teorÍa combinatoria · como se toman 3 colores del arcoíris se entiende que tienen que ser...
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TEORÍA COMBINATORIA
Material Didáctico elaborado por Hamlet Mata Mata, para lo cual se
revisaron varios textos y mucho material de la red.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números
naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n! y se lee "n factorial". Por definición el
factorial de 0 es 1: 0! =1. Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Su utilidad consiste en que se utiliza en la mayoría de
las fórmulas de la COMBINATORIA.
N! Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y se define como
el producto de todos los números consecutivos decrecientes que comienzan en 1 hasta n,
entonces si n es entero positivo tenemos:
N! = n (n-1) (n-2) (n-3) ..................1.
6! = 6x5x4x3x2x1 =720. ¡En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1.
Entonces, Se llama factorial de un número natural n al producto de los n primeros números
naturales. ¡Se representa por n! (En este producto no se tiene en cuenta el 0, por cuanto La
factorial de 0 es igual a 1, Vale decir que: 0! = 1).
n! = n · (n-1) · (n-2) · . . . · 1
VARIACIÓN. - Dado un conjunto de m objetos o elementos, se llaman variaciones de
esos elementos tomados de n en n, al conjunto formado por todas las colecciones de n
elementos elegidos entre los elementos dados, considerando como distintas dos colecciones
que difieran en algún elemento o en el orden de colocación de los mismo.
Entonces, Las variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n, se define como
las distintas agrupaciones formadas con m elementos distintos, eligiéndolos de entre los n
elementos de que dispones, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún
elemento como si están situados en distinto orden. El número de variaciones que se pueden
construir.
2
Fórmula de las Variaciones:
)1)(2)....(3)(2)(1(
....,)!(
!
,
,
nmnmmmmmV
mntodoPar anm
mVV
nm
nm
m
n
COMBINACIONES
Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo
en cuenta que NO influye el orden en que se colocan.
Definición:
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n
elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula:
.....,!)!(
!, mntodoPar a
nnm
mCC
m
nnm
m
n
Resumiendo se puede aseverar que las combinaciones de elementos tomados
de en a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con
los elementos de forma que:
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
3
PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES
mm
m
m
m
m
m
11
0
1
4
ALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES Y
COMBINACIONES
Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es una variación o una
combinación se hace lo siguiente:
1.-Se forma un grupo cualquiera, según el enunciado del problema y con los mismos
elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, si se consigue formar otro grupo
diferente, el problema en cuestión es una variación, si por el contrario no se logra formar otro
grupo, el problema es una combinación. Cuando en el grupo entran todos los elementos y
los grupos difieran en el orden de colocación, son variaciones, de no ser así son
combinaciones.
2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto la formación del
mismo es capaz de decir en qué orden se colocaron los elementos, entonces se afirma que el
grupo formado es una variación, si por el contrario no se puede decir el orden de colocación
de los elementos que conforman el grupo, entonces, el mismo es una combinación.
1.- ¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras 1,2,3,4,5 y 6? que sean
diferentes?
5
Razonamiento: Se forma un número cualquiera de 3 cifras, ejemplo 154, con esos mismos
elementos se forma otro número 541. Los dos números formados tienen los mismos
elementos, aunque los números son diferentes, por tal razón es una variación, por influir el
orden de colocación de sus elementos.
2.- Con los números 1,2,3,4,5 y 6, ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una pueden
hacerse?
Razonamiento: Formamos una suma cualquiera con tres de las cifras dadas......-.1 + 2 + 3 =
6, con los mismos números formamos otra suma ... ...3 +2 +1 = 6, como las dos sumas son
iguales, entonces el problema es una combinación, por no influir el orden de colocación de
sus elementos.
En una mezcla de tres pinturas de diferentes colores, que dio un color determinado, es
imposible decir en qué orden se echaron las tres pinturas, por lo tanto, es una combinación.
En una bandera de tres colores se puede decir en qué orden están colocados los colores, por
lo tanto, es una variación.
3.- Se tienen 4 pinturas de colores diferentes. ¿Cuantos colores pueden obtenerse mezclando
los 4 colores en la misma proporción?
Razonamiento; se forma una mezcla con los 4 colores A + B + C+ D = Color.
Se forma otra mezcla con los 4 colores A +D + B + C = Color, se observa como las dos
mezclas dan el mismo color puesto que no influye el orden de colocación de los elementos,
entonces es una combinación.
Solución:
Elementos de que disponemos.........................m = 4. Elementos que entran en el grupo......................n = 4. Luego,
4.- Con las cifras 1,2,3,4,5 y 6. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse, que sean
diferentes?
Razonamiento:
Se forma un número de 3 cifras 123
Con los mismos elementos se forma otro número 321
colorC ......1
!0!4
!4
!44!4
!44,4
6
Como los dos números formados son diferentes el problema es una Variación, por influir
el orden de colocación de los elementos.
Solución:
Elementos de que se disponen m = 6.
Elementos que entran en la formación de cada número n = 3.
Entonces: V6 ,3 = 6.5.4 = 120 Números diferentes.
4a.- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?
Solución
Notemos que en la pregunta se mencionan 3 cifras diferentes.
m = 5 n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Por las características, se trata de una variación.
603*4*5!2
!5
)!35(
!55
3
V
4b ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente
y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
Solución
No entran todos los elementos
Sí importa el orden
No se repiten los elementos
Por las características, se trata de una variación.
7
132010*11*12!9
!12
)!312(
!1212
3
V
5.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres
en tres?
Solución
No entran todos los elementos. Pues de los 7 se considerarán grupos de 3.
No importa el orden. Es una mezcla, así que rojo, azul y amarillo dan el mismo color que
amarillo, azul y rojo.
No se repiten los elementos. Como se toman 3 colores del arcoíris se entiende que tienen
que ser diferentes.
Por las características, se trata de una combinación
352*3*4
4*5*6*7
!4!3
!3*4*5*6*7
)!37(!3
!77
3
C
5a.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres
y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
Solución
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
Por las características, trabajaremos con combinaciones
1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
8
.35035*10!4!3
!7*
!3!2
!5* 7
3
5
2 CC
2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
.15015*10* 6
2
5
2 CC
3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
.10535*3* 7
3
3
2 CC
5b.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de
dinero puede formar con las cinco monedas?
Solución
Consideramos las sumas formadas por 1 moneda, 2 monedas, 3 monedas, 4 monedas o 5
monedas
No entran todos los elementos (Sí, en el caso de que se usen las 5 monedas)
No importa el orden
No se repiten los elementos
Por las características, se trata de combinaciones.
.3115101055
5
5
4
5
3
5
2
5
1 CCCCC
5b.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una
pueden hacerse? Es una Combinación por no influir el orden de colocación de los elementos.
Solución: Elementos de que se disponen m = 6.
Elementos que entran en la formación de cada suma n = 3
Sumasx
x
xxxxxCLueg .....2045
23
456
!3!.3
!3456
!36!3
!6,...... 3,6
9
5c.- Quince estudiantes de la Escuela de Administración de la UGMA Sede El Tigre
deben ubicarse en tres Residencias diferentes de la ciudad de El Tigre. ¿De cuantas
maneras diferentes pueden ubicarse en las residencias, si por lo menos, ha de haber 4
estudiantes en cada residencia?
SOLUCIÓN: Este es un problema de combinación, Como son 15 estudiantes para ser
repartidos en 3 residencias con la condición de que por lo menos ha de haber 4 estudiantes
en cada residencia. Las diferentes ubicaciones serán:
Residencias y Ubicación de los Estudiantes
A
B
C
4 4 7 A) [C(15,4)xC(11,4)xC(7,7)]3
4 5 6 B) [C(15,4)xC(11,5)xC(6,6)]3
5 5 5 C) [C (15,5) xC (10,5) xC (5,5)]3
Estas son las diferentes formas como pueden ser ubicados los estudiantes de acuerdo a las
condiciones dadas y con esos datos se forman las combinaciones respectivas, las cuales irán
multiplicadas por 3 ya que cada estudiante puede ubicarse en cualquiera de las residencias;
esto se hace con cada una de las diferentes posiciones y al final el resultado de cada posición
se suma y ese es el resultado buscado (A+B+C = R). Recuerde que hay varias formas de
resolver el problema y esta es una de ellas. Tiene que hacer los diferentes cálculos. Cada una
de esas posiciones se tendrá que multiplicar por 3 ya que un estudiante puede ser ubicada en
cualquiera de las 3 residencias. A continuación, se presenta el resumen de los cálculos y el
resultado buscado.
10
.....184.189.5
944.945.1890.891.1350.351.1
648.6483630.6303450.4503216300334621365333013653
5,105,153
5,114,153
4,114,153
15,5
...;2165,10
....;30035,15
......;5,55,105,15
3
16,6
...;4625,11
....;13654,15
......;6,65,114,15
3
17,7
...;3304,11
....;13654,15
......;7,74,114,15
3
diferentesFormasRESULTADO
xxx
xCCxCxCCRESULTADO
CCCxCxCC
CCCxCxCC
CCCxCxCC
5c.- Nueve estudiantes de la Escuela de Ingeniería de la UGMA Sede El Tigre deben
ubicarse en tres Residencias diferentes de la ciudad de El Tigre. ¿De cuantas maneras
diferentes pueden ubicarse en las residencias, si por lo menos, ha de haber 2 estudiantes
en cada residencia?
SOLUCIÓN: Este es un problema de combinación, Como son 9 estudiantes para ser
repartidos en 3 residencias con la condición de que por lo menos ha de haber 2 estudiantes
en cada residencia. Las diferentes ubicaciones serán:
Residencias y Ubicación de los Estudiantes
A B C Residencias
2 2 5 A) [C (9,2) xC (7,2) xC (5,5)]3
2 3 4 B) [C (9,2) xC (7,3) xC (4,4)]3
3 3 3 C) [C (15,5) xC (10,5) xC (5,5)]3
Estas son las diferentes formas como pueden ser ubicados los estudiantes de acuerdo a las
condiciones dadas y con esos datos se forman las combinaciones respectivas, las cuales irán
multiplicadas por 3 ya que cada estudiante puede ubicarse en cualquiera de las residencias;
esto se hace con cada una de las diferentes posiciones y al final el resultado de cada posición
se suma y ese es el resultado buscado (A+B+C = R). Recuerde que hay varias formas de
resolver el problema y esta es una de ellas. Tiene que hacer los diferentes cálculos. Cada una
de esas posiciones se tendrá que multiplicar por 3 ya que un estudiante puede ser ubicada en
cualquiera de las 3 residencias. A continuación, se presenta el resumen de los cálculos y el
resultado buscado.
A) [C (9,2) xC (7,2) xC (5,5)]3 =3(36+21) = 171
11
B) [C (9,2) xC (7,3) xC (4,4)]3 = 3(36+35) = 213
C) [C (15,5) xC (10,5) xC (5,5)]3 =3(84+20) = 312
Resultado = A+B+C = 171+213+312 = 696, Entonces, los Estudiantes se
pueden ubicar en las 3 Residencias de 696 formas diferente.
23 – Veintiún Gerentes de la empresa petrolera PDVSA deben pernoctar en cuatro
hoteles diferentes de la Ciudad de Puerto La Cruz. ¿De cuantas maneras diferentes
pueden ubicarse en los hoteles, si por lo menos, ha de haber cuatro Gerentes en cada
Hotel?
SOLUCIÓN: Es un problema de combinación. Estas son las diferentes formas como
pueden ser ubicados los Gerentes de acuerdo a las condiciones dadas y con esos datos se
forman las combinaciones respectivas, las cuales irán multiplicadas por 4 ya que cada
Gerente puede ubicarse en cualquiera de los 4 Hoteles; esto se hace con cada una de las
diferentes posiciones y al final el resultado de cada posición se suma y ese es el resultado
buscado (A+B+C+D+E+F = R). Recuerde que hay varias formas de resolver el problema y
esta es una de ellas. Tiene que hacer los diferentes cálculos. Cada una de esas posiciones se
tendrá que multiplicar por 4 ya que un Gerente puede ser ubicada en cualquiera de los 4
Hoteles. A continuación, se presenta el resumen de los cálculos y el resultado buscado.
1 2 3 4
4 4 4 9 A(C21,4xC17,4xC13,4xC9,9)4 ; C21,4 = 5985; C17,4 = 2380
4 4 5 8 B(C21,4xC17,4xC13,5xC8,8)4 ; C13,4 = 715; C13,5 = 1287
4 4 6 7 C(C21,4xC17,4xC13,6xC7,7)4 ; C13,6 = 1716; C17,5 = 6188
4 5 5 7 D(C21,4xC17,5xC12,5xC7,7)4 ; C12,5 = 792; C12,6 = 924
4 5 6 6 E(C21,4x C17,5xC12,6xC6,6)4 ; C21,5 = 20349; C16,5 = 4368
5 5 5 6 F(C21,5xC16,5xC11,5xC6,6)4 ; C11,5 = 462
R = (C21,4xC17,4xC13,4xC9,9)4 + (C21,4xC17,4xC13,5xC8,8)4 + (C21,4xC17,4xC13,6xC7,7)4 +
(C21,4xC17,5xC12,5xC7,7)4 + (C21,4x C17,5xC12,6xC6,6)4 + (C21,5xC16,5xC11,5xC6,6)4
R = (5985x2380x715)4 + (5985x2380x1287)4 + (5985x2380x1716)4
12
(5985x6188x792)4 + (5985x6188x924)4 + (20349x4368x462)4
R = 40.738.698.000 + 73.329.656.400 + 97.772.875.200 + 117.327.450.240
136.882.025.280 + 164.258.430.336
R = 630.309.135.456 Maneras diferentes.
PROBLEMAS DE FORMACIÓN DE NÚMEROS. - Cuando en un problema de
combinatoria se dice que uno o más elementos estarán fijos en un problema, entonces al
componente m y n de las variaciones o combinaciones se les restará el número de elementos
que se tomen como fijos. De la misma, cuando se nos dan varios números incluyendo el cero
para formar números de dos o más dígitos, los números que se inician con cero de la forma
siguiente: 0X,0XX, 0XXX, o cualquiera otra cantidad con esas características, no forman
números de 2,3 o más cifras, ya que el cero a la izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto
estos números son de 1, de 2, 3 o más cifras según sea el caso y se tendrá que calcular cuántos
son y posteriormente restársele al total de números de 2, 3 más cifras solicitadas para ello
determinaremos el valor de m-1 = m1 y n-1 = n1, por Ejemplo con la cantidad 12304
cuantos Números de 3 cifras se pueden formar, como m = 5 y n =3, 5
3V pero como hay un
cero en la cantidad dada al resultado se le debe restar el resultado de la variación 4
2V que son
las cantidades que se iniciaran con cero, por lo que la variación a calcular será :
4812604
2
5
3 VV , esta es la cantidad de números de 3 cifras que se pueden formar con
los números 12304.
Ejemplo:
1.- Con los números 1,2,9,7 y 5, calcular cuántos números de 3 cifras empiezan con 5.
Razonamiento como el problema es de formación de números es importante el orden, por
lo tanto, es una variación. Se dice que el número 5 tiene que iniciar los números de 3 cifras
entonces tendrá la forma 5XX y como hay un número fijo entonces m =5-1 = 4 y n =3-1 = 2
luego la variación es:
V4,2 = 4x3 =12, este es el número de cifras que se inician con 5.
2.- Con las cifras del número 876321, calcular cuántos números de 4 cifras pueden formarse
con la condición de que empiecen en 8 y terminen en 1.
Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es importante el
orden, en consecuencia, es una variación. Los números de 4 cifras tendrán las siguientes
formas generales: 8XX1 esto indica que habrá 2 números fijos por lo tanto m =6-2 = 4 y n =
4-2 = 2 y la solución se expresa así V4,2 = 4x3 = 12, se pueden formar 12 números de 4
cifras que empiecen en 8 y terminen en 1.
13
3.- Con las cifras del número 98753. Calcular en cuántos números de 3 cifras interviene el
número 8.
Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es importa el
orden, en consecuencia, es una variación. La forma general de un número de 3 cifras es XXX
y las diferentes posiciones que puede ocupar el 8 son: 8XX, X8X y XX8 como se observa el
número 8 estará fijo y por lo tanto m = 5-1 = 4 y n =3-1 = 2, luego la variación es: V4,2 =
4x3 = 12, pero como el número 8 aparece en tres posiciones, entonces el resultado es: 3V4,2
=3x12 = 36 que es el número de veces donde aparece el número 8.
4.-Con los números 8,5, 7, 9, 1 y 0. Calcule cuántos números de 3 cifras pueden formarse.
Razonamiento: como es una formación de números es importante el orden de los elementos,
es en consecuencia una variación y la solución es la siguiente: como m = 6 y n = 3 se tiene
que V6,3 = 6x5x4 el valor de V6,3 =120. La forma general de un número de 3 cifras es XXX,
pero en nuestro caso el cero iniciará algunos números y eso no serán de 3 cifras por lo tanto
se le tendrán que restar al total de 120, puesto que los números que se inician con cero tienen
la forma siguiente: 0XX, entonces habrá un número fijo y por lo tanto el valor de m = 6-1 =
5 y el n = 3-1 =2 luego los números que no son de 3 cifras son las siguientes: V5,2 = 5x4 =
20, entonces el resultado final será: V6,3-V5,2 = 120-20 = 100.
5.- Con las cifras del número 98764. Calcule cuántos números pares de 4 cifras se pueden
formar.
Razonamiento: como es una formación de números influye el orden, por tal razón es una
variación. Los números pares son aquellos que terminan en cero o cualquier número par; la
forma general de un número de cuatro cifras es XXXX en nuestro caso la forma de los
números será: XXX8, XXX6 y XXX4 como se puede observar hay un número fijo, entonces
m = 5-1 = 4 y n = 4-1 = 3, en consecuencia, la variación total será:.3V4,3 =3x4x3x2 =72
número pares de 4 cifras que se pueden formar.
6.- Con las cifras del número 80342. Calcule cuántos números pares de 3 cifras se pueden
formar.
Razonamiento: es una variación por ser una formación de número en donde importa el orden
de colocación de los elementos. La forma general de los números pares de 3 cifras en este
caso es: XX0, XX2, XX4 y XX8, como se puede notar hay un elemento fijo, luego m = 5-1
= 4 y n = 3-1 = 2 entonces la variación es: V4,2 = 4x3 =12 pero como hay 4 formas de las
cifras terminar en número par habrá que multiplicar el resultado por 4, así: 4V4,2 = 4x12 =
48 pero los números que se inician con cero de la forma siguiente: 0X2,0X4 y 0X8 no
forman números de 3 cifras ya que el cero a la izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto
estos números son de 2 cifras y se tendrá que calcular cuántos son y posteriormente restársele
al total de 48 para ello determinaremos el valor de m =5-2 = 3 y n = 3-2 = 1 y la variación
será : 3V3,1 =3x3 = 9 este es el número de cifras que se tendrá que restársele al total de 48
de la forma siguiente: 4V4,2-3V3,1 = 48-9 = 39 es la cantidad de números pares de 3 cifras
que se pueden formar.
14
7.- Con los números del 1 al 9 ambos inclusive. ¿Determine cuántos números de 5 cifras
pueden formarse con la condición de que las 3 primeras cifras sean pares y las 2 últimas sean
impares?
Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es una variación,
en este problema hay dos clases de números para la formación de los grupos, los números
PARES y los IMPARES. Los números a formar son de la siguiente forma: PPPII; los grupos
que se pueden formar con los números pares vienen dado por la variación de estos (2, 4, 6 y
8) en donde m = 4 y n = 3 por tanto, la variación de estos es: V4,3 = 4x3x2x = 24. Los
grupos que se pueden formar con los números impares (1,3,5,7 y 9) son: V5,2 = 5x4 = 20.
Para obtener el resultado final se multiplica la variación de números pares (24) por la
variación de los números impares (20), en este caso tenemos:
V4,3xV5,2 = 24x20 = 480 viene a ser la cantidad de números de 5 cifras que se pueden formar
en los que las 3 primeras cifras son pares y las dos últimas son impares.
8.- En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcule cuántos grupos pueden formarse, en
los que estén presente 4 mujeres y 3 hombres.
Razonamiento: como en este problema no influye el orden de colocación de cada una de sus
integrantes, es por lo tanto una combinación. El grupo tendrá la forma general siguiente:
MMMMHHH, para su solución primero se dejan los hombres fijos y se calcula el grupo que
se puede formar con las mujeres de la forma siguiente:
Si se dejan las mujeres fijas se puede calcular el grupo que se forma con los hombres de la
siguiente manera:
Luego el resultado final de este problema será la multiplicación del grupo de mujeres por la
del grupo de hombres así:
C8,4xC6,3 = 70x20 = 1400, son los grupos que se pueden formar en los que estén presentes 4
mujeres y 3 hombres.
9.-Encuentre los diferentes grupos que se pueden hacer con 4 cifras y 4 letras con la condición
de que, en todos, letras y números vayan alternados y en cada grupo entren las letras y todos
los números.
mujeresdegrupos
xx
xxxxxxxC .......70
234
5678
!.4!.4
!45678
!48!4
!84, .8
.breshom..de..grupos..20
2x3
4x5x6
!3!.3
!3x4x5x6
!36!3
!6C
3, .6
15
Razonamiento: como este problema es una formación de letras con número y el orden de
colocación es importante, es entonces una variación, en la que hay 2 clases de elementos para
formar cada grupo.
La forma general del grupo es: A1B2C3D4 y 1A2B3C4D. Dejando las letras fijas los
números 1, 2, 3 y4 pueden variar de 4 en 4, es decir m = 4 y n = 4 y, por lo tanto:
V4,4 = 4x3x2x1 = 24; si ahora se dejan fijos los números las letras se pueden calcular así:
V4, 4 = 4x3x2x1 = 24 teniendo los 2 grupos el de letras y el de números se pueden multiplicar
entre sí de la siguiente manera: V4,4 x V4,4 = 24x24 = 576.
Como en este problema se puede empezar por las letras o por los números entonces él número
576 se tiene que multiplicar por 2 que son la forma como puede empezar cualquiera de los
grupos que se formen, así tenemos: 576x2 = 1.152 que es la cantidad de grupos que se pueden
hacer de acuerdo con las condiciones dadas en el problema.
10.- Se dispone de 10 consonantes y 5 vocales. ¿Cuántas palabras pueden hacerse sabiendo
que cada palabra está formada por 3 consonantes y 2 vocales?
Razonamiento: cómo influye el orden de colocación de cada palabra, entonces es una
variación. La forma general de las palabras será: CCCVV. Las variaciones de las vocales en
este caso serán:
V5, 2 xV10, 3 = 5x4 = 20 y las variaciones de las consonantes serán: V10, 3 = 10x9x8 = 720
ahora se multiplican las variaciones de las vocales por las variaciones de las consonantes y
el resultado es:
V5,2 = 14.400 pero como no está determinada la posición de las letras en la formación de cada
palabra significa que cada una de las palabras formadas puede variar de todas las maneras
posibles, es decir:
V5,5 = 5x4x3x2x1 = 120, por lo tanto, el resultado final será:
V5,2XV10,3XV5,5 = 20x720x120 = 1.728.000 que es la cantidad de palabras que se pueden
formar con las condiciones establecidas.
11.- De cuántas maneras se pueden repartir 5 helados de diferentes sabores entre 2 niños,
dándole 2 helados a cada niño.
Razonamiento: como no influye el orden de entrega de los helados es una combinación
Al primer niño se le puede dar C5,2 =10 maneras diferentes; pero al darle 2 helados al primero
nos quedan 3 helados para formar grupos de 2 en 2 así: C3,2 = 3 formas diferentes. El
resultado final será la multiplicación de C5,2 xC3,2 = 10x3 = 30 formas de repartir los helados.
16
PROBLEMAS
1.- Con las cifras del número 836214; determine cuántos números de 4 cifras pueden
formarse con la condición de que empiecen en 2 y terminen en 8. Resultado. - 12.
2.- Con las cifras del número 738642; determine en cuántos números de 3 cifras interviene
él número 7. Resultado. - 60.
3.- Con las cifras del número 978054; calcule cuántos números de 5 cifras pueden
formarse. Resultado. - 600.
4.- Con las cifras del número 9876541; calcule cuántos números de 5 cifras se pueden hacer
con la condición de que la primera cifra de la izquierda sea un 7 la tercera un 8 y la quinta
cifra sea 1. Resultado12.
5.- Con las cifras del número 9280541; calcule cuantos números pares de 3 cifras se pueden
formar. Resultado. - 10
6.- ¿Cuántos números de 5 cifras, sin que haya ninguna repetida, pueden formarse con las
cifras del sistema decimal? Resultado. - 27.216.
7.- ¿Cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar con los números 7, 5, 2 y 3?
Resultado. - 6.
8.- Para formar el tren directivo de una compañía se deben elegir 4 Administradores y un
Gerente entre un grupo de 12 personas de las cuales 9 son Administradores y 3 son
Gerentes. ¿Cuántos trenes directivos se pueden formar? Resultado. - 378.
9.- Un Gerente de una empresa es invitado a una reunión y dispone de 7 pantalones, 6
chaquetas, 10 corbatas, 5 camisas y 10 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras puede ir
vestido sabiendo que se pondrá una pieza de cada una de las antes mencionadas?
Resultado. - 21.000.
10.- Se cuenta con 10 profesores, 6 profesoras y 4 estudiantes para formar una comisión.
¿Cuántas comisiones se pueden formar sabiendo que en cada comisión tienen que estar 5
profesores, 3 profesoras y un estudiante? Resultado. - 30.240.
11.- Se dispone de 10 juguetes diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden
repartir entre 3 niños dándole 3 juguetes a cada niño? Resultado. - 16.800.
12.- Para formar la tripulación de un barco se necesitan 5 maquinistas 3 pilotos y un
capitán.
¿Cuántas tripulaciones diferentes pueden formarse sabiendo que se disponen de 8
maquinistas, 6 pilotos y 3 capitanes? Resultado. - 3.360.
17
13.- En una fiesta hay 5 muchachas y 8 jóvenes. ¿Cuántas parejas distintas de baile se
podrán formar tomando siempre parte en ellos las 5 muchachas? Resultado. - 40.
14.- ¿Cuántas partidas de ajedrez se podrán hacer entre 11 competidores? Resultado. - 55.
15.- Con las cifras del número 64123587. Calcular cuántos números se pueden formar con
la condición de que estén presentes tres números pares y dos impares. Resultado. - 34.560.
16. - Ocho estudiantes deben repartirse en tres residencias distintas de El Tigre. ¿De
cuántas maneras pueden hacerlo si al menos ha de haber dos estudiantes en cada
residencia? Resultado. - 2.940
17. - Se forman banderas tricolores a franjas horizontales con los 7 colores del arco iris.
Averiguar:
A.- ¿Cuántas banderas se podrán formar? Resultado. - 210.
B.- ¿Cuántas tendrán la franja superior roja? Resultado. - 30.
C.- ¿Cuántas tendrán la franja superior roja y la inferior azul? Resultado. - 5.
D.- ¿En cuántas de ellas intervendrá uno al menos de los dos colores siguientes: ¿rojo,
amarillo? Resultado. -150.
18.- Se dispone de 7 personas para formar comisiones de 3 personas. Se supone que en
las comisiones no existe ninguna jerarquía, o sea, que las 7 personas desempeñan la misma
labor. En estas condiciones:
A.- ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar? Resultado. - 35.
B.- ¿En cuántas de ellas intervendrán una determinada persona, llamémosle Petra?
Resultado. -15.
19.- Veintiún Diputados de la AN deben pernoctar en cuatro hoteles diferentes de la
Ciudad de Puerto La Cruz. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse en los
hoteles, si por lo menos, ha de haber cuatro Diputados en cada Hotel?
Resultado. 630.309.135.456 Maneras diferentes.
20.- Para formar la Junta Administrativa de una Empresa se requieren: Un Presidente, dos
Vicepresidentes, cuatro Gerentes, cinco Subgerentes, cuatro Jefes de División, Díez
Secretarias y ocho supervisores. ¿Cuántas Juntas Administradoras diferentes se pueden
formar, sabiendo que los socios disponen del currículum vitae de 8 candidatos para
Presidentes, 10 para Vicepresidentes, 10 para Gerentes, 10 para Subgerentes, 11para Jefes de
División, 20 para Secretarias y 18 para Supervisores? ¿De cuantas maneras diferentes
pueden formarse el tren directivo de esa empresa?
R = 50.826.744.219.259.008.000 Juntas Directivas diferente.
18
Para formar el tren Directivo de una Universidad Privada se requiere el siguiente personal:
Un Rector, 2 Vicerrectores, 2 Decanos, 2 Planificadores, 2 Jefes de Facultad, 3 Jefes de
Escuelas y 4 Directores. ¿Cuántos trenes Directivas diferentes se pueden formar, sabiendo
que los socios disponen del currículum vitae de 5 candidatos para Rectores, 5 para
Vicerrectores, 4 para Decanos, 3 para Planificadores, 3 para Jefes de Facultad, 4 para Jefes
de Escuela y 5 para Directores? (3.0 %). ¿De cuantas maneras diferentes pueden formarse el
tren directivo de esa universidad?
RESULTADO: 54.000 juntas directivas diferentes se pueden formar con los datos dados.
TEORÍA DE PROBABILIDADES (Hamlet Mata Mata)
La teoría de probabilidades es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido mucha
importancia en la administración pública y empresarial. Las probabilidades son de gran
importancia en la estadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir
una serie de términos básicos para su mejor comprensión.
Experimento Determinístico. - Es aquel experimento en el que es posible predecir el
resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan
oxigeno más hidrógeno el resultado es agua; este experimento no es necesario realizarlo para
conocer el resultado.
Experimento Aleatorio. - Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado, por lo que,
no se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos
relacionados con juego de envite y azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores
del 5 y 6 en un domingo cualquiera ó el resultado del Kino puesto que en estos casos puede
haber múltiples resultados.
Espacio Maestral. - Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio;
generalmente se le designa con la letra S o E. Ej. El espacio muestral al lanzar un dado es:
S = {1, 2 3 ,4 ,5 ,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y
cualquiera de estas puede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto
es así puesto que al lanzar una moneda puede salir una cara ó un sello.
Sucesos ó Eventos. - Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen
un experimento aleatorio. También se puede decir que es un subconjunto del espacio
muestral. Ej. El espacio muestral de lanzar un dado está formado por varios eventos: {1}, {2},
{3}, {4}, {5} y {6}. Los eventos pueden ser simples ó compuestos.
Eventos Simples. - Son aquellos eventos cuyas características son las de estar constituidos
por un solo elemento; por lo tanto, no se pueden descomponer en otros elementos. Ej. Al
lanzar un dado se pueden obtener 6 eventos simples que serían el 1, 2, 3, 4, 5 y 6
respectivamente. Los eventos simples son mutuamente excluyentes.
19
Eventos Mutuamente Excluyentes. - Son aquellos eventos que no pueden ocurrir
simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son
mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir AB =
Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro
número en este mismo lanzamiento.
Eventos Compuestos. - Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una
combinación de eventos. Ej. Obtener un número par al lanzar un dado, el espacio muestral
de este evento es:
E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede
descomponer en 3 eventos simples a saber {2}, {4}: y 6.
Eventos Imposibles. - Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar
un dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo
tanto este resultado es el conjunto vacío, {Ø}.
Eventos Seguros. - Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del
espacio muestral. Ej. Al lanzar un dado sacar cualquiera de sus caras.
Eventos Exhaustivos.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unión es la
totalidad del espacio muestral, es decir, AB = E.
Eventos Dependientes. - Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de la verificación
de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o más eventos
son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de la
ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2
cartas de basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera
carta la probabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en el paquete
39 cartas de las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener
basto es de 9/39, en este caso la segunda extracción depende de la primera que tenía como
probabilidad 10/40 y la segunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la
probabilidad de la segunda extracción es afectada por la primera.
Eventos Independientes. - Se dice que dos ó más eventos son independientes si la ocurrencia
de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de los otros
sucesos. Ej. el evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una
moneda, está compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el
dado no afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa.
Eventos complementarios - Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, se cumple
que: P(A) + P(Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el
espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(S) = 1, entonces,
P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā), donde P(Ā), se lee probabilidad
de A complemento.
20
Eventos no Mutuamente Excluyentes. - Son aquellos eventos que pueden verificarse
simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles.
CORRIENTES QUE DEFINEN LA PROBABILIDAD
Diariamente se escuchan afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad
como por ejemplo los pronósticos del tiempo que indican las probabilidades de lluvia; los
galenos indican la probabilidad que tiene un enfermo de curarse si realiza al pie de la letra
sus tratamientos farmacológicos, los docentes especulan sobre las posibilidades de éxito del
estudiantado si dedican más tiempo al estudio, las compañías encuestadoras predicen las
oportunidades que tienen los políticos de ganar una elección determinada, etc.
La Teoría de la Probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de los eventos
que se realizan al azar o fenómenos aleatorios, como a menudo se les denominan. Se define
la probabilidad como un número comprendido entre 0 y 1, que se le asigna a un evento para
señalar su posibilidad de ocurrencia. Por lo general las probabilidades se expresan en
porcentajes, también se pueden expresar con números decimales. Es una condición de esta
cátedra que siempre se resuelvan las fracciones con que se expresan las probabilidades de un
problema dado; los resultados de esos cocientes deben tener por lo menos 4 decimales y
el mismo se representa en porcentaje. La probabilidad de cualquier evento se representa con
la letra P.
Se le asigna la probabilidad de 1 al evento que con certeza ocurrirá y se le asigna la
probabilidad de 0 a un suceso que no puede ocurrir; se le asigna una probabilidad de 0.5 a un
fenómeno que tenga la misma posibilidad de suceder o de no suceder. Se le asigna una
probabilidad 0 P 0.5, a un fenómeno que tenga más posibilidades de no suceder que de
suceder; y se le asigna una probabilidad 0.5 P 1 a un evento que tenga más posibilidades
de suceder que de no suceder.
La probabilidad es una característica que interviene en todos los trabajos experimentales. Es
necesario obtener un procedimiento lógicamente sólido para que dichos enunciados tengan
validez científica. En otras palabras, en virtud de que la probabilidad, en definitiva, es un
cuantificador o medida de la posibilidad de ocurrencia de un suceso al que se le asocia un
grado de incertidumbre, se debe estudiar la forma en que esta medida puede ser obtenida.
Existen tres enfoques o escuelas que tratan de dar una definición de la probabilidad: La
Clásica, La de Frecuencia Relativa y La Subjetiva.
Escuela Clásica. - Esta plantea que, si un suceso puede ocurrir en a formas y fallar en b
formas posibles, entonces el número total de formas posibles en que puede ocurrir o no
ocurrir es a + b. Sí a + b formas son igualmente probables, la probabilidad P de que el suceso
ocurra se define como el cociente P = a /a + b, y la probabilidad q de que el suceso no
ocurra se define como el cociente q = b / a + b, en otras palabras, la probabilidad de que
ocurra o no un suceso, se define como el cociente del número de casos favorables entre el
número de casos posibles, siendo todos estos casos igualmente probables.
21
Ej. Al tirar un dado una sola vez puede salir una cara cualquiera de las 6 que posee el dado,
todas igualmente probables; la obtención de un 3 en el lanzamiento del dado, es una de las
diferentes caras que posee el dado, se dice que hay un caso favorable para que salga el 3 entre
6 casos posibles; en este caso se tiene que a = 1(caso favorable de obtener un 3), b = 5 (caso
no favorable para obtener un 3), de modo que la probabilidad de acertar es: P=1 / 1 + 5 = 1
/ 6 y la probabilidad de fallar es: P = 5 /1 + 5 = 5 / 6
Escuela de la Frecuencia Relativa. - Este enfoque surge por la necesidad de asignar
probabilidades a aquellos eventos considerados no simétricos. Los seguidores de esta
corriente afirman que solo a partir de experimentos realizados varias veces en las mismas
condiciones, es posible asignar probabilidades a los eventos de un experimento aleatorio. En
términos generales el empeño de esta teoría es destacar que cuando el número de
experimentos aumenta, la frecuencia relativa del evento se estabiliza y se acerca bastante a
un valor determinado que podría ser prácticamente igual a la probabilidad del evento con un
elevado grado de certeza.
Definición. - Si se considera un suceso que puede verificarse o fallar al efectuar una prueba,
sí sé observa que ese suceso se verifica m veces en un total de n pruebas bajo las mismas
condiciones esenciales, entonces la razón m/n se define como la probabilidad P de que el
suceso se verifique en una cualquiera de las pruebas, entonces, P = m/n. En esta definición
de frecuencia, la probabilidad es un número estimado y la confianza de esta estimación
aumenta con n, es decir, cuando el número de observaciones crece. La probabilidad de la
frecuencia relativa está basada en un gran número de experimentos y observaciones, y muy
a menudo se le llama probabilidad Empírica, Estadística, A Posteriori o Teoría Objetiva.
Esta es la definición más utilizada en la teoría de probabilidades.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD SUBJETIVA. - Existen varios sucesos de sumo
interés cuyas probabilidades no se pueden calcular tomando en cuenta los métodos de
frecuencia relativa ni con la teoría de la probabilidad clásica. Surge entonces, el punto de
vista subjetivo el cual hace hincapié en la probabilidad que resulta de una opinión, creencia,
o juicio personal sobre una situación determinada. El enfoque subjetivo denominado también
probabilidad personal, asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos
experimentales sean escasos o imposibles de obtener.
Los que toman decisiones utilizando este tipo de probabilidad se fundamentan en sus propias
experiencias personales y en muchos casos en presentimientos. Este enfoque de la
probabilidad personal se aplica a problemas de toma de decisiones tales como construcciones
de plantas, compras de equipos, licitaciones de contratos, etc. La probabilidad personal se
ha vuelto sistemáticamente popular entre los teóricos de la toma de decisiones. Los
defensores de esta corriente tratan de buscar soluciones a la asignación de probabilidades de
aquellos eventos que solo ocurren una vez o que no pueden estar sometidos a experimentos
repetidos. La asignación de probabilidades a un evento en estas condiciones, más que un
juicio arbitrario, es un juicio de valor.
22
AXIOMAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES. - Los axiomas de las
probabilidades son los fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las probabilidades de
eventos; estas reglas también se conocen como propiedades de las probabilidades y son:
1.- La probabilidad de todo evento o suceso es un número no negativo, es decir: P(xi)0.
2.- La suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles, mutuamente excluyentes de
un experimento aleatorio es la unidad, es decir: P (X1) + P(X2) + P(X3) +.............+ P(Xn) =
1
3.- La probabilidad de cualquier suceso varía entre 0 y 1, es decir 0 P(XI) 1.
4.- La suma de las probabilidades de que un suceso ocurra y no ocurra es igual a la unidad.
Si se designa con P la probabilidad de que un evento ocurra y con q la probabilidad de que
el evento no ocurre, se tiene entonces:
P + q = 1, luego la probabilidad de que un suceso ocurra es: P = 1 q y la probabilidad
de que el evento no ocurra es: q = 1 p.
Es importante destacar que las probabilidades se deben expresar por lo menos con 4
decimales y luego a estos expresarlos en porcentaje.
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES
1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “O “
Para su mejor estudio el teorema de la suma se divide en dos casos:
A.- Para sucesos Incompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente o al
mismo tiempo) o Excluyentes; el teorema se enuncia así:
“Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener al
menos uno de ellos, esto es P (A o B) es igual a la probabilidad de A, o sea, P(A), más la
probabilidad de B, es decir, P(B) “, simbólicamente así:
P (A o B) = P (A) + P(B).
Este teorema se puede generalizar para A, B, C, .................N, que se excluyan
mutuamente y tienen P1, P2, P3, Pn, probabilidades de ocurrir, así:
P(A o B o C o N) = P(A) + P ( B ) + P(C) +.....................+ P(N) . Ej.:
1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
un As o un Rey?
23
Solución: la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar un rey es 4 /40,
luego la probabilidad buscada se encontrará así: si se llama P(A)= 4 / 40 obtener un as y
probabilidad de obtener un rey se le denominará B, entonces P(B) = 4 / 40, entonces:
P(A o B) = P(A) + P(B), luego P(A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.200 = 20.0
%. .
B.- Si los eventos son Compatibles (aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es
decir cuando hay eventos que son comunes o que hay intersección entre los sucesos) o no
Mutuamente Excluyentes. El teorema se enuncia así:
“Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo menos un suceso
simple en común; la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es P(A o B) es igual
a la probabilidad del evento A, es decir, P(A), más la probabilidad de B, o sea P(B) menos
la probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir P(AB)”. Simbólicamente se
puede expresar así: P(A o B) = P(A) + P (B) P(AB). Ej.
2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en
la moneda y un dos en el dado?
Solución: Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B, al suceso de
obtener un 2 en el dado; el espacio muestral de una moneda es 2, (cara y sello) mientras que
el espacio muestra de un dado es seis, (1,2,3,4,5,6). El espacio muestral de ambos eventos
será la multiplicación de sus espacios muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el
espacio muestral de ambos eventos:
S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C
1 2 3 4 5 6
La probabilidad de obtener cara en una moneda es de 1/2. La probabilidad de obtener un 6
en un dado (asumiendo que es un dado de 6 caras) es de 1/6. Para obtener la probabilidad
combinada, basta con multiplicar ambas: 1/2 * 1/6 = 1/12. O bien, 8.33% de probabilidad.
O también así:
Eventos de A = 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, P(A) = 6 / 12 =1/2; el evento B = C, 2S ,
luego P(B) = 2 / 12 = 1/6.
Ahora se aplica el teorema de la propiedad conjunta, tenemos:
P(AB) = P(A) * P(B),
P(AB) = 1/2 *1/6 = 1/12 = 0.083333 = 8.33 %, por lo tanto, esa es la probabilidad buscada.
24
2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en
la moneda y un número par en el dado?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda o un par en el dado? Para Ello se
suman las probabilidades de los tres eventos realizados a la derecha del diagrama de árbol
así: 1/12 + 1/12 +1/12 = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25.0%
PROBABILIDAD CONDICIONADA. - La probabilidad de que ocurra un evento B
cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina PROBABILIDAD
CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como la
probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado
A Las probabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los
eventos definidos en subpoblaciones o espacios muéstrales reducidos.
Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se
afecta por la ocurrencia de otro evento presente.
Definición. - Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio. La probabilidad
que ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llama probabilidad condicionada del
suceso B, esta se simboliza por P(B/A) y se calcula mediante la fórmula:
DM
1
C
S
2
C P(Par y C) = 1/6*1/2 = 1/12
S
3C
S
4C P(Par y C) = 1/6*1/2 = 1/12
S
5C
S
6C P(Par y C) = 1/6*1/2 = 1/12
S
25
,AP
BAP
ABP
Si P(A) = 0, entonces P (B/A), no está definida.
El conjunto P(AB), se le denomina probabilidad conjunta de los eventos A y B. El
conjunto AB se define como la intersección de A y B, es decir, los eventos comunes entre
A y B.
,AP
BAP
ABP
Entonces, P(AB) = P(A) P(B/A).
Si P(B/A) P(B), se dice que el evento B es dependiente del evento A.
Sí P(B/A) = P(B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A, luego:
P(AB) = P(A) P(B), esta fórmula recibe el nombre de la Probabilidad Compuesta. Ej.
3.- Un curso de matemáticas avanzada está formado por 10 administradores, 30 ingenieros
y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10 ingenieros y 5 economistas
aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó al azar un participante del mismo y se detectó
que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de
que ese participante sea un ingeniero?
Solución: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una calificación de 20
puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un ingeniero y si llamamos AB,
los eventos comunes entre A y B, tenemos los siguientes sucesos:
El total de participantes en este caso será el espacio muestral, que en el problema planteado
es de 50, por lo tanto, los diferentes eventos serán:
A = 3 admist., 10 ing. 5 econ., ,Luego P(A) = 18 / 50.
B = 10 ing. con 20 ptos., 20 ing., con menos de 20 ptos. .
AB = 10 ing. con 20 puntos , luego P(AB) = 10 / 50.
,9
5
18
10
5018
5010
AP
BAP
ABP
Por lo tanto 5/9 = 0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingeniero con 20 puntos.
26
Este problema se puede resolver también aplicando una tabla o matriz de doble entrada donde
se observan todos los eventos:
ADMINIST
.
INGENIERO ECONOMISTA TOTAL
Aprobaron Con
20 puntos.
3 10 5 18
No Aprobaron
Con 20 puntos
7 20 5 32
TOTAL 10 30 10 50
En la tabla se observa que el espacio muestral de 50 se redujo a 18, que vienen a ser los casos
posibles de acuerdo con el planteamiento del problema; por otro lado los ingenieros que
aprobaron con 20 en este caso son 10, que vendrían a ser los casos favorables, por lo tanto la
probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividir los casos favorables (CF) entre
los casos posibles (CP), así:
.%.56.555556.09
5
18
10
CP
CFP
3.- Un curso de matemáticas avanzada está formado por 10 administradores, 30 ingenieros
y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10 ingenieros y 5 economistas
aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó al azar un participante del mismo y se detectó
que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de
que ese participante sea un ingeniero?
4.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que el número
obtenido sea múltiplo de 3?
Solución: Sea A, el evento de obtener un número par, y sea B el evento de obtener un
número múltiplo de 3, entonces el evento común entre los sucesos A y B será AB. El
espacio muestral del lanzamiento de un dado es 6, ahora bien, los diferentes eventos del
problema serán:
A = 2, 4,6, entonces P(A) = 3/6
B = 3, 6.
AB = 6, luego P(AB) = 1/6
.%.33.333333.03
1
63
61
AP
BAP
ABP
27
Este problema también se puede resolver aplicando una tabla o matriz de doble entrada, en
donde se observan todos los eventos del problema planteado, observemos la siguiente tabla:
Números Múltiplos
De 3
Números no
Múltiplos de 3
TOTAL
Eventos que
Son pares
6 2, 4 3
Eventos que
No son pares
3 1, 5 3
TOTAL 2 4 6
Solución: En esta tabla se observa que los eventos pares en total son 3, por lo tanto, el
espacio muestra original que era 6 se redujo a 3. En la fila de los eventos que son pares se
observan los que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto, es un solo caso
favorable, de la misma forma se observa que solo hay 3 casos posibles de números pares,
luego la probabilidad buscada será el cociente que resulta de:
.%,33.333333.03
1
CP
CFP esta es la probabilidad buscada.
4.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que el número
obtenido sea múltiplo de 3?
D
1
2 P(NPar)
3
4 P(NPar)
5
6 P(NPar Multiplo de 3)
28
Solución: En el diagrama de árbol se observan que los eventos pares son 3, por lo tanto, el
espacio muestral original que era 6 se redujo a 3. En la fila de los eventos que son pares se
encuentra el 6 que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto, es un solo
caso favorable, luego la probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividir los casos
favorables (1 caso) entre los casos posibles (3 Casos)
%.33.333333.03
1
...)3.....(
posiblescasosden
ablesCasos favordemultiploundeadprobabilidP
PROBABILIDAD PRODUCTO. - Se conoce como probabilidad producto de 2 eventos A
y B en el espacio muestral E, la probabilidad de que los 2 sucesos se den simultáneamente.
La probabilidad de ocurrencia simultanea de 2 o más eventos reciben el nombre de
probabilidad conjunta. En la probabilidad producto es muy importante el uso de la letra “Y”,
esta letra es característica en la gran mayoría de los problemas relacionados con la
probabilidad producto, ya que esta se utiliza muy a menudo en el enunciado del problema.
La probabilidad conjunta se designa así: P(AB) = P(AB)= P(A y B), cualquiera de estos
términos significa lo mismo.
La fórmula de la probabilidad conjunta se obtiene de la fórmula de la probabilidad
condicional, si esta, se multiplica por P(A), así:
A
BPAPBAPAPAP
BAP
ABP ..
. Esta la fórmula para calcular la
probabilidad producto o lo que es lo mismo, la probabilidad conjunta. La fórmula de la
probabilidad conjunta para eventos independientes será: P(AB) = P(A) P(B). La fórmula
para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes será: P(AB) = P(A) P(B/A).
Si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C, ......., N
independientemente, entonces:
P(ABC.......N) = P(A) P(B) P(C)..........P(N). De la misma forma si en un experimento
aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C, ........., N dependientes, entonces:
P(ABC.........N) =
P(A) P(B/A) P(C/AB).............P(N/ABC............N 1).
Es de suma importancia en los problemas de probabilidad conjunta diferenciar los eventos
aleatorios con reposición o sustitución de los eventos aleatorios sin reposición o sin
sustitución los primeros se refieren a los experimentos que se realizan y se vuelven a colocar
en el mismo lugar donde se realiza el experimento aleatorio. Los eventos aleatorios con
reposición son característicos de los eventos independientes. Los eventos sin reposición son
característicos de los sucesos dependientes.
29
5.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de una moneda
normal de 5 bolívares?
Solución: Los eventos son independientes y la probabilidad de sacar una cara en una
moneda es 1/2. Si llamamos A, el evento de sacar cara en el primer lanzamiento y se llama
B el evento de sacar cara en el segundo lanzamiento, entonces:
P(A) = P(B) = 1/2. Luego la probabilidad conjunta para eventos independientes se calcula
con la fórmula:
P(AB) = P(A) P(B). = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25.0 %, esta es la probabilidad buscada.
5.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de una moneda
normal de 5 bolívares?
6.- Si la probabilidad de un evento A es igual 0.65, la probabilidad de un evento B es de 0.40
y la probabilidad conjunta de A y B es igual a 0.20. Determine entonces si los eventos A y
B son independientes.
Solución: Para que los eventos A y B sean independientes tiene que cumplirse que su
probabilidad conjunta sea igual a 0.20, para ello aplicamos la fórmula de la probabilidad
conjunta de eventos independientes de esta forma:
P(AB) = P(A) P(B) = 0.65 x 0.40 = 0.26, por lo tanto los eventos A y B no son
independientes puesto que la probabilidad conjunta entre A y B es igual a 0.20 de acuerdo
con los datos dados y esta es diferente de la probabilidad conjunta obtenida, que es 0.26.
M
C
C P(De 2 Caras) = 1/2*1/2 = 1/4 = 0.25 = 25-0%.
S
S
C
S
30
7.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero cuatro números 3 y después otro número
diferente de 3 en 5 tiros de un dado equilibrado?
Solución: Los 5 tiros del dado son independientes, el obtener un número determinado en
un dado tiene una probabilidad de 1/6, puesto que el espacio muestral del lanzamiento de un
dado posee 6 eventos diferentes. Ahora bien, la probabilidad de obtener un número diferente
de 3 es:
1 1/6 = 5/6. Si llamamos A, B, C y D los eventos de obtener un 3 y llamamos E el suceso
de sacar un número diferente de 3, entonces las probabilidades de A, B, C, D y E, serán:
P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/6, y P(E) = 5/6, por ser el problema una probabilidad conjunta
de eventos independientes se aplicará a siguiente fórmula:
P(ABCDE) = P(A) P(B) P(C) P(D) P(E) = (1/6)4 x (5/6) = 5/ 7776 = 0.0006 = 0.06
%, esta es la probabilidad conjunta solicitada.
8.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartas tomadas al azar de un
juego ordinario de barajas de 40 cartas, si se sustituye la primera carta antes de tomar la
segunda?
Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventos independientes por
cuanto son suceso aleatorio con sustitución. El espacio muestral es 40; un juego de barajas
tiene 4 ases, por lo tanto, la probabilidad de sacar un as es P (4/40) = 1/10. Si llamamos A,
el evento de sacar la primera carta y B el suceso de sacar la segunda carta, entonces:
P(A) = P(B) = 1/10, ahora se aplica la fórmula de la probabilidad conjunta para eventos
independientes así:
P(AB) = P(A) PB) = 1/10 x1/10 = 1/100 = 0.01 = 1.0 %, esta es la probabilidad buscada.
9.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartas tomadas al azar de un
juego ordinario de una baraja de 40 cartas, si no se sustituye la primera carta antes de sacar
la segunda carta?
Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventos dependientes por
cuanto no hay sustitución del primer evento al sacar el segundo. Si llamamos A, el suceso de
tomar la primera carta, entonces la probabilidad de A será P(A) = 4/40 = 1/10, si ahora
llamamos B el evento de sacar la segunda carta sin reposición, entonces la probabilidad de B
será (B) = P(B/A) = 3/39, esto es así por cuanta B depende de A, al ocurrir el suceso A
entonces en el juego de cartas quedan 39 barajas de las cuales 3 son ases. Ahora aplicamos
la fórmula de la probabilidad conjunta para eventos dependientes se tiene:
P(AB) = P(A) P(B/A) = 1/10x 3/ 39 = 1/130 = 0.0077 = 0.77 %, esta es la probabilidad
conjunta buscada.
31
10.- Una caja contiene 100 bombillos, se sabe que hay 15 defectuosos. Se toman 2 bombillos
aleatoriamente sin remplazarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 bombillos estén
defectuosos?
Solución: Lo primero que se observa es un experimento sin reposición, por lo tanto, la
probabilidad a buscar es la conjunta para eventos dependientes. Si se llama A, el evento de
sacar el primer bombillo defectuoso, entonces la probabilidad de A será P(A) = 15/100, y si
llamamos B el suceso de sacar el segundo bombillo defectuoso, entonces su probabilidad
será:
P(B) = P(B/A) = 14/99, esto es así por ser B un suceso dependiente de la ocurrencia de A, es
decir, que al ocurrir el evento A, entonces quedan en la caja 99 bombillos de los cuales solo
14 serán defectuoso. Ahora se aplica la fórmula de la probabilidad conjunta para sucesos
dependientes así:
P(AB) = P(A) P(B/A) = 15/100 x 14/99 = 21/ 990 = 0.0212 = 2.12 %, esta es la
probabilidad conjunta buscada.
11.- Un comerciante recibe en su negocio una caja con un pedido que contiene 6 cepillos
verde, 4 blancos y 5 azules. Se extraen de la caja aleatoriamente 3 cepillos sin remplazarlos.
¿Cuál es la probabilidad de que sean extraídos de la caja en el orden verde, blanco y azul?
Solución: Como la extracción de los cepillos de la caja es sin reemplazo, entonces los
sucesos a obtener son eventos dependientes. El total de cepillos es de 15; si se denomina con
V el evento de extraer el primer cepillo verde, entonces su probabilidad de extraerlo será
P(V) = 6/15, si ahora se llama B el evento de sacar en la segunda extracción un cepillo
blanco, entonces su probabilidad de salir será P(B) =P(V(/B) = 4/14, esto es así por ser B
un evento que depende de la ocurrencia de V, por lo tanto al salir el primer evento verde en
la caja quedan 14 cepillos, finalmente se denomina con A, el suceso de la extracción del
tercer cepillo que será azul y su probabilidad de salir es P(A) = P(A/VB) = 5/13, con estos
datos se aplica la siguiente fórmula:
P(VBA) = P(V) P(B/V) P(A/VB) = 6/15 x 4/14 x 5/13 = 4/91 = 0.0440 = 4.40 %, esta
es la probabilidad conjunta buscada.
12.- Las probabilidades de que A y B resuelvan un determinado problema son 2/3 y 3/4
respectivamente. Encuentre la probabilidad de que el problema sea resuelto cuando menos
por uno de los dos.
Solución: Este problema quedará resuelto si A y B no fallan simultáneamente en la solución
del mismo. Para ello calculamos la probabilidad de fallar de A y B así:
P(A) = 1q, entonces, q =1P(A) = 12/3 = 1/3, luego la probabilidad de fallar el evento
B es así:
q = 1P(B) = 1P(B) = 13/4 =1/4.. Si la probabilidad de fallar A se le denomina P(A1),
entonces la de fallar B será P(B1), luego tenemos que P(A1) = 1/3 y P(B1) =1/4, ahora
calculamos la probabilidad conjunta de A1 y B1 así: P(A1B1) = p(A1) P(B1) = 1/3 x 1/4 =
32
1/12, esta es la probabilidad conjunta de fallar A y B, ahora bien, para saber cuál es la
probabilidad de acertar aplicamos la fórmula: P = 1q, como q = 1/12, esta es la probabilidad
de fallar conjuntamente A y B, entonces se tiene que:
P = 11/12 = 11/12 = 0.9167 = 91.67 %, esta es la probabilidad de que el problema sea
resuelto cuando menos por uno de los dos.
13.- Se tiene una caja con 20 fusibles, se sabe que 5 fusibles están defectuosos. Se eligen
al azar 2 fusibles y se retiran de la caja en forma sucesiva sin remplazar al primero. ¿Cuál es
la probabilidad de que ambos fusibles sean defectuosos?
Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de una probabilidad
conjunta para eventos dependientes, ya que el mismo es sin sustitución. Si se denomina con
A, el evento de sacar el primer fusible defectuoso, entonces la probabilidad de ocurrencia
será:
P(A) = 5/20, si ahora llamamos B el suceso de sacar el segundo fusible defectuoso, la
probabilidad de ocurrencia será: P(B) = P(B/A) = 4/19, esto es así debido a que el evento B
depende de la ocurrencia de evento A y como se sabe que ocurrió A, entonces en la caja
quedan 19 fusibles de los cuales 4 son defectuosos. Ahora aplicamos la fórmula de la
probabilidad conjunta para sucesos dependientes así:
P(AB) = P(A) P(B/A) = 5/20 x 4/19 = 1/19 = 0.0526 = 5.26 %, esta es la probabilidad de
sacar 2 fusibles defectuosos consecutivamente.
SUCESOS DE PRUEBAS REPETIDAS. - Los sucesos de pruebas repetidas son de gran
importancia en el cálculo de probabilidades y sus aplicaciones. Este problema se presenta
cuando un experimento u observación se repite cierto número de veces bajo las mismas
condiciones. Se dice que un suceso simple interviene en una prueba si necesariamente ocurre
o deja de ocurrir una sola vez. Se dice que un suceso simple interviene en pruebas repetidas
si necesariamente bajo exactamente las mismas condiciones, ocurre o deja de ocurrir, cada
vez, una vez.
Si un evento ocurre en una prueba, se acostumbra a decir que se acierta, y que la probabilidad
de que el suceso ocurra es la probabilidad de acertar. De la misma forma, si un evento no
ocurre en una prueba, se acostumbra a decir que el suceso falla, y que la probabilidad de que
el suceso no ocurra es la probabilidad de fallar.
TEOREMA 1 (Ley del binomio).- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1 P la
probabilidad de fallar en un suceso de una prueba. Entonces la P1 de exactamente r
aciertos en n pruebas repetidas está dada por La fórmula
nrSiqpCP rnrn
r ....,1
33
En esta fórmula n es el número total de suceso, r es el número total de aciertos, n1 es
el número total de fallar, C es la combinación de los eventos n y r, p es la probabilidad
de acertar un evento determinado, q es la probabilidad de fallar y P1 es la probabilidad
buscada. Recuerde que en los problemas donde se aplica este teorema la palabra
EXACTAMENTE es la clave. Ej.
14.- Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 cuatros en 5 lanzamientos de un
dado normal.
Solución: Cada tiro del dado es una prueba, llamaremos acertar el acto de obtener un cuatro.
La probabilidad de obtener un 4 en el dado o acertar es de 1/6, entonces p = 1/6, la
probabilidad de no obtener un 4, es decir, la probabilidad de fallar es:
11/6 = 5/6 = q, como n = 5, r = 3, nr = 2, p =1/6, 10)3,5(
5
3 CC , ahora se
aplica la fórmula del teorema 1 así :
rnrn
r qpCP 1
0322.07776
250
6
25x10
6
5
6
110P
5
23
1
0.0322 = 3.22 %, esta es la probabilidad buscada.
15.- Una moneda de 5 bolívares se lanza 8 veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
exactamente 6 caras?
Solución: Es muy importante que observe en este tipo de problemas la palabra clave:
exactamente, tal y como lo anuncia el teorema 1. En un lanzamiento de una moneda la
probabilidad de obtener una cara es de 1/2 y la probabilidad de fallar es también de 1/2, por
lo tanto, p = q = 1/2.
En este problema n = 8, r = 6, nr = 2, p = q = ½, aplicando la fórmula del teorema
1 se tiene:
............
.%,.94.101094.0256
28
212
178
2
1
2
18
826
6,8,1
bus cadaadpr obabilidlaesque
xx
xxCqpCP rnr
rn
34
TEOREMA 2.- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1p la probabilidad de fallar
de un suceso en una prueba. Entonces la probabilidad P2 de obtener por lo menos r aciertos
en n pruebas está dada por la relación
Esta fórmula es similar a la del teorema 1, pero para determinar la probabilidad en este caso
se calculan todo el valor de n y finalmente se suman todas las probabilidades y el resultado
de la sumatoria es la probabilidad buscada. En la aplicación de esta fórmula hay una frase
clave que es: por lo menos, lo cual significa que se deben tomar las probabilidades desde r
hasta n y luego sumarlas todas y esa será la probabilidad buscada. Ejemplo:
16.- Una moneda de 5 bolívares se lanza al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que por
lo menos aparezcan 6 caras?
Solución: Este es un problema que se resuelve aplicando el teorema 2 por cuanto presenta la
palabra clave por lo menos, que indica la aplicación de la fórmula del teorema mencionado.
En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de acertar es 1/2 y la de fallar es 1/2 por lo
tanto la
p = q =1/2, n = 8, r = 6 y n – r = 2, C(8,6) = 28, C(8,7) = 8, C(8,8) = 1 aplicando la
fórmula tememos:
P2 = C(n, r) pr qn-r = C (8, 8) (1/2)8 + C (8, 7) (1/2)7 (1/2) + C (8, 6) (1/2)6 (1/2)2
%45.141445.0256
37
2
1x28
2
1x8
2
1P
8
8
8
8
8
8
2 , esa es la probabilidad buscada.
17.- La probabilidad de que un hombre de 50 años viva 20 años más, es de 60.0 %. Dado un
grupo de 5 hombres de 50 años, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 hombres
lleguen a 70 años?
Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de sucesos de pruebas
repetidas tal y como lo plantea el teorema 2, por cuanto presenta la frase clave por lo menos.
En este problema la probabilidad de que un hombre viva 70 años es:
La probabilidad que llegue a 70 años es: 60/100 = 6/10 = p, la probabilidad que no llegue a
los 70 años es 4/10 = q, n = 5, r = 4 y n – r = 1. Aplicando la fórmula del teorema 2 se
tiene:
rr
nr
rnn
rn nrqpCP ..,.........),(2
35
..Pr.....%...70.333370.0100000
33696
100000
25920
100000
7776
100000
5184*5
100000
7776
10
4
10
6
10
64
4,5
5
5,5,1
bus cadaobabilidadlaesEs ta
CCqpCP rnr
rn
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