temporale logik und bisimulationde.julian-fietkau.de/pdf/temporale_logik_und_bisimulation.pdf ·...

Temporale Logik und Bisimulation

Julian Fietkau, Nils Kubera, Dominik Nuszpl

Universität Hamburg

2. Februar 2011

Julian Fietkau, Nils Kubera, Dominik Nuszpl Temporale Logik und Bisimulation 02.02.11 1 / 28

Organisatorisches vorweg

Diese Folien sind unter CC-BY-SA 3.0 freigegeben.

Folien-Download und Feedback-Möglichkeit:

http://www.julian-fietkau.de/temporale_logik_und_bisimulation


http://creativecommons.org/

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

http://www.julian-fietkau.de/temporale_logik_und_bisimulation

Inhaltsverzeichnis

Übersicht

1 Bisimulation in TransitionssystemenEinleitungZwei verschiedene GetränkeautomatenWas ist Bisimulation?Noch mal die Getränkeautomaten

2 Temporale Logik, Folgen- und LTL-ÄquivalenzLTL, CTL und CTL*CTL* Gültigkeit und Äquivalenz

3 Bisimulation in Beziehung zu CTL- und CTL*-ÄquivalenzBeweis ≡CTL∗ = ≡CTL = ∼TSFazit


Bisimulation in Transitionssystemen Einleitung

Einleitung

Wir betrachten Transitionssysteme als Werkzeug zur Spezifikation undModellierung.

Definition 1: TransitionssystemTS = (S,A, tr , S0,SF )Im Folgenden meist vereinfacht verwendet: TS = (S,A, tr , s0) (Nur einStartzustand, keine Endzustände)

Um Gesetzmäßigkeiten im Verhalten verschiedener Transitionssystemeerkennen und beschreiben zu können, untersuchen wir verschiedene Artender Äquivalenz, nämlich Folgenäquivalenz und Bisimulation.


Bisimulation in Transitionssystemen Zwei verschiedene Getränkeautomaten

Kaffee oder Tee?

s0

s1

s2 s3

{bezahlen}

{Tee}{Kaffee}

s0

s1

s3 s4

{bezahlen}

{Tee}{Kaffee}

s2

TS1 TS2

Kaffee

Tee

Kaffee

Tee


Bisimulation in Transitionssystemen Zwei verschiedene Getränkeautomaten

Gemeinsame Zustandsfolgen

Welche Zustandsfolgen sind in den Transitionssystemen möglich?w1 = (bezahlen,Kaffee, bezahlen,Kaffee, bezahlen,Tee)w2 = (bezahlen,Tee, bezahlen,Tee, bezahlen,Tee, . . . )

Behauptung: Jede Folge, die in TS1 möglich ist, ist auch in TS2 möglichund umgekehrt. Die beiden Transisionssysteme sind folgenäquivalent.(Der Beweis bleibt dem Leser zur Übung überlassen.)

Bedeutet das, dass die beiden TS in jeder Hinsicht gleich sind? Nein! Wirkönnen sinnvolle Äquivalenzkriterien finden, nach denen sie verschiedensind.


Bisimulation in Transitionssystemen Was ist Bisimulation?

Definition

Definition 2: (Zustandsbasierte) BisimulationTS1 = (S1,A, tr1,S0

1 ) und TS2 = (S2,A, tr2, S02 ) sind bisimilar genau dann,

wenn eine binäre Relation („Bisimulation“) B ⊆ S1 × S2 existiert, so dassgilt:

1 ∀s0 ∈ S01 ∃r0 ∈ S0

2 : (s0, r0) ∈ B∀r0 ∈ S0

2 ∃s0 ∈ S01 : (s0, r0) ∈ B

2 Für alle (r1, s1) ∈ B gilt:r2 ∈ Post(r1)⇒ ∃s2 ∈ Post(s1) : (r2, s2) ∈ Bs2 ∈ Post(s1)⇒ ∃r2 ∈ Post(r1) : (r2, s2) ∈ BL(r1) = L(s1)

Hierbei ist L eine Etikettierungsfunktion, die den (relevanten) ZuständenBezeichnungen zuordnet. Post(s) ist die Menge der von s aus direkterreichbaren Nachfolgezustände.


Bisimulation in Transitionssystemen Was ist Bisimulation?

Ein Beispiel

s0

s1

s2 s3

{bezahlen}

{Tee}{Kaffee}

s4 {Tee}

TS3

TS1 und TS3 sind bisimilar.


Bisimulation in Transitionssystemen Noch mal die Getränkeautomaten

Kaffee oder Tee? – eine genauere Analyse

Betrachte TS1 und TS2:

1 (s0, s′0) ∈ B, erste Teilbedingung ist damit erfüllt.

2 Nun muss weiterhin gelten: (s1, s′i ) ∈ B mit i ∈ {1, 2}

(Nachfolger von s ′0)3 Da s3 ∈ Post(s1) und (s1, s

′1) ∈ B und s ′3 ∈ Post(s ′1) mit

|Post(s ′1)| = 1, folgt zwangsweise: (s3, s′3) ∈ B

4 Jedoch ist L(s3) 6= L(s ′3)

TS1 und TS2 sind nicht bisimilar.


Bisimulation in Transitionssystemen Noch mal die Getränkeautomaten

Fazit

Folgenäquivalenz macht Aussagen über das Verhalten der Systemevon außen betrachtet. Bisimulation beschreibt zusätzlich die interneStruktur.Bisimulation impliziert automatisch auch Folgenäquivalenz:TSa ∼ TSb ⇒ TSa ≡trace TSb(TSa ≡trace TSb ; TSa ∼ TSb)

Systeme, die die gleichen Zustandsfolgen erlauben, sind nichtunbedingt verhaltensäquivalent.


Temporale Logik, Folgen- und LTL-Äquivalenz LTL, CTL und CTL*

LTL

©ϕ: nächster Zustand erfüllt ϕ♦ϕ : irgendein Folgezustand erfüllt ϕ�ϕ : alle folgenden Zustände erfüllen ϕϕ1 ∪ ϕ2 : ϕ1 gilt bis in einem Folgezustand ϕ2 erfüllt istLTL Formeln

Definition 3: LTL-Formelnϕ ≡ true | false | a | ϕ1 ∨ ϕ2 | ϕ1 ∧ ϕ2 | ¬ϕ | ©ϕ | ♦ϕ | �ϕ | ϕ1 ∪ ϕ2



CTL und CTL*

zusätzlich Zustandsformeln mit Quantoren, die sich auf alle vomZustand ausgehenden Pfade beziehenQuantoren

∀ϕ : entlang aller Pfade gilt ϕ∃ϕ : entlang mindestens eines Pfads gilt ϕ

CTL ist eine Teilmenge von CTL*.Jeder Temporaloperator wird durch genau einen Pfadquantorquantifiziert.

∃© ϕ : in mind. einem nächsten Zustand gilt ϕ∃♦ϕ : in mind. einem der folgenden Zustände gilt ϕ∃�ϕ : es gibt mind. einen Pfad, in dem ϕ entlang des komplettenPfades gilt...∀© ϕ : in jedem nächsten Zustand gilt ϕ...



Verhältnis zwischen LTL, CTL und CTL∗

∀�∃♦a �♦a ♦(a ∧©a)

CTL LTL

♦(a ∧©a) ∨ ∀�∃♦a

CTL∗


Temporale Logik, Folgen- und LTL-Äquivalenz CTL* Gültigkeit und Äquivalenz

Gültigkeit für CTL*-Zustandsformeln

Sei TS := (S,Act,→, I,AP, L) ein Transitionssystem ohne Endzustände, s∈ S ein Zustand, Φ und Ψ CTL*-Zustandsformeln und ϕ,ϕ1 und ϕ2CTL*-Pfadformeln.Definition 4: Gültigkeit von ZustandsformelnDie Gültigkeit |= für CTL*-Zustandsformeln wird definiert durch

s |= a⇔ a ∈ L(s),s |= ¬Φ⇔ not s |= Φ,s |= Φ ∧Ψ⇔ (s |= Φ) and (s |= Ψ),s |= ∃ϕ⇔ π |= ϕ für mind. einen Pfad beginnend in s,s |= ∀ϕ⇔ π |= ϕ für alle Pfade beginnend in s



Gültigkeit für CTL*-Pfadformeln

Sei π = s0s1s2... ein Pfad und π[i ..] mit i ≥ 0 ein Teilpfad von πbeginnend bei Index i.

Definition 5: Gültigkeit von PfadformelnDie Gültigkeit |= für CTL*-Pfadformeln wird definiert durch

π |= Φ⇔ s0 |= Φ,π |= ϕ1 ∧ ϕ2 ⇔ π |= ϕ1 and π |= ϕ2,π |= ¬ϕ⇔ π 6|= ϕ,π |=©ϕ⇔ π[1..] |= ϕ,π |= ϕ1 ∪ ϕ2 ⇔ ∃j ≥ 0.(π[j ..] |= ϕ2 ∧ (∀0 ≤ k < j .π[k..] |= ϕ1)),



CTL*-Äquivalenz in Transitionssystemen

Seien TS, TS1 und TS2 Transitionssysteme ohne Endzustände.

Definition 6: ≡CTL∗ für ZuständeFür Zustände s1, s2 in TS gilt:s1 ≡CTL∗ s2, wenns1 |= Φ⇔ s2 |= Φ für alle CTL*-Zustandfomeln Φ über AP.

Definition 7: ≡CTL∗ für TransitionssystemeFür TS1,TS2 gilt:TS1 ≡CTL∗ TS2, wennTS1 |= Φ⇔ TS2 |= Φ für alle CTL*-Zustandfomeln Φ über AP.



Folgenäquivalenz ⊆ LTL-Äquivalenz

Zu zeigen: ≡trace ⊆ ≡LTL

Sei TS ein Transitionssystem ohne Endzustände und s1, s2 Zuständein TS.Wenn s1 6≡CTL s2, existiert eine CTL-Zustandsformel Φ mit s1 |= Φund s2 6|= Φ.Dies gilt analog für CTL*, aber nicht für LTL.

Beweis: Folgenäquivalenz ⊆ LTL-ÄquivalenzAngenommen s1 6≡LTL s2 und Folgen(s1) ist eine echte Teilmenge vonFolgen(s2). Dann gelten alle LTL Formeln, die für s2 gelten, ebenso für s1.Da jedoch in Folgen(s2) Folgen enthalten sind, die nicht in Folgen(s1)existieren, gibt es eine LTL-Formel ϕ mit s2 |= ϕ aber s1 6|= ϕ. �


Bisimulation in Beziehung zu CTL- und CTL*-Äquivalenz Beweis ≡CTL∗ = ≡CTL = ∼TS

Äquivalenzrelationen für Transitionssysteme

Zu Zeigen für endliche Transitionssysteme ohne Endzustände:

≡CTL∗ = ≡CTL = ∼TS

Beweis in drei Schritten.



Die feiner/gröber-Beziehung

Seien ∼a und ∼b Äquivalenzrelationen über der gleichen Menge S.

Definition 8: feiner/gröber-Beziehung∼a ist feiner als ∼b, wenn für alle s1, s2 ∈ S gilt:s1 ∼a s2 ⇒ s1 ∼b s2.Geschrieben ∼a ⊆ ∼b.



≡CTL∗ ist feiner als ≡CTL

Für s1, s2 ∈ S:

Beweis: ≡CTL∗ ⊆ ≡CTL

Zu Zeigen:

s1 ≡CTL∗ s2 ⇒ s1 ≡CTL s2

Gibt es keine Formel Φ in CTL∗ mit s1 |= Φ und s2 6|= Φ (oder umgekehrt),so kann es auch keine in CTL geben, da CTL ⊆ CTL∗.Entspricht ¬(s1 ≡CTL∗ s2 ∧ ¬(s1 ≡CTL s2)) was äquivalent zur Vermutungist.Es folgt nach Definition 8:≡CTL∗ ⊆ ≡CTL �



≡CTL ist feiner als ∼TS

Zu Zeigen: s1 ≡CTL s2 ⇒ s1 ∼TS s2

Beweiskonzept: ≡CTL ⊆ ∼TS

Relation R = {(s1, s2) ∈ S × S|s1 ≡CTL s2}Damit die Annahme gilt, muss R die Punkte 1 – 3 der Definition 2.2erfüllen.Punkt 1: Da Label L(s) die atomaren Formeln darstellen, müssenCTL-äquivalente Formeln die gleichen Label besitzen. L(s1) = L(s2).Punkt 2 und 3: Gilt für Formelmenge Ψ:s ′1 |= Ψ dann gilt s1 |= ∃©Ψ. Da (s1, s2) ∈ R gilt s2 |= ∃©Ψ und esgibt ein s ′2 |= Ψ, womit (s ′1, s ′2) ∈ R. �



∼TS ist feiner als ≡CTL∗

Zu Zeigen: s1 ∼TS s2 ⇒ s1 ≡CTL∗ s2

Beweiskonzept: ∼TS ⊆ ≡CTL∗

Seien s1, s2 Zustände in TS, π1, π2 unendliche TeilpfadeZu Zeigen:

a Wenn s1 ∼TS s2, dann gilt für jede CTL* FormelΦ : s1 |= Φ⇔ s2 |= Φ

b Wenn π1 ∼TS π2, dann gilt für jede CTL* Pfad-Formelγ : π1 |= γ ⇔ π2 |= γ

Beweis erfolgt per Induktion über Formelstruktur.



Induktionsbeweis ∼TS ist feiner als ≡CTL∗ (1)Es gelte: s1 ∼TS s2.(a) Induktionsbasis:Für Φ = true gilt Annahme a.Da L(s1) = L(s2) gilt, gilt für Φ = a ∈ AP:

s1 |= a⇔ a ∈ L(s1)⇔ a ∈ L(s2)⇔ s2 |= aInduktionsschritt:

1 Φ = Φ1 ∧ Φ2.

s1 |= Φ1 ∧ Φ2 ⇔ s1 |= Φ1 and s1 |= Φ2

⇔ s2 |= Φ1 and s2 |= Φ2 ⇔ s2 |= Φ1 ∧ Φ2

2 Φ = ¬Ψ.

s1 |= ¬Ψ⇔ s1 6|= Ψ

⇔ s2 6|= Ψ⇔ s2 |= ¬ΨJulian Fietkau, Nils Kubera, Dominik Nuszpl Temporale Logik und Bisimulation 02.02.11 23 / 28


Induktionsbeweis ∼TS ist feiner als ≡CTL∗ (2)

3 Φ = ∃γ. Es reicht zu zeigen:

s1 |= ∃γ =⇒ s2 |= ∃γ

Lässt sich über Pfadeigenschaften der Bisimulation zeigen.

(b) Induktion über Pfade entsprechend für die Formeln:

γ = Φ, γ = γ1 ∧ γ2, γ = ¬ψ, γ =©ψ, γ = γ1Uγ2



Da gilt:

∼TS ⊆ ≡CTL∗ ⊆ ≡CTL ⊆ ∼TS

gilt:

≡CTL∗ = ≡CTL = ∼TS

Was bedeutet: Bisimilare Transitionssysteme erfüllen die gleichen CTL*-und CTL-Formeln.



Beispiel

TS1 6∼TS TS2, TS1 ∼TS TS3

TS1 TS2 TS3∃© (∃© Kaffee ∧ ∃© Tee)

√×

√

¬∃© (∃© Kaffee ∧ ∃© Tee) ×√

×∃© (∃© Kaffee ∨ ∃© Tee)

√ √ √


Bisimulation in Beziehung zu CTL- und CTL*-Äquivalenz Fazit

Fazit

Es existieren verschiedene Äquivalenzrelationen fürTransitionssysteme, wie Folgenäquivalenz, Bisimulation, ≡LTL, ≡CTL,≡CTL∗ , die teilweise äquivalent zueinander sind.Diese Äquivalenzen lassen sich beispielsweise beim Model Checkingeinsetzen, um die Komplexität zu verringern.(Bsp.: Formel Φ wird in Bisimulationsquotient von TS nicht erfüllt→ TS 6|= Φ.)


Ende

Ende

Danke für die Aufmerksamkeit!


temporale logik und bisimulationde.julian-fietkau.de/pdf/temporale_logik_und_bisimulation.pdf ·...

Documents