tendencias y ciclos en las variables macroeconómicas · • ejemplo de un proceso no estacionario:...

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Tendencias y ciclos en las variablesmacroeconómicasRafael Doménech

Temas de Análisis Macroeconómico. Tema 2 1/30

Introducción•Necesitamos una estimación que permita extraer el compor-tamiento tendencial de las variables•No existe unmétodo aceptado por todos los economistas.• El componente tendencial se encuentra únicamente afectadopor perturbaciones de carácter permanente.• El ciclo contiene perturbaciones transitorias.• Este problema de identificación resulta especialmente difícil yaque estos componentes no son observables.• Elmétodomás popular es en la actualidad es el filtro deHodrick-Prescott (1997).• Resulta conveniente analizar algunas de las característicasmásimportantes de las series macroeconómicas.


• El logaritmo del PIB ha estado en constante crecimiento: ejem-plo de una serie no estacionaria.• Por una variable no estacionaria se entiende aquella cuya me-dia, varianza y/o covarianzas dependen del tiempo.• La tasa de crecimiento del PIB sí que parece estacionaria.


3,40

3,60

3,80

4,00

4,20

4,40

4,60

4,80

1960:1 1963:1 1966:1 1969:1 1972:1 1975:1 1978:1 1981:1 1984:1 1987:1 1990:1 1993:1 1996:1

España Estados Unidos

Logaritmo del PIB (1990=100). Fuente:MEI, OCDE.


-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

1960:1 1963:1 1966:1 1969:1 1972:1 1975:1 1978:1 1981:1 1984:1 1987:1 1990:1 1993:1 1996:1


Tasa interanual de inflación. Fuente:MEI, OCDE.


0

5

10

15

20

25

1960:1 1963:1 1966:1 1969:1 1972:1 1975:1 1978:1 1981:1 1984:1 1987:1 1990:1 1993:1 1996:1


Tasa de desempleo. Fuente:MEI, OCDE.


-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

1960:1 1963:1 1966:1 1969:1 1972:1 1975:1 1978:1 1981:1 1984:1 1987:1 1990:1 1993:1 1996:1


Primera diferencia del logaritmo del PIB (1990=100).


Procesos integrados• Ejemplo de un proceso no estacionario: el paseo aleatorio

yt = yt−1 + εt, (1)• Su primera diferencia es totalmente impredecible con la infor-mación disponible en t− 1

E (yt − yt−1/It−1) = E (εt/It−1) = 0.• Iterando hacia atrás

yt = (yt−2 + εt−1) + εt = y0 + ε1 + ε2 + ... + εt.

si y0 = 0

yt =t−1Xj=0

εt−j (2)

• La variable y no tiene ningún componente determinístico, sinoque depende únicamente de términos estocásticos, cuya impor-


tancia no decae en el tiempo y tienen un carácter permanente.• Un paseo aleatorio tiene memoria infinita. La media de esteproceso es cero ya que

E(yt) =t−1Xj=0

E(εt−j) = 0,

mientras que la varianza aumenta con t

var(yt) = E(y2t ) =

t−1Xj=0

E(ε2t−j) = tσ2,

• Paseo aleatorio con derivayt = c + yt−1 + εt. (3)

• La primera diferencia de yt es parcialmente predecible, ya queE (yt − yt−1/It−1) = E(c) +E (εt/It−1) = c.


• Sustituyendo recursivamenteyt = c+ (c + yt−2 + εt−1) + εt = y0 + ct + ε1 + ε2 + ... + εt.

yt = ct +t−1Xj=0

εt−j.

• La variable y tiene un componente determinístico y otro es-tocástico.• La media de la variable y también crece con el tiempo ya que

E(yt) = E(ct) +t−1Xj=0

E(εt−j) = ct,

al igual que su varianza

E(yt − ct)2 =t−1Xj=0

E(εt−j)2 = tσ2.


•Otro ejemplo de una serie no estacionaria es la siguiente:zt = ct + εt.

que sólo presenta una tendencia determinística en la media yaque

E(zt) = ct,pero no en la varianza

var(zt) = E(zt − ct)2 = E(εt) = σ2.

• Una de las diferencia entre estos procesos no reside en la trans-formación que ha de realizarse para obtener variables estacio-narias.• En el caso de los paseos aleatorios es necesario diferenciar lavariable una vez,

∆yt = (1− L)yt = c + εt, c ≥ 0.⇒ la variable y es integrada de orden uno, es decir, y es I(1).


• Una variable es integrada de orden d, I(d), cuando necesita-mos tomar d diferencias de la variable original para que seaestacionaria.• Tendencia en la media, basta con expresarla en desviacionesrespecto a una tendencia determinística para convertirla en esta-cionaria ezt = zt − ctla variable zt es estacionaria alrededor de una tendencia lineal(determinística).• El problema reside en que es difícil distinguir series con ten-dencias en la media o en la varianza.


• La persistencia en las series temporales incumple una de laspropiedades esenciales que permite estimar y realizar inferen-cia en el modelo lineal con MCO, en particular el supuesto deque en el modelo

y = Xβ + ε (4)se cumple que

E(ε | X) = 0 (5)Esta hipótesis implica que

E(εi | x1, ..., xi, ..., xn) = 0, i = 1, ..., n (6)• En el modelo AR(1)

yt = a0 + a1yt−1 + εt (7)resulta evidente que si a1 6= 0, aunqueE(εt | yt−1) = 0 se verificaque E(εt−1 | yt−1) 6= 0.


• ¿Cuáles son las implicaciones de este problema? La estimacióndel coeficiente autoregresivo está sesgada a la baja en mues-tras pequeñas lo que dificulta la distinción de series con ten-dencias en la media o en la varianza.• Supongamos el siguiente proceso para una variable x

xt = ρc + (1− ρ)ct + ρxt−1 + εt, (8)• El problema surge porque cuando estimamos ρ se suele come-ter un sesgo a la baja, tanto mayor cuanto menor es el tamañomuestral y más cerca de la unidad se encuentra el verdaderovalor de ρ. Un segundo problema es que la distribución asin-tótica del error estándar de bρ cuando ρ = 1 no es normal y nisiquiera simétrica.


• Para ilustrar la gravedad de este problema podemos realizar lasiguiente simulación de Monte-Carlo con la finalidad de vercuáles son las propiedades del estimador MCO en pequeñasmuestras. Para ello partimos de un proceso generador de datosconocido

yt = 1 + 0,9yt−1 + εt (9)para lo cual generamos 500 réplicas de este proceso con 200observaciones. En cada réplica se estimaporMCOel coeficientede yt−1 de forma recursiva, empezando con 5 observacioneshasta llegar a las 200 finales. Al final de las 500 réplicas dispone-mos de 500 series de 195parámetros, para los cuáles calculamosel promedio para las 500 simulaciones efectuadas. El promediode estos coeficientes estimados es el que se representa en elsiguiente gráfico.


-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

A1MEAN A1


• Como puede observarse el estimador MCO de a1 se encuentraclaramente sesgado en muestras pequeñas. El sesgo se reducea medida que la muestra aumenta hasta que termina por de-saparecer a medida que el número de observaciones tiende ainfinito. De hecho, se puede demostrar que el promedio delestimado MCO de a1 es

a1

µ1− 2

T

¶(10)

• Por esta razón, la solución tradicional a este problema ha con-sistido en aplicar la teoría asintótica (muestras muy largas) aprocesos estacionarios autorregresivos, de manera que todoslos resultados sobre estimación e inferencia que vimos en eltema anterior pueden extenderse a los modelos de series tem-porales estacionarias cuando lamuestra es grande.


• Sin embargo, cuando las variables son no estacionarias ya nopodemos aplicar la teoría asintótica tradicional.• Problemas cuando las variables son no estacionarias:I Regresión espuria: Favero muestra cómo al regresar el log.del consumo de EE.UU. en el log. de la renta disponible deUK obtenemos un ajuste muy elevado y coeficientes muy sig-nificativos. Sin embargo, esta regresión carece de sentido eco-nómico y los residuos son no estacionarios.

I La estimación de procesos AR(1) con series integradas tiendea rechazar la hipótesis de no estacionariedad condemasiadafrecuencia.

I Las distribuciones de los estimadores son no estándar.


•Nelson y Plosser (1982). Supongamos que generamosmedianteun experimento deMonte-Carlo 100 observaciones del siguien-te paseo aleatorio con deriva:

yt = 1,0 + yt−1 + εten donde εt ∼ N(0, 1).


• Una vez generada la variable y estimamos porMCO la siguien-te ecuación

yt = c + ρyt−1 + λt + ut.Si realizamos este ejercicio 1000 veces podemos analizar la dis-tribución de los valores de ρ estimados.• Conclusión: tendemos a rechazar la hipótesis nula ρ = 1muchasmás veces de las que en realidad debiéramos.


0

2

4

6

8

10

0,60 0,80 1,00 1,20 1,40

Simulada Normal

Comparación entre la función de densidad simulada deun proceso AR(1) y la de una distribución normal.


-0,10

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

1970:1 1973:1 1976:1 1979:1 1982:1 1985:1 1988:1 1991:1 1994:1 1997:1

(1-L)lny - g lny -g -ct


• En la macroeconometría aplicada se han propuesto tres solu-ciones con la finalidad de encontrar una representación esta-cionaria de las variables no estacionarias:I Buscar una combinacióndevariables no estacionarias delmis-mo orden que dé lugar a un vector estacionario: teoría de lacointegración. Supongamos que yt,xt son I(1), es decir, que suprimera diferencia es estacionaria y que la teoría económicanos dice que podemos establecer una relación entre ellas talque

yt = β0 + β1xt + εt (11)en donde εt es estacionario.


I Si no tenemos una teoría que dé lugar a un vector de cointe-grado podemos trabajar con series diferenciadas tantas vecescomo necesitemos hasta hacerlas estacionarias. Este enfoquese utiliza con bastante frecuencia en la literatura que estimaVAR (por ejemplo, Blanchard y Quah, 1989).

I Buscar una descomposición univariante que dé lugar a uncomponente permanente (tendencia) y otro transitorio (ciclo),y trabajar con el componente estacionario (literatura del cicloeconómico). Este enfoque no es sólo una necesidad estadísti-ca, sino que refleja también el interés del investigador de con-centrarse en ciertas regularidades de las variables económi-cas.

• En lo que resta de tema nos ocuparemos precisamente de estaúltima estrategia.


El filtro de Hodrick-Prescott• Una forma de extraer la tendencia consiste en aplicar filtros:suavizar la variable original, por ejemplo, tomarmediasmóviles.• Elmétododedescomposición entre tendencia y ciclo propuestopor Hodrick y Prescott (1997), que apareció en 1980, se ha con-vertido en el filtro más popular.• Tiene la ventaja de que puede aplicarse fácilmente.• El filtro de Hodrick-Prescott descompone una variable tempo-ral yt en su componente cíclico y tendencial: yt = yt + ct.• El componente tendencial yt es aquel que resulta deminimizar

mı́nTXt=3

(yt − yt)2 + λTXt=3

(yt − 2yt−1 + yt−2)2 (12)

en donde λ determina el grado de suavidad del filtro.


• Cuando λ es igual a cero, el problema consiste en minimizarPTt=3(yt − yt)2, es decir, yt = yt.

• Cuando λ se aproxima a infinito yt pasa a ser una tendencialineal .•Matricialmente

mı́ny(y − y)0(y − y) + λ(Ay)0(Ay) (13)

en donde y0 = (y1, y2, ..., yT ), y = (y1, y2, ..., yT ), y la matriz Aviene dada por:

A =

1 −2 1 0 0 ... 0 0 0 00 1 −2 1 0 ... 0 0 0 0

0 0 0 0 0 ... 1 −2 1 00 0 0 0 0 ... 0 1 −2 1

.


• Solucióny = (I + λA0A)−1y

yc =

¡1− (I + λA0A)−1

¢y,

en donde c0 = (c1, c2, ..., cT ).• La matriz (I + λA0A)−1 toma medias móviles centradas de yen la mayor parte de las observaciones, pero asimétricas en losextremos, tal y como se aprecia en el Gráfico 8.


-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


• El problema de la elección de λ.IHodrick y Prescott propusieron un valor de λ = 1600 para se-ries trimestrales bajo el supuestodeque cualquier pertubaciónque tiene efectos durante 8 o más años tiene carácter perma-nente. En Estados Unidos los ciclos económicos tienen unaduración media de 5 años.

I Para series mensuales se suele utilizar 14400 y para series an-uales se recomienda un valor igual a 10 (véase, Baxter y King,1999,Maravall yDel Río, 2001, yCorrales,Doménech yVarela,2002).

I Puede demostrase que el valor de λ es igual a la ratio de lavarianzadel componente tendencial respecto a la varianza delcomponente cíclico.


• Cuando la variable es no estacionaria, el componente cíclicoobtenido con el filtro de Hodrick-Prescott es equivalente al quese obtiene tras eliminar la tendencia lineal y posteriormentefiltrar las desviaciones con respecto a dicha tendencia.• Sin embargo, cuando la variable es I(0) este filtro es equivalentea suavizar dicha variable utilizando unamedia móvil. En estecaso, es posible generar un ciclo espurio que no se encuentraen los datos originales.


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