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Circuitos Elétricos
Teorema de Norton
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Prof. Ricardo Tadeu Ferracioli
TEOREMA DE NORTON
Serve para simplificar redes em termos de correntes e não de tensões, como é
o caso do método de Thévenin.
O teorema de Norton tal como o Teorema de Thévenin permite simplificar redes
elétricas lineares, reduzindo-as apenas a um circuito mais simples: um gerador
de corrente com uma resistência em paralelo.
Procedimento para a obtenção do circuito equivalente de Norton, a partir do
resistor R3.
1) considerando-se que R3 é uma carga qualquer, elimina-se o mesmo do
circuito obtendo-se assim os pontos a e b;
2) coloca-se a fonte E em curto;
3) com a fonte em curto, calcula-se a resistência equivalente vista através
dos pontos a e b;
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Observa-se que o procedimento para calcular a resistência equivalente de
Norton é idêntico ao usado no método de Thévenin.
4) elimina-se o curto da fonte, coloca-se a carga em curto e calcula-se agora
a corrente entre os pontos a e b. Observa-se que os resistores R2 e R3
estão em curto devido ao curto colocado na carga.
Assim, os pontos a e b deslocam-se para os extremos de R2 e a corrente
equivalente de Norton é a corrente que circula no circuito devido a R1.
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Exercício 1
Calcule o equivalente Norton no circuito abaixo: (este exercício foi resolvido no
pelo método de Thévenin).
Solução:
1) Colocando a fonte em curto, podemos calcular a 𝑅𝑁:
2) Eliminando-se o curto da fonte, e colocando os pontos a e b em curto,
calcula-se a corrente equivalente de Norton:
O circuito equivalente de Norton ficará então composto por 𝐼𝑁 e 𝑅𝑁 conforme
ilustra a figura abaixo:
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Exercício 1
Neste caso, a partir deste circuito equivalente, podemos calcular rapidamente a
corrente, potência ou tensão em qualquer resistor ligado entre os pontos a e b,
a exemplo do que ocorria com o método de Thévenin.
Colocando uma carga de 3,6Ω entre a e b, teremos uma corrente na mesma,
conforme cálculo abaixo:
𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 =5 . 2,4
2,4 + 3,6=
12
6 ⇒ 𝑰𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 = 𝟐𝑨
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Exercício 2
Calcular a tensão, corrente e potência na carga utilizando o teorema de Norton:
(este exercício foi resolvido no pelo método de Thévenin).
𝐸 = 20 𝑉
𝑅1 = 2 Ω
𝑅2 = 18 Ω
𝑅3 = 9 Ω
𝑅𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 9 Ω
Solução:
1) Colocando a fonte em curto e eliminando a carga, podemos calcular a 𝑅𝑁:
𝑅2 ∥ 𝑅3 =18 . 9
18 + 9=
162
27 ⇒ 𝑅2 ∥ 𝑅3 = 6Ω
𝑅𝑁 = 6Ω ∥ 2Ω =6 . 2
6 + 2=
12
8 ⇒ 𝑹𝑵 = 𝟏, 𝟓𝛀
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Exercício 2
2) a corrente equivalente de Norton (𝐼𝑁) é a corrente resultante do resistor
R1, pois com a carga em curto, estando os resistores R2 e R3 em paralelo
com a mesma, todos estarão em curto.
3)
Portanto:
𝐼𝑁 =20
2 ⇒ 𝑰𝑵 = 𝟏𝟎𝑨
O circuito equivalente de Norton é mostrado abaixo:
𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 =10 . 1,5
1,5 + 9 ⇒ 𝑰𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 = 𝟏, 𝟒 𝑨
𝑉𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 9 . 1,42 ⇒ 𝑽𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 = 𝟏𝟐, 𝟖 𝑽
𝑃𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑉𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 . 𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ⇒ 𝑃𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 12,8 . 1,4 ⇒ 𝑽𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 = 𝟏𝟖, 𝟑 𝑾
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Teorema de Thévenin - Exercícios
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Exercício 3
Calcular a tensão na carga, usando o teorema de Thévenin:
𝐸 = 40 𝑉
𝑅1 = 9 Ω
𝑅2 = 18 Ω
𝑅3 = 4 Ω
𝑅4 = 30 Ω
𝑅𝐿 = 9 Ω
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Exercício 4
Calcular a tensão na carga, usando o teorema de Norton:
𝑉1 = 24 𝑉
𝑉2 = 12 𝑉
𝑅1 = 4 Ω
𝑅2 = 4 Ω
𝑅3 = 2 Ω
𝑅4 = 4 Ω
𝑅5 = 4 Ω
𝑅6 = 4 Ω
Solução:
1) Calculando a resistência Norton 𝑅𝑁 entre os pontos a e b. Eliminar 𝑅6 e curto-
circuitar as fontes tensões.
𝑅1 𝑒 𝑅2 𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜
(𝑅1 ∥ 𝑅2) 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑅3
(𝑅1 ∥ 𝑅2) + 𝑅3 =4
2+ 2
(𝑹𝟏 ∥ 𝑹𝟐) + 𝑹𝟑 = 𝟒 𝛀
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Exercício 4
4 𝑒 𝑅4 𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜
(4 ∥ 𝑅4) 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑅5
(4 ∥ 𝑅4) + 𝑅5 =4
2+ 4
(𝑹𝟏 ∥ 𝑹𝟐) + 𝑹𝟑 = 𝑹𝑵 = 𝟔 𝛀
Circuito equivalente para 𝑅𝑁
2) Calculando a corrente de Norton 𝐼𝑁 entre os pontos a e b.
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Exercício 4
𝐼𝑁 = 𝑉
𝑅
𝐼𝑁 = 12
6
𝑰𝑵 = 𝑰𝒂𝒃 = 𝟐𝑨
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Exercício 4
𝐼𝑅6=
12
6 + 4
𝐼𝑅6=
12
6 + 4
𝑰𝑹𝟔= 𝟏, 𝟐 𝑨
𝑉𝑅6= 𝑅6 . 𝐼𝑅6
𝑉𝑅6= 4 . 1,2
𝑽𝑹𝟔= 𝟒, 𝟖 𝑽
1) Potência em 𝑅6 :
𝑃𝑅6= 𝑉𝑅6
. 𝐼𝑅6 ⇒ 𝑃𝑅6
= 4,8 . 1,2 ⇒ 𝑷𝑹𝟔= 𝟐𝟔, 𝟔 𝑾
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Exercício 5
Calcular a tensão nos extremos do resistor R3 (pontos a e b) e a corrente que
circula pelo mesmo, usando o teorema de Norton:
𝑉1 = 84 𝑉
𝑉2 = 21 𝑉
𝑅1 = 12 Ω
𝑅2 = 3 Ω
𝑅3 = 6 Ω
Solução:
1) Cálculo da resistência de Norton 𝑅𝑁
Curto-circuitar as fontes.
𝑅1 𝑒 𝑅2 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒
𝑅4 𝑒 𝑅5 𝑒𝑚 𝑠é𝑟𝑖𝑒
(𝑅1 𝑒 𝑅2) ∥ (𝑅4 𝑒 𝑅5)
𝑅𝑁 = (𝑅1 + 𝑅2) + (𝑅4 + 𝑅5)
(𝑅1 + 𝑅2) . (𝑅4 + 𝑅5)
𝑅𝑁 = 30.110
30 + 110
𝑹𝑵 = 𝟐𝟑, 𝟓𝟕 𝛀
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Exercício 5
2) Calculando a corrente de Norton 𝐼𝑁 entre os pontos a e b.
Para 𝐼1
𝑉𝑎𝑏 + 𝑅1. 𝐼1 − 𝑉1 = 0
𝑉𝑎𝑏 = 0
0 + 12. 𝐼1 − 84 = 0
𝐼1 = 7𝐴
Para 𝐼2
𝑉𝑎𝑏 + 𝑅2. 𝐼2 − 𝑉2 = 0
𝑉𝑎𝑏 = 0
0 + 3. 𝐼2 − 21 = 0
𝐼2 = 7𝐴
Como 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2
𝐼 = 7 + 7
𝑰 = 𝟏𝟒𝑨
Outra forma para resolução da corrente de Norton
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Exercício 5
𝐼𝑁 = 33,6
2,4
𝑰𝑵 = 𝟏𝟒𝑨
Diagrama de Norton
𝐼 = 33,6
2,4 + 6
𝑰𝑹𝟑= 𝟒 𝑨
𝑉𝑅3= 𝑅3 . 𝐼𝑅3
𝑉𝑅3= 6 .4
𝑽𝑹𝟑= 𝟐𝟒 𝑽
Potência em 𝑅3 :
𝑃𝑅3= 𝑉𝑅3
. 𝐼𝑅3 ⇒ 𝑃𝑅3
= 24 . 4 ⇒ 𝑷𝑹𝟑= 𝟗𝟔 𝑾
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Exercício 6