teorema cel or 3 perpendicular e
TRANSCRIPT
![Page 1: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/1.jpg)
TEOREMATEOREMA
CELORCELOR
TREITREIPERPENDICULAREPERPENDICULARE
![Page 2: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/2.jpg)
ConstruieşteConstruieşte perpendicular perpendicularaa de la un de la un punctpunct din din afara unui plan la afara unui plan la dredreaaptptaa situată în plan situată în plan
Lungimea Lungimea acestei perpendiculare esteacestei perpendiculare este distanţa distanţa de la punct la dreaptăde la punct la dreaptă
Poate folosiPoate folosi la la înălţimi de triunghiuri înălţimi de triunghiuri şi deci laşi deci la calcul de ariicalcul de arii
![Page 3: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/3.jpg)
Ne ocupăm Ne ocupăm numai de numai de construcţieconstrucţie
Pentru calculPentru calcul, în general, se consideră , în general, se consideră triunghiul triunghiul dreptunghic rezultat din construcţiedreptunghic rezultat din construcţie
CalcululCalculul se face pe probleme în care se face pe probleme în care
se dause dau date concrete date concrete
![Page 4: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/4.jpg)
M
O Pb
d c
a
““Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”Din piciorul perpendicularei pe plan duc perpendiculară pe dreaptă şi unesc”
d b a,b a
c a
d a d a a d
a b( )a MOP( )c MOP a c
Constructiv procedez astfel:Constructiv procedez astfel:
![Page 5: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/5.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, AB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … ABAdică … DA
Şi deci … D’A' ( )D D ABCDA AB
, ( )DA AB ABC
3T 'D A AB ' ( ', )D A d D AB
![Page 6: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/6.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, CB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … CBAdică … DC
Şi deci … D’C' ( )D D ABCDC BC
, ( )DC BC ABC
3T 'D C BC ' ( ', )D C d D BC
![Page 7: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/7.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, AC ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … CAAdică … DO
Şi deci … D’O
O
O
' ( )D D ABCDO AC
, ( )DO AC ABC
3T 'D O AC ' ( ', )D O d D AC
![Page 8: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/8.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ D’, CB’ ]
Din picior… B C
C’B’
C’ Perpendicular pe … CB’Adică … C’O
Şi deci … D’O
O
O
' ' ( ')D C BCC' 'C O CB' , ' ( ')C O CB BCC
3T ' 'C O CB ' ( ', ')D O d D CB
![Page 9: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/9.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ A’, CB ]
Din picior…
A B
CD
A Perpendicular pe … CBAdică … AB
Şi deci …A’B' ( )A A ABCAB BC, ( )AB BC ABC
3T 'A B BC ' ( ', )A B d A BC
![Page 10: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/10.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ A’, DC ]
Din picior…
A B
CD
A Perpendicular pe … DCAdică … AD
Şi deci … A’D' ( )A A ABCAD DC
, ( )AD DC ABC
3T 'A D DC ' ( ', )A D d A DC
![Page 11: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/11.jpg)
A B
CD
A’
B’
C’D’
d [ A’, DB ]
Din picior…
A B
CD
A Perpendicular pe … DBAdică … AOŞi deci … A’O
O
O
' ( )A A ABCAO DB
, ( )AO DB ABC
3T 'A O DB ' ( ', )A O d A DB
![Page 12: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/12.jpg)
A B
CD
M
d [ M, CB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … CBAdică … DC
Şi deci … MC( )MD ABCDC BC
, ( )DC BC ABC
3T MC BC ( , )MC d M BC
![Page 13: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/13.jpg)
A B
CD
M
d [ M, AB ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … ABAdică … DA
Şi deci … MA( )MD ABCDA AB, ( )DA AB ABC
3T MA AB ( , )MA d M AB
![Page 14: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/14.jpg)
A B
CD
M
d [ M, AC ]
Din picior…
A B
CD
D Perpendicular pe … ACAdică … DO
Şi deci … MO
O
O
( )MD ABCDO AC
, ( )DO AC ABC
3T MO AC ( , )MO d M AC
![Page 15: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/15.jpg)
A B
CD
Md [ M, BC ]
Din picior…
A B
CD
O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
OP
P
( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
![Page 16: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/16.jpg)
A B
CD
Md [ M, AB ]
Din picior…
A B
CD
O Perpendicular pe … ABAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
( )MO ABCOP AB
, ( )OP AB ABC
3T MP AB ( , )MP d M AB
![Page 17: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/17.jpg)
A B
CD
Md [ M, AD ]
Din picior…
A B
CD
O Perpendicular pe … ADAdică … 0P
Şi deci … MP
O
OP
P
( )MO ABCOP AD
, ( )OP AD ABC
3T MP AD ( , )MP d M AD
![Page 18: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/18.jpg)
A B
C
Md [ M, BC ]
Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A B
C
( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
![Page 19: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/19.jpg)
A B
C
Md [ M, AB ]
Din picior… O Perpendicular pe … ABAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A B
C
( )MO ABCOP AB, ( )OP AB ABC
3T MP AB ( , )MP d M AB
![Page 20: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/20.jpg)
A B
C
M
d [ M, BC ]
Din picior… A Perpendicular pe … BCAdică … AP
Şi deci … MP
P
P
A B
C
( )MA ABCAP BC, ( )AP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
![Page 21: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/21.jpg)
A
B
M d [ M, BC ]
Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
C
C
B
( )MO ABCOP BC, ( )OP BC ABC
3T MP BC ( , )MP d M BC
![Page 22: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/22.jpg)
A
B
M d [ M, AC ]
Din picior… O Perpendicular pe … ACAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
C
C
A
B
( )MO ABCOP AC, ( )OP AC ABC
3T MP AC ( , )MP d M AC
![Page 23: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/23.jpg)
A
B
C
D
M
d [ M, AB ]
Din picior…
AB
CD
D Perpendicular pe … ABAdică … DP
Şi deci … MP
P
P
![Page 24: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/24.jpg)
A
B
C
D
M
d [ M, BC ]
Din picior…
AB
CD
DPerpendicular pe … BCAdică … DP
Şi deci … MP
P
P
![Page 25: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/25.jpg)
A B
CD
M d [ M, BC ]
Din picior… O Perpendicular pe … BCAdică … 0P
Şi deci … MP
O
O
P
P
A
B
C
D
![Page 26: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/26.jpg)
A B
CD
Md [ M, BD ]
Din picior… C Perpendicular pe … BDAdică … CO
Şi deci … MO
O
O
A
B
C
D
![Page 27: Teorema Cel or 3 Perpendicular e](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081717/553456184a795968588b4b48/html5/thumbnails/27.jpg)
A B
CD
Md [ M, AD ]
Din picior… C Perpendicular pe … ADAdică … CP
Şi deci … MP
O
O
A
B
C
D
PP