teorema de gree

8/18/2019 Teorema de Gree

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Teorema de Gree

Definição 1 - Uma região fechada e limitada D ⊂ R 2 é simples se ∂D = C éuma curva fechada simples

!igura 1" # região $ es%uerda não é simples& a da direita é simples

!igura '1" # região $ es%uerda não é simples& a da direita é simples (otamos%ue) em geral) uma região simples pode ser *astante +complicada+ # seguir daremos a ideia intuitiva ,imprecisa de como orientar a curva ∂D

Definição 2 # curva C = ∂D est. orientada positivamente se é percorrida nosentido anti-hor.rio ,D fica $ es%uerda) ao se percorrer ∂D = C

!igura 2" Regi/es orientadas0eorema '1 ,reen e3am # ⊂ R 2 um con3unto a*erto) D uma regiãosimples) C = ∂D orientada positivamente) tal %ue D ⊂ # e ! " # 45 R 2 umcampo de vetores de classe C 1 ) com funç/es coordenadas ,!1) !2 e C =∂D tem uma parametri6ação de classe C 1 por partes e est. orientadapositivamente em relação a D) então"

(7s provaremos no ap8ndice o teorema de reen) numa versão particular)para regi/es chamadas elementares


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Corol.rio '2 (as hip7teses do teorema de reen) se ! é um campoconservativo) então"

# prova segue diretamente do teorema de reen

Corol.rio '9 (as hip7teses do teorema de reen) a .rea da região D é dadapor"

:u

:u

;rova" = ,4>) e aplicar o teorema de reenpara o*ter"

?emplo 1

Utili6ando o teorema de reen) calcule as seguintes integrais de linha"

1 ) onde @ é a curva formada pelas retas = 1) > = A e apar.*ola > = 2) no sentido anti-hor.rio

2 ) onde @ é a curva formada pelas retas = 2) > = A e 2 > 4 =

A) no sentido anti-hor.rio

1 e & logo" & então "

onde D é a região de tipo B" D = ,) > ∈ R 2 A E E 1) A E > E 2F


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!igura 9" ?emplo G1H

Iogo)

2 - e & logo" & então)

:nde D é a região de tipo B" D = ,) > ∈ R 2 A E E 2) A E > E 2F

Iogo)

2 - Calcule ) onde @ é o cJrculo de raio 1centrado na origem) no primeiro e segundo %uadrantes


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!igura K" ?emplo G2H

: teorema de reen não pode ser aplicado) pois a curva não é fronteira deuma região fechada ;ara poder aplicar o teorema de reen) consideramos aseguinte curva L = @∪@1) diferenç.vel por partes) orientada no sentido anti-hor.rio) como no seguinte desenho"

!igura ''

# região D é tal %ue #plicamos o teorema de reen considerando acurva L

e3am & logo) ) então"

:nde ) é a .rea do semicJrculo de raio 1 ;or outro lado "

Iogo)

7 falta calcular ) onde @1 é o segmento de

reta entre os pontos ,41) A e ,1) A Uma parametri6ação de @1 é"


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?ntão

Teorema de Stokes

e3a uma superfJcie regular orient.vel) parametri6ada por M " D ⊂ R 2 45 R9 tal %ue ∂D é uma curva fechada simples) diferenç.vel por partesuponhamos %ue é orientada com o campo de vetores normais unit.rios Nn

: *ordo da superfJcie é denotado e definido por ∂ = M,∂D e @ é umaparametri6ação da curva ∂D) então o *ordo de é parametri6ado por ∂ =M,@,B

e3a Nt o campo de vetores tangentes unit.rios $ curva ∂ e N* o campo devetores unit.rios em ∂ perpendiculares a ∂ e tangentes a ) ,apontando nosentido de & ve3a o pr7imo desenho

Definição 1 # curva ∂ é orientada positivamente se

!igura 1


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!igura 2

?emplo 1

e3a o para*ol7ide parametri6ado por Donde D é o disco unitario& ) logo"

: campo normal é 0O0> = ,42 ) 42 >) 1) o %ual indu6 a orientação de &parametri6amos ∂D por"

Iogo) ∂ é percorrido no sentido positivo em relação $ normal de

!igura 9" ?emplo G1H

e3a a porção de cilindro definida por = ,) >) 6 P2 Q >P2 = 1) A 6 1F #fronteira ∂ é formada por duas curvas dis3untas"

se escolhermos como vetor normal %ual%uer vetor proporcional a ,cos,S)sen,S) A) T1 é percorrida no sentido positivo e T2 em sentido negativo


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!igura " ?emplo G2H

0eorema 1 ,toVes e3a uma superfJcie regular orientada de classe C 1 tal%ue ∂ = C é uma curva fechada simples de classe C 1 por partes orientadapositivamente e ! um campo de vetores de classe C 1) definido num a*ertoU tal %ue ⊂ U) então

!igura K" 0eorema de toVes

e est. contida no plano >) nas condiç/es do teorema de toVes) então)


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!igura '

e consideremos o campo ! = ,!1) !2) A) então ) e "

um resultado an.logo ao teorema de reen

:*servação 1 - : teorema de toVes esta*elece %ue o fluo do rotacional deum campo de vetores ! de classe C1 através de uma superfJcie orient.vel éigual ao tra*alho ,circulação reali6ado por ! ao longo da curva ∂) cu3aorientação é compatJvel com a de

?emplo 2

Calcule e ocampo ! é definido !,) >) 6 = , 6) 6e ) 4>

!igura W" ?emplo G1H

pode ser parametri6ada como gr.fico da função f,>) 6 = 41 Q >2 Q 62& logo) é orient.vel& D = ,>) 6 ∈ R2 >2 Q 62 1F e ∂ = ,) >) 6 ∈ R2 >2 Q 62 = 1) =AF pode ser parametri6ada pot @,t = ,A) cos,t) sen,t) t ∈ GA) 2 XH ;elo

teorema de toVes"


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?emplo 2 - Calcule ) onde C é o *ordo do planoQ>Q6=1 no primeiro octante) no sentido anti-hor.rio

!igura Y" ?emplo G2H

#plicamos o teorema de toVes para !,) >) 6 = ,> 2 ) 62 ) 2 ) então orotacional de ! é rot,!,) >) 6 = 42 ,6) ) > ;arametri6ando por

Com normal ,1) 1) 1) temos" rot,!,M,) > Z ,1) 1) 1 = ,A) 42 ) 2 , 4 1 Z ,1)1) 1 = 42& se3a C = ∂& então"

:nde #,D é a .rea da região D = ,) > A E E 1) A E > E 1 4 F

!igura [" Região D


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Iogo)

?emplo 9 \ Calcule) ) onde C é a curva

o*tida pela interseção da superfJcie com o plano Q > = 2)especificando a orientação escolhida

!igura 1A" ?emplo G9H

(ão é possJvel aplicar o teorema de toVes pois o *ordo da superfJcie ) a

curva C não é fechada e3a @ = C ∪ C1) onde C1 é o segmento de reta %ue ligaos pontos ,A) 2) A e ,2) A) A"

!igura 11" # curva @

# curva @ é fechada e diferenç.vel por partes) pois C e C1 são diferenci.veis;odemos aplicar o teorema de toVes a superfJcie tal %ue ∂ = @


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por outro lado) ) logo"

# curva C1 pode ser parametri6ada por ],t = ,2t) 2 ,1 4 t) A) t ∈ GA) 1H) logo"

Calculando diretamente) ) então"

?emplo

Determine o fluo do rotacional do campo de vetores !,) >) 6 = ,>9 ) 9 ) e6 através da superfJcie = ,) >) 6 ∈ R9 2 Q >2 Q 62 = 2) 2 Q >2 E 1) 6 ^ AF) comnormal eterior

!igura 12" ?emplo GH

Devemos calcular ) aplicando o teorema de toVes"

:nde ∂ é a interseção da esfera 2 Q>2 Q62 = 2 com o cilindro 2 Q>2 = 1& logo)C é um cJrculo de raio 1 centrado em ,A) A) 1 %ue parametri6amos por @,t =,cos,t) sen,t) 1) t ∈ GA) 2 XH e"


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;lanJmetro

?m 1YK) o matem.tico _aco* #msler inventou um instrumento mec`nico %ueera capa6 de medir .rea de regi/es planas limitadas Como a dificuldade parase medir .reas de figuras planas e irregulares era muito difJcil a invenção de

um aparelho pe%ueno e tão f.cil de ser manuseado foi etremamenteinovadora) encarado com muito entusiasmo na ocasião e até ho3e é visto comoum instrumento inovador amos estudar um pouco so*re seu manuseio efuncionamento

becanicamente) o ;lanJmetro tem uma construção muito simples) possui dois*raços de tamanhos iguais ou podem ser de tamanho diferente) am*os feitosde metal :s *raços são capa6es de variar o `ngulo entre eles) desde A a 1YAgraus (a etremidade de um dos *raços) temos uma ponta %ue pode ser fiada na superfJcie plana (a outra ponta temos uma rodinha %ue giraperpendicularmente ao *raço na %ual é fiada (a ponta dessa rodinha temosum contador) %ue mede o nmero de voltas %ue ela d. %uando a ponta m7veldo instrumento se desloca so*re o contorno da figura plana a ser medidauando a ponta se desloca so*re todo o contorno da figura plana fechada) ocontador indicar. a .rea cercada pela curva

#o pensarmos em um instrumento tão simples) a nossa imaginação é indu6idaa princJpios simples de funcionamento) mas por tr.s deste instrumento tem umprincJpio e um grau de complei*ilidade muito grande ai %ue entra o teoremade reen

: 0eorema de reen aliado ao ;lanJmetro) os dois 3untos t8m sido de grandeimport`ncia para o c.lculo de .reas de figuras planas fechadas Uma .rea R aser medida pelo ;lanJmetro não deve conter a etremidade fia do aparelho epodemos fia-la em %ual%uer lugar desde %ue fora da .rea a ser medida)depois com a etremidade m7vel do aparelho devemos percorrer a curva C %ueé fechada) sempre no sentido anti-hor.rio ,por causa do marcador e ap7spercorrer todo o contorno da figura é calculada a .rea

;ara eplicar como o 0eorema de reen entra na hist7ria) precisamosdescrever o campo de direç/es definido pelo instrumento ;ara tal vamosdefinir as coordenadas e > ?scolhemos para a origem do eio a ponta do

;lanJmetro %ue esta fia) a partir daJ dois eios perpendiculares e > sãotraçados Como a rodinha gira perpendicularmente ao *raço no %ual est.fiada) o campo !,)> definido pelo ;lanJmetro é perpendicular ao *raço m7vele suponhamos %ue ele tenha m7dulo 1


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Figura 1 – Representação de uma região sendo medida por um planímetro.

#gora definiremos a e%uação) primeiro considere %ue os *raços do ;lanJmetrotenham tamanhos iguais a r o primeiro est. com o centro na origem,A)A) e o

*raço m7vel em ,a)* Chamemos de v o vetor %ue representa o *raço m7veldo ;lanJmetro

!igura 1 \ Representa os *raços de um planimetro um centrado na origem e o outroem ,a)*

0emos então e um vetor perpendicular é Como os

*raços tem comprimento r temos ) logo o nosso

campo é precisamos determinar a e * Considerandoa e%uação dos cJrculos %ue podem ser descritos por cada um dos *raços do;lanJmetro


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Desenvolvendo a egunda e%uação acima temos %ue" ) logo

) , su*stituindo esses valores na e%uação do circulo com centro

em ,A)A e desenvolvendo) teremos"

Usando temos "

e logo)

:u se3a)

Com a escolha de um valor positivo para a implica simplesmente %ue ocaminho a ser percorrido pelo *raço m7vel do ;lanJmetro é o sentido anti-

hor.rio,sentido padrão de funcionamento do aparelho Com o valor de adefinido) o valor de * aparece) conse%uentemente) como sendo"

:u se3a)

Calculados os valores de a e * temos %ue o campo para o ;lanJmetro é"

Derivando as duas e%uaç/es acima vamos o*ter"


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!a6endo)

e)

;erce*emos %ue se aplicarmos o 0eorema reen ao ;lanJmetro) a constante%ue multiplica a .rea s7 depende do comprimento dos *raços) ou se3a

?ntão para o funcionamento do ;lanJmetro é necess.rio sa*ermos ocomprimento dos *raços) o di`metro da rodinha colocada perpendicularmenteao *raço m7vel e o nmero de voltas dada pela rodinha) %ue é marcado pelocontador ao percorrer a curva fechada C no sentido anti-hor.rio) essasmedidas são dadas pelas vari.veis r para comprimento dos *raços) d paradi`metro e V o nmero de voltas dada pela rodinha : campo determinado pelo

;lanJmetro é !,)>=,f)g ?ntão .rea cercada por C ou

se3a" rea cercada por


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BIBLIOGRAFIA

BIC?) bauricio& IUB# C:RRj#) baria Calculo: Volume 3. Rio de_aneiro 2A1

Ra*elo) #driano


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U(B?RBD#D? 0BR#D?(0?

?(?(#RB# CBBI

?RI?:( DB# D# BI#

;?UB#

#raca3u

2A1K


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?RI?:( DB# D# BI#

;?UB#

#raca3u2A1K

;es%uisa ela*orada como

re%uisito parcial de avalição

disciplina de C.lculo BBB) ministrada

pelo ;rofessor olne> Iima ilva


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teorema de gree

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