TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO

Alla stregua della trasformata di Fourier, anche il teorema del campionamento può essere visto come una possibile rappresentazione di un segnale. D’altro canto, contrariamente alla trasformata di Fourier, che introduce la variabile coniugata frequenza, il campionamento non modifica il dominio di definizione della rappresentazione, che resta una funzione del tempo. La classe dei segnali per i quali è applicabile il teorema del campionamento è quella dei segnali limitati in banda, con banda compresa (in pulsazione) tra −2πB e +2πB. Appartengono a questa classe i segnali che non vengano alterati nel transito attraverso un filtro passa-basso ideale con banda 2πB1. Dalla nota relazione: Su(ω) = H(ω)Si(ω) (1) che lega la trasformata di Fourier Su(ω) del segnale in uscita dal filtro con funzione di trasferimento H(ω) alla trasformata di Fourier Si(ω) del segnale in ingresso, si evince che condizione necessaria e sufficiente affinché il segnale risulti limitato in banda tra −2πB e +2πB è che la sua trasformata di Fourier sia nulla (o comunque possa essere considerata praticamente tale) al di fuori di tale banda. Per la classe dei segnali appena definita, il teorema del campionamento stabilisce che la conoscenza del segnale s(t) è del tutto equivalente alla conoscenza dei suoi campioni s(kTc), con k variabile intera, ottenuti calcolando s(t) per t = kTc. Tc prende il nome di intervallo (o tempo) di campionamento, ed è chiaro che il suo valore numerico, che dovrà essere opportunamente scelto, ricopre un ruolo “chiave” nell’ambito del teorema. Il suo inverso, fc = 1/Tc, è la frequenza di campionamento e rappresenta il numero di campioni del segnale per unità di tempo che è necessario considerare ai fini della sua rappresentazione. I valori da assumere per Tc (e quindi fc), assegnato che sia il segnale, risulteranno chiari dalla successiva trattazione. Per il momento, giova evidenziare l’importanza del teorema, che consente di sostituire, senza perdita di informazione, la conoscenza del segnale s(t) continuo con la conoscenza di una sequenza numerabile di suoi campioni. E’ facile rendersi conto che è questo il primo, fondamentale, passo verso la digitalizzazione (o numericizzazione) di un segnale analogico, alla quale si farà riferimento alla fine di queste note e che costituisce uno dei risultati applicativi più importanti nello sviluppo degli odierni sistemi di telecomunicazione. Per salvaguardare il rigore formale, vogliamo ora esprimere l’enunciato del teorema in termini analitici. Oltretutto, come necessario per poter parlare di rappresentazione, accanto alla procedura che consente di ottenere a partire da un segnale s(t) i suoi campioni, occorre definire anche la procedura inversa che, a partire dai campioni, consente di ricostruire il segnale. Sia dunque s(t) il segnale, limitato in banda, considerato e sia S(ω) la sua trasformata di Fourier (il suo spettro). Nulla impedisce di guardare alla S(ω) come alla rappresentazione elementare (all’interno di un periodo) di un segnale periodico in ω, con periodo pari a 4πB, di cui il periodo centrale, quello intorno all’origine ω = 0, sia il solo che ci interessa. In pratica, la procedura appena descritta realizza una periodicizzazione dello spettro del segnale. Questa operazione è funzionale a quanto segue. In quanto periodica, la funzione così ottenuta può infatti essere sviluppata in serie di Fourier: rispetto alla notazione classica (in cui il segnale che viene sviluppato è una funzione del tempo) occorre sostituire t con ω, e tener conto del fatto che il periodo vale 4πB. Con semplici sostituzioni ed elaborazioni algebriche si ricava: 1 Ricordiamo che tale filtro è idealmente realizzabile, essendo la sua risposta impulsiva reale, ma non fisicamente realizzabile in quanto non causale (la sua risposta impulsiva h(t) è diversa da zero per t < 0).

1

)B2/(ik

kkec

B41)(S ω

+∞

−∞=∑

π=ω , (2a)

∫π

π−

ω− ωωπ

=B2

B2

)B2/(ikk de)(S

B41c . (2b)

D’altro canto, è sempre vero che s(t) può essere espresso come antitrasformata di S(ω), e cioè risulta:

∫π

π−

ω ωωπ

=B2

B2

ti de)(S21)t(s . (3)

Nella (3) si è ovviamente tenuto conto del fatto che il segnale s(t) è limitato in banda. Per confronto della (2b) con la (3), è immediato dedurre che risulta:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π=

B2ks

Bck . (4)

Nella (4) si può ora porre:

B21Tc = (5)

per cui la stessa equazione diventa:

( ck kTsB

c −π

= ) . (6)

La (6) costituisce una formulazione esplicita del teorema del campionamento. Se infatti è vero, come è vero, che la conoscenza dei coefficienti ck è equivalente alla conoscenza della funzione S(ω) (dalla teoria dello sviluppo in serie di Fourier) e quindi di s(t), la (6) stabilisce che tale coefficienti possono essere determinati campionando il segnale s(t) in corrispondenza di multipli di Tc. Allo stesso tempo la (5) fornisce un’indicazione esplicita sul valore da assumere per l’intervallo di campionamento; successivamente si avrà modo di verificare che il secondo membro della (5) più che fornire un valore esatto, da verificare puntualmente, fornisce invece un limite superiore che non deve essere superato per non incorrere in una degradazione irrecuperabile del segnale. L’opportunità di assumere un Tc < 1/(2B), ancorché giustificabile in termini qualitativi (si prende un numero di campioni maggiore di quello strettamente necessario) porterà il discorso sul piano delle applicazioni pratiche e delle loro implicazioni. Nello spirito del teorema, peraltro, la condizione (5) sull’intervallo di campionamento è quanto basta per concludere, così come ci si era riproposti, che un segnale limitato in banda non è necessariamente descritto dall’infinità non numerabile di valori che esso assume in ciascuno dei possibili istanti distinti di tempo; per la sua completa conoscenza è sufficiente la determinazione dei valori che esso assume in corrispondenza di tutti e soli gli istanti multipli di 1/(2B). Da un diverso punto di vista, tenendo conto del legame tra intervallo di campionamento e frequenza di campionamento, si può affermare che se si campiona un segnale limitato in banda con frequenza fc = 2B, e cioè, di nuovo, si misurano i valori che il segnale assume in istanti multipli di 1/(2B), si

2

perviene ad una successione di numeri (i campioni del segnale) da cui è possibile, ove occorra, risalire al valore del segnale in un qualunque altro istante di tempo. L’ultima delle osservazioni precedenti introduce il problema della ricostruzione del segnale a partire dai suoi campioni. Formalmente questa procedura (che somiglia ad un’interpolazione ma che non ha, in principio, alcun elemento di approssimazione) può essere riassunta nei termini seguenti. A partire dalla (2a), possiamo sostituire l’espressione (6) dei coefficienti in funzione dei campioni; con semplici elaborazioni algebriche si ottiene:

( )∑∞

−∞=

ω−=ωk

Tikc

cekTsB21)(S . (7)

Nella (7) ω può assumere qualunque valore ma, recuperando le premesse, siamo qui interessati a considerare il solo intervallo −2πB ≤ ω ≤ 2πB in cui è allocato lo spettro del segnale s(t). Scambiando k con −k, la (7) diventa

( ) B2B2,ekTsB21)(S

k

Tikc

c π≤ω≤π−=ω ∑∞

−∞=

ω− , (8)

ove si è esplicitato l’intervallo in ω in cui la funzione deve essere considerata2. A questo punto, per ottenere s(t), si deve antitrasformare la (8). A seguito della limitazione in frequenza (al di fuori si deve assumere una funzione nulla, cosa che è del resto vera a priori per la funzione S(ω)) si tratta di un’infinità di impulsi rettangolari, il k-esimo dei quali ha ampiezza s(kTc)/(2B) ed è moltiplicato per la funzione . Ricordando l’espressione dell’antitrasformata di un impulso rettangolare e tenendo conto della proprietà della traslazione temporale per la trasformata di Fourier, si ottiene:

cTike ω−

( ) ( )[ ]( )∑

∞

−∞= −π−π

=k c

cc kTtB2

kTtB2sinkTs)t(s (9)

che rappresenta la formula di ricostruzione cercata. La funzione sin[2πB(t−kTc)]/[2πB(t−kTc)], il cui andamento oscillatorio smorzato è ben noto (con massimo, uguale a 1, in t = kTc) prende il nome di funzione di campionamento. Al variare di k, le funzioni di campionamento, che hanno la stessa struttura qualunque sia il segnale da rappresentare, sono tra loro ortogonali tra −∞ e +∞. Si hanno dunque condizioni analoghe a quelle che ricorrono per lo sviluppo in serie di Fourier: come già si verificava per quella rappresentazione, il segnale s(t) è qui ottenuto, in accordo con la (9), come sovrapposizione di una infinità numerabile di funzioni elementari ortogonali, ciascuna pesata con un campione di segnale. I campioni del segnale prendono dunque il posto dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier. Un’ulteriore considerazione riguarda il valore di fc = 1/Tc che, in accordo con la (5) e con le considerazioni che seguono, deve essere assunto pari almeno a 2B. Si può dunque concludere che la larghezza di banda del segnale determina la frequenza di campionamento: all’aumentare di B anche fc aumenta, tanto che al limite, per B → ∞, il campionamento dovrebbe considerare tutti i possibili istanti temporali (ovviamente venendo meno il principio stesso del campionamento). Un’interpretazione qualitativa di questo fatto può essere dedotta dalla dualità tempo-frequenza, già discussa in un capitolo precedente: quanto più un segnale è rapidamente variabile nel tempo tanto più il suo spettro è esteso ed è difficilmente campionabile (in quanto il campionamento dovrebbe cogliere tutte le sue possibili variazioni). 2 Operativamente, il fatto di isolare una porzione di valori di ω corrisponde ad un filtraggio, che risulterà ulteriormente chiaro dalle successive considerazioni e rappresentazioni grafiche.

3

A partire dalla trattazione generale sviluppata in precedenza, si tratta ora di discutere le procedure operative con le quali è possibile realizzare il campionamento. Procedendo nell’esposizione, si avrà anche modo di ripetere, e meglio precisare, alcuni dei concetti introdotti più sopra. In una prospettiva di sistemazione organica degli argomenti, che dovrebbe anche aiutare la comprensione, è opportuno distinguere almeno tre tipi di campionamento: il campionamento ideale, quello naturale e quello istantaneo. Queste tre tipologie verranno ora descritte, sempre necessariamente partendo dalla formulazione matematica ma mettendo in evidenza le differenze, la fattibilità e le implicazioni pratiche. Campionamento ideale Le considerazioni sviluppate fino a questo punto fanno implicitamente riferimento al campionamento ideale. La capacità di campionare il segnale in corrispondenza di precisi istanti temporali è prerogativa della funzione impulso matematico (delta di Dirac) la quale ha durata infinitesima ma ampiezza corrispondentemente infinita. Se dunque si considera una successione di impulsi matematici:

(10) (∑∞

−∞=−δ=

kcp kTt)t(s )

)

)

essi, moltiplicati per s(t), realizzano un campionamento ideale del segnale con intervallo di campionamento Tc. Il segnale campionato può scriversi:

(11) ( ) ( ) (∑∑∞

−∞=

∞

−∞=−δ=−δ=⋅=

kcc

kcpc kTtkTskTt)t(s)t(s)t(s)t(s

che appunto testimonia di come la funzione impulso matematico sia in grado di prelevare il campione “locale” s(kTc) del segnale. L’idealità dell’operazione appena descritta può essere compresa facilmente. Se, dal punto di vista matematico, l’operazione che consente di ottenere il segnale campionato può essere vista come una moltiplicazione, così come illustrato in Figura 1, dal punto di vista pratico la (11) si implementa mediante la cascata di un interruttore periodico seguito da un amplificatore, così come mostrato in Figura 2. Lo schema reale di figura realizza le funzionalità di una successione di delta di Dirac nella situazione limite in cui il tempo di chiusura Δt dell’interruttore tende a zero e, contestualmente, il guadagno G = 1/ Δt dell’interruttore tende all’infinito. E’ chiaro che la fattibilità della prima e, ancor più, della seconda condizione è possibile solo in termini approssimati. Se dunque nella pratica non si riuscirà mai a realizzare un campionamento ideale, lo studio di questa situazione è comunque necessario, perché fornisce una condizione di riferimento e consente di mettere in evidenza alcune peculiarità del processo di campionamento che sono insite nel teorema e che prescindono dai problemi applicativi, pure evidenti, cui si è fatto appena cenno. Il segnale campionante sp(t), fornito dalla (10), è periodico. Ricordando l’espressione della trasformata di Fourier di un segnale periodico, calcolata in termini generali in un capitolo precedente, tenendo conto che la trasformata del singolo impulso matematico è una costante di valore unitario, si dimostra facilmente che risulta:

(12) (∑∞

−∞=ω−ωδω=ω

kccp k)(S

4

con ωc = 2πfc = 2π/Tc. La trasformata di Fourier della sequenza di impulsi matematici distanziati nel tempo di Tc è dunque a sua volta una sequenza di impulsi matematici distanziati in pulsazione di ωc (e quindi in frequenza di fc). Per calcolare la trasformata del segnale campionato (11) è allora sufficiente applicare la proprietà del prodotto nel tempo in virtù della quale, a meno di un fattore 1/(2π) (se si ragiona in pulsazione) la trasformata di sc(t) si otterrà dall’integrale di convoluzione tra Sp(ω) e la trasformata S(ω) del segnale s(t). Ricordando la proprietà della delta di Dirac per cui la sua convoluzione con una funzione generica restituisce la funzione stessa centrata ove era posizionata la delta di Dirac, si può concludere che risulta:

( ) (∑∑∞

−∞=

∞

−∞=ω−ω=ω−ω

πω

=ωk

cck

cc

c kST1kS

2)(S ). (13)

s(t)

s (t)p

s (t)c

Figura 1

s(t) s (t)c

Chiusura periodica per un tempo t Δ

G=1/ tΔ

Figura 2

A meno del fattore 1/Tc, dunque, la trasformata di Fourier del segnale campionato si ottiene affiancando infinite repliche dello spettro del segnale originale, con separazione tra due repliche adiacenti pari a ωc (in pulsazione) ovvero fc (in frequenza). Questo risultato, importantissimo e del tutto generale, è rappresentato, con riferimento ad un esempio specifico, in Figura 3. Per comodità di notazione si è utilizzata la rappresentazione in frequenza (anziché in pulsazione): S(f) rappresenta la trasformata di Fourier del segnale originale e Sc(f) quella del segnale campionato. In Figura si è fatto il caso in cui risulti fc = 2B; sotto questa ipotesi, le successive repliche dello spettro sono contigue ma non si sovrappongono, restando così perfettamente distinguibili. Si comprende allora come, al di là della formula di ricostruzione (9), a partire dallo spettro del segnale campionato sia possibile riottenere lo spettro del segnale originale, e con esso il segnale stesso, semplicemente isolando una delle repliche dello spettro, in particolare, ad esempio, quella centrata

5

nell’origine3. Il dispositivo che consente di riottenere il segnale, a partire dai suoi campioni, è dunque un semplice filtro passa-basso, così come mostrato in Figura 4.

Figura 3

s(t)

s (t)p

s (t)c Filtropassa-basso

s(t)

Figura 4 La condizione fc = 2B è quella che si mutua dalla (5) (e successivi commenti). La Figura 3 consente allora di mettere in evidenza la significatività e necessità di questa condizione: essa assicura che le repliche dello spettro originale non si sovrappongano nello spettro del segnale campionato e che dunque l’operazione di filtraggio consenta di riottenere il segnale senza alcuna distorsione. Diversamente, assumendo fc < 2B, e cioè sottocampionando (undersampling) il segnale, le repliche non restano separate ma si sovrappongono, determinando una irreversibile perdita di informazione. Un esempio è illustrato in Figura 5: Un filtro passa-basso ideale tra −B e +B, in accordo con la Figura 4, non sarebbe in questo caso in grado di restituire lo spettro del segnale originale. Questo fenomeno va sotto il nome di aliasing e, per quanto possibile, deve essere evitato. Non si deve dunque assumere fc < 2B perché questo si traduce in una distorsione del segnale una volta ricostruito a partire dai suoi campioni. Invero va evidenziato che molti segnali di interesse pratico hanno uno spettro che nominalmente si estende anche a valori molto elevati di frequenza. Per questi segnali, dunque, la comparsa dell’aliasing sembra inevitabile, a meno di campionare a frequenza molto elevata. V’è però da considerare che, tranne casi molto particolari, l’incidenza, ai fini della caratterizzazione del segnale, delle frequenze più elevate è normalmente molto modesta. Questo comporta che il segnale non

3 In linea di principio, nulla impedisce di isolare la replica centrata sulla frequenza kfc ma in questo caso si tratta di uno spettro traslato, e per recuperare effettivamente il segnale originale è necessaria una successiva operazione di demodulazione. Questa procedura, più complessa, può comunque rivelarsi utile in talune applicazioni.

6

viene significativamente alterato se queste componenti vengono eliminate, prima del campionamento, con un opportuno filtro anti-aliasing. In tal modo l’occupazione spettrale del segnale torna ad essere accettabile e il problema dell’aliasing viene superato senza apprezzabile distorsione.

Figura 5 D’altro canto, la ricostruzione del segnale per il caso di Figura 3 è possibile solo se si possiede un filtro passa-basso ideale, in grado di isolare perfettamente la replica dello spettro centrata nell’origine. Le difficoltà di implementazione del filtro (che se anche non ideale dovrà comunque presentare fianchi estremamente ripidi) vengono rilassate se le varie repliche vengono maggiormente distanziate tra loro. Il che è possibile, in accordo con la (13), assumendo una frequenza di campionamento fc > 2B, cioè sovracampionando (oversampling) il segnale. La situazione è illustrata con un esempio in Figura 6: esiste ora una regione di transizione di estensione pari a fc − 2B entro la quale può essere collocata la regione di transizione di un filtro, a questo punto più semplice da realizzare (un esempio è riportato nella stessa figura). Resta dunque confermato quanto si era osservato all’inizio in termini intuitivi, e cioè che l’assunzione di una frequenza di campionamento fc maggiore di quella strettamente necessaria non altera le prestazioni del campionamento e anzi ne semplifica l’implementazione pratica (anche se, chiaramente, quale contropartita si ha un lieve aumento della velocità dei componenti che realizzano le varie operazioni). La condizione: (14) B2fc ≥ prende il nome di condizione di Nyquist.

7

Figura 6 Campionamento naturale L’idealità dello schema di campionamento precedente sta, come detto, nella impossibilità di utilizzare come funzione campionante una successione di delta di Dirac. Lo schema di Figura 2 torna ad essere realistico se l’interruttore resta chiuso, periodicamente, per un tempo Δt magari anche molto piccolo ma finito. A questo punto non è neppure necessaria, almeno in linea di principio, la presenza dell’amplificatore a valle con guadagno G = 1/Δt. In questo caso la funzione campionante viene allora ad essere costituita da una successione di impulsi rettangolari e può scriversi:

(15) (∑∞

−∞=−=

kcIp kTts)t(s )

essendo sI(t) l’impulso rettangolare unitario la cui definizione ricordiamo qui per comodità:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ>

Δ≤

=

2tt0

2tt1

)t(s I (16)

8

Quando il segnale sp(t) è moltiplicato per s(t), il segnale campionato segue esattamente l’andamento del segnale in ingresso ma limitatamente agli intervalli, periodici, di durata Δt. La situazione è illustrata graficamente in Figura 7: più che una conoscenza puntuale del segnale s(t) si può qui parlare di conoscenza “intervallare”, in porzioni di tempo significativamente più piccole del dominio originale (tanto più quanto più gli impulsi campionanti sono stretti). Qualitativamente si intuisce che il campionamento naturale, come viene definita questa procedura, non pregiudicherà la capacità di ricostruzione del segnale. Rispetto al caso ideale si ha semmai una ridondanza di informazione, giacché il segnale viene campionato negli istanti di campionamento previsti dalla teoria e nel loro intorno; nessuna forzatura viene imposta al segnale che, nell’intervallo visualizzato, conserva l’andamento originale, mentre lo schema riacquista quella “praticità” che non era invece rinvenibile nello schema ideale. Le considerazioni precedenti sono confermate dall’andamento dello spettro di Figura 7(f): ivi la replica nell’origine dello spettro originale è inalterata; le altre repliche sono attenuate ma non distorte, conservando perfettamente l’andamento originale (e dunque potrebbero essere utilizzate in luogo della replica centrata nell’origine).

Figura 7

La giustificazione teorica del risultato di figura può essere riassunta nei termini seguenti. L’espressione del segnale campionato è in questo caso data da:

9

(17) (∑∞

−∞=−=⋅=

kcIpc kTts)t(s)t(s)t(s)t(s )

Il segnale campionante sp(t) è periodico, e dunque la sua trasformata vale:

( ) ( )

( )∑

∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

ω−ωδΔ

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

ωΔω=

=ω−ωδΔ

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δω

Δω=ω−ωδωω=ω

kc

c

c

c

kcc

kcIcp

k

2tk

2tksin

t

k

2t2tsin

tk)(S)(S

(18)

essendo SI(ω) la trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare4. Applicando la solita proprietà della convoluzione con impulsi matematici, si trova allora per lo spettro del segnale campionato:

(∑∞

−∞=ω−ω

Δω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

ωΔ

=ωk

c

c

c

cc kS

2tk

2tksin

Tt)(S ). (19)

Questa espressione sostituisce la (13) nel caso di campionamento naturale. A meno del fattore Δt (che può essere compensato considerando impulsi rettangolari di ampiezza 1/Δt), il contributo per k = 0 è identico nelle due espressioni (essendo sin(kωcΔt/2)/(kωcΔt/2)⏐k=0 = 1); le altre repliche sono moltiplicate per il fattore sin(kωcΔt/2)/(kωcΔt/2) < 1, ma mantengono esattamente la forma dello spettro originale, e dunque non sono distorte. Tutto questo conferma la discussione precedente e in particolare il risultato grafico mostrato in Figura 7. Ovviamente, per quanto concerne la scelta della frequenza di campionamento si pongono problematiche analoghe a quelle già discusse per il campionamento ideale (e che non vengono dunque qui ripetute). In Figura 7 si è fatto il caso ideale di fc = 2B; per fc > 2B il campionamento resta correttamente eseguito mentre si semplifica la sintesi del filtro di ricostruzione; per fc < 2B si ha aliasing. Campionamento istantaneo Benché il campionamento naturale consenta di preservare i postulati del teorema del campionamento e di ottenere un segnale ricostruito identico all’originale, è chiaro che il segnale campionato ottenuto è ancora ben lontano dal poter essere assimilato ad un segnale numerico. Di fatto, si tratta ancora di un segnale analogico, suscettibile di variare con continuità all’interno degli intervalli temporali, equispaziati, di durata Δt. Un primo, ma importante, passo verso la numericizzazione del segnale si ottiene considerando il campionamento istantaneo. Un esempio di segnale ottenuto dal campionamento istantaneo è mostrato in Figura 8.

4 Per semplicità, si è assunto come segnale elementare della sequenza campionante periodica l’impulso rettangolare tra −Δt/2 e Δt/2; nulla cambia a livello concettuale se si considera, ad esempio, l’impulso rettangolare tra 0 e Δt: l’unica differenza sarà la comparsa di un termine di fase nella trasformata (proprietà della traslazione temporale per la trasformata di Fourier).

10

Figura 8 In confronto con la Figura 7(e), la diversa struttura del segnale risultante dal campionamento istantaneo è evidente: contrariamente al campionamento naturale, all’interno degli intervalli di durata Δt il segnale campionato non segue il segnale originale ma conserva il valore negli istanti di campionamento. In pratica, possiamo dire che il valore campionato nell’istante t = kTc viene prolungato per l’intero intervallo kTc ≤ t ≤ kTc + Δt. Questo risultato è conseguito utilizzando un circuito di sample and hold (campionamento e tenuta) e in effetti, per estensione, questo tipo di campionamento viene esso stesso frequentemente denominato campionamento sample and hold. Lo schema attuativo di principio del campionatore sample and hold è illustrato in Figura 9.

Figura 9 Il segnale di ingresso, qui rappresentato in tensione, viene campionato tramite l’interruttore S1 (ovviamente si tratterà di un interruttore elettronico, ad esempio realizzato con un transistor); la capacità si carica allora al valore campionato, mentre l’interruttore S2 è aperto. L’interruttore S1 si apre e il campione prelevato resta immagazzinato sulla capacità (e dunque prelevato in uscita) per il tempo Δt, trascorso il quale l’interruttore S2 si chiude, la capacità si scarica e l’uscita resta nulla per la successiva frazione di tempo Tc − Δt; dopo di che l’operazione si ripete ciclicamente. E’ chiaro che nello schema reale saranno presenti anche resistenze, serie e parallelo, per controllare la carica e scarica della capacità. Queste resistenze, che terranno conto anche degli elementi parassiti dei componenti, dovranno essere opportunamente dimensionate ma, ciò fatto, lo schema di funzionamento descritto più sopra, e che conduce all’andamento temporale di Figura 8, resta confermato. Il fatto che negli intervalli di durata Δt il segnale campionato non segua l’andamento di s(t) ma venga forzato a rimanere costante, introduce evidentemente una alterazione che è ragionevole pensare possa tradursi in una distorsione del segnale ricostruito. Per valutare l’entità di questa distorsione, scriviamo l’espressione del segnale campionato nel caso di campionamento istantaneo.

11

La forma d’onda campionante sp(t) è ancora data dalla (15); tenendo conto della descrizione fornita più sopra e della Figura 8, in luogo della (17) si deve però scrivere5:

. (20) (c c Ik

s (t) s(kT )s t kT∞

=−∞

= ∑ )c−

)c−∑

)c

La (20) può essere riscritta come segue:

(21) ( ) (c c I c Ik k

s (t) s(kT )s t kT s (t) s(t) t kT∞ ∞

=−∞ =−∞

= − = ⊗ δ∑ dove ⊗ è il simbolo di convoluzione e si è sfruttato, esplicitamente, il fatto che risulta: . (22) ( ) (I c Is (t) t kT s t kT⊗ δ − = − Applicando la proprietà della convoluzione e quella del prodotto, la trasformata di Fourier di sc(t) potrà scriversi (utilizzando anche alcuni risultati precedenti) come:

( ) ( )c I cc ck k

tsin1 t 2S ( ) S ( ) S k S ktT T

2

∞ ∞

=−∞ =−∞

Δ⎛ ⎞ω⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠ω = ω ω − ω = ω − ωΔ

ω∑ ∑ c . (23)

Confrontando la (23) con la (19), e ancora prima con la (13), ci si accorge che le singole repliche dello spettro del segnale originale sono in questo caso moltiplicate non per un valore costante (come avveniva nel caso di campionamento naturale) ma per una funzione di ω. In particolare, il filtro passa-basso di ricostruzione che isola la replica centrata nell’origine, darà in uscita un segnale s’(t) il cui spettro vale:

( )sin

2'( )

2c

ttS tT

Δ⎛ ⎞ω⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠ω = ωΔω

S

. (24)

Si tratta dunque dello spettro di S(ω) moltiplicato per la funzione sinc(ωΔt/2). Corrispondentemente, e contrariamente agli altri tipi di campionamento, si avrà allora s’(t) ≠ s(t). La situazione è illustrata, con un esempio, in Figura 10. In Figura 10(a) è mostrato il modulo dello spettro nel caso di campionamento ideale e in Figura 10(b) il modulo dello spettro nel caso di campionamento istantaneo; la differenza tra i due casi è evidente.

5 E’ opportuno notare che, a rigore, la sequenza di impulsi rettangolari dovrebbe essere ritardata di Δt/2; ciò per rendere “fisicamente realizzabile” il sistema. E’ infatti evidente che, ad esempio, l’impulso per k = 0, la cui ampiezza è determinata dal valore del segnale in t = 0, non può iniziare all’istante t = −Δt/2, come invece presuppone la definizione di sI(t). D’altro canto, l’introduzione del ritardo non ha implicazioni sostanziali ai fini della discussione mentre complica, inevitabilmente, la notazione. Per questo motivo, pur avendone precisato la necessità, in linea di principio, esso non verrà introdotto nelle formule successive.

12

(a)

(b)

Figura 10

Il segnale ricostruito a valle del campionamento istantaneo (che abbiamo detto implicitamente essere quello più importante in pratica) è dunque distorto. Vi sono però da fare due considerazioni:

1) L’entità della distorsione è legata al valore di Δt. Consideriamo il rapporto tra )('S ω e

( )ωS ; in accordo con la (24), esso vale:

( ) c

tsinS'( ) t 2tTS

2

Δ⎛ ⎞ω⎜ ⎟ω Δ ⎝=Δω ω

⎠ . (25)

Di conseguenza si ha:

( ) c0T

tS

)('S Δ=

ω

ω

=ω

(26)

e

( )

( )c c2 B

S'( ) sin B tt 2 sinT B t 2 TS

ω= π

ω π Δ ⎛ ⎞Δ= = ⎜π Δ πω ⎝ ⎠

tπ Δ⎟ (27)

ove si è posto B = 1/(2Tc) e si è tenuto conto che è, necessariamente, Δt/Tc < 1. Quale misura della distorsione si può allora assumere il seguente rapporto (se tale rapporto fosse unitario la distorsione sarebbe nulla, all’interno della banda del segnale):

13

( )

( ) c

c

0

B2

Tt

2

Tt

2sin

S)('S

S)('S

Δπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δπ

=

ω

ω

ω

ω

=ω

π=ω . (28)

Si capisce che tanto minore è il rapporto Δt/Tc tanto minore risulta la distorsione (si parla di effetto finestra). Per alcune applicazioni un valore di Δt/Tc < 0.1 è già sufficiente per garantire distorsione trascurabile.

2) La distorsione introdotta dall’effetto finestra è equalizzabile. Visto che si conosce l’andamento in frequenza della funzione distorcente, è sufficiente incorporare nell’apparato di ricostruzione un filtro con funzione di trasferimento

)(S

Ae)(HI

ti

eqd

ω=ω

ω− (29)

perché la distorsione venga eliminata e si riottenga il segnale ricostruito come nel campionamento naturale. Il termine di fase e−iωtd è necessario per tener conto del ritardo necessariamente introdotto dall’equalizzatore reale; A è invece un coefficiente moltiplicativo.

* * * * *

A conclusione di questa sezione dedicata al campionamento vogliamo fornire, nelle pagine seguenti:

a) un semplice esercizio di applicazione del teorema del campionamento; b) un cenno alla generazione di segnali PCM, in cui l’operazione di campionamento di segnali

analogici è seguita dalle operazioni di quantizzazione e codifica per ottenere un segnale (binario) propriamente numerico;

c) alcuni esempi di calcolo di frequenza di cifra per segnali PCM di pratico interesse. Queste integrazioni al capitolo non hanno alcuna pretesa di completezza; esse servono soltanto a fornire al lettore almeno un’idea dell’importanza pratica del campionamento, anticipandone l’applicazione nei sistemi di comunicazione. Va da sé che i punti b) e c), in particolare, dovranno essere successivamente approfonditi, una volta acquisite nozioni più generali, nel Corso di Telecomunicazioni.

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ESERCIZIO Il segnale s(t) = cos(2000πt) + 0.1[cos(5000πt) + cos(7000πt)] è campionato, in modo ideale, assumendo una frequenza di campionamento pari a 4 kHz. La forma d’onda campionata è quindi limitata in banda a 2 kHz usando un filtro passa-basso ideale. Si determini l’andamento del segnale in uscita dal filtro. Si commenti il significato della procedura applicata e si giustifichi il risultato ottenuto. Il segnale s(t) è costituito dalla sovrapposizione di tre funzioni cosinusoidali di frequenza:

f1 = 1000 Hz, f2 = 2500 Hz, f3 = 3500 Hz.

Ricordando l’espressione della trasformata di Fourier di un segnale cosinusoidale, l’andamento dello spettro di s(t) è riportato in Figura 11, dove: ω1 = 2000π rad/s, ω2 = 5000π rad/s, ω3 = 7000π rad/s; l’area delle delta di Dirac più grandi vale π, mentre quella delle delta di Dirac più piccole vale 0.1π.

ω

S( )ω

ω 1 ω 2 ω 3−ω 1−ω 2−ω 3

Figura 11

La massima frequenza del segnale s(t) vale f3 = 3500 Hz e quindi, come noto dalla teoria, esso dovrebbe essere campionato almeno a frequenza fc = 2f3 = 7000 Hz = 7 kHz. Il fatto che venga utilizzata una frequenza di campionamento di soli 4 kHz lascia presagire che il segnale campionato sarà certamente distorto. Vogliamo ora valutare l’entità di questa distorsione. Essendo il campionamento ideale, la trasformata di Fourier del segnale campionato vale

∑∞

−∞=

ω−ω=ωk

cc

c )k(ST1)(S (30)

con ωc = 2πfc = 2π/Tc. L’andamento di Sc(ω) è riportato in Figura 12; ci si limita a considerare l’intervallo –ω3 ≤ ω ≤ ω3, più che sufficiente per gli scopi presenti.

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ω

S ( )ω

ω 1 ω 2 ω 3−ω 1−ω 2−ω 3

c

ω 4 ω 5 ω 6−ω 4−ω 5−ω 6

Figura 12 Come previsto, il sottocampionamento ha prodotto “aliasing” e non è più possibile riottenere, con filtraggio passa-basso, il segnale di partenza a partire dal segnale campionato. In Figura 12 si è posto:

ω4 = ωc – ω3 = 1000π rad/s; ω5 = ωc – ω2 = 3000π rad/s; ω6 = ωc – ω1 = 6000π rad/s.

Il filtro passa-basso con banda 2 kHz (corrispondente, in pulsazione a 4000π rad/s) lascerà inalterate le componenti a pulsazione ±ω4, ±ω1 e ±ω5, eliminando tutte le altre. Lo spettro del segnale in uscita dal filtro avrà dunque l’andamento riportato in Figura 13.

ω

S ( )ω

ω 1−ω 1

u

ω 4 ω 5−ω 4−ω 5

Figura 13 Antitrasformando e tenendo conto, da una parte, delle ampiezze delle componenti cosinusoidali del segnale di partenza (visibili, in Figura 13, dalla diversa dimensione delle delta di Dirac) e, dall’altra, del fattore moltiplicativo 1/Tc dovuto al campionamento si ottiene:

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[ ]

[ ])t3000cos(1.0)t2000cos()t1000cos(1.0T1

)tcos(1.0)tcos()tcos(1.0T1)t(s

c

514c

u

π+π+π=

=ω+ω+ω=

(31)

E’ interessante osservare che la funzione cos(2000πt), già presente nel segnale di ingresso, si ritrova in uscita; questo risultato era atteso visto che per essa (e solo per essa) la frequenza di campionamento e il relativo filtro passa-basso sono adeguati.

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CODIFICA PCM E SUA APPLICAZIONE A SEGNALI DI INTERESSE PRATICO

Lo schema a blocchi di un sistema che utilizza la modulazione impulsiva codificata (PCM: Pulse Code Modulation) è riportato in Figura 14.

Figura 14

Il punto di partenza è costituito da un segnale analogico s(t) di banda limitata, che viene campionato, in accordo con il teorema del campionamento, con una frequenza almeno pari a 2B. In tal modo, il segnale variabile in modo continuo nel tempo viene trasformato in una sequenza, discreta, di campioni. Le ampiezze dei campioni, peraltro, possono essere qualsiasi (compatibilmente con la dinamica del segnale s(t)). Per rendere il segnale completamente numerico occorre discretizzare anche le ampiezze dei campioni. A ciò provvede l’operazione detta di quantizzazione, che riduce il numero di possibili valori (teoricamente infinito) ad un numero finito M di livelli, approssimando il valore di ciascun campione con il livello, tra gli M possibili, che gli è più vicino. In tal modo si introduce inevitabilmente un errore di quantizzazione, che potrà essere mantenuto al di sotto del limite accettabile usando un numero M di livelli sufficientemente alto. Il segnale ottenuto a questo punto è un segnale numerico che può assumere M valori (M-ario). Per tutta una serie di motivi (legati a questioni tecnologiche ma anche alla qualità di trasmissione conseguibile) si è interessati a trasmettere il segnale numerico in forma binaria. Per poter trasmettere M livelli di segnale è necessario considerare un pari numero di sequenze binarie, ciascuna costituita da log2M simboli binari. Ad esempio, per M = 8 si devono avere 8 sequenze binarie che, per essere distinguibili, dovranno contenere 3 simboli binari; esse saranno date da tutte le possibili combinazioni di 3 simboli binari (comunemente denominati bit) per cui saranno: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Da qui si capisce anche l’opportunità, volendo implementare un sistema PCM, di assumere un valore di M che sia pari ad una potenza di 2 (vale a dire M = 2k); se così non è, infatti, occorre comunque prendere un numero di simboli binari k ≥ log2M, alcune sequenze binarie non saranno utilizzate e questa ridondanza, oltre che formalmente inutile, ha implicazioni negative che risulteranno chiare nel seguito. Un esempio di campionamento, quantizzazione e codifica è illustrato in Figura 15. Tornando alla Figura 14, non ci si preoccupi, per ora, di comprendere il significato del blocco “Modulazione” che risulterà invece chiaro nell’ambito del Corso di Telecomunicazioni. Per il momento, possiamo limitarci a dire che la “Modulazione” comporta la scelta della tecnica utilizzata ai fini della trasmissione; al limite (e non è un caso così infrequente) il segnale PCM ottenuto a seguito del campionamento, della quantizzazione e della codifica può essere trasmesso direttamente e, in questo caso, il blocco di “Modulazione” (vale a dire il “Modulatore”) è assente. In ricezione, le operazioni svolte sono complementari: in particolare, il blocco di decodifica consente di riottenere (a meno degli errori introdotti dal canale) il segnale numerico M-ario a partire

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da quello binario, mentre il filtro di ricostruzione interpola i campioni discreti per ricostruire il segnale analogico. In realtà va detto che le operazioni di decodifica e ricostruzione, separate in Figura 14 per maggior chiarezza, vengono di solito effettuate congiuntamente da un unico dispositivo.

Figura 15

Fatta questa lunga premessa, l’obiettivo del seguito di questo paragrafo è non già quello di affrontare questioni relative alla qualità (per esempio l’effetto del rumore di quantizzazione) che vengono trattate altrove, ma di effettuare una valutazione della velocità di trasmissione del flusso binario per alcuni segnali di particolare interesse pratico. Questa velocità viene comunemente denominata “frequenza di cifra”, e sarà qui indicata con Fc. E’ intuitivamente ragionevole che il valore della frequenza di cifra determini il valore della banda occupata dal segnale PCM; in particolare, maggiore è la frequenza di cifra, maggiore sarà la banda occupata dal segnale. La valutazione che si andrà ad effettuare, dunque, consente di determinare l’incremento di banda conseguente alla numericizzazione del segnale. I segnali presi in esame sono quelli che più frequentemente si incontrano nell’esperienza quotidiana. Di essi non verrà qui data una descrizione tecnica dettagliata. Peraltro, per alcuni di essi, verranno forniti elementi in altre parti del Corso. Per ricavare la frequenza di cifra del segnale PCM, è sufficiente guardare alle operazioni che conducono dal segnale analogico s(t) al segnale numerico PCM:

- il campionamento comporta che venga prelevato un campione ogni To = 1/fo ≤ 1/(2B) [s] (la frequenza di campionamento è stata qui indicata, per maggior chiarezza, con fo);

- il tempo riservato alla trasmissione di un simbolo M-ario non può dunque eccedere 1/(2B); si assume, di solito, il valore massimo;

- sostituendo una sequenza binaria al generico simbolo M-ario, ciascuna cifra binaria avrà durata massima pari a 1/(2B⋅log2M) in quanto il tempo riservato alla trasmissione di un simbolo M-ario deve ora essere ripartito tra i log2M simboli binari.

In conseguenza di quanto sopra, la frequenza di cifra del segnale PCM, definita come l’inverso del tempo di trasmissione di un simbolo binario, sarà data da: (32) MlogB2F 2c ⋅= avendo, anche in questo caso, fatto riferimento al valore massimo per la durata di ciascun simbolo. La (32) consente anzi di comprendere il motivo per cui conviene assumere il massimo valore per To e per la durata di ciascun simbolo binario entro To: con scelte diverse, infatti, la frequenza di cifra

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sarebbe maggiore di quanto fornito dalla (32). Conoscendo il valore di B e specificando quello di M (quest’ultimo sulla base di considerazioni legate alla qualità) il calcolo della frequenza di cifra è dunque diretto. Per i segnali di interesse pratico, i valori di B e di M sono standardizzati o comunque sono noti sulla base di scelte consolidate. Essi verranno ora richiamati, ed inseriti nella (32) per il calcolo del relativo valore di Fc.

a) Segnale telefonico

La banda considerata per questo tipo di segnale è, di norma, compresa tra 300 Hz e 3400 Hz. Nondimeno, ai fini del campionamento, si utilizza una banda lorda B = 4 kHz. I livelli di quantizzazione sono tipicamente 256, corrispondenti a sequenze binarie di 8 bit (log2256). Sostituendo questi valori numerici si ottiene (33) s/kbit64Fc = Questa velocità assume una particolare importanza, come unità di capacità di canale, in quanto rappresenta il flusso numerico corrispondente al segnale elementare più diffuso nelle reti di telecomunicazione.

b) Segnale musicale ad alta fedeltà

In questo caso la larghezza di banda è dell’ordine di 15 kHz ed il campionamento è effettuato, con leggero sovra-campionamento, a fo = 32 kHz. Assumendo M = 4096, per poter garantire l’elevata qualità richiesta, si ottiene: (34) s/kbit384Fc =

c) Segnale televisivo

Il segnale televisivo si ottiene dalla trasmissione, ad alta velocità, di immagini fisse che, in virtù del fenomeno di persistenza dell’immagine sulla retina, danno all’osservatore l’impressione del movimento. Ogni immagine è costituita da N righe, che determinano dunque il livello di risoluzione verticale. L’informazione visiva è, prima di tutto, data dalla variazione di luminanza (livello di grigio) che si ha lungo ciascuna riga. Pensando ad una rappresentazione numerica del segnale, qui di interesse, il modo più semplice di codificare l’informazione consiste nel dividere la riga in punti, associando a ogni punto un livello di luminanza. Il numero di punti viene scelto in modo da garantire una risoluzione orizzontale analoga a quella verticale. Nello standard Europeo (ad eccezione della Francia e della Gran Bretagna) il numero di righe adottato è N = 625, mentre il numero di punti per riga è pari a circa 800. Questo valore è determinato sulla base di un rapporto d’aspetto (aspect ratio: rapporto tra la dimensione orizzontale e quella verticale dello schermo) uguale a 4/3. Ogni immagine è dunque costituita da 625×800 = 5⋅105 punti. Per avere l’illusione dell’immagine che si deforma con continuità si trasmettono 25 immagini6 (dette anche quadri) al secondo; di conseguenza, si ha un flusso di 5⋅105×25 = 12.5⋅106 punti/s. Ogni punto corrisponde ad un campione, e dunque si hanno 12.5⋅106 campioni/s di luminanza. Ma il segnale televisivo è a colori, per cui occorre trasmettere anche la relativa informazione di crominanza. Assumendo un ugual numero di campioni al secondo si ha per 6 Per completezza, va detto che ciascuna immagine viene esplorata due volte, dapprima descrivendo un semiquadro composto dalle sole righe dispari e quindi un semiquadro composto dalle sole righe pari; ciò allo scopo di evitare il fenomeno dello “sfarfallamento”, ben noto nella tecnica cinematografica, per cui l’occhio percepirebbe riduzioni di luminanza se ogni zona dell’immagine fosse esplorata ogni 25-esimo di secondo.

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l’informazione complessiva un totale di 12.5⋅106×2 = 25⋅106 campioni/s7. Quantizzando con 8 bit per campione (256 livelli, come per la telefonia) si ha un flusso totale: (35) s/Mbit200Fc = Nella televisione ad alta definizione (HDTV: High Definition TeleVision) che si affermerà nei prossimi anni il numero di righe è raddoppiato. Corrispondentemente, per le ragioni esposte sopra, sarà anche raddoppiato il numero di punti per riga. Di conseguenza, ripetendo i calcoli precedenti, si avrà (36) s/Mbit800Fc = cioè un flusso totale quadruplo rispetto al caso precedente (a parità di numero di livelli di quantizzazione). D’altro canto, un’altra caratteristica della TV ad alta definizione è il cambiamento nel rapporto d’aspetto che passa da 4/3 (come ipotizzato nei calcoli precedenti) a 16/9. In effetti, la maggior parte dei televisori di nuova fabbricazione ha questa caratteristica. Poiché il cambiamento del rapporto d’aspetto ha ovviamente effetto sul livello di risoluzione dell’immagine, il numero di punti per riga deve essere modificato e la frequenza di cifra (36) cambiata in ragione del rapporto (16/9)/(4/3) ≈ 1.33. In definitiva, per la HDTV con rapporto d’aspetto 16/9 si ottiene: (37) s/Gbit066.1Fc = Per chiarezza e correttezza, si ribadisce una volta di più che questi valori sono fortemente sovradimensionati (nello “spirito” del calcolo): una HDTV che necessitasse di una frequenza di cifra superiore al Gbit/s, e quindi di una banda proporzionalmente estesa, non avrebbe alcuna possibilità di affermarsi. Fortunatamente, a ridurre la frequenza di cifra, e l’occupazione spettrale, concorrono l’adozione di opportune tecniche di modulazione e, soprattutto, l’utilizzo della codifica di sorgente, che sfrutta le proprietà statistiche del segnale per diminuirne la ridondanza.

d) Segnale musicale per la registrazione su CD

Nella registrazione numerica ottica del segnale musicale su “dischi compatti” (CD: Compact Disk) si richiede una qualità estremamente elevata. Ciò porta ad una frequenza di campionamento di 44 kHz e a caratteri di 16 bit per campione. Inoltre il segnale è stereofonico, per cui si devono in realtà immagazzinare 2 segnali audio, con la qualità precisata. In definitiva si ha allora, per questo tipo di segnale: (38) s/Mbit408.1Fc = In realtà, questa frequenza di cifra viene significativamente incrementata perché ai simboli di informazione vengono aggiunti altri simboli per proteggere il segnale musicale dai disturbi (codifica

7 Va detto che questa valutazione è approssimata (per eccesso): una valutazione più accurata tiene conto: 1) dell’efficienza (non unitaria) di scansione, 2) del fatto che l’occhio umano è meno sensibile al dettaglio spaziale relativo al colore e 3) del fatto che, nel segnale televisivo, occorre trasmettere oltre all’immagine anche l’audio. Per descrivere questi aspetti, occorre però analizzare con maggior dettaglio tutte le caratteristiche del segnale, e questo va la di là degli obiettivi della presente trattazione. I valori numerici ricavati dal calcolo approssimato sono comunque utili a fissare l’ordine di grandezza del segnale.

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di canale) e per facilitare le operazioni di registrazione e lettura del disco (codifica di linea). Con scelte tipiche8, si perviene ad un flusso totale caratterizzato da (39) s/Mbit3.3Fc ≈

8 La codifica di canale e la codifica di linea verranno trattate in altra parte del Corso di Telecomunicazioni. Per completezza, possiamo qui precisare (rimandandone la comprensione a quando tali argomenti verranno sviluppati nel dettaglio) che il flusso binario PCM viene segmentato in blocchi di 24 caratteri di 8 bit ciascuno, e ad essi vengono aggiunti 8 caratteri di “parità” per la correzione di eventuali errori secondo un’opportuna codifica; si hanno in definitiva blocchi codificati di 32 caratteri e quindi un incremento nel flusso di 32/24. Un ulteriore incremento del flusso, nel rapporto 14/8 è dovuto all’introduzione di una conveniente codifica di linea, che fa corrispondere parole di 14 bit ai caratteri di 8 bit. Moltiplicando la (38) per 32/24 e per 14/8 si ottiene la (39).

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