I.E. JUAN DE MORICATACAOS Teorema de Pick

Alumna: ………………………………………………………………………………………………………….…. Segundo: …….Competencia: Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma y movimiento

Situación problemáticaMartina es una alumna que le gusta confeccionar carteras empleando como material una lámina de plástico rígido con agujeros espaciados a imitación del lienzo de bordado de punto de cruz. Ella desea saber el área que ocupará el murciélago que está diseñando. Si cada cuadradito representa 1 u2.

Solución

SugerenciaSe tiene la opción de dividir el murciélago en dos partes iguales trazando como eje de simetría al eje y. Luego dibujamos un rectángulo que cubra a toda la gráfica y señalamos las figuras de forma triangular que se han formado alrededor de la gráfica del murciélago. Finalmente, al área del rectángulo le restamos los 5 triángulos más simples que se han formado. Usamos las fórmulas correspondientes para calcular el área de

un rectángulo (A = b.h) y de un triángulo (A = b .h2

), multiplicamos por 2 dicho resultado y respondemos a la

pregunta planteada.

=

Cálculos:

1

¿Existe otro método para calcular el área del murciélago? ……………………..

En una cuadricula, existe una manera curiosa para calcular el área de una región poligonal cuyos vértices coinciden con los vértices de los cuadraditos que forman la cuadricula. Veamos algunos casos para triángulos y rectángulos

¿Cuál es el área de los siguientes polígonos de la figura?

Observa cada triángulo en las cuadriculas y anota en los puntos suspensivos, el número de puntos que tienen en su frontera (B) y el número de puntos interiores (I). Luego, realiza operaciones matemáticas con dichos valores utilizando los operadores matemáticos + , _ , : para determinar en cada caso el área A del triángulo o del rectángulo.

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 2 u2

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 6 u2

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 6 u2

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 8u2

¿Cuál es el área de los siguientes polígonos de la figura?

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 4 u2

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 6 u2

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 12 u2

B = ….I = …..A = ……………………………….A = 16u2

Establece una fórmula para determinar el área A de cada polígono que dependa de los valores de B y de I.

A =

2

Veamos otros ejemplos:

Luego de probar que la fórmula es válida para triángulos y rectángulos. Veamos si también vale para cualquier polígono. Por ejemplo, para determinar el área del murciélago de la figura en el problema anterior (Polígono irregular).

B = ………..I = ………..

A = ( ¿2 ) + ( ) – 1 = ………

A = 39u2

La relación matemática encontrada es conocida como el teorema de PICK(1899). Un teorema poco conocido que puede ser muy útil en la práctica, para calcular el área de polígonos irregulares.

El Teorema de Pick establece que: “El área de una figura geométrica cuyos vértices son los puntos de una retícula es igual a la suma del número de puntos interiores y la mitad de los puntos tocados por el contorno de la figura, menos una unidad."

Matemáticamente: A = I + B2 – 1 ; donde:

I: es el número de puntos que están dentro del polígono.B: es el número de puntos que hay en el polígono y que coinciden con los vértices de los cuadraditos.

Por lo tanto, la fórmula de Pick es una expresión algebraica que depende de dos variables I y B. Además que el polígono simple no tiene agujeros ni intersecciones de sus lados y finalmente que las coordenadas de los puntos donde se traza el polígono sean enteras (puntos enteros), es decir en una malla reticular cuadrada.El teorema tiene varias aplicaciones prácticas. Por ejemplo, para calcular el área de una plantación, con árboles plantados a distancias regulares, basta con aplicar la fórmula que acabamos de ver, mediante la sustitución de los árboles en los puntos.

Ahora determina el área que cubre toda la telaraña (Polígono ABCDEFGHA) en unidades cuadradas (u2).

3

B

C

F

G D

E

A

H

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. ¿Cuál es el área de los siguientes polígonos? (Sugerencia: recorta una cuadricula de una hoja de cuaderno de 10 x 9 cuadraditos, dibuja ambas figuras y aplica el teorema de Pick)

STOMACHION EL CUADRADO DE ARQUIMEDES

Este rompecabezas geométrico se describe en trozos de manuscritos con copias de obras de Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), correspondientes a un tratado que lleva ese nombre: Stomachion. Según Ausonius los griegos lo llamaban Ostomachion, nombre que deriva de lucha (makhion) y huesos (ostéon), haciendo referencia a que las piezas del cuadrado solían hacerse de marfil. Tras la traducción del texto árabe, los romanos lo llamaron stomachion y se creyó que el significado se debía al dolor de estómago que producía al intentar resolverlo.

2. Dibuja en una cuadricula un cuadrado de 12 unidades de lado y disecciónalo en 14 piezas como muestra la figura.

3. Construye una tabla de doble entrada y contesta las siguientes preguntasa) ¿Qué tipo de piezas se obtuvieron?¿Cuántos de cada uno?b) ¿Cuál es el área de cada pieza?. Aplica el teorema de PICK.c) ¿Qué fracción de la superficie total del cuadrado corresponde a cada pieza?

4. Observa el siguiente video y construye un rompecabezas similar con hojas de color. Luego pega 5 combinaciones posibles del cuadrado de Arquímedes.https://www.youtube.com/watch?v=Z6ojU4I6aMw&nohtml5=False

4

000000000

000000000

solución

Los datos de las piezas están reunidos en la siguiente tabla:

Número de piezas

Tipo de las piezas

Área de cada pieza

Fracción del cuadrado

2 Triángulos 3 u. 1/484 Triángulos 6 u. 1/241 Triángulo 9 u. 1/164 Triángulos 12 u. 1/121 Cuadrilátero 12 u. 1/121 Pentágono 21 u. 7/481 Cuadrilátero 24 u. 1/6

14 Total del cuadrado 144 u.

 . Y eso a pesar de existir 536 soluciones según comentamos antes. Algunas de esas soluciones podemos verlas a continuación.

on las piezas del Tangram Chino es posible construir una serie de polígonos convexos y con las piezas del Stomachion ocurre igual. Se pueden construir triángulos, cuadrados, rombos, rectángulos, romboides, trapecios, trapezoides, pentágonos, hexágonos… A continuación tenemos algunas posibilidades.

5

11) Igual que en la mayoría de tangram, con las piezas del Stomachion, se pueden construir figuras no propiamente geométricas simulando a personas, animales y objetos. La cantidad depende del ingenio del que maneje el puzzle.

Pájaro en vuelo Corona

Elefante

6