregulares.

5 TEMPERAMENTO IGUAL 1.- Cronología: Desarrollado a través de diferentes aproximaciones matemáticas durante los siglos XVI y XVII, especialmente para los instrumentos con trastes. Difundido progresivamente desde finales del siglo XVIII y durante el siglo XIX en dos maneras:

a) A través de aproximaciones prácticas realizadas a partir de los temperamentos irregulares (como las de Neidhardt, Sorge y otros)

b) Por medio de los sistemas de cálculo logarítmico. 2.- Uso: Relacionado plenamente con los estilos compositivos de la primera mitad del siglo XX, y especialmente con la música atonal y los sistemas seriales dodecafónicos. Sistema imprescindible para los instrumentos de afinación fija (teclado, arpa, trastes fijos) a partir de principios del siglo XIX si están en relación con repertorios que exploran horizontes tonales muy lejanos y que requieren una capacidad de modulación o transposición ilimitada. Implantado como “temperamento oficial” en los aparatos e instrumentos electrónicos y en los afinadores electrónicos a partir de la década de 1950. 3.- Estructura: Basado en V de proporción natural 3/2 a las que sustrae 1/12 del comma pitagórico (700 cents). Su principio de cálculo establece un valor de 1200 cents para la VIII y una división de ésta en doce partes exactamente iguales (Sem = 100 cents) La base de este cálculo no es ya geométrica ni aritmética. Los intervalos quedan expresados por medio de números irracionales y precisa de un sistema de cálculo logarítmico. Todo esto provoca una división artificial de la octava en dos tritonos (C-F#-c) y se aparta conceptualmente de la natural división harmónica de la octava en dos segmentos interválicos diferentes (V+IV). (Recuérdese la importancia concedida al tritono en todos los sistemas armónicos y escalas modales desarrollados durante la primera mitad del siglo XX). 4.- Circularidad: Su circularidad es total, al no existir ningún intervalo falso dentro del círculo, todos los intervalos del mismo tipo son exactamente iguales entre sí: Hay un solo tipo de V, un solo tipo de IV, un solo tipo de IIIM, etc). Esto permite una modulación sin límite, en la que toda enharmonía es posible, al ser idénticos el Sem m y el Sem M (Fa = E# = Gbb, etc). La consecuencia de ello es que todas las tríadas del sistema presentan exactamente las mismas características interválicas y que todas las tonalidades resultan ser idénticas entre sí, simples transposiciones de una tonalidad neutral. Esta falta de carácter diferenciado en cada tonalidad fue una de las razones por las que el temperamento igual no fue aceptado de forma general hasta época tardía. Por otro lado, hay que tener en cuenta que ninguno de los intervalos, excepto la octava, aparece en su proporción natural y que la desviación de la IIIM y de la IIIm dentro de la tríada es mayor que en ningún otro temperamento (ver tabla de cents). 5.- Semitonos y enharmonía: No existe diferencia entre Sem m y Sem M. Existe, por tanto, una total identidad de altura entre notas enharmónicas: E = Fb = Dx / F = E# = Gbb

6 SISTEMAS MICROTONALES Se denomina así a los sistemas basados en una división de la octava en más de 12 partes. Entre estos sistemas microtonales, el que denominamos “de cuartos de tono”, experimentado por primera vez por el mexicano Julián Carrillo hacia 1895, no es sino un tipo bastante elemental basado en la división en dos partes iguales del Sem del temperamento igual de 1/12 de comma. En él se plantean los mismos inconvenientes que en el igual de 1/12, pues ninguno de los intervalos que se puedan construir se corresponde con su proporción natural. De este modo sólo resulta útil en composición si se renuncia a todo concepto consonante absoluto fuera de la VIII. Otras opciones son los temperamentos de 19 (tercios de tono) y 31 (quintos de tono) partes en la octava, que derivan, a su vez, de los temperamentos mesotónicos de Salinas y Zarlino, aunque aplicando sobre ellos un sistema de cálculo en partes iguales y no la división del comma sintónico o la diesis. Estos sí proporcionan intervalos justos o buenas aproximaciones a ellos y han sido objeto de atención para diversos autores en el siglo XVII y en el siglo XX-XXI (ver pg. 3). No obstante, la adopción de sistemas microtonales lleva aparejada la transformación del instrumental (teclados con más de doce teclas en octava, instrumentos con más de doce trastes por octava, etc.) y de la notación. Todo ello tiene un profundo impacto en el ámbito pedagógico, pues es necesario desarrollar nuevos sistemas de aprendizaje. Instrumentos de tecla con más de doce teclas por octava son conocidos desde el siglo XV, pero se desarrollan sobre todo a finales del siglo XVI y principios de XVII. Desaparecen por el auge de los sistemas bientemperados y del temperamento igual, pero reaparecen a principios del siglo XX por la revalorización de los sistemas microtonales en el momento de crisis del sistema tonal. OTRAS CURIOSIDADES EN TORNO A LA EVOLUCION DEL SIST EMA MUSICAL Y LOS TEMPERAMENTOS La configuración de cualquier sistema musical se basa de la división de la octava en un determinado número de partes. De este modo se construyen los principales sistemas descritos:

a) 5 divisiones en octava o pentáfono, b) 7 divisiones en octava o diatónico, c) 12 divisiones en octava o cromático.

No deja de ser curioso que el número de partes que han servido para constituir estos sistemas siga la forma de una serie de Fibonacci: (2), 5, 7, 12, 19, 31, 50, … Según esto, no faltan autores que defiendan que el actual sistema musical deberá evolucionar en algún momento hacia una división en 19 partes (muy cercana al temperamento mesotónico de 1/3 de comma), que divide el tono en tres semitonos iguales. En cualquier sistema, independientemente del número de divisiones interválicas que tenga la octava, esas divisiones podrán ser iguales entre sí o desiguales, dependiendo de la forma en que se realice el reparto interválico y los objetivos que intente cubrir el sistema. Dependerá,

7 además, de si los puntos de partida para el cálculo se relacionan con el comma pitagórico, el comma sintónico o la diesis, y de si los cálculos se basan en procedimientos aritméticos, geométricos o logarítmicos. Desde este punto de vista, los sistemas pitagóricos y mesotónicos pueden definirse como sistemas de tonos iguales y semitonos desiguales (aunque en los pitagóricos es posible describir también el valor del tono menor), basados en cálculos geométricos. El temperamento igual es, sin embargo, un sistema con tonos iguales y semitonos también iguales, basado en un cálculo logarítmico. Temperamento y sección aurea Por otra parte, no puede dejar de ser considerada la relación entre estos sistemas y la sección áurea (cuya razón es 1’61803398…), objeto de numerosos estudios de geometría, arquitectura o botánica, y que ofrece una secuencia infinita donde cada valor se obtiene por la suma de los dos anteriores (como en la serie de Fibonacci), estando los dos originarios en la relación 1’61803398… Podemos basarmos en la sección áurea para la obtención de la secuencia interválica, aplicando su razón a la relación existente entre Sem m y Sem M. Entonces el T será la suma de Sem M+Sem m; la IIIm será la suma de T+Sem M; la IV será la suma de IIIm+T, etc. Si comparamos los resultados con los sistemas mesotónicos, observamos la estrecha correspondencia con ellos, situándose sus valores interválicos entre los del mesotónico de ¼ y de 2/7 de comma, según se ve en la siguiente tabla en cents: Mesotónico 1/3 Mesotónico 2/7 Aurea Mesotónico 1/4 V 694’79 695’81 696’21 696’58 IIIM 379’16 383’24 384’86 386’31 IIIm 315’63 312’57 311’36 310’26 Tono 189’58 191’62 192’43 193’16 Sin embargo, no hay constancia de que autores como Zarlino o Salinas hubiesen llegado a esta deducción.