1

מציאת צורה של מבניTensegrity

אסף כץ: מציג

ר עופר שי"הפרויקט בוצע בהנחיית ד

אוניברסיטת תל אביבש איבי ואלדר פליישמן"הפקולטה להנדסה ע

חומרים ומערכות, המחלקה למכניקה

2

ראשי פרקיםמבוא•

? Tensegrity מהן מערכות –

היסטוריה ויישומים, רקע–

:Tensegrityשל מבני ) Form-Finding(מציאת צורה •

:שיטות גרפיות–

Guzmanשיטת •

Hennenbergטרנספורמציית •

שיטות קינמטיות–

שיטות סטטיות–

מסקנות וכיווני מחקר אפשריים•

3

? Tensegrity מהן מערכות

Tension + Integrity = TensegrityFuller, 1975

מבוא

4

הגדרות

הם מבנים הנוצרים על ידי שילוב Tensegrityמבני •

של אלמנטים קשיחים הנתונים ללחיצה

ואלמנטים מחברים הנתונים) struts/תומכנים(

)כבלים(למתיחה

:רציפות המתיחה •Tensegrity היא התוצאה המתקבלת כאשר לחיצה ומתיחה

המתיחה הינה רציפה. )integrity(נמצאים באיזון מושלם י לחיצה בלתי רציפה"ומאוזנת ע

(self-stress)מתיחה יוצרת מערכת מתכנסת •מסתעף ולא יציב, גורם מקשר- הלחיצה•

5

פונג-הזזת כדור פינג1.

.בעליה ובירידה, קרונית נגררת2.מבוא

6

.....מעט היסטוריה

? מי הממציא •• Loganson Karl 1921Study in balance?•(Richard Buckminster Fuller (1895-1983? •( -K.D. Snenlson (1927?

מבוא

7

יישומים

ארכיטקטורה ועיצוב•

תחום החלל•

רובוטיקה•

מבנים נפרשים קלי משקל- צבאי•

רפואה•

מבוא

8

יישומים אפשריים

מבוא

מבוא9

מבוא10

מבוא11

12

(Form- Finding) מציאת צורה

13

Tensegrity- מציאת צורה

ובהמשך, אם כי לא שלם, כפתרון מהיר" גרפיות"להלן יוצגו שיטות •

בחלוקה לשתי Tensegrity שיטות של בדיקת יציבות מבנה 7 יוצגו

:משפחות

שיטות קינמטיות–

שיטות סטטיות–

14

שיטות גרפיות

טכניקות פתרון המאפשרות להוסיף ולחסר יחידות- שיטות גרפיות•ללא שינוי אופיו של, בסיס של צמתים וקשתות מן הטופולוגיה

יציבות המבנה לא תשתנה-אי/ יציבות:כלומר . הייצוג הטופולוגי.כתוצאה מביצוע פעולות אלה

.חוזקן של השיטות הוא במהירות התכנסותן ובפשטותן•

והעדר מדד, חסרון מרכזי הוא חוסר ודאות לגבי יציבות המבנה•.מדויק לאופטימיזציה במיקום הצמתים

15

Guzmanשיטת (2004).מאוניברסיטת מדריד Miguel de Guzman : מפתח השיטה•

:השיטה מאפשרת •

.משקל-בשיווי Tensegrityלבחון אם טופולוגיה נתונה יכולה לייצג מבנה –

על בסיס הטופולוגיה Tensegrityיישום מספר עקרונות בבנייה של מבנה –).קיימת יותר מאפשרות אחת עבור טופולוגיה נתונה, בהכללה(

.משקל-בשיווי Tensegrityתכנון טופולוגיות חדשות של מבני –

.משקל-בשיווי בניה של מבנים חדשים–

Guzman

16

Guzmanעקרונות שיטת -סופר(ניתנת לביטוי כסכום Tensegrityטופולוגיה של מבנה •

גרף מלא בן ארבעה( "אטומים"של יחידות בסיס הנקראות ) פוזיציה).K4- צמתים

.ניתנים לאיחוד, המחברים בין אותם הצמתים, שני אלמנטים שונים•.הכוח באלמנט החדש יהיה סכום הכוחות בשני האלמנטים הללו

ניתנים (self-stress)הנתונים למאמץ עצמי Tensegrityשני מבני •המבנה המאוחד המתקבל יהיה אף). עם אילוצים מסוימים(לאיחוד

.במאמץ עצמי Tensegrityהוא מבנה

השיטה איננה דנה ביציבות של המבנה אלא רק בסוגיית היותו•כדי לבחון את יציבות המבנה יש להשתמש בשיטות (.משקל-בשיווי

).דוגמת אלה שיוצגו בהמשך, אחרות

A

B

A

B

+

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

Guzman

17

הגדרות)מתיחויות (ωijעל מסגרת הינו אוסף של סקלרים ωמאמץ •

.בקשתות• ωij= ωji כיוון שהם מתייחסים לאותה הקשת.

:אם בנוסף יתקיים התנאי הבא (self-stress) מאמץ זה יכונה מאמץ עצמי •

.סכום הוקטורים הוא אפס, piכלומר לכל צומת

: Tensegrityקיימים שני תנאים לקיום של מבנה , ובצורה אחרת•

.הסכום של הווקטורים בכל צומת שווה לאפס1.

הסכום של שני הווקטורים שרשומים בקצותיו2..של כל אלמנט שווה לאפס

( ) 0pp i,ij קשת

jiij =−ω∀ ∑

+

+

-Pi

jipp

Guzman

18

הגדרות

Guzman

הוא מסגרת במאמץ עצמי Tensegrity ,(,T(Pמבנה

הוחלפו בכבל לא מתיח ωij<0שבהן ijשבו הקשתות

),קצותיו מאולצים כך שלא יוכלו להתרחק זה מזה(

בתומכנים שלא הוחלפו ωij>0והקשתות שבהן

.הוסרו ωij=0קשתות בהן . ניתנים לכיווץ

19

אטומים- בסיסיות Tensegrityיחידות

.מימדיים-סוגים של אטומים דו4 •דואליות•רציפות המתיחה •

Guzman

20

Tensegrityפרוק ובניה של מבנה

.ניתן לפירוק למספר סופי של אטומים Tensegrityכל מבנה •. יחידאינוהפירוק של המבנה לאטומים

:הוכחה •כך שבכל, נוסיף שרשרת של אטומים במאמצים עצמיים, נתון Tensegrityלמבנה

שלב צומת נוסף הופך לצומת שכל הקשתות המתחברות אליו מקבלות מתיחות. אפס

צמתים שאינם d+2שבה יש רק , בסופו של התהליך תתקבל מסגרת במאמץ עצמי.כלומר אטום- מתאפסים

הוא סכום של אטום זה והאטומים ההפוכים לזה, נראה גם שהמבנה המקורי. שהשתתפו בתהליך

Guzman

פירוק1 : תאוריה

21

Tensegrityפרוק ובניה של מבנה

:בכל שלב יש רק שני מצבים אפשריים •

Aבדיוק שלוש קשתות נפגשות בצומת –

Guzman

D

A

B

C

+

A

B

C D

A

B

C D

→

למעלה משלוש קשתות עם מתיחויות שונות מאפס –

D

A

B

C

+

A

B

C D

A

B

C D

→E E E

).עדי כדי הכפלה בקבוע(מאמץ עצמי ייחודי A,B,C,Dשצמתיו הם Kלאטום בגלל שיווי ( ). ABנבחר כך שהוא יהיה הפוך למתיחות בקשת

.יהיו הפוכות AC ,ADגם המתיחויות Aמשקל בצומת

Aאך הן אינן משפיעות על צומת , ייתכן שיתווספו קשתות חדשות

KωKABωAB

KAB ω−=ω

:המשך

שתכליתו להביא למצב של מפגש שלוש קשתות" שלב-תת"Aבלבד בצומת

22

Tensegrityפרוק ובניה של מבנה

ובכל שלב, אף הוא מאמץ עצמי, כיון שהסכום של מאמצים עצמיים •אז לאחר מספר שלבים סופי" צומת אפס"צומת נוסף הופך להיות

ובכך. נקבל מסגרת במאמץ עצמי בעלת ארבעה צמתים בלבד

.סיימנו את תהליך הפירוק

Guzman

:המשך

23

Tensegrityפרוק ובניה של מבנה

אזי, שאין שלוש מהן על קו ישר, אם נתון צירוף של נקודות •אשר נקודות Tensegrityמבנה , שלב אחר שלב, אפשרי לבנותכל האלמנטים והווקטורים מחושבים שלב אחר. אלו הן צמתיו

.שלב

:הוכחה •–N נקודות במישור יסומנו :A1,A2,A3,…..,AN ..וירכיבו אטום A1,A2,A3,A4אקראית יבחרו – .A1,A2,A3,A5 תורכב לאטום נוסף שצמתיו הם , A5 ,נקודה חדשה–. האטום החדש יתוסף לקודמו–

. ניתן להמשיך בצורה זו ולהוסיף עוד ועוד צמתים

Guzman

הרכבה2 : תאוריה

24

Guzmanפרוק ובניה בשיטת :דוגמא

נתונה טופולוגיה המייצגת מבנה מישורי•.משקל-בשיווי Tensegrityיש לבדוק אם טופולוגיה זו יכולה לייצג מבנה •.יש למקם את הצמתים במישור ולאפיין את הקשתות ככבלים או מותחנים, אם ניתן•

Guzman

מימדית- דוגמא דו :

25

Guzmanפרוק ובניה בשיטת :דוגמא

Guzman

26Guzman

!!!K4התקבל אטום לפיכך הטופולוגיה הנתונה בתרגיל מתאימה לייצוג

Tensegrityמבנה

ניתן לבנות את הטופולוגיה המקוריתחזרה באמצעות הוספת שני האטומים

שהשתתפו בפירוק

Guzmanפרוק ובניה בשיטת :דוגמא

27Guzman

: כעת בניה מעשית

שבו BCEFנגדיר טופולוגיה זו כאטום דו מימדי אסור למקם(הצמתים ימוקמו שרירותית במישור

התומכנים). שלושה צמתים על אותו הישר.מודגשים

A

B

D

C

F

E

: בתהליך הפוך לתהליך הפירוק

.Dשיצרף חזרה את צומת BDEFנוסיף אטום

BCEFנקבע , שנוספה בפירוק BEכדי להיפטר מהקשת BE

BDEFBE ω−=ω

B

D

F

E

?BFאיך נדע את אופיו של

. ABCFלהשלמת תהליך הבניה נוסיף אטום

יעלמו BF ,CFיבוצע באופן שבו הקשתות המיותרות Aמיקום צומת כתוצאה מהחיבור

A תמוקם:

BF,CFעל השקול של הכוחות באלמנטים -

Fעל ישר העובר דרך -

לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים-

Guzmanפרוק ובניה בשיטת :דוגמא

28Guzman

A

B

D

C

F

E

A

F

CB

A תמוקם:

BF,CFעל השקול של הכוחות באלמנטים -

Fעל ישר העובר דרך -

לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים-

?BCאיך נדע את אופיו של

Guzmanפרוק ובניה בשיטת :דוגמא

29

Guzmanסיכום ביניים

:עקרונות בסיסיים•.סכום הווקטורים בכל צומת שווה לאפס•.סכום הווקטורים הרשומים בקצותיו של כל אלמנט שווה לאפס•

השיטה מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה מסוימת •תוך Tensegrityוכן לבנות טופולוגיות חדשות למבני , Tensegrityלייצג מבנה

.שימוש במספר כלים פשוטים

ולבנות ממנה Tensegrityהשיטה מאפשרת לממש טופולוגיה נתונה של מבנה •כלומר למקם את הצמתים ולקבוע את האופי של כל אלמנט ככבל, מבנה ממשי

. או תומכן

מתקבל מבנה בשיווי משקל אך נדרשת הרחבה כדי Guzmanמן התיאוריה של •. להוכיח את יציבות מבנה

Guzman

30

Hennenbergטרנספורמציית

•(G(p היא מסגרת נתונה ב d , i,j היא קשת שלG כך שPi≠Pj.

קשתות(3 קשתות אחרות d+1ונחליף אותה ב , Gנמחק את הקשת מתוך •אשר ממוקם על ישר pkכולן מחוברות לצומת חדש ), מימדי-במקרה הדו).אך לא מתלכד איתם (pjל piהמחבר את

pjול pi ל pkקשתות יחברו את 2 •

•d-1 קשתות יחברו לצמתים אחרים של G .

.משקל-יוסט ממקומו לנקודת שיווי pkצומת •

Hennenberg

i

j

k

i

j

k

i

j

(G(p

31

Hennenbergטרנספורמציית

: הנחה•שדרגתו), הצמתים' מס- n(קשתות n-2 קשיח בעל Gכל גרף

יכול להתקבל מביצוע של טרנספורמציות3, הנמוכה ביותר היא Hennenberg כאשר מתחילים מגרף , והכנסת צמתיםK4 .

:הנחה הופכית•קשתות ולקבל בצורה הפוכה n-2בעל Gניתן לפעול על גרף

יש חשיבות לבחירת הצמתים אותם מפחיתים מגרף. K4גרף G.

Hennenberg

32

סיכום שיטות גרפיות

תנאי מינימלי לבחינה. eH≤2n-2הינו קיום היחס Hennenberg תנאי הכרחי לשיטת•

Hennenberg כלומר טרנספורמציית . n<4כאשר היחס . eG≤3n/2הינו Guzmanבשיטת

). או יותר4 (מחייבת שיהיה צומת אחד לפחות שדרגתו בתחילת הפירוק הינה

.פירוק לא נכון עלול להביא לכישלון. יש חשיבות לסדר הפירוק Hennenbergבפירוק •).למעט שיקולי מהירות ההתכנסות(אין חשיבות לסדר הפירוק Guzmanבשיטת

שיטת. לאורך כל שלבי הפירוק e=2n-2שומרת על הקשר Hennenbergטרנספורמציית •Guzman , לעומתה אינה מקיימת בהכרח קשר זה ולעיתיםe≤2n-2

יתרונה הוא. Guzmanפחות אינטואיטיבית ביחס לשיטת Hennenbergטרנספורמציית •ויש סכנה של, Tensegrity במהירות התכנסותה אך היא עדין לא הוכחה מתמטית למבני

.פירוק לא נכון שיוביל למסקנה שגויה

33

שיטות קינמטיות

.אורך הכבלים נשמר קבוע ואילו אורך התומכנים גדל למקסימום•

או לחילופין

.אורך התומכנים נשמר ומקצרים את הכבלים למינימום•

גישה זו מבטאת את האופן שבו מבצעים את הבניה בפועל

מציאת צורה

מציאת צורה34

:שלוש שיטות קינמטיותשיטה אנליטית.2.שיטת אופטימיזציה לא ליניארית.3.שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית.4.

שיטות קינמטיות

35

שיטה אנליטית1.

יבחן מבנה פשוט שבו הכבלים מסודרים לאורך קשתות של•.פריזמה

הצמתים בבסיס התחתון Vמספר תומכנים מחברים את •.לצמתים המתאימים בבסיס העליון

בין θישנה זוית , כתלות במספר הצמתים והמרחקים • Tensegrityהמצולע העליון והתחתון שבה מתקבל מבנה

. יציב

( )

yrespectivl,strutandcabledenotesandc

Hv

j2cos1R2l

Hcos1R2l

222s

222c

+

π+θ−=

+θ−=

πj/v.2ניצב והזווית בין קצוות התומכן היא 12 במצב ההתחלתי הכבל

j הוא שלם קטן מV . מן הגיאומטריה מתקבל:

:יגיע לערך מכסימלי כאשר , ls, האורך של התומכן , lc, לכבל באורך נתון

−=

v

j

2

1πθ

למשל. ניתן לפתור בצורה אנליטית רק מבנים פשוטים ביותר•פריזמתיים בהם קיימת סימטריה וניתן Tensegrity מבני

י סיבוב יחסי של המצולע העליון ביחס"להגיע לשיווי משקל ע.לתחתון

למקרים שאינם סימטריים הפתרון הופך להיות לא מעשי בגלל•.ריבוי הנעלמים

36

שיטת אופטימיזציה לא ליניארית2.

מבנהכלשיטה זו הופכת את בעיית מציאת הצורה של •Tensegrity לבעיית מינימום מאולצת.

.מתחילים ממערכת שבה נתונה הטופולוגיה ומיקומי הצמתים•תוך שמירה על יחס אורכים קבוע עד, מאריכים תומכן אחד או יותר•

.שמגיעים לקונפיגורציה שבה אורכיהם מקסימליים:בעיית המינימום המאולצת היא מהצורה הבאה•

» Minimize f(x,y,z)» Subject to gi(x,y,z)=0 for i=1,….,n

האורך השלילי של אחד, לדוגמה,פונקצית המטרה יכולה להיות•התומכנים

מציאת צורה

37

: (Pellegrino)נבחן את הדוגמא הבאה •

:פריזמה משולשת•.ושלושה תומכנים lc=1יש תשעה כבלים באורך יחידה •

אחד הבסיסים מקובע ולכן שלושה צמתים ידועים מתוך•.השישה

מציאת צורה

:בעיית המינימום המאולצת תהיה מהצורה•

הם שישה הכבלים הנותרים שאינם ידועים c1, c2,….,c6כאשר •s1,s2,s3 הם התומכנים

=−

=−

=−

=−

=−

−

01l

01l

01l

01l

01l

tosubjected

limizemin

21s

23s

21s

22s

26c

22c

21c

21s

שיטת אופטימיזציה לא ליניארית2.

38

:יתרונות דוגמת (מאפשר שימוש בתוכנות פשוטותMatlab.(מאפשרת למצוא גיאומטריות חדשות עבור טופולוגיה

על ידי הגדרת יחסים חדשים בין האורכים של, נתונה.התומכנים

:חסרונות מספר האילוצים הולך וגדל עם כל אלמנט שנוסף למערכת

).בעייתי במערכות גדולות( אין דרך ישירה לשלוט בכוחות המתפתחים באלמנטים

.השונים

שיטת אופטימיזציה לא ליניארית2.

39

הרפיה דינמית- שיטה איטרטיבית3.

עליו פועלים כוחות, למבנה בקונפיגורציה ראשונית נתונה•י"המשקל ניתנת לחישוב ע-משוואת שיווי, חיצוניים נתונים

אינטגרציה של המשוואה הדינאמית

K מטריצת הקשיחות M מטריצת המסה D מטריצת השיכוך (damping)

f וקטור הכוחות החיצונייםהמהירות והתאוצה בהתאמה, הם וקטורי התזוזה . ביחס לקונפיגורציה ההתחלתית

fKddDdM...

=++

מציאת צורה

d , d , d...

מציאת צורה40

:יתרונות לשיטה יכולת התכנסות טובה למבנים בהם מספר צמתים

.מועט

:חסרונות מאבדת מהאפקטיביות שלה כאשר מספר הצמתים גדל. נוצר סרבול כאשר דרושים מספר יחסים שונים בין

דבר אשר מגביל את השיטה למבנים, הכבלים לתומכנים.סימטריים ולא מורכבים מדי

הרפיה דינמית- שיטה איטרטיבית3.

41

שיטות סטטיות

בשיטות אלו מוצאים את הקשר שבין קונפיגורציה•.בטופולוגיה ידועה והכוחות הפועלים על האלמנטים שלה

:קשר זה מנותח באמצעות אחת מהשיטות הבאות •

שיטה אנליטית4.

)force densityשיטת צפיפות הכוח (5.

שיטת מינימום אנרגיה6.

שיטת הקואורדינטות המופחתות7.

מציאת צורה

42

שיטה אנליטית .1:נביט שוב בדוגמא הבאה

כדי ליצור מערכת משוואות לינאריות בשיווי משקל מוגדר: פרמטר חדש

qij – כוח מחולק באורך= צפיפות כוח.

y ו zבכיוון 1 לפיכך משוואת שיווי המשקל בצומת

:תהיה

0j2

sinRqsinRq :y

0HqHq :z

3,12,1

3,12,1

=

νπ+θ+θ

=+

ν−π=θ j

2

1

:הפתרון היחיד של שתי משוואות אלה עבורו כל הכבלים במתיחה הוא

באופן לא מפתיע זהו גם הפתרון שהתקבל בשיטה הקינמטית

43

שיטת צפיפות הכוח .2

ב ונדון ליניאריות" טריק"נחזור לא משוואות להפוך מערכת שנועד המתמטי הפשוט .למערכת של משוואות לינאריות, בצמתים

:היא, i, בצומת כלשהו xהמשקל בכיוון -משוואת שיווי, לדוגמא

:כאשר t – הכוח באלמנט l – אורך האלמנט f– וקטור הכוחות החיצוניים

( )∑ =−j

ixjiij

ij fxxl

t

מציאת צורה

•lij הוא פונקציה של הקואורדינטות ולכן המשוואה איננה ליניארית.

qij=tij/lij: נגדיר לפיכך פרמטר חדש ••q נקרא צפיפות הכוח וערכו צריך להיות ידוע בתחילת תהליך מציאת הצורה.

:ניתנות לכתיבה באופן הבא xהמשקל בכיוון -משוואות שיווי, צמתים nאלמנטים ו bלמבנה ובו

xssTs fxQCC = : כאשר

Cs : מטריצת הפגישות[bxn]

Q : מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח.

xs : וקטור הכולל את קואורדינטותx.

fx : בכיוון וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתיםx.

44

שיטת צפיפות הכוח .2

0Dxs =:ניתנות לכתיבה באופן הבא xהמשקל בכיוון -משוואות שיווי, צמתים nאלמנטים ו bלמבנה ובו

xssTs fxQCC = : כאשר

Cs : מטריצת הפגישות[bxn]

Q : מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח.

xs : וקטור הכולל את קואורדינטותx.

fx : בכיוון וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתיםx.

אז לרוב אין צמתים שמיקומם מאולץ (self-stress)כיוון שמדובר במבנה בעומס עצמי

.ואין כוחות חיצוניים

:ניתן לפיכך לרשום

D

.zו yביטויים דומים יופיעו בכיוונים D הינה מטריצת צפיפות הכוח וניתן לחשבה ישירות ללא מעבר דרךQ וCs בצורה

:הבאה

=

≠

= ∑ ≠

i 0ל j בין קשר אין אם

j,i if q

j,i if q-

D ik ik

ij

ij

45

:ראינו קודם לכן שבמאמץ עצמי

:כאשר ωij<0 לכבלים

ωij >0 לתומכנים

מציאת צורה

שיטת מינימום אנרגיה3.

:אם נשווה ביטוי זה לביטוי שקיבלנו זה עתה לגבי צפיפות הכוח

qij לצפיפויות הכוח זהים ωijברור הוא שהמאמצים העצמיים

,Tensegrityקיום המשוואה לעיל הינו תנאי הכרחי אך אינו מספיק לקיומו של מבנה

....יש תנאי נוסף שיש להתחשב בו

( )∑ =−j

ixjiij fxxq

( ) 0pp i,ij קשת

jiij =−ω∀ ∑

46

:ω נגדיר ביטוי לאנרגיה המקושר למצב המאמצים

( ) ,pp2

1pE

T

Ω

Ω=

( ) ∑ −ω=ij

2ijij ||PP||

2

1pE

=

z

y

x

p

שיטת מינימום אנרגיה3.

.האנרגיה נבנית כפונקציה ריבועית של ההתארכות, כאשר הקצוות של האלמנט זזים. משוואה זו תקבל ערך מינימום כתלות ישירה בהתארכותו של האלמנט

. pשל x,y,z -המכיל את קואורדינטות ה dnהוא וקטור באורך

:יתקבל לפיכך

:כאשר

=ω≠ω−

=Ω ∑≠

i0ל j בין קשר אין אם

ji if

ji if

ikik

ij

ij

מציאת צורה47

שיטת הקואורדינטות המופחתות4. Tensegrityמבנה

b =מספר האלמנטים

m כבליםo תומכנים

התייחסות כאל אילוצים (

)צדדיים לכבלים-דו

b=m+o

נגדיר סט קואורדינטות מוכללות בלתי תלויות המגדירות את המיקום והאוריינטציה

. g=[g1,g2,….,gN]Tשל התומכנים

)N=3xO (x,y,θ :מימד-בדו

)N=5xO (x,y,z,θ,φ: בתלת מימד

מציאת צורה48

שיטת הקואורדינטות המופחתות4. משקל עם התומכנים-בשיווי t=[t1,t2,…,tM]Tהכוחות בכבלים (self stress)במצב מאמצים עצמיים

.המתאימים ואין כוחות חיצוניים

משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה תביא למציאת כל הכוחות-מערכת של משוואות שיווי

.הפועלים במערכת

.אך ללא התארכות של התומכנים, δgנניח תזוזה מדומה של המבנה בגודל

:הוא jהשינוי באורך של כבל

: ועבור כל הכבלים

: A [[NXM כאשר

.gg

ll

N

1ii

i

jj ∑

=

δ∂∂

=δ

gAl Tδ=δ

i

jij g

lA

∂∂

=

מציאת צורה49

שיטת הקואורדינטות המופחתות4.

tTδl=(At)Tδg: ולכן ) התומכנים לא משנים את אורכם(העבודה המתקבלת היא זו של הכבלים

At=0לפיכך . δgבשיווי משקל ביטוי זה שווה לאפס לכל תזוזה מדומה

:ניתן לקבל סט של תנאים מתוך שתי הדרישות הבאות

rank A>M: לפתרון לא טרוויאלי נדרש•

tj<0 for j=1,2,….,M: רק פתרונות חיוביים הינם בעלי עניין •

50

סיכום ומסקנות שיטות מציאת הצורה:שיטות המחולקות לשתי משפחות 7 בחלקה השני של העבודה הוצגו

שיטות קינמטיות1.

,מגדירות קונפיגורציה עם אורך מכסימלי של התומכנים או אורך מינימלי של הכבליםשיטות סטטיות2.

.כאשר הסוג השני נשמר קבוע ואינו משתנה

.משקל המאפשרות מצב של עומסים פנימיים במבנה-מחפשות קונפיגורציות בשיווי

שיטה אנליטית – מקרים פשוטים או סימטריים•

שיטה אנליטית –מקרים פשוטים או סימטריים•

שיטת אופטימיזציה לא ליניארית•

שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית•

השיטות לא ניתנות ליישום בקונפיגורציה שאינה•מוגדרת היטב

שתי השיטות שימשו בהצלחה לקביעת פרטים של•. קונפיגורציה ידועה

)force density(שיטת צפיפות הכוח •

שיטת מינימום אנרגיה •

שיטת הקואורדינטות המופחתות•

שיטות

אקוויולנטיות

. טובה למציאת קונפיגורציות חדשות•

קושי בשליטה על אורכי האלמנטים עם•.השינוי במתיחויות

.שליטה טובה על הצורה של המבנה •

ריבוי מניפולציות סימבוליות•

51

מסקנות וכיווני מחקר אפשריים

תחום מחקרי מבטיח בתחומים רבים•

אין נכון להיום שיטה המאפשרת פתרון מלא למקרה כללי•

Guzmanשיטת •

מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה•ולבנות טופולוגיות חדשות, Tensegrityמסוימת לייצג מבנה

תוך שימוש במספר כלים פשוטים Tensegrityלמבני

נדרשת הרחבה להוכחת יציבות- משקל-מתקבל מבנה בשווי•

Tensegrityלטיפול במבני Hennenbergטרנספורמציית •

רעיון חדש אשר מצדיק המשך בחינה והוכחה