teorÍa y problemas de cÁlculo integral
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TEORÍA Y PROBLEMAS DE
CÁLCULO INTEGRAL
Vicerrectorado de Producción Agrícola
Programa Ciencias Básicas y Tecnológicas
Universidad Nacional Experimental
de los Llanos Occidentales
“EZEQUIEL ZAMORA”
La Universidad que Siembra
AUTOR: Rafael Ángel Cristancho C
GUANARE, FEBRERO 2021
Prof. Rafael Cristancho 1
Problemas de Cálculo Integral
Módulo I: Integral Indefinida.
Objetivo #1: Calcular la antiderivada de una función dada aplicando propiedades.
ANTIDERIVADA
Definición #1: Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo
I si '( ) ( )F x f x para todo valor de x en I .
Ejemplo: Si F es la función definida por 3 2( ) 4 5F x x x , entonces
2(́ ) 12 2F x x x .
De modo que si f es la función definida por 2( ) 12 2f x x x entonces f es la derivada
de F , y F es la antiderivada de f . Si G es la función definida por 3 2( ) 4 17G x x x ,
entonces G es también antiderivada de la función f ya que 2(́ ) 12 2G x x x . En
conclusión la función 3 2( ) 4F x x x c es Antiderivada de f .
Teorema #1: Si y f g son dos funciones definidas en un intervalo I , tales que
'( ) '( )f x g x para todo x en I , entonces existe una constante K tal que ( ) ( )f x g x K
para toda x en I .
Demostración: Sea h una función definida en el intervalo I mediante ( ) ( ) ( )h x f x g x ,
con lo cual '( ) '( ) '( )h x f x g x . Por hipótesis '( ) '( )f x g x para todo x en I . Por lo
tanto '( ) 0h x para todo x en I . Así se tiene que ( )h x K para todo x en I . Luego se
tiene que ( ) ( ) ( ) ( )K f x g x f x g x K
Teorema #2: Si F es antiderivada particular de la función f en el intervalo I, entonces
cada antiderivada de f en I está dada por ( )F x c , donde c es una constante arbitraria, y
todas las antiderivadas particulares se obtienen asignándole valores particulares a c.
Demostración: Sea G antiderivada de f en el intervalo I, entonces '( ) ( )G x f x para toda x
en I. Sea F otra antiderivada de f en I, entonces '( ) ( )F x f x para toda x en I. Luego
'( ) '( )G x F x para toda x en I. Por teorema #1 se tiene que ( ) ( )G x F x c .
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Observación: La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se
determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. Denotaremos las
antiderivadas por el símbolo , por lo tanto, si F es antiderivada de f en el intervalo I,
entonces ( ) ( ) '( ) ( )f x dx F x c F x f x
Teorema #3 dx x c
Teorema #4: ( ) ( )af x dx a f x dx siendo a una constante
Teorema #5: Si f y g son dos funciones definidas en el mismo intervalo, entonces
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
Teorema #6: Si 1 2, ,...., nf f f están definidas en el mismo intervalo, entonces
1 1 2 2 1 1 2 2( ( ) ( ) .... ( )) ( ) ( ) ... ( )n n n nc f x c f x c f x dx c f x dx c f x dx c f x dx siendo
1 2, ,..., nc c c son constantes.
Teorema #7: Si n es un número racional, entonces 1
( 1)1
nn x
x dx c nn
Objetivo #2: Aplicar la regla de la cadena en el cálculo de integrales indefinidas.
Teorema #8: Sea g una función derivable y sea el contradominio de g algún intervalo I.
Supongamos que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I.
Entonces ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c
Demostración: Por hipótesis F es antiderivada de f en I '( ( )) ( ( )) ( )F g x f g x I .
Por otro lado, aplicando la regla de la cadena para derivadas se tiene que:
( ( ( )) '( ( )) '( ) ( )d F g x F g x g x II . Sustituyendo (I) en (II) se tiene que:
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( ( ( )) ( ( )) '( )d F g x f g x g x por lo tanto ( ( ))F g x es antiderivada de ( ( )) '( )f g x g x y por
consiguiente ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c
Teorema #9: Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces
11
( ) '( ) ( ) ( 1)1
n ng x g x dx g x c n
n
Problemas Resueltos.
1.- Calcular 72x dx
Solución: Utilizando el Teorema 1
( 1)1
nn x
x dx c nn
se tiene que:
7 1 87 7 7 72 2 2 2 2 2 2
7 1 8
x xx dx x dx x dx c x dx c
872 ( 2 )
4
xx dx k k c
2.- Calcular 3
2dx
x
Solución: Utilizando el Teorema
1
( 1)1
nn x
x dx c nn
se tiene que:
23
13
133 3 3
2 2 2 22 2
23
xdx dx dx x dx dx c
xx x x
2
3
3
23dx x c
x
3.- Calcular 2 36t tdt
Solución: En este caso se tiene que:
132 236 6t tdt t t dt aplicando propiedades de potencia se tiene que:
732 36 6t tdt t dt
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732 36 6t tdt t dt Aplicando el teorema
1
( 1)1
nn x
x dx c nn
tenemos que:
103
10 103 32 2 23 3 318 9
6 6 6 610 10 5
3
tt tdt c t tdt t c t tdt t c
4.- Calcular 3 2(2 3)y y dy
Solución: Aplicando la Propiedad Distributiva de los Números Reales tenemos que:
3 2 5 3(2 3) (2 3 )y y dy y y dy 3 2 5 3(2 3) 2 3y y dy y dy y dy
3 2 5 3(2 3) 2 3y y dy y dy y dy 6 4
3 2(2 3) 2 36 4
y yy y dy c
3 2 6 41 3(2 3)
3 4y y dy y y c
5.- Calcular 4 22 1y y
dyy
Solución:
12
12
4 2 4 2 4 24 22 1 2 1 2 1
( 2 1)y y y y y y
dy dy dy y y y dyyy y
1 1 12 2 2
4 24 22 1
( 2 )y y
dy y y y y y dyy
7 3 12 2 2
4 22 1( 2 )
y ydy y y y dy
y
7 3 12 2 2
4 22 12
y ydy y dy y dy y dy
y
7 3 12 2 2
4 22 12
y ydy y dy y dy y dy
y
9 5 12 2 24 22 1
29 5 1
22 2
y y y y ydy c
y
9 5 12 2 2
4 22 1 2 42
9 5
y ydy y y y c
y
6.- Calcular
21
t dtt
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Solución: Aplicando Producto Notables se tiene que:
2
2
2
1 12t t
t t
Por lo tanto
2
2
2
1 12t dt t dt
t t
2
2
2
12
dtt dt t dt dt
t t
2
2 212t dt t dt dt t dt
t
2 3 11
23 1
t tt dt t c
t
2
31 1 12
3t dt t t c
t t
7.- Calcular 8
2 5x dx
Solución: Aplicando la regla de la cadena para integrales se tiene que: Sea 2 5u x
22
dudu dx dx por lo tanto
8 82 52
dux dx u
8 812 5
2x dx u du
9
8 12 5
2 9
ux dx c
8 912 5 2 5
18x dx x c
8.- Calcular 5 3
dx
x
Solución: Aplicando la regla de la cadena tenemos que: 5 3 3z x dz dx
3
dzdx Luego
1
35 3
dx dz
x z
1
35 3
dx dz
x z
12
1
35 3
dx dz
zx
1
21
35 3
dxz dz
x
121
135 32
dx zc
x
1
22
35 3
dxz c
x
. Como 5 3z x se tiene 2
5 335 3
dxx c
x
9.- Calcular 3
xdx
x
Solución: Aplicando la regla de la cadena se tiene que: 3u x du dx
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:: 3 3u x u x . Luego tenemos que: 3
3
xdx udu
x u
12
3
3
xdx udu
ux
1
2( 3)3
xdxu u du
x
1 12 2( 3 )
3
xdxu u du
x
1 12 23
3
xdxu du u du
x
1 12 23
3
xdxu du u du
x
3 12 2
33 13
22
xdx u uc
x
3 1
2 22
633
xdxu u c
x
:: 3u x tenemos que:
3 12 2
2( 3) 6( 3)
33
xdxx x c
x
10.- Calcular 1
45 31y y dy
Solución: 1 1
4 45 3 3 3 21 1y y dy y y y dy Sea
3 2 21 33
duu y du y dy y dy
3 3:: 1 1u y u y por lo tanto se tiene que:
1
1445 31 ( 1)
3
duy y dy u u
1
5 144 45 3 1
1 ( )3
y y dy u u du 1
5 144 45 3 1 1
13 3
y y dy u du u du
9 5
4 4145 3 1 1
19 53 3
4 4
u uy y dy c
19 54
4 45 3 4 41
27 15y y dy u u c
3:: 1u y 1
9 544 45 3 3 34 4
1 (1 ) (1 )27 15
y y dy y y c
11.- Calcular 1
dx
x
Solución: Sea 1 22
dxu x du xdu dx
x :: 1 1u x x u por lo
tanto se tiene que: 2( 1)u du dx así 2( 1)
1
dx u du
ux
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122( 1)
1
dxu u du
x
1 1
2 2(2 2 )1
dxu u du
x
1 1
2 22 21
dxu du u du
x
3 1
2 2
2 23 11 22
dx u uc
x
3 12 2
44
31
dxu u c
x
:: 1u x
3 12 2
4( 1) 4( 1)
31
dxx x c
x
12.- Calcular
32 2
2
1 1xx dx
x x
Solución: Sea 2
1 11u x du dx
x x
2
2
1xdu dx
x
Por lo tanto se tiene que:
32
32
2
2
1 1xx dx u du
x x
3 52 22
2 52
1 1x ux dx c
x x
32
52
2
2
1 1 2
5
xx dx u c
x x
1::u x
x
3 52 22
2
1 1 2 1
5
xx dx x c
x x x
13.- Calcular 3
22
1
( 1)dx
x
Solución: 3 3
2 22
2
2
1 1
( 1) 11
dx dxx
xx
3 32 22
3
2
1 1
( 1) 11
dx dxx
xx
2 3 3
1 21
2
dx du dxu du
x x x
con lo cual 3 3
2 22
1 2
( 1)
du
dxx u
32
322
1 1
2( 1)dx u du
x
12
322
1 1
12( 1)2
udx c
x
3 1
222
1 1
( 1)dx c
ux
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Problemas de Cálculo Integral
2
1:: 1u
x
3 1222
2
1 1
( 1) 11
dx cx
x
3 1222 2
2
1 1
( 1) 1dx c
x x
x
3 1
22
12
2 2
2
1 1
( 1) 1
( )
dx cx x
x
3 1
222 2
1
( 1) 1
xdx c
x x
322 2
1
( 1) 1
xdx c
x x
14.- Calcular 2 2 31 ( 1)
xdx
x x
Solución: 3
22 22 2 3 1 ( 1)1 ( 1)
xdx xdx
x xx x
122 2 22 2 3 1 ( 1)( 1)1 ( 1)
xdx xdx
x x xx x
122 22 2 3 ( 1)(1 ( 1) )1 ( 1)
xdx xdx
x xx x
122 22 2 3 1 1 ( 1)1 ( 1)
xdx xdx
x xx x
Sea 1
221 ( 1)u x 1
22( 1)
xdxdu
x
con lo cual
2 2 31 ( 1)
xdx du
ux x
12
2 2 31 ( 1)
xdxu du
x x
12
2 2 3 11 ( 1) 2
xdx uc
x x
12
2 2 3
2
1 ( 1)
xdxu c
x x
122:: 1 ( 1)u x
2
2 2 3
2 1 1
1 ( 1)
xdxx c
x x
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Problemas de Cálculo Integral
Objetivo #3: Calcular la integral indefinida de funciones trigonométricas.
INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Teorema #10: Si ( )u g x es una función derivable en un intervalo I, entonces:
1. ( ) cos cosd senu udu udu senu c
2. (cos ) cosd u senudu senudu u c
3. 2 2(tan ) sec sec tand u udu udu u c
4. 2 2( ) csc cscd ctgu udu udu ctgu c
5. (sec ) sec tan sec tan secd u u udu u udu u c
6. (csc ) csc csc cscd u uctgudu uctgudu u c
Problemas Resueltos.
1.- Calcular (3 2cos )sent t dt
Solución:
(3 2cos ) 3 2 cossent t dt sentdt tdt (3 2cos ) 3cos 2sent t dt t sent c
2.- Calcular 2cos
senxdx
x
Solución: 2
1
cos cos cos
senx senxdx dx
x x x 2
sec tancos
senxdx x xdx
x
2sec
cos
senxdx x c
x
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Problemas de Cálculo Integral
3.- Calcular 23tan 4cos
cosy
y ydy
Solución: 2 23tan 4cos 3tan 4cos
cos cos cos
y y y ydy dy
y y y
23tan 4cos
3sec tan 4coscos
y ydy y y y dy
y
23tan 4cos3 sec tan 4 cos
cos
y ydy y ydy ydy
y
23tan 4cos3sec 4
cos
y ydy y seny c
y
4.- Calcular cos 4 d
Solución: Sea 4 44
duu du d d con lo cual se tiene que:
cos 4 cos4
dud u
1cos 4 cos
4d udu
1cos 4
4d senu c
1cos 4 4
4d sen c ya que 4u
5.- Calcular 2 36x senx dx
Solución: 2 3 2 26 2 ( )3x senx dx sen x x dx Sea 3 23u x du x dx con lo cual se tiene
que: 2 36 2x senx dx senudu 2 36 2cosx senx dx u c
2 3 36 2cosx senx dx x c
6.- Calcular 2 2 cos 2sen x xdx
Solución: Sea 2 cos 2 2 2 22
duu x du sen xdx sen xdx así tenemos que:
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2 2 cos 22
dusen x xdx u
12
12 2 cos 2
2sen x xdx u du
321
2 2 cos 232
2
usen x xdx c
32
12 2 cos 2 (2 cos 2 )
3sen x xdx x c
Objetivo #4: Calcular integrales que producen funciones logarítmicas.
FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
Definición: La función logaritmo natural es la función definida por 1
1ln
x
x dtt
, x
positivo.
Teorema #11: Si u es una función derivable en x y ( )u x es positivo, entonces
1(ln )x xD u D u
u
Teorema #12: ln1 0
Teorema #13: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces
ln( ) ln lnab a b
Demostración: Consideremos las siguientes funciones: ( ) ln( )f x ax y ( ) lng x x ,
entonces 1 1 1
'( ) ( ) ' '( ) '( )f x ax f x a f xax ax x
y 1
'( )g xx
. Por lo tanto
'( ) '( )f x g x y en consecuencia ( ) ( ) ln( ) lnf x g x k ax x k .
Hacemos 1x y se tiene que: ln( 1) ln1 ln 0 lna k a k k a , con lo cual se
tiene que ln( ) ln lnax x a . Hacemos ahora x b obteniéndose que ln( ) ln lnab a b
Teorema #14: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces ln( ) ln lna
a bb
Demostración: Como a
a bb
, entonces ln ln( ) ln ln( ) lna a
a b a bb b
, con lo cual se
tiene que ln( ) ln lna
a bb
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Problemas de Cálculo Integral
Teorema #15: Si a es cualquier número positivo y r es cualquier número racional, entonces
ln lnra r a
Demostración: Consideremos las siguientes funciones: ( ) ln rf x x y ( ) lng x r x ,
entonces 1
'( ) '( )r
r
rx rf x f x
x x
y '( )r
g xx
, por lo tanto ( ) ( )f x g x c , ie,
ln lnrx r x k . Hacemos 1x y se tiene que 0k por lo que se tiene que ln lnrx r x .
Ahora hacemos x a teniéndose que ln lnra r a
Teorema#16: Si u es una función derivable en x, entonces 1
(ln )x xD u D uu
Teorema #17: lndu
u cu
Teorema #18: Si u es una función derivable en la variable x, entonces:
1. tan ln secudu u c
2. lnctgudu senu c
3. sec ln sec tanudu u u c
4. csc ln cscudu u ctgu c
Problemas Resueltos.
1.- Calcular 3 2
dx
x
Solución: Sea 3 2 22
duu x du dx dx con lo cual tenemos que:
1
3 2 2
dx du
x u
1
3 2 2
dx du
x u
1
ln3 2 2
dxu c
x
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:: 3 2u x 1
ln 3 23 2 2
dxx c
x
2.- Calcular 2 1
( 1)
xdx
x x
Solución: Sea 2( 1) (2 1)u x x u x x du x dx así se tiene que:
2 1 2 1ln
( 1) ( 1)
x du xdx dx u c
x x u x x
2 1
ln ( 1)( 1)
xdx x x c
x x
3.- Calcular (tan 2 sec2 )x x dx
Solución: Sea 2 22
duu x du dx dx Luego se tiene que:
(tan 2 sec2 ) (tan sec )2
dux x dx u u
1 1(tan 2 sec2 ) tan sec
2 2x x dx udu udu
1 1(tan 2 sec2 ) ln sec ln sec tan
2 2x x dx u u u c
1 1(tan 2 sec2 ) ln sec2 ln sec2 tan 2
2 2x x dx x x x c
1 sec2(tan 2 sec2 ) ln
2 sec2 tan 2
xx x dx c
x x
4.- Calcular 3
2
2
4
xdx
x
Solución: 3 2
2 2
22
4 4
x xdx xdx
x x
Sea 2 4 2w x dw xdx 2 2:: 4 4w x x w así se tiene que:
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3
2
2 4
4
x wdx dw
x w
3
2
2 41
4
xdx dw
x w
3
2
24
4
x dwdx dw
x w
3
2
24ln
4
xdx w w c
x
3
2 2
2
24 4ln 4
4
xdx x x c
x
3
2 2
2
24ln 4 ( 4)
4
xdx x x k k c
x
5.- Calcular 22 ln
(1 ln )
xdx
x x
Solución: Sea 1 lndx dx
u x du dux x
:: 1 ln ln 1u x x u con lo cual:
2 22 ln 2 (1 )
(1 ln )
x udx du
x x u
2 22 ln 2 1 2
(1 ln )
x u udx du
x x u
2 22 ln 3 2
(1 ln )
x u udx du
x x u
22 ln 3
2(1 ln )
xdx u du
x x u
22 ln
3 2(1 ln )
x dudx du udu
x x u
2
22 ln 13ln 2
(1 ln ) 2
xdx u u u c
x x
2
22 ln 13ln 1 ln 2(1 ln ) (1 ln )
(1 ln ) 2
xdx x x x c
x x
2
22 ln 13ln 1 ln 2 2ln (1 2ln ln )
(1 ln ) 2
xdx x x x x c
x x
2
22 ln 13ln 1 ln ln ln
(1 ln ) 2
xdx x x x k
x x
6.- Calcular 5 3 2
3
3 2 5 2
1
x x xdx
x
Solución: 5 3 2 3:: (3 2 5 2) ( 1)gr x x x gr x apliquemos el algoritmo de la división
euclidiana se tiene que:
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
3 2
3 2
2
3 0 2 5 0 2 0 0 1
3 0 0 3 3 2
2 2 0 2
2 0 0 2
2
x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x
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Problemas de Cálculo Integral
Así se tiene que: 5 3 2 3 2 23 2 5 2 ( 1)(3 2) 2x x x x x x
5 3 2 22
3 3
3 2 5 2 23 2
1 1
x x x xx
x x
5 3 2 2
2
3 3
3 2 5 2 23 2
1 1
x x x xdx x dx dx dx
x x
5 3 2 2
2
3 3
3 2 5 23 2 2 ( )
1 1
x x x xdx x dx dx dx i
x x
Calcular 23 2x dx dx 2 3
13 2 2 ( )x dx dx x x c ii
Calcular 2
32
1
xdx
x Sea 3 2 21 33
duu x du x dx x dx
2
3
12 2
1 3
x dudx
x u
2
3
22
1 3
x dudx
x u
2
23
22 ln ( )
1 3
xdx u c iii
x
Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
5 3 23 3
1 23
3 2 5 2 22 ln 1
1 3
x x xdx x x c x c
x
5 3 2
3 3
3
3 2 5 2 22 ln 1
1 3
x x xdx x x x c
x
7.- Calcular 2 2(1 ) ln( 1 )
dx
x x x
Solución: 2 2 2 2(1 ) ln( 1 ) 1 ln( 1 )
dx dx
x x x x x x
Sea 2
2
2
11
ln( 1 )1
x
xu x x du dx
x x
21 x x
du
2
2
1
1
x
x x
dx21
dxdu
x
Con lo cual se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 16
Problemas de Cálculo Integral
2 2(1 ) ln( 1 )
dx du
ux x x
12
2 2(1 ) ln( 1 )
dxu du
x x x
12
2 2 1(1 ) ln( 1 ) 2
dx uc
x x x
122
2 2
2(ln( 1 ))
(1 ) ln( 1 )
dxx x c
x x x
Objetivo #5: Calcular integrales indefinidas de funciones Exponenciales.
FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Definición: La función exponencial natural es la inversa de la función logarítmica natural
la cual se define como exp( ) lnx y x y
Definición: Si a es cualquier número real positivo y x es cualquier número real, entonces
exp( ln )xa x a
Teorema #19: Si a es un número positivo real cualesquiera y x es un número real, entonces
ln lnxa x a
Demostración: Por definición exp( ln )xa x a . Y por definición se tiene que ln lnxa x a
Definición: El número e es el valor de la función exponencial en 1. exp(1) e
Teorema #20: ln 1e
Demostración: Por definición tenemos que exp(1) e . Y por definición se tiene que:
ln 1e
Teorema #21: Para todo valor de x, exp( ) xx e
Demostración: Por definición exp( ln )xe x e . :: ln 1 exp( .1) exp( )x xe e x e x
Teorema #22: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a b a be e e
Prof. Rafael Cristancho 17
Problemas de Cálculo Integral
Demostración: Sean aA e y bB e . Entonces por definición se tiene que
ln y lnA a B b . Luego por teorema ln ln ln lnAB A B AB a b y por
definición se tiene que: a b a b a bAB e e e e
Teorema #23: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a
a b
b
ee
e
Teorema #24: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces ( )a b abe e
Teorema #25: Si u es una función derivable en x, entonces ( )u u u ud e e du e du e c
Definición: Si a es un número real positivo cualesquiera y u es una función derivable en x,
entonces 1
( ) lnln
u u u ud a a adu a du a ca
Problemas Resueltos.
1.- Calcular 2 5xe dx
Solución: Sea 2 5 55
duu x du dx dx así se tiene que:
2 5
5
x u due dx e
2 5 1
5
x ue dx e du 2 5 1
5
x ue dx e c 2 5 2 51
5
x xe dx e c
2.- Calcular 3
3 2(1 2 )
x
x
edx
e
Solución: Sea 3 3 31 2 66
x x xduu e du e dx e dx Luego:
Prof. Rafael Cristancho 18
Problemas de Cálculo Integral
3
3 2 2
1
(1 2 ) 6
x
x
e dudx
e u
3
3 2 2
1
(1 2 ) 6
x
x
e dudx
e u
3
2
3 2
1
(1 2 ) 6
x
x
edx u du
e
3 1
3 2
1
(1 2 ) 6 ( 1)
x
x
e udx c
e
3
3 2
1 1
(1 2 ) 6
x
x
edx c
e u
3
3 2 3
1
(1 2 ) 6(1 2 )
x
x x
edx c
e e
3.- Calcular 2 3x
dx
Solución: 2 3 2 (1 3.2 )x x x
dx dx
2
2 3 1 3.2
x
x x
dx dx
Sea 1 3.2 xu 3.2 ( 1) ln 2xdu dx 23ln 2
xdudx Luego tenemos que:
3ln 2
2 3x
du
dx
u
1
2 3 3ln 2x
dx du
u
1
ln2 3 3ln 2x
dxu c
1
ln 1 3.22 3 3ln 2
x
x
dxc
1 3
ln 12 3 3ln 2 2x x
dxc
1 2 3ln
2 3 3ln 2 2
x
x x
dxc
1
ln 2 3 ln 22 3 3ln 2
x x
x
dxc
1 1ln 2 3 ln 2
2 3 3ln 2 3ln 2
x x
x
dxc
1 1ln 2 3 ln 2
2 3 3ln 2 3ln 2
x
x
dxx c
1
ln 2 32 3 3ln 2 3
x
x
dx xc
Objetivo #6: Integrales que producen funciones trigonométricas inversas.
INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA INVERSAS
Teorema #26: Si u es una función derivable en x, entonces:
1. 1
2( )
1
dud sen u
u
2. 1
2(cos )
1
dud u
u
Prof. Rafael Cristancho 19
Problemas de Cálculo Integral
3. 1
2(tan )
1
dud u
u
4. 1
2( )
1
dud ctg u
u
5. 1
2(sec )
1
dud u
u u
6. 1
2(csc )
1
dud u
u u
Demostración:
Sea 1 ( ) coscos
duw sen u senw u d senw du wdw du dw
w
1 2 1
2:: cos 1 ( )
1
duw sen u w sen w senw u d sen u
u
. Se considera la
parte positiva de la función coseno. Similarmente se pueden demostrar las demás derivadas.
El siguiente teorema nos presenta las antiderivadas de dichas funciones.
Teorema #27: Si u es derivable en x, entonces:
1. 1
21
dusen u c
u
2. 1
2tan
1
duu c
u
3. 1
2sec
1
duu c
u u
4. 1
2 2
du usen c
aa u
5. 1
2 2
1tan
du uc
a u a a
Prof. Rafael Cristancho 20
Problemas de Cálculo Integral
6. 1
2 2
1sec
du uc
a au u a
Ejercicios resueltos.
1.- Calcular 21 4
dx
x
Solución: Sea 2 24 2 22
duu x u x du dx dx ; 2 1 1a a . Luego tenemos
que: 2
2 2 21 4
dudx
x a u
2 2 2
1
21 4
dx du
x a u
1
2
1( )
21 4
ua
dxsen c
x
1
2
1(2 )
21 4
dxsen x c
x
puesto que 2u x
2.- Calcular 29 16
dx
x
Solución: Sea 2 2 29 3 3 ; 16 4u x u x du dx a a Luego tenemos que:
2 2
1 3
9 16 3 9 16
dx dx
x x
2 2 2
1
9 16 3
dx du
x u a
1
2
1 1tan
9 16 3ua
dxc
x a
1 342
1 1tan
9 16 3 4x
dxc
x
1 3
42
1tan
9 16 12x
dxc
x
3.- Calcular 24 16
dx
x x
Solución: Sea 2 2 2; 16 4u x u x du dx a a Luego tenemos que:
2 2 2
1
44 16
dx du
x x u u a
1
2
1 1sec
44 16
ua
dxc
ax x
regresando el cambio a la
variable x tenemos que 1
42
1 1sec
4 44 16
xdx
cx x
con lo cual se tiene que:
1
42
1sec
164 16
xdx
cx x
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Problemas de Cálculo Integral
4.- Calcular 27
x
x
e dx
e
Solución: Sea 2 2 2; 7 7x x xu e u e du e dx a a con lo cual tenemos que:
2 2 27
x
x
e dx du
e a u
2 2 27
x
x
e dx du
e a u
1
2
1tan
7
x
uax
e dxc
e a
1
2 7
1tan
7 7
xx
e
x
e dxc
e
1 7
72
7tan
7 7
xx
e
x
e dxc
e
5.- Calcular 22 cos
senxdx
x
Solución: 2 2 2cos cos ; 2 2u x u x du senxdx du senxdx a a con
lo cual tenemos que: 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos
senxdx du senxdx du
x a u x a u
1
22 cos
senxdx usen c
ax
1
2
cos
22 cos
senxdx xsen c
x
1
2
2 cos
22 cos
senxdx xsen c
x
6.- Calcular (1 )
dx
x x
Solución: Sea 2 22 ; 1 12
dx dxu x u x du du a a
x x con lo cual
tenemos que: 2 2
2
(1 )
dx du
a ux x
2 2
2(1 )
dx du
a ux x
12 tan(1 )
dx uc
ax x
12 tan1(1 )
dx xc
x x
12 tan(1 )
dxx c
x x
7.- Calcular 23 2
dx
x x
Prof. Rafael Cristancho 22
Problemas de Cálculo Integral
Solución: Completando cuadrados se tiene que: 2 23 2 3 2x x x x
2 23 2 ( 3 2)x x x x 2 2 9 93 2 ( 3 2)
4 4x x x x
2 2 9 93 2 (( 3 ) ( 2))
4 4x x x x 2 23 1
3 2 (( ) )2 4
x x x
2 21 33 2 ( )
4 2x x x Recuerde que para completar cuadrado se debe tomar el valor
absoluto del coeficiente de la variable de grado uno, dividirlo por dos y el resultado
sumarlo y restarlo a la expresión original. Luego tenemos que:
2 2314 2
3 2 ( )
dx dx
x x x
2 2 23 3 1 1
2 2 4 2( ) ;u x u x du dx a a con
lo cual
2 2 23 2
dx dx
x x a u
1
23 2
dx usen c
ax x
31 2
1223 2
xdxsen c
x x
31 2
1223 2
xdxsen c
x x
2 31 2
1223 2
xdxsen c
x x
1
22 3
3 2
dxsen x c
x x
Objetivo #7: Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas.
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Definición #6: La función seno hiperbólico y coseno hiperbólico, denotadas
respectivamente por y coshsenh , se definen por: ( )2
x xe esenh x
y
cosh( )2
x xe ex
donde x es cualquier número real.
Observación: De la definición anterior se puede demostrar que la función seno hiperbólico
es una función par y que la función coseno hiperbólico es una función par.
Teorema #29: Si u es una función derivable en x, entonces:
1. ( ) coshx xD senhu uD u
Prof. Rafael Cristancho 23
Problemas de Cálculo Integral
2. (cos )x xD hu senhuD u
Definición #7: Las funciones: tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante
hiperbólica y cosecante hiperbólica, se definen y denotan por:
tanhcosh
x x
x x
senhx e ex
x e e
,
cosh x x
x x
x e ectghx
senhx e e
,
1 2sec
cosh x xhx
x e e
,
1 2csc
x xhx
senhx e e
Teorema #30: Identidades Hiperbólicas:
(a) 1
tanh xctghx
(b) 2 2cosh 1x senh (c) 2 21 tanh secx h x
(d) 2 21 cscctgh x h x (e) ( ) cosh coshsenh x y senhx y senhy x
(f) cosh( ) cosh coshx y x y senhxsenhy (g) 2 2 coshsenh x senhx x
(h) 2 2cosh 2 coshx x senh x
Teorema #31: Si u es derivable en x, entonces:
1. 2(tanh ) secx xD u h uD u
2. 2( h ) cscx xD ctg u h uD u
3. (sec ) sec tanhx xD hu hu uD u
4. (csc ) cscx xD hu huctghuD u
Teorema #32: Si u es derivable en x, entonces:
1. coshsenhudu u c
2. cos hudu senhu c
Prof. Rafael Cristancho 24
Problemas de Cálculo Integral
3. 2sec tanhh udu u c
4. 2csch udu ctghu c
5. sec tanh sechu udu hu c
6. csc cschuctghudu hu c
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Definición #8: La función seno hiperbólico inverso, la cual denotaremos por 1senh x , se
define por: 1y senh x senhy x , donde y es cualquier número real. La función coseno
hiperbólico inverso, la cual denotaremos por 1cosh x , se define por
1cos cosy h x hy x con 0y
Definición #9: Se definen y denotan las funciones tangente hiperbólica inversa y
cotangente hiperbólica inversa como: 1tan tany h x hy x donde y es cualquier
número real; 1y ctgh x ctghy x donde ( ,0) (0, )y
Observación: No se tratarán las funciones secante hiperbólicas inversas y cosecante
hiperbólicas inversas debido a que rara vez se utilizan.
Teorema #33:
1. 1 2ln( 1) ( )senh x x x x R
2. 1 2cos ln( 1) 1h x x x x
3. 1 1 1tan ln 1
2 1
xh x x
x
4. 1 1 1ln 1
2 1
xctgh x x
x
PROBLEMAS PROPUESTOS.
Prof. Rafael Cristancho 25
Problemas de Cálculo Integral
En los problemas del 1 al 43, calcular la integral indefinida dada.
1.- 2 25a x dx 2.- ( )( )x x a x b dx 3.- 3 2( )a bx dx 4.- 2 pxdx
5.- n
dx
x 6.- ( 1)( 1)x x x dx 7.- 2 2
4
2 2
4
x xdx
x
8.- 3x xe dx
9.- 2 3
2 1
xdx
x
10.- lnx x
dxx
11.- xdx
a bx 12.- 2 1
1
xdx
x
13.- 2
3 2
5 7
xdx
x
14.- 2
7xx dx 15.-
1
2
xedx
x 16.- 4 4
xdx
a x 17.- 21
x
x
adx
a 18.- 21
arcsenxdx
x
19.- 2 1x
x
adx
a
20.- 1
2 3xdx
21.- cos
dx
senx x 22.- 2 2
cos
cos
senx xdx
x sen x
23.- 21 3cos 2xsen xdx 24.- 55 25x x dx 25.- 3
8 5
xdx
x 26.- 3
4
1
4 1
xdx
x x
27.- 2
2sen xe sen xdx 28.- 2
2
sec
4 tan
xdx
x 29.- 2
2
ln( 1 )
1
x xdx
x
30.- 21 cos
dx
x
31.- 2
cos 2
4 cos 2
xdx
x 32.- 3
4
x xdx
x
33.-
2
tan 1
cos
xdx
x
34.- 3 2
3
cos 3
sen xdx
x
35.- 2( )x x
x x
a bdx
a b
36.- 2 2 5
dx
x x 37.- 23 2 4
dx
x x 38.- 2
3 2
5 3 2
xdx
x x
39.- 22 3 4
dx
x x 40.- 1
1
xdx
x
41.- 2
1
4dx
x x 42.- 2
1
( 1) 2dx
x x x
43.- 4 22 2
xdx
x x
Ejercicios Propuestos
Prof. Rafael Cristancho 26
Problemas de Cálculo Integral
En los ejercicios 1 al 13, evalúe la integral indefinida dada
1.- 3
dx
x 2.- 3 2x dx 3.-
2
9(2 )t t dt
t 4.- 2( 1)x dx 5.- ( 2)( 2)x x dx
6.- 2( 1)x
dxx
7.- 3(4 1)w dw 8.-
3
5dx
x 9.- (3 2)x x dx 10.-
2
dx
x
11.- 3
4
x xdx
x
12.-
2
2
3
1x dx
x
13.-
4
2
3u udu
u
En los ejercicios 14 al 45, evalúe la integral indefinida dada.
14.- 3 4 5(2 )x x dx 15.- 2 3 1x x dx 16.- 4(1 6 )
dt
t 17.- 2 2( 1)
xdx
x
18.- 2( 1) 2x x x dx 19.- 4 2
xdx
x 20.-
2
1
x dx
x 21.- 3 2 1x x dx
22.- 3
22( 1)
dx
x 23.-
2 2 31 (1 )
xdx
x x 24.-
23 1
sds
s 25.-
432( 4 4)x x dx
26.- 1
tdt
t 27.- 23 2xx dx 28.-
2
4
(1 cos )
senxdx
x 29.- 2
11
3
dx
x x
30.- 2
3
( 3)
(3 )
y dy
y
31.-
32
3
2( 4)
xdx
x 32.- 23 ( 1)s s ds 33.-
13 4
3 2
( 2)rdr
r
34.-
32 2
2
1 1tt dt
t t
35.-
2cos
senydy
y 36.- 2( 1)x xdx 37.- 2
1
2 4
xdx
x x
38.- 2(1 )x
dxx
39.- 1
dx
x x 40.-
232( 2 10) (5 5)x x x dx 41.-
3
3 4
1x dx
x x
42.- 3
32
1 xdx
x
43.-
2 3 xdx
x
44.-
1
tdt
t 45.-
3
4 3
(4 5)
zdz
z
Módulo II: Técnicas de Integración
Prof. Rafael Cristancho 27
Problemas de Cálculo Integral
Objetivo #8: Aplicar el método de Integración por Partes en la resolución de integrales
indefinidas.
1.- INTEGRACIÓN POR PARTES:
Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se
obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones
derivables, entonces ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))d f x g x f x d g x g x d f x , ie,
( ( ) ( )) ( ) '( ) ( ) '( )d f x g x f x g x dx g x f x dx . Luego despejando se tiene que:
( ) '( ) ( ( ) ( )) ( ) '( )f x g x dx d f x g x g x f x dx . Integrando en ambos miembros de la igualdad
se tiene que: ( ) '( ) ( ( ) ( )) ( ) '( )f x g x dx d f x g x g x f x dx . Hacemos
( ) ( ( )) '( )f x u d f x du f x dx du , ( ) ( ( )) '( )g x v d g x dv g x dx dv .
Sustituyendo se tiene que: ( )udv d uv vdu . Pero ( )d uv uv , con lo cual se tiene
que: udv uv vdu
Ejemplos:
1.- Calcular lnx xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
Sea lndx
u x dux
, 2
1
1
2dv xdx dv xdx v x c . Luego se tiene que:
2 2
1 1
1 1ln ln
2 2
dxx xdx x c x x c
x
2 2
1 1
1 1ln ln ln
2 2
dx dxx xdx x x c x x c
x x
2
1 1
1 1ln ln ln ln
2 2x xdx x x c x xdx c x c
2 21 1 1ln ln
2 2 2x xdx x x x c
2 21 1ln ln
2 4x xdx x x x c
Prof. Rafael Cristancho 28
Problemas de Cálculo Integral
Observación: Nótese que 2
1
1
2dv xdx v x c , por lo tanto para este caso se hace
1 0c , ya que dicha constante, al sustituirla en udv uv vdu , se elimina.
2.- Calcular cosx xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
; cos cosu x du dx dv xdx v xdx v senx . Luego sustituyendo en
udv uv vdu se tiene que: xcoxdx xsenx senxdx
1( cos )xcoxdx xsenx x c 1cosxcoxdx xsenx x c
3.- Calcular 1tan xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
1
2tan ;
1
dxu x du dv dx v dx v x
x
. Luego sustituyendo en
udv uv vdu tenemos que: 1 1
2tan tan
1
xdxxdx x x
x
Ahora determinemos 21
xdx
x. Sea 21 2
2
dww x dw xdx xdx . Luego:
2
2
1 1 1ln ln 1
1 2 2 2 2
xdx dw dww c x c
x w w
Por lo tanto 1 1 21tan tan ln 1
2xdx x x x c
4.- Calcular 3xxe dx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene:
Prof. Rafael Cristancho 29
Problemas de Cálculo Integral
3 3 31;
3
x x xu x du dx dv e dx v e dx v e . Luego se tiene que:
3 3 31 1
3 3
x x xxe dx xe e dx 3 3 31 1
3 3
x x xxe dx xe e dx 3 3 31 1
3 9
x x xxe dx xe e c
5.- Calcular xe senxdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
cos ; x x xu senx du xdx dv e dx v e dx v e . Luego:
cosx x xe senxdx e senx e xdx . Aplicando nuevamente integración por partes se tiene
que: cos ; x x xu x du senxdx dv e dx v e dx v e . Por lo tanto se tiene que:
cos ( )x x x xe senxdx e senx e x e senx dx cosx x x xe senxdx e senx e x e senxdx 12 cosx x xe senxdx e senx e x c
1
1cos
2
x x xe senxdx e senx e x c 1
1 1 1cos
2 2 2
x x xe senxdx e senx e x c 1 1
cos2 2
x x xe senxdx e senx e x c
6.- Calcular 2( 1)
xxe dx
x
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
2
1( 1) ;
( 1) 1
x x dxu xe du x e dx dv v
x x
. Luego:
2
1( 1)
( 1) 1 1
x xxxe dx xe
x e dxx x x
2( 1) 1
x xxxe dx xe
e dxx x
2( 1) 1
x xxxe dx xe
e cx x
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1 al, evalúe la integral indefinida
Prof. Rafael Cristancho 30
Problemas de Cálculo Integral
1.- cos 2x xdx 2.- sec tanx xdx 3.- 3xx dx 4.- ln 5xdx 5.- 1sen wdw
6.- 2(ln )t
dtt 7.- 2secx xdx 8.- 1tanx xdx
9.- 2ln( 1)x dx 10.- 2x senxdx
11.- (ln )sen y dy 12.- ln(cos )sent t dt 13.- 25 xx e dx 14.-
3
21
x dx
x
15.- 2x
sen xdx
e 16.- 2x senhxdx 17.- 2
1
x
x
edx
e 18.-
1cot zdz
z
19.- 1cos 2xdx
20.- cos xdx 21.- 1tan xdx
22.- 3
ln xdx
x
23.- 2ln( 1 )x x dx 24.- 2
xdx
sen x 25.-xe dx
Objetivo #9: Aplicar el método de potencias de funciones trigonométricas en la resolución
de problemas de integrales indefinidas.
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Caso #1: Integrales del tipo nsen udu o bien cosn udu , donde n es un número entero
positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. 1( )n nsen u senu senu , donde 1n es par. Luego
1
2 2( )n
nsen u sen u senu
y
utilizamos la identidad fundamental 2 21 cossen u u . Con lo cual
1
2 2(1 cos )n
nsen u u senu
.
2. 1cos (cos ) cosn nu u u , donde 1n es par. Luego
1
2 2cos (cos ) cosn
n u u u
y
utilizamos la identidad fundamental 2 2cos 1u sen u . Con lo cual
1
2 2cos (1 ) cosn
n u sen u u
.
Ejemplo:
7.- Calcular 3cos 2xdx
Prof. Rafael Cristancho 31
Problemas de Cálculo Integral
Solución:
:: el exponente es impar3 2 3 2cos 2 cos 2 cos2 cos 2 (1 2 )cos2x x x x sen x x . Luego
se tiene que:
3 2 3 2cos 2 (1 2 )cos2 cos 2 cos2 2 cos2 ( )xdx sen x xdx xdx xdx sen x xdx I
Calculemos cos 2xdx . Sea 2 22
duu x du dx dx . Luego cos 2 cos
2
duxdx u
1 1
1 1 1cos 2 cos cos 2 cos 2 2 ( )
2 2 2xdx udu xdx senu c xdx sen x c II
Ahora procedamos a calcular 2 2 cos2sen x xdx . Sea 2 2cos2w sen x dw xdx
cos 22
dwxdx . Luego se tiene que: 2 22 cos 2
2
dwsen x xdx w
2 2 2 3
2
1 1 12 cos 2 2 cos 2
2 2 3sen x xdx w dw sen x xdx w c
2 3
2
12 cos 2 2 ( )
6sen x xdx sen x c III
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
3 31 1cos 2 2 2
2 6xdx sen x sen x c
Caso #2: Integrales del tipo cosn msen u udu , donde al menos unos de los exponentes es
un número entero positivo impar. Se toma la expresión que contenga el exponente impar y
se aplica el caso #1.
Ejemplo:
8.- Calcular 5 4cossen x xdx
Prof. Rafael Cristancho 32
Problemas de Cálculo Integral
Solución:
5 4 4 4 5 4 2 2 4cos cos cos ( ) cossen x xdx sen xsenx xdx sen x xdx sen x senx xdx
5 4 2 2 4cos (1 cos ) cossen x xdx x senx xdx
5 4 2 4 4cos (1 2cos cos ) cossen x xdx x x senx xdx
5 4 4 6 8cos (cos 2cos cos )sen x xdx xsenx xsenx xsenx dx
5 4 4 6 8cos cos 2 cos cossen x xdx xsenxdx xsenxdx xsenxdx .
Sea cosw x dw senxdx dw senxdx . Luego se tiene que:
5 4 4 6 8cos ( ) 2 ( ) ( )sen x xdx w dw w dw w dw
5 4 4 6 8cos 2sen x xdx w dw w dw w dw 5 4 5 7 91 2 1
cos5 7 9
sen x xdx w w w c
5 4 5 7 91 2 1cos cos cos cos
5 7 9sen x xdx x x x c
Caso #3: Integrales del tipo nsen udu o bien cosn udu , donde n es un número entero
positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. 22( )
n
nsen u sen u . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene
que: 2 2 2 2 1 cos 2cos 2 cos cos 2 1 2
2
uu u sen u u sen u sen u
. Por lo tanto
se tiene que:
2
1 cos 2
2
n
n usen u
, donde 2
n es par.
Prof. Rafael Cristancho 33
Problemas de Cálculo Integral
2. 22cos (cos )
n
n u u . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene
que: 2 2 2 2 1 cos 2cos 2 cos cos 2 2cos 1 cos
2
uu u sen u u u u
. Por lo
tanto se tiene que:
2
1 cos 2cos
2
n
n uu
, donde 2
n es par.
Ejemplo:
9.- Calcular 43sen xdx
Solución: 2
24 2 4 1 cos63 3 3
2
xsen xdx sen x dx sen xdx dx
24 1 2cos6 cos 63
4
x xsen xdx dx
4 21 1 13 cos6 cos 6
4 2 4sen xdx dx xdx xdx
4 1 1 1 1 cos123 cos6
4 2 4 2
xsen xdx dx xdx dx
4 1 1 1 13 cos6 cos12
4 2 8 8sen xdx dx xdx dx xdx
4 3 1 13 cos6 cos12
8 2 8sen xdx dx xdx xdx
4 3 1 1 1 13 6 12
8 2 6 8 12sen xdx x sen x sen x c
4 3 1 13 6 12
8 12 96sen xdx x sen x sen x c
Caso #4: Integrales del tipo cosn msen u udu , donde ambos exponentes son números
enteros positivo par. Se aplica el caso #3.
Prof. Rafael Cristancho 34
Problemas de Cálculo Integral
Ejemplo:
10.- Calcular 4 2cossen x xdx
Solución:
4 2 2 2 2cos ( ) cossen x xdx sen x xdx 2
4 2 1 cos 2 1 cos 2cos
2 2
x xsen x xdx dx
24 2 1 2cos 2 cos 2 1 cos 2
cos4 2
x x xsen x xdx dx
4 2 21cos (1 2cos 2 cos 2 )(1 cos 2 )
8sen x xdx x x x dx
4 2 2 2 31cos (1 cos 2 2cos 2 2cos 2 cos 2 cos 2 )
8sen x xdx x x x x x dx
4 2 2 31cos (1 cos 2 cos 2 cos 2 )
8sen x xdx x x x dx
4 2 2 31 1 1 1cos cos 2 cos 2 cos 2
8 8 8 8sen x xdx dx xdx xdx xdx
4 2 21 1 1 1 cos 4 1cos cos 2 cos 2 cos 2
8 8 8 2 8
xsen x xdx dx xdx dx x xdx
4 2 21 1 1 1 1cos cos 2 cos 4 (1 2 )cos 2
8 8 16 16 8sen x xdx dx xdx dx xdx sen x xdx
4 2 21 1 1 1 1cos cos 2 cos 4 cos 2 2 cos 2
16 8 16 8 8sen x xdx dx xdx xdx xdx sen x xdx
4 2 21 1 1cos cos 4 2 cos 2
16 16 8sen x xdx dx xdx sen x xdx
4 2 31 1 1cos 4 2
16 64 48sen x xdx x sen x sen x c
Prof. Rafael Cristancho 35
Problemas de Cálculo Integral
Caso #5: Integrales del tipo tann udu o bien cotn udu , donde n es un número entero
positivo. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. 2 2 2 2tan tan tan tan tan (sec 1)n n n nu u u u u u
2. 2 2 2 2cot cot cot cot cot (csc 1)n n n nu u u u u u
Ejemplo:
11.- Calcular 3tan xdx
Solución:
3 2 3 2tan tan tan tan tan (sec 1)xdx x xdx xdx x x dx 3 2 3 2tan (tan sec tan ) tan tan sec tan ( )xdx x x x dx xdx x xdx xdx I
Determinemos 2tan secx xdx . Sea 2tan secu x du xdx , con lo cual se tiene que:
2 2 2 2 2
1 1
1 1tan sec tan sec tan sec tan ( )
2 2x xdx udu x xdx u c x xdx x c II
Luego sustituyendo (II) en (I) y sabiendo que 2tan ln secxdx x c se tiene que:
3 21tan tan ln sec
2xdx x x c
12.- Calcular 4cot 4xdx
Solución:
4 2 2 4 2 2cot 4 cot 4 cot 4 cot 4 cot 4 (csc 4 1)xdx x xdx xdx x x dx 4 2 2 2cot 4 cot 4 csc 4 cot 4xdx x xdx xdx 4 2 2 2cot 4 cot 4 csc 4 (csc 4 1)xdx x xdx x dx 4 2 2 2cot 4 cot 4 csc 4 csc 4 ( )xdx x xdx xdx dx I
Prof. Rafael Cristancho 36
Problemas de Cálculo Integral
Determinemos 2 2cot 4 csc 4x xdx .
Sea 2 2cot 4 4csc 4 csc 44
duu x du xdx xdx Con lo que se tiene que:
2 2 2 2 2 21cot 4 csc 4 cot 4 csc 4
4 4
dux xdx u x xdx u du
2 2 3 2 2 3
1 1
1 1cot 4 csc 4 cot 4 csc 4 cot 4 ( )
12 12x xdx u c x xdx x c II
Ahora determinemos 2csc 4xdx . Sea 44
dww x dx , por lo que se tiene que:
2 2 2
2
1 1csc 4 csc csc 4 cot 4 ( )
4 4xdx wdw xdx x c III . Luego sustituyendo (II) y
(III) en (I) y sabiendo que 3dx x c se tiene que:
4 31 1cot 4 cot 4 cot 4
12 4xdx x x x c
Caso #6: Integrales del tipo secn udu o bien cscn udu , donde n es un número entero
positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. ( 2) ( 2)
2 2 2 2 2 22 2sec sec sec sec (sec ) sec sec (tan 1) secn n
n n n nu u u u u u u u u
2. ( 2) ( 2)
2 2 2 2 2 22 2csc csc csc csc (csc ) csc csc (cot 1) cscn n
n n n nu u u u u u u u u
Ejemplo:
13.- Calcular 6sec 4xdx
Solución:
Prof. Rafael Cristancho 37
Problemas de Cálculo Integral
6 4 2 6 2 2 2sec 4 sec 4 sec 4 sec 4 (sec 4 ) sec 4xdx x xdx xdx x xdx 6 2 2 2 6 4 2 2sec 4 (tan 4 1) sec 4 sec 4 (tan 4 2tan 4 1)sec 4xdx x xdx xdx x x xdx
6 4 2 2 2 2sec 4 (tan 4 sec 4 2tan 4 sec 4 sec 4 )xdx x x x x x dx
6 4 2 2 2 2sec 4 tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4 sec 4 ( )xdx x xdx x xdx xdx I
Determinemos 4 2 2 2tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4x xdx x xdx .
Sea 2 2tan 4 4sec 4 sec 44
duu x du xdx xdx . Luego se tiene que:
4 2 2 2 4 2tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4 24 4
du dux xdx x xdx u u
4 2 2 2 4 21 1tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4
4 2x xdx x xdx u du u du
4 2 2 2 5 3
1
1 1 1 1tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4
4 5 2 3x xdx x xdx u u c
4 2 2 2 5 3
1
1 1tan 4 sec 4 2 tan 4 sec 4 tan 4 tan 4 ( )
20 6x xdx x xdx x x c II
Por otro lado 2
2
1sec 4 tan 4 ( )
4xdx x c III . Luego, sustituyendo (II) y (III) en (I) se
tiene que: 6 5 31 1 1sec 4 tan 4 tan 4 tan 4
20 6 4xdx x x x c
Caso #7: Integrales del tipo secn udu o bien cscn udu , donde n es un número entero
positivo impar. En este caso se aplica integración por partes.
Ejemplo:
14.- Calcular 3sec xdx
Solución:
Prof. Rafael Cristancho 38
Problemas de Cálculo Integral
3 2sec sec secxdx x xdx .
Sea sec sec tanu x du x xdx . Sea 2 2sec sec tandv xdx v xdx v x .
Aplicando integración por partes se tiene que: udv uv vdu por lo tanto:
3sec sec tan tan sec tanxdx x x x x xdx 3 2sec sec tan sec tanxdx x x x xdx
3 2sec sec tan sec (sec 1)xdx x x x x dx 3 3sec sec tan sec secxdx x x xdx xdx
32 sec sec tan secxdx x x xdx 3
12 sec sec tan ln sec tanxdx x x x x c
3 1 1sec sec tan ln sec tan
2 2xdx x x x x c
Caso #8: Integrales del tipo tan secn mu udu o bien cot cscn mu udu , donde m es un
número entero positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera.
1. ( 2)
2 2 2 22tan sec tan sec sec tan sec tan (sec ) secm
n m n m n m nu u u u u u u u u u
( 2)2 22tan sec tan (tan 1) sec
mn m nu u u u u
2. ( 2)
2 2 2 22cot csc cot csc csc cot csc cot (csc ) cscm
n m n m n m nu u u u u u u u u u
( 2)2 22cot csc cot (cot 1) csc
mn m nu u u u u
Ejemplo:
15.- Calcular 3 4tan secx xdx
Solución:
3 4 3 2 2 3 4 3 2 2tan sec tan sec sec tan sec tan (tan 1)secx xdx x x xdx x xdx x x xdx 3 4 5 3 2tan sec (tan tan )secx xdx x x xdx
Prof. Rafael Cristancho 39
Problemas de Cálculo Integral
3 4 5 2 3 2tan sec tan sec tan secx xdx x xdx x xdx
3 4 6 41 1tan sec tan tan
6 4x xdx x x c
16.- Calcular 2 4cot cscx xdx
Solución:
2 4 2 2 2 2 4 2 2 2cot csc cot csc csc cot csc cot (cot 1)cscx xdx x x xdx x xdx x x xdx 2 4 4 2 2cot csc (cot cot )cscx xdx x x xdx 2 4 4 2 2 2cot csc (cot csc cot csc )x xdx x x x x dx 2 4 4 2 2 2cot csc cot csc cot cscx xdx x xdx x xdx
2 4 5 31 1cot csc cot cot
5 3x xdx x x c
Caso #9: Integrales del tipo tan secn mu udu o bien cot cscn mu udu , donde n y m
números enteros positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera.
1. 1 1tan sec tan sec sec tann m n mu u u u u u
( 1)2 12tan sec (tan ) sec sec tan
nn m mu u u u u u
( 1)2 12tan sec (sec 1) sec sec tan
nn m mu u u u u u
2. 1 1cot csc cot csc csc cotn m n mu u u u u u
( 1)2 12cot csc (cot ) csc csc cot
nn m mu u u u u u
( 1)2 12cot csc (csc 1) csc csc cot
nn m mu u u u u u
Ejemplo:
17.- Calcular 3 5cot cscx xdx
Solución:
Prof. Rafael Cristancho 40
Problemas de Cálculo Integral
3 5 2 4cot csc cot csc csc cotx xdx x x x xdx 3 5 2 4cot csc (csc 1)csc csc cotx xdx x x x xdx 3 5 6 4cot csc (csc csc cot csc csc cot )x xdx x x x x x x dx 3 5 6 4cot csc csc csc cot csc csc cotx xdx x x xdx x x xdx
3 5 7 51 1cot csc csc csc
7 5x xdx x x c
Caso #10: Integrales del tipo tan secn mu udu o bien cot cscn mu udu , donde n es un
número entero positivo par y m es un número entero positivo impar. En este caso se
procede de la siguiente manera.
1. 2 22 2tan sec (tan ) sec tan sec (sec 1) secn n
n m m n m mu u u u u u u y se aplica
integración por partes.
2. 2 22 2cot csc (cot ) csc cot csc (csc 1) cscn n
n m m n m mu u u u u u u y se aplica
integración por partes.
Ejemplo:
18.- Calcular 2tan secx xdx
Solución:
2 2 2 3tan sec (sec 1)sec tan sec (sec sec )x xdx x xdx x xdx x x dx 2 3tan sec sec secx xdx xdx xdx
Por ejercicio #14, 3
1
1 1sec sec tan ln sec tan
2 2xdx x x x x c y
2sec ln sec tanxdx x x c con lo cual se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 41
Problemas de Cálculo Integral
2 1 1tan sec sec tan ln sec tan ln sec tan
2 2x xdx x x x x x x c
2 1 1tan sec sec tan ln sec tan
2 2x xdx x x x x c
Caso #11: Integrales de la forma ( )cos( )sen nu mu du , ( ) ( )sen nu sen mu du o bien
cos( )cos( )nu mu du , donde m y n son números reales cualesquiera. En este caso se
procede de la siguiente manera:
1. ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen nu mu sen nu mu sen mu nu
( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen nu mu sen nu mu sen mu nu
2. cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )nu mu nu mu sen nu sen mu
cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )nu mu nu mu sen nu sen mu
Ejemplo:
19.- Calcular 3 cos2sen x xdx
Solución:
(3 2 ) 3 cos2 2 cos3 (5 ) 3 cos2 2 cos3 ( )sen x x sen x x sen x x sen x sen x x sen x x I
(3 2 ) 3 cos2 2 cos3 ( ) 3 cos2 2 cos3 ( )sen x x sen x x sen x x sen x sen x x sen x x II
Sumando (I) y (II) se tiene que:
1 15 2 3 cos 2 3 cos 2 5
2 2sen x senx sen x x sen x x sen x senx
1 13 cos 2 5
2 2sen x xdx sen xdx senxdx
1 13 cos 2 cos5 cos
10 2sen x xdx x x c
20.- Calcular cos4 cos7x xdx
Prof. Rafael Cristancho 42
Problemas de Cálculo Integral
Solución:
cos(7 4 ) cos7 cos4 7 4 cos11 cos7 cos4 7 4 ( )x x x x sen xsen x x x x sen xsen x I
cos(7 4 ) cos7 cos4 7 4 cos3 cos7 cos4 7 4 ( )x x x x sen xsen x x x x sen xsen x II
Sumando (I) y (II) se tiene que:
1 1cos11 cos3 2cos7 cos3 cos7 cos3 cos11 cos3
2 2x x x x x x x x
1 1cos7 cos3 cos11 cos3
2 2x xdx xdx xdx
1 1cos7 cos3 11 3
22 6x xdx sen x sen x c
Objetivo #10: Aplicar el método de sustitución trigonométrica en la resolución de
problemas de integrales indefinidas.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS
Caso #1: El integrando contiene expresiones de la forma 2 2a u . En este caso se realiza la
siguiente sustitución: cosu asen du a d
Ejemplo:
21.- Calcular 2
2
9 xdx
x
Solución:
Sea 2 9 3a a . 2 2u x u x . Por lo tanto el cambio 3u asen x sen
3cosdx d .
2 2 2 2:: 3 9 9 9 9x sen x sen x sen 2 29 9(1 )x sen
2 29 9cosx 29 3cosx . Luego se tiene que:
2 2 2
2 2 2 2
9 3cos 9 cos3cos
9
x xdx d dx d
x sen x sen
22
2
9 xdx ctg d
x
Prof. Rafael Cristancho 43
Problemas de Cálculo Integral
2 22 2
2 2
9 9(csc 1) csc
x xdx d dx d d
x x
2
2
9( )
xdx ctg c I
x
1:: 3 ( )3 3
x xx sen sen sen II
. Por otro lado
22 9
3cos 9 cos3
xx
por lo tanto
cos:: ctg
sen
29
3
3
x
ctgx
29( )
xctg III
x
. Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
2 21
2
9 9
3
x x xdx sen c
x x
Caso #2: El integrando contiene expresiones de la forma 2 2a u . En este caso se realiza la
siguiente sustitución: 2tan secu a du a d
Ejercicios:
22.- Calcular 2 16x dx
Solución:
Sea 2 16 4a a . 2 2u x u x . Por lo tanto el cambio tan 4tanu a x
24secdx d . 2:: 4 tan 16 4secx x . Luego se tiene que:
2 2 2 316 4sec 4sec 16 16 secx dx d x dx d y por ejercicio #14 se
tiene que: 2 1 116 16( sec tan ln sec tan )
2 2x dx c
Prof. Rafael Cristancho 44
Problemas de Cálculo Integral
2 16 8sec tan 8ln sec tanx dx c
:: 4 tan tan4
xx . Además
22 16
:: 16 4sec sec4
xx
Luego se tiene
que:
2 22 16 16
16 8 8ln4 4 4 4
x x x xx dx c
2 22 16 16
16 8ln2 4
x x x xx dx c
22 216
16 8ln 162
x xx dx x x k
donde 8ln 4k c
Caso #3: El integrando contiene expresiones de la forma 2 2u a . En este caso se realiza la
siguiente sustitución: sec sec tanu a du a d
Ejemplo:
23.- Calcular 3 2 1
dx
x x
Solución:
Sea 2 1 1a a . 2 2u x u x . En este caso el cambio es sec secu a x
sec tandx d . 3 3:: sec secx x , 2 1 tanx Luego se tiene que:
2
3 23 2 3 2 3 2
sec tancos
sec tan sec1 1 1
dx d dx d dxd
x x x x x x
3 2 3 2
1 cos 2 1 1cos 2
2 2 21 1
dx dxd d d
x x x x
3 2
1 12
2 41
dxsen c
x x
3 2
1 1cos ( )
2 21
dxsen c I
x x
Prof. Rafael Cristancho 45
Problemas de Cálculo Integral
1:: sec sec ( )x x II . Por otro lado 1
:: sec cos ( )x IIIx
y además
2 2tan 1 1cos
senx x
22 1
1 ( )1
sen xx sen IV
x
x
. Luego
sustituyendo (II), (III) y (IV) en (I) se tiene que:
21
3 2
1 1 1 1sec
2 21
dx xc
x xx x
2
1
23 2
1 1sec
2 21
dx xc
xx x
Objetivo #11: Aplicar el método de Fracciones Parciales en la resolución de problemas de
integrales indefinidas.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES
PARCIALES.
Caso #1: Integrales de la forma ( )
( )
p xdx
q x donde ( ) y ( )p x q x son polinomios de grado m y
n respectivamente, m n . En este caso ( )q x se puede descomponer en n productos de
factores lineales diferentes, i.e, ( )q x tiene n raíces reales distintas, con lo cual, si
1
1 1 0( ) .....n n
n nq x a x a x a x a
, entonces su factorización es
1 2( ) ( )( )......( )n nq x a x x x x x x , 1 2 3, , ,....., nx x x x son raíces distintas del polinomio
( )q x . Luego la fracción parcial de ( )
( )
p x
q x es: 31 2
1 2 3
( )......
( )
n
n
A AA Ap x
q x x x x x x x x x
Ejemplo:
24.- Calcular 2
1
16
xdx
x
Solución:
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Problemas de Cálculo Integral
Determinemos 2
1
16
xdx
x
aplicando fracciones parciales.
2
2
1 1:: 16 ( 4)( 4)
16 ( 4)( 4)
x xx x x
x x x
1
( 4)( 4) 4 4
x A B
x x x x
1 ( 4) ( 4)
( 4)( 4) ( 4)( 4)
x A x B x
x x x x
1 ( 4) ( 4)x A x B x
54 1 4 (4 4) (4 4) 5 8 0
8x A B A B A
34 1 ( 4) ( 4 4) ( 4 4) 3 0 ( 8)
8x A B A B B
Luego se tiene que:
5 31 8 8
( 4)( 4) 4 4
x
x x x x
2
1 5 3
16 8 4 8 4
x dx dxdx
x x x
2
1 5 3ln 4 ln 4
16 8 8
xdx x x c
x
2
1 5 3ln 4 ln 4
16 8 8
xdx x x c
x
25.- Calcular 2
3
2 6x xdx
x x
Solución:
Determinemos 2
3
2 6x xdx
x x
aplicando fracciones parciales.
23 2
3
2 6:: ( 1) ( 1)( 1)
1 1
x x A B Cx x x x x x x
x x x x x
2
3
2 6 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x A x x Bx x Cx x
x x x x x
2 2 6 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)x x A x x Bx x Cx x
2:: 0 0 2.0 6 (0 1)(0 1) .0(0 1) .0(0 1) 6 6x A B C A A
2 3:: 1 1 2.1 6 (1 1)(1 1) .1(1 1) .1(1 1) 3 2
2x A B C B B
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2:: 1 ( 1) 2.( 1) 6 ( 1 1)( 1 1) .( 1)( 1 1) .( 1)( 1 1) 7 2x A B C C
7
2C
Luego se tiene que:
2
3
2 6 5 3 1 7 1
2 1 2 1
x x
x x x x x
2
3
2 6 3 75
2 1 2 1
x x dx dx dxdx
x x x x x
2
3
2 6 3 75ln ln 1 ln 1
2 2
x xdx x x x c
x x
Caso #2: Integrales de la forma ( )
( )
p xdx
q x , donde ( ) y ( )p x q x son polinomios de grado m
y n respectivamente, m n . En este caso ( )q x se puede descomponer en productos de
factores lineales y uno de ellos se repite, i.e., una de sus raíces se repite. Supongamos que
kx se repite p veces , i.e., ( ) ( )( )......( )p
k k k kx x x x x x x x . Luego la fracción
parcial está dada por: 31 2
2 3
1....
( ) ( ) ( ) ( )
p
p p
k k k k k
AAA A
x x x x x x x x x x
Ejemplo:
26.- Calcular 2
3
2 4
( 1)
x xdx
x
Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
2
3 2 3
2 4
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x A B C
x x x x
2 2
3 3
2 4 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
x x A x B x C
x x
2 22 4 ( 1) ( 1)x x A x B x C
2:: 1 1 2 4 ( 1 1) ( 1 1)x A B C :: 1 3x C
2:: 0 0 2.0 4 4 3 1( )x A B C A B A B i
2:: 1 1 2.1 4 4 2 7 4 2 3 2 2 ( )x A B C A B A B ii
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De (i) y (ii) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
12 2
1
A BA B
A
:: 1 1 0A A B B . Con lo cual se tiene que:
2
3 2 3
2 4 1 0 3
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x
x x x x
2
3 3
2 43
( 1) 1 ( 1)
x x dx dxdx
x x x
2 2
3
2 4 ( 1)ln 1 3
( 1) 2
x x xdx x c
x
2
3 2
2 4 3 1ln 1
( 1) 2 ( 1)
x xdx x c
x x
Caso #3: Integrales de la forma ( )
( )
p xdx
q x , donde ( ) y ( )p x q x son polinomios de grado m
y n respectivamente, m n . En este caso ( )q x se puede descomponer en productos de
factores cuadráticos irreducibles. Supongamos que 2
i i ia x b x c son factores cuadráticos,
entonces su fracción parcial es:
1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 1 1 1
( )...
( )( )...( )
n n
n n n n n n
A x BA x Bp x
a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
.
Ejemplo:
27.- Calcular 2 2
4
( 1)( 2 3)
xdx
x x x
Solución:
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
2 2 2 2
4
( 1)( 2 3) 1 2 3
x Ax B Cx D
x x x x x x
2 2
2 2 2 2
4 ( )( 2 3) ( )( 1)
( 1)( 2 3) ( 1)( 2 3)
x Ax B x x Cx D x
x x x x x x
2 24 ( )( 2 3) ( )( 1)x Ax B x x Cx D x
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3 2 2 3 24 2 3 2 3x Ax Ax Ax Bx Bx B Cx Cx Dx D
3 24 ( ) (2 ) (3 2 ) (3 )x A C x A B D x A B C x B D
0
2 0
3 2 4
3 0
A C
A B D
A B C
B D
Determinemos la solución del sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de
GAUSS-JORDAN (Se puede determinar la solución de dicho sistema aplicando el método
de Cramer)
1 0 1 0 0
2 1 0 1 0
3 2 1 0 4
0 3 0 1 0
2 1 2
3 1 3
2
3
f f f
f f f
1 0 1 0 0
0 1 2 1 0
0 2 2 0 4
0 3 0 1 0
3 2 3
4 2 4
2
3
f f f
f f f
1 0 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 2 2 4
0 0 6 2 0
3 3
1
2f f 1 0 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 1 2
0 0 6 2 0
4 3 46f f f
1 0 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 1 2
0 0 0 4 12
4 4
1
4f f 1 0 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 1 2
0 0 0 1 3
Luego Tenemos que:
0( )
2 0( )
2( )
3( )
A C i
B C D ii
C D iii
D iv
Sustituyendo (iv) en (iii) se tiene que:
( 3) 2 3 2 1C C C .
:: 3, 1 2 0 2 3 0 1D C B C D B B . :: 0 1 1A C C A .
Luego tenemos que:
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2 2 2 2
4::
( 1)( 2 3) 1 2 3
x Ax B Cx D
x x x x x x
2 2 2 2
4 1 3
( 1)( 2 3) 1 2 3
x x x
x x x x x x
2 2 2 2
4 1 3
( 1)( 2 3) 1 2 3
x x x
x x x x x x
2 2 2 2
4 1 3( )
( 1)( 2 3) 1 2 3
x x xdx dx dx I
x x x x x x
Determinemos 2
1
1
xdx
x
2 2 2
1
1 1 1
x xdx dxdx
x x x
2 1
12
1 1ln 1 ( )
1 2
xdx x tg x c II
x
Determinemos ahora 2
3
2 3
xdx
x x
. Completando cuadrados se tiene que:
2 2 2 22 3 2 1 1 3 2 3 ( 2 1) 2x x x x x x x x 2 22 3 ( 1) 2x x x .
Luego tenemos que:
2 2
3 3
2 3 ( 1) 2
x xdx dx
x x x
2 2 2
3 1 2
2 3 ( 1) 2 ( 1) 2
x xdx dx dx
x x x x
2 1
22
3 1 2 1ln ( 1) 2
2 3 2 2 2
x xdx x tg c
x x
2 1
22
3 1 1ln 2 3 2 ( )
2 3 2 2
x xdx x x tg c III
x x
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
2 1 2 1
2 2
4 1 1 1ln 1 ln 2 3 2
( 1)( 2 3) 2 2 2
x xdx x tg x x x tg c
x x x
21 1
2 2 2
4 1 1 1ln 2
( 1)( 2 3) 2 2 3 2
x x xdx tg x tg c
x x x x x
Caso #4: Integrales de la forma ( )
( )
p xdx
q x , donde ( ) y ( )p x q x son polinomios de grado m
y n respectivamente, m n . En este caso ( )q x se puede descomponer en productos de
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factores cuadráticos irreducibles y uno de ellos se repite. Supongamos que 2
k k ka x b x c
se repite p-veces, entonces su fracción parcial es:
1 1 2 2
2 2 2 2
( )...
( ) ( ) ( )
p p
p p p
k k k k k k k k k k k k
A x BA x B A x Bp x
a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c
Ejemplo:
28.- Calcular 2
2 2( 4)
xdx
x
Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
2
2 2 2 2 2( 4) 4 ( 4)
x Ax B Cx D
x x x
2 2
2 2 2 2
( )( 4)
( 4) ( 4)
x Ax B x Cx D
x x
2 2( )( 4)x Ax B x Cx D 2 3 24 4x Ax Ax Bx B Cx D
2 3 2 (4 ) (4 )x Ax Bx A C x B D
0
1
4 0
4 0
A
B
A C
B D
0
1
0
4
A
B
C
D
. Por lo tanto se tiene
que:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 4::
( 4) 4 ( 4) ( 4) 4 ( 4)
x Ax B Cx D x
x x x x x x
2
2 2 2 2 2
14 ( )
( 4) 4 ( 4)
x dxdx dx I
x x x
. Determinemos 2
1
4dx
x .
1
12
1 1( )
4 2dx tg x c II
x
. Determinemos ahora
2 24
( 4)
dx
x . En este caso
determinaremos la integral usando sustitución trigonométrica.
2
2 2:: 4 2 2sec
( 4)
dxu atg x tg dx d
x
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2 2 2 2 4:: 2 4 4sec ( 4) 16secx tg x x . Luego 2
2 2 4
2sec4 4
( 4) 16sec
dx d
x
2
2 2 2 2 2
4 14 4 cos
( 4) 8 sec ( 4) 2
dx d dxd
x x
2 2
1 1 cos 24
( 4) 2 2
dxd
x
2 2
1 14 cos 2
( 4) 4 4
dxd d
x
22 2
1 14 2
( 4) 4 8
dxsen c
x
22 2
1 14 cos
( 4) 4 4
dxsen c
x
.
2 22 2 2 4 4
:: 4 4sec sec sec4 2
x xx
2
2cos
4x
. Por otro lado
1:: 22 2
x xx tg tg tg
.
2 2
2:: cos
cos 2 4 4
sen x xtg sen tg sen sen
x x
1
22 2 2 2
1 1 24
( 4) 4 2 4 4 4
dx x xtg c
x x x
1
22 2 2
14 ( )
( 4) 4 2 2( 4)
dx x xtg c III
x x
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene
que: 2
1 1
2 2 2
1 1
( 4) 2 2 4 2 2( 4)
x x x xdx tg tg c
x x
21
2 2 2
1
( 4) 4 2 2( 4)
x x xdx tg c
x x
29.- Calcular 4 2
3
9
xdx
x x
Solución: Factoricemos el polinomio 4 29x x . 4 2 2 29 ( 9)x x x x . Luego se tiene que:
4 2 2 2
3 3
9 ( 9)
x xdx dx
x x x x
. Aplicando fracciones parciales se tiene que:
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2 2 2 2
3
( 9) 9
x A B Cx D
x x x x x
2 2 2
2 2 2 2
3 ( 9) ( 9) ( )
( 9) ( 9)
x Ax x B x Cx D x
x x x x
2 2 23 ( 9) ( 9) ( )x Ax x B x Cx D x 3 2 3 23 9 9x Ax Ax Bx B Cx Dx
3 23 ( ) ( ) 9 9x A C x B D x Ax B
00
9 19 3
A CB D
AB
19
13
C AD B
A
B
19
13
19
13
C
D
A
B
2 2 2 2 2 2 2 2
1 11 1
3 3 9 3 9 3::( 9) 9 ( 9) 9
xx A B Cx D x
x x x x x x x x x x
2 2 2 2 2
3 1 1 1 1
( 9) 9 3 9 9 3 9
x dx dx xdx dxdx
x x x x x x
1 2 1
2 2
3 1 1 1 1ln ln 9
( 9) 9 3 18 9 3
x xdx x x x tg c
x x
2 1
2 2
3 2 1 1 1ln ln 9
( 9) 18 3 18 9 3
x xdx x x tg c
x x x
21
2 2 2
3 1 1 1ln
( 9) 18 9 3 9 3
x x xdx tg c
x x x x
Objetivo #12: Resolver problemas de integrales indefinidas de funciones racionales de
seno y coseno.
Objetivo #13: Resolver problemas de integrales indefinidas de funciones irracionales.
SUSTITUCIONES DIVERSAS
Caso #1: El integrado contiene expresiones racionales de seno y coseno. En este caso se
realiza el cambio 1
2z tg x y se obtiene que:
2
2
1
zsenx
z
,
2
2
1cos
1
zx
z
y
2
2
1
dzdx
z
Ejemplo:
30.- Calcular 1 cos
dx
senx x
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Solución: Sean 2
2 2 2
2 1 2, cos y
1 1 1
z z dzsenx x dx
z z z
siendo
1
2z tg x
, entonces
tenemos que:
2
2
2 2
2
1
2 11 cos1
1 1
dzdx z
z zsenx x
z z
2
2 2
2
2
1
1 2 11 cos
1
dzdx z
z z zsenx x
z
2
2
2
2
1
2 21 cos
1
dzdx z
z zsenx x
z
2
2
1 cos 2 2
dx dz
senx x z z
1 cos ( 1)
dx dz
senx x z z
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
1 1 ( 1)
( 1) 1 ( 1) ( 1)
A B A z Bz
z z z z z z z z
1 ( 1)A z Bz 1 ( )A B z A
01
A BA
1
B AA
1 1A B . Por lo tanto se tiene que:
1 1 1 1::
( 1) 1 ( 1) 1
A B
z z z z z z z z
( 1) 1
dz dz dz
z z z z
ln ln 1( 1)
dzz z c
z z
ln( 1) 1
dz zc
z z z
. Pero 1
2z tg x
por lo que se
tiene que:
1
2ln
1( 1)1
2
tg xdz
cz z
tg x
1
2ln
11 cos1
2
tg xdx
csenx x
tg x
31.- Calcular 3 2cos
dx
x
Solución: Sean 2
2 2
1 2cos y
1 1
z dzx dx
z z
siendo
1
2z tg x
, entonces tenemos que:
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Problemas de Cálculo Integral
2 2
2 2 2
2 2
2 2
1 1
1 3 2 23 2cos 3 2cos3 2
1 1
dz dzdx dxz z
z z zx x
z z
2
2
3 2cos 1 5
dx dz
x z
Determinar 2
2
1 5
dz
z
Sea 2 25 5 5
5
duu z u z du dz dz y 2 1 1a a . Luego tenemos que:
2 2 2
2 52
1 5
dudz
z a u
1
2 2 2 2
2 2 2 2
1 5 1 55 5
dz du dz utg c
z a u z a
1
2
2 2 55
1 5 5
dztg z c
z
12 5 15
3 2cos 5 2
dxtg tg x c
x
Caso #2: El integrando contiene expresiones irracionales. En este caso se procede de la
siguiente manera:
1. n u se hace el cambio nz u y se transforma en una función racional.
2. n mu u se hace el cambio Mz u donde M es el mínimo común múltiplo de
los índices de las expresiones irracionales y se transforma en una función racional.
Problemas Resueltos.
1.- Calcular tan xdx
Solución: Sea 2 2tan tan 2 secu x u x udu xdx
2
2
sec
udu dx
x
2
2
tan 1
udu dx
x
4
2
1
udu dx
u
por lo tanto se tiene que:
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4
2tan
1
uduxdx u
u
2
4
2tan
1
u duxdx
u
2
4 2 2
2tan
2 1 2
u duxdx
u u u
2
4 2 2
2tan
( 2 1) 2
u duxdx
u u u
2
2 2 2
2tan
( 1) 2
u duxdx
u u
2
2 2
2tan
( 1 2 )( 1 2
u duxdx
u u u u
2
2 2
2tan
( 2 1)( 2 1)
u duxdx
u u u u
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
2
2 2 2 2
2
( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1
u Au B Cu D
u u u u u u u u
2 2 2
2 2 2 2
2 ( )( 2 1) ( )( 2 1)
( 2 1)( 2 1) ( 2 1)( 2 1)
u Au B u u Cu D u u
u u u u u u u u
2 2 22 ( )( 2 1) ( )( 2 1)u du Au B u u Cu D u u
2 3 2 2 3 2 22 2 2 2 2u du Au Au Au Bu Bu B Cu Cu Cu Du Du D 2 3 22 ( ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( )u du A C u A B C D u A B C D u B D
0
2 2 2
2 2 0
0
A C
A B C D
A B C D
B D
2 2 2
2 2 0
A C
A B C D
A B C D
B D
2 2 2
2 2 0
C D C D
C D C D
2 2 2
2 2 0
C
D
2
2 2
0
C
D
2
2
0
C
D
2
2
0
A
B
con lo cual se tiene que:
2
2 2 2 2
2::
( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1
u Au B Cu D
u u u u u u u u
2
2 2 2 2
2 22 2 2
( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1
u uu
u u u u u u u u
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1
u u u
u u u u u u u u
2
2 2 2 2
2 2 2( )
2 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1
u du udu udui
u u u u u u u u
Calcular 2
2
2 2 1
udu
u u Completando cuadrados se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho 57
Problemas de Cálculo Integral
2 2 1 12 1 2 1
2 2u u u u 2 22 1
2 1 ( )2 2
u u u con lo cual se tiene que:
22 2 12 2
2 2
2 2 ( )2 1
udu udu
uu u
sea 2
2w u dw du 2 2
2 2:: w u w u
por lo tanto 2
2
22 12
( )2 2
2 22 1
w dwudu
wu u
2 22 1 12 2
2 2 2
2 2 42 1
udu wdw dw
w wu u
2 11
122 1 1
2 2
2 2 1 1 1ln tan
2 2 2 22 1
udu ww c
u u
2 11122
2 2 2ln tan 2
2 4 22 1
uduw w c
u u
2 12 2112 2 22
2 2 2ln ( ) tan 2( )
2 4 22 1
uduu u c
u u
2 1 1122
2 2 2ln 2 1 tan 2 ( )
2 4 22 1
uduu u u c ii
u u
Calcular 2
2
2 2 1
udu
u u Completando cuadrados se tiene que:
2 2 1 12 1 2 1
2 2u u u u 2 22 1
2 1 ( )2 2
u u u con lo cual se tiene que:
22 2 12 2
2 2
2 2 ( )2 1
udu udu
uu u
sea 2
2w u dw du 2 2
2 2:: w u w u
por lo tanto 2
2
22 12
( )2 2
2 22 1
w dwudu
wu u
2 22 1 12 2
2 2 2
2 2 42 1
udu wdw dw
w wu u
2 11
222 1 1
2 2
2 2 1 1 1ln tan
2 2 2 22 1
udu ww c
u u
Prof. Rafael Cristancho 58
Problemas de Cálculo Integral
2 11222
2 2 2ln tan 2
2 4 22 1
uduw w c
u u
2 12 2122 2 22
2 2 2ln ( ) tan 2( )
2 4 22 1
uduu u c
u u
2 1 1222
2 2 2ln 2 1 tan 2 ( )
2 4 22 1
uduu u u c iii
u u
Sustituyen (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
22 1 1
22 2
2 1 12
2 2 2ln 2 1 tan 2
4 2( 2 1)( 2 1)
2 2 ln 2 1 tan 2
4 2
u duu u u
u u u u
u u u c
21 1
22 2
1 12
2 2 tan 2 tan 1 2ln tan 2 tan
4 2( 2 1)( 2 1) tan 2 tan 1
2 tan 2 tan
2
u du x xx
u u u u x x
x c
PROBLEMAS RESUELTOS
Objetivo #8: Aplicar el método de Integración por Partes en la resolución de Integrales
Indefinidas.
1.- Calcular 2sec 3x xdx
Solución: Aplicando el método de Integración por partes se tiene que: udv uv vdu
Sea 2 2 1
; sec 3 sec 3 tan33
u x du dx dv xdx v xdx v x . Por lo que tenemos
que:2 1 1
sec 3 tan3 tan33 3
x xdx x x xdx 2 1 1
sec 3 tan3 tan33 3
x xdx x x xdx
Procedamos a calcular tan3xdx
1:: tan ln sec tan3 tan3 (3 )
3udx u c xdx x dx 1
1tan3 ln sec3
3xdx x c
Así tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho 59
Problemas de Cálculo Integral
2
1
1 1 1sec 3 tan3 ( ln sec3 )
3 3 3x xdx x x x c
2 1 1sec 3 tan3 ln sec3
3 9x xdx x x x c
2.- Calcular 1tanx xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: udv uv vdu
Sean 1 2
2
1tan ;
1 2
dxu x du dv xdx v xdx v x
x
Luego tenemos que:
1 2 1 2
2
1 1tan tan
2 2 1
dxx xdx x x x
x
21 2 1
2
1 1tan tan
2 2 1
x dxx xdx x x
x
21 2 1
2
1 1 1 1tan tan
2 2 1
x dxx xdx x x
x
2
1 2 1
2 2
1 1 1 1tan tan
2 2 1 2 1
x dxx xdx x x dx
x x
1 2 1
2
1 1 1tan tan
2 2 2 1
dxx xdx x x dx
x
1 2 1 11 1 1tan tan tan
2 2 2x xdx x x x x c
1 2 11 1tan ( 1) tan
2 2x xdx x x x c
3.- Calcular
1cot zdz
z
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: udv uv vdu
Sean 1cot ; 2
2 (1 )
dz dz dzu z du dv v v z
z z z z
. Luego tenemos que:
11cot
2 cot 22 (1 )
z dzdz z z z
z z z
1
1cot2 cot
(1 )
z dzdz z z
zz
11cot
2 cot ln 1z
dz z z z cz
4.- Calcular
3
21
x dx
x
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: udv uv vdu
Prof. Rafael Cristancho 60
Problemas de Cálculo Integral
Sean 2 2
2 22 ; 1
1 1
xdx xdxu x du xdx dv v v x
x x
Luego tenemos que:
32 2 2
21 1 2
1
x dxx x x xdx
x
32 2 2
21 1 2
1
x dxx x x xdx
x
32
32 2 2
2
21 (1 )
31
x dxx x x c
x
5.- Calcular cos xdx
Solución: Sea 2 22
dxw x dw xdw dx wdw dx
x con lo cual se tiene que:
cos 2 cosxdx w wdw Aplicando integración por partes se tiene que: udv uv vdu
Sean 2 2 ; cos cosu w du dw dv wdw v wdw v senw Luego tenemos que:
cos 2 cos 2 (2 )xdx w wdw wsenw senw dw cos 2 cos 2 2xdx w wdw wsenw senwdw cos 2 cos 2 2cosxdx w wdw wsenw w c
cos 2 2cosxdx xsen x x c
Objetivo #9: Aplicar el método de potencias de funciones trigonométricas en la resolución de
problemas de integrales indefinidas.
1.- Calcular 53sen xdx
Solución:
5 43 3 3sen xdx sen xsen xdx 5 2 23 ( 3 ) 3sen xdx sen x sen xdx
2 2 2 2 5 2 2:: 1 cos 3 1 cos 3 3 (1 cos 3 ) 3sen u u sen x x sen xdx x sen xdx 5 2 43 (1 2cos 3 cos 3 ) 3sen xdx x x sen xdx 5 2 43 3 2 cos 3 3 cos 3 3 ( )sen xdx sen xdx xsen xdx xsen xdx i
Prof. Rafael Cristancho 61
Problemas de Cálculo Integral
Calcular 3sen xdx Sea 3 33
duu x du dx dx con lo cual 3
3
dusen xdx senu
13
3sen xdx senudu 1
13 cos
3sen xdx u c 1
13 cos3 ( )
3sen xdx x c ii
Calcular 2 42 cos 3 3 cos 3 3xsen xdx xsen xdx
Sea cos3 3 3 33
dww x dw sen xdx sen xdx con lo que se tiene que:
2 4 2 42 cos 3 3 cos 3 3 23 3
dw dwxsen xdx xsen xdx w w
2 4 2 42 12 cos 3 3 cos 3 3
3 3xsen xdx xsen xdx w dw w dw
2 4 3 5
2
2 12 cos 3 3 cos 3 3
9 15xsen xdx xsen xdx w w c
2 4 3 5
2
2 12 cos 3 3 cos 3 3 cos 3 cos 3 ( )
9 15xsen xdx xsen xdx x x c iii
Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
5 3 5
1 2
1 2 13 cos3 cos 3 cos 3
3 9 15sen xdx x c x x c
5 3 51 2 13 cos3 cos 3 cos 3
3 9 15sen xdx x x x c
2.- Calcular 4cos 2xdx
Solución: 4 2 2cos 2 (cos 2 )xdx x dx Por identidad tenemos que
2 1 cos 2cos
2
uu
2
2 41 cos 4 1 cos 4cos 2 cos 2
2 2
x xx xdx dx
24 (1 cos 4 )
cos 24
xxdx dx
24 1 2cos 4 cos 4
cos 24
x xxdx dx
4 21 1 1cos 2 cos 4 cos 4
4 2 4xdx dx xdx xdx
4 1 1 1 1 cos8cos 2 cos 4
4 2 4 2
xxdx dx xdx dx
Prof. Rafael Cristancho 62
Problemas de Cálculo Integral
4 1 1 1 1cos 2 cos 4 cos8
4 2 8 8xdx dx xdx dx xdx
4 3 1 1cos 2 cos 4 cos8
8 2 8xdx dx xdx xdx
1
:: cos( ) ( )nu du sen nu cn
4 3 1 1
cos 2 4 88 8 64
xdx x sen x sen x c
3.- Calcular 3 2cos 3 3xsen xdx
Solución:3 2 2 2cos 3 3 cos3 cos 3 3xsen xdx x xsen xdx
3 2 2 2cos 3 3 cos3 (1 3 ) 3xsen xdx x sen x sen xdx
3 2 2 4cos 3 3 3 cos3 3 cos3xsen xdx sen x xdx sen x xdx
Sea 3 3cos3 cos33
duu sen x du xdx xdx con lo cual se tiene que:
3 2 2 4cos 3 33 3
du duxsen xdx u u
3 2 2 41 1cos 3 3
3 3xsen xdx u du u du
3 53 2 1 1
cos 3 33 3 3 5
u uxsen xdx c
3 2 3 51 1cos 3 3 3 3
9 15xsen xdx sen x sen x c
4.- Calcular 2 2cos xsen xdx
Solución: 2 2 2cos (cos )xsen xdx xsenx dx Además por identidades se tiene que:
12 2 cos 2 2 cos 2 cos
2sen u senu u sen x senx x sen x senx x
2
212 cos
2sen x senx x
2212 cos
4sen x senx x
2 2 21cos 2
4xsen xdx sen xdx
2 2 21cos 2
4xsen xdx sen xdx
2 2 1 1 cos 4cos
4 2
xxsen xdx dx
2 2 1 1cos cos 4
8 8xsen xdx dx xdx
2 2 1 1cos 4
8 32xsen xdx x sen x c
5.- Calcular 5tanx xe e dx
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Problemas de Cálculo Integral
Solución: 5 3 2tan tan tanx x x x xe e dx e e e dx
5 3 2tan tan (sec 1)x x x x xe e dx e e e dx 5 3 2 3tan tan sec tanx x x x x x xe e dx e e e dx e e dx 5 3 2 2tan tan sec tan tanx x x x x x x xe e dx e e e dx e e e dx 5 3 2 2tan tan sec tan (sec 1)x x x x x x x xe e dx e e e dx e e e dx 5 3 2 2tan tan sec ( tan sec tan )x x x x x x x x x xe e dx e e e dx e e e e e dx 5 3 2 2tan tan sec tan sec tan ( )x x x x x x x x x xe e dx e e e dx e e e dx e e dx i
Calcular 3 2tan secx x xe e e dx Sea
2tan secx x xu e du e e dx con lo que tenemos que:
3 2 3tan secx x xe e e dx u du 4
3 2
1tan sec4
x x x ue e e dx c
3 2 4
1
1tan sec tan ( )
4
x x x xe e e dx e c ii
Calcular 2tan secx x xe e e dx
2 2
2
1tan sec tan ( )
2
x x x xe e e dx e c iii
Calcular tanx xe e dx
Sea x xu e du e dx tan tanx xe e dx udu tan tanx xe e dx udu
3tan ln secx xe e dx u c 3tan ln sec ( )x x xe e dx e c iv
Sustituyendo (ii), (iii) y (iv) en (i) se tiene que:
5 4 21 1tan tan tan ln sec
4 2
x x x x xe e dx e e e c
6.- Calcular 6csc xdx
Solución: 6 4 2csc csc cscxdx x xdx
6 2 2 2csc (csc ) cscxdx x xdx Por identidades
trigonométricas se tiene que: 2 2csc 1x ctg x con lo cual se tiene que:
6 2 2 2csc ( 1) cscxdx ctg x xdx 6 4 2 2csc ( 2 1)cscxdx ctg x ctg x xdx
6 4 2 2 2 2csc ( csc 2 csc csc )xdx ctg x x ctg x x x dx 6 4 2 2 2 2csc csc 2 csc cscxdx ctg x xdx ctg x xdx xdx Hacemos el cambio de variable
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Problemas de Cálculo Integral
2 2csc cscu ctgx du xdx du xdx y sabiendo que 2
1csc xdx ctgx c se tiene
que: 6 5 31 2
csc5 3
xdx ctg x ctg x ctgx c
7.- Calcular
4sec xdx
x
Solución:
4 2 2sec sec secx x xdx dx
x x Por identidades trigonométricas se tiene que:
2 2 2 2sec tan 1 sec tan 1u u x x 4 2 2sec sec (tan 1)x x x
dx dxx x
4 2 2 2sec tan sec secx x x xdx dx
x x
4 2 2 2sec tan sec sec( )
x x x xdx dx dx i
x x x
Calcular
2 2tan secx xdx
x Sea
2 2sec sectan 2
2
x xu x du dx du dx
x x con lo
que se tiene que:
2 22tan sec2
x xdx u du
x
2 22tan sec
2x x
dx u dux
2 2 3
1
tan sec2
3
x x udx c
x
2 2 3
1
tan sec2
3
x x udx c
x
2 23
1
tan sec 2tan ( )
3
x xdx x c ii
x
Calcular
2sec xdx
x Sea 2
2
dx dxu x du du
x x con lo cual tenemos que:
22sec
sec (2 )x
dx u dux
2
2sec2 sec
xdx udu
x
2
2
sec2 tan
xdx u c
x
2
2
sec2 tan ( )
xdx x c iii
x
Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
43sec 2
tan 2 tan3
xdx x x c
x
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Problemas de Cálculo Integral
8.- Calcular 3
2sec x dx
Solución: 3 2
2 2 2sec sec secx x xdx dx aplicando integración por partes se tiene que: Sean
2 2 2 2 2
1 1sec sec tan sec tan
2 2x x x x xu du dx du dx ;
2 2
2 2sec secx xdv dx v dx
22tan xv
Luego tenemos que: udv uv vdu con lo cual
3
2 2 2 2 2 2
1sec 2sec tan 2 tan sec tan
2x x x x x xdx dx
3 2
2 2 2 2 2sec 2sec tan sec tanx x x x xdx dx
3 2
2 2 2 2 2sec 2sec tan sec (sec 1)x x x x xdx dx
3 3
2 2 2 2 2sec 2sec tan sec secx x x x xdx dx dx
3
2 2 2 22 sec 2sec tan secx x x xdx dx
3
2 2 2 2 2sec sec tan ln sec tanx x x x xdx c
9.- Calcular 4 4tan secx xdx
Solución:4 4 4 2 2tan sec tan sec secx xdx x x xdx
4 4 4 2 2tan sec tan (tan 1)secx xdx x x xdx 4 4 6 2 4 2tan sec (tan sec tan sec )x xdx x x x x dx
4 4 6 2 4 2tan sec tan sec tan secx xdx x xdx x xdx
Sea2tan secu x du xdx 4 4 6 4tan secx xdx u du u du
4 4 7 51 1tan sec
7 5x xdx u u c
4 4 7 51 1tan sec tan tan
7 5x xdx x x c
10.- Calcular 5 6cscctg x xdx
Solución:5 6 5 4 2csc csc cscctg x xdx ctg x x xdx
5 6 5 2 2 2csc (csc ) cscctg x xdx ctg x x xdx 5 6 5 2 2 2csc ( 1) cscctg x xdx ctg x ctg x xdx 5 6 5 4 2 2csc ( 2 1)cscctg x xdx ctg x ctg x ctg x xdx 5 6 9 2 7 2 5 2csc ( csc 2 csc csc )ctg x xdx ctg x x ctg x x ctg x x dx
Prof. Rafael Cristancho 66
Problemas de Cálculo Integral
5 6 9 2 7 2 5 2csc csc 2 csc cscctg x xdx ctg x xdx ctg x xdx ctg x xdx
5 6 10 8 61 1 1csc
10 4 6ctg x xdx ctg x ctg x ctg x c
11.- Calcular 5 3tan 2 sec 2x xdx
Solución:5 3 4 2tan 2 sec 2 tan 2 sec 2 sec2 tan 2x xdx x x x xdx
5 3 2 2 2tan 2 sec 2 (tan 2 ) sec 2 sec2 tan 2x xdx x x x xdx
5 3 2 2 2tan 2 sec 2 (sec 2 1) sec 2 sec2 tan 2x xdx x x x xdx 5 3 4 2 2tan 2 sec 2 (sec 2 2sec 2 1)sec 2 sec2 tan 2x xdx x x x x xdx 5 3 6 4 2tan 2 sec 2 (sec 2 sec2 tan 2 2sec 2 sec2 tan 2 sec 2 sec2 tan 2 )x xdx x x x x x x x x x dx 5 3 6 4 2tan 2 sec 2 sec 2 sec2 tan 2 2 sec 2 sec2 tan 2 sec 2 sec2 tan 2x xdx x x xdx x x xdx x x xdx
Sea sec2 2sec2 tan 2 sec2 tan 22
duu x du x xdx x xdx por lo tanto tenemos que:
5 3 6 4 2tan 2 sec 2 22 2 2
du du dux xdx u u u
5 3 6 4 21 1tan 2 sec 2
2 2x xdx u du u du u du
5 3 7 5 31 1 1tan 2 sec 2
14 5 6x xdx u u u c
5 3 7 5 31 1 1tan 2 sec 2 2 sec 2 sec 2
14 5 6x xdx sex x x x c
12.- Calcular 2 3tan secx xdx
Solución:2 3 2 3tan sec (sec 1)secx xdx x xdx
2 3 5 3tan sec (sec sec )x xdx x x dx 2 3 5 3tan sec sec sec ( )x xdx xdx xdx i Calcular
5sec xdx aplicando integración por
partes:
5 3 2sec sec secxdx x xdx Sea
3 2 3sec 3sec sec tan 3sec tanu x du x x xdx du x xdx ;
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Problemas de Cálculo Integral
2 2sec sec tandv xdx v xdx v x 5 3 3sec sec tan 3tan sec tanxdx x x x x xdx 5 3 2 3sec sec tan 3 tan secxdx x x x xdx 5 3 2 3sec sec tan 3 (sec 1)secxdx x x x xdx 5 3 5 3sec sec tan 3 (sec sec )xdx x x x x dx 5 3 5 3sec sec tan 3 sec 3 secxdx x x xdx xdx 5 5 3 3sec 3 sec sec tan 3 secxdx xdx x x xdx
5 3 34 sec sec tan 3 secxdx x x xdx 5 3 31 3
sec sec tan sec ( )4 4
xdx x x xdx ii
Sustituyendo (ii) en (i) se tiene que:
2 3 3 3 31 3tan sec sec tan sec sec
4 4x xdx x x xdx xdx
2 3 3 31 1tan sec sec tan sec ( )
4 4x xdx x x xdx iii
Vamos a calcular 3 2sec sec secxdx x xdx Aplicando integración por partes se tiene que:
sec sec tanu x du x xdx ; 2 2sec sec tandv xdx v xdx v x así tenemos que:
3sec sec tan sec tan tanxdx x x x x xdx 3 2sec sec tan sec tanxdx x x x xdx
3 2sec sec tan sec (sec 1)xdx x x x x dx 3 3sec sec tan (sec sec )xdx x x x x dx 3 3sec sec tan sec secxdx x x xdx xdx
32 sec sec tan secxdx x x xdx
3
1
1 1sec sec tan ln sec tan ( )
2 2xdx x x x x c iv Sustituyendo (iv) en (iii) se tiene que:
2 3 3
1
1 1 1 1tan sec sec tan ( sec tan ln sec tan )
4 4 2 2x xdx x x x x x x c
2 3 31 1 1tan sec sec tan sec tan ln sec tan
4 8 8x xdx x x x x x x c
13.- Calcular 2 cos4sen x xdx
Solución: Por identidades de la suma y resta de ángulos se tiene que:
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Problemas de Cálculo Integral
( ) cos cos
( ) cos cos
sen u v senu v senv u
sen u v senu v senv u
(2 4 ) 2 cos 4 4 cos 2
(2 4 ) 2 cos 4 4 cos 2
sen x x sen x x sen x x
sen x x sen x x sen x x
6 ( 2 ) 2 2 cos2sen x sen x sen x x 6 2 2 2 cos2sen x sen x sen x x
1 16 2 2 cos 2
2 2sen x sen x sen x x
1 16 2 2 cos 2
2 2sen x sen x dx sen x xdx
1 12 cos 2 6 2
2 2sen x xdx sen xdx sen xdx
1 12 cos 2 cos6 cos 2
12 4sen x xdx x x c
14.- Calcular 4sen xsenxdx
Solución:cos( ) cos cos
cos( ) cos cos
u v u v senusenv
u v u v senusenv
cos(4 ) cos 4 cos 4
cos(4 ) cos 4 cos 4
x x x x sen xsenx
x x x x sen xsenx
cos(5 ) cos 4 cos 4
cos(3 ) cos 4 cos 4
x x x sen xsenx
x x x sen xsenx
cos(3 ) cos(5 ) 2 4x x sen xsenx
1 1cos(3 ) cos(5 ) 4
2 2x x sen xsenx
1 14 cos(3 ) cos(5 )
2 2sen xsenxdx x dx x dx
1 14 3 5
6 10sen xsenxdx sen x sen x c
Objetivo #10: Aplicar el método de sustitución trigonométrica en la resolución de problemas de
integrales indefinidas.
1.- Calcular 3
22(4 )
dx
x
Solución: Sea u asen donde 2u x a por lo tanto se tiene que: 2x sen
2cosdx d . Además
2 2 2 2 2 2:: 2 4 4 4 4 4 4(1 )x sen x sen x sen x sen
2 24 4cosx 24 2cosx
322 3(4 ) (2cos )x
322 3(4 ) 8cosx con
lo que se tiene que:
32 32
2cos
8cos(4 )
dx d
x
3
2 22
1
4 cos(4 )
dx d
x
3
2
2
2
1sec
4(4 )
dxd
x
322
1tan
4(4 )
dxc
x
Prof. Rafael Cristancho 69
Problemas de Cálculo Integral
22 4
:: 2 4 2cos cos2 2
x xx sen x sen
2
2:: tan tancos 4
2
xsen
x
2tan
4
x
x
con lo cual se tiene que:
322 2
1
4(4 ) 4
dx xc
x x
2.- Calcular 29 4x dx
Solución: Sea tanu a donde 2 3u x a por lo tanto se tiene que 2 3tanx
22 3secdx d 23sec
2dx d . Además :: 2 3tanx 2 24 9tanx
2 24 9 9tan 9x 2 24 9 9(tan 1)x 2 24 9 9secx
2 24 9 9secx 24 9 3secx con lo que se tiene que:
2 239 4 3sec sec
2x dx d
2 399 4 sec
2x dx d
2
1
9 1 19 4 sec tan ln sec tan
2 2 2x dx x x x x c
2 9 99 4 sec tan ln sec tan
4 4x dx x x x x c
22 2 4 9
:: 2 3tan 4 9 3sec tan sec3 3
x xx x
2 22 9 4 9 2 9 4 9 2
9 4 ln4 3 3 4 3 3
x x x xx dx c
2 22 4 9 9 4 9 2
9 4 ln2 4 3
x x x xx dx c
3.- Calcular
2
2 16
xdx
x
Solución: Sea secu a donde 4u x a por lo tanto se tiene que 4secx
4sec tandx d
Prof. Rafael Cristancho 70
Problemas de Cálculo Integral
2 2:: 4sec 16secx x 2 216 16sec 16x 2 216 16(sec 1)x
2 216 16tanx 2 216 16tanx 2 16 4tanx con lo cual se tiene que:
2
12
1 116 sec tan ln sec tan
2 216
xdx x x x x c
x
2
28sec tan 8ln sec tan
16
xdx x x x x c
x
2:: 4sec 16 4tanx x 2 16
sec tan4 4
x x
2 2 2
2
16 168 8ln
4 4 4 416
x x x x xdx c
x
2 22
2
1 1616 8ln
2 416
x x xdx x x c
x
22 2
2
116 8ln 16 8ln 4
216
xdx x x x x c
x
22 2
2
116 8ln 16
216
xdx x x x x k
x
4.- Calcular 3
22( 8 25)
dx
x x
Solución: Completando cuadrados se tiene que: 2 28 25 ( 8 16) 25 16x x x x
2 28 25 ( 4) 9x x x con lo cual 3 3
2 22 2( 8 25) (( 4) 9)
dx dx
x x x
Hacemos
tanu a donde 4 3u x a por lo tanto 4 3tanx 2( 4) 3secd x d
23secdx d . Además, :: 4 3tanx 2 2( 4) 9 tanx
2 2( 4) 9 9tan 9x 2 2( 4) 9 9(tan 1)x 2 2( 4) 9 9secx
2 2( 4) 9 9secx 2( 4) 9 3secx 3
22 3( 4) 9 (3sec )x
3
22 3( 4) 9 27secx Así tenemos que: 3
2
2
32
3sec
27sec( 8 25)
dx d
x x
322
1
9 sec( 8 25)
dx d
x x
3
22
1cos
9( 8 25)
dxd
x x
322
1
9( 8 25)
dxsen c
x x
Por otro lado tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho 71
Problemas de Cálculo Integral
2:: 4 3tan ( 4) 9 3secx x 24 8 16 9
tan sec3 3
x x x
24 1 8 25tan
3 cos 3
x x x
24 1 8 25
cos 3 cos 3
sen x x x
21 4 1 8 25
cos 3 cos 3
x x xsen
2 8 25 4
3 3
x x xsen
2
4
8 25
xsen
x x
con lo cual
322 2
1 4
9( 8 25) 8 25
dx xc
x x x x
5.- Calcular 3 21x x dx
Solución: Sea u asen donde 1u x a con lo cual x sen cosdx d , además
:: x sen 2 2 2 21 1x sen x sen 2 21 cosx 2 21 cosx
21 cosx
3 3:: x sen x sen por lo tanto se tiene que: 3 2 31 cos cosx x dx sen d
3 2 3 21 cosx x dx sen d 3 2 2 21 cosx x dx sen sen d
3 2 2 21 (1 cos )cosx x dx sen d 3 2 2 41 (cos cos )x x dx sen sen d 3 2 2 41 cos cosx x dx sen d sen d Sea
cosz dz sen d dz sen d
3 2 2 41 ( ) ( )x x dx z dz z dz 3 2 2 41x x dx z dz z dz
3 2 3 51 11
3 5x x dx z z c
3 2 3 51 11 cos cos
3 5x x dx c
2:: 1 cosx 3 5
2 22 3 2 5(1 ) cos (1 ) cosx x
por lo tanto3 5
2 23 2 2 21 11 (1 ) (1 )
3 5x x dx x x c
Objetivo #11: Aplicar el método de Fracciones Parciales en la resolución de problemas de
integrales indefinidas.
Prof. Rafael Cristancho 72
Problemas de Cálculo Integral
1.- Calcular 2 3 4
xdx
x x
Solución: 2 3 4 ( 4)( 1)
x xdx dx
x x x x
aplicando fracciones parciales se tiene que:
( 4)( 1) 4 1
x A B
x x x x
( 1) ( 4)
( 4)( 1) ( 4)( 1)
x A x B x
x x x x
( 1) ( 4)x A x B x
:: 4 4 (4 1) (4 4)x A B 4 (5) (0)A B 4 5A 4
5A
:: 1 1 ( 1 1) ( 1 4)x A B 1 (0) ( 5)A B 1 5B 1
5B
1
5B Luego tenemos que:
::( 4)( 1) 4 1
x A B
x x x x
4 15 5
( 4)( 1) 4 1
x
x x x x
4 1
( 4)( 1) 5 4 5 1
x dx dx
x x x x
4 1
ln 4 ln 1( 4)( 1) 5 5
xx x c
x x
41ln ( 4) ( 1)
( 4)( 1) 5
xx x c
x x
2.- Calcular2 2(11 10 )
dx
x x
Solución:2 2 2 2(11 10 ) ( 10 11)
dx dx
x x x x
2 2 2(11 10 ) (( 11)( 1))
dx dx
x x x x
2 2 2 2(11 10 ) ( 11) ( 1)
dx dx
x x x x
Aplicando Fracciones parciales se tiene que:
2 2 2 2
1
( 11) ( 1) 11 ( 11) 1 ( 1)
A B C D
x x x x x x
2 2 2 2
2 2 2 2
1 ( 11)( 1) ( 1) ( 11) ( 1) ( 11)
( 11) ( 1) ( 11) ( 1)
A x x B x C x x D x
x x x x
2 2 2 21 ( 11)( 1) ( 1) ( 11) ( 1) ( 11)A x x B x C x x D x
2 2 2 2:: 1 1 (1 11)(1 1) (1 1) (1 11) (1 1) (1 11)x A B C D
2 2 2 21 (12)(0) (0) (12) (0) (12)A B C D 1 144D 1
144D
Prof. Rafael Cristancho 73
Problemas de Cálculo Integral
2 2 2 2:: 11 1 ( 11 11)( 11 1) ( 11 1) ( 11 11) ( 11 1) ( 11 11)x A B C D
2 2 2 21 (0)( 12) ( 12) (0) ( 12) (0)A B C D 1 144B 1
144B
2 2 2 2:: 0 1 (0 11)(0 1) (0 1) (0 11) (0 1) (0 11)x A B C D 2 2 2 21 (11)( 1) ( 1) (11) ( 1) (11)A B C D 2 2 2 21 (11)( 1) ( 1) (11) ( 1) (11)A B C D 1 11 121 121A B C D
1 11 11 121 121
144 144A C
1 1211 11 121
144 144A C
611 11 121
72A C
111 ( )
72A C I
2 2 2 2:: 1 1 ( 1 11)( 1 1) ( 1 1) ( 1 11) ( 1 1) ( 1 11)x A B C D 2 2 2 21 (10)( 2) ( 2) (10) ( 2) (10)A B C D 1 40 4 200 100A B C D
1 11 40 4 200 100
144 144A C
4 1001 40 200
144 144A C
4 1001 40 200
144 144A C
131 40 200
18A C
15 ( )
144A C II De (I) y (II) se
tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
111
72
15
144
A C
A C
1 111 ( 5 )
72 144A C A C
111 5
144A C A C
16
144C
1
864C
1 1:: 11
864 72C A C
1 111
864 72A
11 1
864 72A
1 11
72 864A
1
864A
2 2 2 2
1::
( 11) ( 1) 11 ( 11) 1 ( 1)
A B C D
x x x x x x
2 2 2 2
1 11 11 864 864144 144
( 11) ( 1) 11 ( 11) 1 ( 1)x x x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
( 11) ( 1) 864 11 144 ( 11) 864 1 144 ( 1)
dx dx dx dx dx
x x x x x x
Prof. Rafael Cristancho 74
Problemas de Cálculo Integral
2 2
1 1 1 1 1 1ln 11 ln 1
( 11) ( 1) 864 144 11 864 144 1
dxx x c
x x x x
2 2
1 1 1 1ln 11 ln 1
(11 10 ) 864 864 144( 11) 144( 1)
dxx x c
x x x x
3.- Calcular 4 25 4
dx
x x
Solución: Factorizando el denominador se tiene que: 4 2 2 25 4 ( 4)( 1)x x x x con lo cual
4 2 2 25 4 ( 4)( 1)
dx dx
x x x x
. Aplicando Fracciones Parciales se tiene que:
2 2 2 2
1
( 4)( 1) 4 1
Ax B Cx D
x x x x
2 2
2 2 2 2
1 ( )( 1) ( )( 4)
( 4)( 1) ( 4)( 1)
Ax B x Cx D x
x x x x
2 21 ( )( 1) ( )( 4)Ax B x Cx D x 3 2 3 21 4 4Ax Bx Ax B Cx Dx Cx D
3 21 ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 )A C x B D x A C x B D
0
0
4 0
4 1
A C
B D
A C
B D
4 0
4 1
A C
B D
A C
B D
4 0
4 1
C C
D D
3 0
3 1
C
D
0
1
3
C
D
:: 0
1::
3
A C C
B D D
0
1::
3
A
B
con lo cual
tenemos que: 2 2 2 2
1 10 01 3 3
( 4)( 1) 4 1
x x
x x x x
2 2 2 2
1 11 3 3
( 4)( 1) 4 1x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1 1
( 4)( 1) 3 4 3 1x x x x
2 2 2 2
1 1
( 4)( 1) 3 4 3 1
dx dx dx
x x x x
1
2 2
1:: tan
dx uc
u a a a
1 1
2 2
1 1 1tan tan ( )
( 4)( 1) 3 2 2 3
dx xx c
x x
1 1
2 2
1 1tan tan ( )
( 4)( 1) 6 2 3
dx xx c
x x
4.- Calcular
2
2
3 1
( 1)( 2 2)
x xdx
x x x
Solución: Aplicando Fracciones Parciales se tiene que:
2
2 2
3 1
( 1)( 2 2) 1 2 2
x x A Bx C
x x x x x x
Prof. Rafael Cristancho 75
Problemas de Cálculo Integral
2 2
2 2
3 1 ( 2 2) ( )( 1)
( 1)( 2 2) ( 1)( 2 2)
x x A x x Bx C x
x x x x x x
2 23 1 ( 2 2) ( )( 1)x x A x x Bx C x 2 2 23 1 2 2x x Ax Ax A Bx Cx Bx C
2 23 1 ( ) (2 ) (2 )x x A B x A C B x A C
3
2 1
2 1
A B
A C B
A C
3
2 1
1 2
B A
A C B
C A
2 1 2 3 1A A A 4 1A 1 4A 5A
:: 5 3 1 2A B A C A 3 5 1 2(5)B C 2 9B C con lo cual
tenemos que:
2
2 2
3 1 5 2 9
( 1)( 2 2) 1 2 2
x x x
x x x x x x
2
2 2
3 1 5 2 9( )
( 1)( 2 2) 1 2 2
x x xdx dx i
x x x x x x
Calcular 5
1dx
x . Sea hace el cambio 1u x y se obtiene 1
55ln 1 ( )
1dx x c ii
x
Calcular 2
2 9
2 2
xdx
x x
Completando cuadrados se tiene que: 2 22 2 ( 2 1) 1x x x x
2 22 2 ( 1) 1x x x con lo cual tenemos que: 2 2
2 9 2 9
2 2 ( 1) 1
x xdx dx
x x x
2 2
2 9 (2 2) 7
2 2 ( 1) 1
x xdx dx
x x x
2 2
2 9 2( 1) 7
2 2 ( 1) 1
x xdx dx
x x x
. Ahora
realicemos una sustitución trigonométrica tanu a donde 1 1u x a por lo tanto
1 tanx 2( 1) secd x d 2secdx d Además, :: 1 tanx
2 2( 1) tanx 2 2( 1) 1 tan 1x 2 2( 1) 1 secx Luego
2
2 2
2 9 2 tan 7sec
2 2 sec
xdx d
x x
2
2 9(2 tan 7)
2 2
xdx d
x x
2
2 92 tan 7
2 2
xdx d d
x x
2
2 92ln sec 7
2 2
xdx c
x x
Pero
2 2( 1) 1 secx 2 2( 1) 1 secx 2 2 2 secx x Además,
:: 1 tanx 1tan ( 1)x con lo cual
Prof. Rafael Cristancho 76
Problemas de Cálculo Integral
122 1
2
2 92ln 2 2 7 tan ( 1)
2 2
xdx x x x c
x x
2 1
22
2 9ln 2 2 7 tan ( 1) ( )
2 2
xdx x x x c iii
x x
Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se
tiene que:
2
2 1
1 22
3 15ln 1 ln 2 2 7 tan ( 1)
( 1)( 2 2)
x xx c x x x c
x x x
22 1
2
3 15ln 1 ln 2 2 7 tan ( 1)
( 1)( 2 2)
x xdx x x x x c
x x x
Objetivo #12: Resolver problemas de integrales indefinidas de funciones racionales de seno y
coseno.
1.- Calcular 1 cos
dx
senx x
Solución: Sea 2tan xz 2
2
1sec
2xdz dx
2
2
2
sec x
dzdx
2
2
2
tan 1x
dzdx
2
2
1
dzdx
z
Por otro lado
2 2 cossen x senx x 2 22 cosx xsenx sen
2
2 2
2
2 cos
cos
x x
x
sensenx
2 2
2
2
2 coscos
x
x
x
sensenx
2 2
2
12 tan
secx
xsenx
2 2
2
12 tan
tan 1x
xsenx
2
2
1
zsenx
z
Además, 2 2
2cos2 2cos 1 cos 2cos 1xx x x
2
2
2cos 1
sec xx
2
2
2cos 1
tan 1xx
2
2cos 1
1x
z
2
2
1cos
1
zx
z
Así tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho 77
Problemas de Cálculo Integral
2
2
2 2
2
1
2 11 cos1
1 1
dzdx z
z zsenx x
z z
2
2 2
2
2
1
1 2 11 cos
1
dzdx z
z z zsenx x
z
2
1 cos 2 2
dx dz
senx x z
1 cos 1
dx dz
senx x z
ln 11 cos
dxz c
senx x
2ln tan 1
1 cosx
dxc
senx x
2.- Calcular 2 cos
dx
x
Solución: Sea 2tan xz 2
2
1sec
2xdz dx
2
2
2
sec x
dzdx
2
2
2
tan 1x
dzdx
2
2
1
dzdx
z
Por otro lado
2 2
2cos2 2cos 1 cos 2cos 1xx x x
2
2
2cos 1
sec xx
2
2
2cos 1
tan 1xx
2
2cos 1
1x
z
2
2
1cos
1
zx
z
con lo cual
2
2
2
2
1
12 cos2
1
dzdx z
zx
z
2
2 2
2
2
1
2 2 12 cos
1
dzdx z
z zx
z
2
2
2
2
1
32 cos
1
dzdx z
zx
z
2
2
2 cos 3
dx dz
x z
1
2 2
1:: tan
du uc
u a a a
12tan
2 cos 3 3
dx zc
x
21tan2
tan2 cos 3 3
xdxc
x
213 tan2 3
tan2 cos 3 3
xdxc
x
3.- Calcular 2 2tan
dx
sen x x
Prof. Rafael Cristancho 78
Problemas de Cálculo Integral
Solución: En este caso se hace el cambio tant x 2secdt xdx 2sec
dtdx
x
2tan 1
dtdx
x
2t 1
dtdx
. Además,
2 2cos 1sen x x 2
2
11
secsen x
x
2
2
11
tan 1sen x
x
2
2
11
t 1sen x
2
2
11
t 1sen x
22
2
t 1 1
t 1sen x
2
2
2
t
t 1sen x
Luego tenemos que:
2
22 22
2
t 1
ttant
t 1
dt
dx
sen x x
2
2 4 22 2
2
t 1
t ttan
t 1
dt
dx
tsen x x
2
4 22 2
2
t 1
t 2tan
t 1
dt
dx
tsen x x
2 2 4 2tan t 2
dx dt
sen x x t
2 2 2 2tan (t 2)
dx dt
sen x x t
Aplicando Fracciones Parciales se tiene que:
2 2 2 2
1
(t 2) 2
A B Ct D
t t t t
2 2 2
2 2 2 2
1 ( 2) ( 2) ( )
(t 2) ( 2)
At t B t Ct D t
t t t
2 2 21 ( 2) ( 2) ( )At t B t Ct D t 3 2 3 21 2 2At At Bt B Ct Dt
3 21 ( ) ( ) 2 2A C t B D t At B
0
0
2 0
2 1
A C
B D
A
B
0
1
2
C A
D B
A
B
0
1
2
0
1
2
C
D
A
B
Luego
2 2 2 2
1::
(t 2) 2
A B Ct D
t t t t
2 2 2 2
1 1(0)1 0 2 2
(t 2) 2
t
t t t t
2 2 2 2
1 1 1 1 1
(t 2) 2 2 2t t t
2 2 2 2
1 1
(t 2) 2 2 2
dt dt dt
t t t
2
2 2 2
1 1
(t 2) 2 2 2
dt dtt dt
t t
1
2 2
1 1 1 1tan
(t 2) 2 2 2 2
dt tc
t t
1
2 2
1 2 2tan
(t 2) 2 4 2
dt tc
t t
Pero tant x con lo cual
Prof. Rafael Cristancho 79
Problemas de Cálculo Integral
1
2 2
1 2 2 tantan
(t 2) 2 tan 4 2
dt xc
t x
1
2 2
1 2 2 tancot tan
tan 2 4 2
dx xx c
sen x x
Objetivo #13: Resolver problemas de integrales indefinidas de funciones irracionales
1.- Calcular 3
dx
x x
Solución: Sea 3 23 3z x z x z dz dx por lo tanto tenemos que:
2
33
3dx z dz
z zx x
23
3
1
dx zdz
zx x
23
31
dx zdz
zx x
Sea
2 1 22
dww z dw zdz zdz
así
3
23
dwdx
wx x
3
3
2
dx dw
wx x
3
3ln
2
dxw c
x x
2
3
3ln 1
2
dxz c
x x
23
3
3ln ( ) 1
2
dxx c
x x
3 2
3
3ln 1
2
dxx c
x x
2.- Calcular 32
dx
x x
Solución: Sea 6 56x z dx z dz Además,
6 3 23:: x z x z x z por lo tanto
5
2 33
6
22
dx z dz
z zx x
5
23
6
(2 )2
dx z dz
z zx x
3
3
6
22
dx z dz
zx x
Aplicando el
algoritmo de la división Euclidiana se tiene que:
3 2
3 2 2
2
2
6 0 0 0 2
6 12 0 0 6 12 24
12 0 0
12 24 0
24 0
24 48
48
z z z z
z z z z z
z z
z z
z
z
Prof. Rafael Cristancho 80
Problemas de Cálculo Integral
4 26 ( 2)(6 12 24) 48z z z z 4
26 486 12 24
2 2
zz z
z z
4
266 12 24 48
2 1
z dzdz z dz zdz dz
z z
4
3 26 6 1224 48ln 2
1 3 2
zz z z z c
z
166:: x z x z
1 1 1 16 6 6 63 2
32( ) 6( ) 24( ) 48ln 2
2
dxx x x x c
x x
1 1 113 6 62
32 6 24 48ln 2
2
dxx x x x c
x x
3.- Calcular 2 2 9
dx
x x
Solución: Sea 22 9 2 9 2 2w x w x wdw dx wdw dx
2 2 2:: 2 9 9 2 9 2w x w x w x con lo cual 22 2 9 9
dx wdw
x x w w
22 2 9 9
dx dw
x x w
Hacemos una sustitución trigonométrica y se tiene que:
secu a donde 3u w a con lo cual 3secw 2 29secw
2 29 9sec 9w 2 29 9(sec 1)w 2 29 9tanw
2 29 9tanw
2 9 3tanw Además, :: 3sec 3sec tanw dw d Luego
3sec tan
3tan2 2 9
dx d
x x
sec
2 2 9
dxd
x x
ln sec tan2 2 9
dxc
x x
2:: 3sec 9 3tanw w 2 9
sec tan3 3
w w
2 9ln
3 32 2 9
dx w wc
x x
2 9ln
32 2 9
dx w wc
x x
2ln 9 ln 32 2 9
dxw w c
x x
2ln 9 ( ln 3 )2 2 9
dxw w k k c
x x
Prof. Rafael Cristancho 81
Problemas de Cálculo Integral
:: 2 9w x 2ln 2 9 ( 2 9) 9 2 2 9
dxx x k
x x
ln 2 9 2 9 9 2 2 9
dxx x k
x x
ln 2 9 2 2 2 9
dxx x k
x x
4.- Calcular tan xdx
Solución: Sea 2 2 2tan tan 2 sec 2 (tan 1)u x u x udu xdx udu dx
2 2 4
4
22 (( ) 1) 2 ( 1)
1
uduudu u dx udu u dx dx
u
. Luego tenemos que:
2 2
4 42 2
2
2 2 2tan tan tan
11 1( )
udu u du u duxdx u xdx xdx
u uu u
u
2
2
2tan
1
duxdx
uu
2
2
2tan
1
duxdx
uu
2 2
2
2
1 12
tan1
duu uxdx
uu
2 2
2
2
1 11 1
tan1
u uxdx du
uu
2 2
2 2
2 2
1 11 1
tan1 1
u uxdx du du
u uu u
2 2
2 2
2 2
1 11 1
tan1 1
2 2 2 2
u uxdx du du
u uu u
Pero:
2 2
2 2
2 2
1 1 1 12 2u u u u
u u u u
con lo que tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho 82
Problemas de Cálculo Integral
2 2
2 2
1 11 1
tan ( )1 1
2 2
u uxdx du du i
u uu u
Calcular 2
2
11
12
u du
uu
. Sea 2
1 11w u dw du
u u
2
2 2
11
212
dwu duw
uu
2
2
11
( 2)( 2)12
dwu duw w
uu
Módulo III: Integral Definida.
Objetivo #14: Calcular la sumatoria de funciones especiales.
Sumatoria.
Definición #10: ( ) ( ) ( 1) ( 2) ....... ( 1) ( )
n
i m
F i F m F m F m F n F n
donde m y n
son enteros positivos y m n
Teorema #34:
1
n
i
c cn
donde c es cualquier constante
Demostración: Por definición se tiene que:
1
......
n
i
c c c c c
(n términos)
1
n
i
c cn
Teorema #35:
1 1
( ) ( )
n n
i i
cF i c F i
donde c es una constante.
Prof. Rafael Cristancho 83
Problemas de Cálculo Integral
Demostración: Por definición se tiene que:
1
( ) (1) (2) .... ( )
n
i
cF i cF cF cF n
1
( ) ( (1) (2) .... ( ))
n
i
cF i c F F F n
propiedad distributiva de los números reales
1 1
( ) (i)
n n
i i
cF i c F
definición de sumatoria.
Teorema #36: 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
i i i
F i G i F i G i
Teorema #37: ( ) ( )
n m a
i m i m a
F i F i a
y ( ) ( )
n n a
i m i m a
F i F i a
Demostración: Demostremos que ( ) ( )
n m a
i m i m a
F i F i a
. En efecto:
Por definición tenemos que: ( ) ( ) ( 1) ( 2) ..... ( 1) ( )
n
i m
F i F m F m F m F n F n
Sumando y restando en cada sumando el número a se tiene que:
( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ..... ( 1 ) ( )
n
i m
F i F m a a F m a a F m a a F n a a F n a a
( ) ( )
n n a
i m i m a
F i F i a
definición de sumatoria
Teorema #38: Suma telescópica
1. 1
( ) ( 1) ( ) (0)
n
i
F i F i F n F
2. ( 1) ( ) ( 1) ( )
n
i m
F i F i F n F m
Prof. Rafael Cristancho 84
Problemas de Cálculo Integral
3. ( ) ( 1) ( ) ( 1)
n
i m
F i F i F n F m
Demostración: Demostremos que: 1
( ) ( 1) ( ) (0)
n
i
F i F i F n F
1 1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
n n n
i i i
F i F i F i F i i
pero 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
i i
F i F i F n ii
y
1
1 1 1
( 1) ( 1 1)
n n
i i
F i F i
1
1 1 1
( 1) ( ) ( )
n n
i i
F i F i iii
Luego sustituyendo (ii) y (iii) en
(i) se tiene que: 1 1
1 1 1 1
( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
n n n
i i i
F i F i F i F n F i
1 1
1 1 0
( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
n n n
i i i
F i F i F i F n F i
1 1
1 1 1
( ) ( 1) ( ) ( ) (0) ( )
n n n
i i i
F i F i F i F n F F i
1
( ) ( 1) ( ) (0)
n
i
F i F i F n F
Demostremos ahora que: ( 1) ( ) ( 1) ( )
n
i m
F i F i F n F m
En efecto:
( 1) ( ) ( 1) ( )
n n n
i m i m i m
F i F i F i F i
1 1
1
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n
i m i m i m
F i F i F i F n F i
1 1
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1 1) ( 1)
n n n
i m i m i m
F i F i F i F n F m F i
1 1
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)
n n n
i m i m i m
F i F i F i F n F m F i
( 1) ( ) ( 1) ( )
n
i m
F i F i F n F m
Prof. Rafael Cristancho 85
Problemas de Cálculo Integral
Teorema #39: Si n es un entero positivo, entonces:
1. 1
( 1)
2
n
i
n ni
2. 2
1
( 1)(2 1)
6
n
i
n n ni
3. 2 2
3
1
( 1)
4
n
i
n ni
4. 2
4
1
( 1)(2 1)(3 3 1)
30
n
i
n n n n ni
Demostración: Demostremos que:
1
( 1)
2
n
i
n ni
.
Sea
1
n
i
S i
1 2 3 .... ( 1)S n n ( 1) ..... 3 2 1S n n
2 ( 1) ( 1) ..... ( 1) ( 1) ( 1)S n n n n n n veces sumando
( 1)2 ( 1)
2
n nS n n S
con lo cual
1
( 1)
2
n
i
n ni
pues
1
n
i
S i
Demostremos ahora que: 2 2
3
1
( 1)
4
n
i
n ni
4 2 2 4 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2 1)( 2 1)i i i i i i i i 4 4 3 2( 1) 4 6 4 1i i i i i
4 4 3 2( 1) 4 6 4 1i i i i i 4 4 3 2
1 1
( 1) 4 6 4 1
n n
i i
i i i i i
4 4 3 2
1 1 1 1 1
( 1) 4 6 4 1
n n n n n
i i i i i
i i i i i
4 4 3 2
1 1 1 1
0 4 6 4 1
n n n n
i i i i
n i i i
aplicando suma telescópica y propiedades de
sumatoria
Prof. Rafael Cristancho 86
Problemas de Cálculo Integral
4 3
1
( 1)(2 1) ( 1)4 6 4
6 2
n
i
n n n n nn i n
4 3
1
( 1)(2 1) ( 1)6 4 4
6 2
n
i
n n n n nn n i
4 3
1
( 1)(2 1) 2 ( 1) 4
n
i
n n n n n n n i
4 3
1
( ) ( ( 1)(2 1) 2 ( 1)) 4
n
i
n n n n n n n i
3 3
1
( 1) ( 1)(2 1 2) 4
n
i
n n n n n i
2 3
1
( 1)( 1) ( 1)(2 1) 4
n
i
n n n n n n n i
2 3
1
( 1)( ) 4
n
i
n n n n i
3
1
( 1)( 1) 4
n
i
n n n n i
2 2 3
1
( 1) 4
n
i
n n i
2 2
3
1
( 1)
4
n
i
n ni
Problemas Resueltos.
1.- Calcular 6
1
(2 1)
i
i
Solución: 6 6 6 6
1 1 1 1
6(6 1)(2 1) 2 1 (2 1) 2 6
2i i i i
i i i
6
1
(2 1) 42 6
i
i
6
1
(2 1) 36
i
i
2.- Calcular 2
2
0
1
1j
j
Solución: 2
2 2 2 2
0
1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 2j
j
2
2
0
1 1 11
1 2 5j
j
2
2
0
1 10 5 2
1 2j
j
2
2
0
1 17
1 2j
j
3.- Calcular 3
1
( 1)( 2)
i
i i
Solución: 3 3 1
1 1 1
( 1)( 2) ( 1 1)( 1 2)
i i
i i i i
3 4
1 0
( 1)( 2) ( 3)
i i
i i i i
Prof. Rafael Cristancho 87
Problemas de Cálculo Integral
3
1
( 1)( 2) 0 2 2 4
i
i i
3
1
( 1)( 2) 0
i
i i
4.- Calcular 10
3
1
( 1)
i
i
Solución: 10 10 1
3 3
1 1 1
( 1) ( 1 1)
i i
i i
10 9
3 3
1 0
( 1)
i i
i i
10 9
3 3
1 1
( 1) 0
i i
i i
10 2 23
1
9 (9 1)( 1)
4i
i
10
3
1
81(100)( 1)
4i
i
10
3
1
( 1) 2025
i
i
5.- Calcular 1
1
(2 2 )
n
i i
i
Solución: Aplicando la suma telescópica se tiene que: 1
( ) ( 1) ( ) (0)
n
i
F i F i F n F
Sea 1( ) 2 ( 1) 2i iF i F i por lo tanto 1
1 1
(2 2 ) ( ) ( 1)
n n
i i
i i
F i F i
1
1
(2 2 ) ( ) (0)
n
i i
i
F n F
0:: ( ) 2 ( ) 2 (0) 2 1i nF i F n F
1
1
(2 2 ) 2 1
n
i i n
i
6.- Calcular 1
1
(10 10 )
n
i i
i
Solución: Aplicando la suma telescópica se tiene que: 1
( ) ( 1) ( ) (0)
n
i
F i F i F n F
Prof. Rafael Cristancho 88
Problemas de Cálculo Integral
Sea 1 1 1( ) 10 ( 1) 10 ( 1) 10i i iF i F i F i 1 0 1( ) 10 (0) 10 10nF n F por lo
tanto tenemos que: 1
1
(10 10 ) ( ) (0)
n
i i
i
F n F
1 1
1
(10 10 ) 10 10
n
i i n
i
1
1
(10 10 ) 10 10 10
n
i i n
i
1
1
(10 10 ) 10(10 1)
n
i i n
i
7.- Calcular 100
1
1 1
1k
k k
Solución: 100 100
1 1
1 1 1 1
1 1k k
k k k k
100 100
1 1
1 1( ) ( 1)
1k k
F k F kk k
donde 1
( )1
F kk
100
1
1 1( (100) (0))
1k
F Fk k
100
1
1 1 1( 1)
1 101k
k k
100
1
1 1 100( )
1 101k
k k
100
1
1 1 100
1 101k
k k
8.- Calcular 2 2
1 1
1
3 3 3 3
n
k k k k
k
Solución: 2 2
1 1 2 2 2( 1) 2( 1)
1 1
3 3 3 3 3 2 3 3 2 3
n n
k k k k k k k k
k k
2 2
1 1 2 2 2( 1) 2( 1)
1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
n n
k k k k k k k k
k k
2 2
1 1 2 2( 1) 2 2( 1)
1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
n n
k k k k k k k k
k k
2 2
1 1 2 2( 1) 2 2( 1)
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 ( )
n n n
k k k k k k k k
k k k
i
Calcular 2 2( 1)
1
3 3
n
k k
k
Aplicando suma telescópica tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho 89
Problemas de Cálculo Integral
2 2( 1)
1 1
3 3 ( ) ( 1)
n n
k k
k k
F k F k
siendo 2( ) 3 kF k
2 2( 1)
1
3 3 ( ) (0)
n
k k
k
F n F
2 2( 1) 2 0
1
3 3 3 3
n
k k n
k
2 2( 1)
1
3 3 9 1 ( )
n
k k n
k
ii
Calculemos ahora 2 2( 1)
1
3 3
n
k k
k
Aplicando suma telescópica tenemos que:
2 2( 1)
1 1
3 3 ( ) ( 1)
n n
k k
k k
F k F k
donde 2( ) 3 kF k
2 2( 1)
1
3 3 ( ) (0)
n
k k
k
F n F
2 2( 1) 2 0
1
3 3 3 3
n
k k n
k
2 2( 1)
1
3 3 9 1 ( )
n
k k n
k
iii
Luego, sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
2 2
1 1
1
3 3 3 3 9 1 9 1
n
k k k k n n
k
2 2
1 1
1
3 3 3 3 9 9 2
n
k k k k n n
k
9.- Calcular
12
1
2 1 2 1
k
k k
Solución: Aplicando suma telescópica tenemos que:
12 12
1 1
2 1 2 1 ( ) ( 1)
k k
k k F k F k
donde ( ) 2 1F k k
12
1
2 1 2 1 (12) (0)
k
k k F F
:: ( ) 2 1 (12) 5 (0) 1F k k F F
12
1
2 1 2 1 5 1
k
k k
12
1
2 1 2 1 4
k
k k
Prof. Rafael Cristancho 90
Problemas de Cálculo Integral
10.- Exprese la siguiente suma 1 4 9 400
....2 3 4 21 como una notación sigma.
Solución: 2 2 2 21 4 9 400 1 2 3 20
.... ....2 3 4 21 1 1 1 2 1 3 1 20
20 2
1
1 4 9 400....
2 3 4 21 1i
i
i
Objetivo #15: Calcular el área de una región R utilizando rectángulos inscrito o
circunscritos.
Cálculo de Área Usando Rectángulos Inscritos o Circunscrito.
Consideremos la siguiente figura
Sea R la región acotada por las gráficas ( )y f x , no negativa, las rectas ; ; 0x a x b y
como lo muestra la figura anterior. Sobre el segmento ,a b realizamos la siguiente partición
regular: 0 1 2 3 1, , 2 , 3 ,...., ( 1) , ,...i ix a x a x x a x x a x x a i x x a i x
Prof. Rafael Cristancho 91
Problemas de Cálculo Integral
1...., ( 1) ,n nx a n x x a n x b con b a
xn
. Por lo tanto se pueden formar n
rectángulos de base igual. Estos rectángulos pueden ser inscritos o circunscritos según sea el caso
como lo muestran las siguientes figuras:
Rectángulos Inscritos Rectángulos Circunscrito
Procedamos a calcular el área de la región R usando rectángulos inscritos. Vamos a calcular
el área del i-esimo rectángulo. i i iA b h . La base ib está dada por b a
xn
. Como se está
tomando rectángulos inscritos tomemos 1ix para poder calcular la altura ih . La altura está dada por
la distancia desde el punto ix hasta donde toca la gráfica de la función, i.e., la imagen de ix a
través de f por lo tanto 1( )i ih f x con lo cual 1( )i iA f x x ( ( 1) )iA f a i x x . Así
se tiene que: 1 2 1 1.... ....i i n nS A A A A A A 1
1
( )n
i
i
S f x x
. Si n ,
entonces 0x por lo que tenemos que: 1
1
lim ( )n
in
i
A f x x
Ahora procedamos a calcular el área de la región R usando rectángulos circunscritos. Vamos
a calcular el área del i-esimo rectángulo. i i iA b h . La base ib está dada por b a
xn
. Como
se está tomando rectángulos inscritos tomemos ix para poder calcular la altura ih . La altura está
dada por la distancia desde el punto ix hasta donde toca la gráfica de la función, i.e., la imagen de
ix a través de f por lo tanto ( )i ih f x con lo cual ( )i iA f x x ( )iA f a i x x . Así se
tiene que: 1 2 1 1.... ....i i n nS A A A A A A 1
( )n
i
i
S f x x
. Si n ,
entonces 0x por lo que tenemos que: 1
lim ( )n
in
i
A f x x
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Problemas de Cálculo Integral
De lo anterior tenemos la siguiente definición:
Definición #11: Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado ,a b , con
( ) 0f x para toda ,x a b , y que R es la región limitada por la curva ( )y f x , el eje x
y las rectas ,x a x b . Divida el intervalo ,a b en n subintervalos de longitud
b ax
n
y denotemos el i-ésimo subintervalo como 1,i ix x
. Si ( )if c es el valor de la
función mínimo absoluto en el i-esimo subintervalo, la medida del área de la región R está
dada por: 1 1
lim ( ) 0 0 : ( )
n n
i ix
i i
A f c x N n N f c x A
Problemas resueltos:
1.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de ecuación 2( )f x x y las rectas
0; 0; 0y x x usando rectángulos inscritos. Verifique el resultado usando rectángulos
circunscritos.
Solución: Consideremos la siguiente figura:
Usemos rectángulos inscritos para calcular el Área de la región R. En este caso se tomará el
rectángulo como lo muestra la siguiente figura:
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Problemas de Cálculo Integral
Luego, la partición está dada por: 0, 2,b a
a b xn
con lo cual
2x
n
0 0a x , 1 1 10x a x x x x x , 2 2 22 0 2 2x a x x x x x
3 3 33 0 3 3x a x x x x x ,…,
1 1 1( 1) 0 ( 1) ( 1)i i ix a i x x i x x i x
0i i ix a i x x i x x i x ,…,
1 1 1( 1) 0 ( 1) ( 1)n n nx a n x x n x x n x ,
0n n n nx a n x x n x x n x x b . En este caso tomemos 1 ( 1)ix i x con
lo cual 1( ) (( 1) )if x f i x 2
1( ) (( 1) )if x i x ya que 2( )f x x
2 2
1( ) ( 1) ( )if x i x 2 2
1( ) ( 2 1)( )if x i i x 2 3
1( ) ( 2 1)( )if x x i i x
2:: x
n
3
2
1
2( ) ( 2 1)if x x i i
n
2
1 3
8( ) ( 2 1)if x x i i
n
2
1 3 3 3
8 8 8( ) 2if x x i i
n n n 2
1 3 3 3
8 16 8( )if x x i i
n n n
2
1 3 3 31 1
8 16 8( )
n n
i
i i
f x x i in n n
2
1 3 3 31 1 1 1
8 16 8( )
n n n n
i
i i i i
f x x i in n n
2
1 3 3 31 1 1 1
8 16 8( ) 1
n n n n
i
i i i i
f x x i in n n
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Problemas de Cálculo Integral
2
1 1 1
( 1)(2 1) ( 1):: ;
6 2
n n n
i i i
n n n n ni i c cn
1 3 3 31
8 ( 1)(2 1) 16 ( 1) 8( )
6 2
n
i
i
n n n n nf x x n
n n n
1 2 2 21
8 ( 1)(2 1) 16 ( 1) 8( )
6 2
n
i
i
n n nf x x
n n n
2
1 2 2 21
4 2 2 1 8 8( ) ( 1)
3
n
i
i
n n nf x x n
n n n
2
1 2 2 21
4 2 3 1 8 8 8( )
3
n
i
i
n nf x x
n n n n
2
1 2 2 21
4 2 4 4 8( ) 3
3 3 3
n
i
i
nf x x n
n n n n
1 21
8 4 4 1 8( )
3 3
n
i
i
f x xn n n
1 21
8 4 1 4( )
3 3
n
i
i
f x xn n
1 21
8 4 1 4lim ( ) lim
3 3
n
in n
i
f x xn n
1 2
1
8 4 1 4lim ( ) lim lim lim
3 3
n
in n n n
i
f x xn n
1 21
8 4 1 1lim ( ) lim lim 4 lim
3 3
n
in n n n
i
f x xn n
1
1
8 4lim ( ) (0) 4(0)
3 3
n
in
i
f x x
1
1
8lim ( )
3
n
in
i
f x x
28
3A u
Objetivo #16: Aproximar una integral definida utilizando suma de Riemann.
INTEGRAL DEFINIDA.
Definición #12: Sea f una función cuyo dominio contiene al intervalo ,a b . Se dice que f
es integrable en ,a b si existe un número L que satisface la condición de que para todo
0 , existe un 0 tal que la partición para la cual y para cualquier
1,i i ic x x , 1,2,3,...,i n , entonces
1
( )
n
i i
i
f c x L
, ie, 0
1
lim ( )
n
i i
i
f c x L
Definición #13: Si f es una función definida en el intervalo ,a b , entonces la integral
definida de f , denotada por ( )b
a
f x dx , está dada por: 0
1
( ) lim ( )
nb
i ia
i
f x dx f c x
si el
límite existe.
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Teorema #40: Si una función es continua en un intervalo cerrado ,a b , entonces es
integrable en ,a b .
Problemas Resueltos.
1.- Calcular el valor de las siguientes integrales: a.- 3
0xdx b.-
32
39 x dx
c.- 3
0(2 )x dx
Solución:
a.- Consideremos la siguiente figura
La figura generada por 3
0xdx es un triángulo rectángulo cuya base es 3 unidades y la altura es 3
unidades, por lo tanto 2
bhA con lo cual tenemos que:
3 3
2
xA
29
2A u
:: ( )f x x es positiva en el intervalo 0, ( )f x x es positiva en el intervalo 0,3 .
Luego 3
0
9
2xdx
b.- Consideremos la siguiente figura:
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Sea 2( ) 9f x x una función positiva en el intervalo cerrado 3,3 . Además, la región R es
la mitad de un círculo de centro el origen y radio 3. Por lo tanto 2 21 9
2 2c cA r A u , con lo
cual 3
2
3
99
2x dx
c.- Consideremos la siguiente figura:
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Sea ( ) 2f x x una función positiva en el intervalo 2,2 . Además, la región R es un
triángulo de base 4 y altura 2. Así tenemos que: 24 2
42 2
bxh xA A A u con lo cual
2
2(2 ) 4x dx
Objetivo #17: Aplicar las propiedades de integral definida en la resolución de problemas.
Definición #14: Si a b y ( )a
b
f x dx existe, entonces ( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx
Definición #15: Si ( )f a existe, entonces ( ) 0a
a
f x dx
Teorema #41: Si es una partición de intervalo ,a b , entonces 0
1
lim
n
i
i
x b a
Teorema #41: Si f está definida en el intervalo cerrado ,a b , y si 0
1
lim ( )
n
i i
i
f c x
existe
donde es cualquier partición del intervalo ,a b , entonces si k es una constante
cualesquiera 0 0
1 1
lim ( ) lim ( )
n n
i i i i
i i
kf c x k f c x
Teorema #42: Si k es una constante cualesquiera, entonces ( )b
a
kdx k b a
Teorema #43: Si la función f es integrable en el intervalo cerrado ,a b y si k es una
constante cualesquiera, entonces ( ) ( )b b
a a
kf x dx k f x dx
Teorema #44: Si f y g son dos funciones integrables en ,a b , entonces f g es
integrable y ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx . En general
1 2 1 2( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) .... ( )b b b b
n na a a a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx
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Teorema #45: Si la función f es integrable en los intervalos , , , , ,a b a c b c , entonces
( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx donde a c b
Teorema #46: Si la función f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los
números a, b y c, entonces ( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx sin importar el orden de a, b
y c.
Teorema #47: Si las funciones f y g son integrables en ,a b talque ( ) ( )f x g x para toda
,x a b , entonces ( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx
Teorema #48: Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado ,a b . Si m y
M son, los valores de la función mínimo absoluto y máximo absoluto de f en ,a b
respectivamente de modo que ( )m f x M para toda a x b entonces
( ) ( ) ( )b
a
m b a f x dx M b a
Teorema #49: Si la función f es continua en el intervalo cerrado ,a b , entonces existe un
número c en ,a b talque ( ) ( )( )b
a
f x dx f c b a
Objetivo #18: Resolver problemas aplicando el primer teorema fundamental del cálculo.
Teorema #50: Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Sea la función f continua en
el intervalo ,a b y sea x cualquier número de ,a b . Si F es la función definida por
( ) ( )x
a
F x f t dt , entonces '( ) ( )F x f x , ie, '( ) ( )x
a
dF x f t dt
dx
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Problemas de Cálculo Integral
Observación: Si g es derivable en x y ( )
( ) ( )g x
a
F x f t dt , entonces
'( ) ( )u
a
d duF x f t dt
du dx donde ( )u g x y en consecuencia se aplica la regla de la cadena
para derivadas.
Objetivo #19: Resolver problemas aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo.
Teorema #51: Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: Sea f una función continua
en el intervalo cerrado ,a b y sea F antiderivada de f, ie, '( ) ( )F x f x para toda ,x a b
, entonces ( ) ( ) ( )b
a
f x dx F b F a
Observación: La regla de la cadena para antiderivadas está dada por:
( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x c o bien hacemos ( ) '( )u g x du g x dx con lo cual se
tiene que: ( ) ( )f u du F u c . Ahora aplicando la regla de la cadena para integrales
definidas se tiene que: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))b
a
f g x g x dx F g b F g a , i.e, sea ( )u g x
'( )du g x dx . Si 1 1 ( )x a u g a 2 2 ( )x b u g b por lo tanto
( )
( )
( ( )) '( ) ( ) ( ( )) ( ( ))b g b
a g a
f g x g x dx f u du F g b F g a
Problemas Propuestos.
1.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de la función ( ) 2 10f x x , el
eje X y las rectas 2, 5x x
2.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de la función 2( ) 2f x x x , el eje
X .
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3.- Calcular las siguientes integrales definidas:
3.1.- 3
2
x xdx
3.2.- 4
0
9 1x x xdx 3.3.- 2
3 3
0
cossen x xdx
3.4.- 2
2
1
x x dx
3.5.- 3
0
cos x dx
3.6.- 4
23 3 2
dx
x x 3.7.- 1
20 1
x
x
edx
e
3.8.- 3
6
4cot xdx
3.9.-
2
1 ln
e dx
x x 3.10.- 3
21 4
dx
x x
4.- Calcular la derivada de las siguientes funciones:
4.1.- 2
0
( )xdsen t dt
dx 4.2.- 4
2( )x
x
dsen t dt
dx 4.3.- 1
2
tan
xt
x
de dt
dx
4.4.- 2
0
( )xdsen t dt
dx
4.5.- 0
6 1
4 9x
dt dt
dx
4.6.-
2
23
1
1
x
x
ddt
dx t
5.- Demuestre que: 2
66 3senxdx
6.- Usando suma de Riemann, aproxime el valor de la integral 5
2
1dx
x , 9n y utilice los
ic son el extremo derecho del rectángulo.
7.- Demuestre que el área de un trapecio de base mayor 2h , base menor 1h y altura b está
dada por: 2 1
2
h hA b
8.- Calcule la suma de Riemann para la función 2( ) 1f x x , en el intervalo 1,3 cuya
partición 0 1 2 3
3 5: 1; ; ; 3
2 2x x x x y los
1 2 3
5 7: ; ; 3
4 4ic c c c
9.- Demuestre que 2 21( )
2
b
a
xdx b a
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Problemas de Cálculo Integral
10.- Sea una partición regular del intervalo 0,2 . Exprese 2
1
4 2lim
n
ni
i
n
como una
integral definida.
11.- Sea una partición regular del intervalo 1,4 . Exprese
1
3lim
3
n
ni
n i
como una
integral definida.
INTEGRALES IMPROPIAS.
Definición #16: Si f es continua para toda x a , entonces ( ) lim ( )t
ta a
f x dx f x dx
si
el límite existe
Definición #17: Si f es continua para toda x b , entonces ( ) lim ( )b b
t t
f x dx f x dx
si el
límite existe
Definición #18: Si f es continua para toda x y c es cualquier número real, entonces
( ) lim ( ) lim ( )c w
t wt c
f x dx f x dx f x dx
si los límites existen
Definición #19: Si f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la izquierda ,a b ,
y si lim ( )x a
f x
, entonces ( ) lim ( )b b
t aa t
f x dx f x dx
si el límite existe
Definición #20: Si f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la derecha ,a b ,
y si lim ( )x b
f x
, entonces ( ) lim ( )b t
t ba a
f x dx f x dx
si el límite existe
Definición #21: Si f es continua en toda x del intervalo ,a b excepto en c, donde
a c b y si lim ( )x c
f x
, entonces ( ) lim ( ) lim ( )b t b
t c w ca a w
f x dx f x dx f x dx
si los
límites existen.